questão 1 - pág 2 - equação da difusão do calor

8/16/2019 Questão 1 - Pág 2 - Equação Da Difusão Do Calor

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4- Método de Diferenças Finitas Aplicadoàs Equações Diferenciais Parciais.

4.1- Aproximação de Funções.4.1.1- Aproximação por Polinômios.4.1.2- Ajuste de Dados: M ínimos Quadrados.

4.2- Derivadas e Integrais Numéricas.4.2.1- Aproximação de Derivadas por Dif erenças Finitas.4.2.2- Aproximação de Integrais por Regras de IntegraçãoNumérica.4.3- Solução de Equações Diferenciais Ordinárias.

4.3.1- Problema de Valor Inicial.4.3.2- Problema de Val or de Contorno.4.4- Solução de Equações Diferenciais Parciais.

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA E QUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS


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Problema 1 Equação do Calor : Considere uma barra feita deum material condutor de calor sujeita a alguma f onte externa decalor e condições de contorno nos extremos da barra.

Suponha que as propriedades do material, a distribui ção detemperatura inicial e a fonte externa dependem apenas de enão das direções na seção transversal e nem do tempo.

O fenômeno de condu ção do calor nesta barra pode sermodelado pela seguinte equa ção:

onde é o coeficiente de condu ção do calor e é a fonteexterna de calor ( Equação da Difusão Estacionária Unidimensional ).

x

4.3.2- Problema de Valor de Contorno ( PVC ).

{

Fonte Externa

Difusão

( )( ) ( ) ] , [ (EDO)

d du xk x g x x a bdx dx

æ ö- = " Îç ÷è ø144424443

( )g x( )k x


3/32

Se o material é homogêneo, então não depende de e aEDO se transforma em:

Condições de Contorno : Destacamos três tipos de condi ções decontorno

Tipo 1- A temperatura é conhecida nos extremos do intervalor

Tipo 2- O fluxo de calor é conhecido em algum extremo dointervalo

Tipo 3- Se conhece em algum extremo do intervalo umacombinação das duas condi ções anteriores

x


{

Fonte ExternaDifusão

( )( ) ] , [ (EDO)

d u xk g x x a bdx

- = " Î2

214243

( )k x

{( ) , ( ) Condição de Dirichleta bu a u u b u= =

{( ) ( ) ou Condição de Neumanna bdu a du bq q

dx dx= =

{( ) ( )( ) ( ) ou ( ) ( ) Condição de Robina bdu a du bk a u a r k b u b r

dx dxa a - + = - + =


4/32

Exemplo 1 : Resolva o seguinte PVC

Este problema é tão simples que pode ser resolvido de formaexata:


{

{


( )( ) ] , [ (EDO)

( ) , ( ) Condição de Dirichleta b

d u xk g x x a bdx

u a u u b u

- = " Î

= =

2

214243

{( ) Primitiva

( ) ( )( ) ou ( ) Primeira Integração

G x

d u x du xk dx g x dx k g x dx C dx dx

- = - = +ò ò ò1

212 14243

{( ) Primitiva

( )( ) ou ( ) ( ) Segunda Integração

G x

du xk dx G x dx C dx ku x G x dx C x C dx

- = + - = + +ò ò ò ò2

1 1 1 1 214243

{( ) ( ) Primeira Condição de Contornoku a G a C a C - = + +

2 1 2

{( ) ( ) Segunda Condição de Contornoku b G b C b C - = + +2 1 2[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

e ( ) ( )k u b u a G b G a k u b u a G b G aC C ku b G b

b a b a- - + - - - + -= = - - -

- -2 2 2 2

1 2 2


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Se aproximamos a derivada segunda pela formula de diferençacentrada :

Então a aproxima ção pelo MDF para o PVC anterior consiste emencontrar que satisf az

onde a malha usada para discretizar o problema é:

Esta equação pode ser reescrita na f orma:


)( ii xuU »

211

22

2

2

)(2

)()()(2)())(()(

xU U U

x x xu xu x xu xu D

dx xud iiiiii

ii

D+-»

DD-+-D+=» -+

{ ContorndeCondições2 ,(EDO) 0 )()(

2

0

211

bna

iiii

uU uU ni xg x

U U U k

==


6/32

Note que isto é um sistema linear de n-1 equações com n-1incógnitas que pode ser resolvido pelos m étodos já estudados.


{ )(onde ,C.C.2 ,

(EDO) 0 ]2[)(

0

112

iibna

iiii

xgguU uU

nigU U U xk

===


7/32

O erro em cada ponto:

Já que , então o erro global pode serobtido integrando duas vezes a EDO anterior:

Ou seja,

Logo para este problema o erro global também é de ordem 2 aoigual que o erro local . Isto garante a Estabilidade e Consistênciado método e conseqüentemente a Convergência .


)2( MDFoAplicando (1)0)(,0)(

[,] )()(

)1()1(2

2

LGnn L

beae

ba x xdx

xed k EEA

E

-=Þïþ

ïý

ü

==

Î"-=--´-

úû

ùêë

éD-»

4

42 )()(

121

)(Edx

xud xk x L

úúûù

êêëé ÷÷ ø

öççè æ ÷÷ ø

öççè æ -+D+D--»

2

2

2

2

2

22

2

22 )()()()(

121)()(

121)(

dxaud

dxbud x

dxaud x

dx xud xk xe

( ) ( )( )e x C x x» D 2

[ ] [ ]( ) ( ), , ( ) ( ) ( ), , ( )G i n n x e x e x x C x C x= » DT T

E 20 0L L


8/32

Um caso do Exemplo 1 : Resolva o seguinte PVC

Este problema é tão simples que pode ser resolvido de formaexata:

Construímos a malha na forma

usamos n=5 e n=20


{

{

Fonte Externa

Difusão

( ) ] , [ (EDO)

( ) , ( ) Condição de Dirichletk

d u x xdx

u u=

- = " Î

= =

2

2

1

0 0 1

0 0 1 1

14243

( ) onde e ou ( )u x C x C C C u x x- = + = - = =1 2 1 21 0

( ), , , , ,i

b a x a i x x i nn-= + D D = =0 1 L

{

( )( ) ] , [

( ) , ( )( )

( )( )( ) ( ) ( ) , ( )

( )como ( )

L

L

L

d e xk x x a bdx

e a e b ke x C x C e xd u x x k x e a e b

dx

d x xdx

ü- = - " Î ï

ï= = ï - = +ìï Þ Þ =é ù ý í» - D = =îê ú ïë û ï

ï= Þ = ï

þ

E

E

E

2

2

1 242

4

4

4

0 001

0 012

0 0


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0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 10

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

E x a t aD F C

0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1- 0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

E x a t aD F C

]1,0[ 0)( Î"= x xe

Erro global zero para todos os pontos .Ou seja, a solução do método numéricocorresponde ao interpolante . Neste caso,isto é possível por dois motivos :

1- porque o método é estável econsistente , logo convergente

2- porque a solução exata é umpolinômio linear e nossa aproximação éde segunda ordem de prec isão .

Se a solução exata fosse um polinômiode grau maior que 1 o erro s eriapequeno, mas não zero.

]1,0[ ))(()( 2 Î"D» x x xC xe

n=5

n=20


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Problema 1 Equação do Calor : Considere o mesmo problema1 anterior. Ou seja, o fenômeno de condu ção do calor numabarra unimensional :

Mas agora com condições de contorno de Dirichlet (tipo 1) e de

Neumann (tipo 2) :1- A temperatura é conhecida num extremo do intervalo

2- O fluxo de calor é conhecido em algum extremo do intervalo

Impondo condição de Neumann nos dois extremos do intervalo oproblema é mal posto : infinitas soluções ou nenhuma!


{


( )( ) ( ) ] , [ (EDO)

d du xk x g x x a bdx dx

æ ö- = " Îç ÷è ø144424443

{( ) Condição de Dirichletbu b u=

{( ) Condição de Neumannadu a qdx =


11/32

Exemplo 1.1 : Suponha , logo

Este problema é tão simples que pode ser resolvido de forma

exata:Construímos a malha na forma


{Fonte Externa

Difusão

( ) ] , [ (EDO)

( ), ( )

k

d u x xdx

du udx

=

- = " Î

= =

2

2

1

0 0 1

01 1 2

14243

( ) onde e ou ( )u x C x C C C u x x= + = = = +

1 2 1 21 1 1( )

, , , , ,ib a x a i x x i n

n-= + D D = =0 1 L

{

( )( ) ] , [

( ), ( ) ( )

( )( )( ) , ( )( ) ( )

( )como ( )

L

L

L

d e x x xdx

de e e x C x C dxe xded u x e x x dxdx

d x xdx

ü- = - " Î ï

ïï= = = +ìïï ï

Þ Þ =ý íé ù = =ï ï» - D îê ú ïë ûïï= Þ = ïþ

E

E

E

2

2

1 2

42

4

4

4

0 1

00 1 0

001 0 1 012

0 0

( )k x =1 ( )g x =0

Novamente o erro gl obal é zero! (Interpolante)

)()( iii xuU xe -=


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Para resolver numericamente este problema precisamosdeterminar no extremo esquerdo do intervalo porque acondição neste ponto é de Neumann . Entre as várias formas defazer isto destacamos duas :

Primeira Forma: Aproximamos a derivada neste ponto por umaformula adiantada

Obtemos o seguinte si stema que difere do caso de condição decontorno de Dirichlet apenas na primeira linha.


U 0

( ) ( ) ( )( ( )) U U du u x u D udx x x+ -+ D -» = » =D D1 00 0 00 1

{

[ ] (EDO)( )

[ ] , C. C.

ii i i

n

U U U g i n x

U U U x

- +- - + = " <


13/32

Na forma matricial

A solução deste sistema é de primeira ordem de precisão

porque o erro local no estremo esquerdo é

expandindo em serie de Taylor entorno do ponto parae substituindo na equa ção anterior obtemos

Depois de substituir a condição de contorno . Este erro

de primeira ordem neste ponto se propaga para os outros pontos


( )

( )

( )

, onde( )n n

i

i

i n

x x

x

=

=

= -

´

D -Dé ùê ú-ê úê ú--= = ê úD ê úê ú-ê ú

-ë û

A U F A

0

1

2

1

1 2 11 2 11

1 2 11 2

O O O ,

( )n

nn

U g

U gU

k g U U x

--

é ùé ù ê úê ú

ê úê ú ê úê ú= = ê úê ú ê úê ú ê úê ú +ê úë û Dë û

U F

0 1

1 2

2

11 2

1

MM

( ) [ ] para L n n n n L L u u i´ ´= - Þ = + Þ = - - =DE A u F A u F E E

1 00

11 0

x =0 0 u1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (( ) ) ( ) L du x d u x d u x x x O x x O x x dx dx dxé ù= D + D + D - = D + Dê úD ë ûE

2 22 20 0 0

2 201 1 11

2 2( )du

dx =0 1


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Segunda Forma: Aproximamos a derivada no contorno por umaformula de di ferença adiantada de segunda ordem :

Obtemos o seguinte si stema que difere do caso anterior apenasna primeira linha.


( ) U U U dudx x

- +» =D

0 1 23 40 12

{

[ ] (EDO)

( )[ ] , C. C.

ii i i

n

U U U g i n

xU U U U

- +- - + = " < <

D- + = =

D

1 12

0 1 2

12 0

13 4 1 0 2

2

( )

( )

( )

, onde( )

i

i

n n

i n

x x x

x

=

=

=

´

-

é ù- D D - Dê úê ú

-ê ú- ê ú-= = ê úDê úê ú-ê ú

-ê úë û

A U F A2

0

1

1

3 12

2 2

1 2 11 1 2 1

1 2 11 2

O O O

,

( )n

nn

U gU g

U

k g U U x

--

é ùé ù

ê úê ú ê úê ú ê úê ú= = ê úê ú ê úê ú ê úê ú +ê úë û Dë û

U F

0 1

1 2

2

11 2

1

MM


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A solução deste sistema é de segunda ordem de precisãoporque o erro local no estremo esquerdo é

expandindo em serie de Taylor entorno do ponto parae substituindo na equa ção anterior obtemos

Depois de substituir a condição de contorno . O erro

neste ponto é da mesma ordem que para o restante dos pontosda malha . Logo, devemos esperar que o erro global seja desegunda ordem . Diferentemente da primeira aproxima ção da CConde o erro global foi de primeira ordem , já que o erro local noprimeiro ponto era de primeira ordem e esta ordem se propagoupara os outros pontos da malha.


( ) [ ] para L n n n n L L u u u i x´ ´= - Þ = + Þ = - + - =DE A u F A u F E E

0 1 20 1 3 4 1 02 x =0 0 eu u1 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (( ) ) ( ) (( ) ) Ldu x d u x d u x x x O x x O x

x dx dx dx

é ù= D + D + D - = D + Dê ú

D ë ûE

3 33 3 2 20 0 0

3 30

1 2 12 1

2 3 3 ( )dudx

=0 1


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Problema 2 Equação Unidimensional da Difusão-AdveçãoLinear e Estacionaria : Considere o fenômeno da distribui ção de

temperatura num tubo unidimensional por onde escoa um f luidocom velocidade e com coef iciente de difusão do calor . Aequação que descreve matematicamente este f enômeno é:

onde é a fonte externa de calor e condi ções de contorno nosextremos de Dirichlet.

Suponha para simplif icar que os coef icientes da equação sãoconstantes (não dependem da posi ção).

w r


{

Fonte ExternaAdveçãoDifusão

( ) ( )( ) ( ) ] , [ (EDO)

d du x du xk x g x x a bdx dx dx

w æ ö- + = " Îç ÷è ø 14243144424443

( )k x

( )g x

( ) , Condição

( ) . de Dirichleta

b

u a uu b u

= üìý í= îþ


17/32

Então o PVC se transforma em:

Este problema pode ser discretizado usando a aproxima ção jáestudada de diferenças finitas centradas de segunda ordem:

Quando esta aproxima ção é ESTÁVELe CONSISTENTE.Ou seja, quando a difusão é dominante perante a advecção(convecção) a solução numérica obtida através do MDF


ïþ

ïý

ü

==

Î"=+-

ba ubuuau

ba x xgdx

xdu

dx

xud k

)(,)(

[,] )()()(

2

2

w

211

22

2

2

)(

2

)(

)()(2)())((

)(

x

U U U

x

x xu xu x xu xu Ddx

xud iiiiiii

i

D

+-»D

D-+-D+=» -+

( ), , , , ,i

b aa i x x i nn

-= + D D = =0 1 L

xU U

xuu

x x xu x xu xu D

dx xdu iiiiii

ii

D-»

D-=

DD--D+=» -+-+

222)()(

))(()( 1111

0

k


18/32

CONVERGEpara a solução exata do PVC . Note que se ,então este problema se transforma no problema puramente

difusivo que possui segunda ordem de preci são para estaaproximação:

Note também que se ( efeitos advectivos desprezíveis ) a

solução do PVC deve ser muito pr óxima da solução do problemapuramente difusivo .

Entretanto, quando esta aproxima ção é INESTÁVEL. Ouseja, quando a advecção é dominante perante a difusão asolução numérica obtida através deste MDF apresentaoscilações espúrias (não correspondem à solução exata). Emtermos físicos é diminuída a possibilidade do calor se di fundirem direções diferentes da direção de escoamento do f luido .Lembre que o calor se difunde na dire ção do gradiente.


ïþ

ïýü

==

Î"=-

ba ubuuau

ba x xgdx

xud k

)(,)(

[,] )()(

2

2

0=w r

0»w r

k >>w r

w r


19/32

Este problema pode ser escrito numa f orma mais apropriada. Ouseja, em termos de um parâmetro adimensional que indique a

razão entre a velocidade de advecção e a velocidade detransporte devido a di fusão . O Número de Péclet

é usado para def inir este parâmetro , onde temdimensão espacial. Então o PVC pode ser escrito como:

Note que se ( advecção dominante ) e para

a difusão dominante temos .Quando ( difusão dominante ) a soluçãonumérica deste problema é próxima da solução do problemapuramente difusivo . Ambas EDO são de segunda ordem e


ek Pw e >> Þ >> Þ


20/32

requerem da mesma quantidade de condi ções de contorno(duas) para possuir uma única solução. Neste caso se diz que a

perturbação introduzida pela advecção é uma perturbaçãoregular .

Quando ( advecção dominante ) se diz que aperturbação introduzida pela advecção é uma perturbaçãosingular (não regular ). Neste caso devemos esperar di ficuldadespara o método numérico quando . Note que no limite aEDO se transforma em uma EDO de primeira ordem:

que precisa apenas de uma condi ção de contorno ( inflowboundary ) para possuir uma única solução ( problema puramenteadvectivo ). Ou seja, quando a inf luencia de uma dascondições de contorno no PVC se torna desprez ível. Isto indicaque a solução exata deve ter um comportamento parecido com a


e ® 0

ek Pw e >> Þ >> Þ


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solução do problema puramente advectivo e que perto destecontorno ( outflow boundary ) a solução exata pode apresentar

derivada grande. Em outra palavras, nesta região perto docontorno onde o f luido está saindo ( outflow boundary ) a soluçãoexata pode tender a ter salto (discontinuidades ou derivadagrande ). As regiões onde a derivada da solu ção é muito grandesão chamadas de regiões com camadas limites externa

(boundary layer ). Pode ser mostrado que para este tipo deproblema a espessura desta camada limite externa é da ordemde quando .

Por exemplo, a solu ção do PVC


e ® 0( )O e

] [ïî

ïíì

--=

---=

+=

ïþ

ïýü

==

Î"=+---

-

]1[

][ ,

]1[

][)(

)( ,)(

, 0)()(

)()(

)(

21

212

2

e e

e

e

abab

a x

euuC

euuuC

eC C xu

ubuuau

ba xdx

xdudx

xud abab

aba


22/32

Considere para este exemplo . Logo


( )O e

//

/ / /ou ( )

x x eu x e

e e e

e

e

e e e

é ù-ë û= - + = +é ù é ù é ù- - -ë û ë û ë û

1 1 1

12 21 1 2

1 1 1

Espessura dacamada l imiteexterna é daordem dequando .e ® 00 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1 .0 1 .1

0

1

2

3

x

u

ïî

ïíì

-=

--=

+=

ïþ

ïý

ü

--=

---=

+=

--

-

]1[2

,]1[

21

)(

]1[

][ ,

]1[

][

)(

11)()(

)(

21

21

21

21

e e

e

e e

e

eC

eC

eC C xu

euuC

euuuC

eC C xu x

abab

a x

ababa

3 ,1,1 ,0 ==== ba uuba

ïïï

î

ïïï

í

ì

=

001.0

01.0

1.0

5.01

e


23/32

Este problema pode ser discretizado usando a aproxima ção jáestudada de diferenças finitas centradas :

E aproximamos as deri vadas por

Obtemos o seguinte sistema linear algébrico de equações


211

22

2

2

)(2

)()()(2)())(()(

xU U U

x x xu xu x xu xu D

dx xud iiiiiiii D

+-»D

D-+-D+=» -+

( ), , , , ,i

b aa i x x i nn

-= + D D = =0 1 L

xU U

xuu

x x xu x xu xu D

dx xdu iiiiii

ii

D-»

D-=

DD--D+=» -+-+

222)()(

))(()( 1111

0

[ ] [ ]( )/

( )/ ( )/

( )( ) ( ) ] , [

,( ) , ( )

x a

b a b aab a b a

a b

u x C C ed u x du x x a b u u u udx dx C C uu a u u b u e e

e

e e

e

-

- -

ì = +ì üï- + = " Îï ï - -í ý í = = -ï ï ï= = é ù é ù- -þî ë û ë ûî

2 1 2

2

2 1

0

1 1


24/32


AdvectivoDifusivo)1()1(

1

3

2

1

2

2

)1()1( AAA e U onde,

2)(

0

02)(

UA +=

úú

úúúú

û

ù

êê

êêêê

ë

é

=

úúú

úúúúú

û

ù

êêê

êêêêê

ë

é

D-

D

D+

D

= -´-

-

-´- nn

nbb

aa

nn

U

U U U

xu

xu

xu

xu

MMe

e

úúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêê

ë

é

--

--

D=

01

101

101

101

10

2

1AAdvectivo

OOO x

úúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêê

ë

é

--

--

-

D

-=

21

121

121

121

12

)(A 2Difusivo

OOO x

e

[ ] [ ]

{ C.C.2 ,

0 02

12

)(

0

11112

bna

ADVECÇÃO

ii

DIFUSÃO

iii

uU uU

niU U x

U U U x

==


25/32

Se resolvemos este PVC com diferenças finitas centradas desegunda ordem de precisão obtemos:


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4ExataDFC

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.10

1

2

3

x

u

, , .e =1 0 001L

k h

PPhk

ee

w

w

e

rr ==º e

1.0 ,10

,10,1==

==

eP.hne

2.0 ,10,10,5.0

====

eP.hne

1 ,10

,10,1.0==

==

eP.hne

10 ,10,10,01.0

====

eP.hne

100 ,10,10,001.0

====

eP.hne


26/32

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ExataDFC

Se refinamos a malha para diferenças finitas centradas desegunda ordem de precisão obtemos:


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.10

1

2

3

x

u

, , .e =1 0 001L

k h

PPhk

ee

w

w

e

rr ==º e

1.0 ,050,20,5.0

====

eP.hne

5.0 ,050

,20,1.0==

==

eP.hne

5 ,050

,20,01.0==

==

eP.hne

50 ,050,20,001.0

====

eP.hne

05.0 ,050

,20,1==

==

eP.hne


27/32

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.10

1

2

3

x

u

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3ExataDFC

Se refinamos a malha mais ainda para diferenças finitascentradas de segunda ordem de precisão obtemos:


, , .e =1 0 001L

k h

PPhk

ee

w

w

e

rr ==º e

025.0 ,0250

,40,1==

==

eP.hne

05.0 ,0250,40,5.0==

==eP.h

ne

25.0 ,0250

,40,1.0==

==

eP.hne

5.2 ,0250

,40,01.0==

==

eP.hne

25 ,0250,40,001.0

====eP.h

ne


28/32

Em geral, dizemos que estamos em presen ça de um problemasingularmente perturbado quando o coeficiente da derivada de

ordem maior da EDO é um parâmetro pequeno :

Problemas Singularmente Perturbados apresentam desafiosnuméricos já que a solução pode variar rapidamente num

pequeno intervalo ( camadas limites externas e/ou internas ).Nestas regiões onde a derivada é muito grande o erro para aaproximação por diferenças finitas centradas pode ser muitogrande .

Lembrando que para diferenças finitas centradas de segundaordem o erro local é proporcional a se não éo suficientemente pequeno, então o erro ser á grande na regiãoonde existem camadas limites. E mesmo que o erro local sejagrande apenas nestas regiões o erro global pode ser grande.


e


29/32

Para que o erro global recupere a convergência com segundaordem de precisão é necessário refinar a malha . Na maioria dos

casos o refinamento necessário para recuperar as propriedadesde convergência exige que se aumente muito os graus deliberdade do problema (número de incógnitas). Isto implica numaumento do custo computacional (memória , tempo de calculo eround-off error ).

Refinar quanto a malha?

Refinar a malha até que permita obter .

Além das camadas externas a solução do problema pode tercamadas internas .

Atualmente, desenvol ver boas aproxima ções para resolverProblemas Singularmente Perturbados é uns dos temas centraisem matemática aplicada ( Técnicas de Estabili zação ).


x hD = eh

Pk w

e = >1 1r


30/32

Problema 3 Equação Unidimensional da Difusão-Adveção-Reação Linear e Estacionaria : Considere o fenômeno da

distribuição de temperatura num tubo unidimensional por ondeescoa um f luido com velocidade , com coef iciente de difusãodo calor e com coef iciente reativo . A equa ção quedescreve matematicamente este f enômeno é:

onde é a fonte externa de calor e condi ções de contorno nosextremos de Dirichlet . O termo reativo modela uma fonte ousumidouro interno de calor devido a alguma rea ção, porexemplo, química.

w r


( )k x

( )g x

( ) , Condição

( ) . de Dirichlet

a

b

u a u

u b u

= üìý í

= îþ

s

{EDO [,] )()(

)()(

ExternaFonteReaçãoAdvecçãoDifusão

ba x xg xudx

xdudx xduk

dxd Î"=++÷

ø öç

è æ -

321434214 4 34 4 21s w


31/32

Esta equação não modela apenas a transf erência de calorunidimensional, linear e estacionaria. A Equação da difusão-

advecção-reação também é conhecida como Equação deTransporte e modela o transporte de uma grandeza f ísica. Estagrandeza pode ser, por exemplo, concentra ção, calor, etc.

Quando e o fenômeno difusivo é dominante . Nestecaso o MDF centrada de segunda ordem de precisão é ESTÁVELe CONSISTENTE.

Quando e/ou a difusão não é dominante . Neste casoteremos um problema singularmente perturbado e o MDFcentrada de segunda ordem de precisão é INSTÁVEL. Para que oerro global recupere a convergência com segunda ordem deprecisão é necessário refinar a malha .


s >>k

{EDO [,] )()(

)()(

ExternaFonteReaçãoAdvecçãoDifusão

ba x xg xudx

xdudx xduk

dxd Î"=++÷

ø öç

è æ - 321434214 4 34 4 21

s w

w r>>k

k >>w r k >>s


32/32

Frase do Dia Although to penetrate i nto the intimate

mysteries of nature and thence to l earn thetrue causes of phenomena i s not allowed tous, nevertheless it can happen that a certai nfictive hypothesis may suffice for explainingmany phenomena.

Leonhard Euler (A mesma das Aula 9, 11, 12,13)

... the study of Euler s works will remain thebest for different fields of mathematics andnothing else can replace it.

Friedrich Gauss

questão 1 - pág 2 - equação da difusão do calor

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