Technische Universität DortmundFakultät für Mathematik

QUATERNIONEN

Ausarbeitung im Rahmen des Seminars �Geometrie SS 2011�

Vorgelegt von: Ledoux, Tabea

Bfp �Mathematik (Kern) und Sportwissenschaft�

Matrikelnummer: 130999

Semester: 6

Im Winkel 30

58091 Hagen

Email-Addresse: tabea.ledoux@onlinehome.de

Vorgelegt bei: Prof. Dr. Lorenz Schwachhöfer

30.04.2011

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Wiederholung 5

2.1 Körper, Schiefkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Gruppenhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Wichtige Untergruppen von GL(n,R) bzw. GL(n,C) . . . . . . . . . . 6

2.4 Die Sphäre Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Komplexe Zahlen als reelle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Quaternionen 7

3.1 De�nition und Darstellungen der Quaternionen . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 De�nition und Darstellung 1: Quaternione als reeller Vektor im R4 7

3.1.2 Darstellung 2: Quaternione als komplexer Vektor . . . . . . . . 10

3.1.3 Darstellung 3: Quaternione als Skalar und Vektor . . . . . . . . 11

3.1.4 Darstellung 4: Quaternione als komplexe Matrix . . . . . . . . . 12

3.2 Einheitsquaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.1 Einheitsquaternionen und die Gruppe SU(2) . . . . . . . . . . . 14

3.2.2 Einheitsquaternionen und Drehmatrizen . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Symplektische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.1 De�nition: Symplektische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.2 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.3 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Zusammenfassung und Anhang 22

4.1 Handout: Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Einige Grundbegri�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Literatur 25

1 Einleitung

Die vorliegende Ausarbeitung über Quaternionen basiert im Wesentlichen auf die Literatur

�Matrizen und Lie-Gruppen� von Wolfgang Kühnel (s. [8]). Sie baut auf das vorher behandelte

Seminarthema �Matrizengruppen über R und C� (siehe Seminarausarbeitung von Nora Fuÿ)

auf. Dort werden wichtige Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe GL (n,K) sowie die

Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen beschrieben:

z = a+ bi mit a, b ∈ R, i2 = −1

Nun besteht die Frage, ob man diesen Prozess der Erweiterung wiederholen kann. Somit

hat man zunächst den 1-dimensionalen Imaginärteil einer komplexen Zahl durch einen 2-

dimensionalen Imaginärteil ersetzt. Jedoch konnte keine sinnvolle Multiplikation de�niert wer-

den.

Abb. 1: William Rowan Hamilton(1805− 1865) [3]

Abb. 2: Gedenktafel an der BroomBridge in Dublin: Hamilton ritzte1843 die Multiplikationsregelnspontan in den Stein [3]

Schlieÿlich entdeckte William Rowan Hamilton (siehe Abb.1), wie man auf der Menge

H = {a+ bi+ cj + dk|a, b, c, d ∈ R}

mit einem 1-dimensionalen Realteil und einem 3−dimensionalen Imaginärteil eine Multiplika-

tion de�niert, sodass man zumindest einen Schiefkörper erhält. D.h.: Auf die Kommutativität

bzgl. der Multiplikation musste verzichtet werden. Diese Menge nannte er Quaternionen. Am

16. Oktober 1843 schrieb Hamilton einen Brief an seinem Sohn, in dem er erzählt, wie er dazu

kam, die Multiplikationsregeln in einem Stein an der Broom Bridge zu ritzen (s. Abb. 2):

�On the 16 th of October, 1843 [...] I was walking [...] and your mother was walking

3

with me, along the Royal Canal [...] I felt at once the importance. An electric circuit

seemed to close; and a spark �ashed forth, the herald (as I foresaw, immediately) of

many long years to come of de�nitely directed thought and work, by myself it spared, and

at all events on the part of others, if I should even be allowed to live long enough

distinctly to communicate the discovery. Nor should I resist the impuls -

unphilosophically as it may have been - to cut with a knife on one stone at Brougham

Bridge, as we passed it, the fundamental formula with the symbols i, j, k; namely,

i2 = j2 = k2 = ijk = −1 which contains the Solution of the Problem, but of course the

inscription, has long since mouldered away� [1]

Ansätze zu den Formeln gab es auch schon vorher im Vier-Quadrate-Satz bei Leonhard Euler

(1748, s. [5]). Insbesondere beschrieb Hamilton, wie man mithilfe von Quaternionen Drehungen

im R3 darstellen kann. Cayley gab 1858 eine Darstellung von Quaternionen durch komplexe

Matrizen an.

In dieser Ausarbeitung werden zunächst einige Grundbegri�e in Kapitel 2 wiederholt. Kapitel

3 beinhaltet verschiedene Darstellungen der Quaternionen: z.B. als 4-dimensionaler reeller

Vektor, als komplexer Vektor und als komplexe Matrix. Danach wird die Untergruppe der

sogenannten Einheitsquaternionen hervorgehoben, mit deren Hilfe man Drehungen im R3

darstellen kann. Kapitel 3.3 behandelt die symplektische Gruppe für höhere Dimensionen.

Schlieÿlich folgt eine kurze Zusammenfassung in Form eines Handouts.

4

2 Wiederholung

2.1 Körper, Schiefkörper

Ein Körper besteht aus einer Menge K von Elementen zusammen mit zwei Verknüpfungen +

und ·, die je zwei Elementen x, y ∈ K wieder ein Element x+ y bzw. x · y von K zuordnen. K

heiÿt Körper, wenn folgende Axiome bzgl. der Addition und Multiplikation für alle a, b, c ∈ K

erfüllt sind:

1. Assoziativität: a+ (b+ c) = (a+ b) + c und a · (b · c) = (a · b) · c

2. Kommutativität: a+ b = b+ a und a · b = b · a

3. Es gibt genau ein neutrales Element 0 ∈ K mit 0 + a = a.

Es gibt genau ein neutrales Element 1 ∈ K \ {0} mit 1 · a = a · 1 = a.

4. Zu jedem a ∈ K existiert genau ein additives Inverses −a mit (−a) + a = 0.

Zu jedem a ∈ K \ {0} existiert genau ein multiplikatives Inverses a−1 mit a−1 · a = 1 =

a · a−1.

5. Distributivgesetze: a · (b+ c) = a · b+ a · c und (a+ b) · c = a · c+ b · c

Ein Schiefkörper besitzt alle Eigenschaften eines Körpers mit Ausnahme der Kommutativität

der Multiplikation.

2.2 Gruppenhomomorphismus

Seien G und H Gruppen. Eine Abbildung f : G 7→ H heiÿt Gruppenhomomorphismus, falls

gilt: ∀ p, q ∈ G : f(p · q) = f(p) · f(q). Ein bijektiver Homomorphismus heiÿt Isomorphismus.

Es sei an folgendem Satz erinnert:

Sei f ein Homomorphismus. Dann gilt: ker f = {eG} ⇔ f ist injektiv,

d.h. für die Injektivität eines Homomorphismus reicht es zu zeigen: f(q) = eH ⇒ q = eG.

Beweis:

Zu zeigen: ker f = {eG} ⇒ f ist injektiv. Für die Rückrichtung sei auf die Literatur [6]

verwiesen. Es gelte nun ker f = {eG}. Sei f(p) = f(q). Insbesondere mithilfe der Eigenschaften

eines Homomorphismus folgt:

f(pq−1) = f(p)f(q−1) = f(p)f(q)−1 = f(p)f(p)−1 = eH ⇒ pq−1 = eG ⇒ p = q ⇒ f ist injektiv

5

2.3 Wichtige Untergruppen von GL(n,R) bzw. GL(n,C)

Es folgen wichtige Untergruppen von GL(n,R) bzw. GL(n,C):

Untergruppen Bezeichnung

GL+(n,R) = {A ∈ GL(n,R)|detA > 0} Allgemeine lineare Gruppe

O(n) = {A ∈ GL(n,R)|AAT = E} Orthogonale Gruppe

SO(n) = {A ∈ O(n)|detA = 1} Drehgruppe

SL(n,R) = {A ∈ GL(n,R)| detA = 1} Spezielle lineare Gruppe

U(n) = {A ∈ GL(n,C)|AAT = E} Unitäre Gruppe

SU(n) = {A ∈ U(n)|detA = 1} Spezielle unitäre Gruppe

Die orthogonale Gruppe O(n) ist die Gruppe der orthogonalen reellen (n× n)-Matrizen. Die

Determinante einer orthogonalen Matrix A kann mit folgender Begründung nur die Werte ±1

annehmen: det(A AT︸︷︷︸=A−1

) = det(A) ·det(AT )︸ ︷︷ ︸= det(A)

= det(E) = 1⇒ (det(A))2 = 1, also det(A) = ±1.

Insbesondere ist die Untergruppe SO(3) die Gruppe aller Drehungen um eine durch den

Koordinatenursprung verlaufende Achse im dreidimensionalen Raum.

2.4 Die Sphäre Sn

Die Einheitssphäre ist wie folgt de�niert: S = {x ∈ X : ‖x‖ = 1}, wobei (X, ‖·‖) ein nor-

mierter Raum ist. Die Einheits-3-Sphäre (auch S3) ist eine 3-dimensionale Sphäre im 4-

dimensionalen Raum.

2.5 Komplexe Zahlen als reelle Matrizen

Wir wissen: Eine C−lineare Abbildung kann auch als R−lineare Abbildung aufgefasst werden.

Die Gruppe GL(1,C) = C \ {0} ist eine Untergruppe von GL(2,R). Wie im letzten Vortrag

gezeigt, entspricht die Multiplikation mit einer komplexen Zahl z = a+ ib der Multiplikation

mit der reellen Matrix

Az =

a −b

b a

.

Dies de�niert einen injektiven Gruppenhomomorphismus GL(1,C)→ GL(2,R). Entsprechen-

des gilt für höhere Dimensionen mit der Einbettung GL(n,C)→ GL(2n,R).

6

3 Quaternionen

Quaternionen stellen eine Erweiterung der komplexen Zahlen dar und spielen eine wichtige

Rolle für die Darstellung von Drehungen im R3.

3.1 De�nition und Darstellungen der Quaternionen

Zuerst werden 4 Darstellungen behandelt. Die Quaternionen können z.B als Punkt im R4,

aber auch als komplexe Matrix aufgefasst werden.

3.1.1 De�nition und Darstellung 1: Quaternione als reeller Vektor im R4

Der Begri�Quaternione stammt von dem lateinischen Wort �quattuor� ab und heiÿt übersetzt

�vier�. Die Quaternionen H, der erste Buchstabe des Namens ihres Entdeckers William Rowan

Hamilton, stellen einen 4−dimensionalen Vektorraum dar:

H = {a+ bi+ cj + dk|a, b, c, d ∈ R} (D.1)

Dieser wird von der Basis {1, i, j, k} aufgespannt. Eine Quaternione q = a + bi + cj + dk ist

ähnlich konstruiert wie eine komplexe Zahl a + ib mit a, b ∈ R und i2 = −1. Sie besteht

ebenso aus einem 1−dimensionalen Realteil a ∈ R. Jedoch ist der Imaginärteil nicht nur

1-dimensional, sondern 3-dimensional. Die drei Basiselemente i, j, k erfüllen die sogenannten

Hamilton - Regeln für ihre Multiplikation:

ij = −ji = k (1)

jk = −kj = i (2)

ki = −ik = j (3)

i2 = j2 = k2 = −1 (4)

Es gilt: ia = ai, ja = aj, ka = ak ∀ a ∈ R

Für die Summen a+ bi+ cj + dk sind die Assoziativität und die Distributivität erfüllt.

Behauptung:

Mithilfe dieser Regeln bilden die Quaternionen einen Schiefkörper (s. 2.1) mit der Addition

und Multiplikation, d.h. eine Quaternione q = a+bi+cj+dk erfüllt alle Gesetze, die in einem

Körper gelten, auÿer die Kommutativität bzgl. der Multiplikation:

7

Seien q, q1, q2, q3 ∈ H.

1. Assoziativität: q1 + (q2 + q3) = (q1 + q2) + q3 und q1 · (q2 · q3) = (q1 · q2) · q3

2. Kommutativität bzgl. der Addition: q1 + q2 = q2 + q1,

Keine Kommutativität bzgl. der Multiplikation: q1 · q2 6= q2 · q1

3. Es gibt genau ein neutrales Element 0 ∈ H mit 0 + q = q ∀ q ∈ H.

Es gibt genau ein neutrales Element 1 ∈ H \ {0} mit 1 · q = q · 1 = q ∀ q ∈ H.

4. Zu jedem q ∈ H gibt es genau ein inverses Element bezüglich der Addition: q+(−q) = 0.

Es gibt ein eindeutiges multiplikatives Inverses q−1 = |q|−2 q für alle q 6= 0.

5. Distributivität: q1 · (q2 + q3) = q1 · q2 + q1 · q3 und (q1 + q2) · q3 = q1 · q3 + q2 · q3

Beweis:

Zunächst betrachten wir die Addition. Diese geschieht komponentenweise:

q1 + q2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i+ (c1 + c2)j + (d1 + d2)k

Somit ergeben sich die Additionsgesetze einfach aus denen von R. Nun wird das Produkt

zweier Quaternionen erklärt. Dazu multipliziere man die Quaternionen aus und bringe sie

mithilfe der Hamiltonregeln auf die Form (D.1):

q1 · q2 = (a1 + b1i+ c1j + d1k) · (a2 + b2i+ c2j + d2k)

= a1a2 − b1b2 − c1c2 − d1d2

+i(a1b2 + b1a2 + c1d2 − d1c2)

+j(a1c2 − b1d2 + c1a2 + d1b2)

+k(a1d2 + b1c2 − c1b2 + d1a2)

Hierbei dürfen die reellen Zahlen �verschoben� werden: z.B gilt b1ia2 = ib1a2. Somit be-

steht das Produkt zweier Quaternionen wiederum aus einem 1-dimensionalen Realteil und

einem 3-dimensionalen Imaginärteil. Der Nachweis aller Schiefkörperaxiome mit Ausnahme

der Existenz eines multiplikativen Inversen geschieht durch einfaches Nachrechnen unter Be-

rücksichtigung der Hamilton-Regeln.

Beachte: Nichtkommutativität der Multiplikation

Folgendes Beispiel zeigt, dass die Multiplikation nicht für alle q kommutativ ist: Sei q1 = i

und q2 = j. Dann gilt wegen der Hamilton-Regel ij = −ji:

q1 · q2 = ij 6= ji = q2 · q1

8

Zum multiplikativen Inversen:

Der Nachweis geschieht analog zum Nachweis der Existenz des multiplikativen Inversen zur

komplexen Zahl: 1z = z

|z|2 mit z = a + bi und z = a − bi für z 6= 0. Die komplex konjugierte

Quaternione ist folgendermaÿen de�niert:

q = a− bi− cj − dk

Der Realteil bleibt also unverändert. Nur der Imaginärteil wird mit −1 multipliziert. Es gilt

mithilfe der Hamiltonregeln:

|q|2 = qq = (a+ bi+ cj + dk) · (a− bi− cj − dk) = a2 + b2 + c2 + d2 ∈ R+ (5)

Somit ergibt sich durch äquivalente Umformung für alle q 6= 0 das eindeutige multiplikative

Inverse:

q−1 =1

q= |q|−2 q

Es gilt dann die Rechenregel:

q1 · q2 = q2 · q1. (6)

Der Nachweis dieser Rechenregel kann durch einfaches Nachrechnen unter Verwendung des

oben berechneten Produktes von Quaternionen erfolgen.

Insgesamt kann man also eine Quaternione als reellen Vektor q = (a, b, c, d)T ∈ R4 au�assen.

Dies ergibt sich aus (D.1) durch Einsetzen der 4-dimensionalen reellen Einheitsvektoren:

e1 =

1

0

0

0

, i = e2 =

0

1

0

0

, j = e3 =

0

0

1

0

, k = e4 =

0

0

0

1

⇒ e1a+ ib+jc+kd =

a

b

c

d

∈ R4

Nun stellt sich die Frage, ob man eine Quaternione auch als komplexen Vektor darstellen

kann.

9

3.1.2 Darstellung 2: Quaternione als komplexer Vektor

Durch a ∈ R 7→ a+0 · i ∈ C können die reellen Zahlen R als Teilmenge der komplexen Zahlen

aufgefasst werden. Mit a+ b · i ∈ C 7→ a+ b · i+ 0 · j + 0 · k ∈ H sind die komplexe Zahlen C

Teilmenge der Quaternionen. Somit gilt:

R ⊆ C ⊆ H

Die komplexen Zahlen wurden aus den reellen Zahlen gewonnen: a + bi mit a, b ∈ R und

i2 = −1. Ebenso können die Quaternionen aus den komplexen Zahlen durch Hinzunahme

eines Elementes j mit j2 = −1 gewonnen werden:

q = a+ bi+ cj + dk(1)= (a+ bi)︸ ︷︷ ︸

z∈C

+(c+ di)︸ ︷︷ ︸w∈C

j

Somit ergibt sich die Darstellung 2 einer Quaternione:

H = {z + wj|z, w ∈ C} (D.2)

Dabei gilt mit j (a+ bi)︸ ︷︷ ︸=z

= ja+ bji(1)= aj − bij = (a− bi)︸ ︷︷ ︸

=z

j die Rechenregel:

jz = zj für z ∈ C (7)

Die komplex konjugierte Quaternione in (D.2) ergibt sich wie folgt:

q = z + wj = z + wj(6)= z − jw (7)

= z − wj (8)

Insgesamt kann also eine Quaternione auch als komplexer Vektor q = (z, w)T ∈ C2 aufgefasst

werden. Dies ergibt sich aus (D.2) durch Einsetzen der 2-dimensionalen reellen Einheitsvek-

toren:

e′1 =

1

0

, j = e′2 =

0

1

⇒ ze′1 + wj =

zw

∈ C2

Nun folgt eine Darstellung einer Quaternione, mithilfe derer man die Multiplikation innerhalb

des Imaginärteils einer Quaternione beschreiben kann.

10

3.1.3 Darstellung 3: Quaternione als Skalar und Vektor

Eine weitere Darstellungsform einer Quaternione besteht aus einem Skalar a ∈ R und Vektor

~v = (b, c, d)T ∈ R3:

H = {a+ (b, c, d)T |a, b, c, d ∈ R} (D.3)

Dies ergibt sich aus der (D.1) mit

i =

1

0

0

, j =

0

1

0

und k =

0

0

1

Für das Kreuzprodukt gelten folgende Regeln, die an die Hamilton-Regeln erinnern:

i× j = −j × i = k,

j × k = −k × j = i,

k × i = −i× k = j

Behauptung: Die Multiplikation innerhalb des Imaginärteils, der von i, j, k aufgespannt

wird, geschieht wie folgt: Seien q1, q2 ∈ ImH ∼= R3, d.h. q1 = (u1, u2, u3)T und q2 =

(v1, v2, v3)T . Dann gilt:

q1q2 = − 〈q1, q2〉︸ ︷︷ ︸Skalarprodukt

+ q1 × q2︸ ︷︷ ︸Kreuzprodukt im R3

(9)

Beweis (mithilfe der Hamiltonregeln und der De�nition des Kreuzproduktes im R3):

(a, q1)(b, q2) = (a+ u1i+ u2j + u3k)(b+ v1i+ v2j + v3k)

= ab+ av1i+ av2j + av3k

−u1v1 + bu1i− u1v3j + u1v2k

−u2v2 + u2v3i+ bu2j − u2v1k

−u3v3 − u3v2i+ u3v1j + u3bk

= ab− u1v1 − u2v2 − u3v3+a(v1i+ v2j + v3k) + b(u1i+ u2j + u3k)

+(u2v3 − u3v2)i+ (u3v1 − u1v3)j + (u1v2 − u2v1)k

= ab+ aq2 + bq1 − 〈q1, q2〉+ q1 × q1=⇒ (9)

11

3.1.4 Darstellung 4: Quaternione als komplexe Matrix

In Wiederholung 2.5 haben wir gesehen, wie man die komplexen Zahlen als reelle Matrizen

darstellen kann. So stellt sich die Frage, ob man die Vorgehensweise auch auf Quaternionen

als komplexe Matrizen übertragen kann. Wir wissen, dass eine C-lineare Abbildung auch als

R-lineare Abbildung aufgefasst werden kann. Nun erwartet man, dass auch eine H-lineare

Abbildung als C-lineare Abbildung aufgefasst werden kann. In (D.2) haben wir gesehen, dass

man eine Quaternione q = z+wj auch als komplexen Vektor mit den Komponenten z und w

au�assen kann. Zur Erinnerung: Die allgemeine lineare Gruppe GL(n,K) (s. 4.2) ist de�niert

als die Menge der (n, n)-Matrizen, die invertierbar sind.

Behauptung: f : GL (1,H) −→ GL(2,C), 0 6= q := z + wj 7→ Aq :=

z w

−w z

ist eine

Einbettung, d.h. ein injektiver Gruppenhomomorphismus (s. 2.2) mit z, w ∈ C.

Beweis:

Die GruppeGL (1,H) = {q | q 6= 0} ist eine Untergruppe (s. 4.2) vonGL(2,C) = {A ∈M2(C) |

det(A) 6= 0}. Seien q1, q2 ∈ GL(1,H) mit x, y, z, w ∈ C. Dann gilt:

q1q2 = (x+ yj)(z + wj) = xz + yjwj + xwj + yjz(7)=

:=o︷ ︸︸ ︷(xz − yw)+(

:=p︷ ︸︸ ︷xw + yz) j ∈ GL(1,H)

Hieran sieht man die Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation für eine Untergruppe. Auch

das Inverse von einem q ∈ GL(1,H) ist wieder in GL(1,H). Identi�ziert man nun q = z +wj

mit der komplexen (2, 2)-Matrix

Aq =

z w

−w z

=

a+ bi c+ di

−c+ di a− bi

,

wobei z = a + bi und w = c + di und q 6= 0 (det(Aq) = 0 ⇔ q = 0), ergibt sich dieselbe

Multiplikation als Multiplikation von Matrizen:

f(q1) · f(q2) =

x y

−y x

· z w

−w z

=

=o︷ ︸︸ ︷

xz − yw=p︷ ︸︸ ︷

xw + yz

−xw − yz︸ ︷︷ ︸=−p

xz − yw︸ ︷︷ ︸=o

= f(q1 · q2) (10)

Mit (10) folgt, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist. Nun bleibt noch die Injektivität zu

zeigen. Da f ein Homomorphismus ist, reicht für die Injektivität folgender Beweis (vgl. Satz

12

in 2.2):

f(z + wj) = E ⇔

z w

−w z

=

1 0

0 1

⇒ z = 1, w = 0⇒ q = 1 + 0j = 1.

Jede Matrix der Form von Aq erfüllt die Gleichung:

AqAqT=

z w

−w z

·z −w

w z

=

|z|2 + |w|2 −zw + wz

−wz + zw |z|2 + |w|2

= |q|2E

mit |q|2 = qq(8)= (z + wj)(z − wj) (7)

= |z|2 + |w|2 , E =

1 0

0 1

(11)

Sie ist somit unitär (s. 4.2) bis auf den skalaren Faktor |q|2.

Insgesamt erhalten wir also eine Einbettung:

f : GL(1,H)→ GL(2,C) durch 0 6= q = z + wj 7→ Aq =

z w

−w z

(D.4)

Entsprechendes gilt für höhere Dimensionen mit der Einbettung:

fn : GL(n,H)→ GL(2n,C)

Z.B. für n=2 mit q1 = z1 + w1j, q2 = z2 + w2j, q3 = z3 + w3j, q4 = z4 + w4j:

q1 q2

q3 q4

7−→

z1 z2 w1 w2

z3 z4 w3 w4

−w1 −w2 z1 z2

−w3 −w4 z3 z4

=

Z W

−W Z

(12)

Dies wird noch einmal eine Rolle für die symplektische Gruppe in Kap. 3.3 spielen.

Bemerkung: Aq kann auÿerdem wie folgt aus (D.1) gewonnen werden:

a

1 0

0 1

+ b

i 0

0 −i

+ c

0 1

−1 0

+ d

0 i

i 0

= a1+ bI + cJ + dK.

Hier sind wiederum I, J und K entsprechend der Hamiltonregeln. Somit können wir eine

Quaternione als komplexe Matrix darstellen.

13

3.2 Einheitsquaternionen

3.2.1 Einheitsquaternionen und die Gruppe SU(2)

Die Gruppe GL(1,H) ist die multiplikative Gruppe H \ {0} der Quaternionen, da mit q 6= 0

das Inverse de�niert ist. Darin gibt es die Untergruppe der sogenannten Einheitsquaternionen,

wobei die 3-dimensionale Einheitssphäre (s.2.4) als Menge der Quaternionen vom Betrage 1

betrachtet werden kann:

H1 = {q ∈ H| |q| = 1} ∼= S3 ⊂ R4

Seien q1, q2 ∈ H1. Es gilt:

|q1q2|2 = (q1q2)(q1q2)(6)= q1(q2q2)q1 = q1 |q2|2︸︷︷︸

∈R+

q1(5)= q1q1 |q2|2 = |q1|2 · |q2|2 = 1

Somit folgt:

|q1 · q2| = |q1| · |q2| = 1 (13)

Also ist die Multiplikation von Quaternionen vom Betrage 1 wieder ein Quaternion vom Betrag

1. Zudem gilt: Sei q ∈ H1, also |q| = 1⇒ q−1 ∈ H1, da∣∣q−1∣∣ = 1

|q| = 1.

Das Inverse in H1 ist nun:

q−1 =q

qq=

q

|q|2= q

Beispiele für Einheitsquaternionen sind: 1, i, j, k oder auch1

2+

1

2i+

1

2j +

1

2k. Diese erfüllen

die Gleichung: |q| =√a2 + b2 + c2 + d2 = 1.

Wegen (11) mit |q|2 = 1, ist Aq mit q ∈ H1 unitär mit AqAqT

= E. Somit kann man die

Einheitsquaternionen auch als die Menge der unitären (2, 2)-Matrizen mit der Determinante

det(Aq) = zz + ww = |z|2 + |w|2 (11)= |q|2 = 1 für alle q ∈ H1 interpretieren:

H1∼=

{Aq =

z w

−w z

∣∣∣∣∣z, w ∈ C, zz + ww = 1

}= SU(2).

Hierbei stellt sich die Frage, warum jetzt auch die Surjektivität gilt. Dies kann wie folgt nach-

gewiesen werden: Sei A ∈ SU(2) (s.2.3). Dann bilden die Zeilen von A eine ONB, d.h. der

erste Zeilenvektor (z, w) ist orthogonal zum zweiten Zeilenvektor. Wird nun (z, w) festgehal-

ten, kann gezeigt werden, dass dann der zweite Zeilenvektor mit (−w, z) eindeutig festgelegt

ist. Zudem muss gezeigt werden, dass dieser der einzige Vektor ist, sodass die entsprechende

Determinante gleich 1 ist.

14

So können wir die 3-Sphäre S3 ⊂ R4 mit der Matrizengruppe SU(2) identi�zieren. Die Zahl

1 ∈ H1 entspricht dabei der Einheitsmatrix E, und −1 entspricht −E.

3.2.2 Einheitsquaternionen und Drehmatrizen

Ziel ist es nun, jeder Quaternione q mit |q| = 1 eine reelle Drehmatrix Rq, also ein Element

von SO(3) (s. 2.3) zuzuordnen. Dies kann in drei Schritten wie folgt erreicht werden:

Schritt 1:

Betrachte die Abbildung fq : H→ H : x→ qxq−1 mit |q| = 1. Zeige, dass fq eine lineare und

orthogonale Abbildung (s. 4.2) des Imaginärteils ist, so dass die Abbildungsmatrix Rq ∈ O(3).

a) Seien x, y ∈ H und α ∈ R. Es gilt: fq(x+ y) = q(x+ y)q−1 = (qx+ qy)q−1 = qxq−1 +

qyq−1 = fq(x) + fq(y) und fq(αx) = q(αx)q−1 = α(qxq−1) = αfq(x). Somit ist fq eine

lineare Abbildung.

b) Die euklidische Norm wird bewahrt: ‖fq(x)‖ =∥∥qxq−1∥∥ (13)

= |q| · ‖x‖ · |q−1 | = ‖x‖ .

Somit folgt mithilfe der Parallelogrammgleichung (s. [7]), dass auch das euklidische

Skalarprodukt bewahrt wird, d.h. 〈fq(x), fq(y)〉 = 〈x, y〉. Somit ist fq eine orthogonale

Abbildung.

c) Betrachte die Einschränkung fq : ImH → ImH. Es gilt: fq(1) = q1q−1 = 1. ImH =

1⊥fq orthogonal

=⇒ fq(ImH) ⊆ ImH. fq ist also eine orthogonale Abbildung des Imaginär-

teils.

Fasse nun fq als Abbildung fq : ImH→ ImH mit x 7→ qxq−1 und |q| = 1 auf. So folgt mit a),

b), c), dass es eine orthogonale Matrix Rq (d.h. R−1q = RTq ) gibt mit fq(x) = Rqx. Somit ist

Rq ∈ O(3).

Schritt 2: Nun zeige, dass Rq ∈ SO(3)!

Die Determinante einer orthogonalen Matrix kann nur die Werte ±1 annehmen (Beweis s.

2.3). Die Determinante von Rq ist aber gleich 1 für q = 1: R1x = x, also R1 = E3, detR1 = 1.

Daher muss die Determinante aus folgendem Stetigkeitsgrund für jedes q gleich 1 sein:

S3 ist zusammenhängend. Sei q0 ∈ S3 ⇒ ∃ q : [0, 1]→ S3 stetig, t ∈ [0, 1], q(0) = 1, q(1) = q0.

f : [0, 1]→ {±1} mit f(t) = det(Rq(t)) ist stetig ⇒ f ist konstant.

f(0) = det(R1) = 1⇒ f ≡ 1⇒ det(Rq0) = 1⇒ Die Determinante ist für alle q gleich eins.

Also folgt insgesamt, dass Rq ∈ SO(3).

15

Schritt 3:

Man zeige, dass R : H1 → SO(3) mit R(q) = Rq ein surjektiver und bis auf Vorzeichen ein

injektiver Gruppenhomomorphismus mit ker(R) = {±1} ist.

a) Es gilt: R(q1q2)(x) = (q1q2)x(q1q2)−1 = q1(q2xq

−12 )q−11

= R(q1)(R(q2))(x) = (R(q1) ·R(q2))(x).

Somit ist R ein Gruppenhomomorphismus.

b) Nachweis, dass kerR = {±1}:

Es gilt: kerR = {q ∈ H1|R(q) = E}. Sei q ∈ kerR. Dann gilt R(q)x = qxq = x für alle

x ∈ ImH.

ic x = i, R(q)i = i

(a+ bi+ cj + dk)i(a− bi− cj − dk)

= (a+ bi+ cj + dk)(ai+ b− kc+ jd)

= ia2 + ab− kac+ jad

−ab+ ib2 + jbc+ kdb

−kac+ jbc− ic2 − cd

+jad+ kdb+ dc− id2

= i(a2 + b2 − c2 − d2) = i (Vorfaktoren vor k und j fallen weg)

⇒a2 + b2 − c2 − d2 = 1

Aber wir wissen: a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Mit Subtraktion der Gleichungen folgt:

c = d = 0

iic x = j, R(q)j = j

(a+ bi)j(a− bi) = (a+ bi)(aj + bk) = j(a2 − b2) = j ⇒ a2 − b2 = 1.

Aber wir wissen: a2 + b2 = 1. Subtraktion der Gleichungen liefert: b = 0.

Somit folgt mit ic, iic: a2 = 1, also a ∈ {1,−1} =⇒ kerR = {±1}

c) O�ensichtlich gilt Rq = R−q. Da f ein Gruppenhomomorphismus ist, ist f bis auf das

Vorzeichen injektiv (man gehe ähnlich wie in Satz 2.2 vor und achte auf das Vorzeichen).

Zu zeigen: ker(f) = {±1} ⇔ f injektiv (bis auf Vorzeichen)

Beweis: "⇐": klar.

"⇒": f(p) = f(q). 1 = f(p)f(q)−1 = f(pq−1)b)⇒ pq−1 = ±1⇒ p = ±q

16

d) Zur Surjektivität von R : H1 → SO(3) mit R(q) = Rq:

Für Surjektivität ist zu zeigen:

∀ A ∈ SO(3) ∃ q ∈ H1 mit R(q) = A.

Eine Matrix im SO(3) beschreibt eine Drehung um eine durch den Koordinatenursprung

verlaufende Achse im R3. Sei A ∈ SO(3). Dann ist A normal (AAT= A

TA) und damit

komplex diagonalisierbar. Das heiÿt: Die Einträge auf der Diagonalmatrix sind drei

Eigenwerte λ1, λ2, λ3 ∈ C. Es gilt:

|Av| = |λv| = |λ||v| A orthogonal= |v| =⇒ |λ| = 1

Sei λ1 /∈ R⇒ o. E. λ1 = λ2 (A ist eine reelle Matrix), λ3 ∈ R, d.h. λ3 = ±1.

det(A) = λ1λ2λ3 = λ1λ1λ3 = |λ1|2︸︷︷︸=1

λ3A∈SO(3)

= 1 =⇒ λ3 = 1

=⇒ ∃ v ∈ R3 mit Av = v

I. Einschub aus der LinA II (s.[6]): Drehmatrix

Für alle A ∈ SO(3) existiert eine Orthonormalbasis des R3, sodass A mit α ∈ [0, 2π] bzgl.

dieser Basis folgende Darstellung hat:

A =

1 0 0

0 cosα − sinα

0 sinα cosα

∈ SO(3)

A beschreibt hier eine Drehung um die x1-Achse.

Um eine Drehung durch eine Quaternione zu beschreiben, verwenden wir folgende Dar-

stellung:

17

II. Achsenwinkeldarstellung einer Quaternione:

q = cosα

2+ v sin

α

2∈ H mit v ∈ ImH ∼= R3, |v| = 1 und |q| = 1

v: Drehachse, α ∈ [0, 2π]: Drehwinkel, q−1 = cos α2 − v sinα2

Wir haben gezeigt, dass Rq ∈ SO(3). Es kann nachgerechnet werden: Rq(v) = v.

Dann folgt: Rq(v⊥) ⊆ v⊥

Rq beschreibt Drehung um (Rv)-Achse.

Drehung um x-Achse: q = cos α2 + i sin α2

Wähle v = i

Dabei ist q = cosα

2+ i sin

α

2Zur Erinnerung:

(A.1) sinα = 2 sin α2 cos α2

(A.2) cosα = cos2 α2 − sin2 α2

Rqx = Rcos α2+i sin α

2x = qxq−1 = qxq

= (cos α2 + i sin α2 ) (bi+ cj + dk) (cos α2 − i sin

α2 )

= ib+ j(cos2 α2 c− 2d sin α2 cos α2 − sin2 α2 c)+ k(cos2 α2 d+2c sin α

2 cos α2 − sin2 α2 d)

=

b

cos2 α2 c− 2d sin α2 cos α2 − sin2 α2 c

cos2 α2 d+ 2c sin α2 cos α2 − sin2 α2 d

A.1+A.2=

b

c cosα− d sinα

c sinα+ d cosα

=

1 0 0

0 cosα − sinα

0 sinα cosα

b

c

d

= Ax

=⇒ Rqx = Ax

Die Rotation um einen beliebigen normierten Vektor (x, y, z) um einen Winkel α wird

durch die Quaternione

q = cosα

2+ x · sin α

2i+ y · sin α

2j + z · sin α

2k

18

repräsentiert. Jedes Quaternion mit dem Betrag 1 repräsentiert eine Rotation.

Insgesamt folgt, dass SO(3)mit dem Raum der Antipodenpaare S3\± (also im 3-dimensionalen

reellen projektiven Raum) identi�ziert werden kann:

Abb. 3: Raum mit Geraden durch Ursprung im R4

Wegen der Isomorphie von H1 und SU(2) folgt:

Es gibt auch einen Gruppenhomomorphismus SU(2) → SO(3), der durch die Identität von

SU(2) mit H1 dem Gruppenhomomorphismus R entspricht. Also werden je zwei �Antipoden�

Aq und A−q = −Aq in SU(2) auf eine Drehmatrix Rq = R−q in SO(3) abgebildet. Jedes

Element in SO(3) hat zwei Urbilder. Die rein reellen Quaternionen q = ±1 induzieren Rq als

die Identität.

19

3.3 Symplektische Gruppe

3.3.1 De�nition: Symplektische Gruppe

Die allgemeine lineare Gruppe über den Quaternionen GL(n,H) ist analog erklärt als die

Menge der (n, n)-Matrizen mit quaternionalen Einträgen, die invertierbar sind.

Behauptung: Man kann GL(n,H) als eine o�ene Teilmenge des R4n2au�assen.

Beweis: Wir wissen:

GL(n,R)o�en⊆ Mn,n(R) ∼= Rn2

GL(n,C)o�en⊆ Mn,n(C) ∼= Cn2 ∼= R2n2

Nun ist zu zeigen: GL(n,H)o�en⊆ Mn,n(H) ∼= Hn2 ∼= C2n2 ∼= R4n2

Man kann nicht wie im vorherigen Vortrag mit der Stetigkeit der Determinantenfunkti-

on argumentieren, weil sie bei Quaternionen nicht gegeben ist, da die Multiplikation nicht

kommutativ ist. Aber die Zuordnung f : Mn,n(H) 7→ M2n,2n(C) ist stetig. Wir wissen,

dass GL(2n,C)o�en⊆ M2n,2n(C). Auch für höhere Dimensionen gilt: f(AB) = f(A)f(B),

f(A+B) = f(A) + f(B), wobei A und B die entsprechenden Matrizen sind. Es gilt:

GL(n,H) = f−1(GL(2n,C))⇒ GL(n,H)o�en⊆ Mn,n(H)

Also: f ist stetig und unter einer stetigen Abbildung ist das Urbild o�ener Mengen o�en.

Die Determinantenfunktion mit den üblichen Eigenschaften ist nicht mehr gegeben, aber man

kann von linear unabhängigen Spaltenvektoren sprechen, also von Matrizen mit maximalen

Rang.

Die symplektische Gruppe Sp(n) ist erklärt als Untergruppe von GL(n,H), und zwar

Sp(n) = {A ∈ GL(n,H)∣∣∣AAT = E}.

Die Rechenregel ABT= B

TATgilt dabei weiterhin. Wie lässt sich die symplektische Gruppe

durch komplexe Matrizen darstellen mit der Einbettung Sp(n)→ GL(n,H)→ GL(2n,C)?

Wir können q = z + wj durch die komplexe Matrix

z w

−w z

darstellen. Dann können wir

quaternionale (n, n)-Matrizen Z +Wj beschreiben durch komplexe (2n, 2n)-Block-Matrizen

der Form: Z W

−W Z

20

Ein Beispiel für n = 2 ist in (12) zu �nden. Die Bedingung AAT= E ist dann äquivalent zu

Z W

−W Z

·Z

T −W T

WT

ZT

= E

3.3.2 Lemma

Matrix A ∈ GL(2n,C) ist im Bild von Sp(n) ⇔ JnAJ−1n = A mit Jn =

0 −En

En 0

Beweis: Man rechnet für eine Matrix dieser Gestalt nach

JnA = Jn ·

Z W

−W Z

=

W −Z

Z W

und

JnAJ−1n =

W −Z

Z W

· (−Jn) = Z W

−W Z

= A.

Falls umgekehrt für eine Matrix A die Gleichung JnA = AJn gilt, dann muss sie die angegebene

Blockgestalt haben:

JnAJ−1n =

0 −En

En 0

Z W

X Y

0 En

−En 0

=

−X −Y

Z W

0 En

−En 0

=

Y −X

−W Z

A =

Z W

X Y

=

Y −X

−W Z

, Y = Z, X = −W

=⇒ A =

Z W

−W Z

3.3.3 Folgerung

Die symplektische Gruppe Sp(n) ist isomorph zur Gruppe

{A ∈ GL(2n,C)

∣∣∣AAT = E und JnAJ−1n = A

}.

21

4 Zusammenfassung und Anhang

4.1 Handout: Quaternionen

De�nition und Darstellungen der Quaternionen

Def. und Darst. 1 H = {a+ bi+ cj+ dk|a, b, c, d ∈ R}

• Basis {1, i, j,k}

• Hamilton - Regeln:

ij = −ji = k (1)

jk = −kj = i (2)

ki = −ik = j (3)

i2 = j2 = k2 = −1 (4)

• Menge der Quaternionen ist ein Schiefkörper

|q|2 = qq = a2 + b2 + c2 + d2 ∈ R+ mit q = a− bi− cj − dk (5)

• Multiplikative Inverses: ∀ q 6= 0 : q−1 = 1q = |q|−2

q

• Rechenregel:

q1 · q2 = q2 · q1 (6)

Darst. 2 H = {z + wj|z, w ∈ C}

• Rechenregel

jz = zj (7)

Darst. 3 H = {a+ (b, c, d)T |a, b, c, d ∈ R}

• i =(1 0 0)T , j =

(0 1 0)T und k =

(0 0 1)T

• i× j = −j × i = k, j × k = −k × j = i, k × i = −i× k = j

• Seien q1, q2 ∈ ImH ∼= R3 : q1q2 = − 〈q1, q2〉︸ ︷︷ ︸Skalarprodukt

+ q1 × q2︸ ︷︷ ︸Kreuzprodukt im R3

Darst. 4 f : GL(1,H)→ GL(2,C), 0 6= q = z + wj 7→ Aq =

(z w−w z

)• f ist inj. Gruppenhomomorphismus (Einbettung)

AqAqT= |q|2E mit |q|2 = qq = |z|2 + |w|2 , E =

(1 00 1

)⇒ Aq ist also unitär bis auf den skalaren Faktor |q|2

22

Einheitsquaternionen

1. Einheitsquaternionen und die Gruppe SU(2)

• H1 = {q ∈ H| |q| = 1} ∼= S3 ⊂ R4

• Seien q1, q2 ∈ H1. |q1 · q2| = |q1| · |q2| = 1 und |q| =√a2 + b2 + c2 + d2 = 1

• Inverses in H1: q−1 = q

• AqAqT= E. Also ist Aq mit q ∈ H1 unitär.

• H1∼={Aq =

(z w−w z

) ∣∣∣∣z, w ∈ C, zz + ww = 1

}= SU(2)

• Somit können wir die 3-Sphäre S3 ⊂ R4 mit der Matrizengruppe SU(2) identi�zieren.

2. Einheitsquaternionen und Drehmatrizen

Ziel: Jeder Quaternione q mit |q| = 1 eine reelle Drehmatrix Rq ∈ SO(3) zuordnen

Schritt 1: Betrachte Abb. fq : H→ H : x→ qxq−1 mit |q| = 1. Zeige, dass fq lineare, orthog. Abb. desImaginärteils ist, so dass Abb.matrix Rq ∈ O(3).

Schritt 2: Nun zeige, dass Rq ∈ SO(3).

Schritt 3: Zeige, R : H1 → SO(3) mit R(q) = Rq ist surj. und bis auf Vorzeichen inj. Gruppenhom. mitker(R) = {±1}.

Betrachte dazu den Homomorphiesatz: Ist R ein Homomorphismus und ker(R) der Kern von R, dann istder Quotient H1/ker(R) isomorph zum Bild R(H1). Es gilt: Rp = R−q ⇐⇒ q = ±p. Somit kann SO(3)mit dem Raum der Antipodenpaare S3\± (also im 3-dim. reellen projektiven Raum) identi�ziert werden.

Symplektische Gruppe

Man kann GL(n,H) als eine o�ene Teilmenge des R4n2

au�assen. Es gibt keine übliche Determinanten-funktion, weil die Multiplikation nicht mehr kommutativ ist.

1. De�nition: Symplektische Gruppe Sp(n)

Sp(n) = {A ∈ GL(n,H)∣∣∣AAT

= E}

• Sp(n) ist Untergruppe des GL(n,H) mit der Rechenregel ABT= B

TA

T

• Einbettung Sp(n) → GL(n,H) → GL(2n,C): Die quaternionale (n, n)-Matrizen Z + Wj kannman beschreiben durch komplexe (2n, 2n)-Block-Matrizen der Form(

Z W−W Z

)

2. Lemma

Matrix A ∈ GL(2n,C) ist im Bild von Sp(n) ⇔ JnAJ−1n = A mit Jn =

(0 −En

En 0

)

3. Folgerung: Sp(n) ∼={A ∈ GL(2n,C)

∣∣∣AAT = E und JnAJ−1n = A}

23

4.2 Einige Grundbegri�e

Gruppe, Untergruppe

Axiome der Gruppe (G, ∗):1. Assoziativität: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).2. Neutrales Element: e ∈ G, mit a ∗ e = e ∗ a = a.

3. Inverses Element: a−1 mit a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.

Die Gruppe (G, ∗) heiÿt kommutativ, wenn a ∗ b = b ∗ a, ansonsten nicht-kommutativ.

Eine nichtleere Teilmenge U von G bildet eine Untergruppe (U, ◦) von (G, ◦) genau dann,

wenn

1. a, b ∈ U ⇒ a ◦ b ∈ U2. a ∈ U ⇒ a−1 ∈ U

Unitäre Matrix

Eine unitäre Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix A mit ATA = E, wobei E die Ein-

heitsmatrix ist. Damit gilt für die Inverse einer unitären Matrix: A−1 = AT. Die Determinante

einer unitären Matrix hat den Betrag 1.

Allgemeine lineare Gruppe

Die allgemeine lineare Gruppe GL (n,K) ist die Menge der (n, n)- Matrizen, die invertierbar

sind, wobei entweder K = R oder K = C. Die Gruppenstruktur ist durch das Matrizenprodukt

(A,B) 7→ A·B gegeben mit der Inversen A 7→ A−1 und der Einheitsmatrix E als dem neutralen

Element.

Orthogonale Abbildung

Sei V ein endlich dimensionaler, euklidischer Vektorraum. Eine Abbildung heiÿt orthogonal,

wenn für alle v1, v2 ∈ V gilt: 〈f(v1)f(v1〉 = 〈v1, v2〉. Eine Abbildung ist genau dann ortho-

gonal, wenn sie linear ist und ihre Matrixdarstellung bezüglich einer Orthonormalbasis eine

orthogonale Matrix ist.

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5 Literatur

[1] A. Beutelsbacher, Lineare Algebra - Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren,

Abbildungen und Matrizen (Viehweg) 6. Au�age 2003, S.24− 33+ S.136− 138

[2] http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion, Zugri� am 02.05.2011

[3] http://de.wikipedia.org/wiki/William_ Rowan_ Hamilton, Zugri� am 02.05.2011

[4] K. Königsberger, Analysis 1, (Springer), 6. Au�age 2004

[5] O. Forster, Algorithmische Zahlentheorie (Vieweg-Verlag), 1996

[6] Prof. Dr. L. Schwachhöfer, LinA I + II - Vorlesung WS 08/09 + SS 09 an der TU Dortmund

[7] R. Busam, T. Epp, Prüfungstrainer Analysis (Spektrum) 2008, S.30 + 213

[8] W. Kühnel, Matrizen und Lie-Gruppen - Eine geometrische Einführung (Vieweg +

Teubner Verlag), 1. Au�age 2011

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