quaternionen & quaoaring - uni-frankfurt.de

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Animation

Quaternionen & Quaoaring

Dr. Tobias Ch. Breiner

SS 2006 - AnimationQuaternionen und Quaoaring

Dr. Tobias [email protected] 2/100

Organisatorisches

Achtung!!! Die nächste Vorlesung und Übung am kommenden Mittwoch, den 28 Juni, fallen wegen Schulprojekttagen aus. Die beiden Veranstaltungen werden auf den Mittwoch, den 5. Juli, verschoben!



Inhalt

Zusammenfassung

Wiederholung und Vertiefung

Quaternionen

Hyperkomplexe Zahlen

Quaoaring




Computer Generated Character Animation

Kinematik

Gelenkhierarchie von Roboter

Gelenk

Hebel

Endeffektor

Basis

Kinematik verwendet Konzepte der Robotik

offene kinematischeKette



Kinematik

geschlossenekinem. Kette

offene kinem. Kette

ohne Zirkel-schluss

mit Zirkel-schluss

kinematische Kette



Vorwärtskinematik / Inverse Kinematikfür offene kinematische Ketten

Gelenkein-stellungen

Position des Endeffektors

inverse Kinematik

Vorwärtskinematik

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Nichtlineare Globale Deformation nach Barr

Rahmen

Tapering

Twisting

Bending

-

Translation

Rotation

Einachsige Transformation



Freiform-Deformation (Gitter-Deformation) nach [Sederburg 86]

Idee: 1. Man fasst ein Objekt in ein umgebendes Gitter (einen Raum) ein. 2. Man deformiert das Gitter (den Raum) durch Modeling-Transformationen3. Deformationen des Gitters (des Raumes ) werden auf das Objekt übertragen.

Modellvorstellung z.B. : Objekte sind durch Federn in dem Gitter gehalten

benutzbar für polygonale und parametrische Objekte: Eckpunkte �� Kontrollpunkte



Erweiterte Freiform-Deformationnach [Coquillart 90]

Die Rechteckstruktur der FFD-Blocks be-schränkt die mög-lichenVerzerrungenSabine Coquillart führt verschie-dene andere Gitterstruk-turen ein: EFFDsInsbesondere die zylindrische Form findet viele AnwendungenTransformation zwischen Modeling-Koordinaten und Gitter-koordinaten wird aufwendiger



Erweiterte Freiform-DeformationBeispiele nach S. Coquillart



Schichtmodelle Anzahl der Schichten

einschichtig (Skelettmodelle)zweischichtig (3D-Skinning, Ellipsoidal Sweeping)dreischichtig (Dreischichtenmodell von Chadwick et al., Implizites Primitivenmodell von Scheepers et al., Implizites Primitivenmodell von Thalman et al.) vierschichtig (Elastic Surface Layer Modell)



einschichtige Modelle

Skelettmodelle

Keine Deformationen möglichGut geeignet für Puppen und Roboter-Animation

http://emsh.calarts.edu/~mathart/sw/Cult_e_Math/DINOkron_bones.gif

3



H-Anim

http://h-anim.org/Specifications/H-Anim1.1/h-anim1_1g.gif

Standard für die Strukturierung, Benennung und Geometriedefinition von virtuellen Humanoiden.Enge Zusammenarbeit

mit VRML 2 und MPEG4-GruppenVRML-Hierarchie von

Knochen und GelenkenHier: H-Anim1.1



zweischichtige Modelle

3D-Skinning

Zwei Schichten: Skelettlinien Skin Mesh (Haut)



Schichtmodelle mit 2 Schichten: 3D-Skinning

Verbindung von Skelett und Skin Mesh

Gewichtete Zuordnung (weighted assignment z.B. mit envelopes):im Überdeckungsbereich beeinflusst mehr als ein Hebel die Geometrieeckpunkte: jeder Eckpunkt ist mit dem Skelett gewichtet verbunden – Häufigste Form: Vertex Blending



Entstehen des „Syndroms des kollabierenden Ellenbogens“

[Lewis et al. 2000, 166 & 167]



Schichtmodelle mit 4 Schichten

Das Elastic Surface Layer Model

Synonym: Vierschichtenmodell von Turner und Thalmann



Feder-Masse-Dämpfer-Systeme

Engl.: spring mass (damper) systems, SMD systemsverteilen die Gesamtmasse mges des zu simulierenden Objektes auf nverschiedene Massepunkte bzw. Partikel. Die Masse eines Partikels erhält dadurch den konstanten Wert mi. = mges /n.

4




Schema einer Funktionseinheit mit Feder, Masse und Dämpfungszylinder sowie den Größen k (Federkonstante), cv(Dämpfungskonstante), m(Masse des Partikels), l0 (Ruhelänge der Feder) und x (Ruheposition des Partikels)




Topolgisches Netzwerk von SMD-Einheiten



Dynamische Muskelmodelle

Fischmodell von Terzopoulos




Fischmodell von Terzopoulos




Modell von Nedel und Thalmann

Action Linies markieren die Zentrallinie der Muskeln

http://www.nlm.nih.gov/research/visible/vhp_conf/gingins/paper.htm



Dynamische Muskelmodelle Modell von Nedel und Thalmann- Beispiel

5



Nächstes Kapitel

Quaternionen

Resümee



Quaoaring

QuaternionenQuaternionen



Kurze Auffrischung der Oberstufenmathematik

Komplexe Zahlen (1)

Im 16. Jahrhundert stellte Rafaello Bombellidie Frage, was die Lösung von sei.

Lösung durch Leonard Euler 1777:Einführung der imaginären Einheit i mit

=> Komplexe Zahlen

1−

1−=⋅ ii




Komplexe Zahlen (2)

i ist keine reelle Zahl. Komplexe Zahlen werden aus zwei reellen Zahlen gebildet:

22' :Zahlkomplexen einer Betrag

,' : Zahlkomplexe konjugiertseSchreibwei

,: Zahlkomplexe

ba

babiahealgebraisc

babia

+=⋅=

ℜ∈−=

ℜ∈+=

zzz

z

z




Komplexe Zahlen (3)Algebraische Operationen

iabbabbaaibbaaibaiba

)()()()(

2121212121

212121

222111

++−=⋅+++=++=+=

zzzz

zz




Komplexe Zahlen (4)Algebraische Operationen

)( und )(:vdistributi sindtion Multiplika undAddition

)./('1- :ist Zahlkomplexen einer Inverse Die/1-oder 1)-( : allefür Inverse eine

und :01t Einselemenein hat tion Multiplika Die)(- Inverse eine und

:00t Nullelemenein hat Addition Die)( )( und

)( )( und :assoziativ und kommutativ sindtion Multiplika undAddition

enkörper.einen Zahlbilden Zahlen Komplexe

23132133231321

3213211221

3213211221

zzzzzzzzzzzzzz

zz'zzz1z1zz0z

z1z10zz

z0z0zzzzzzzzzz

zzzzzzzzzz

+=++=+

===≠

=⋅+==+

=++=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅

++=+++=+

i

i




Komplexe Zahlen (5)Geometrische Deutung

Eine Komplexe Zahl istein Punkt in der (komplexen) Ebene.Jede Komplexe Zahl lässt sich als Punkt oder Vektor (Zeiger) darstellen.

reelle Achse

imag

inär

e A

chse

a

b

ϕ

r

6



Kurze Auffrischung der OberstufenmathematikKomplexe Zahlen (6)Geometrische Deutung der Konjungierten

Quelle: http://www.onlineenzyklopaedie.de/k/ko/komplexe_zahl.html




Komplexe Zahlen (7)

Trigonometrische Form

Exponentialform)sin(cos'

;,,)sin(cos22

ϕϕ

ϕϕϕ

irbiabar

rbairbia

−=−=+==

+∞<<∞−ℜ∈+=+=

zz

z

i

i

erbia

bar

rbaerbia

ϕ

ϕ ϕ

−⋅=−=

+==

+∞<<∞−ℜ∈⋅=+=

'

;,,22

z

z

z




Komplexe Zahlen (8) Eulersche Formel

)sin(cos:allgemein

sincos

bibeeeee

ie

abiabia

i

−===

+∞<<∞−−=

+z

ϕϕϕϕ



Geschichte der Quaternionen

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865)

Hamilton suchte eine Erweiterung der komplexen Zahlen in 3 Dimensionen – über Jahrzehnte erfolglos!



Geschichte der Quaternionen

Hamilton rückblickend an seinen Sohn 1865:

“Every morning, on my coming down to breakfast, you used to ask me: ’Well, Papa, can you multiplytriplets?’ Whereto I was always obliged to reply, with a sad shake of the head: ’No, I can only add and substract them.’ ”



Geschichte der QuaternionenHeute wissen wir, dass eine Erweiterung der

komplexen Zahlen in 3D nicht existieren!

Aber, es gibt eine Erweiterung nach 4D:Leonard Euler (1748, in seinen „Schriften zu Goldbach“, Berlin) undKarl Friedrich Gauß (1849 in „Mutationen des Raums“ , unpubliziert Göttingen)

hatten getrennt dafür die wichtigsten Regeln gefunden, diese waren aber zu Zeiten Hamiltons wieder in Vergessenheit geraten.

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Geschichte der QuaternionenBei einem Spaziergang mit seiner Frau kam Hamilton in Dublin

die Eingebung:„They started into life, or light, full grown, on the 16th of October, 1843, as I was walking with Lady Hamilton to Dublin, and came up to Brougham Bridge [...] Nor could I resist the impulse – unphilosophical as it may have been –to cut with a knife on a stone of Brougham Bridge the fundamental formula with the symbols i2 = j2 = k2 = ijk = -1“

Quellen: http://encyclopedia.laborlawtalk.com/wiki/images/thumb/d/db/180px-Quaternion_Plague_on_Broom_Bridge.jpg & http://curvebank.calstatela.edu/hamilton/hamilton.htm



Geschichte der Quaternionen1843 fand Hamilton somit die Erweiterung

nach 4D (wieder): die Quaternionen.Namesherkunft:

(... he put him in prison and delivered himto four quaternions of soldiers to keephim... (Apg 12,4))



Quaternionen

jkiikijkkj

kijji

-kk-jj-iiki, j,

=⋅−=⋅=⋅−=⋅=⋅−=⋅

=⋅=⋅=⋅

gilt Es :ktorenEinheitsvefür kt Kreuzprodu demmit ten Ähnlichkeihaben

len dieser Zahzweier tion Multiplika Die111

:gilt Es . and :drei wir definierenEinheit imaginäreneiner Anstatt Zahlen. komplexender genErweiterun sind enQuaternion



Quaternionen

[ ]

i,j,k

w

zyxw

zyxw, i,j,kzkyjxiw

Einheiten imaginären diefür Vektor ionalen dreidimenseinen und 1ten von Koeffizienden für

Skalar als ),(ˆoder

inationLinearkombdieser ten Koeffiziender vier Vektor als ˆ

oder ,,,.1von

ination Linearkomb als ˆalsdefiniert ist Ein

vq

q

qQuaternion

�=

=

ℜ∈+++=



Rechenregeln für Quaternionen

).ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ('ˆˆˆ

'ˆ:Zahlenkomplexen bei eähnlich wi finden wir Betrag und eKonjugiert

321321

2222

qqqqqqqqq

q

⋅⋅=⋅⋅+++=⋅=

−−−=

zyxw

zkyjxiw



Rechenregeln für Quaternionen

).ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ( :assoziativaber

,ˆˆˆˆ:kommutativnicht ist tion Multiplika Die :Achtung

),(ˆˆ),(ˆˆ

),(ˆ),(ˆdefiniertfolgt n wietion werdeMultiplika undAddition

321321

1221

211221212121

212121

222111

qqqqqq

qqqq

vvvvvvqqvvqq

vqvq

⋅⋅=⋅⋅

⋅≠⋅

×++⋅−⋅=⋅++=+==

ssssss

ss

8



Zur Multiplikation von QuaternionenFaktorisierung und Matrixschreibweise

kji

qq

kjiqkjiq

1

1

)()()()(ˆˆ

ˆˆ

21212121

21212121

21212121

212121212

22222

1111

wzxyyxzwxzwyzxywyzyywxxwzzyyxxww

zyxwzyxw

+−+=++−=−++=−−−=⋅

+++=+++=



Zur Multiplikation von QuaternionenFaktorisierung und Matrixschreibweise

[ ]

[ ]��

�

�

��

�

�

−−−−−−

==⋅

��

�

�

��

�

�

−−−−−−

==⋅

⋅⋅

2222

2222

2222

2222

11112*12

1111

1111

1111

1111

2222*22

2

22

)ˆ(ˆˆ

oder )ˆ(ˆˆ

notieren. eibweiseMatrixschrin undren faktorisie ˆˆkönnen Wir ab. ˆauch von als ˆten von Koeffizien von sowohllinear hängt ˆˆ

wzyxzwxyyxwzxyzw

wzyx

wzyxzwxyyxwzxyzw

wzyx

qRqqq

qLqqq

qqqqqq

1

11

1

11



Rotationen mit QuaternionenRotationssatz

2sin

2cosmit ),(ˆ

:ˆ Quaternion das wir definieren berechnen,zu den Winkel um

ktor Einheitsveden umRotation eine Um

θ

θ

θ

uv

vq

q

u

��

�

�

=

== ww

uθ



Rotationen mit QuaternionenRotationssatz

ist).aternion Einheitsquein ˆ weil,'ˆˆ(mit

ˆˆˆ'

:durchRotation gesuchte dieerhalten Wir ert.repräsenti

),0(ˆ

Quaternion dasdurch wirdRaum im Punkt Ein

qqq

qPqP

pP

p

1

1

=

=

=

−

−



Quaternion => Rotationsmatrix

��

�

�

��

�

�

++++−−−+

+−+−−−+−−+

=

2222

2222

2222

2222

0000)(2)(20)(2)(20)(2)(2

)ˆ(

zyxwzyxwwxyzwyxz

wxyzzyxwwzxywyxzwzxyzyxw

qQ



Rotationsmatrix => Quaternion

w

qq

zw

qq

x

w

qq

y

qqq

w

qmmq

qmmq

qmmq

mmmq

44

421

01101221

0220221100

−=−=

−=+++±

=

9



Der Nutzen von Quaternionen

Warum der ganze Aufwand?

Quaternionen erlauben 1. eine sehr einfache und aufwandsarme Verkettung von

Rotationen2. Interessante Interpolationsvarianten zwischen zwei

Orientierungen



Verkettung von Rotationen

Hintereinander ausgeführte Rotationen Ra und Rb

(verkettete Rotationen) lassen sich mit den zugehörigen Quaternionen einfach berechnen:

Etwas weniger Aufwand als eine 3x3 Matrixmultiplikation: 21 Multiplikationen und 18 Additionen.Quaternionen: 16 Multiplikationen und 12 Additionen.

ba qq ˆ,ˆ

)'ˆˆ('ˆ'ˆmit 'ˆ'ˆˆˆˆ 'ˆ'ˆˆ"

'ˆˆˆ ˆˆˆ'

abbabaabbb

aaaa

qqqqqqPqqqPqP

qPqqPqP 1

===

== −



Anwendung von QuaternionenLERP (Quaternion Linear Interpolation)

[ ]rqrq

rq

ˆˆ)1(),ˆ,ˆlerp(.1,0

ˆˆ

tttistDanntParametereinund

undaternionenEinheitsquzweiseienGegeben

+−=∈

Quaternionen können zur Interpolation von Rotationen verwendet werden, einfachste Form: Lerping



Anwendung von QuaternionenLERP (Quaternion Linear Interpolation)

Nachteile:läuft nicht mit konstanter Geschwindigkeit ab. (beschleunigt und bremst mit dem Verlauf der Interpolation)das Ergebnis dieser Interpolation behält seine Größe nicht bei => Zusätzliche Normalisierung erforderlichNicht unbedingt kürzester Weg

=> Abhilfe bietet das „Slerping“Vorteile:

einfach & schnell für viele Anwendungen ausreichend



Anwendung von QuaternionenSLERP (Spherical Linear Interpolation)

Eingeführt von Ken Shoemake(„Animating Rotation with Quaternion Curves“, Proceedings of Siggraph 85).

[ ]

)arccos(sin

ˆ)sin(ˆ))1(sin(),ˆ,ˆslerp(

.1,0ˆˆ

wwzzyyxx rqrqrqrqmit

ttt

istDanntParametereinundundaternionenEinheitsquzweiseienGegeben

+++=

+−=

∈

φφ

φφ rqrq

rq



Anwendung von QuaternionenSLERP (Spherical Linear Interpolation)

Vorteile:berechet für t=[0,1] die kürzeste Verbindung (Großkreis) auf der vierdimensionalen Einheitskugel zwischen ´q`und´r`.ideal geeignet für die Interpolation (Animation) von Orientierungen von Körpern. (Hauptgrund für die Benutzung von Quaternionen)

Nachteile:rechenintensivnicht kommutativkeine Q2-Stetigkeit (Abhilfe: Squad)Nicht sehr gut für die Orientierung der Kamera geeignet, da sich der camera-up Vektor verändern kann!

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Weitere Hyperkomplexe Zahlen

Biquaternionen sind ein 8-Tupel mit den Einheiten 1, i, j, k, ω, ωi, ωj und ωk. Sie lassen sich als Summe zweier Quaternionen q und r wie folgt darstellen: p = q + ωr. Oktonionen sind 8-Dimensionale hyperkomplexe Zahlen mit 7 imaginären Einheiten. (nicht mit Biquaternionen zu verwechseln)Sedenionen sind 16-Dimensionale hyperk. ZahlenHyperkomplexe Zahlen mit einer Dimension ungleich 2n existieren nicht.



Fano-Kreis für Quaternionen

Pfeile zeigen Multiplikationsrichtungen an: z.B. k*i = j aber i*k= -j

i

jk



Fano-Ebene der Oktonionen

e1

e2

e4e7

e5e3

e6



Anwendungen von Hyperkomplexen Zahlen

Komplexe Zahlen:Schrödinger-Gleichung (Quantenmechanik)Klein-Gordon-Gleichung (Quantenmechanik)

Quaternionen:Dirac-Gleichung (Quantenmechanik)Rotationen (GDV)Fraktale Julia-Mengen (Kunst, GDV)Maxwellgleichungen (Elektromagn.)Quaoaring (Biologie, GDV)

Oktonionen:String-Theorie (Kosmologie)

Sedenionen:Logomtheorie

http://www.physcip.uni-stuttgart.de/phy11733/



Quaternionale Julia-MengenSchielbild-Beispiele Quelle (modifiziert): http://www.physcip.uni-

stuttgart.de/phy11733/



Philosophisches zum Abschluss des Kapitels

Kant‘sche Idee von der Zeit als phänomenaler Basis der Zahl Quaternionen könnten als drei imaginäre Raumkoordinaten und eine reelle Zeitkoordinate interpretiert werden.Basisvektoren mit t2 = 1, x2, y2, z2= -1. Als Unterscheidungsmerkmal zwischen Raum und Zeit steht -1.Unsere Welt muss 3+1-Dimensional sein!

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Nächstes Kapitel

Quaoaring

Zusammenfassung


Quaternionen


QuaoaringQuaoaring



Anforderungsanalyse

Zugrunde liegendes Paradigma

Modellierung Animation Rendering

Quaoaring

Simulation Objekt-modell



Quaoaring

Zugrunde liegendes Paradigma



Quaoaring

Verwendete Metapher

Ein Organismus wird kreiert, indem ”wassergefüllteBallons” (Pneus) verformt und zu einer komplexenHierarchie zusammengesetzt werden .

Metapher“Luftballon-männchen”

Unterschiede:

• Die Pneus wachsen.• Die Pneus sind unzerstörbar.• Physikalische Parameter der

Pneuoberfläche können frei gewählt werden.• Es existieren Pneuverhärtungen, um Knochen,

Knorpel und Chitinpanzer zu simulieren.• Es existieren Constriction-Pneus, die sich wie

ein Muskel kontrahieren können.



Quaoaring

Quaoaring Design Patterns

Main & Organ Bulge Skin

Constriction Conic SqueezeSS 2006 - AnimationQuaternionen und Quaoaring


Quaoaring

Hierarchiebildung

Objekthierarchie von Quaoaring Design Patterns

=> Organismus(Protoplesiosaurus)

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Quaoaring

Evolutionäre Animationen

Visualisierung der Evolution der Enteropneusten



Quaoaring

Bewegungssimulationkontraktile Pneus für Muskeln

flexibler Pneu für Chorda



Quaoaring

Bewegungssimulation

kontraktile Pneus für Muskeln

verhärtete Pneus für Knochen

für die Bewegung der Gliedmaßen



Quaoaring

Evolutionäre Veränderungen



Quaoaring

kombinierte Animation

Status A

Status B



Quaoaring

Biologisches Koordinatensystem

Kartesische Koordinaten sind nicht invariant gegenüber Statusänderungen von Organismen, wie:

•Wachstum und Altersdegenerationen•Evolutionäre Formveränderungen•Bewegungen

=> Entwicklung eines Biologischen Koordinatensystems

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Quaoaring

Biologische Koordinaten

ZentrallinieSkin Mesh

Zentrallinie wird durch NURBS Interpolation erzeugt.Ausrichtung der Ventralvektoren mit Hilfe von Quaternionen und dem SLERP-AlgorithmusSkin Mesh Vertices werden anhand Zentrallinie positioniert



Quaoaring

Biologische Koordinaten

Ein Biovektor ist ein 3-Tupel n = (fR,fJ,fA)

Hier: n = (1/3 , 1, 2/3π)



Bijektivität zwischen Nomina Anatomica und Biologischem Koordinatensystem

Der Parameter fR gibt direkt die Position entlang der logitudinalen Körperachse an. Der Parameter fA bezeichnet die Rotation um die Axis Medialis. Der Parameter fH definiert die Position auf der central-peripheralen Skala.



Bijektivität zwischen Nomina Anatomica und Biologischem Koordinatensystem

��

∉∨∉∨∈∧∈∧

≥∀<∀

=ΡΞPPPP

ffff

RR

RRInferior '

''0'1

),',(ττττ

ττ

( ) ( )( )( ) ( )( )�

��

∉∨∉∨∉∨≤∈∧∈∧∈∧>

∀∀

=ΡΞRAHAH

RAHAHDextral MPPPffff

MPPPffff''sin'sin''sin'sin

01

),',(ττττ

ττ

Inferior

Dextral

…

…

NA

BKSBereichs-

funktionen

Termini



Quaoaring

Biologische KoordinatenZwischen Biologischen Koordinaten und Skin Mesh entsteht ein implikatorischer Zirkelschluss. Daraus resultiert eine wechselseitige Dynamik zwischen Skin Mesh und biologischen Koordinaten, bei der sich die Punktdefinition assymptodisch auf einen fixen euklidischen Raumpunkt hin einpendelt.

Biologische

Koordinaten

Skin

Mesh

definieren

parame-trisieren



Quaoaring

Bioräume im BKS

Ein Bioraum wird in einem Pneu P wird durch den Sechsertupel S = (cR; cA; cH; rR; rA; rH) beschrieben .Die ersten drei Parameter definieren den Mittelpunkt und die drei letzen Parameter die dreidimensionale Ausdehnung im biologischen Koordinatensystem.

14



Quaoaring

Bioräume im BKS

Die Deformation des Skin Meshs erfolgt über „Morphische Felder“Ein Morphisches Feld F:=( S; ω; d) wird durch den Bioraum S= (cR; cA; cH; rR; rA; rH), die maximale Auslenkung ω und den Toggling-Parameter d beschrieben.Die Auslenkung fs entlang der Oberflächennormale an einem Biopunkt des Skin Mehs erfolgt über die Summe der entsprechenden lokalen Auslenkungen Θ aller nMorphischen Felder Fi :

�=Θ=

n

iiS Ff

1),(τ

τ



Auswirkung des Parameters d bei morphischen Feldern

Auf folgenden kugelförmigen Pneus wurden gleich große morphische Felder appliziert. Lediglich der Toggling-Parameter d wurde verändert.

d=1 d=0,1 d=0,01



Quaoaring

Morphische Felder

: , 10

1)1(

)1(),(

2222

��

��

� −+��

��

� −+��

��

� −=��

�

≥

<⋅⋅+

−=Θ

H

HH

A

AA

R

RR

rcf

rcf

rcfK

K

KKd

KF ωτ

Die lokale Auslenkung Θ eines morphischen Feldes F am Biopunkt berechnet sich dann zu:

τ



Quaoaring

Kreuzungen durch Parametermix

Kaulquappe Biene Nilpferd



QuaoaringVorteile des Biologischen Koordinatensystems

Invariant gegenüber Bewegungsveränderungen des OrganismusPositionen, Flächen etc. „wachsen“ mitIntuitive HandhabungBijektive Übersetzung in die Nomina AnatomicaHohe Reusability einmal modellierter StrukturenEinfache Kreuzungen durch Parametermix möglich



Quaoaring

Hydropneumatik

Volumenkonstanz wird erreicht durch:Die Volumenberechnung mit punktkonzentrischen PyramidenDie Volumenabschätzung mit KugelschichtenDie Volumenberechnung mit Achtflächnern entlang der ZentrallinieDie Volumenabschätzung mit Prismen entlang der Zentrallinie

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QuaoaringHydrostatisches Bumpmapping

über Steuerung der morphischen Felder via Texturen.

Vorteile:SelbstokklusionSilhouettenbildungVesikelbildung



QuaoaringBerechnung des Hydrostatischen Bumpmappings

arctan:mit 0)),((0)),((

),(),(��

��

��

−−=

<−Γ≥Γ

=Φ=AA

RR

cfcfa

aaaa

Svuπτπτ

τ

��==

��

��

�⋅

Φ+Φ+Φ+Θ=

m

jj

jjjn

iiS

SbSgSrFf

11 3)),(()),(()),((

),( ωτττ

τ

),(222

��

��

� −+��

��

� −+��

��

� −=ΓH

HH

A

AA

R

RR

rcf

rcf

rcfSτ

Die Gesamtauslenkung fs am Punkt τ über alle morphischen Felder Fi und alle m hydrostatischen Bumpmaps (mit den Farbanteilen rj,gj und bj wird erreicht durch:

Dabei ist Г die Distanzfunktion von τ über den Bioraum S:



SoftwareMS Visual C++ RealiMation SceneGraph-API

HardwareStandard PCPentium IV, 3.0 GHzGeForce FX Go 5700�

Bildwiederholrate für „Protoplesiosaurus “ beträgt ~21 fps

Quaoaringbeispiele

Implementierungsframework e-Go



Quaoaringbeispiele

Anwendungen und Projekte



Quaoaringbeispiele

Cybernarium -Exponat „e-VoLuzie“



Quaoaringbeispiele

e-Munkulus

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Quaoaringbeispiele

e-RythrozytVisualisierung von Erythrozyten anhand von AFM-Daten



Nächstes Kapitel

Resümee

Zusammenfassung


Quaternionen


Quaoaring

Zusammenfassung



Zusammenfassung

Imaginäre ZahlenräumeKomplexe ZahlenQuaternionenOktanionenRotationsinterpolation mit Quaternionen (Lerping und Slerping)

QuaoaringVor- und Nachteile



Ausblick

Motion CapturingDIDsAnwendungen



EndeDankeDankefürfür IhrIhrInteresseInteresse!!

Tobias Breiner Tobias Breiner [email protected]@gdv.informatik.uni--frankfurt.de frankfurt.de

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