Quantum Computing

Hartmut KlauckUniversität FrankfurtWS 04/058.12.

Hidden Subgroup Problem Ordnungsfinden und Simons Problem sind

Instanzen des Hidden Subgroup Problems Coset [Nebenklasse] zu einer Untergruppe H einer

Gruppe G: gH={gh: h2H} Es gebe eine Gruppe G, sowie eine unbekannte

Untergruppe H Es gebe eine Black Box Funktion f :

f ist konstant auf jedem Coset von H auf zwei Cosets CD hat f verschiedene Werte

Finde H, bzw. Generatoren von H.

Hidden Subgroup Problem Simons Problem:

G ist (Z2)n

H ist {0,s} Cosets {x, x©s} f: f(x)=f(x©s)

xy©s ) f(x)f(y)

Hidden Subgroup Problem Ordnungsfinden

G ist Z H ist {0,r,2r,3r,......}; r=r(x) mod N Cosets {a,a+r,a+2r,....] f(j)=xj mod N f(kr+a)= xkr+a mod N=xa mod N

=f(a)=f(k’r+a) f(kr+a) = xa mod N xb mod

Nf(kr+b) falls ab mod r

Hidden Subgroup Problem Finden von Perioden

G ist Z H ist {0,r,2r,3r,......}; Cosets {a,a+r,a+2r,....] f:Z!S (endl. Menge) f(kr+a)=f(a)=f(k’r+a) f(kr+a) f(kr+b) falls ab mod r

Vorsicht!

Ordnungsfinden (Shor Algorithmus) ist Hidden Subgroup Problem über Z, d.h. nicht endliche Gruppe (aber endlich erzeugt)

Approximation durch ZL

[{0,r,2r,3r,...} keine echte Untergruppe]

Hidden Subgroup Problem Diskreter Logarithmus Problem: Geg. x2Zp

*, Generator g von Zp*

Bestimme r so dass gr=x G ist Zp-1£ Zp-1mit + Operation H ist {(kr,k), k=0,...} Cosets {(u+kr,v+k);k=0,...} f:Zp-1£ Zp-1!Zp

* ; f(a,b)=gax-b

f(u+kr,v+k)=gu+krx-v-k=guxkx-kx-v=f(u,v) (a,b) (c+kr,d+k) )

f(a,b)=gax-b gc+kr,x-d-k=f(c,d)

Hidden Subgroup Problem [Kitaev] Es gibt einen Quantenalgorithmus

mit polynomieller Zeit, der die Untergruppe H identifiziert, wennn G abelsch ist

Weiteres Beispiel HSP: Graph IsomorphismusGegeben G1, G2, kann man Knotennummern permutieren, so dass beide gleich sind?

HSP über Gruppe der Permutationen, nicht abelsch,kein polynomieller Quantenalgorithmus bekannt

Verallgemeinere Shor Algorithmus Fouriertransformation/Hadamard

Transformation erzeugt Superposition über alle Gruppenelemente

Uf Anwendung Fouriertransformation Messung

Problem I: Fouriertransformation über G Problem II: Wie wird Messergebnis

genutzt?

Fourier Transformation

G sei endliche abelsche Gruppe Charakter einer Gruppe ist ein

Homomorphismus : G!C* (=C ohne 0) (g1+g2)=(g1)(g2) Es gibt genau |G| Charaktere von G, und

sie bilden eine Gruppe, die duale Gruppe Ĝ.

Die Fourier Transformation über G ist dann |xi (1/|G|1/2) j=,...,|G|-1 j(x) |ji

Fourier Transformation

|gi (1/|G|1/2) 0,...,|G|-1 j(g) |ji

Beispiel: ZL: j(k)=wLjk

Beispiel: (Z2)k:(x(1),...,x(k))(y1,...,yk)= j w2

x(j) y(j),dabei ist w2=e2i/2=-1,also x(1),...,x(k)=(-1)x ¢ y

Also ergibt sich Hadamard Transformation

Benutze: duale Gruppe zu G£H ist Ĝ£Ĥ

Fourier Transformation

Jede abelsche Gruppe ist isomorph zuZN(1)£ZN(2)££ZN(k) für N(j) Primzahlpotenzen [Kronecker]

D.h. g2G kann als (a1,...,ak) geschrieben werden

Charakter sind so gegeben:t(1),...,t(k)(a1,...,ak)

=(wN(1)t1a1)(wN(2)

t2a2) (wN(k)tkak),

wobei wN(j)=e2 i/N(j)

Fourier Transformation

Charakter t(1),...,t(k)(a1,...,ak)=(wN(1)

t1a1)(wN(2)t2a2) (wN(k)

tkak), wobei wN(j)=e2 i/N(j)

Fouriertransformation f. G abelsch:

Schnelle QFT

Schnelle QFT: Verwende QFT für alle ZN(j) unabhängig voneinander (mit dem normalen QFT Schaltkreis)

Erzeugen der Superposition QFT|0i ergibt uniforme Superposition über

alle Gruppenelemente im ersten Register

Nun: Uf: |xi |yi |xi|f(x) +yi Ergebnis:

Erzeugen der Superposition Ergebnis:

Messe zweites Register. Ergebnis: zufälliges f(x‘), Superposition:

Wende nun QFT auf erstes Register an!

Fourier Sampling

Wende nun QFT auf erstes Register an und messe!

Was passiert?

Orthogonale Untergruppen Zu jeder Untergruppe Hµ G gibt es Untergruppe

H?µ G, Definiert durch: H?={y2 G: y (x)=1 für alle x2 H} Eigenschaften: |H?|=|G|/|H| (H?)?=H

Beispiel: G=ZL, H={0,r,2r,...,L-r} [r teile L und L/r=A] x(y)=e2 i xy/L

H?={y2 ZL: ykr=0 mod L für alle k} ={y2 ZL: yk = 0 mod A für alle k} ={y2 ZL: y = 0 mod A} H? enthält die Ausgaben von Shors Algorithmus (im

einfachen Fall der Analyse)

Orthogonale Untergruppen H?={y2 G: y (x)=1 für alle x2 H}

Beispiel: G= (Z2) n H={0,s} x(y)=(-1)

xy

H?={y2(Z2) n :x¢y =0 mod 2}

H? enthält die Ausgaben von Simons Algorithmus

Fourier Sampling

Fouriertransformation über G bildet uniforme Superposition über H auf uniforme Superposition über H? ab.

Fourier Sampling

Denn

x2 H?) Summe ist |H|, denn x(y)=1 immer x nicht in H?) Summe ist 0

Fourier Sampling

Auf Cosets:

Messung jetzt ergibt zufälliges Element aus H?

Bestimme H aus genügend zufälligen Elementen von H?

Beispiel Simons Problem: Element aus H? gibt Gleichung über Z2; y¢s=0.

Rekonstruktion von H

Erstens: Zeige, dass nach poly(log |G|) vielen zufälligen h2H? eine generierende Menge von H? gefunden wird (mit hoher Wahscheinlichkeit)

Zweitens: Berechne H aus H? (d.h. bzgl. Mengen von Generatoren)

Rekonstruktion von H

Warum verwendet man nicht Superposition über Cosets von H, um H zu bestimmen ?

“Erstens” funktioniert nicht, da Cosets selbst zufällig durch Messung von Register 2, erst QFT “schiebt” zufällige Translation in Phasenfaktor

Beispiel: Simons Problem H={0,s}, zufälliges Coset {x,x©s} für zufälliges x

I) Generierung durch zufällige Elemente Sei G eine endliche Gruppe Wieviele zufällige Elemente von G

brauchen wir, um eine generierende Menge für G zu erhalten?

Behauptung: Wenn log|G| +t Elemente zufällig gezogen, dann wird G mit Ws. 1-1/2t generiert.

I) Generierung durch zufällige Elemente Behauptung: Wenn dlog|G|e +t

Elemente zufällig gezogen, dann wird G mit Ws. 1-1/2t generiert.

Beobachtung: Sei |G|· 2k. Dann ist (Z2) k

“schwieriger” als G (d.h. Erfolgswahrscheinlichkeit kleiner)

Dann: Für (Z2) k ist

Erfolgswahrscheinlichkeit 1-1/2t nach k+t Elementen [lineare Algebra]

I) Generierung durch zufällige Elemente Beobachtung: Sei |G|· 2k, k¸ 1. Dann ist (Z2)

k “schwieriger” als G. (d.h. Erfolgswahrscheinlichkeit kleiner)

Beweis: (H,t): Wahrscheinl., dass nach t gezogenen Elementen H

erzeugt Induktion über |G|, |G|=1 trivial Betrachte Fall, dass H nach t-d-1 Schritten erreichte

Untergruppe, |H|· |G|/2 und Schritte t-d,...,t keinen weiteren Generator bringen

Wahrscheinlichkeit dass das nicht passiert 1-(|H|/|G|)d¸ 1-1/2d

= entsprechende Wahrscheinlichkeit für (Z2) k

(G,t)= EH,d Prob[H nach t-d-1 Schritten erreicht, G nach t Schritten erreicht]= EH,d Prob[G nach t Schritten erreicht | H nach t-d-1 Schritten erreicht] ¢ Prob[H nach t-d-1 Schritten erreicht]

Induktion für zweiten Term, erster Term wie oben

II) Bestimme H aus H?

Angenommen wir haben Generatoren g[1],...,g[t] von H?

h 2 H , h(g[j])=1 für alle j Verwende wieder dass G abelsch Jede abelsche Gruppe ist isomorph zu

ZN(1)£ZN(2)££ZN(k)

Charaktere: h1,...,hk(g1,...,gk)=(wN(1)

h1g1)(wN(2)h2g2) (wN(k)

hkgk), wobei wN(j)=e2 i/N(j)

d sei kgv der N(j);(j)=d/N(j) h1,...,hk(g1,...,gk) = wd

(j)gjhj

h(g)=1 gdw. (j)gjhj = 0 mod d Menge der g[i] ergibt Gleichungssystem mit Variablen

entsprechend der Darstellung der h2H [mit zufäligen Koeffizienten]

Analog zu Simons Algorithmus kann so H bestimmt werden.

Insgesamt

Fouriertransformation gefolgt von Uf, gefolgt von Fouriertransformation

Fouriertransformation effizient, da G abelsch Algorithmus ergibt h2 H?, iteriere O(log |G|)

mal Postprocessing: Lösen von

Gleichungssystemda G abelsch

Also insgesamt polynomielle Laufzeit, konstante Erfolgswahrscheinlichkeit

Vorsicht!

Ordnungsfinden (Shor Algorithmus) ist Hidden Subgroup Problem über Z, d.h. nicht endliche Gruppe (aber endlich erzeugt)

Approximation durch ZL

[{0,r,2r,3r,...} keine echte Untergruppe]

Hidden Subgroup Problem ähnlich für endlich erzeugte abelsche Gruppen lösbar

Nur für wenige nicht-abelsche Gruppen bisher lösbar, manchmal schnelle QFT bekannt