ÈÇÄÀÂÀÍÅÒÎ ÍÀ ÍÀÑÒÎßÙÈß ÁÐÎÉ ÎÒ ÑÏÈÑÀÍÈÅÒÎ

ÏÐÅÇ 2005 ã. Å Ñ ÔÈÍÀÍÑÎÂÀÒÀ ÏÎÄÊÐÅÏÀ ÍÀ ÔÎÍÄ

„ÍÀÓ×ÍÈ ÈÇÑËÅÄÂÀÍÈß“ ÏÐÈ ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ

ÍÀ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅÒÎ È ÍÀÓÊÀÒÀ

ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀ ÊÎËÅÃÈß

ÍÎÍÊÀ ÁÎÃÎÌÈËÎÂÀ

Ãëàâåí ðåäàêòîð

ÍÈÍÀ ÄÈÌÈÒÐÎÂÀ

Çàì.-ãëàâåí ðåäàêòîð

ÂÅÑÅËÈÍ ÏÅÒÐÎÂ, ÄÎÁÐÈÍ ÒÎÄÎÐÎÂ, ÅÌÈËÈß ÌÀÐÈÍÎÂÀ,

ÈÂÀÍ ÊÀÖÀÐÑÊÈ, ÍÈÊÎËÀÉ ÎÁÐÅØÊÎÂ, ÑÒÅÔÀÍ ÏÎÏÑÊÈ

ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÅÍ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÅÍ ÑÚÂÅÒ

ÄÆ. Ï. ÀÒÐÅÀ (ÈÍÄÈß), ÐÓÄÎËÔ ÇÈÁÅÐÒ (ÑÀÙ), ÍÈÊÚËÚÑ ÐÅØÚÐ (ÑÀÙ),

ÐÈ×ÀÐÄ ÐÎÐÒÈ (ÑÀÙ),

EDITORIAL BOARD

Editor-in-ChiefNONKA BOGOMILOVA

Deputy Editor-in-ChiefNINA DIMITROVA

ASSOCIATE EDITORS

DOBRIN TODOROV, EMILIA MARINOVA, IVAN KATSARSKY,

NIKOLAY OBRESHKOV, STEFAN POPSKI, VESSELIN PETROV

INTERNATIONAL ADVISORY BOARD

J. P. ATREYA (INDIA), NICHOLAS RESCHER (USA),

RICHARD RORTY (USA), RUDOLF SIEBERT (USA)

© Èíñòèòóò çà ôèëîñîôñêè èçñëåäâàíèÿ ïðè ÁÀÍ

2005

©Institute for Philosophical Research

2005

Èíòåðíåò ñòðàíèöà:http://www.philosophybulgaria.org

http://www.ceeol.com

1

ISSN 0861-7899

6/2005ÑÏÈÑÀÍÈÅ ÍÀ ÈÍÑÒÈÒÓÒÀ

ÇÀ ÔÈËÎÑÎÔÑÊÈ ÈÇÑËÅÄÂÀÍÈß

ÏÐÈ ÁÀÍ

ÃÎÄÈÍÀ ÕIV

VOL. XIV

Ñ Ú Ä Ú Ð Æ À Í È Å

ÐÅËÈÃÈß, ×ÎÂÅÊ, ÂÐÅÌÅ

Ô ü î ä î ð Ñ ò å ï ó í – Ðåëèãèîçíàòà òðàãåäèÿ íà Ëåâ Òîëñòîé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

À í à ò î ë è é Ê î ñ è ÷ å í ê î – Äèàëîãúò íà êîíôåñèèòå â óñëîâèÿòà íà ãëîáàëèçàöèÿ. . .

Ê ë à ð à Ñ ò à ì à ò î â à – Êîðàíè÷íèÿò îáðàç íà æåíàòà â êîíòåêñòà íà îòíîøåíèåòî

Àëëàõ–÷îâåê. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ËÎÃÈÊÀ È ÊÓËÒÓÐÀ

Ì à ð ò è í Ò à á à ê î â – Ïåðñïåêòèâíè ïðîáëåìè ïðåä ëîãèêàòà íà ÕÕI â. . . . . . . . . . . . .

Í è ê î ë à é Î á ð å ø ê î â – Ëîãè÷åñêè èäåè âúâ ôèëîñîôèÿòà íà äðåâåí Êèòàé. . . . . . . .

 à ñ è ë Ï å í ÷ å â – Êâàíòîâèÿò êîìïþòúð: êâàíòîâèòå îðäèíàëè è òèïîâåòå àëãîðèò-

ìè÷íà íåðàçðåøèìîñò. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÔÈËÎÑÎÔÈß ÍÀ ÑÎÖÈÓÌÀ

Î ã í ÿ í Ê à ñ à á î â, Á î ð è ñ Ï î ï è â à í î â – Ìîäåðíîòî ãðàæäàíñêî îáùåñòâî â

Õåãåëîâà ïåðñïåêòèâà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Á î ð è ñ ë à â Ã ð à ä è í à ð î â – Èíäèâèäóàëíîñò, ñîöèàëíà îáùíîñò è ñîöèàëíî-âëàñ-

òîâè îòíîøåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ñ â å ò ë à Å í ÷ å â à, Ê ð è ñ ò è ÿ í Å í ÷ å â – Ùðèõè âúðõó åäèí (íå)âúçìîæåí ïðîåêò

çà íîâà îïòèìèñòè÷íà òåîðèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÔÈËÎÑÎÔÈß ÍÀ ÍÀÓÊÀÒÀ È ÏÎÇÍÀÍÈÅÒÎ

È â à í Ì ë à ä å í î â – Ìèñëåíåòî â ñåìèîòè÷íà ïåðñïåêòèâà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Åïèñòåìè÷íè íîðìè â àêàäåìè÷íèÿ äèñêóðñ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ï ð î ë å ò è í à Ò î ä î ð î â à – Äâå îáÿñíåíèÿ íà åäèí åçèêîâ ôåíîìåí è òåõíèòå èìïëè-

êàöèè çà íàó÷íîòî ïîçíàíèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

À í í à Ã î ð à í î â à – Ìîëèòâàòà êàòî ñèòóèðàíà êóëòóðíà ôîðìà. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

È â à Í è ê î ë î â à – Ñèìâîë è äóõîâíî ôîðìèðàíå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 ë à ä è ñ ë à â À í ã å ë î â – Åïèñòåìè÷íàòà íîðìàòèâíîñò íà åñòåòè÷åñêîòî. . . . . . . . . .

Ï å ò ú ð È ë è å â – Ôîðìàëíàòà èçâîäèìîñò â àðèòìåòèêàòà è ÷îâåøêîòî ìèñëåíå. . . . .

À ë å ê ñ è À ï î ñ ò î ë î â – Åâîëþöèîííà åïèñòåìîëîãèÿ: íàóêà è ïîçíàíèå. . . . . . . . . . .

Í è ê î ë è í à Ñ ð å ò å í î â à – Êâàíòîâà ìåõàíèêà è ñîöèàëåí êîíñòðóêòèâèçúì. . . . . . .

ÌÈÒ È ËÎÃÎÑ ÂÚÂ ÔÈËÎÑÎÔÑÊÀÒÀ ÒÐÀÄÈÖÈß

Ê ð à ñ è ì è ð Ä å ë ÷ å â – Èñòîðèîñîôèÿòà íà Õåðîäîò. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ì î í è ê à Ï î ð ò î ê à ë ñ ê à – Ìèò è Ëîãîñ â ïîåìàòà „Çà ïðèðîäàòà“ íà Ïàðìåíèä. . .

4

22

30

37

50

59

72

83

94

101

116

118

121

125

130

132

133

138

144

154

2

ÔÈËÎÑÎÔÑÒÂÀÍÅÒÎ – ÐÅÒÐÎÑÏÅÊÒÈÂÍÀ ÑÀÌÎÐÅÔËÅÊÑÈß

Ë à ò ü î Ë à ò å â – Êóëòóðíî-ôèëîñîôñêàòà ïëàòôîðìà íà ñïèñàíèå „Ôèëîñîôñêè ïðå-

ãëåä“. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÑÚÁÈÒÈß, ÔÎÐÓÌÈ, ÊÍÈÃÈ

Ñ ò å ô à í Ä è ì è ò ð î â – Ó÷ðåäÿâàíå íà „Áúëãàðñêî îíòîëîãè÷íî îáùåñòâî“. . . . . . . . .

È â à é ë î Ä è ì è ò ð î â – Áúäåùåòî íà ôèëîñîôèÿòà: âñåêè ïîñëåäåí ÷åòâúðòúê. . . . . .

Þ ë è ÿ Â à ñ å â à-Ä è ê î â à – „Îáðàçèòå íà íàóêàòà“. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Á î ð è ñ Ã ð î ç ä à í î â – „Ôèëîñîôèÿ íà âðåìåòî“. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Í è í à À ò à í à ñ î â à, È í à Ä è ì è ò ð î â à, Ë è ë è ÿ Ñ à ç î í î â à, Ð î ñ å í

Ë þ ö ê à í î â – IV íàöèîíàëíà ñðåùà íà äîêòîðàíòèòå ïî ôèëîñîôèÿ. . . . . . . .

È í à Ä è ì è ò ð î â à – Âúçìîæíà ëè å äíåñ íîâà îïòèìèñòè÷íà òåîðèÿ çà áúëãàðñêèÿ

íàðîä?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

È â à í Ã å ð î â – Òåêñòîâåòå îò åäèí ñáîðíèê. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ä ð à ã î ë þ á Ä æ î ð ä æ å â è ÷ – Ïðåäñòàâÿìå áàëêàíñêîòî ñïèñàíèå „Òåìè“. . . . . . . . .

CONTENTS

RELIGION, MAN, TIME

F y o d o r S t e p u n – Leo Tolstoy’s Religious Tragedy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A n a t o l i y K o s s i c h e n k o – The Dialogue among Confessions in the Conditions of Glo-

balization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K l a r a S t a m a t o v a – The Koran Image of the Woman in the Context of the Relation “Al-

lah – Man”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LOGIC AND CULTURE

M a r t i n T a b a k o v – Perspective Problems in front of Logic of the 21st

Century. . . . . . . . .

N i k o l a y O b r e s h k o v – Ideas of Logic in the Philosophy of Ancient China. . . . . . . . . . .

V a s s i l P e n c h e v – The Quantum Computer: Quantum Ordinals and Types of Algorith-

mic Undecidability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PHILOSOPHY OF SOCIETY

O g n y a n K a s s a b o v, B o r i s P o p i v a n o v – The Modern Civil Society in a Hegelian

Perspective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B o r i s l a v G r a d i n a r o v – Individuality, Social Community and Socio-Power Relations. .

S v e t l a E n c h e v a, C h r i s t i a n E n c h e v – Outlines of an (Im) Possible Project about

a New Optimistic Theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PHILOSOPHY OF SCIENCE AND OF KNOWLEDGE

I v a n M l a d e n o v – The Thinking in a Semiotic Perspective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Epistemic Norms in the Academic Discourse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P r o l e t i n a T o d o r o v a – Two Explanations of a Linguistic Phenomenon and Their Im-

plications for Scientific Knowledge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A n n a G o r a n o v a – The Prayer as a Situated Cultural Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I v a N i k o l o v a – Symbol and Spiritual Formation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V l a d i s l a v A n g e l o v – The Epistemic Normativeness of the Aesthetical. . . . . . . . . . . . . .

P e t a r I l i e v – The Formal Derivability in Arithmetic and Human Thinking. . . . . . . . . . . . .

A l e x i A p o s t o l o v – Evolutionary Epistemology: Science and Knowledge. . . . . . . . . . . . .

N i k o l i n a S r e t e n o v a – Quantum Mechanics and Social Constructivism. . . . . . . . . . . . .

MYTH AND LOGOS IN THE PHILOSOPHICAL TRADITION

K r a s s i m i r D e l c h e v – Herodotus’ Historiosophy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M o n i k a P o r t o k a l s k a – Myth and Logos in the Poem “About Nature” by Parmenides.

170

174

175

177

181

183

186

188

191

4

22

30

37

50

59

72

83

94

101

116

118

121

125

130

132

133

138

144

154

3

PHILOSOPHIZING – A RETROSPECTIVE SELF-REFLECTION

L a t y o L a t e v – The Cultural-and-Philosophical Platform of the Journal “Filosofski

Pregled”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EVENTS, FORUMS, BOOKS

S t e f a n D i m i t r o v – Constitution of “Bulgarian Ontological Community”. . . . . . . . . . . . .

I v a y l o D i m i t r o v – The Future of Philosophy: Each Lat Thursday. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Y u l i a V a s s e v a-D i k o v a – “The Images of Science”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B o r i s G r o s d a n o v – “Philosophy of Time”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N i n a A t a n a s s o v a, I n a D i m i t r o v a, L i l i a S a z o n o v a, R o s s e n L y u t z -

k a n o v – IVth National Meeting of Post-Graduate Students in Philosophy. . . . . . .

I n a D i m i t r o v a – Is a New Optimistic Theory of the Bulgarian People Possible Today?. .

I v a n G e r o v – The Texts from a Collection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D r a g o l y u b D j o r d j e v i c – We Present You the Balkan Journal “Temi”. . . . . . . . . . . . . .

170

174

175

177

181

183

186

188

191

59

ÂÀÑÈË ÏÅÍ×ÅÂ

ÊÂÀÍÒÎÂÈßÒ ÊÎÌÏÞÒÚÐ:

ÊÂÀÍÒÎÂÈÒÅ ÎÐÄÈÍÀËÈ È ÒÈÏÎÂÅÒÅ

ÀËÃÎÐÈÒÌÈ×ÍÀ ÍÅÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒ1

Abstract

It is supposed a definition of quantum computer as a countable set of Turing machines on the

ground of: quantum parallelism, reversibility, entanglement. Q–bit is the set of all the i–th

binary loca-

tion cells transforming in parallel by unitary matrices. Church thesis is given in the quantum computer

form. It is introduced notion of non–finite (but not infinite) potency.

„Èçñëåäâàíèÿòà çà òî÷êîâèòå ìíîæåñò-

âà ... àç îò ñàìîòî íà÷àëî ïðåäïðèåõ íå

ñàìî çàðàäè ñïåêóëàòèâíèÿ èíòåðåñ, íî

åäíîâðåìåííî è èìàéêè ïðåäâèä ïðè-

ëîæåíèÿòà, êîèòî î÷àêâàõ â ìàòåìà-òè÷åñêàòà ôèçèêà è â äðóãè íàóêè.“

2

Ãåîðã Êàíòîð

Ïðåäìåò íà íàñòîÿùîòî ðàçãëåæäàíå å äàëè êâàíòîâèÿò êîìïþòúð, êîéòî

ïî ïîäîáèå íà ìàøèíàòà íà Òþðèíã íå ïðåäñòàâëÿâà ðåàëíà ìàøèíà, à ìàòå-

ìàòè÷åñêè ìîäåë, íàðóøàâà òåçèñà íà ×úð÷, ÷å âñÿêà åôåêòèâíî èç÷èñëèìà

ôóíêöèÿ å îáùî èëè ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà (ðåñï. ÷å å ìàøèíà íà Òþðèíã).

Èäåÿòà çà êâàíòîâ êîìïþòúð, îñíîâàâàù ñå ñúùî òàêà è íà ñúñòîÿíèÿòà íà

ñäâîÿâàíå [entanglement] ñ íåàäèòèâíà åíòðîïèÿ, ìàêàð è ïðèìàìëèâà ñ îãëåä

ñúùåñòâåíî è ïðèíöèïíî óñêîðÿâàíå ïîñðåäñòâîì ñïåöèàëíè êâàíòîâè àëãî-

ðèòìè â ñðàâíåíèå ñ àëãîðèòìè, åêâèâàëåíòíè íà ìàøèíà Òþðèíã, çà ôèëîñî-

ôèòå å èíòåðåñíà ïðåäè âñè÷êî ïîðàäè âðúçêàòà £ ñ ïîäõîäèòå çà îáîñíîâàâàíå

íà ìàòåìàòèêàòà (èíòóèöèîíèçúì, ôîðìàëèçúì), ñ òåîðèÿòà íà ìíîæåñòâàòà è

ïðîáëåìà çà àêòóàëíàòà è ïîòåíöèàëíà áåçêðàéíîñò, êàêòî è ñ êîíòèíóóì-õèïî-

òåçàòà è íåéíèòå àíàëîçè è îáîáùåíèÿ. Ñàìîòî ïðåäïîëîæåíèå, ÷å ìîæå áè ñú-

ùåñòâóâàò àëãîðèòìè, êîèòî ñà ðàçðåøèìè íà êâàíòîâ êîìïþòúð, íî íå ñà ðàç-

ðåøèìè âúðõó ìàøèíà íà Òþðèíã, å ôèëîñîôñêè èíòåðåñíà (ñðâ. ñ: Êàðëñîí,

1999, ñ. 219).

Êâàíòîâèÿò êîìïþòúð, íàðåä ñ êâàíòîâàòà êîìóíèêàöèÿ è êâàíòîâà-

òà êðèïòîãðàôèÿ, å ïîäîáëàñò íà äèñöèïëèíàòà êâàíòîâà èíôîðìàöèÿ:

1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÍÀ ÏÐÎÁËÅÌÀ ÎÒ ÃËÅÄÍÀ ÒÎ×ÊÀ

ÍÀ ÈÍÒÓÈÖÈÎÍÈÇÌÀ

Ïîäëîæåíà íà êðèòèêà, â èíòóèöèîíèçìà ñå îòñòðàíÿâà àêòóàëíàòà, ò.å. çà-

âúðøåíà áåçêðàéíîñò, êîÿòî å â îñíîâàòà íà Êàíòîðîâàòà òåîðèÿ íà ìíîæå-

ñòâàòà. Âìåñòî íåÿ ñå ïðåäïîëàãà áåçêðàéíîñòòà â êà÷åñòâîòî íà ïðîöåñ, ò. íàð.

1

Äîêëàä, èçíåñåí ïðåä ñåêöèÿ „Ëîãèêà“ íà 19 è 26 ìàé 2004 ã.2

Êàíòîð, 1985, ñ. 167. Íà òîâà ìÿñòî ó Êàíòîð ìè îáúðíà âíèìàíèå Ð. Ëþöêàíîâ.

60

ïîòåíöèàëíà áåçêðàéíîñò. Èäåÿòà â íàñòîÿùàòà ðàáîòà å äà ñå ðàçãëåæäàò åä-

íîâðåìåííî ïîòåíöèàëíà è àêòóàëíà áåçêðàéíîñò, êàòî ïîòåíöèàëíàòà áåçê-

ðàéíîñò ñå ðàçïîëîæè ìåæäó êðàéíîñòòà è àêòóàëíàòà áåçêðàéíîñò3. Ïîòåí-

öèàëíàòà áåçêðàéíîñò ìîæå äà ñå âúâåäå „àêòóàëíî“ è ñ ïîìîùòà íà íåñòàí-

äàðòíèÿ àíàëèç4. Êàòî ñèíîíèì íà „ïîòåíöèàëíî áåçêðàéíîòî“ ùå ñå èçïîëçâà

òåðìèíúò „íåêðàéíî“, çà ðàçëèêà îò òåðìèíà „áåçêðàéíî“, êîéòî å çàïàçåí çà

àêòóàëíî áåçêðàéíîòî.

Çà äà âúâåäå ñâîåòî ðàçáèðàíå çà ïîòåíöèàëíà áåçêðàéíîñò, Áðàóåð èçïîë-

çâà ïîíÿòèÿòà „ïîòîê“ (âæ. Êëèíè, Âåñëè, 1978, ñ. 65, 67) âìåñòî ìíîæåñòâî,

„ïîñëåäîâàòåëíîñò íà èçáîðà“ (ïàê òàì, ñ. 66) (èëè „ñâîáîäíî âúçíèêâàùà

ïîñëåäîâàòåëíîñò“), „çàêîí íà èçáîðà“ è „çàêîí íà ñúïîñòàâÿíåòî“ (ïàê òàì).

„Ìíîæåñòâîòî èëè ïîòîêúò èíòóèöèîíèñòêè íå ñå ìèñëè êàòî „ñúâêóïíîñòòà“

îò ñâîèòå åëåìåíòè äàæå â ñëó÷àé, êîãàòî âñè÷êè (ðàçðåøåíè) ïîñëåäîâàòåë-

íîñòè îò èçáîðè ñå çàâúðøâàò, è ïî òàêúâ íà÷èí åëåìåíòèòå ñàìè ïî ñåáå ñè ñå

ÿâÿâàò èíòóèöèîíèñòêè çàâúðøåíè îáåêòè. Äà ñå ïîñòúïè òàêà áè çíà÷åëî äà

ñå âúâåäå çàâúðøåíà (àêòóàëíà) áåçêðàéíîñò“ (Êëèíè, Âåñëè, 1978, ñ. 66).

„Îáåêòèòå, ñúïîñòàâÿíè íà èçáîðèòå, ìîãàò äà áúäàò åñòåñòâåíè ÷èñëà, èíòåð-

âàëè ñ ðàöèîíàëíè êðàèùà è ïðîèçâîëíè îáåêòè; äîêîëêîòî çà äàäåíèÿ ïîòîê

òåçè îáåêòè òðÿáâà äà ñå èçáèðàò îò çàäàäåíî èçáðîèìî ìíîæåñòâî, ìîãàò äà

ñå ïðèåìàò îò àáñòðàêòíà ãëåäíà çà åñòåñòâåíè ÷èñëà“ (Êëèíè, Âåñëè, 1978,

ñ. 67).

Íà ïðèâè÷íèÿ çà íàñ Êàíòîðîâ åçèê ñúùíîñòòà íà èíòóèöèîíèñòêàòà èäåÿ

å äà ñå ïðåäñòàâè ïîòåíöèàëíàòà áåçêðàéíîñò êàòî îòíîøåíèå íà èçáðîèìè

ìíîæåñòâà: òîâà â ÷èñëèòåëÿ, îïðåäåëÿíî ÷ðåç „çàêîíà çà èçáîðà“, à òîâà â çíà-

ìåíàòåëÿ – ÷ðåç „çàêîíà çà ñúïîñòàâÿíåòî“. Äåéñòâèòåëíî èçáðîèìîòî ìíî-

æåñòâî å ðàâíîìîùíî íà âñÿêî ñâîå áåçêðàéíî ïîäìíîæåñòâî. Àêî ñå ïîñòðîè

ìíîæåñòâî, êîåòî äà å èçîìîðôíî íà òÿõíîòî îòíîøåíèå, à Áðàóåðîâàòà „ïîñ-

ëåäîâàòåëíîñò îò èçáîðè“ äàâà âúçìîæíîñò èìåííî çà òàêîâà ïîñòðîÿâàíå, òî

ìîùíîñòòà íà òàêà ïîñòðîåíîòî ìíîæåñòâî å „íåêðàéíà“. Ïðè òîâà èçãëåæäà,

÷å ùå ñúùåñòâóâàò èçáðîèìî ìíîãî íåêðàéíè ìîùíîñòè. Ìîæå äà ñå íàïðàâè

àíàëîãèÿ ñ ãðàíèöàòà íà îòíîøåíèåòî íà äâå ÷èñëîâè ðåäèöè, âñÿêà îò êîèòî

êëîíè êúì áåçêðàéíîñò, íî ãðàíèöàòà íà îòíîøåíèåòî ìîæå äà å ïðîèçâîëíî

êðàéíî è ïîðàäè òîâà âúâ âñåêè ñëó÷àé ðàçëè÷íî ÷èñëî. Íàïðèìåð äà ðàçãëå-

äàìå êàòî „ñúïîñòàâÿíî ìíîæåñòâî“ (ò.å. îíîâà, êîåòî ñå äåôèíèðà ÷ðåç „çàêî-

íà çà ñúïîñòàâÿíå“) ìíîæåñòâîòî îò âñè÷êè åñòåñòâåíè ÷èñëà (êîåòî ìíîæåñò-

âî â êà÷åñòâîòî íà ïîòîê Áðàóåð íàðè÷à óíèâåðñàëåí ïîòîê), à êàòî „èçáðàíî

ìíîæåñòâî“ (ò.å. îíîâà, êîåòî ñå äåôèíèðà ÷ðåç „çàêîíà çà èçáîðà“) – ìíîæå-

3 Òàêà êàêòî ñïîðåä Êàíòîðîâàòà òåîðèÿ ñúùåñòâóâàò íàé-ðàçíîîáðàçíè ìîùíîñòè íà ìíîæåñ-

òâàòà îò àêòóàëíàòà áåçêðàéíîñò, â ò. III. ùå ñå ïðåäïîëîæàò ðàçíîîáðàçíè íåêðàéíè

ìîùíîñòè. Êàêòî ùå ñå îáñúäè â ò. VII., èçãëåæäà, ìîæå äà ñå ïîñòàâè âúïðîñúò çà ñúîòâåòñ-

òâèåòî ìåæäó ñòåïåíèòå íà Òþðèíãîâà íåðàçðåøèìîñò (îáðàçóâàò ìíîæåñòâî ñ èçáðîèìà

ìîùíîñò) è íåêðàéíèòå ìíîæåñòâà ñ ïîñëåäîâàòåëíî íàìàëÿâàùà ìîùíîñò. Òîãàâà âúïðî-

ñúò çà íå-Òþðèíãîâèòå íåðàçðåøèìîñòè ùå ìîæå äà ñå ñâúðæå ñ ò. íàð. ïðèíöèï íà êîíñòðóê-

òèâíèÿ ïîäáîð, èëè ïðèíöèïà íà Ìàðêîâ. Â íàñòîÿùèÿ êîíòåêñò òîé ìîæå äà ñå ïîñòàâè òàêà:

ìåæäó êðàéíèòå è íåêðàéíèòå ìíîæåñòâà íÿìà äðóã òèï ìíîæåñòâà; îùå åäíà ôîðìóëèðîâêà:

íåêðàéíèòå ìíîæåñòâà îò ðåä (âæ. ò. III.) ñ ìîùíîñò, ðàâíà èëè ïî-ãîëÿìà îò èçáðîèìà, ñà

êðàéíè.4 Íåñòàíäàðòíèòå åëåìåíòè íà ìîäåëà ìîãàò äà ñå ðàçãëåæäàò è êàòî „èäåàëíè“, „èíôèíèòåçè-

ìàëíè“ áåçêðàéíî ìàëêè è áåçêðàéíî ãîëåìè ÷èñëà. Òî÷êèòå íà íåîòäåëèìèòå ìíîæåñòâà, êîè-

òî ñå ðàçãëåæäàò ïî-íàòàòúê, áèõà áèëè ñâúðçàíè ñ ðàçãëåæäàíåòî íà íåñòàíäàðòíèòå áåçêðàé-

íî-áëèçêè òî÷êè.

61

ñòâîòî îò êðàòíèòå íà íÿêîå åñòåñòâåíî ÷èñëî n. Ìîæåì äà ïðèåìåì, ÷å ìîù-

íîñòòà íà íåêðàéíîòî ìíîæåñòâî å áåçêðàéíîñò îò òèï (-n) è íåêðàéíèòå ìíî-

æåñòâà ùå áúäàò èçáðîèìî ìíîãî (èëè ïúê ïðè èíòóèöèîíèñòêèÿ ïîäõîä –

„íåêðàéíî ìíîãî“). Ñëåäîâàòåëíî ïîòåíöèàëíàòà áåçêðàéíîñò ìîæå äà ñå ìèñ-

ëè êàòî âåðîÿòíîñòòà ÷ðåç èçáðîèìî ìíîãî èçáîðè (äåôèíèðàíè îò „çàêîíà çà

èçáîðà“) äà ñå èçáåðàò âñè÷êè åëåìåíòè îò íÿêîå èçáðîèìî ìíîæåñòâî (äåôè-

íèðàíè ÷ðåç „çàêîíà çà ñúïîñòàâÿíåòî“).

Òðÿáâà äà ñå ïðàâè ðàçëèêà ìåæäó êðàéíî è êîíñòðóêòèâíî (ðåñï. èíòóè-

òèâíî âàëèäíî ïîñòðîåíèå) ïîñòðîåíèå, êàêòî è ìåæäó êîíñòðóêòèâíî ïîñòðî-

åíèå è àêòóàëíà áåçêðàéíîñò, à íà ñâîé ðåä êîíñòðóêòèâíèòå ïîñòðîåíèÿ áèâàò

êðàéíè è íåêðàéíè. Åäíà èäåÿ â íàñòîÿùàòà ðàáîòà å, ÷å íåêðàéíèòå ïîñòðî-

åíèÿ è ðåñï. íåêðàéíèòå ìíîæåñòâà ìîãàò äà ñå ïðåäñòàâÿò êàòî ñäâîåíè êðàé-

íî ìíîæåñòâî N è èçáðîèìî áåçêðàéíî ìíîæåñòâî A, ïðè êîåòî òîâà êðàéíî

ìíîæåñòâî N ñúîòâåòñòâà åäíîçíà÷íî íà èçáðîèìî áåçêðàéíîòî ìíîæåñòâî íà

èçáîðà ïðè åäíà ïîñëåäîâàòåëíîñò íà èçáîðà, à ìíîæåñòâîòî À – íà èçáðîèìî

áåçêðàéíîòî ñúïîñòàâÿíî ìíîæåñòâî. Êðàéíîòî ìíîæåñòâî N ùå ñúîòâåòñòâó-

âà íà ñòåïåíòà íà íåðàçðåøèìîñò âúðõó ìàøèíà íà Òþðèíã íà íåêðàéíîòî

ïîñòðîåíèå. Íå å èçêëþ÷åíî êâàíòîâèÿò êîìïþòúð äà ìîæå äà èçïúëíÿâà

àëãîðèòìè, íåðàçðåøèìè âúðõó ìàøèíà íà Òþðèíã, êàòî óòî÷íÿâàíåòî íà òîâà

òâúðäåíèå ñå íàìèðà â ãë. 7.

Ìîæå äà ñå ïðåäïîëîæè, ÷å ïðè íåêðàéíèòå ìíîæåñòâà ùå ñúùåñòâóâà

ïðèáëèçèòåëåí àíàëîã íà òåîðåìàòà íà Ãüîäåë çà íåïúëíîòàòà (Êîýí, 1969, ñ. 68,

71, 78), à èìåííî, ÷å ìîãàò êîíñòðóêòèâíî äà ñå ïîñòðîÿò íåêðàéíè ìíîæåñòâà,

êîèòî íå ñå îïðåäåëÿò åäíîçíà÷íî îò èçáðàíîòî è ñúïîñòàâÿíîòî ìíîæåñòâî,

ò.å. íå ìîãàò äà ñå ïðåäñòàâÿò êàòî ñäâîÿâàíå íà êðàéíî è áåçêðàéíî

ìíîæåñòâî.

2. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÍÀ ÏÐÎÁËÅÌÀ ÎÒ ÃËÅÄÍÀ ÒÎ×ÊÀ ÍÀ ÒÅÎÐÈßÒÀ

ÍÀ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀÒÀ

Íÿêîëêî îñíîâíè òâúðäåíèÿ:

1. Ñúùåñòâóâà ïîíå åäíî íå-êðàéíî êàðäèíàëíî ÷èñëî z, òàêîâà ÷å: 2z=a,

ò.å. ìíîæåñòâîòî îò ïîäìíîæåñòâàòà íà ìíîæåñòâîòî ñ íåêðàéíî êàðäèíàëíî

÷èñëî z å ñ ìîùíîñòòà a íà èçáðîèìî ìíîæåñòâî.

2. n<z<a, èëè ìîùíîñòòà íà âñÿêî êðàéíî ìíîæåñòâî n å ïî-ìàëêà îò ìîù-

íîñòòà íà íåêðàéíîòî ìíîæåñòâî z, à ïîñëåäíàòà íà ñâîé ðåä å ïî-ìàëêà îò

ìîùíîñòòà íà èçáðîèìîòî ìíîæåñòâî a.

3. z=àëåô(-1), ò.å. íåêðàéíîòî ìíîæåñòâî å ðàâíîìîùíî íà ìíîæåñòâîòî

îò îðäèíàëè, ñòðîãî ïî-ìàëêè îò îðäèíàëà íà èçáðîèìîòî ìíîæåñòâî.

4. Ñúùåñòâóâà áåçêðàåí íàìàëÿâàù ðåä îò íåêðàéíè (ñ èçêëþ÷åíèå íà

ïúðâîòî, êîåòî å íà èçáðîèìîòî ìíîæåñòâî) êàðäèíàëíè ÷èñëà:

àëåô(0), àëåô(-1), àëåô(-2), àëåô(-3), àëåô(-4), ... àëåô(-i),... ... ....

èëè

a, z, z-1, z-2, z-3, ... z-i+1, ... ... ....,

ïðè êîåòî

2z-i=z-i+1.

62

5. Òîçè ðåä, ò.å. ðåäúò îò íåêðàéíè êàðäèíàëíè ÷èñëà, êîéòî ùå îçíà÷àâàì

ñ zi, ñúâïàäà5 ñ ðåäà íà êàðäèíàëíèòå ÷èñëà îò ìíîæåñòâàòà íà âñè÷êè îðäè-

íàëíè ÷èñëà íà n-ñâîäèìèòå ïî Òþðèíã àëãîðèòìè, èëè ñ èçáðîèìà ñòåïåí íà

íåðàçðåøèìîñò (ò.å. ñúñ ñúîòâåòíî ìíîæåñòâî, ñúäúðæàùî ðàçðåøèìîòî êàòî

èñòèíñêî ïîäìíîæåñòâî). Ïîñëåäíèÿò ðåä å íàðàñòâàù:

àëåô(n), àëåô(n)+1, àëåô(n)+2, àëåô(n)+3, ..., àëåô(n)+j, ... ....

Ïðè òîâà àëåô(n) îçíà÷àâà êàðäèíàëíîòî ÷èñëî íà ìíîæåñòâîòî îò âñè÷êè

êðàéíè îðäèíàëè è ñúîòâåòíèÿò îðäèíàë (ïî òåîðåìàòà çà äîáðàòà íàðåäáà íà

âñÿêî ìíîæåñòâî, ñëåäâàùà îò àêñèîìàòà çà èçáîðà) íà 1-ñâîäèìèÿ ïî Òþðèíã

íåðàçðåøèì àëãîðèòúì; àëåô(n)+1 îçíà÷àâà êàðäèíàëíîòî ÷èñëî íà ìíîæåñò-

âîòî îò îðäèíàëè, ïî-ìàëêè èëè ðàâíè íà îðäèíàëà íà 1-ñâîäèìèÿ ïî Òþðèíã

íåðàçðåøèì àëãîðèòúì, èëè íà âòîðèÿ íåðàçðåøèì àëãîðèòúì. Ïúðâèÿò íå-

ðàçðåøèì àëãîðèòúì èìà îðäèíàëíî ÷èñëî ñ 1 ïî-ãîëÿìî (ò.å. ñ åäèíèöà îò-

äÿñíî) îò âñåêè ðàçðåøèì àëãîðèòúì; âòîðèÿò èìà îðäèíàëíî ÷èñëî ñ 1 ïî-ãî-

ëÿìî (ïàê ñ åäèíèöà îòäÿñíî) îò ïúðâèÿ íåðàçðåøèì àëãîðèòúì è ò.í. Îáè÷àé-

íèÿò ìåòîä çà ïîñòðîÿâàíåòî íà íåðàçðåøèìè àëãîðèòìè å äèàãîíàëíèÿò

(Ðîäæåðñ, 1972, ñ. 27; Ìàðòèí-Ëåô, 1975, 29–30), âúçõîæäàù êúì Êàíòîðîâîòî

äîêàçàòåëñòâî çà ñúùåñòâóâàíå íà íåèçáðîèìè ìíîæåñòâà.

Òâúðäåíèåòî 5. ìîæå äà ñå çàïèøå òàêà:

Çà âñÿêî i ñúùåñòâóâà j è îáðàòíî, çà âñÿêî j ñúùåñòâóâà i, òàêîâà, ÷å:

àëåô(-i) = àëåô(n)+j.

6. Âúâåæäàìå íîâî êàðäèíàëíî ÷èñëî p1, ÷èéòî ñìèñúë å èçáîð íà åäèí

åëåìåíò ñðåä èçáðîèìî ìíîæåñòâî, ñúäúðæàùî èçáðàíèÿ åëåìåíò. Òî ìîæå äà

ñå äåôèíèðà ñòðîãî êàòî îòíîøåíèå íà êàðäèíàëíîòî ÷èñëî ïîäìíîæåñòâàòà

íà íÿêîå èçáðîèìî ìíîæåñòâî, ñúäúðæàùè òî÷íî åäèí åëåìåíò, êúì êàðäèíàë-

íîòî ÷èñëî íà èçáðîèìîòî ìíîæåñòâî íà åñòåñòâåíèòå ÷èñëà. Òîâà ñèìâîëè÷-

íî ìîæåì äà çàïèøåì òàêà: p1=a

{1}/a. Èíòóèòèâíèÿò ñìèñúë íà êàðäèíàëíîòî

÷èñëî p1 å íà âåðîÿòíîñò: íà âåðîÿòíîñòòà äà áúäàò èçáðîåíè âñè÷êè åëåìåíòè

íà èçáðîèìî ìíîæåñòâî, ñëåä êàòî ñå îñúùåñòâÿò èçáðîèìî ìíîãî èçáîðè íà

åäèí åëåìåíò.

7. Àíàëîãè÷íî îáðàçóâàìå íàðàñòâàù ðåä pj=a

{j}/a:

p1, p

2, p

3, p

4, ... p

j, ...

8. pj=àëåô(n)+j

Ôàêòè÷åñêè äî ñúùåñòâóâàíåòî íà íåêðàéíè êàðäèíàëè è îðäèíàëè ñå äîñ-

òèãà è â îáè÷àéíî èçëàãàíàòà òåîðèÿ íà ìíîæåñòâàòà ñ ò. íàð. ïàðàäîêñ íà

Ñêîëåì. Îòíîñíî òîçè ïàðàäîêñ Ïîë Êîåí ïèøå: „Òîçè ïàðàäîêñ, ñúñòîÿù ñå â

òîâà, ÷å èçáðîèì ìîäåë ìîæå äà ñúäúðæà íåèçáðîèìî ìíîæåñòâî, ñå ðàçÿñíÿ-

âà ñúñ çàáåëåæêàòà, ÷å òâúðäåíèåòî çà íåèçáðîèìîñòòà íà íÿêàêâî ìíîæåñòâî

îçíà÷àâà ñàìî íåñúùåñòâóâàíå íà âçàèìíî åäíîçíà÷íî èçîáðàæåíèå íà òîâà

5 Òâúðäåíèåòî çà òîâà ñúâïàäåíèå å èçâîäèìî âúç îñíîâà íà àêñèîìàòà íà èçáîðà è ñëåäîâàòåë-

íî å â ïðÿêà âðúçêà ñ õèïîòåçàòà çà êîíòèíóóìà. Èçãëåæäà, ÷å àêñèîìàòà çà èçáîðà ñëåäâà îò

êîíòèíóóì-õèïîòåçàòà ñàìî ïðè íåÿâíîòî äîïóñêàíå çà îòäåëèìîñò íà åëåìåíòèòå íà ìíîæåñò-

âîòî (âæ. ïî-ïîäðîáíî â êðàÿ íà íàñòîÿùàòà ãëàâà è ãëàâà IV). Ïðè „íåîòäåëèìè ìíîæåñòâà“,

êàêâèòî ñà íåêðàéíèòå, å äîïóñòèìî àêñèîìàòà çà èçáîðà äà áúäå ñúâìåñòèìà ñ îòðèöàíèåòî

íà êîíòèíóóì-õèïîòåçàòà è îòòóê ñúùî òàêà ñ íåàäèòèâíîñòòà íà åíòðîïèÿòà íà äèçþíêòíèòå

ïîäìíîæåñòâà íà åäíî ìíîæåñòâî, òúé êàòî, ãðóáî êàçàíî, íå å ñúâñåì ÿñíî, áåç óòî÷íåíèÿ, êàê-

âî îçíà÷àâà äà ñå èçáåðå åëåìåíò îò „íåîòäåëèìî ìíîæåñòâî“ (òîé ìîæå äà å íåîòäåëèì îò

äðóãè åëåìåíòè è íåãîâèÿò èçáîð „ïîâëè÷à“ è äðóãèòå åëåìåíòè, îò êîèòî å â íÿêàêúâ ñìèñúë

íåîòäåëèì). Íåàäèòèâíà (Öàëèñîâà) åíòðîïèÿ ñå âúâåæäà íàïð. â (Ðóäîé, 2003, 22–28).

63

ìíîæåñòâî âúðõó ìíîæåñòâîòî íà âñè÷êè öåëè ÷èñëà. Íåèçáðîèìîòî ìíîæåñò-

âî â Ì ñúäúðæà â äåéñòâèòåëíîñò ñàìî èçáðîèìî êîëè÷åñòâî åëåìåíòè îò M,

íî â Ì íå ñúùåñòâóâà íèêàêâî âçàèìíî åäíîçíà÷íî èçîáðàæåíèå íà òîâà ìíî-

æåñòâî âúðõó ìíîæåñòâîòî íà âñè÷êè öåëè ÷èñëà“ (Êîýí, 1969, ñ. 39). Íåùàòà

èäâàò ïî ìåñòàòà ñè, àêî êàæåì, ÷å èçáðîèì ìîäåë ìîæå äà ñúäúðæà íåêðàéíî

ìíîæåñòâî.

Ïàðàäîêñúò íà Ñêîëåì ïðîèçòè÷à îò òåîðåìàòà íà Ëüîâåíõàéì–Ñêîëåì

(íàïð. Êîýí, 1969, ñ. 37), „äîêàçàòåëñòâîòî íà êîÿòî ïî÷òè ñúâïàäà ñ äîêàçàòåë-

ñòâîòî íà òåîðåìàòà çà ïúëíîòàòà“ (Êîýí, 1969, ñ. 37, 29; Óñïåíñêèé, 1982, ñ. 52,

53). „Ìíîãî èíòåðåñíà ÷åðòà íà òåîðåìàòà çà ïúëíîòàòà å èíôîðìàöèÿòà çà

ìîùíîñòòà íà îíåçè ìîäåëè, ñúùåñòâóâàíåòî íà êîèòî òÿ òâúðäè. Îò íåÿ

ïðîèçòè÷à íàïðèìåð, ÷å êàêòî è äà ôîðìàëèçèðàìå òåîðèÿòà íà ìíîæåñòâàòà ñ

âñè÷êè íåéíè èçâîäè, îòíàñÿùè ñå äî ñúùåñòâóâàíåòî íà ìíîæåñòâà ñ ãîëÿìà

ìîùíîñò, ïðåäëàãàíîòî îò íàñ ìíîæåñòâî îò àêñèîìè ùå èìà èçáðîèì ìîäåë“

(Êîýí, 1969, ñ. 35). È îòòóê ïî òåîðåìàòà íà Ëüîâåíõàéì–Ñêîëåì (ò. íàð. ïàðà-

äîêñ íà Ñêîëåì) ùå ñëåäâà íàëè÷èåòî íà íåêðàéíî ïîäìíîæåñòâî íà òîçè

ìîäåë, êîéòî ùå èìà ïîíå åäèí ïðàîáðàç â ñúâêóïíîñòòà îò àêñèîìè íà òåîðèÿ-

òà íà ìíîæåñòâàòà.

Âúâ ôèëîñîôñêè êîíòåêñò ìîæå äà ñå êàæå, ÷å òúé êàòî ñúùåñòâóâàíåòî íà

íåêðàéíè ìíîæåñòâà ñëåäâà îò òåîðåìàòà çà ïúëíîòàòà, òî ëîãè÷åñêàòà çàâúð-

øåíîñò ïîðàæäà íåêðàéíè ìíîæåñòâà. Ñàìàòà òåîðåìà çà íåïúëíîòàòà ìîæå

äà ñå ðàçãëåæäà êàòî ïîñòðîÿâàíå ÷ðåç äèàãîíàëíèÿ ìåòîä (îðèãèíàëíîòî äî-

êàçàòåëñòâî íà Ãüîäåë) èëè ÷ðåç ðåêóðñèâíè ôóíêöèè (äîêàçàòåëñòâîòî £ îò

Êîåí) íà íåêðàéíî ìíîæåñòâî.

Åäíî äðóãî ñëåäñòâèå îò òåîðåìàòà íà Ãüîäåë çà ïúëíîòàòà ãëàñè: „Àêî S

äîïóñêà áåçêðàåí ìîäåë èëè äàæå ïðîèçâîëíî ãîëåìè êðàéíè ìîäåëè, òî S äî-

ïóñêà ìîäåë ñ ïðîèçâîëíî ãîëåìè ìîùíîñòè“ (Êîýí, 1969, ñ. 34). Òîãàâà îò íà-

ëè÷èåòî íà íåêðàéíè ìîäåëè ñëåäâà íàëè÷èåòî íà ìîäåëè ñ ïðîèçâîëíî ãîëå-

ìè ìîùíîñòè. Îò òîâà è îò ãîðíèòå äâà àáçàöà ñëåäâàò ñúâìåñòèìîñòòà è èç-

âîäèìîñòòà íà íåêðàéíèòå ìíîæåñòâà îò òåîðèÿòà íà ìíîæåñòâàòà.

Ñúùåâðåìåííî: „Òîâà ñëåäñòâèå ïîêàçâà, ÷å íèêàêâà ñèñòåìà îò àêñèîìè

íå ìîæå äà èìà åäèíñòâåí (ñ òî÷íîñò äî èçîìîðôèçúì) ìîäåë, ñ èçêëþ÷åíèå

íà ñëó÷àèòå, êîãàòî òîçè åäèíñòâåí ìîäåë å êðàåí. Îòòóê ñå âèæäà, ÷å îáè-

÷àéíèòå ìàòåìàòè÷åñêè ñèñòåìè, íàïðèìåð íà åñòåñòâåíèòå ÷èñëà èëè íà ðå-

àëíèòå ÷èñëà, ïðèòåæàâàùè, êàêòî å ïðèåòî äà ñå ñìÿòà, ñàìî åäèí ìîäåë, íå

ìîãàò äà áúäàò îïèñàíè îò íèêàêâà ôîðìàëíà ñèñòåìà àêñèîìè. Êàêòî âå÷å ñå

ñïîìåíà, ïðè ðàçãëåæäàíåòî íà êëàñè÷åñêèòå àêñèîìè çà òåçè ñèñòåìè ñå ðàç-

êðèâà, ÷å íå îáðàçóâàò ôîðìàëíà ñèñòåìà â íàøèÿ ñìèñúë, ïîíåæå òå ãîâîðÿò

íåôîðìàëíî çà ìíîæåñòâî“ (Êîýí, 1969, ñ. 35). Âúâåæäàíåòî íà íåêðàéíèòå

ìíîæåñòâà â èçâåñòåí ñìèñúë óòî÷íÿâà (íî íå èç÷åðïàòåëíî, ò.å. íå ôîðìàëè-

çèðà) ïîíÿòèåòî çà ìíîæåñòâî íàïðèìåð êàòî èçèñêâàíå çà îòäåëèìîñò íà åëå-

ìåíòèòå íà åäíî ìíîæåñòâî: âñåêè åëåìåíò íà åäíî ìíîæåñòâî ìîæå äà áúäå

ðàçãëåæäàí íåçàâèñèìî îò âñåêè äðóã è çàìÿíàòà íà åäèí åëåìåíò íà åäíî ìíî-

æåñòâî íå âîäè äî èçìåíèå íà íèòî åäèí äðóã åëåìåíò íà ñúùîòî ìíîæåñòâî. Â

íåôîðìàëíîòî ãîâîðåíå çà ìíîæåñòâî â ðàìêèòå íà äîñåãàøíàòà òåîðèÿ íà

ìíîæåñòâàòà ôèãóðèðà íåÿâíî ãîðíîòî òâúðäåíèå. Íî òî íå å ôîðìóëèðàíî êà-

òî àêñèîìà (ñðâ. ñ: Ìåäâåäåâ, 1982, ñ. 30). Åòî çàùî â íåéíèòå ðàìêè ìîæå äà ñå

èçâåäå êîðåêòíî òåîðåìàòà çà íåïúëíîòàòà.  äåéñòâèòåëíîñò îáà÷å ðàçãëåæäà-

íåòî íà íåêðàéíè ìíîæåñòâà âëå÷å ñëåä ñåáå ñè îòõâúðëÿíå íåÿâíîòî òâúðäå-

íèå çà îòäåëèìîñò íà åëåìåíòèòå íà åäíî ìíîæåñòâî. Â ñúùàòà ðåäèöà íà îò-

õâúðëÿíå íà òâúðäåíèåòî çà îòäåëèìîñò íà åëåìåíòèòå å è îòõâúðëÿíåòî íà òå-

64

çèñà íà ×úð÷ è ïîíÿòèåòî çà êâàíòîâ àëãîðèòúì, îñíîâàâàù ñå íà ñúñòîÿíèÿòà

íà ñäâîÿâàíå è íåàäèòèâíà åíòðîïèÿ6. Ïîíÿòèåòî çà îòäåëèìîñò ñå âúâåæäà â

òîïîëîãèÿòà â êà÷åñòâåòî íà ñïåöèàëíà àêñèîìà, êîÿòî ñå ïðåäëàãà â ðàçëè÷íè

ïî ñèëà ôîðìóëèðîâêè. Òðÿáâà äà ñå ïîñòàâè âúïðîñúò, äàëè íå ñëåäâà äà áúäå

ïðåìåñòåíà è ñúîòâåòíî ïðåôîðìóëèðàíà òàçè àêñèîìà îò òîïîëîãèÿòà â òåî-

ðèÿòà íà ìíîæåñòâàòà è â ìåòàìàòè÷åñêèòå ïîñòðîåíèÿ. Òàêúâ ïîäõîä ïî ñú-

ùåñòâî ñëåäâà Óñïåíñêè, êîéòî ðàçãëåæäà ïîíÿòèåòî çà îòäåëèìîñò è íåîòäå-

ëèìîñò âúâ âðúçêà ñ ðåêóðñèâíèòå è èç÷èñëèìè ôóíêöèè (Óñïåíñêèé, 1960, ñ. 281 è

277–293) è âúâ âðúçêà ñ òåîðåìàòà íà Ãüîäåë çà íåïúëíîòà (Óñïåíñêèé, 1982,

43–48) è ïîñî÷âà äâå èíòåðåñíè òåîðåìè: „(Òåîðåìà çà íåîòäåëèìîñòòà.)

Ñúùåñòâóâàò äâå íåïðåñè÷àùè ñå ðåêóðñèâíî-èç÷èñëèìè ìíîæåñòâà, íåîò-

äåëèìè ïîñðåäñòâîì îáùîðåêóðñèâíè ìíîæåñòâà“ (Óñïåíñêèé, 1960, ñ. 283).

„Àêî ìíîæåñòâîòî îò äîêàçóåìèòå è îïðîâåðæèìè â äàäåíà äåäóêòèêà ñúæäå-

íèÿ ñà íåîòäåëèìè, òî òàçè äåäóêòèêà å íåïîïúëíèìà“ (Óñïåíñêèé, 1982, ñ. 47;

âæ. è ñ. 45).

3. ÄÈÀÃÎÍÀËÍÈßÒ ÌÅÒÎÄ, ÀÊÑÈÎÌÀÒÀ ÇÀ ÈÇÁÎÐÀ

È ÊÎÍÒÈÍÓÓÌ-ÕÈÏÎÒÅÇÀÒÀ

Äèàãîíàëíèÿò ìåòîä âúçõîæäà îùå êúì äðåâíîñòòà, êúì ïðèïèñâàíîòî íà

Ïèòàãîð è íåãîâàòà øêîëà îòêðèòèå çà íåñúèçìåðèìîñòòà íà äèàãîíàëà íà

êâàäðàòà êúì íåãîâèòå ñòðàíè (íàïð. Ñëàâêîâ, 1971, 166–167; Ñëàâêîâ, 1976,

49–52). Âïîñëåäñòâèå å óïîòðåáåí îò Êàíòîð çà äîêàçàòåëñòâîòî íà íåèçáðîè-

ìîñòòà íà èðàöèîíàëíèòå ÷èñëà (íàïð. Êóðîø, 1956, 357–358). Îðèãèíàëíîòî

äîêàçàòåëñòâî íà Ãüîäåë íà ïúðâàòà òåîðåìà çà íåïúëíîòàòà èçïîëçâà ìåòîäà

íà àðèòìåòèçàöèÿ è ñëåä òîâà ïî÷òè áóêâàëíî ïîâòàðÿ äèàãîíàëíîòî äîêàçà-

òåëñòâî íà Êàíòîð (ñðâ. ñ: Kleene, 1952, 6–8).

„Ñåãà íàêðàòêî ùå íàáåëåæèì ïúðâîíà÷àëíîòî äîêàçàòåëñòâî íà ïúðâàòà

òåîðåìà çà íåïúëíîòàòà. Òîâà äîêàçàòåëñòâî ôàêòè÷åñêè å ïî-êðàòêî [îò ïðè-

âåäåíîòî îò Ïîë Êîåí] è ìàêàð ïî ñúùåñòâî äà èçïîëçâà ñúùèòå äîâîäè, òî íå

èçïîëçâà ïîíÿòèåòî çà ðåêóðñèâíà ôóíêöèÿ. Äèàãîíàëíèÿò àðãóìåíò ñå èçïîëç-

âà íåïîñðåäñòâåíî êúì ñúæäåíèÿòà îò Z1. Ïðåäè âñè÷êî äà íîìåðèðàìå ïî íÿ-

êàêúâ åñòåñòâåí íà÷èí âñè÷êè ôîðìóëè ñ åäíà ñâîáîäíà ïðîìåíëèâà Àn(x). Íåêà

B(n) áúäå ñúæäåíèå çà òîâà, ÷å An(n) íå å äîêàçóåìî. Òîãàâà B(n) òðÿáâà äà ñúâ-

ïàäà ñ An0

(n) çà íÿêîå åñòåñòâåíî ÷èñëî n0, êîåòî ìîæå äà ñå èç÷èñëè â ÿâåí âèä.

Ñåãà ñúæäåíèåòî B(n0) èíòóèòèâíî òâúðäè, ÷å ñàìîòî òî íå å äîêàçóåìî. Ïî-

òî÷íî, àêî B(n0) å äîêàçóåìî, òî òî å èñòèííî, à çàòîâà An

0(n

0) íå å äîêàçóåìî.

Íî Àn0

(n0) ñúâïàäà ñ B(n

0), òàêà ÷å B(n

0) íå å äîêàçóåìî – ïðîòèâîðå÷èå. Àêî íå-

Â(n0) å äîêàçóåìî, òî B(n

0) å íåâÿðíî è ñëåäîâàòåëíî A

n0(n

0) ñúâïàäà ñ B(n

0) å äî-

êàçóåìî – îòíîâî ïðîòèâîðå÷èå. È òàêà, íèòî B(n0), íèòî íå-B(n

0) íå å äîêàçó-

åìî“ (Êîýí, 1969, ñ. 72).

Ùå èçïîëçâàì äèàãîíàëíèÿ àðãóìåíò â „îáðàòíà ôîðìà“, çà äà âúâåäà íåê-

ðàéíè ìîùíîñòè. Íåêà å äàäåíà ñúâêóïíîñò îò z ðåäèöè, âñÿêà îò êîèòî ñå ñúñ-

òîè îò z åäíîöèôðåíè ÷èñëà. Ïî äèàãîíàëíèÿ ìåòîä ñúñòàâÿì ÷èñëî õ, ÷èåòî

äîáàâÿíå êúì ñúâêóïíîñòòà îò z ðåäèöè å ïðåâúðùà â èçáðîèìà. Òúé êàòî òî å

ñúñòàâåíî ïî äèàãîíàëíèÿ ìåòîä, z òðÿáâà äà áúäå ìîùíîñò, ñòðîãî ïî-ìàëêà

6 Ïðèíöèïúò çà îòäåëèìîñò íà åëåìåíòèòå íà åäíî ìíîæåñòâî ìîæå äà ñå ôîðìóëèðà è êàòî

ïðèíöèï çà àäèòèâíîñòòà íà åíòðîïèÿòà íà äèçþíêòíèòå ïîäìíîæåñòâà íà åäíî ìíîæåñòâî.

65

îò èçáðîèìàòà a. Íî z íå ìîæå äà áúäå è êðàéíà, çàùîòî òîãàâà õ ùåøå äà ñú-

äúðæà êðàåí áðîé öèôðè, ñëåäîâàòåëíî n<z<a. Î÷åâèäíî, çà äà ñå ñúñòàâè ÷èñ-

ëîòî õ, ñå èçïîëçâà àêñèîìàòà çà èçáîðà, à èìåííî, ÷å îò âñÿêà îò z-òå íà áðîé

ðåäèöè ìîæå äà ñå âçåìå òî÷íî åäèí îò z-òå åëåìåíòà. Ôàêòè÷åñêè àêñèîìàòà

çà èçáîðà ñå èçïîëçâà è â òîâà, ÷å ñå ïðåäïîëàãà (ïî òåîðåìàòà íà Öåðìåëî), ÷å

ìíîæåñòâîòî îò âñè÷êè èçáðîèìè ìíîæåñòâà ìîæå äà ñå íàðåäè äîáðå, òàêà ÷å

ìàêàð z äà íå å èçáðîèìà ìîùíîñò, òî z+1, êúäåòî äîáàâåíî ÷èñëî å ñúñòàâåíî

ïî äèàãîíàëíèÿ ìåòîä, âå÷å å èçáðîèìà è ñëåäîâàòåëíî ñå ÿâÿâà íàé-ìàëêàòà

èçáðîèìà ìîùíîñò, èëè ðåñï. ìîùíîñòòà íà íàé-ìàëêîòî èçáðîèìî ìíîæåñò-

âî â äîáðå íàðåäåíîòî ìíîæåñòâî îò âñè÷êè èçáðîèìè ìíîæåñòâà. Ïðèâåäå-

íîòî ðàçñúæäåíèå ïîêàçâà èçêëþ÷èòåëíî òÿñíàòà âðúçêà ìåæäó àêñèîìàòà çà

èçáîðà è äèàãîíàëíèÿ ìåòîä. Íàïúëíî àíàëîãè÷íî â Êàíòîðîâîòî äîêàçàòåëñò-

âî çà íåèçáðîèìîñòòà íà êîíòèíóóìà ñå ïðåäïîëàãà, ÷å ìíîæåñòâîòî îò âñè÷êè

íåèçáðîèìè ìíîæåñòâà ìîæå äà ñå íàðåäè äîáðå, ñëåä êàòî ïîñðåäñòâîì äèà-

ãîíàëíèÿ ìåòîä ìîæåì äà äîáàâèì îùå åäíî ìíîæåñòâî êúì ìíîæåñòâîòî îò

âñè÷êè èçáðîèìè ìíîæåñòâà.

Àêñèîìàòà çà èçáîðà âå÷å íåÿâíî áåøå èçïîëçâàíà â òâúäåíèå 5 îò ãëàâà

III, òúé êàòî ìíîæåñòâîòî îò íåêðàéíè ÷èñëà z, z–1, z–2, .... å ïîäîáíî íà ìíî-

æåñòâîòî íà îòðèöàòåëíèòå öåëè ÷èñëà. „Ìíîæåñòâîòî îò âñè÷êè îòðèöàòåëíè

öåëè ÷èñëà ..., -(n+1), -n, ..., -3, -2, -1 è âñÿêî ïîäîáíî íà íåãî ìíîæåñòâî ñå íà-

ðè÷à ìíîæåñòâî îò ïîðÿäêîâ òèï w*.  ìíîæåñòâîòî èìà ïîñëåäåí åëåìåíò -1,

íî î÷åâèäíî íÿìà ïúðâè åëåìåíò; åòî çàùî òîâà ìíîæåñòâî, áèäåéêè íàðåäåíî,

íå å äîáðå íàðåäåíî è ïîðÿäêîâèÿò òèï w* íå å ïîðÿäêîâî ÷èñëî. Íåùî ïîâå÷å,

íàëèöå å òâúðäå ïðîñòàòà, íî âúïðåêè òîâà âàæíà òåîðåìà: Çà òîâà åäíî

íàðåäåíî ìíîæåñòâî äà íå å äîáðå íàðåäåíî, íåîáõîäèìî è äîñòàòú÷íî å â

íåãî äà ñúùåñòâóâà ïîäìíîæåñòâî îò òèïà w*“ (Àëåêñàíäðîâ, 1977, 62–63).

Çà äà ñúâïàäíå ñ ìíîæåñòâîòî îò íåêðàéíèòå ÷èñëà ñ ðåäèöàòà íà ñòåïåíèòå íà

íåðàçðåøèìèòå ïî Òþðèíã àëãîðèòìè (êîåòî å äîáðå íàðåäåíî), òðÿáâà äà ñå

èçïîëçâà òåîðåìàòà íà Öåðìåëî, òàêà ÷å è ìíîæåñòâîòî îò íåêðàéíèòå ÷èñëà

äà å äîáðå íàðåäåíî. Òåîðåìàòà íà Öåðìåëî ãëàñè: „âñÿêî ìíîæåñòâî ìîæå äà

áúäå äîáðå íàðåäåíî“ (Àëåêñàíäðîâ, 1977, ñ. 82) è ïðè íåéíîòî äîêàçàòåëñòâî

ñå èçïîëçâà àêñèîìàòà çà èçáîðà (íàïð.: Àëåêñàíäðîâ, 1977, ñ. 74; Ìåäâåäåâ,

1982, ñ. 26).

Íåêðàéíè ìîùíîñòè ìîãàò äà ñå âúâåäàò è êàòî ñå èçïîëçâà àêñèîìàòà çà èç-

áîðà, è áåç äà ñå èçïîëçâà àêñèîìàòà çà èçáîðà. Àêñèîìàòà çà èçáîðà å òÿñíî ñâúð-

çàíà ñ êîíòèíóóì-õèïîòåçàòà, êàòî è äâåòå ñà èçâîäèìè îò àêñèîìàòà çà êîíñòðóê-

òèâíîñòòà íà Ãüîäåë. Îò äðóãà ñòðàíà, íåîòäåëèìèòå ìíîæåñòâà íàðóøàâàò7 õè-

ïîòåçàòà çà êîíòèíóóìà è ñëåäîâàòåëíî íå èçïúëíÿâàò àêñèîìàòà çà êîíñòðóêòèâ-

íîñòòà íà Ãüîäåë. Òîåñò íåîòäåëèìèòå ìíîæåñòâà (è â ò. ÷. íÿêîè íåêðàéíè

ìíîæåñòâà) ñà íåêîíñòðóêòèâíè ìíîæåñòâà (â ñìèñúëà íà Ãüîäåë).

Õèïîòåçàòà íà Ñóñëèí ìîæå äî èçâåñòíà ñòåïåí äà îíàãëåäè ñ åêñïëèöè-

òåí ïðèìåð ïúðâàòà òåîðåìà íà Ãüîäåë çà íåïúëíîòàòà.Íàëè÷èåòî íà íåîòäå-

ëèìè ìíîæåñòâà ïðîòèâîðå÷è êàêòî íà àêñèîìàòà çà êîíñòðóêòèâíîñòòà, òúé

êàòî íåîòäåëèìèòå ìíîæåñòâà ñà íåêîíñòðóêòèâíè, òàêà è íà õèïîòåçàòà íà

Ñóñëèí, çàùî íÿìà ïðè÷èíà íà äåéñòâèòåëíàòà ïðàâà äà íÿìà íåîòäåëèìè

ìíîæåñòâà, âúïðåêè ÷å àêñèîìàòà çà êîíñòðóêòèâíîñòòà è õèïîòåçàòà íà

7 Äåéñòâèòåëíî íåîòäåëèìîòî ìíîæåñòâî S ìîæå äà ñå äåôèíèðà êàòî òàêîâà, ïðè êîåòî ìîù-

íîñòòà íà ìíîæåñòâîòî Ì îò íåãîâèòå ïîäìíîæåñòâàòà íå å 2S, ïðè êîåòî ìîãàò äà ñå ðàçëè÷à-

âàò ñúùèíñêè íåîòäåëèìè ìíîæåñòâà ñ ïîäàäèòèâíîñò íà åíòðîïèÿòà íà åëåìåíòèòå, çà êîèòî

cardÌ<2S , è ñâðúõîòäåëèìè ìíîæåñòâà ñ íàäàäèòèâíîñò íà åíòðîïèÿòà, çà êîèòî cardÌ>2

S.

5 Ñï. Ôèëîñîôñêè àëòåðíàòèâè, êí. 6/2005 ã.

66

Ñóñëèí ñè ïðîòèâîðå÷àò ïîìåæäó ñè. Îò äðóãà ñòðàíà, íàëè÷èåòî íà íåîòäåëè-

ìè ìíîæåñòâà, èçãëåæäà, å ñúâìåñòèìî êàêòî ñ îáîáùåíàòà êîíòèíóóì-õèïîòå-

çàòà (â ò. ÷. àêñèîìàòà çà èçáîðà), òàêà è ñ òÿõíîòî îòðèöàíèå. Âåðîÿòíî å

ïðåäïîëîæåíèåòî, ÷å îò íàëè÷èåòî íà íåîòäåëèìè ìíîæåñòâà ñëåäâà õèïîòå-

çàòà çà èçìåðèìèÿ êàðäèíàë (êîÿòî íà ñâîé ðåä ñå èçêëþ÷âà îò àêñèîìàòà çà

êîíñòðóêòèâíîñòòà). ×ðåç ïîäõîäÿùî îáîáùåíèå íà ïîíÿòèå çà ìÿðà (êîìïëåê-

ñíà ìÿðà, îïåðàòîðíà ìÿðà), òÿ ìîæå äà ñå âúâåäå çà íåîòäåëèìèòå è íåèçìå-

ðèìèòå ìíîæåñòâà, ïðè êîåòî íå ñàìî âñÿêà ôóíêöèÿ, íî è âñÿêî áèíàðíî îòíî-

øåíèå å èíòåãðèðóåìî âúðõó òàêàâà îáîáùåíà ìÿðà.

4. ÎÐÄÈÍÀË È ÊÀÐÄÈÍÀË ÍÀ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÀÒÀ ÂÅËÈ×ÈÍÀ

 ÊÂÀÍÒÎÂÀÒÀ ÌÅÕÀÍÈÊÀ

 êëàñè÷åñêàòà ôèçèêà èçìåðåíàòà âåëè÷èíà ñå ïðåäñòàâÿ ñ íÿêîå ðàöèî-

íàëíî ÷èñëî. Íà òàêàâà îñíîâà ìîæåì äà ïðèåìåì, ÷å îðäèíàëúò è ñúîòâåòíî

êàðäèíàëúò íà „íàáëþäàåìàòà“ (â ñìèñúëà íà èçìåðåíàòà âåëè÷èíà) â êëàñè-

÷åñêàòà ôèçèêà å êðàåí, n.  êâàíòîâàòà ìåõàíèêà íà ôèçè÷åñêàòà âåëè÷èíà â

êðàéíà ñìåòêà ñúùî ñå ñúïîñòàâÿ íÿêîå ðàöèîíàëíî ÷èñëî fñð

, íî òî ñå ïîëó÷à-

âà êàòî çàêðúãëåíà äî ðàöèîíàëíà ðåàëíà ñòîéíîñò íà ôóíêöèîíàë, ñúïîñòàâÿù

äâå âúëíîâè ôóíêöèè (íàïð.: Ëàíäàó, Ëèøôèö, 1974, ñ. 19; Ïåòðîâ, Ïåòðîâ,

1989, ñ. 16) – Ψ è FΨ, êúäåòî F e ëèíååí åðìèòîâ îïåðàòîð (Ëàíäàó, Ëèøôèö,

1974, ñ. 24; Ïåòðîâ, Ïåòðîâ, 1989, ñ. 11) â õèëáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî îò êîìïëåê-

ñíè ôóíêöèè. Ñïîðåä òúëêóâàíèåòî íà Ìàêñ Áîðí (íàïð. Ïåòðîâ, Ïåòðîâ, 1989,

134–139; âæ. è: Ñòåôàíîâ, 1999, 63–64; Feynman, 1982, ð. 485) êîåòî å øèðîêî

ðàçïðîñòðàíåíî è êúì êîåòî ñå ïðèäúðæàì â íàñòîÿùåòî èçëîæåíèå, IΨI2 èìà

ñìèñúë íà âåðîÿòíîñò. Â ñúîòâåòñòâèå ñ òâúðäåíèÿ 6, 7 è 8 â ãëàâà III íà IΨI2 è

IFΨI2 ùå ñúïîñòàâÿ äâå íåêðàéíè ìîùíîñòè pi è p

j, òàêà ÷å çà êðàéíèÿ îðäèíàë

èëè êàðäèíàë íà èçìåðåíàòà âåëè÷èíà nfñð

äà å â ñèëà nfñð

=Ii – jI.

Òîâà ðàçãëåæäàíå ïîçâîëÿâà äà ñå îïðåäåëÿò íåêðàéíèòå ìîùíîñòè è êàòî

òúðñåíèÿ îò Àéíùàéí „åëåìåíò íà ðåàëíîñòòà“ â êâàíòîâàòà ìåõàíèêà, íî òîé

íå áè îòãîâàðÿë íà èçèñêâàíèÿòà (Ýéíøòåéí, 1966, ñ. 605, 608; âæ. è: Adami,

Cerf, 1999, ð. 258, 257) (êîèòî âïðî÷åì ñà çàèìñòâàíè îò ìîäåëà íà êëàñè÷åñêà-

òà ôèçèêà): 1) íà âñÿêà ôèçè÷åñêà âåëè÷èíà ñúîòâåòñòâóâà íå åäèí, à äâà „åëå-

ìåíòà îò ðåàëíîñòòà“; 2) òåçè „åëåìåíòè îò ðåàëíîñòòà“ ñà íåêðàéíè è â òîçè

ñìèñúë ñà íåëîêàëíè è íåîïðåäåëåíè.

Ìîæå äà ñå ïîêàæå, ÷å íà âñÿêà Ψ ôóíêöèÿ ñå ñúïîñòàâÿ òî÷íî åäíî íåîò-

äåëèìî ìíîæåñòâî îò îïðåäåëåí (íàé-ïðîñò) òèï. Íà òðàíñôîðìàöèÿòà Ψ â

IΨI2 ñúîòâåòñòâà ïðåîáðàçóâàíå íà íåîòäåëèìîòî ìíîæåñòâî â îòäåëèìî. Òîâà

íàâåæäà íà ìèñúëòà, ÷å íåêðàéíèòå ìíîæåñòâà ñ êàðäèíàëè, îïðåäåëåíè ïî íà-

÷èí êàêòî â ãëàâà III, ìîãàò äà ñå ïðåâúðíàò â êîíñòðóêòèâíè, àêî ñå ïðèåìå

„ïðèíöèïúò íà êîíñòðóêòèâíèÿ ïîäáîð“ („ïðèíöèïúò íà Ìàðêîâ“). Òîçè ïîäõîä

å ôîðìóëèðàí è êàòî òâúðäåíèÿ 5 è 8 â ãëàâà 3. Ñ îáñúæäàíåòî íà íåêðàéíèòå

ìíîæåñòâà êàòî êîíñòðóêòèâíè âåäíàãà ñå îêàçâàò âàëèäíè àêñèîìàòà çà èçáî-

ðà è îáîáùåíàòà êîíòèíóóì-õèïîòåçà. Íåîòäåëèìèòå ìíîæåñòâà â ñîáñòâåí

ñìèñúë (íà êîèòî ñå ñúïîñòàâÿ Y ôóíêöèÿ) ïðèòåæàâàò ìîùíîñò ïî-ãîëÿìà èëè

ðàâíà íà èçìåðèìèÿ êàðäèíàë è äîðè ñàìî ïîðàäè òîâà íå ìîãàò äà áúäàò ðàç-

ãëåæäàíè êàòî êîíñòðóêòèâíè.

67

5. ÊÂÀÍÒÎÂÈßÒ ÊÎÌÏÞÒÚÐ

Êâàíòîâèÿò êîìïþòúð8 – êàêòî è ìàøèíàòà íà Òþðèíã9 – å ìàòåìàòè÷åñêè

ìîäåë íà èç÷èñëèòåëåí ïðîöåñ. Àêî ìîäåëúò íà êâàíòîâèÿ êîìïþòúð ñå îñíî-

âàâà íà íÿêàêâî îáîáùåíèå íà ìàøèíàòà íà Òþðèíã, ìîæåì äà ãîâîðèì çà

êâàíòîâà ìàøèíà íà Òþðèíã10. Ïðèíöèïíèòå îòëèêè íà êâàíòîâàòà îò êëàñè÷åñ-

8

Ðàçëè÷åí å ïîäõîäúò çà îïðåäåëÿíå íà „êâàíòîâ êîìïþòúð“ ïî ñëåäíèÿ íà÷èí: „Êâàíòîâèòå

êîìïþòðè ñà ôèçè÷åñêè óñòðîéñòâà, èçïúëíÿâàùè ëîãè÷åñêè îïåðàöèè íàä êâàíòîâè ñúñòîÿ-

íèÿ ïîñðåäñòâîì óíèòàðíè ïðåîáðàçîâàíèÿ, áåç äà íàðóøàâàò êâàíòîâèòå ñóïåðïîçèöèè â ïðî-

öåñà íà èç÷èñëåíèå. Ìíîãî ñõåìàòè÷íî ðàáîòàòà íà êâàíòîâèÿ êîìïþòúð ìîæå äà ñå ïðåäñòà-

âè êàòî ïîñëåäîâàòåëíîñò îò òðè îïåðàöèè: 1) çàïèñ (ïîäãîòîâêà) íà íà÷àëíîòî ñúñòîÿíèå; 2)

èç÷èñëåíèå (óíèòàðíè ïðåîáðàçîâàíèÿ íà íà÷àëíèòå ñúñòîÿíèÿ); 3) èçâîä íà ðåçóëòàòà

(èçìåðâàíå, ïðîåêöèÿ íà êðàéíîòî ñúñòîÿíèå)“ (Êèëèí, 1999, 517–518).9

„Äà ðàçãëåäàìå êðàéíî ìåõàíè÷íî óñòðîéñòâî, êîåòî å ñâúðçàíî ñ õàðòèåíà ëåíòà, áåçêðàéíà

â äâåòå ïîñîêè. Ëåíòàòà å ðàçäåëåíà ïî öÿëàòà äúëæèíà íà êëåòêè ñ ðàâåí ðàçìåð. ... Óñòðîé-

ñòâîòî å òàêîâà, ÷å ëåíòàòà ìîæå äà ñå äâèæè ïðåç íåãî, ïðè òîâà òî÷íî åäíà êëåòêà ñå íàìèðà

âúòðå. Çà êëåòêàòà, íàìèðàùà ñå âúòðå â óñòðîéñòâîòî, ùå ãîâîðèì êàòî çà êëåòêà, ðàçãëåæ-äàíà îò óñòðîéñòâîòî. Ïîñîêèòå ïî ëåíòàòà ùå íàðå÷åì ñúîòâåòíî äÿñíà è ëÿâà. Óñòðîé-

ñòâîòî å â ñúñòîÿíèå äà îñúùåñòâÿâà åäíà îò ÷åòèðèòå îñíîâíè îïåðàöèè: (1) ìîæå äà çàïèøå

„1“ â ðàçãëåæäàíàòà êëåòêà, àêî òàì âå÷å íå å çàïèñàíà „1“; ìîæå äà èçòðèå íàïèñàíîòî â ÷åòå-

íàòà êëåòêà è ïî òàêúâ íà÷èí äà ÿ íàïðàâè ïðàçíà, àêî òÿ âå÷å íå å áèëà ïðàçíà; (3) ìîæå äà

ïðåìåñòè ñâîåòî âíèìàíèå åäíà êëåòêà âäÿñíî (äà ïðèäâèæè ëåíòàòà åäíà êëåòêà âëÿâî); (4)

ìîæå äà ïðåìåñòè ñâîåòî âíèìàíèå åäíà êëåòêà âëÿâî (äà ïðåìåñòè ëåíòàòà ñ åäíà êëåòêà

âäÿñíî). Óñòðîéñòâîòî â àêòèâíî ñúñòîÿíèå îñúùåñòâÿâà îñíîâíèòå îïåðàöèè ñúñ ñêîðîñò åä-

íà îïåðàöèÿ çà åäèíèöà âðåìå. Ïîíÿêîãà â ñëó÷àÿ, êîãàòî óñòðîéñòâîòî å èçâúðøèëî åäíà

îïåðàöèÿ, ùå êàçâàìå, ÷å å íàïðàâåíà ñòúïêà â ðàáîòàòà íà óñòðîéñòâîòî. Ïðè çàâúðøâàíå íà

âñÿêà ñòúïêà óñòðîéñòâîòî ñàìî ïî ñåáå ñè (êàòî íåùî, ðàçëè÷íî îò ëåíòàòà) ïðèòåæàâà åäíà

îò ôèêñèðàíî êðàéíî ìíîæåñòâî âúçìîæíè (ìåõàíè÷åñêè) ñòðóêòóðè. Òàêèâà ñòðóêòóðè ùå íà-

ðè÷àìå âúòðåøíè ñúñòîÿíèÿ. Çà îçíà÷àâàíå íà ðàçëè÷íèòå âúòðåøíè ñúñòîÿíèÿ ùå èçïîëç-

âàìå ñèìâîëèòå qi

, i=0,1,2, ... . Íàêðàÿ, óñòðîéñòâîòî å êîíñòðóðèðàíî òàêà, ÷å íåãîâîòî ïîâå-

äåíèå ñå îïèñâà ñ êðàåí ñïèñúê îò äåòåðìèíèðàíè ïðàâèëà. Òåçè ïðàâèëà îïðåäåëÿò ïî òåêó-

ùîòî âúòðåøíî ñúñòîÿíèå è çàïèñ â ÷åòåíàòà êëåòêà, êàêâà îïåðàöèÿ òðÿáâà äà ñå îñúùåñòâè

ñëåäâàùà è êàêâî òðÿáâà äà áúäå ñëåäâàùîòî âúòðåøíî ñúñòîÿíèå (â êðàÿ íà òàçè ñëåäâàùà

îïåðàöèÿ). Íåêà 1 è  îçíà÷àâàò âúçìîæíèòå çàïèñè âúâ âñÿêà êëåòêà ( ñúîòâåòñòâóâà íà ïðàç-íàòà êëåòêà). Íåêà 1, Â, R è L îçíà÷àâàò îñíîâíèòå îïåðàöèè (1), (2), (3) è (4) ñúîòâåòíî.

(Îïåðàöèÿ (1) íå îñúùåñòâÿâà èçìåíåíèå íà ëåíòàòà, àêî â ðàçãëåæäàíàòà êëåòêà âå÷å èìà „1“,

à îïåðàöèÿ Â íå îñúùåñòâÿâà èçìåíåíèå íà ëåíòàòà, àêî ðàçãëåæäàíàòà êëåòêà å ïðàçíà.) Òàêà

íàáîðúò îò ïðàâèëà, îïðåäåëÿùè ïîâåäåíèåòî íà óñòðîéñòâîòî, ìîæå äà ñå çàïèøå êàòî íà-

áîð îò ÷åòâîðêè. Âñÿêà ÷åòâîðêà ñå ñúñòîè îò ñèìâîëè (ïîðåä) çà (i) âúòðåøíî ñúñòîÿíèå, (ii)

âúçìîæåí çàïèñ â êëåòêàòà, (iii) îïåðàöèÿ, (iv) âúòðåøíî ñúñòîÿíèå. ×åòâîðêàòà (i, ii, iii, iv) èç-

ðàçÿâà òàêîâà ïðàâèëî: ïðè íàëè÷èå íà (i) è (ii) óñòðîéñòâîòî îñúùåñòâÿâà (iii) è ïðåìèíàâà â

(iv). Ùå ïðåäïîëàãàìå, ÷å âñåêè íàáîð îò òàêèâà ÷åòâîðêè å íàáîð îò ïðàâèëà çà íÿêîå

óñòðîéñòâî, âúâåæäàéêè ñàìî åäèíñòâåíîòî îãðàíè÷åíèå, ÷å âñåêè äâå ðàçëè÷íè ÷åòâîðêè

òðÿáâà äà ñå ðàçëè÷àâò â (i) èëè â (ii). Ùå íàðè÷àìå òîâà îãðàíè÷åíèå óñëîâèå çà ñúâìåñòè-ìîñò; ïðè òîâà óñëîâèå íàáîðúò îò ïðàâèëà íå ìîæå äà èçèñêâà äâå èëè ïîâå÷å ðàçëè÷íè äåéñò-

âèÿ â åäíî è ñúùî âðåìå. Îáà÷å íå ïðåäïîëàãàìå, ÷å â íàáîðà îò ïðàâèëà ñå ïðåäâèæäà âñÿêà

êîìáèíàöèÿ (i) è (ii); ïî òàêúâ íà÷èí äîïóñêàìå, ÷å ïðè íÿêàêâè îáñòîÿòåëñòâà óñòðîéñòâîòî

íå ìîæå äà èçâúðøè íèêàêâà îïåðàöèÿ.  òàêèâà ñëó÷àè ùå êàçâàìå, ÷å óñòðîéñòâîòî å ñïðÿ-

ëî“ (Ðîäæåðñ, 1972, 30–31). Âæ. ñúùî òàêà: (Kleene, 1952, 356–362).10 „Êâàíòîâèòå ìàøèíè íà Òþðèíã (QTM) å íàé-äîáðå äà ñå ìèñëÿò êàòî êâàíòîâîìåõàíè÷íè îáîá-

ùåíèÿ íà âåðîÿòíîñòíèòå Òþðèíãîâè ìàøèíè (PTM). Â PTM, àêî èíèöèàëèçèðàòå ëåíòàòà â íÿ-

êîÿ ïúðâîíà÷àëíà êîíôèãóðàöèÿ è ñòàðòèðàòå ìàøèíàòà, áåç äà íàáëþäàâàòå ìàøèíàòà èçâåñò-

íî âðåìå t, òî ñúñòîÿíèåòî ñå îïèñâà îò âåðîÿòíîñòíî ðàçïðåäåëåíèå ìåæäó âñè÷êè âúçìîæíè

ñúñòîÿíèÿ, äîñòèæèìè îò ïúðâîí÷àëíîòî ñúñòîÿíèå çà âðåìå t. Àíàëîãè÷íî, â åäíà QTM, àêî

ñòàðòèðàòå ìàøèíàòà â íÿêîÿ ïúðâîíà÷àëíà êîíôèãóðàöèÿ, è £ ïîçâîëÿâàòå äà ñå ðàçâèâà çà âðå-

ìå t, òîãàâà íåéíîòî ñúñòîÿíèå ñëåä âðåìå t ñå îïèñâà êàòî ñóïåðïîçèöèÿ îò âñè÷êè ñúñòîÿíèÿ,

äîñòèæèìè çà âðåìå t. Êëþ÷îâàòà ðàçëèêà å, ÷å â êëàñè÷åñêàòà PTM ñå ñëåäâà ñàìî åäíà îòäåë-

íà èç÷èñëèòåëíà òðàåêòîðèÿ, äîêàòî â QTM ñå ñëåäâàò âñè÷êè èç÷èñëèòåëíè òðàåêòîðèè è ïîëó-

÷åíàòà ñóïåðïîçèöèÿ å ðåçóëòàò îò ñóìèðàíåòî íà âñè÷êè âúçìîæíè òðàåêòîðèè, äîñòèæèìè çà

68

êàòà ìàøèíà íà Òþðèíã ïî ìîå ìíåíèå ñà òðè: êâàíòîâèÿò ïàðàëåëèçúì, îáðà-

òèìîñòòà è êâàíòîâîòî ñäâîÿâàíå. Ïðèíöèïúò íà êâàíòîâèÿ ïàðàëåëèçúì

îçíà÷àâà, ÷å êâàíòîâàòà ìàøèíà íà Òþðèíã ìîæå äà ñå ïðåäñòàâè êàòî èçáðîè-

ìî ìíîãî ìàøèíè íà Òþðèíã, ðàáîòåùè ïàðàëåëíî, íî ñ åäèí åäèíñòâåí îáù

èçõîä. Îáðàòèìîñòòà îçíà÷àâà, ÷å ïîñëåäîâàòåëíîñòòà îò ñòúïêè íà âñÿêà

ìàøèíà íà Òþðèíã å îáðàòèìà, ò.å. èç÷èñëåíèåòî íà âñÿêà ñâîÿ ñòúïêà ìîæå äà

ñå âúðíå ïðîèçâîëåí áðîé ñòúïêè íàçàä, âêë. äî ñâîåòî íà÷àëî, è îòíîâî äà

ïî÷íå äà ñå îñúùåñòâÿâà: àêî êëàñè÷åñêàòà ìàøèíà íà Òþðèíã ñå äâèæè „íàï-

ðåä“, òî êâàíòîâàòà äîïóñêà ïðîèçâîëíè äâèæåíèÿ „íàïðåä – íàçàä“. Êâàíòî-

âîòî ñäâîÿâàíå îçíà÷àâà, ÷å ïðîèçâîëíè äâå (à ñëåäîâàòåëíî ïðîèçâîëíî êðàé-

íî èëè èçáðîèìî êîëè÷åñòâî) êëåòêè îò åäíà îò èçáðîèìîòî ìíîæåñòâî êëàñè-

÷åñêè ìàøèíè íà Òþðèíã, ïðåäñòàâÿùè êâàíòîâàòà, ñå ïðîìåíÿò ñèíõðîííî,

ïðè ïðîìÿíà òî÷íî â åäíà îò òÿõ.

Ñòðîãîòî ìàòåìàòè÷åñêî îïðåäåëåíèå íà êëàñè÷åñêàòà ìàøèíà íà Òþðèíã

å: „Íåêà Ò={0, 1} è S={0, 1, 2, 3}. Òîãàâà ìàøèíàòà íà Òþðèíã ìîæå äà ñå îïðå-

äåëè êàòî èçîáðàæåíèå íà êðàéíî ïîäìíîæåñòâî îò ìíîæåñòâîòî N X T â S X

N [ñ Õ å îçíà÷åíî äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå]. Òóê Ò ïðåäñòàâëÿâà çàïèñèòå â

êëåòêàòà, S – îïåðàöèèòå, êîèòî ñëåäâà äà ñå îñúùåñòâÿâàò, à N äàâà âúçìîæ-

íèòå íîìåðà íà âúòðåøíèòå ñúñòîÿíèÿ“ (Ðîäæåðñ, 1972, 31–32).

Çà äà ñå èçïúëíè èçèñêâàíåòî çà êâàíòîâ ïàðàëåëèçúì, òðÿáâà äà ñå ðàçãëå-

äà èçáðîèìî ìíîæåñòâî îò òàêèâà èçîáðàæåíèÿ, çàðàäè îáðàòèìîñòòà âñÿêî

èçîáðàæåíèå òðÿáâà äà å áèåêòèâíî è ïîðàäè òîâà ìîãàò äà ñå ðàçãëåæäàò íàï-

ðàâî ÷åòâîðêèòå, êîèòî ñà åëåìåíòè íà äåêàðòîâîòî ïðîèçâåäåíèå N Õ T Õ S Õ N.

Ñäâîÿâàíåòî îáà÷å íàëàãà äà ñå ðàçãëåæäàò èçîáðàæåíèÿ ìåæäó òåçè ÷åòâîðêè,

ò.å. èçîáðàæåíèå íà N Õ Ò Õ S Õ N â ñåáå ñè.

Îáîáùàâàéêè, êâàíòîâàòà ìàøèíà íà Òþðèíã å èçáðîèìî ìíîæåñòâî

èçîáðàæåíèÿ íà N Õ Ò Õ S Õ N â ñåáå ñè. Ïðè òîâà îïðåäåëåíèå íå å îò÷åòåí

íà÷èíúò íà ðåäóêöèÿ íà ìíîæåñòâîòî èçîáðàæåíèÿ äî åäíî åäèíñòâåíî èçîáðà-

æåíèå – èçõîäúò íà êâàíòîâàòà ìàøèíà íà Òþðèíã.

Åñòåñòâåíî å äà ñå íàëîæè èçèñêâàíåòî card N = const çà âñè÷êè êëàñè÷åñ-

êè ìàøèíè íà Òþðèíã, îáðàçóâàùè êâàíòîâàòà. Òîãàâà ìíîæåñòâîòî {i Õ Ò Õ S

Õ ê}j, j = 1, 2, 3,..., êúäåòî j å ïîðåäíèÿò íîìåð íà êëàñè÷åñêàòà ìàøèíà íà

Òþðèíã îò ìíîæåñòâîòî, îáðàçóâàùè êâàíòîâàòà, ùå ïðåäñòàâëÿâà êâàíòîâà-

òà îïåðàöèÿ, èçâúðøâàíà âúðõó åäèí êâàíòîâ áèò, êóáèò, q-bit. Åäèí êâàíòîâ

áèò ìîæå äà ñå äåôèíèðà11 êàòî ïîäìíîæåñòâî íà ìíîæåñòâîòî c1I0)+c

2I1),

âðåìå t. ... ...QTM èìà ïîòåíöèàëà çà êîäèðàíå íà ìíîãî âõîäîâå íà çàäà÷àòà åäíîâðåìåííî íà

åäíà è ñúùà ëåíòà, è äà îñúùåñòâÿâà èç÷èñëåíèå âúðõó âñè÷êè âõîäîâå çà âðåìåòî, êîåòî áè îò-

íåëî äà ñå èçâúðøè ñàìî åäíî îò èç÷èñëåíèÿòà êëàñè÷åñêè. Òîçè ìåòîä íîñè íàçâàíèåòî „êâàí-

òîâ ïàðàëåëèçúì“ (Williams, Clearwater, 1999, ð. 25). Íåñúâïàäàùà ñ èçëàãàíàòà ðåàëèçàöèÿ íà

êâàíòîâà ìàøèíà íà Òþðèíã ñå îïèñâà â: (Mahler, Kim, 1999, 93–101). Ôàéíìàí ïîêàçâà, ÷å êëà-

ñè÷åñêè êîìïþòúð íå ìîæå äà ñèìóëèðà êâàíòîâà ñèñòåìà â ðåàëíî âðåìå è îùå ïðåç 1981 ã.

ïðåäëàãà „êâàíòîâèòå êîìïþòðè“ êàòî „óíèâåðñàëíè êâàíòîâè ñèìóëàòîðè“ (Feynman, 1982, ð.

474).  äîêëàä, èçíåñåí ïðåç 1984 ã., ïîêàçâà, ÷å êâàíòîâèÿò êîìïþòúð, îïðåäåëåí êàòî êâàíòî-

âîìåõàíè÷åí ñèìóëàòîð, ìîæå äà ñèìóëèðà äåéñòâèåòî íà êëàñè÷åñêè êîìïþòúð (Ôåéíìàí,

1986). Òåçè ðàáîòè íà Ôàéíìàí îçíàìåíóâàò âúçíèêâàíåòî íà èäåÿòà çà êâàíòîâ êîìïþòúð.11

Êóáèòúò ìîæå äà ñå ðàçãëåæäà è êàòî åäèíèöà çà êâàíòîâà ñóïåðïîçèöèÿ.“... ñóïåðïîçèöèÿòà,êîÿòî ñå ñðåùà â êâàíòîâàòà ìåõàíèêà, ñúùåñòâåíî ñå îòëè÷àâà îò ñóïåðïîçèöèÿòà âúââñÿêà êëàñè÷åñêà òåîðèÿ“ (Äèðàê, 1979, 26–27). „... íà âñÿêî ñúñòîÿíèå íà äèíàìè÷íàòà ñèñ-òåìà â îïðåäeëåí ìîìåíò îò âðåìåòî ñúîòâåòñòâóâà êåò-âåêòîð [âåêòîðúò íà ñúñòîÿíè-

åòî íà ñèñòåìàòà], ïðè êîåòî òîâà ñúîòâåòñòâèå å òàêîâà, ÷å àêî ñúñòîÿíèåòî å îáðàçóâà-íî â ðåçóëòàò íà ñóïåðïîçèöèÿ îò íÿêîè äðóãè ñúñòîÿíèÿ, òî êåò-âåêòîðúò íà òîâà ñúñ-òîÿíèå ñå èçðàçÿâà ëèíåéíî ÷ðåç ñúîòâåòíèòå êåò-âåêòîðè íà äðóãèòå ñúñòîÿíèÿ è îá-ðàòíî“ (Äèðàê, 1979, ñ. 29).

69

êúäåòî ñ I0), I1) ñà îçíà÷åíè äâå îðòîãîíàëíè ñúñòîÿíèÿ â õèëáåðòîâîòî

ïðîñòðàíñòâî, à ñ1 è ñ

2 ñà äâå êîìïëåêñíè ÷èñëà, òàêèâà ÷å: Iñ

1I2+Iñ

2I2=1. Ñ äðó-

ãè äóìè, êâàíòîâèÿò áèò å èçîìîðôåí íà ïîäìíîæåñòâî íà åäèíè÷íàòà ñôåðà â

åâêëèäîâîòî ïðîñòðàíñòâî. Êâàíòîâàòà îïåðàöèÿ å áèåêòèâíî èçîáðàæåíèå íà

åäèí êâàíòîâ áèò â äðóã, ò.å. íà åäíî ïîäìíîæåñòâî íà åäèíè÷íàòà ñôåðà â äðó-

ãî è ñëåäîâàòåëíî óíèòàðíà òðàíñôîðìàöèÿ12. Ïðè òîâà ïîëîæåíèå êâàíòîâèÿò

êîìïþòúð (ïðåíåáðåãâàéêè çàñåãà êâàíòîâîòî ñäâîÿâàíå) ìîæå äà ñå ïðåäñòà-

âè êàòî ëåíòà ñ êëåòêè è óñòðîéñòâî, ïðè êîåòî ëåíòàòà ïðåìèíàâà, äîñóù êàòî

êëàñè÷åñêà ìàøèíà íà Òþðèíã13. Îòëèêèòå ñà äâå: âúâ âñÿêà êëåòêà å çàïèñàí

íå áèò, à êóáèò; îñâåí êîìàíäèòå „âëÿâî!“ è „âäÿñíî!“ êâàíòîâèÿò êîìïþòúð

èçâúðøâà ïðîèçâîëíà óíèòàðíà òðàñôîðìàöèÿ, âñÿêà îò êîèòî ìîæå äà ñå

ïðåäñòàâè êàòî èçáðîèìà ñúâêóïíîñò îò åëåìåíòàðíèòå îïåðàöèè „çàïèøè 1!“

è „çàïèøè 0!“.  êðàéíà ñìåòêà ïðè èçìåðâàíåòî íà èçõîäà îáà÷å ñúâêóïíîñòòà

îò êóáèòîâå ñå ðåäóöèðà äî ïîñëåäîâàòåëíîñò îò íóëè è åäèíèöè14.

Îïèñàíèåòî íà ñäâîÿâàíåòî â ñêèöèðàíèÿ ìîäåë å ñëåäíîòî. Îïðåäåëåíè

ïîäìíîæåñòâà (ïðè ìàêñèìàëíà ñòåïåí íà ñäâîÿâàíå öÿëàòà åäèíè÷íà ñôåðà) â

êóáèòîâåòå â äâå ðàçëè÷íè êëåòêè ñà èäåíòè÷íè è ñúîòâåòíî îïåðàöèÿòà âúðõó

åäèíèÿ âåäíàãà ïðîìåíÿ äðóãèÿ.

Êâàíòîâèÿò êîìïþòúð, ðàçãëåäàí êàòî ÷åðíà êóòèÿ, ïðåîáðàçóâà åäíà

êðàéíà ïîñëåäîâàòåëíîñò îò íóëè è åäèíèöè â äðóãà òàêàâà. Ïðè òîâà îáà÷å

âõîäíàòà å íÿêàêúâ êðàåí îðäèíàë, äîêàòî èçõîäíàòà å îòíîøåíèå ìåæäó äâà

ñóáòðàíñôèíèòíè (íåêðàéíè) îðäèíàëà. Î÷åâèäíî å, ÷å êâàíòîâàòà ìàøèíà íà

Òþðèíã íå å êëàñè÷åñêà è ñëåäîâàòåëíî íå å ÷àñòè÷íî èëè îáùîðåêóðñèâíà

ôóíêöèÿ. Òåçèñúò íà ×úð÷ îáà÷å âñå ïàê îñòàâà îòêðèò âúïðîñ âúâ âèäîèçìåíå-

íà ôîðìà: äàëè íà êâàíòîâàòà ìàøèíà íà Òþðèíã (ìàêàð è ñ åêñïîíåíöèàëíî

çàáàâÿíå â îáùèÿ ñëó÷àé) íå ñúîòâåòñòâà âèíàãè íÿêîÿ îáùî èëè ÷àñòè÷íî ðå-

êóðñèâíà ôóíêöèÿ, êîÿòî äà å â ñúñòîÿíèå äà ïðèâåäå âñåêè âõîä íà QTÌ âúâ

âñåêè ñúîòâåòåí íà òîçè âõîä èçõîä?

6. ÊÂÀÍÒÎÂÈÒÅ ÎÐÄÈÍÀËÈ È ÒÈÏÎÂÅÒÅ ÀËÃÎÐÈÒÌÈ×ÍÀ

ÍÅÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒ

Êâàíòîâèòå îðäèíàëè âå÷å áÿõà âúâåäåíè â ãëàâà 2. è â òâúðäåíèå 5. îò ñú-

ùàòà ãëàâà áåøå ïîñòóëèðàíî ñúâïàäåíèåòî èì ñ òèïîâåòå àëãîðèòìè÷íà íåñ-

âîäèìîñò ïî Òþðèíã. Ïðèíöèïúò çà êîíñòðóêòèâíèÿ ïîäáîð (ïðèíöèïúò íà

Ìàðêîâ) ñå èíòåðïðåòèðà îò òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåíà ãëåäíà òî÷êà êàòî îòñúñ-

òâèå íà íîâ òèï îðäèíàëè, ïî-ãîëåìè îò êðàéíèòå, íî ïî-ìàëêè îò íåêðàéíèòå.

Ïðè òîâà ïîëîæåíèå íàé-ìàëêàòà ñòåïåí15 íà àëãîðèòìè÷íà íåñâîäèìîñò ïî

12 Ñðâ. ñ áåë. 7.

13 Îò òîâà ñúùî å î÷åâèäíî, ÷å êâàíòîâà ìàøèíà íà Òþðèíã ìîæå äà ñèìóëèðà êëàñè÷åñêà, íàï-

ðèìåð ïîëàãàéêè ïðîèçâîëåí êóáèò çà 1, à ëèïñàòà íà êóáèò çà ïðàçíà êëåòêà.14

Ëåíòàòà îò êóáèòîâå ñ èçâúðøâàíè âúðõó òÿõ óíèòàðíè îïåðàöèè îáùî ìîæå äà ñå ïðåäñòàâè

êàòî áèåêòèâíî èçîáðàæåíèå íà äâå ïîäìíîæåñòâà (äâå áèíàðíè îòíîøåíèÿ) íà äåêàðòîâîòî

ïðîèçâåäåíèå îò õèëáåðòîâîòî ïðîñòðàíñòâî ñúñ ñåáå ñè. Åäíà y-ôóíêöèÿ å âåêòîð â õèëáåð-

òîâîòî ïðîñòðàíñòâî (ïðè íÿêàêúâ ïúëåí îðòîãîòàëåí áàçèñ ψi, åäèí êóáèò q â íåÿ ïðåäñòàâ-

ëÿâà êîìïîíåíò-ïðîìåíëèâà, â òîçè âåêòîð: ψ=(c1, c

2, c

3, ..., q, ..., c

i, ...). c

1, c

2, c

3, ..., c

i... – êîìï-

ëåêñíè êîíñòàíòè.15

Òàêàâà ñúùåñòâóâà ñïîðåä òåîðåìàòà íà Öåðìåëî è ðåñï. ïðèåìàíåòî íà àêñèîìàòà çà èçáîðà

è â êðàéíà ñìåòêà, íà êîíòèíóóì-õèïîòåçàòà. Ïî-íàòàòúê ùå ñå ðàçâèå âúçãëåäúò, ñïîìåíàò â

áåë. 9, ÷å àêñèîìàòà çà èçáîðà ìîæå äà áúäå âàëèäíà (ïðè èçâåñòíî îñìèñëÿíå è îáîáùåíèå çà

70

Òþðèíã ñå îòúæäåñòâÿâà ñ êâàíòîâèÿ îðäèíàë, à êâàíòîâèòå îðäèíàëè ñå îêàç-

âàò åêâèâàëåíòíè íà ìíîæåñòâà êîíñòðóêòèâíè ïî Ãüîäåë.  çàêëþ÷åíèå áèõ

èñêàë äà èçêàæà ñëåäíàòà õèïîòåçà: êâàíòîâà ìàøèíà íà Òþðèíã, ïðåäñòàâèìà

êàòî åäèí êóáèò, å åêâèâàëåíòíà íà íàé-ìàëêàòà ñòåïåí íà àëãîðèòìè÷íà íåðàç-

ðåøèìîñò ïî Òþðèíã, à îòíîøåíèåòî íà åêâèâàëåíòíîñò íà ñâîäèìîñò ïî

Òþðèíã â òàçè ñòåïåí íà íåðàçðåøèìîñò å èçîìîðôíî íà óíèòàðíà òðàíñôîð-

ìàöèÿ âúðõó êóáèòà; êâàíòîâà ìàøèíà íà Òþðèíã, ïðåäñòàâèìà êàòî äâà

êóáèòà, å åêâèâàëåíòíà íà ñëåäâàùàòà ñòåïåí è òàêà íàòàòúê. Ðàçëè÷íè ñäâîÿ-

âàíèÿ ìåæäó äâà ñúñåäíè êóáèòà ùå ñúîòâåòñòâàò íà íåöåëè íåêðàéíè îðäèíà-

ëè è êàðäèíàëè. Íÿêîè (èëè ìîæå áè äîðè âñè÷êè) íåîòäåëèìè ìíîæåñòâà ñå

ïðåäñòàâÿò êàòî íàðåäåíî ìíîæåñòâî îò êóáèòîâå è ñäâîÿâàíèÿ ìåæäó òÿõ.

 çàêëþ÷åíèå ìîæå äà ñå êàæå, ÷å òåçèñúò íà ×úð÷, ïîäîáíî íà âñåêè ôè-

ëîñîôñêè âúïðîñ, ñ íîâè îòðèòèÿ íå ñå ðåøàâà, à ñå âèäîèçìåíÿ.

ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ

À ë å ê ñ à í ä ð î â, Ï. (1977). Ââåäåíèå â òåîðèþ ìíîæåñòâ è îáùóþ òîïîëîãèþ. Ì., Íàóêà.

Ä è ð à ê, Ï. (1979). Ïðèíöèïû êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ì., Íàóêà.

Ê ë è í è, Ñ., Ð. Â å ñ ë è. (1978). Îñíîâàíèÿ èíòóèöèîíèòñêîé ìàòåìàòèêè. Ì., Íàóêà.

Ê à í ò î ð, Ã. (1985). Î ðàçëè÷íûõ òåîðåìàõ èç òåîðèè òî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ â n-êðàòíî ïðîòÿæåí-

íîì íåïðåðûâíî ïðîñòðàíñòâå Gn. Ñîîáùåíèå âòîðîå. – Â: Òðóäû ïî òåîðèè

ìíîæåñòâ. Ì., Íàóêà, 154–169.

Ê à ð ë ñ î í, À. (1999). Êâàíòîâè êîìïþòðè. – Ñâåòúò íà ôèçèêàòà, 3.

Ê è ë è í, Ñ. (1999). Êâàíòîâàÿ èíôîðìàöèÿ. – Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê, ò. 169, ¹ 5.

Ê î ý í, Ï. (1969). Òåîðèÿ ìíîæåñòâ è êîíòèíóóì-ãèïîòåçà. Ì., Íàóêà.

Ê ó ð î ø, À. (1956). Êóðñ âûñøåé àëãåáðû. Ìîñêâà.

Ì à ð ò è í-Ë å ô, Ï. (1975). Î÷åðêè ïî êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêå. Ì., Ìèð.

Ì å ä â å ä å â. (1982). Ðàííàÿ èñòîðèÿ àêñèîìû âûáîðà. Ì., Íàóêà.

Ë à í ä à ó, Ë., Å. Ë è ô ø è ö. (1974). Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Íåðåëÿòèâèñòêàÿ òåîðèÿ. (Òåîðåòè-

÷åñêàÿ ôèçèêà. Ò. III.) Ì., Íàóêà.

Ï å ò ð î â, À. è Ñ. Ï å ò ð î â. (1989). Êâàíòîâà ìåõàíèêà. Èíòåðïðåòàöèè è àëòåðíàòèâè. 1927–

1987. Ñ., Íàóêà è èçêóñòâî.

Ð î ä æ å ð ñ, Õ. (1972). Òåîðèÿ ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé è ýôåêòèâíàÿ âû÷èñëèìîñòü. Ì., Ìèð.

Ñ ë à â ê î â, Ñ. (1971). Àñïåêòè íà ìàòåìàòè÷åñêîòî ïîçíàíèå (ôèëîñîôñêè àíàëèç). Ñ., Íàóêà è

èçêóñòâî.

Ñ ë à â ê î â, Ñ. (1976). Ôèëîñîôèÿ, ìàòåìàòèêà, äåéñòâèòåëíîñò. Ñ., Èçäàòåëñòâî íà ÁÀÍ.

Ñ ò å ô à í î â, À. (1999). Ùî å ôèçè÷åñêà ðåàëíîñò? Ãàáðîâî, Alma mater international.

Ð ó ä î é, Þ. (2003). Îáîáùåííàÿ èíôîðìàöèîííàÿ ýíòðîïèÿ è íåêàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäëåíèå â

ðàâíîâåñíîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå. – Òåîðåòè÷åñêàÿ è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà. Ò.

135, ¹ 1.

Ó ñ ï å í ñ ê è é, Â. (1960). Ëåêöèè î âû÷èñëèìûõ ôóíêöèÿõ. Ì., ÃÈÔÌË.

Ó ñ ï å í ñ ê è é, Â. (1982). Òåîðåìà Ãåäåëÿ î íåïîëíîòå. Ì., Íàóêà.

Ó ñ ï å í ñ ê è é, Â. (1988). Ìàøèíà Ïîñòà. Ì., Íàóêà.

Ô å é í ì à í, Ð. (1986). Êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèå ÝÂÌ. – Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê, ò. 149, ¹ 4.

íåîòäåëèìè ìíîæåñòâà) çàåäíî ñ îòðèöàíèåòî íà êîíòèíóóì-õèïîòåçàòà. Çà öåëòà åäíîâðå-

ìåííî òðÿáâà äà ñå äîïóñíå íåèçïúëíåíèåòî íà óñëîâèÿòà (1) è (2): (Õèïîòåçàòà çà êîíòèíó-

óìà å õèïîòåçà íà Ã. Êàíòîð, ñúñòîÿùà ñå â òîâà, ÷å âñÿêî áåçêðàéíî ïîäìíîæåñòâî íà êîíòè-

íóóìà R å ðàâíîìîùíî èëè íà ìíîæåñòâîòî íà åñòåñòâåíèòå ÷èñëà, èëè íà R. Åêâèâàëåíòíà

ôîðìóëèðîâêà (ïðè íàëè÷èåòî íà àêñèîìàòà çà èçáîðà) å: 2àëåô(0)

=àëåô(1). Îáîáùåíèåòî íà òî-

âà ðàâåíñòâî çà ïðîèçâîëíè êàðäèíàëíè ÷èñëà ñå íàðè÷à îáîáùåíà êîíòèíóóì-õèïîòåçà: çà

âñÿêî îðäèíàëíî ÷èñëî 2àëåô(α)

=àëåô(α+1). (1). Ïðè îòñúñòâèåòî íà àêñèîìàòà çà èçáîðà îáîá-

ùåíàòà êîíòèíóóì-õèïîòåçà ñå ôîðìóëèðà âúâ âèäà: çà âñÿêî ê íå ñúùåñòâóâà òàêîâà m, ÷å

k<m<2k (2), êúäåòî k, m ñà ïðîìåíëèâè çà áåçêðàéíè êàðäèíàëíè ÷èñëà. Îò (2) ïðîèçòè÷à àêñèî-

ìàòà çà èçáîðà è (1), à îò (1) è àêñèîìàòà çà èçáîðà ïðîèçòè÷à (2) ). Ïðè òîâà ìåæäèííèòå ñòåïå-

íè è íà íåêðàéíèòå ìîùíîñòè îò òèï „íå-àëåô“ è îò òèï „àëåô“. Ïðè òîâà ïîëîæåíèå å çà ïðåä-

ïî÷èòàíå ôîðìóëèðîâêàòà íà àêñèîìàòà çà èçáîðà âúâ ôîðìàòà: „Âñÿêà ìîùíîñò å àëåô.“

71

Ý é í ø ò å é í, À. (1966). Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîå îïèñàíèå ôèçè÷åñêîé ðåàë-

íîñòè ïîëíûì? – Â: Ñîáðàíèå íàó÷íûõ òðóäîâ. Ò. 3. Ì., Íàóêà.

A d a m i, C., N. C e r f. (1999). What Informatiom Theory Can Tell Us About Quantum Reality. –In:

Quamtum computing and quantim communications. New York, Springer.

F e y n m a n, R. (1982). Simulating Physics with Computers. – International Journal of Theoretical

Physics, Vol. 21, N 6–7.

K l e e n e, S. (1952). Introduction to metamathematics. Amsterdam, North-holland publishing.

M a h l e r, G., I. K i m. (1999). Correlation between correlations: Process and Time in Quantum Net-

works. – In: Quamtum computing and quantim communications. New York, Springer.

W i l l i a m s, C., S. S p r i n g e r. (1999). Explorations in quantum computing. New York, Springer.