¿Qué es el CÁLCULO? El Cálculo es la matemática de los cambios – velocidades y aceleraciones. También son objeto del

Cálculo las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitud de arco, centroide,

curvaturas y una gran variedad de conceptos que han hecho capaces a los científicos, ingenieros y

economistas de crear modelos para las situaciones de la vida real.

Aunque las matemáticas previas al Cálculo también tratan las velocidades, aceleraciones, rectas

tangentes, pendientes, etc, existe una diferencia fundamental entre ellas y el Cálculo. Mientras

que las primeras son estáticas, el Cálculo es dinámico. Por ejemplo:

Las matemáticas previas al Cálculo permiten describir la pendiente de una recta, pero para

describir la pendiente de una curva es necesario el Cálculo.

Las matemáticas previas al Cálculo permiten describir el área de un rectángulo pero para

describir el área bajo la curva se necesita del Cálculo.

Cada una de estas situaciones involucra la misma estrategia general - la reformulación de las

matemáticas previas al Cálculo a través de un proceso de límite. Así pues, una forma de

responder a la pregunta “¿Qué es el Cálculo?” es decir, el Cálculo es una máquina que conlleva

tres estadios.

El primero lo constituyen las matemáticas previas al Cálculo, con nociones como la pendiente de

una recta o el área de un rectángulo. El segundo es el proceso del límite y el tercero es la nueva

formulación propia del Cálculo, en términos de derivadas e integrales.

LÍMITE Y CONTINUIDAD

Límite de Funciones

Un aspecto importante del estudio del cálculo es el análisis de cómo cambian los valores de

una función, o los valores de salida, cuando se modifican los valores de entrada. La noción de

límite es básica para este estudio.

Suponga que los valores de entrada se acercan cada vez más a determinado número. Si los

valores de salida correspondientes están cada vez más cerca de un número, entonces ese número

se llama límite.

La idea de límite de una función f es estudiar el comportamiento de f(x) cuando x se

“acerca” a un valor determinado.

El límite de una función se puede obtener de forma intuitiva, usando una tabla de valores

o mediante la gráfica de la función y el álgebra de límites.

Mediante tabla de valores:

Ejemplo 1:

Consideremos la función √ . ¿Qué ocurre con f ( x ) cuando x es próximo

a ?

Algunos valores de f ( x ) para x cercanos a cinco están dados en la Tabla

√ √

4.9 1.9493588 5.1 2.04939053

4.99 1.9949937 5.01 2.00499370

4.999 1.9994999 5.001 2.00049993

4.9999 1.9999499 5.0001 2.00004990

4.99999 1.9999950 5.00001 2.00000500

4.999999 1.9999995 5.000001 2.00000050

En la Tabla observamos que: “ f ( x ) se acerca a 2 ”, cuando “ x se acerca a 5 ”. Lo que en

símbolo matemático escribimos: √

Ejemplo 2

Consideremos la función

. ¿Qué ocurre con cuando x es próximo a

?

Solución: En este caso la función no está definida para x = 2, es decir, el 2 no posee imagen.

2 RfDom

Analizamos que ocurre con las imágenes para valores menores que 2 y para valores

mayores que 2.

Para

tiende a 2 por la izquierda se denota

x 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999

f(x) 14 15,6 15,96 15,996 15,9996

Se dice que f(x) tiende a 16 por la izquierda

Lo cual se escribe y se lee límite por la izquierda de 2 es 16

Para

tiende a 2 por la derecha se denota

x 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001

f(x) 18 16,4 16,04 16,004 16,0004

tiende a 16 por la derecha, denotándose por lo que significa

que el límite por la derecha de 2 es 16.

La gráfica nos muestra el comportamiento de

Cuando x tiende a 2 desde cualquier lado de 2, f(x) tiende a 16. En este caso decimos

que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 16, lo que escribimos

Notar que mediante álgebra elemental es posible transformar en otra función

de igual valor en la vecindad de x

)()2(42

)2)(2(4

2

)4(4)(

2

xgxx

xx

x

xxf

Si evaluamos g(x) se tienen los mismos valores que f(x)

Para x < 2

x 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999

g(x) 14 15,6 15,96 15,996 15,9996

Para x > 2

x 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001

g(x) 18 16,4 16,04 16,004 16,0004

Por lo que f(x) = g(x) en la vecindad de x.

2limx 2

)4(4 2

x

x=

2limx

)2(4 x =16

Ejemplo 3

Consideramos la función

¿Qué sucede con los valores cuando x toma

valores cercanos a ?

Solución: Ningún truco algebraico simplificará nuestra tarea; ciertamente, no podemos

cancelar las x. Una calculadora nos ayudará a tener una idea del límite. Utilice su propia

calculadora (en modo radianes) para verificar los valores en la tabla siguiente. La figura

muestra la gráfica de

. Nuestra conclusión, aunque admitimos que es poco

firme, es que

En la siguiente Tabla aparecen algunos valores de correspondientes a valores de

x cercanos a cero, por la izquierda de cero ( x < 0 ) y por la derecha de cero ( x > 0 ).

- 0.1 0.998334166 0.1 0.998334166

- 0.01 0.999983333 0.01 0.999983333

- 0.001 0.999999833 0.001 0.999999833

0.0001

0.999999983 0.0001 0.999999983

En la Tabla podemos observar que

se puede acercar a uno, tanto como se

quiera, siempre que se elija x suficientemente próximo a x = 0, lo que en símbolos

matemáticos escribimosx

sen

x 0lim

= 1

Esto se lee: “ El límite, de ,x

xsen cuando x tiende a cero, es igual a 1 “

Obtención del límite usando la gráfica de f

A partir de la gráfica de f deducir )(lim1

xfx

Observamos que

Ejemplo 5:

Dada la siguiente gráfica

Obtener:

a) b) c) d)

e)

De la gráfica podemos observar que

a) 0)(lim)1(

xfx

, b) 1)(lim)1(

xfx

c) )(lim)1(

xfx

no existe, porque

cuando x se acerca a -1, los valores de f(x) se acercan a dos valores distintos el 0 y

el 1.

El límite de existir debe ser único.

De los ejemplos anteriores podemos deducir:

Teorema

lim ( )x a

f x L

i) ax

lim f ( x ) existe

ii) ax

lim f ( x ) existe

iii) ax

lim f ( x ) = ax

lim f ( x ) = L.

Para d)

es decir, cuando )(xf

Para e)

Límite de una función

La función f tiene el límite L cuando x tiende a , lo que se escribe Lxfax

)(lim

Si el valor de f(x) se puede hacer tan cercano a L como se quiera, considerando a x suficientemente cerca de a (pero no igual a a)

El procedimiento de comprobar límites de funciones mediante la definición resulta en algunos casos sumamente complicado.

Estudiaremos procedimientos simples para evaluarlos, basados en ciertas propiedades de límites. Estas propiedades tratan, entre otras, con límites de sumas, diferencias, productos y cuocientes de funciones

Algebra de Límites

P 1)

P 2) siendo c una constante.

P 3) Si c es una constante y f una función entonces

P 4) Límite de un producto, es el producto de los límites de las funciones

[ ]

P 5) El límite de una suma (diferencia) de funciones es la suma (diferencia) de los límites

de las funciones.

[ ]

P 6) El límite de un cuociente de funciones es el cuociente de los límites de las

funciones

[

]

, siempre que

Lo anterior se resume en el siguiente cuadro

Ejemplos

Ejemplo 1)

Calcular

=

= 4(

= 19

Observamos que, en el ejemplo 1) el límite (cuando de la función polinómica

, es simplemente el valor de p en

Esta propiedad de sustitución directa es válida para todas las funciones polinómicas y todas

las racionales cuyos denominadores no se anulen en el punto considerado

Ejemplo 2)

Hallar el límite

Se ha visto que los límites de muchas funciones algebraicas se pueden calcular por

sustitución directa. Cada una de las seis funciones trigonométricas también posee esta

deseable propiedad.

Ejemplo 3)

Ejemplo 4)

Otra Propiedad de Límite

Propiedad:

Sean : Ra , xgyxf dos funciones tales que xgxf para ax

Si existe

Entonces

Ejemplo 5

Aplicación de la propiedad anterior

Consideremos la función 1

12

x

xxf

Notemos que y

En este caso al evaluar directamente nos queda

arreglamos factorizando

con

Como ,21limlim11

xxgxx

por propiedad anterior se

concluye que

Ejemplo 6) Calcular

En este caso al evaluar directamente nos queda

por lo que debemos arreglar la función en

otra, de uno de los primeros ejercicios sabemos que

Por lo que

Ejemplo 7) Hallar el límite

Debemos arreglar factorizando

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Utilizando las propiedades de límite determinar:

1. 6lim 3

3

x

x Respuesta 33

2. 96lim 2

2

xx

x Respuesta 25

3. 6

1lim

31 xx Respuesta

7

1

4. xx

xx

x 53

23lim

2

2

2

Respuesta 6

5. 23

124lim

2

0

x

xx

x Respuesta

2

1

6. 1

52lim

2

2

1

x

xx

x Respuesta 4

7. 2

2lim

2

x

x

x Respuesta 0

8. 2

4lim

2

2

x

x

x Respuesta 4

9. 2

8lim

3

2

x

x

x Respuesta 12

10. 253

103lim

2

2

2 xx

xx

x

Respuesta 1

}

Continuidad de una Función.

La importancia de estudiar la CONTINUIDAD de las funcione nos permite conocer sus características y propiedades. Por sus propiedades las FUNCIONES CONTINUAS juegan un rol fundamental en el estudio de la Matemática y en particular del Cálculo.

Definición Sea xf una función definida para todo x en un intervalo abierto que

contiene al número a. Entonces f es continua en ax sí y sólo si afxfax

lim

Nota i) Para que una función sea Continua en un punto ax se deben satisfacer tres

condiciones:

1) af debe estar definida, es decir, Dfa

2) xfax

lim existe

3) afxfax

lim

2i) Si: 1) af no está definida ó

2) xfax

lim no existe ó

3) ax

xf

lim existe pero no es igual a ,af la función f no

es Continua en ax . En este caso diremos que la función es DISCONTINUA

en ax .

Ejemplos

a) Sea n

nnn axaxaxaxf ....2

2

1

10 (función Polinómica).

Como bfabababaxf n

nnn

obx

....lim 2

2

1

1 entonces la función

Polinómica es CONTINUA en bx

Toda Función Polinómica es continua en cualquier número real

b) La función Racional es continua en todo su dominio (Es discontinua para aquellos

valores de x que hacen que el denominador sea cero)

c) Consideremos la función

1 si2

1 si1

12

x

xx

xxf

Como:

1) 211 fdefinidaestáf

2) 2lim1

xfx

3) 1lim1

fxfx

, entonces es continua en x = 1

d) Como la función 1

12

x

xxf no está definida en 1x , entonces es

discontinua en

e) Consideremos la función

01

0

xx

xxxf

Esta función está definida en ,100 fx pero 0

limx

f ( x ) no existe

porque los límites laterales son distintos, en efecto:

,1lim0lim00

xfxfxx

en consecuencia es discontinúa en

En los siguientes ejercicios, indicar para que valores de x, la función es continua 0

discontinua y si presentan discontinuidad reparable.