UNIVERSITETI POLITEKNIK

FAKULTETI I INXHINIERISE MATEMATIKE DHE INXHINIERISE FIZIKE

DEPARTAMENTI I INXHINIERISE MATEMATIKE

Morfizmat e Moduleve AlgjebrikeGrafi, Projeksionet, Injeksionet

PUNOI: UDHEHOQI:

Mikela Murrja Rezarta Shtraza

Tirane 2010

Permbajtja

1 Hyrje…………………………………………………………………………………………………………………1

2 Njohuri themelore dhe emertime…………………………..…………………………………………….2Perkufizimi i modulit, shembull, veti, nenmoduli, teoreme…………………….2

3 II Homomorfizmat e R-modulevePërkufizimi I homomorfizmavetë moduleve,shembull në rastin e fushës, berthama,imazhi e homorfizmave,pohime

4 III Grafi i homomorfizmave te moduleve dhe prodhimi kartezian i modulevePohime mbi grafin,vetitë

5 V.Projeksioni dhe Injeksioni (për prodhimet e drejtpërdrejta)Pohim mbi homorfizimit,perkufizim i homorfizmit projektiv,pohim ,perkufizimi i prodhimit te homorfizmave,pohim,shembull

6

Hyrje

Qëllimi I këtij materjali është të mësojmë mbi modulet dhe grafet e tyre. Ç ‘quajme moduli dhe si formohet ai? Kjo jeper qarte ne paragrafin[1]. Te nihemi me veteite kryesore te tij Duke vijuaj me nenmodulin e modulit Ne vijim do te nihemi me homomorfizmat,si formohen dhe shembuj mbi to Ç ‘quajme morfizem? Ç’është bërthama e morfizmit dhe si shenohet matematikisht? Duke vijuar me imazhin e morfizmit. Si historik,vazhdon me grafin e funksionit dhe lidhjen e tij me homorfizmat,prodhimi

kartezian I tyre jep grafin e funksionit. Duke vijuar me pas me prodhimet dhe shumat e drejtperdrejta te moduleve Historiku mbyllet me injeksionet dhe projeksionet per prodhimet e drejtperdrejta.

I NJOHURI THEMELORE

Le tё jetё M njё bashkёsi jo boshe nё tё cilen ёshtё futur veprimi i brendshёm algjebrik i shёnuar me simbolin e mledhjes + dhe R njё unazё çfarёdo qe ka element te njesishem ne lidhje me shumezimin 1 (njësh). Gjithashtu nё M ёshtё futur dhe veprimi i jashtёm algjebrik i shёnuar me simbolin e shumёzimit q∙ ё pasqyron RXM nё M . Kёtё veprim do ta quajmё shumёzim nё M me elemente nga R.

Pёrkufizim 1.1. Nё kushtet e mёsipёrme, modul i majtё mbi unazёn R quhet sruktura algjebrike (M ;+, )∙ e cila ka vetitё(BEJE ME X TE MADH SHUMZIMIN E MODULEVE)

1. (M ;+) ёshtё grup abeljan2. ∀ (r1, r2 , m)∈R2 xM ,r1(r2m)= (r1 r2)m;

3. ∀ (r ,m1 ,m2 ) ϵRx M 2 , r (m1+m2 )=rm1+r m2 ;

4. ∀ (r1 , r2, m)∈R2 xM ,(r1+r2)m= r1 m+r2m;5. 1 x=x;

Nё mёnyrё analoge pёrkufizohet dhe moduli i djathtё mbi unazёn R. Mё shkurt modulin e majtё (tё djathtё) mbi unazёn R e shёnojmë ❑R M ,¿¿). Nëse moduli është dhe i majtë dhe i djathtë do te themi thjesht R –modul.

Në shqyrtimin tone të gjitha unazat do jenë unitare, pa qene e nevojshme qe ta theksojmë shpesh këtë.

Shembull 1.1. Ç’do grup abelian formon modul mbi numrat e plotë

Vërtetë: Nga teoremat [3]- mbi grupet abeljane Z0 kemi M –grup abeljan për çdo m∈M dhe për çdo r∈R elementi m përkufizohet me anë të :

r⋅m={ m+m+.. .+m nqs r>00 nqs r=0

(−m)+(−m)+. ..+(−m) nqs r<0

Për r=0kemi të vërtetë:

1) Vertetojme qe

r (m1+m2 )=rm1+rm2

- po të supozojmë që n>0atëherë :

r (m1+m2 )=

¿(m1+m2)+(m1+m2 )+. . .+(m1+m2 )

¿(m1+m1+.. .+m1 )+(m2+m2+. . .+m2)

ku(m1+m1+. . .+m1 ) ka r kufiza

(m2+m2+. . .+m2) ka r kufiza

Mëqenëse grupi është abeljan atëherë

r (m1+m2 )=

¿(m1+m2)+(m1+m2 )+. . .+(m1+m2 )

¿(m1+m1+.. .+m1 )+(m2+m2+. . .+m2)=rm1+rm2

- për r<0

r (m1+m2 )=[−(m1+m2 )]+[−(m1+m2) ]+. . .+[−(m1+m2 )]

nga vetitë e nderrimit dhe shoqerimit në grupe

−(m1+m2)=−m1−m2

⇒r (m1+m2)=[(−m1 )+(−m1 )+. ..+(−m1 ) ]+[(−m2 )+(−m2 )+. . .+(−m2) ]=

¿(−r (−m1 )+(−r )(−m2 )=rm1+rm2

2) (r1+r2 )m=r 1m+r2m

nga vetitw e unazave [1]

(−r )m=−rm=r (−m)

- Për m ,r>0

r1m+r2 m=

¿(m+m+. ..+m )+(m+m+.. .+m)

¿(r 1+r2 )m

- Per r1 ose r2 zero është e qartë.

- r1<0 , r2>0

(r1m+r2m=(−m1)+(−m1 )+.. .+(−m1 )+(m+m+.. .+m)=(r1+r2 )m

atëherë është e qartë që për çdo r1 , r2∈Z ka vënd

(r1+r2 )m=r 1m+r2m

3) r1 (r2m)=r1(m+m+.. .+m) ,r1 , r2>0

r1 (r2m)=r1(m+m+.. .+m)=(m+m+.. .+m)+. ..+(m+m+. . .+m)=(r1⋅r 2)m

Pra për çdo r1 , r2∈Z ka vënd

r1 (r2m)=(r1⋅r2 )m

4) Dhe për 1∈Z kemi

1⋅m=m

Prandaj kemi që grupi abeljan morfizëm M formon modul mbi numrat e plotë.

Nёse moduli i majtё mbi R ёshtё dhe i djathtё ai quhet modul mbi unazёn R.

Veti 1.1. Prodhimi i zeros së unazës R me një element të çfardoshëm të R-modulit M

është I barabartë me zeron e modulit. Pra çdo m∈M 1 0⋅m=0

(vëmë re që në shënimet e mësipërme nuk kemi bërë dallime ndërmjet zeros së unazës R dhe zeros së R-modulit M ).

Vërtetim:nga kushti i përkufizimit të R-modulit do të kemim+0=m , meqë m është

element i grupit abeljan(M ,+)nga kushti katër I përkufizimit të modulit 1⋅m=m (për çdo m∈M ) në unazën R kemi 1+0=1mëqë 1 është element I R dhe 0 është zeroja e R . Nga kushti dy I përkufizimit të modulit kemi

(1+0 )m=1⋅m+0⋅m=m+0⋅m

pra kemi të vërtetë vargun e barazimeve

m+0=m=1⋅m=(1+0 )m=1⋅m+0⋅m=m+0⋅m pram+0=m+0⋅m ku m ,0,0⋅m

që janë element të grupit abeljan(M ,+)ku s1 është shumë nga algjebra lineare, zë vënd vetia e thjeshtimit nga e majta, prandaj marrim që

0⋅m=0

Veti 1.2. Prodhimi i një elementi çfardo të unazës R me zeron e R-modulit M është i

barabartë me zero. Pra për çdor∈R , r⋅0=0

Vërtetim. Nga vetia 1 kemi që m⋅0=0 për çdo m∈M prandaj mund të shkruajmë:r⋅0=r ( 0⋅m)

nga kushti tre i përkufizimit të modulit meqër ,0∈R dhem∈M kemi

r (0⋅m)=r⋅0(m)

dhe nga vetia e shumzimit me zera në unazë kemi që r⋅0=0 [1] prandaj kemi të barabartë vargun e barazimit

r⋅0=r ( 0⋅m)=(r⋅0 )m=0⋅m=0

pra

∀ r∈ R r⋅0=0

Veti 1.3. pwr cdo element m të modulit

−m=(−1 )⋅m

Vërtetim. Meqë 1⋅m=m nga përkufizim i modulit

m+(−1)⋅m=1⋅m+(−1)⋅m

Dhe

1⋅m+(−1 )⋅m=(1+(−1 ))⋅m

meqënëse 1∈R dhe (R ,+) është grup kemi që:

1+(−1 )=0

dhe nga vetia 1:

0⋅m=0 ∀m∈M

Prandaj kemi të vërtetë vargun e barazimeve:

m+(−1)⋅m=1⋅m+(−1)⋅m

=1+(−1 )⋅m

=0⋅m

=0

Kjo do të thotë që – m eshte i anasjellte i elementit m te moduli, pra

−m=(−1 )⋅m

Përkufizim 1.2. Le tё kemi M ' nёnbashkёsi tё qёndrueshme tё modulit M mbi unazёn R nё lidhje me tё dy veprimet + dhe ∙ nё M dhe + dhe ∙ janё shёnuar veprimet e induktuara nga M nёM '. Nё kёto kushte nёnmodul i modulit (M ;+; ∙) quhet çdo nёnstrukturё (M ' ;+ ; ∙) qё ёshtё dhe vetё modul mbi unazёn R.

Teoremë 1.1. Le të jete(M ' ;+ ; ∙) treshe në të cilën M ' është nёnbashkёsi e modulit M mbi unazёn R dhe +, ∙ janë veprimet e induktuara nga M ne M 'ateherë kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që treshja (M ' ;+ ; ∙) të jetë nënmodul i modulitM është që (M ' ;+ ; ∙) të jetë nёnstrukturё e modulit (M ;+; ∙).

(Veme re që kushti i teoremës mund të shprehet ndryshe me anë të M'+, ∙⊂q

M )

Vërtetim. Nëse(M ' , + ,⋅) është nënmodul i modulit M atëherë nga përkufizimi i

nënmodulit M’ është dhe vetë modul, prandaj(M ,+)është grup abeljan ku + është veprim i jashtëm në M’

ma+m1' , m2

' ∈M ' , m1' +m2

' ∈M '

Po ashtu meqë shumezimi është veprim i jashtëm ne modulin M’, kjo do të thotë se kemi:

∀ (rxm ' )∈RxM ' r⋅m '∈M '

praM '⊂¿

q M qe do te thote qe(M ' , + ,⋅)është nënstrukturë e (M , + ,⋅)

Anasjelltas, le të kemi (M ' , + ,⋅)nënstrukturë(M , + ,⋅) dhe le të kemi veprimin + shoqërues dhe ndërrues në nënstrukturën M’ le të jetë S L është nënstrukturë meqë ∀ (M ,m '∈RxM ' rm'∈M ' dhe nga vetia (duhet shtuar)(shihe pak kete perkufizim se me pare me ke thene se do eshtojme)

dhe

a+(−a )=0∈M '

mandej (M ' , +)është grup abeljan

2. ∀ (r1 ,r2 m' )∈ R2 xM ¿¿ ¿ ' ¿ ¿ ,(r1

' , r2 m' )∈R2 xM ¿

Meqë M është nënmodul mund te shkruajme

r1m '+r2 m'=(r1+r2 )⋅m'

3. ∀ (r ,m1' , m2

' )∈RxM ¿¿ ¿ ' 2 ¿¿ ,(r ,m1' , m2

' )∈RxM 2¿

Dhe po nga vetite e modulit

4. ∀ m'∈M ' , m'∈M prandaj

1⋅m '=m

Kështu janë plotësuar të gjitha kushtet e përkufizimit të modulit për (M ', + ,⋅), pra (M ', + ,⋅)është nënmodul i R-modulit M .

r (m1' +m2

' )=r⋅m1' +r⋅m2

'

II Homomorfizmat e R-moduleve

Le të jenë M 1 dhe M 2 module mbi unazën R .

Përkufizim 2.1. R-homomorfizëm i R -modulit M 1 ne R -modulin M 2 quhet çdo pasqyrim h:M 1→M 2 që plotëson kushtet:

1. h(m1+m2)=h(m1 )+h(m2 ) , ∀(m1 ,m2 )∈M 2

2.h(r⋅m)=r⋅h(m) , ∀(r ,m)∈RxM

Kur është e qartë se cila unazë përdoret në vënd të R -homomorfizëm mund të themi më shkurt homomorfizëm (morfizem).

Shembull 2.1. Në qoftëse R është fushë, atehere R -morfizmat janë pasqyrimet lineare të shqyrtuara në algjebrën lineare .

Vertet. Le te jete h : M 1→ M 2 homomorfizem i grupeve abeliane M 1 dhe M 2 dhe meqe çdo grup abelian formon modul mbi unazën Z të numrave të plotë, atëherë h është Z –

morfizëm i moduleve M 1 dhe M 2. Pra Z –morfizmat e moduleve janë homomorfizmat e grupeve te trajtuara ne algjebren lineare. [1] .

Klasifikime te homomorfizmave te moduleve:

Perkufizime 2.2. Nëse R -homomorfizmi h është:

pasqyrim injektiv, quhet monomorfizëm;

pasqyrim syrjektiv, quhet epiomorfizëm;

pasqyrim bijektiv, quhet izomorfizëm;

pasqyrim në të cilin M 1=M 2 , quhet endomorfizëm;

dhe endomorfizmi bijektiv quhet automorfizëm imodulit M 1 në modulin M 2.

Le të jetë R një unazë dhe h : M 1→M 2 morfizëm i modulit A në modulin B.Përkufizim 2.3 Bashkësia {a∈A/h(a)=0} quhet bërthamë e homomorfizmit h dhe

shënohet ker (h).

Pohim 2.1. ker(h) është R-modul I R-modulit të M (nga algjebra)

Vërtetim:Tregojmë që ker (h )+ ,∙⊂q

M 1 pra që plotëson:

1. për çdo k 1k2∈ker(h ) k 1+k2∈ker(h )

2. për çdo (r , k )∈R X ker (h )rk∈ker(h )

Shohim që:

h( k1+k 2)=h(k 1)+h (k2 )

nga kushti I përkufizimit te morfizmit dhe me që k 1 , k2∈ker (h )kemi :

h( k1 )=h( k2 )=0

dhe

h( k1+k 2)=h(k 1)+h (k2 )=0+0=0

Meqë :

h( k1+k 2)=0

kjo do të thotë që:

k 1+k2∈ker(h )

Po ashtu nga kushti i dytë i përkufizimit të morfizmit kemi :

h(rk )=rh(k )

dhe meqë k∈ker (h )atëherë:

h( k )=0

dhe duke përdorur dhe vetinë 1.2 kemi që:

h(rk )=rh(k )=r⋅0=0

Pohim 2.2.Në qoftë se ker (h)=0atëherë h është monomorfizëm.

Perkufizim 2.4. Bashkësia {h(a)/a A } quhet imazh i homomorfizmit h dhe shënohet Im(h)

Pohim 2.3. Im(h) është nëmodul i modulit te bashkesise te mbarimit M 2 te homomorfizmit.

Vërtetim. Marrims , s1 , s2∈Im (h) dhe r∈R të tregojmë që :

s1+s2∈Im (h)

r⋅s∈ Im(h )

Meqë s1 , s2∈ Im(h ) ekzistojne m ,m1 ,m2∈M 1 që:

s=h (m) , s1=h (m1 ), s2=h (m2 )

Prandaj, meqë:

s1+s2= h(m1 )+ h (m2 )=h (m1 +m2 )

themi që ekziston m1+m2∈M1

që s1 +s2 =h(m1 +m2 )

dhe

2.Meqë

r⋅s=r⋅h(m)=h(r⋅m)

kemi që ekziston :

r⋅m∈M 1 r⋅s=h(r⋅m)

pra

Im (m)⊂+¿

qM 2

Pohim 2.4. Në qoftë se Im(h)=B atëherë h është epimorfizëm.

III Grafi i homomorfizmave te moduleve dhe prodhimi kartezian i moduleve

Le të jenë M 1 dhe M 2 module mbi unazën R. Nga algebra lineare dimë që graf i pasqyrimit h : M 1→ M 2 është quajtur nënbashkësia

gr (h )= {(m ,h (m))/m∈M 1 }

e prodhimit kartezian M 1 XM2.

KurM 1 dhe M 2 janë R-module dhe h homomorfizëm i tyre , përftojmë ketë pohim

Pohim 3.1. Grafi gr (h )I R -morfizmit h : M 1→ M 2ështe nënmodul i R- modulit M 1 XM2 .

Vertetim. Nga perkufizimi i grafit te nje pasqyrimi, shihet që gr (h )⊂+∘

q M 1 XM 2

dhe 1.∀ m1 ,m2∈M 1 (m1 , h(m1 )+m2 , h(m2))=(m1+m2 , h(m1)+h(m2))

Meqë h është morfizëm kemi

h(m1 )+h(m2 )=h(m1+m2 )

prandaj

(m1+m2 , h(m1 )+h(m2 ))=(m1+m2 , h((m1+m2 ))

pra

m1h(m1 )+m2h(m2 )=(m1+m2 , h((m1+m2 ))∈gr (h )

2.∀ r∈ R ∀(m ,h(m)∈gr (h ) r (m ,h (m))=(rm , rh(m))=(rm ,h(rm))∈gr ( h)

Prandaj nga teorema 1.1. gr (h )është nënmodul i modulit M 1 XM 2

Homomorfizma të ndryshme kanë nëmodule të ndryshme për grafe.

Por cilet nga nëmodulet e M 1 XM2 janë grafe të morfizmave nga M 1 ne M 2?

Për ti dhene pergjigje kesaj pyetje shohim, me pare, një veti të grafit gr (h ).

Le të jetë p : M 1 XM 2→ M 1 një pasqyrim I përcaktuar me anë të barazimit

p(m¿¿1 ,m2)=m1 ,∀ (m¿¿1,m2)∈M 1 XM 2¿¿

M ' nënmodul i M 1 XM 2 që h(m1 )=m për (m1 ,m2)∈M '

Veti 3.1. Nje nenmodul M ' i modulit M 1 XM2 eshte graf i nje R-homomorfizmi h : M 1→ M 2 atehere dhe vetem atehere kur p/M ' eshte pasqyrim bijektiv ndermjet M ' dhe M 1

((M '=gr (h ) ku h : M 1→M 2 morfizëm)⇔( p/M ' )pasqyrim bijektiv)

Vërtetim: Le të jetë M '=gr (h )ku h : M 1→M 2 është morfizëm. të trëgojme qëp/M ' është pasqyrim bijektivë.

1. Marrim (m1 ,m2) ,(m '1 ,m'2 )∈M ' që(m1 ,m2)≠(m '1 ,m'2 )

Supozojmë se p(m1 ,m2 )=p(m1' ,m2

' )⇒m1=m1'meqë h është morfizëm

⇒h(m1)=h(m1' )⇔m2=m2

'pra (m1 ,m2)=(m '1 ,m' 2 )që nuk është e vërtetë pra mbetet që

p(m1 ,m2 )≠p(m1' ,m2

' )praP/M ' është pasqyrim bijektiv

2. Marrim mA∈M A'

çfardo atëherë e kzistonm2∈M 2 qëp(m1 ,m2 )=m1 pra p është

syrjektivë në këtë mënyrë p/M ' është pasqyrim syrjektivë

Anasjelltas : Le të jetë p/M ' pasqyrim syrjektivë. Të tregojme se h është morfizëm kuM '=gr (h ).

Meqë M ' është nëmodul I modulit M 1 xM2

1. Meqë

p(m1 ,m2 )+(m1' ,m2

' ))=p(m1+m1' )+(m2+m2

' )=p (m1+m1' ) , h(mA+mA

' )=m1+m1'

Meqë :

M '=gr (h )(m1+m '1 ,m2+m '2 )∈M '

nga ana tjetër

p(m1+m1' ,m2+m2

' )=p(m1+m1' , h(m2)+h(m2

' )=m1+m1'

Meqë

(m1 ,m2) ,(m '1 ,m' 2 )∈M ' dhe M '=gr (h )

duke qenë sep është funksion bijektiv marri që :

h(m1 )+h(m1' )=h (m1+m1

' )

2.p(r (m1 ,m2 ))=p( rm1 , rm2 )=p(rm1 , h(rm1 ))

meqë M ' është nëmodul I modulit M 1 xM2 dhe M '=gr (h )

p(r (m1 ,m2 ))=p( rm1 , rm2 )=p(rm1 , h(rm1 ))=rm1

nga ana tjetër:

p(r (m1 ,m2 ))=p( rm1 , rm2 )=p(rm1 ,rh (m1 ))=rm1

mëqe (m1 ,m2)∈M ' dhe p është funksion bijektiv merret :

h(rm1)=rh(m1)

pra h është morfizëm

Vetia e fundit karakterizon ato nëmodule të M 1 xM 2 që janë grafe të morfizmave.

Pra duke u dhënë një nënmodul M ' i tillë, ndërtohet pasqyrimi k : M 1→ M 2 qe ∀(m¿¿1 ,m2)∈M '⊆M 1 XM2 , k (m¿¿1)=m2 ¿¿.

(POHIM. Pasqyrimi k i ndërtuar me sipër është morfizëm i M 1 në M 2.

(ushtrimi 3 shembull per vërtetimin)

Funksioni p i përmendur më sipër është një shembull i një morfizmi projektiv që do të sillet në vazhdim.

IV Prodhimet dhe shumat e drejtperdrejta te moduleve

Le të jetë R një unazë dhe {M1 ,M 2 , . .. , M n , .. .} një bashkësi R-modulesh. Me këtë bashkësi

ndërtojmë bashkesinë πM i me sistemet e radhituara të rajtës:

m=(m(1) ,m(2) , . .. ,m(n) ,. .. ) ku m

( j)∈M j ∀ j≥1

per çdo dy elemente m1 ,m2∈πM i

përcaktojme shumën e elementëve me ane të barazimit:

m1+m2=(m1(1 )+m2

(1) ,m1(2 )+m2

(2) ,. .. ,m1(n )+m2

(n ) ,. .. )

dhe prodhimin me skalarë me ane te:

∀ (r ,m)∈RX πM i , rm=(rm(1) , rm( 2) , . .. , rm(n) ,. .. )

Pohim 4.1. Struktura (π Mi ;+ ,∙) formon modul mbi R.

Vërtetim. Le të jetë :

m=(m(1) ,m(2) , . .. ,m(n) ,. .. )∈πM i

i∈ {1,2 , .. . , n ,. . .}

Të cilin e shkruajmë shkurtimisht me simbolin m=(m( j )) j≥1 (për analogji me morfizmat)

Përdorimi I këtij simboli lejon veprimet e përdorura ne πM i të shkruar si më poshtë.

1.

m1=(m1( j))j≥1 m2=(m2

( j))j≥1 , m1+m2=(m1( j)) j≥1+(m2

( j )) j≥1=(m1( j)+m2

( j )) j≥1

Ku (m1( j)+m2

( j)∈M j dhe

2.∀ (r ,m)∈RX πM i rm=r (m( j )) j≥1=(rm( j)) j≥1 ku

rm( j)∈M j

10. 1)∀ m1 ,m2 ,m3∈πM i

( m1+m2 )+m3=(m1( j))j≥1+(m2

( j)) j≥1+(m3( j )) j≥1=((m1

( j )) j≥1+(m2( j))j≥1 )+(m3

( j)) j≥1

=(m1( j)+m2

( j )) j≥1+(m3( j))j≥1

=((m1( j)+m2

( j))+m1( j )+m2

( j))j≥1

Perdorim vetinë e shoqerimit të mbledhjes ne njërin prej R-moduleve pikërsht në R-modulin M j

(m1( j)+m2

( j))+m3( j)=m1

( j )+(m2( j)+m3

( j )) dhe meqë ∀ j≥0 M j janë R-module y barazim

është I vërtetë ∀ j≥0 pra

((m1( j)+m2

( j ))+m3( j)) j≥1=(m1

( j)+(m2( j )+m3

( j))) j≥1 është treguar që

( m1+m2 )+m3=m1+(m2+m3 )

2) ∀ j≥1 shënojmë me 0 zeron e R-modulit M jndërtuar me elementin0=(0( j )) j≥1∈πM j

Shihet që:∀ m=(m( j))j≥1∈πM i

m+0=(m( j))j≥1+(0( j )) j≥1=(m( j)+0( j))j≥1ku (m( j))j≥1+(0( j )) j≥1=m( j)

në R-modulin M j ∀ j≥1 prandaj

m+0=(m( j)+0( j))j≥1=(m( j))j≥1=(0( j))j≥1+(m( j)) j≥1=(0( j)+m( j )) j≥1=(m( j))j≥1

3) ∀ j≥1 shënojmë −m( j)∈M j të kundërtit e m( j)∈M j pra që m

( j)+(−m( j))=0( j)dhe të

ndërtojmë elementin −m=(−m( j )) j≥1∈πM i shihet që

m+(−m)=(m( j))j≥1+(−m( j))j≥1=(m( j )+(−m( j))) j≥1=(0( j)) j≥1=0

4)shihet që m1+m2=(m1

( j))¿¿ j≥1 ¿¿¿+(m2( j))¿¿ j≥1 ¿¿¿=(m1

( j)+m2( j))¿¿ j≥1 ¿¿¿¿

meqë m1( j)

,m2( j)∈M j ,

m1( j)+m2

( j)∈M j dhe M është R-mudul

Atëherë :

(m1( j)+m2

( j)) j≥1=(m2( j)+m1

( j))j≥1=(m2( j))j≥1+(m1

( j))j≥1=m2+m1

Kështu që ( πM i ,+)është grup abeljan.

20.

∀( λ ,m1 ,m2)∈RX πM i XπM i , λ (m1+m2)=λ((m1j ) j≥1+(m2

j )j≥1 )= λ(m1j+m2

j )j≥1=( λ(m1j+m2

j ))j≥1

meqë m1j,m2

j∈M j dhe M jR-modul ∀ j≥1 prandaj

( λ (m1j+m2

j ))j≥1=( λm1j+λm2

j ))j≥1=( λm1j ) j≥1+( λm2

j ))j≥1=λ (m1j ) j≥1+ λ(m2

j )j≥1=λm1+λm2

30. ∀( λ1 , λ2 ,m)∈ R2 XπM i , ( λ1+λ2 )m=( λ1+λ2 )(m( j )) j≥1=(( λ1+ λ2 )m

( j)) j≥1 meqë

m( j)∈M j dhe M jështë R-modul atëherë

( λ1+λ2 )m( j)= λ1m

( j)+λ2m( j)

prandaj

(( λ1+λ2 )m( j))j≥1=( λ1m

( j)+ λ2m( j))j≥1=( λ1m

( j))j≥1+( λ2m( j))j≥1=λ1(m

( j))j≥1+λ2(m( j))j≥1=λ1m+ λ2m

pra

( λ1+λ2 )m=λ1m+ λ2m

40. ∀( λ1 , λ2 ,m)∈ R2 XπM i , λ1 ( λ2 m)=λ1 ( λ2 (m( j)) j≥1 )=λ1( λ2m

( j)) j≥1=( λ1( λ2m( j)))j≥1

meqë m( j)∈M j dhe M jështë R-modul atëherë λ1( λ2m

( j))=( λ1 λ2 )m( j)

kjo ndodh ∀ j≥1 prandaj

pra

( λ1 ( λ2 m)=( λ1 λ2 )m

( λ1 ( λ2 m( j))) j≥1=(( λ1 λ2 )m( j))j≥1=(( λ1 λ2 )(m

( j)))j≥1=( λ1 λ2 )(m( j )) j≥1=( λ1 λ2 )m

50.shënojmë ∀ j≥1 me 1

( j)∈M j njësh i R-modul M jdhe ndërtomë elementin

1=(1( j))j≥1∈πM j

shihet që

∀ m∈πM j , 1⋅m=(1( j)) j≥1(m( j)) j≥1=(1( j)⋅m( j)) j≥1

meqë :

1( j),m

( j)∈M j dhe M jështë R-modul atëherë :

1( j)⋅m( j )=m( j)

dhe kjo ndodh ∀ j≥1 prandaj :

(1( j)⋅m( j )) j≥1=(m( j))j≥1=m

pra

1⋅m=m

(shënim: Në këtë mënyrë ne kemi të përcaktuar që më parë shumzimin e elementëvë

m=(m( j )) j≥1∈πM i me (1( j))j≥1∈ πMi me anë të 1⋅m=(1( j))j≥1(m( j))j≥1=(1( j )⋅m( j))j≥1ku

1( j) ,m( j)∈M j∀ j≥1 )

Nenstruktura (⊕M i ,+,⋅) dhe ⊕M i është bashkësia e atyre m∈πM ipër të cilat m( j)=0

përveç një numri të fundëm j∈{1,2 ,. . ., n , .. .} është nënmodul I R-modulit ( πM i ,+ ,⋅)

Kjo është e qartë meqë nga vetia e elementit anjëanës në grupin abeljan(⊕M i ,+,) dhe vetia 1

e modulit πM i , rezultati i mbledhjes në ⊕M i dhe rezultati i shumezimit me skalarë jep

elementë te tipit m∈πM i ku m

( j)=0 përveç një numri të fundëm j∈{1,2 ,. . ., n , .. .}

Rrjedhim 4.1. M 1 XM 2 është R-modul

Shihet qe prodhimi i derjteperdrejte πM i , i bashkësisë së R-moduleve {M1 ,M 2}është pikërisht

shuma e drejtperdrejte⊕M i i {M1 ,M 2}dhe meqë

M 1 XM 2={(m1+m2 )/m1∈M 1 ,m2∈M 2},

atëherë

M 1⊕M 2=πM i =⊕M i=M 1 XM 2 , për i=1,2

Meqë πM i është R-modul, ne rastin e M 1⊕M 2 me shënimin M 1 XM 2 , kemi që

(M ¿¿1⊕M 2 ;+⋅)¿ eshtë R-modul.

V.Projeksioni dhe Injeksioni (për prodhimet e drejtpërdrejta)

Le të jetë {M1 ,M 2 , . .. , M n , .. .} një bashkësi modulesh mbi unazën R dhe le të jetë πM iprodhim i

drejtpërdrejtë I kësaj bashkësie. për çdo j∈ I ndërtojmë një pasqyrim p j :πM i→M j i qe p j( f )=f ( j)

Pohim 5.1. Pasqyrimet p j janë homomorfizma.

Vertetim.

p j( f+ f ' )=( f + f ' )( j)= f '( j )+ f ( j)=p j( f )+ p j( f ') dhe p j(rf )=rf ( j )=rp j ( f ) për

çdo f , f ' ∈πM i dhe r∈R

Përkufizim 5.1. Pasqyrimi pj quhet homomorfizëm projektiv (projeksion) i j-të I

prodhimit te drejtperdrejte πM i.

(Me poshte jepet nje konstruksion ku perdoret)

(prodhim i drejtpërdejtë.

Le të jetë {h1 , h2 , . .. , hn , . ..} një familje R-morfizmash hi : A→M i që kanë të njejtën bashkësi

fillimi A me anë të kësaj familje përcaktojmë një funksion hi : A→πM i i shoqëruar çdo

element a në A funksioni fa në πM i I tillë që f a (i )=hi (a) për çdo i∈ I

Prah( a)=f a

Pohim 5.2. Funksioni h është R-homormorfizëm.

Vërtetim: Për të treguar që h është R-morfizëm duhet të tregojmë se për çdoa .a '∈ A , r∈Rh( a+a ' )=h (a )'+h(a ' )

Dhe

h(ra )=rh(a )

Atëherë për çdo

i∈ I

Kemi:

h( a+a ' )( i)= f a+a ' ( i)=hi(a+a ')=hi( a)+hi (a ' )

Dhe

dhe h(a )+h(a ' )( i)=h(a )( i)+h(a ' )( i)=f a ( i)+ f a' ( i )=hi( a)+h i(a ' )

Dhe po ashtu për çdo

i∈ Ih(ra )( i)=f ra( i)=hi(ra )

Dhe

rh( a)( i)=rf a ( i)=rhi (a )

Moduli dhe morfizmat që përmenden deri tani mund të demostrihen si familje diagramash të ngjashme ku për ç’do j ndërtohet një diagram

Figura 1

Secila nga diagramat është komunitative (në kuptimin që dy morfizma nga A në M j në diagrame janë të njejta në kuptimin që :

P jh(a )=P j( f a )=f a ( j )=h j(a ))

Një diagram komunitative e një diagrame e ndërtuar nga module dhe morfizma që kanë vetinë që ç’do dy çifte modulesh në diagramë dhe çdo mënyrë kalimi me anë të morfizmave që lidhin të parin me të dytin duhet të kenë si rezultat të njejtën përbërje morfizmash.

Përkufizim 5.3. Morfizmi h I ndërtuar si më sipër quhet prodhim i homomorfizmave

{hi|i∈ I }?????

Le të shohim një familje të dytë homomorfizmash e lidhur me πM i meqë për çdo j∈ I

Le të ndërtojmë funksioninq j : M j→πM ie përcaktuar me anë të :

q j ( x )( i)={x t= j0 t≠ j }

Pohim 5.3. Pasqyrimet qj te ndertuar si me siper janë homomorfizma

Vërtetim. Për çdo

x , x '∈M j

Dhe

r∈Rq j ( x+x ' )=x+x '=q j (x )( j)+q j( x ' )( j)=(q j( x )+q j( x ' )

Dhe

q j (rx )( j)=rx=r (q j ( x )( j)=(rq j( x ))( j)

Perkufizim 5.3. (per injeksionin)

Në çdo prodhim π {M i|i∈ I }janë shoqëruar me dy familje kryesore morfizmash :

projeksionet {p i|i∈ I } dhe injeksionet {qi|i∈ I} çdo injeksion qj mund të kompozohet me çdo projeksion Pk.

Përbërja e formës pjqj jep një morfizëm identik për deri sa për çdox∈M j , ( p jq j )( x )=p j (q j( x )=q j( ( x )( j)=x

Përbërja e formëspk q j (k≠ j) jep morfizmon 0 më që x∈M j , ( pk q j )(k )=pk (q j( x )=q j(( x )(k )=0

Fakti që pjqj është morfizëmi identik I M jna jep dy perfundime të qarta por të rëndësishme

(1) Projeksionet pj janë epimorfizma(2) Injeksionet qj monomorfizma

Pra Im (q j )=M j dhe ker( p j )=π {M i|i∈ I }

Shembull 5.1. I={1,2} kemi πM i=M i⊕M 2 ( SS3 )

Projeksionet dhe injeksionet mund ti përshkruajmë me anë të

P1(m1 ,m2 )=m1 P2 (m1 ,m2 )=m2

q1(m1 )=(m1 ,0 ) dhe q2(m2 )=(0 ,m2 )

për çdo m1∈M 1 dhe për çdo m2∈M 2

çdo çift morfizmash h1 : A→M 1 dhe h2 : A→M 2

Ndërtohet nga një diagramë komutative

Figura 2

Ku morfizmi prodhim h I lirë është

h(a )=(h1(a ) , h2( a)) për çdo a∈ Adhe( p1q1)(m1 )=p1 (m1 ,0 )=m1

dhe( p2q1)(m1 )=p2 (m1 ,0)=0

Figura 16

referencat