Q ΜΑ 1 HΜ .2L AΝ ΟΙ ΠΑΡ ΓΩΓΟΙ fx ΚΑΙ fy ΥΠ ΡΧΟΥΝ ΚΑΙ ¶ ΝΑΙ

∆ΙΑjΟΡ ΣΙΜ¶V Σ¶ Κ ΠΟΙΑ Π¶ΡΙΟΧ ΤΟΥ Ha, bL Τ Τ¶ ΝΑ ΑΠΟ∆¶ΙΧΘ¶ ΤΙ fxy = fyx.

NΑ ¶Ξ¶Τ Σ¶Τ¶ ΑΝ fxy = fyx ΣΤΟ H0, 0L ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ

f Hx, yL = xyx2 - y2

x2 + y2ΓΙΑ Hx, yL ¹ H0, 0L ΚΑΙ f H0, 0L = 0.

AΠ ∆¶ΙΞΗ HQ¶ ΡΗΜΑ 2 Σ¶Λ ∆Α 228 BΙΒΛ Ο L. BrandLQ ΤΟΥΜ¶

j HxL = f Hx, b + kL - f Hx, bLΚΑΙ ΧΟΥΜ¶

F Hh, kL = j Ha + hL - j HaL = hj' Ha + hΘL, 0 < Θ < 1

ΑΠ ΤΟ Q¶ ΡΗΜΑ ΤΗV Μ ΣΗV ΤΙΜ V ΡΑ

F Hh, kL = h Hfx Ha + Θh, b + kL - fx Ha + Θh, bLL =

h Hfx Ha + Θh, b + kL - fx Ha, bLL - h HHfx Ha + Θh, bL - f Ha, bLLL¶Π¶Ι∆ Η fx ΚΑΙ fy ¶ ΝΑΙ ∆ΙΑjΟΡ ΣΙΜ¶V ΣΤΟ Ha, bL ΧΟΥΜ¶

fx Ha + Θh, b + kL - fx Ha, bL = Θhfxx Ha, bL + kfxy Ha, bL + n1hΘ + n2k

fx Ha + Θh, bL - f Ha, bL = Θhfxx Ha, bL + n3Θh

ΓΙΑ ΛΑ ΤΑ n1, n2, n3 ® 0 ΚΑΘ V h, k ® 0. AΡΑ

F Hh, kL = h Hkfxy Ha, bL + n1hΘ + n2k - n3ΘhLΓΙΑ k = h ΒΡ ΣΚΟΥΜ¶

Limh®0

F Hh, hLh2

= Limh®0

Hfxy Ia, bL + Hn1 - n3L Θ + n2L = fxy Ha, bLEΠΑΝΑΛΑΜΒ ΝΟΥΜ¶ ΤΙV ∆Ι¶V ΣΧ Σ¶ΙV Θ ΤΟΝΤΑV Ψ HyL = f Ha + h, yL - f Ha, bLBΡ ΣΚΟΥΜ¶

Limh®0

f Hh, hLh2

= fyx Ha, bLΡΑ fxy Ha, bL = fyx Ha, bL ΚΑΙ ΤΟ Θ¶ ΡΗΜΑ ΑΠΟ∆¶ ΧΘΗΚ¶

GΙΑ ΤΟ ∆¶ Τ¶ΡΟ Μ ΛΟV ΤΟΥ Θ ΜΑΤΟV ΤΑ ∆ Ο ΡΙΑ ¶ ΝΑΙ ∆ΙΑjΟΡ¶ΤΙΚ ΠΡ ΓΜΑΤΙ

fx H0, yL = Limh®0

f Hh, yL - f H0, yLh

= Limh®0

hyh2-y2

h2+y2

h= -y

fxy H0, 0L = Limk®0

fx H0, kL - fx H0, 0Lk

= Limk®0

-k

k= -1

AΛΛ ΜΩV

fy Hx, 0L = Limk®0

f Hx, kL - f Hx, 0Lk

= Limk®0

kxx2-k2

x2+k2

k= x

fyx H0, 0L = Limh®0

fy Hh, 0L - fy H0, 0Lh

= Limh®0

h

h= 1

AΡΑ fyx H0, 0L ¹ fxy H0, 0L

Q ΜΑ 2 HΜ. 1.5L NΑ ΑΠΟ∆¶ΙΞ¶Τ¶ ΤΙ ΤΟ

∆Ι ΝΥΣΜΑ !

®

f Jr®N ¶ ΝΑΙ Κ Θ¶ΤΟ ΣΤΗΝ ¶ΠΙj Ν¶ΙΑ f Jr

®N = c.

NΑ ΒΡ¶ Τ¶ ΤΟ ΜΟΝΑ∆ΙΑ Ο Κ Θ¶ΤΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ ΣΤΗΝ ¶ΠΙj Ν¶ΙΑ

x2 y + 2 x z = 4 ΣΤΟ ΣΗΜ¶ Ο P = H2, -2, 3L.

AΠ ∆¶ΙΞΗ

DΙΑjΟΡ ΖΟΥΜ¶ ΤΗΝ ΣΧ ΣΗ f Jr®N = c ΚΑΙ ΒΡ ΣΚΟΥΜ¶

0 = df Hx, y, zL =¶f

¶xdx +

¶f

¶ydy +

¶f

¶zdz =

¶f

¶x,

¶f

¶y,

¶f

¶z× Hdx, dy, dzL =

!

®

f Jr®N × d r

®

= 0

TΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ ΜΩV d r®

¶ ΝΑΙ ¶jΑΠΤΟΜ¶ΝΙΚ ΤΗV

¶ΠΙj Ν¶ΙΑV ΡΑ ΤΟ !

®

f Jr®N ¶ ΝΑΙ Κ Θ¶ΤΟ ΣΤΗΝ ¶ΠΙj Ν¶ΙΑ

TΟ ΜΟΝΑ∆ΙΑ Ο Κ Θ¶ΤΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ ¶ ΝΑΙ ΤΟ

!

®

f Jr®N

ÈÈ !

®

f Jr®N ÈÈ

.

BΡ ΣΚΟΥΜ¶ ΤΟ !

®

f Jr®N ΣΤΟ ∆ΟΣΜ ΝΟ ΣΗΜ¶ Ο

f@x_, y_, z_D = x2 y + 2 x z - 4

ttt = ReplaceAll@8D@f@x, y, zD, xD, D@f@x, y, zD, yD, D@f@x, y, zD, zD<, 8x ® 2, y ® -2, z ® 3<D

8-2, 4, 4<

TΟ Μ ΚΟV ΤΟΥ ∆ΙΑΝ ΣΜΑΤΟV ¶ ΝΑΙ

H-2L2+ 42

+ 42

6

ttt

6

:-

1

3,

2

3,

2

3>

Normalize@8-2, 4, 4<D:-

1

3,

2

3,

2

3>

î® = -1

3,

2

3,

2

3¶ ΝΑΙ ΤΟ ΖΗΤΟ Μ¶ΝΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ

Q ΜΑ 3 HΜ .1L NΑ Μ¶Λ¶ΤΗΘ¶ Η ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ

f Hx, yL = a x2+ b y2

ΩV ΠΡΟV ΤΑ ΑΚΡ ΤΑΤΑ ΓΙΑ ΤΙV ∆Ι jΟΡ¶V ΤΙΜ V ΤΩΝ a ΚΑΙ b.

L ΣΗ

f@x_, y_D = a x2+ b y2

a x2+ b y2

TΑ ΠΙΘΑΝ ΑΚΡ ΤΑΤΑ ¶ ΝΑΙ ΟΙ Λ Σ¶ΙV ΤΩΝ ¶ΞΙΣ Σ¶ΩΝ

2 lpa3.nb

fx@x, yD 0

fy@x, yD 0

BΡ ΣΚΟΥΜ¶

Solve@8D@f@x, yD, xD 0, D@f@x, yD, yD 0<, 8x, y<D88x ® 0, y ® 0<<

GΙΑ ΝΑ ∆Ο Μ¶ ΤΙ ¶ ∆ΟΥV ΑΚΡ ΤΑΤΑ ¶ ΝΑΙ ΤΑ ΣΗΜ¶ Α ΑΥΤ ΒΡ ΣΚΟΥΜ¶ ΤΗΝ ΟΡ ΖΟΥΣΑ ΤΟΥ Π ΝΑΚΑ

tt = 88fxx, fxy=, 9fyx, fyy== MatrixForm

h = K fxx fxy

fyx fyyO

h = Det@88D@D@f@x, yD, xD, xD, D@D@f@x, yD, xD yD<,

8D@D@f@x, yD, yD, xD, D@D@f@x, yD, yD, yD<<D4 a b

AΡΑ

1. AΝ h = 4 a b ¶ ΝΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚ Τ Τ¶ ΤΟ ΣΗΜ¶ Ο H0, 0L ¶ ΝΑΙ ΣΑΓΜΑΤΙΚ ΣΗΜ¶ Ο

ΚΑΙ h = 4 a b < 0 ΑΝ a ΚΑΙ b ¶ ΝΑΙ ¶Τ¶Ρ ΣΗΜΑ ∆ΗΛΑ∆ Ha > 0, b < 0L ΚΑΙ Ha < 0, b > 0L2. AΝ h = 4 a b Ha ΚΑΙ b ΟΜ ΣΗΜΑL

¶ ΝΑΙ Θ¶ΤΙΚ ΚΑΙ a > 0 ΚΑΙ b > 0 ΤΟ ΣΗΜ¶ Ο H0, 0L ¶ ΝΑΙ ΤΟΠΙΚ ¶Λ ΧΙΣΤΟ

3. AΝ h = 4 a b Ha ΚΑΙ b ΟΜ ΣΗΜΑL¶ ΝΑΙ Θ¶ΤΙΚ ΚΑΙ a < 0 ΚΑΙ b < 0 ΤΟ ΣΗΜ¶ Ο H0, 0L ¶ ΝΑΙ ΤΟΠΙΚ Μ¶ΓΙΣΤΟ.

Q ΜΑ 4 HΜ .1L NΑ ΒΡ¶Θ¶ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ g

®

ΣΤ¶ F®

= !

®

´ g®

ΠΟΥ F®

= HE1, E2, E3L.

L ΣΗ

UΠΟΛΟΓ ΖΟΥΜ¶ ΤΟΝ ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜ ΤΟΥ ∆ΙΑΝ ΣΜΑΤΟV

g®

= Hg1, g2, g3L ΠΟΥ ¶ ΝΑΙ Η ΟΡ ΖΟΥΣΑ ΤΟΥ Π ΝΑΚΑ

aa =

i j k¶

¶x

¶

¶y

¶

¶z

g1 g2 g3

ΚΑΙ ΤΟΝ ¶ΞΙΣ ΝΟΥΜ¶ Μ¶ ΤΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ F®

. BΡ ΣΚΟΥΜ¶ ΤΟ Σ ΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ¶ΞΙΣ Σ¶ΩΝ

¶

¶yg3 -

¶

¶zg2 = E1

¶

¶zg1 -

¶

¶xg3 = E2

¶

¶xg2 -

¶

¶yg1 = E3

QΑ ΛΥΣΟΥΜ¶ ΤΟ Σ ΣΤΗΜΑ ΑΥΤ . GΙΑ ΝΑ ΒΡΟ Μ¶ ΜΙΑ Μ¶ΡΙΚ Λ ΣΗ Θ ΤΟΥΜ¶ g3 = 0

TΟ Σ ΣΤΗΜΑ Γ Ν¶ΤΑΙ

-¶

¶zg2 = E1

¶

¶zg1 = E1

¶

¶xg2 -

¶

¶yg1 = E1

lpa3.nb 3

OΛΟΚΛΗΡ ΝΟΥΜ¶ ΤΙV ∆ Ο ΠΡ Τ¶V

g2 = à H-E1L âz

g1 = à E2 âz

-E1 z

E2 z

AΡΑ

g2 = -E1 z + h1@x, yDg1 = E2 z + h2@x, yD-E1 z + h1@x, yD

E2 z + h2@x, yD

TΙV Λ Σ¶ΙV ΑΥΤ V ΤΙV ΑΝΤΙΚΑΘΙΣΤΟ Μ¶ ΣΤΗΝ ΤΡ ΤΗ ΑΠ ΤΙV ∆ΙΑjΟΡΙΚ V ¶ΞΙΣ Σ¶ΙV

¶

¶xH-E1 z + h1 Hx, yLL -

¶

¶yHE2 z + h2 Hx, yLL = E3

¶

¶xh1 Hx, yL -

¶

¶yh2 Hx, yL = E3

EΠ¶Ι∆ Ψ ΧΝΟΥΜ¶ ΓΙΑ Μ¶ΡΙΚ Λ ΣΗ Θ ΤΟΥΜ¶ h2 Hx, yL = 0

¶

¶xh1 Hx, yL = E3

OΛΟΚΛΗΡ ΝΟΥΜ¶ ΚΑΙ ΒΡ ΣΚΟΥΜ¶

h1 = E3 x

AΡΑ ΤΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ ¶ ΝΑΙ

g®

= HE2 z, -E1 z + E3 x, 0LK ΝΟΥΜ¶ ΜΙΑ ¶ΠΑΛΛ Θ¶ΥΣΗ

-D@H-E1 z + E3 xL, zD == E1

D@E2 z, zD == E2

D@-E1 z + E3 x, xD - D@E2 z, yD == E3

True

True

True

AΝ G®

¶ ΝΑΙ Η Γ¶ΝΙΚ Λ ΣΗ Τ Τ¶

G®

= g®

+ !

®

j Jr®N = IE2 z + jx Jr

®N, -E1 z + E3 x + jy Jr®N, jz Jr

®NMOΠΟΥ j Jr

®N ΜΙΑ ΟΠΟΙΑ∆ ΠΟΤ¶ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ ΤΟΥ r®

PΡ ΓΜΑΤΙ ¶Π¶Ι∆ !

®

´ !

®

j Jr® N = 0 ΧΟΥΜ¶

!

®

´ G®

= !

®

´ Kg®

+ !

®

j Jr® NO = !

®

´ g®

+ !

®

´ !

®

j Jr® N = !

®

´ g®

4 lpa3.nb

Q ΜΑ 5 HΜ .2LNΑ ΑΠΟ∆¶ΙΧΘ¶ ΤΙ ΑΝ Η ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ r

® HtL ¶ ΝΑΙ Κ Θ¶ΤΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓ ΤΗV

Τ Τ¶ Χ¶Ι ΣΤΑΘ¶Ρ Μ ΤΡΟ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡ jΩV. EΠ ΣΗV ΝΑ ΑΠΟ∆¶ΙΧΘ¶ ΤΙ Η ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ r®

HtL Χ¶Ι ΣΤΑΘ¶Ρ ∆Ι¶ ΘΥΝΣΗ ¶ Ν ΚΑΙ Μ ΝΟ ¶ Ν ¶ ΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΠΡΟV ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓ ΤΗV.

AΠ ∆¶ΙΞΗ

AΝ Η ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ ¶ ΝΑΙ Κ Θ¶ΤΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡ ΓΩΓ ΤΗV Τ Τ¶ r® HtL × r

® HtL = 0

TΟ ΟΛΟΚΛ ΡΩΜΑ ΤΗV ΣΧ ΣΗV ΑΥΤ V ¶ ΝΑΙ1

2r®2

= c ΡΑ r®

= 2 c

AΝΤ ΣΤΡΟjΑ. UΠΟΘ ΤΟΥΜ¶ ΤΙ ΤΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ Χ¶Ι ΣΤΑΘ¶Ρ Μ ΤΡΟ

r®

= 2 c

DΗΛΑ∆

1

2r®2

= c

PΑΡΑΓΩΓ ΖΟΥΜ¶ ΚΑΙ ΒΡ ΣΚΟΥΜ¶ r® HtL × r

® HtL = 0

AΡΑ ΤΑ ∆ΙΑΝ ΣΜΑΤΑ r® HtL ΚΑΙ r

® HtL ¶ ΝΑΙ Κ Θ¶ΤΑ Μ¶ΤΑΞ ΤΟΥV

GΙΑ ΤΟ ∆¶ Τ¶ΡΟ ΣΚ ΛΟV ΤΟΥ Θ ΜΑΤΟV ΥΠΟΘ ΤΟΥΜ¶ ΤΙ ΤΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ r® HtL

Χ¶Ι ΣΤΑΘ¶Ρ ∆Ι¶ ΘΥΝΣΗ. TΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ r® HtL r HtL ¶ ΝΑΙ ΑΝΑΛΟΓΟ ΤΟΥ r

®

HtL ΡΑ Χ¶Ι ΚΑΙ ΑΥΤ ΣΤΑΘ¶Ρ ∆Ι¶ ΘΥΝΣΗ. EΠΙ ΠΛ ΟΝ Χ¶Ι Μ ΤΡΟ ΣΟ Μ¶ ΤΗΝ

ΜΟΝ ∆Α. ΡΑ ¶ ΝΑΙ ΣΤΑΘ¶Ρ ΚΑΙ ¶ΠΟΜ ΝΩV Η ΠΑΡΑΓΩΓ V ΤΟΥ ¶ ΝΑΙ ΜΗ∆ Ν. EΧΟΥΜ¶

d

dt

r®

r=

1

r2r

d

dtr®

- r® d

dtr = 0 r

d

dtr®

- r® d

dtr = 0

PΟΛΛΑΠΛΑΣΙ ΖΟΥΜ¶ ΤΗΝ ¶Ξ ΣΩΣΗ ΑΥΤ ¶ΞΩΤ¶ΡΙΚ Μ¶ ΤΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ r®

ΚΑΙ ΠΑ ΡΝΟΥΜ¶

r®

´ rd

dtr®

- r® d

dtr = r

®

´ rd

dtr®

- r®

´ r® d

dtr = r r

®

´d

dtr®

= 0

ΚΑΙ ¶ΠΟΜ ΝΩV r®

´d

dtr®

= 0

AΝΤ ΣΤΡΟjΑ ΥΠΟΘ ΤΟΥΜ¶ ΤΙ r®

´d

dtr®

= 0

TΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ r® HtL r HtL Χ¶Ι ΣΤΑΘ¶Ρ Μ ΤΡΟ ΣΟ Μ¶ ΤΗΝ ΜΟΝ ∆Α ΑΝ ΑΠΟ∆¶ ΞΟΥΜ¶

ΤΙ ¶ ΝΑΙ ΣΤΑΘ¶Ρ Τ Τ¶ Χ¶Ι ΚΑΙ ΣΤΑΘ¶Ρ ∆Ι¶ ΘΥΝΣΗ ΚΑΙ ¶ΠΟΜ ΝΩV ΚΑΙ ΤΟ

r® HtL Χ¶Ι ΣΤΑΘ¶Ρ ∆Ι¶ ΘΥΝΣΗ. PΑΡΑΓΩΓ ΖΟΥΜ¶ ΚΑΙ ΧΟΥΜ¶

d

dt

r®

r= -

1

r2

dr

dtr®

+1

r

d

dtr®

=1

r3r2

d

dtr®

- r r® dr

dt=

1

r3r2

d

dtr®

- r r® dr

dt=

1

r3r®

× r® d

dtr®

- Hr®

×d r

®

dtL r

®

=1

r3r®

´d r

®

dt´ r

®

= 0

AΡΑ Χ¶Ι ΣΤΑΘ¶Ρ ∆Ι¶ ΘΥΝΣΗ. SΤΙV ΠΑΡΑΠ ΝΩ ¶ΞΙΣ Σ¶ΙV Κ ΝΑΜ¶ ΧΡ ΣΗ ΤΩΝ ΣΧ Σ¶ΩΝ

r®

× r®

= r2ΚΑΙ r

d r

dt= r

®

×d r

®

dtΠΟΥ ΒΓΑ Ν¶Ι ΑΝ ΠΑΡΑΓΩΓ ΣΟΥΜ¶ ΤΗΝ ΠΡ ΤΗ.

lpa3.nb 5

Q ΜΑ 6 HΜ .3LD Ν¶ΤΑΙ Η ¶ΠΙj Ν¶ΙΑ Μ¶ ∆Ι ΝΥΣΜΑ Θ ΣΗV r

®

= r® Hu, vL

x@u, vD = h@uD Cos@vD, y@u, vD = h@uD Sin@vD, z@u, vD = f HuLNΑ ∆¶ Ξ¶Τ¶ ΤΙ Η ¶ΠΙj Ν¶ΙΑ ΠΑΡΙΣΤ Ν¶Ι ΤΗΝ Π¶ΡΙΣΤΡΟj ΤΗV ΚΑΜΠ ΛΗV y = h@uD,

z@uD = f@uD ΣΤΟ YOZ ¶Π Π¶∆Ο, Γ ΡΩ ΑΠ ΤΟΝ ΞΟΝΑ OZ.

NΑ ΒΡ¶Θ¶ Η ¶ΠΙj Ν¶ΙΑ ΑΝ Η ΚΑΜΠ ΛΗ ΑΥΤ

¶ ΝΑΙ ΝΑV Κ ΚΛΟV Κ ΝΤΡΟΥ H0, a, 0L ΚΑΙ ΑΚΤ ΝΑV Ρ < a HΤ ΡΟVL.

NΑ ΒΡ¶ Τ¶ ΤΟ Κ Θ¶ΤΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ ΣΤΗΝ ¶ΠΙj Ν¶ΙΑ ΤΟΥ Τ ΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ¶ΜΒΑ∆ΟΝ ΤΗV ¶ΠΙj Ν¶ΙΑV.

AΠ ΝΤΗΣΗ

QΑ ΒΡΟ Μ¶ ΤΙV ΠΡΟΒΟΛ V ΤΗV ¶ΠΙj Ν¶ΙΑV ΣΤΑ ΣΥΝΤ¶ΤΑΓΜ ΝΑ ¶Π Π¶∆Α.

x@u, vD = h@uD Cos@vDy@u, vD = h@uD Sin@vDz@u, vD = f@uDCos@vD h@uD

h@uD Sin@vD

f@uD

SΤΟ ¶Π Π¶∆Ο XOZ ΧΟΥΜ¶ y = 0 ΚΑΙ ΡΑ ΧΟΥΜ¶

Solve@y@u, vD 0, vDSolve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so

some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information.

88v ® 0<<

GΙΑ v = 0 ΟΙ ¶ΞΙΣ Σ¶ΙV ΤΙV ¶ΠΙj Ν¶ΙΑV Γ ΝΟΝΤΑΙ

xx@u, vD = ReplaceAll@h@uD Cos@vD, 8v ® 0<Dyy@u, vD = ReplaceAll@h@uD Sin@vD, 8v ® 0<Dzz@u, vD = ReplaceAll@f@uD, 8v ® 0<Dh@uD

0

f@uD

EΠΟΜ ΝΩV Η ΠΡΟΒΟΛ ΤΗV ¶ΠΙj Ν¶ΙΑ Χ¶Ι ∆Ι ΝΥΣΜΑ Θ ΣΗV r®

= Hh@uD, 0, f@uDL∆ΗΛΑ∆ ΜΙΑ ΚΑΜΠ ΛΗ.

SΤΟ ¶Π Π¶∆Ο YOZ ΧΟΥΜ¶ x = 0 ΚΑΙ ΡΑ ΧΟΥΜ¶

Solve@x@u, vD 0, vDSolve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so

some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information.

::v ® -

Π

2>, :v ®

Π

2>>

GΙΑ v =Π

2ΟΙ ¶ΞΙΣ Σ¶ΙV ΤΙV ¶ΠΙj Ν¶ΙΑV Γ ΝΟΝΤΑΙ

6 lpa3.nb

xx@u, vD = ReplaceAllBh@uD Cos@vD, :v ®Π

2>F

yy@u, vD = ReplaceAllBh@uD Sin@vD, :v ®Π

2>F

zz@u, vD = ReplaceAllBf@uD, :v ®Π

2>F

0

h@uD

f@uD

ΚΑΙ Η ΠΡΟΒΟΛ ΤΗV ¶ΠΙj Ν¶ΙΑV Χ¶Ι ∆Ι ΝΥΣΜΑ Θ ΣΗV r®

= H0, h@uD, f@uDL∆ΗΛΑ∆ Η ∆ΙΑ ΚΑΜΠ ΛΗ.

TΟ ∆¶ Τ¶ΡΟ ¶Ρ ΤΗΜΑ. O Κ ΚΛΟV Χ¶Ι ΤΗΝ ¶Ξ ΣΩΣΗ Ρ < a

Hy - aL2+ z2

= Ρ2

GΡ jΟΥΜ¶ ΤΗΝ Π¶ΡΙj Ρ¶ΙΑ ΑΥΤ Σ¶ ΠΑΡΑΜ¶ΤΡΙΚ ΜΟΡj

y@uD = Ρ Cos@uD + a

z@uD = Ρ Sin@uDa + Ρ Cos@uD

Ρ Sin@uD

PΡ ΓΜΑΤΙ ΑΥΤ ¶ ΝΑΙ Η ΣΩΣΤ ∆Ι ΤΙ

SimplifyAHy@uD - aL2+ z@uD2

== Ρ2E

True

EΠΟΜ ΝΩV Η ∆ΟΣΜ ΝΗ ΒΡ ΣΚ¶ΤΑΙ ΑΝ Θ ΣΟΥΜ¶

f@uD = Ρ Sin@uDh@uD = a + Ρ Cos@uDΡ Sin@uD

a + Ρ Cos@uD

OΙ ΠΑΡΑΜ¶ΤΡΙΚ V ¶ΞΙΣ Σ¶ΙV ΤΟΥ Τ ΡΟΥ ¶ ΝΑΙ

x@u, vD = Ha + Ρ Cos@uDL Cos@vDy@u, vD = Ha + Ρ Cos@uDL Sin@vDz@u, vD = Ρ Sin@uDHa + Ρ Cos@uDL Cos@vD

Ha + Ρ Cos@uDL Sin@vD

Ρ Sin@uD

BΡ ΣΚΟΥΜ¶ ΤΟ Κ Θ¶ΤΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ ΠΟΥ ¶ ΝΑΙ ΤΟ r®

u ´ rv®

BΡ ΣΚΟΥΜ¶

D@8x@u, vD, y@u, vD, z@u, vD<, uDD@8x@u, vD, y@u, vD, z@u, vD<, vD8-Ρ Cos@vD Sin@uD, -Ρ Sin@uD Sin@vD, Ρ Cos@uD<

8-Ha + Ρ Cos@uDL Sin@vD, Ha + Ρ Cos@uDL Cos@vD, 0<

r®

u = H-Ρ Cos@vD Sin@uD, -Ρ Sin@uD Sin@vD, Ρ Cos@uDLrv®

= H-Ha + Ρ Cos@uDL Sin@vD, Ha + Ρ Cos@uDL Cos@vD, 0LTΟ ¶ΞΩΤ¶ΡΙΚ ΓΙΝ Μ¶ΝΟ ΤΩΝ ∆ Ο ∆ΙΑΝΥΣΜ ΤΩΝ ¶ ΝΑΙ Η ΟΡ ΖΟΥΣΑ ΤΟΥ Π ΝΑΚΑ

lpa3.nb 7

MatrixForm@88i, j, k<, 8-Ρ Cos@vD Sin@uD, -Ρ Sin@uD Sin@vD, Ρ Cos@uD<,

8-Ha + Ρ Cos@uDL Sin@vD, Ha + Ρ Cos@uDL Cos@vD, 0<<Di j k

-Ρ Cos@vD Sin@uD -Ρ Sin@uD Sin@vD Ρ Cos@uDH-a - Ρ Cos@uDL Sin@vD Ha + Ρ Cos@uDL Cos@vD 0

aa =

i j k

-Ρ Cos@vD Sin@uD -Ρ Sin@uD Sin@vD Ρ Cos@uDH-a - Ρ Cos@uDL Sin@vD Ha + Ρ Cos@uDL Cos@vD 0

88i, j, k<, 8-Ρ Cos@vD Sin@uD, -Ρ Sin@uD Sin@vD, Ρ Cos@uD<,

8H-a - Ρ Cos@uDL Sin@vD, Ha + Ρ Cos@uDL Cos@vD, 0<<Collect@Det@aaD, 8i, j, k<, SimplifyD-i Ρ Cos@uD Ha + Ρ Cos@uDL Cos@vD - k Ρ Ha + Ρ Cos@uDL Sin@uD - j Ρ Cos@uD Ha + Ρ Cos@uDL Sin@vD

aaa = 8-Ρ Cos@uD Ha + Ρ Cos@uDL Cos@vD,

-Ρ Cos@uD Ha + Ρ Cos@uDL Sin@vD, -Ρ Ha + Ρ Cos@uDL Sin@uD<8-Ρ Cos@uD Ha + Ρ Cos@uDL Cos@vD, -Ρ Cos@uD Ha + Ρ Cos@uDL Sin@vD, -Ρ Ha + Ρ Cos@uDL Sin@uD<

TΟ Κ Θ¶ΤΟ ∆Ι ΝΥΣΜΑ ¶ ΝΑΙ

aaa = H-Ρ Cos@uD Ha + Ρ Cos@uDL Cos@vD,

-Ρ Cos@uD Ha + Ρ Cos@uDL Sin@vD, -Ρ Ha + Ρ Cos@uDL Sin@uDLTΟ Μ ΚΟV ΤΟΥ ∆ΙΑΝ ΣΜΑΤΟV ΑΥΤΟ ¶ ΝΑΙ

SimplifyAH-Ρ Cos@uD Ha + Ρ Cos@uDL Cos@vDL2+

H-Ρ Cos@uD Ha + Ρ Cos@uDL Sin@vDL2+ H-Ρ Ha + Ρ Cos@uDL Sin@uDL2E

Ρ2 Ha + Ρ Cos@uDL2

TΟ ΖΗΤΟ Μ¶ΝΟ ¶ΜΒΑ∆ Ν ¶ ΝΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛ ΡΩΜΑ ΤΗV ΣΥΝ ΡΤΗΣΗV ΑΥΤ V. BΡ ΣΚΟΥΜ¶

Integrate@Ρ Ha + Ρ Cos@uDL, 8u, 0, 2 Π<, 8v, 0, 2 Π<D4 a Π

2Ρ

E = 4 a Π2

Ρ = 2 ΠΑ 2 ΠΡ

8 lpa3.nb