PRUŽNOST A PLASTICITA

Ing. Vladimíra Michalcová

LPH 407/1LPH 407/1

tel. 59 732 1348

vladimira.michalcova@vsb.cz

http://fast10.vsb.cz/michalcova

Povinná literatura

http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita

Doporu�ená literatura

Benda: Stavební statika I.,VŠB-TU Ostrava 2005

Šmí�ák:Pružnost a plasticita I., VUT Brno 1999

Šmí�ák, Hlavinková: Pružnost a plasticita I, P�íklady, VUT Brno 2000

Podmínky zápo�tu: - Stavební statika- aktivní ú�ast- znalosti (body z písemky)

Vn�jší síly:

• objemové (p�sobí v elementech objemu), pat�í k nim:

vlastní tíha, odst�edivé síly atd.

• povrchové síly p�sobí jako zatížení na ploše a to jako:

spojité zatížení na ploše a na �á�e (p�ímce) a bodové

síly (singulární síly).

Vn�jší a vnit�ní síly

�

síly (singulární síly).

Objemové a plošné zatížení je reálné, bodové zatížení a

zatížení na �á�e je abstraktní, idealizuje zatížení plošné.

Vnit�ní síly vznikají vlivem vn�jšího zatížení, jsou jím indukovány.

Základní typy namáhání

1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk

Normálová síla N ≠ 0

pro pr��ez platí: N ≡≡≡≡ Nx

ba

F

+

ba-

tah

tlak

FRax

Rax

NN

NN

1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk

Ohybový moment My , Mz ≠ 0

FM M

Základní typy namáhání

pro rovinu xz platí: M ≡≡≡≡ My

b

Rbz

a

Raz

M M

b

Rbz

a

Raz FMM

tah

tah

tlak

tlak

-

+

1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk

1

2 3

F1

F2F3

n = 6 Nap�. prostorov� lomený nosník

Základní typy namáhání

Kroutící (torzní)

moment T ≠ 0

+y

+z+x Vnit�ní síly na prutu 2 od vn�jšího zatížení:

F1: N, MzF2: Vy, MzF3: Vz, Mx, My

nv = 6 Nap�. prostorov� lomený nosník

P�i kroucení platí: T ≈ Mx

1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk

Posouvající síla Vy , Vz ≠ 0

Základní typy namáhání

pro rovinu xz platí: V ≡≡≡≡ Vz

ba

VV

RbzRaz

F

VV-+

Název Vnit�ní síla Nap�tí

(intenzita vnit�ních sil)

Osové namáhání

(tah, prostý tlak)N σx

Základní typy namáhání v rovin� xz:

(tah, prostý tlak)

Ohyb My σx

Smyk Vz τxy, τxz

KrouceníT

(n�kdy také zna�ení Mx)τ

Výchozí p�edpoklady klasické lineární pružnosti:

Kapitola 1.2. skript v�etn� poznámek

Tyto p�edpoklady jsou velmi hrubým obrazem objektivní skute�nosti,

umož�ují ale uplatn�ní n�kterých zásadních matematicko-fyzikálních umož�ují ale uplatn�ní n�kterých zásadních matematicko-fyzikálních

princip� ve výpo�tech jako nap�. principu superpozice (skládání

ú�ink�), který je založen na linearit� všech matematických závislostí.

Látka t�lesa je

• homogenní, m�že být p�itom

a) izotropní b) anizotropní

• dokonale pružná a to

a) lineárn�

Výchozí p�edpoklady klasické lineární pružnosti:

��

a) lineárn�

b) nelineárn� (nebudeme se zatím zabývat)

• deformace t�lesa p�sobením vn�jších vliv� jsou malé –

geometricky lineární teorie pružnosti

• po�áte�ní napjatost je nulová, nep�sobí-li na t�leso

vn�jší síly.

Základní zákony statiky

1) Princip akce a reakce: Každá akce vyvoláváreakci stejn� velikou, ale opa�ného smyslu. Tla�í-li t�leso

tíhy G na podložku (základ), musí tato p�sobit na t�leso

stejn� velikou, ale opa�ného smyslu.

2) Princip superpozice (skládání) ú�ink� (platí pouze v

Princip superpozice a úm�rnosti - zopakovat

Issac Newton(1642 - 1727)

2) Princip superpozice (skládání) ú�ink� (platí pouze v lineární oblasti): Rozd�líme-li obecnou soustavu sil p�sobící na t�leso do díl�ích silových soustav (dále jen SS)

1, 2, ... n , od každé stanovíme ú�inky R1, R2, ... Rn , pak

výsledný ú�inek obdržíme vektorovým sou�tem ú�ink� od

jednotlivých díl�ích SS.

3) Princip úm�rnosti: P�sobí-li na t�leso SS F1 , F2 , ... , Fnvyvolávající výsledný ú�inek R , potom SS k.F1 , k.F2 , ... ,

k.Fn vyvolává výsledný ú�inek k.R pro k = konst.

Složené typy namáhání

Základní typy namáhání:a) prosté (osové, ohyb, kroucení, smyk)b) složené

Kombinace základních p�ípad� namáhání:

• prostorový (obecný) ohyb

• excentrický tah a tlak• excentrický tah a tlak

(kombinace ohybu s tahem nebo tlakem)

• kroucení s tahem nebo tlakem a s ohybem

Díky principu superpozice, který platí v lineárn�pružném oboru, pak lze �ešit složené p�ípady namáhání rozkladem na základní stavy a výsledné

ú�inky složit – superponovat.

Schwedlerovy vztahy

Teorie vychází ze Schwedlerových vztah�, zopakovat ze stavební statiky,

nebo kapitola 1.3.2 ve skriptech:

Saint - Venant�v princip lokálního ú�inku

F

F oblast poruchy

neovlivn�ná �ást

F

Usnad�uje �ešení napjatosti

t�les.

• Rovnovážná soustava ovlivní stav

napjatosti jen v blízkém okolí

Jean Claude Saint-Venant(1797-1886)

q

oblast blízkého okolí

napjatosti jen v blízkém okolí

• Ve vzdálen�jších bodech má zanedbatelné

ú�inky

Používá se:

a) ke zjednodušení povrchového zatížení

jeho náhradou - staticky ekvivalentním, pro

výpo�et výhodn�jším zatížením

(spojité zatížení na malé ploše lze nahradit

osam�lým b�emenem)

F

b) skute�né rozm�ry prutu m�žeme idealizovat do st�ednice.

(síla p�sobí na st�ednici prutu nikoliv na horní nebo spodní líc)

oblast blízkého okolí, nutno provést korekci

Saint - Venant�v princip lokálního ú�inku

Po provedení výpo�tu, zejména

jsou-li vy�íslena i nap�tí v

pr��ezech, je nutno provést korekce

nap�tí s ohledem na provedené

idealizace.

Raz Rbz

F

Raz Rbz

��������

Lineárn� pružný materiál – Hooke�v zákon – dnešní hodina

Základní pojmy p�edm�tu Pružnost a plasticita

Nap�tí (míra intenzity vnit�ních sil) – dnešní hodina

Deformace – dnešní hodina

Stabilita (štíhlé tla�ené pruty – kapitola 9. skript)

Lineárn� pružný materiál – Hooke�v zákon – dnešní hodina

Nepružný materiál – Plasticita – �áste�n� dnešní hodina

�����

Vn�jší silové zatížení – �áste�n� dnešní hodina

Zatížení teplotou – dnešní hodina

Popušt�ní podpor (p�edm�t SSKI)

Nap�tí

Pom�r elementární síly a velikosti plošky

je pom�rné nap�tí na této plošce:

Míra intenzity vnit�ních sil

Nap�tí

A

Fp n

n∆

∆=

��

��

n

n

n

n

An

dA

Fd

A

Fp

���

=∆

∆=

→∆lim

0

Zmenšujeme-li velikost plošky ∆A k nule,

dostaneme nap�tí pn v bod�:

Základní jednotkou nap�tí je Pa [N/m2]

MPa [N/mm2] nebo [MN/m2], kPa [kN/m2]

Sm�r nap�tí je shodný se sm�rem síly p�sobící na danou plošku

Nap�tí, pokra�ování

dA

dV

dA

dNn

==nv

τσ

P�i rozložení síly dFn do sm�ru normály n a stopy v plošky dA je:

Platí p�itom:

��

22

nvnnp τσ +=

Platí p�itom:

σn je normálové nap�tí, p�sobí ve sm�ru normály n

τnv je smykové nap�tí, p�sobí v rovin� plošky dAve sm�ru stopy v síly dFn

22

ntnsnvτττ +=Op�t platí:

Nap�tí, pokra�ování

Smykové nap�tí τnv lze na plošce dA

rozložit do sm�r� os t a s:

��

Bodem t�lesa m�žeme proložit libovolný po�et �ez�.

Každé plošce odpovídá jiný vektor nap�tí pn.

Množina vektor� nap�tí pn, odpovídající všem

orientovaným ploškám v daném bod�,

charakterizuje nap��ový stav v tomto bod�.

Vnit�ní síly, nap�tí

Indexy nap�tí

Znaménková konvence:

Pravidlo pravé ruky

Konvence dle Stavební statiky

Stav napjatosti t�lesa

Znaménková konvence,

indexy u nap�tí

Stav napjatosti t�lesa

Vzájemnost smykových nap�tí Vzájemnost smykových nap�tí

Pom�rné deformace (p�etvo�ení)Délkové pom�rné deformace

Pom�rné deformace (p�etvo�ení)

Úhlové pom�rné deformace

Deformace a posuny v t�lese

Pom�rné deformace (p�etvo�ení)

Posuny (p�emíst�ní) konkrétních bod� zkoumaného t�lesa

Posuny (p�emíst�ní) konkrétních bod� zkoumaného t�lesa

Geometrické rovnice

Popisují vztahy mezi

složkami pom�rných

deformací t�lesa a

složkami posun�

libovolných bod�

v tomto t�lese.

Fyzikální rovnice

Popisují vztahy mezi

nap�tími a deformacemi.nap�tími a deformacemi.

(Hooke�v zákon)

Vysv�tlíme na osov�

namáhaném prutu.

�������������� Osa x vždy osa prutu – pozor u sloupu!!!

R

+N

x

lF

Zatížení osov� namáhaného prutu – nap�tí a deformace

+N

Vn�jší osové zatížení F � vnit�ní síla N �normálové nap�tí �x(intenzita vnit�ních sil)

[MPa]

Tah, tlak – pozor jednotky!!! (�ády)

P�.: Jak velké nap�tí vznikne, je-li N=10kN a A=10cm2?

�����������������������������������

����� ��!�"������������������������������(geometrické rovnice) nau�it kap.1.3 u�ebnice

l

lx

∆ε =

deformace podélná

(bezrozm�rná veli�ina)

x

F

l �l

z

b

h

b´

h´y

rozm�rové zm�ny:

l

xzy υεεε −==deformace p�í�ná

b´ = b+�b

h´ = h+�h

b

by

∆ε =

h

hz

∆ε =

l´= l + �l

50,≤≤≤≤�Poisson�v sou�initel p�í�né deformace

(jedna ze t�í materiálových konstant)Kruhový pr��ez pr�m�r d?

Materiál - Pracovní diagramy oceli a betonu vyjad�ují vztah nap�tí – deformace: kapitola 2.2 skript nebo Stavební hmoty

Plasticita: schopnost materiálu deformovat se trvale bez porušení.

Tažnost: plastické protažení p�etržené ty�e (vzdálenost /OT/), ocel 15%.

Pracovní diagram ideáln� pružno-plastického materiálu

++++σσσσ

fy mez kluzu

�elast. �plast.

TAH

Y A=C

F � N � σσσσ

xl

�l

Odvození pro tah a prostý tlak σσσσ - normálové nap�tí

εεεε - pom�rná podélná deformace

Pružná oblast

++++ε = ε = ε = ε = �l/l

fy

Pružno-plastická oblastPružno-plastická oblast

TAH

TLAK�el.= σB/E

BσB

�plast.

�B,celk.

Y−−−−σσσσ

−−−−εεεε

Oblast platnosti

Hookeova zákona

Lineárn� pružný materiál - Hook�v zákon v tahu

TAH

Hooke�v zákon - definuje vztahy (fyzikální) mezi nap�tími a deformacemi, závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti

Y

++++σσσσ

fy mez kluzu

�elast.

Pružná oblast

Oblast platnosti

Hookeova zákona

Nx =σ l

lx

∆ε =

do Hookeova zákona dosadit:

E.xx ε=σOdvození pro tah a prostý tlak

Hooke�v zákon

αααα = arctg Eσσσσx ... normálové nap�tí [Pa]

εεεεx ... pom�rné deformace (prodloužení,zkrácení)[-]

E ... Young�v modul pružnosti v tahu a tlaku [Pa]

(druhá ze t�í materiálových konstant)

Ax =σ

EA

Nll =∆

lxε =

�

σσσσ

εεεε = �l/l

E==ε

σϕtan

jiné zn�ní

Hookeova zákona

ττττxz

Gxzxz γτ = (((( ))))�GE

++++==== 12

Lineárn� pružný materiál - Hook�v zákon ve smyku

Hooke�v zákon - definuje vztahy (fyzikální) mezi nap�tími a deformacemi, závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti

αααα = arctan G

ττττxz ... smykové nap�tí [Pa]

γγγγxz ... zkosení

G ... modul pružnosti ve smyku [Pa]

γγγγxz

G==γ

τϕtan

(t�etí ze t�í materiálových konstant)

Materiálové konstanty #��!����������$

není-li brán�no deformaci � nap�tí = 0 � neplatí Hooke�v zákon

bude vysv�tleno zachvíli

+�T

��������

����� ��!�"�

ba

Nosník se v podpo�e b posune,

nevznikne N ani nap�tí

TTzTyTxT ∆αεεε ===

Tα - sou�initel teplotní roztažnosti [°C-1]

lTl T ..∆α∆ =

�xT = �l/l = �b/b = �h/h = �d/d

l´= l + �l

b´ = b+�b

h´ = h+�h

����� ��!�"�

Ur�ete rozm�rové zm�ny a nap�tí v oceli a v betonu. Konstrukce dle

obrázku.

P�íklad domácí úkol

1

h1=

0,5

mP1=150kN

P2=165kNP2

d1 = 0,03mE1 = 210 000MPa�1 = 0,3

N

-

ocel

2

hh

2=

0,2

m

P2=165kN

a = 0,15m

b =

0,1

m

E2=33 500MPa�2 = 0,2

-beton

d´= 30,009mm, a´= 150,029mm, b´= 100,019mm,

h1´=499,495mm, h2´=199,809mm, h´= 699,304mm

�1= -212,21MPa, �2= -32,0MPa … normálové nap�tí

Okruhy problém� k ústní �ásti zkoušky

1. Pružnost a pevnost ve stavebním inženýrství

Výchozí p�edpoklady klasické lineární pružnosti

Pojem plasticita, teorie malých deformací,teorie II.�ádu

Nap�tí, stav napjatosti t�lesa

2. Vztahy mezi nap�tími a vnit�ními silami v pr��ezu prutu, diferenciální

podmínky rovnováhy

Základní typy namáhání - prosté a složené

Saint - Venant�v princip lokálního ú�inku

3. Deformace a posuny v t�lese, geometrické rovnice

Hooke�v zákon, lineárn� pružný materiál, fyzikální konstanty

4. Pracovní diagramy stavebních materiál�

Nepružný a ideáln� pružno-plastický materiál, tažnost

5. Deformace od zm�ny teploty

6. Nap�tí p�i osovém tahu a tlaku

7. P�etvo�ení taženého a tla�eného prutu

8. Materiálové konstanty