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August 3, 2013

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Pruebas de Hipótesis para la media poblacional (µ).

La media poblacional es un indicador muy importante, por lo tanto, frecuentemente se desea probar si dicha media ha permanecido igual, ha aumentado o ha disminuido. A través de la prueba de hipótesis se determina si la media poblacional es significativamente mayor o menor que algún valor supuesto.

Tipo de Hipótesis

Se puede plantear uno de los siguientes tres tipos de hipótesis:

- Prueba de hipótesis a dos colas

H0: µ = k

H1: µ ≥ k

- Prueba de hipótesis a una cola superior

H0: µ = k ó H0: µ ≥ k

H1: µ > k ó H1: µ > k

- Prueba de hipótesis a una cola inferior

H0: µ = k ó H0: µ ≤ k

H1: µ < k ó H1: µ < k

1. Prueba de hipótesis para la media si la población de donde se obtiene

la muestra tiene distribución normal con varianza conocida.

En este caso se utiliza la expresión:

Donde: µ es el valor que se está suponiendo en la hipótesis nula (H0).

Regla de decisión.

- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como: H1: µ ≠ k se tiene una prueba de hipótesis a dos colas, por lo tanto, el nivel de significancia (α) se divide en dos partes iguales, quedando estos valores en los extremos de la distribución como se aprecia en la figura 1.

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Figura 1. Regla de decisión para una prueba de hipótesis a dos colas.

y pertenecen a una distribución normal estándar. Si el valor de la estadística de

trabajo (Zx) está entre y no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1. Es decir:

- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1: µ > k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola superior, quedando el nivel de significancia (α) en la parte superior de la distribución, como se aprecia en la figura 2.

Figura 2. Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola superior.

pertenece a una distribución normal estándar. Si el valor de la estadística de trabajo

(Zx) es menor que no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1. Es decir,

- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1: µ < k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola inferior, quedando el nivel de significancia (α) en la parte inferior de la distribución, como se aprecia en la figura 3.

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Figura 3. Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola inferior.

Zα pertenece a una distribución normal estándar. Si el valor de la estadística de trabajo (Zx) es mayor que Zα no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1. Es decir,

2. Prueba de hipótesis para la media si se selecciona una muestra

aleatoria de tamaño n≥30 de una población con cualquier distribución.

En este caso se usa la expresión:

Regla de decisión.

Es la misma que en el caso anterior y depende en todo caso de la hipótesis alternativa.

3. Prueba de hipótesis para la media si se selecciona una muestra

aleatoria de tamaño n<30.

En este caso se tienen dos situaciones, dependiendo de si se utiliza la varianza muestral sin corregir o corregida.

• Si se utiliza la varianza sin corregir (σ2) se usa la expresión:

• Si se utiliza la varianza corregida se usa la expresión:

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EJEMPLO (1er.Caso).

Un proceso manufacturero usado por una fábrica durante los últimos años da una producción media de 100 unidades por hora con una desviación estándar de 8 unidades. Se acaba de introducir en el mercado una nueva máquina para realizar ese tipo de producto. Aunque es muy cara comparada con la que está ahora en uso, si la media de producción de la nueva máquina es de más de 150 unidades por hora, su adopción daría bastantes beneficios.

Para decidir si se debiera comprar la nueva máquina, a la gerencia de la fábrica se le permite hacer un ensayo durante 35 horas, hallándose un promedio de 160 unidades por hora. Con ésta información qué decisión se debe tomar si se asume un nivel de confianza del 99 por ciento.

Solución.

Según el enunciado, solo se compra la máquina si la producción es de más de 150 unidades por hora, por lo tanto las hipótesis son:

H0: µ = 150

H1: µ > 150

Para elegir la estadística de trabajo se tiene en cuenta que se conoce la varianza poblacional, por lo tanto se usa la expresión:

por el planteamiento de la hipótesis alternativa se trabaja a una cola superior. En la distribución normal, con una confiabilidad del 99 por ciento el valor de Z es 2,33. Como puede observarse en la figura 4, la estadística de trabajo está en la zona de rechazo de la hipótesis nula, por lo tanto, se acepta que la producción promedio por hora es superior a las 150 unidades y asumiendo un riesgo del 1 por ciento se puede comprar la nueva máquina.

Figura 4. Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola inferior.

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Ejemplo (2do.Caso).

La duración promedio de las llantas producidas por una fábrica de llantas, según experiencias registradas es de 46,050 Km. Se desea probar si el promedio poblacional ha cambiado; para tal efecto se toma una muestra aleatoria de 60 llantas y se obtiene una duración promedio de 45,050 Km. con una desviación estándar de 3,070 Km.

Solución

H0: µ = 46,050

H1: µ ≠ 46,050

Teniendo en cuenta que el tamaño de la muestra es grande, se utiliza la expresión:

Por la hipótesis alternativa, la regla de decisión es a dos colas. La tabla a utilizar es la de la distribución normal. Asumiendo un nivel de confianza del 95 por ciento, los correspondientes valores de Z son -1,96 y 1,96. Como puede observarse en la figura 5, el valor de la estadística de trabajo está en la zona de rechazo de la hipótesis nula, por consiguiente, con una confiabilidad del 95 por ciento se acepta que la duración promedio de las llantas ha cambiado.

Figura 5. Regla de decisión para una prueba de hipótesis a dos colas

Ejemplo (3er. Caso).

En su calidad de comprador comercial para un supermercado, se toma una muestra aleatoria de doce (12) sobres de café de una empacadora. Se encuentra que el peso promedio del contenido de café de cada sobre es 15,97 grs. con una desviación estándar de 0,15. La compañía empacadora afirma que el peso promedio mínimo del café es de 16 grs. por sobre. Puede aceptarse ésta afirmación si se asume un nivel de confianza del 90 por ciento?

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Solución:

Se desea probar si el peso mínimo es de 16 grs., es decir mayor o igual a 16 grs., así que las hipótesis adecuadas son:

H0: µ ≥ 16

H1: µ < 16

Como lo indica la hipótesis alternativa, se trabaja a una cola inferior en la tabla de la distribución t con 11 grados de libertad y una confiabilidad del 90 por ciento, el valor de Z es - 1,363

Como puede observarse (figura 6), la estadística de trabajo (-0,663) está ubicada en la zona de no rechazo de la hipótesis nula, por lo tanto, con un nivel de confianza del 90 por ciento no se rechaza que los empacadores de café tienen la razón, por lo tanto se concluye que el peso promedio de los sobres de café es mayor o igual a 16 grs.

Figura 6. Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola inferior