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Pruebas de Hipótesis
Tipos de errores
Decisión Población
Ho es verdadera Ho es falsa
No rechazar Ho Decisión correcta. Error tipo II
Rechazar Ho Error tipo I Decisión correcta.
a = Pr(Error Tipo I) = Pr(Rechazar H0 / H0 es verdadera)
b = Pr(Error Tipo II) = Pr(No rechazar H0 / H0 es falsa)
Se pueden cometer dos tipos de errores:
Esquema para realizar una prueba de
hipótesis
Etapas:
1) Enunciado de la hipótesis nula y alternativa
2) Selección del estadístico de prueba (Considerar el parámetro poblacional utilizado en 1) y los datos del problema).
3)Gráfico de la distribución del estadístico de prueba para la determinación de la región crítica con el alfa dado y la búsqueda en tabla del valor crítico.
4) Cálculo del valor observado a partir del estadístico.
5) Comparación de valores.
6) Exposición de las conclusiones
Cuando se plantean hipótesis para la media de la población y la desviación estándar poblacional es desconocida y el tamaño de la muestra es pequeño, el estadístico de prueba está dado por:
el cual se distribuye como una t de Student con n-1 grados de libertad.
Prueba de hipótesis para la media de una población,
desviación estándar desconocida y tamaño muestral pequeño
1
1 n/
ngl
n
tS
xt
Prueba para la media poblacional
con varianza poblacional
desconocida
Ejemplo: Un auditor desea probar el supuesto de que el valor
medio de la totalidad de las cuentas por cobrar de
una empresa dada es de $260.000.
Toma una muestra n = 16 cuentas por cobrar y
obtiene una media muestral de $240.000, con una
dispersión de $43.000. Suponga un nivel de
significación del 5% para concluir si los datos
muestrales dan evidencia suficiente para contradecir
el supuesto del auditor.
Prueba de hipótesis sobre una
proporción
• En muchos problemas de Ingeniería
se debe tomar una decisión con
respecto a una proporción.
• Los supuestos para poder aplicar
este test son los mismos que se
necesitan para construir un intervalo
de confianza para una proporción
Cuando se plantean hipótesis para la proporción de la población, el estadístico de prueba está dado por:
donde
el cual se distribuye como una Normal de media 0 y desvío estándar 1
Prueba de hipótesis para la proporción de una población,
)1,0(Npp
zp
o
n
qp oo
Ejemplo:
El director de la agencia de colocaciones de una universidad sostuvo que al menos
50% de los estudiantes a punto de graduarse habían cerrado un trato de empleo para el 1º
de Marzo. Supongamos que se reúne una muestra aleatoria de estudiantes (n=30) y
solo 10 de ellos indican haber cerrado trato de empleo. ¿Puede rechazarse el argumento
del director de la agencia al nivel de significación del 5%?
Prueba de hipótesis para
una varianza
En este problema debemos probar si la varianza poblacional es un valor
determinado.
Usamos los mismos supuestos que los utilizados para la realización del
intervalo de confianza para la varianza y el mismo estadístico de
prueba.
Prueba de hipótesis para 2
Unilateral
izquierda Bilateral
Unilateral
derecha
H0: 2 ≥ 20 H0: 2 = 20 H0: 2 ≤ 20
H1: 2 < 20 H1: 2 ≠ 20 H1:
2 > 20
Hipótesis:
Estadístico de prueba: 2
2 2
12
0
1~c n
n S
Ejemplo
La dispersión de un producto estándar es 0,1225 pulgadas , este producto es algo antiguo y se está considerando cambiarlo por uno nuevo, siempre y
cuando su variabilidad no sea superior a la del producto anterior. Una muestra de 25 productos
nos dio una varianza de 0,038 pulgadas cuadradas .
Para un nivel de significación de 0,01,¿se puede concluir si se aceptará o no el nuevo producto?
Prueba de hipótesis acerca de dos
parámetros
• Otro problema que se presenta
frecuentemente en el trabajo experimental
es determinar si dos distribuciones de
probabilidad tienen algunos parámetros
que son los mismos, sin especificar los
valores comunes de esos parámetros.
• Tenemos pruebas para la igualdad de dos
medias y para la igualdad de dos
varianzas
Prueba de hipótesis para dos medias
desviación estándar poblacional conocida o muestras grandes
Muestras independientes
• Cuando se plantean hipótesis para la diferencia de
medias de dos poblaciones y las desviaciones
estándar poblacionales son conocidas o el tamaño
de la muestra es grande, el estadístico de prueba
está dado por:
el cual se distribuye como una Normal de media 0
y desvío estándar 1.
)1,0(()(
2
2
2
1
2
1
)2121N
nn
xxz
Prueba para la comparación de
Medias (varianzas poblacionales
conocidas)
• Ejemplo: Se hace un test de eficiencia a 50 ingenieros industriales y 60 ingenieros civiles, obteniéndose los siguientes resultados:
a) Verificar con un nivel de significación del 5% si la diferencia se puede atribuir a la casualidad o no.
b) Ïdem a) pero suponiendo varianzas poblacionales desconocidas e iguales, sabiendo que se obtuvo una
dispersión muestral de 6 y 5,5 respectivamente.
5 87
7 89
22
11
X
X
F DE FISHER Fórmulas
La función acumulada está tabulada.
0
1**2
*2
**2
)(
2
2
121
12
2
2
121
21
1
1
x
xv
vvv
xv
vvv
xf
densidadFunción
vv
vv
Forma de la curva de esta distribución según v1 y v2
La comparación de medias para
muestras independientes requiere
igualdad de varianzas poblacionales
Debe hacerse un pre-test para comparar varianzas.
2 2
0 1 2
2 2
1 1 2
:
:
H
H
1) Plantear las hipótesis 2) Establecer el estadístico de prueba.
2
1
2
2
ob
SF
S
3) Definir el nivel de significación y la zona de rechazo de Ho, en el gráfico de la distribución del estadístico. Hallar los valores críticos. Si
1 2
2 1
1, 1,12
1, 1,2
1
n n
n n
FF
a
a
1 2
1 2
4,4;0,011, 1;
2
1, 1,14,4;0,012
15,977
1 10,0625
15,977
n n
n n
F F
FF
a
a
No siempre es el inverso
0,02a
Uso de la tabla
Prueba de hipótesis para comparar
medias con varianzas poblacionales
desconocidas
Se espera que dos operadores produzcan, en promedio, el mismo
número de unidades terminadas en el mismo tiempo . Los datos son los
números de unidades terminadas para ambos en una semana de
trabajo:
Operador 1 Operador 2
12 14
11 18
18 18
16 17
13 16
Si se supone que el número de unidades terminadas diariamente por los
dos trabajadores son variables aleatorias independientes distribuidas
normalmente. ¿Se puede establecer diferencia entre las medias a un
nivel de significación del 0,1 ?
Continuación
4) Calcular el valor observado a partir del estadístico de prueba.
2
2
2,915 8,4973,03
1,673 2,7989obF
5) Comparar el valor observado con el valor crítico.
6) Conclusiones: Luego las varianzas son iguales.
0 3,03 0,0625;15,977bF
Pertenece a la zona de aceptación de Ho.
Comparación de medias para
muestras independientes
0 1 2 1 2
1 1 2 1 2
: 0
: 0
H ó
H ó
Se plantea una prueba para medias, para varianzas
desconocidas pero iguales, de los datos se obtiene
1 214 16,6x x
1) Plantear las hipótesis
2) Establecer el estadístico de prueba.
1 2 1 2
2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1
2
ob
x xt
n S n S
n n n n
Continuación
3) Definir el nivel de significación y la zona de rechazo de Ho, en el gráfico de la distribución del estadístico.
4) Calcular el valor observado a partir del estadístico de prueba.
1 2
8;0,012;
2
1.3968n n
t ta
5) Comparar el valor observado con el valor crítico.
2 2
14 16,6 0 2,60,728
3,5724.2,915 4.1,673 1 1
5 5 2 5 5
obt
1,396;1,396obt Se acepta Ho
Conclusiones
Al aceptar Ho, la diferencia de medias muestrales no es significativa, se debe al
azar.
Luego las medias poblacionales son iguales, lo que se traduce en que los dos
operadores producen, en promedio, el mismo número de unidades terminadas en
el mismo tiempo