présenté en vue de l’obtention du diplôme de : magister en

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université de Batna

Faculté de Technologie

Département d’Electrotechnique

MEMOIRE Présenté en vue de l’obtention du diplôme de :

MAGISTER EN ELECTROTECHNIQUE

Option : Machines Electriques Et Commande Des Systèmes

Présenté par

Noureddine BEN SEDIRA

(Ingénieur en Electrotechnique de l’Université de Batna)

Thème

Devant le jury composé de :

Fatima-Zohra KAKID Prof Université de Batna Président

Mohammed-Salah AGGOUNE M.C Université de Batna Rapporteur

Abdelhamid BENAKCHA M.C Université de Biskra Examinateur

Ilhem HOUARA M.C Université de Batna Examinateur

Soufiane TAIBI Prof Université de Batna Examinateur

________ Année universitaire 2012-1013 ________

CONTRIBUTION À L’ÉTUDE DU COUPLAGE

ELECTROMAGNETIQUE-THERMIQUE DANS UNE CHARGE À

SYMETRIE AXIALE (Étude + Simulation)

REMERCIEMENTREMERCIEMENTREMERCIEMENTREMERCIEMENT

Je tiens tout d’abord à remercier « Dieu » le tout puissant.

Je remercie vivement mon encadreur: Dr. Mohammed-Salah AGGOUNE qui a

un rôle important dans le déroulement de cette étude. Pour son aide, ainsi que pour

la confiance qu’il m’a prodiguée durant la réalisation de ce travail.

J'aimerais ensuite remercier Prof . Fatima-Zohra KAKID qui a contribué à ce

travail par ses multiples conseils et qui a accepté de présider le jury.

Mes plus vifs remerciements s’adressent également aux membres de jury qui

m’ont honoré en acceptant d’évaluer ce travail :

1- Dr . Abdelhamid BENAKCHA

2- Dr . Ilhem HOUARA

3- Prof . Soufiane TAIBI

Que tous les enseignants qui ont contribué à ma formation reçoivent ma

gratitude et en particulier ceux du département d’électrotechnique de l’université de

Batna.

J'aimerais à présent remercier mes proches et en premier lieu mes parents de

m'avoir soutenu et d'avoir cru en moi. Je remercie aussi mes frères, mes sœurs.

Sans oublier d’exprimer mes remerciements à tous mes amis et à tous ceux qui

m’ont aidé de prés ou de loin.


DEDICACEDEDICACEDEDICACEDEDICACE

Je dédie ce modeste travail

à Mes parents

à Mes frères et à Mes sœurs

à Toute la famille universitaire


SOMMAIRE

INTRODUCTION GENERALE ……………………………………………………………………1

CHAPITRE I: Electromagnétisme

Introduction …………………………………… ……………………...……………….………..…….3

I-1-Présentation de l’électromagnétisme…………… ………………………………………..……4

I-1-1- Histoire de l’électromagnétisme...…...……… …………………………………….....….4

I-1-2- Éléments d’analyse vectoriel..…………………… ………………………………………5

I-1-3- Théorèmes et lois fondamentaux ….…………… ………………………………………7

I-1-4- Equations de Maxwell ………………………… ……………….…………………..…10

I-2-Propriétés et comportement électromagnétique des matériaux ………….……….....……..12

I-2-1- Milieux électriques …………………………………………………..…………...….12

I-2-2- Classification magnétique des matériaux……………… ………………………...…...12

I-2-3- Lois de comportement des matériaux……………...………………..…………....….….13

I-3- Conditions de passage entre deux milieux ………………………………… …………..……14

I-3-1- Continuité entre deux milieux différents………………………… …...………..…….14

I-3-2- Conditions magnétiques d’interface…………………………………………..……….17

I-4- Energie électromagnétique ………………………………… ………………………………..18

I-4-1- Expression locale d’un bilan énergétique………… …………….……………..…….18

I-4-2- Energie du champ électromagnétique…………… ………………………….....…….20

I-4-3- Vecteur de Poynting……………………………… …………………………….……22

Conclusion…………………………………………………….. ………………………………..…….23

CHAPITRE II : Procédés de chauffage par induction

Introduction ………………………………………… ………………………………………..…….24

II-1 Présentation générale des procédés de chauffage par induction………………………..…….25

II-1-1- Présentation de l'électrothermie………………… ……………………………..…….25

II-1-2- Principe du chauffage par induction…………… ……………………………...…….26

II-1-3- Applications industrielles………………………… …………………………..….….27

II-1-4- Intérêt et limitation du chauffage par induction…… …..…………………….…..…….30

II-2- Installation de chauffage par induction………………………….………...………….....…….30

II-2-1- Equipement de chauffage par induction……… ………………...…………..…….30

II-2-2- Paramètres de réglage………………………… …………...……………..………...….31

II-2-3- Ordres de grandeur des paramètres caractérisant les chauffages par induction ……….32

II-2-4-Convertisseurs de fréquence…………………… ………………………...........…….33

II-3- Caractéristiques électriques du chauffage par induction… …………………..........….…….34

II-3-1- Type d'inducteur ……………………… ……………………………………....…….34

II-3-2- Pénétration électrique…………..……… ……………………………………..…….35

II-3-3- Pénétration thermique………………… …………….………………………...…….36

II-3-4- Puissance dissipée dans la pièce……… ……………………...………………..…….37

II-3-5- Rendement (inducteur - charge) ……… ……………………………………..……...37

II-3-6- Facteur de puissance ……………………… ………………….………………..….…38

II-3-7- Résistivité électrique ……………………… ……………………………...…..…….38

II-3-8- Nature magnétique du matériau…………………………………………….....…….38

II-4- Transmission de la chaleur et échauffement des corps…… …..……………………..…….39

II-4-1- Loi de Fourier………………………… ……………………………..………..…….39

II-4-2- Conduction ………………………… …………………………….…………..…….39

II-4-3- Rayonnement…………………………………………………………………..…..…..40

II-4-4- Convection…………………………… ……………………………………….…….40

II-4-5- Capacité calorifique…………………… ……………………………………...…….41

Conclusion…………………………………………… ………..…………………………………..….42

CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique

Introduction …………………...…………… ……………………..………………………………….43

III-1- Equations mathématiques……………… ……………………...…………..…………..….….44

III-1-1- Hypothèses et équations à résoudre……… …………..…………………………….…44

II-1-2- Equations de maxwell…………….………….……….……………………..…..…..….45

III-1-3- Relations constitutives du milieu…….…….…………………………………...…….45

II-1-4- Conditions de continuité………………………………………………………..…..…..46

III-1-5- Formulation électromagnétique……………...……………….. ……...............…..….46

III-1-6- Equation de la conduction thermique…………… …………..………..…………...….49

III-2 - Modèles mathématiques…………………………………….………………...…….…..…….51

III-2-1- Modèles magnétique ……………………………….. …………………………..…….49

III-2 -2- Modèles thermique…………………...……… …………………………….…..…….50

III-2 -3- Cas des structures axisymétriques………………… ……………………….…..…….51

III-3-Méthodes de résolution des équations aux dérivées partielles… ……………………………56

III-3-1- Méthode des différences finies……………………………..………………………….56

III-3-2- Méthode des volumes finis……………………… ………………...…………...…….57

III-3-3- Méthode des éléments finis………………………… ………………………..…...….58

III-3-4- Analyse du couplage magnéto-thermique par les éléments finis…………….....……..60

III-4-Modes de couplage existants…………………… …………………………………....…...65

III-4-1-Mode de couplage alterné…………………… ………………………………..…...…..66

III-4-2-Mode de couplage direct ……………………… ……………………………...…….67

III-4-3-Mode de couplage paramétré………….…………… ……………………….....…….68

Conclusion ………………………………...……………………………….………………………….70

CHAPITRE IV:Simulation du couplage magnéto-thermique

dans une charge à symétrie axiale

Introduction …..………………………………………… ……………………………………...….71

IV-1-Présentation de COMSOL Multiphysics …………… ……………………………....……….72

IV-1-1- Méthodes numériques et l’outil informatique …….. ……………………..…....…….72

IV-1-2- Logiciels utilisant éléments finis …..……………… ……………………………..….72

IV-1-3- COMSOL Multiphysics…..……………………… ……………………….………….73

IV 2- -Présentation du problème…………………………… …………………………………..…….73

IV 2- -1- Définition du système…………………………… …………………………….…….73

IV -2- 2- Hypothèses et données d’étude………………… ………………………….…….74

IV -2- 3- Domaine d’étude et conditions aux limites …………… ………………...…..…….75

IV 2- -4- Construction de système sur COMSOL Multiphysics…….…… …………………….77

IV-3- Représentation et exploitation des résultats…..……………… …………….……………….79

IV-3-1- Influence du couplage sur la température transmise…………… …………….…...…79

IV-3-2- Influence de l’épaisseur du creuset sur la température transmise…… ……....…….81

IV-3-3-Vérification de l’homogénéité de la fusion…..………………………… …………..83

IV-3-4-Influence de la position verticale d’inducteur sur la température transmise…… …….85

IV-3-5-Influence de la fréquence sur la température transmise……………………...… …….87

IV-3-6-Influence de la densité de courant d'alimentation sur la température transmise…....….89

Conclusion…..………………………………………………………………………… ………..…….90

CONCLUSION GENERALE ……………………………………………………………………… 92

ANNEXES……………………………………………………………………………………………..94

BIBLIOGRAPHIE ………………………………………………………………………………… 101

NOMENCLATURE

Aρ

mT . Potentiel vecteur magnétique

∗Aρ

mT . Potentiel vecteur magnétique modifié

Eρ

mV / Champ électrique

Hρ

mA / Champ magnétique

Bρ

T Induction magnétique

rBρ

T Induction rémanente

Φ Wb Flux magnétique

Mρ

mA / Densité volumique de moment magnétique

Dρ

2/ mC Induction électrique

Pρ

mC / Vecteur de polarisation

Dvρ

sm / Vitesse de déplacement des charges

V V Potentiel scalaire électrique

U V Source de tension électrique

tJρ

2/ mA Densité de courant total

cJρ

2/ mA Densité de courant de conduction

DJρ

2/ mA Densité de courant de déplacement

PJρ

2/ mA Densité de courant de polarisation

MJρ

2/ mA Densité de courant d’aimantation

eJρ

2/ mA Densité de courant d’excitation

iJρ

2/ mA Densité de courant induit

sJρ

mA / Densité de courant de surface

sρ 2/ mC Densité surfacique de charge

f Hz Fréquence

ϖ srd / Pulsation

ε mF / Permittivité électrique

0ε mF / Permittivité électrique du vide

rε Permittivité relative

µ mH / Perméabilité magnétique

0µ mH / Perméabilité magnétique du vide

rµ Perméabilité relative

mχ Susceptibilité magnétique

ν mH .1− Reluctivité magnétique

σ mS / Conductivité électrique

ρ m.Ω Résistivité électrique

δ m Pénétration électrique

T Kο Température

aT Kο Température ambiante

k KmW ο// Conductivité thermique

q 2/ mW Flux de chaleur

eq 2/ mW Flux de chaleur généré

sq 2/ mW Flux de chaleur stocké

rq 2/ mW Flux de chaleur sortant

Q 3/ mW Densité de source thermique

ρ 3/ mKg Masse volumique

pC KkgJ ο// Chaleur massique

Cpρ KmJ ο// 3 Capacité calorifique

h KmW ο// 2 Coefficient d’échange convectif

bεσ 42 // KmW ο Coefficient d’échange radiatif

ε Emissivité

bσ 81067.5 −× 42 // KmW ο Constante de Boltzmann

∆ m Pénétration thermique

Ω Domaine d’étude

Γ Surface de séparation

Σ Section méridienne

iα Fonction polynomiale d’interpolation

iW Fonction de projection

MDF Méthode des différences finies

MVF Méthode des volumes finis

MEF Méthode des éléments finis

MCA Mode de couplage alterné

MCD Mode de couplage direct

MCP Mode de couplage paramétré

. Produit scalaire

× Produit vectoriel

A La valeur complexe conjuguée de A

- 1 -

INTRODUCTION GENERALE

L’induction électromagnétique est une technique de chauffage pour les matériaux conducteurs

d’électricité (métaux), fréquemment utilisée pour de nombreux procédés thermiques tels que la fusion

ou la chauffe des métaux [01].

La fusion des métaux par induction électromagnétique s’effectue généralement en chauffant le

métal dans un creuset fabriqué à partir d’un matériau réfractaire non conducteur. La masse de métal

placée dans le creuset est fondue jusqu’à atteindre sa forme liquide [02].

Ce procédé est couramment employé pour produire des aciers et alliages non ferreux de haute

qualité destinés à des opérations de moulage. Le métal liquéfié est déversé dans une cavité ayant la

forme souhaitée. Le métal se solidifie avec un minimum de retrait, après quoi le moule est retiré,

révélant un produit fini et usinable [02].

Notre contribution dans ce mémoire est de développer un modèle magnéto-thermique en

tridimensionnelle d’un système de chauffage par induction utilisé pour fuser l’or. Ce modèle sera

élaboré sous logiciel Comsol Multiphysics utilisant la méthode des éléments finis pour résoudre les

équations aux dérivées partielles. Le thème abordé, inspiré par un brevet d’invention (WIPO Patent

Application WO/2012/127 152) présenté par Roland ERNEST du CNRS est d’actualité et s’intéresse

à l’étude et à la simulation d’un creuset chaud utilisé pour un chauffage par induction.

Dans le premier chapitre, on aura mis le point sur l’électromagnétisme : Théorème et lois

fondamentaux ainsi que les équations de Maxwell, puis les propriétés et les comportements

électromagnétiques des matériaux. Finalement les conditions de passage d’un milieu vers un autre et

l’énergie électromagnétique ont été abordées.

Le second chapitre sera consacré aux procédés du chauffage par induction : Ses applications et ses

avantages, installation et paramètres fondamentaux, ainsi que les paramètres électromagnétiques et

thermiques dans les systèmes de chauffages par induction.

Dans le troisième chapitre, on présentera les modèles numériques et en particulier les structures

axisymétriques, ainsi que les méthodes de résolution des équations aux dérivées partielles; on

s’intéressera aux différentes méthodes de discrétisation ainsi que les modes de couplage magnéto-

thermique existants.

- 2 -

Dans le quatrième chapitre, on présentera le logiciel Comsol Multiphysics comme outil de

simulation puis on traitera le problème de chauffage par induction; pour le couplage, on développera

un modèle magnéto-thermique en tridimensionnelle. L’étude portera sur l’influence de certains

paramètres sur la performance du système en particulier le couplage inducteur-charge et l’épaisseur du

creuset ainsi la position verticale d’inducteur. L’homogénéité de la fusion dans la charge est en suite

traitée et en terminera ce travail par une étude de l’influence de la densité de courant d’alimentation et

de sa fréquence sur la température transmise dans la charge.

On finira ce travail par une conclusion générale qui résume l’ensemble des résultats obtenus et par

des recommandations sur les travaux futurs dans ce domaine de recherche.


- 3 -

Introduction

Le champ magnétique forme avec le champ électrique le domaine d’étude décrit par

l'électromagnétisme. Des ondes de champs électrique et magnétique mêlées peuvent se propager

librement dans l'espace, et dans la plupart des matériaux [03,04].

Les lois constitutives du matériau, qui sont caractéristiques de chaque milieu doivent être

ajoutées aux équations de Maxwell pour traiter un problème électromagnétique [05]. Les équations de

Maxwell permettent d’obtenir l’expression de l’énergie électromagnétique traversant une surface sous

la forme d’une intégrale de surface d’un vecteur formé à partir des composantes du champ

électromagnétique [03,04].


- 4 -

I-1-Présentation de l’électromagnétisme

I-1-1-Histoire de l’électromagnétisme [06] :

Jusqu'au début des années 1820, on ne connaissait que le magnétisme des aimants naturels à

base de magnétite. Hans Christian Ørsted montra en 1821 qu'un courant électrique parcourant un fil

influence l'aiguille d'une boussole située à proximité. Il fut cependant incapable d'expliquer ce

phénomène à la lumière des connaissances de l'époque. La même année, Michael Faraday énonce la loi

de Faraday, qui trace un premier lien entre électricité et magnétisme.

En 1822, le premier moteur électrique est inventé : la roue de Barlow.

André-Marie Ampère proposa peu après une loi phénoménologique, aujourd'hui démontrée

dans le cadre général de l'électromagnétisme, appelé théorème d'Ampère, qui relie le champ

magnétique aux courants. Peu après, en 1825, l'électricien William Sturgeon crée le premier

électroaimant.

En 1873, James Clerk Maxwell unifie le champ magnétique et le champ électrique, au sein de

la théorie de l'électromagnétisme. Ce faisant, il découvre une incompatibilité entre les lois de la

mécanique classique et les lois de l'électromagnétisme. Ces dernières prédisent que la vitesse de la

lumière est indépendante de la vitesse d'un observateur par rapport à la source qui émet la lumière,

hypothèse incompatible avec les lois de la mécanique classique.

En 1873, l'ingénieur belge Zénobe Gramme découvre le premier moteur électrique à courant

continu, utilisable à grande échelle.

En 1887, les Américains Albert A. Michelson et Edward Morley vérifient expérimentalement

les prédictions de Maxwell.

En 1887, le physicien allemand Heinrich Rudolf Hertz réalise un oscillateur qui mit en

évidence les ondes électromagnétiques prédites par James Clerk Maxwell dans la décennie précédente.

Sa découverte permit de confirmer la théorie de l'électromagnétisme de Maxwell (Équations de

Maxwell publiées en 1873).

En 1905, Albert Einstein résout le paradoxe découvert par Maxwell en montrant que les lois de

la mécanique classique doivent en réalité être remplacées par d'autres lois, celles de la relativité

restreinte.

En 1933, Walther Meissner et Robert Ochsenfeld découvrent qu'un échantillon supraconducteur

plongé dans un champ magnétique a tendance à expulser celui-ci de son intérieur (effet Meissner).

En 1944, Lars Onsager propose le premier modèle (dit modèle d'Ising) décrivant le phénomène

de ferromagnétisme.

En 1966, le docteur Karl Strnat découvre les premiers aimants samarium-cobalt, d'une énergie


- 5 -

phénoménale (18 à 30 MGOe). (voir annexe -01- ).

En 1968 sont découverts les pulsars, cadavres d'étoiles extraordinairement denses, siège des

champs magnétiques les plus intenses existant aujourd'hui dans la nature (4×810 teslas pour le pulsar

du Crabe, par exemple).

En 1983, une équipe internationale crée des aimants néodyme-fer-bore, les plus puissants

aimants permanents connus à ce jour (35 MGOe soit environ 1,25 tesla).

En 1998, une équipe russe crée un champ magnétique pulsé par une explosion qui atteint

2 800 T.

Le 12 décembre 1999, une équipe américaine crée un champ magnétique continu d'une

intensité de 45 T.

En 2006, des champs magnétiques pulsés ont atteint 100 T sans destruction.

Toutes ces découvertes ont orienté les chercheurs vers des applications de plus en plus

miniaturisées (moteurs, téléphones portables, micro-ordinateur……) les outils d’analyse de tels

phénomène ont introduits de nouveaux concepts tel que prédit par Maxwell qui fut le premier à utiliser

la notion vectorielle pour représenter les champs et les flux.

I-1-2-Éléments d’analyse vectoriel [03,04] :

1- L’opérateur nabla : A trois dimension l’opérateur nabla ∇ρ

est défini par :

kz

jy

ix

ρρρρ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

2- Le gradient : Considérons une quantité scalaire qui est une fonction continue et différentielle des

coordonnées, et qui prend la valeur f .On abrége habituellement le gradient en «dagrρ

», et

l’opération sur la fonction scalaire f qui donne le gradient de f est représentée par l’opérateur nabla.

D’où : kz

fj

y

fi

x

fffdgra

ρρρρρ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇=

Le gradient est un vecteur qui indique le sens d’accroissement maximal d’un champ scalairef .

3- La divergence : La divergence d’un vecteur Aρ

qui défini par trois dimensions est :

=Adivϖ

z

A

y

A

x

A zyX

∂∂

+∂

∂+

∂∂

Aρρ

.∇=


- 6 -

La divergence est une quantité scalaire représente la densité volumique de flux d’un champ

vectoriel. Si 0=Adivϖ

, le flux de Aρ

est conservatif.

4- Le rotationnel : Le rotationnel est défini par le produit vectoriel de l’opérateur nabla∇ρ

et le

vecteur Aρ

AAtroρρρρ

∧∇=

)()()(y

A

x

Ak

z

A

x

Aj

z

A

y

Ai xyxzyz

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−∂

∂=

ρρρ

Le rotationnel est un opérateur qui transforme un champ de vecteur en un autre champ de vecteurs.

Le rotationnel d'un champ de vecteur en un point représente la circulation locale du champ autour de

ce point.

5- Le Laplacien: La divergence du gradient a une grande importance dans la théorie de l’électromagnétisme. On a :

( )2

2

2

2

2

22

z

f

y

f

x

fffdfagrdiv

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇=∆=ρ

6- Propriétés :

a- gdgrafdgragfdgraρρρ

+=+ )(

b- fdgraAAdivfAfdivρρρρ

..).( +=

c- BtorAAtroBBAdivρρρρρρρρ

..)( −=∧

d- AtrofAfdgraAftorρρρρρρ

.).( +∧=

e- 0ρρρ

=fdgratro

f- 0. =Atrodivρρ

g- AtrotroAdivdgraAρρρρρρ

−=∆ )(

zyx AAAzyx

kji

Atro∂∂

∂∂

∂∂=

ρρρ

ρρ


- 7 -

I-1-3- Théorème et lois fondamentaux [03, 04,07]:

1- Théorème de Stockes: Il relie une intégrale curviligne le long d’une courbe fermée à une intégrale

de surface sur n’importe quelle surface s’appuyant sur la courbe.

∫ ∫=s

dsAtorldA ..ρρρρ

(I.1)

2- Théorème de Gauss: Le théorème de Gauss relie le flux de vecteur de champ électriqueEρ

à travers

une surface fermée à la charge totale contenue à l’intérieur de cette surface :

0

int.ε∑

∫ =Q

sdEs

ρρ (I.2)

3- Loi de Coulomb: La loi de Coulomb nous donne l’intensité de la force d’attraction électrostatique

s’exerçant entre deux charges q et q’, placées à une distance r l’une de l’autre :

rr

qqF

ρρ3

0

..

4

1 ′=

πε (F en Newton, qet q’ en Coulomb) (I.3)

Cela permet d’introduire une première notion importante : la permittivité ε où 0ε représente

la permittivité de l’air ou du vide, avec : -1-120 F.m 8,85.10=ε

On utilise généralement la permittivité relative, qui, pour un milieu donné, est :

0εεε =r (I.4)

4- Champ et déplacement électriques : Considérons à nouveau deux charges q et q’. La charge q’

perturbe l’espace environnant ; cette perturbation est un champ électrique, désigné parEρ

. Ce champ

soumet la charge q à la force d’attraction déjà définie, qu’on peut écrire ainsi :

EqFρρ

.= ( E en 1. −mV ) (I.5)

On associe au champ Eρ

un champ Dρ

appelé vecteur déplacement électrique et, qui est indépendant

du milieu :

EDρρ

.ε= ( D en 2.. −msA ) (I.6)


- 8 -

5- Champ et induction magnétiques :

Si maintenant la charge électrique q′ est en mouvement avec une vitesseDvρ

, elle va créer un

champ magnétiqueHρ

, auquel correspond une induction magnétique :

HBρρ

.µ= ( H en 1. −mA , B en Tesla) (I.7)

µ : est une autre caractéristique du milieu : sa perméabilité magnétique. Pour le vide, et, en pratique,

pour l’air : 170 .10.4 −−= mHπµ

Si la charge q arrive dans ce champ magnétique avec une vitesseDvρ

, elle se trouve soumise à une force

dirigée perpendiculairement à Dvρ

et à Bρ

suivant la règle dite des trois doigts ou du bonhomme

d’Ampère :

BvqF D

ρρρ∧= . (I.8)

Cette loi porte le nom de force de lorenz.

6- Loi de Faraday-Lenz :

Tout circuit soumis à une variation de flux, voit apparaître une force électromotrice (tension)

e telle que :

dt

de

Φ−= (I.9)

Où Φ : est le flux total du champ magnétique à travers le circuit.

Le sens du courant induit est tel que le champ magnétique qu'il crée tend à s'opposer à la

variation du flux qui lui a donné naissance.

7- Les Courants de Foucault :

Si nous avons un courant alternatif ( )tI parcourant un solénoïde de longueur l comportant N

spires, ce courant donne naissance à une induction magnétique en son centre:

( )tIl

NB 00 µ= (I.10)

Si on place un cylindre métallique de perméabilité magnétique rµ et de résistance R suivant

l’axe du solénoïde, on a :

( )tIl

NB r 0µµ= (I.11)


- 9 -

Cette magnétique variable provoque une variation du flux :

NBS=Φ (I.12)

La loi de Lenz dit qu’une fem apparaît où dt

de

Φ−= qui entraîne le passage de courants induits ( )tI i

d’intensité :

( )R

etI i = (I.13)

Ces courants sont appelés courants de Foucault. Ils créent un champ magnétique qui s’oppose

au champ magnétique inducteur. D’où a un instant donné :

Ces courants sont concentrés sur la surface et provoquent un chauffage superficiel de la pièce :

c’est le principe de chauffage par induction.

induitBρ

inducteurBρ

FigureI-1-Champ magnétique crée par un courant


- 10 -

I-1-4- Equations de Maxwell [03,05,08] :

1- système d’équations :

L’interaction entre l’électricité et le magnétisme a permis à Maxwell d’énoncer ses quatre

équations fondamentales :

1- tJHtorρρρ = Equation de Maxwell-Ampère (I.14)

2-t

BEtor

∂∂−=

ρρρ Equation de Maxwell-Faraday (phénomène d'induction) (I.15)

3- 0=Bdivρ

Equation de conservation du flux deBρ

: 0. =∫∫ SdBS

ρρ (I.16)

4- ρ=Ddivρ

Equation de Maxwell-Gauss : ∫∫∫∫∫ =τ

τρ dSdDS

..ρρ

(I.17)

Les deux premières équations expriment le couplage et l'évolution des grandeurs électriques et

magnétiques alors que la troisième équation assure la conservation du flux magnétique.

En utilisant la première et la quatrième, nous obtenons la loi de conservation de la charge électrique :

0=∂∂+

tJdiv t

ρρ (I.18)

2-Sources de courant :

Dans la première équation la densité de courant tJρ

s’exprime par :

MPDct JJJJJρρρρρ

+++= (I.19)

3- Approximations standard :

-Etats des milieux conducteurs:

L'approximation des milieux conducteurs non ferromagnétiques s'appuie sur l'approximation suivante:

0ρρρ

== MP JJ Donc : Dct JJJρρρ

+=

Et l’équation de Maxwell –Ampère est écrite comme suit :

( )t

DBvEHtor D ∂

∂+∧+=ρρρρρρ σ (I.24)

-Etats quasi stationnaires :

L'approximation des états quasi stationnaires s'appuie sur l'approximation suivant: 0ρρ

≈∂∂

t

D, le courant

de déplacement est négligeable devant les autres courants et en particulier le courant de conduction.


- 11 -

Et l’équation de Maxwell –Ampère pour un milieu conducteur non ferromagnétiques est écrite

comme suit :

( )BvEHtor D

ρρρρρ ∧+= σ (I.25)

Le terme Dvρ

dans la relation (I.25) existe seulement pour les systèmes électromagnétiques en

mouvement, donc pour les systèmes sans mouvement :

EHtorρρρ σ= (I.26)

-Equations en régime harmonique :

Dans le cas où les sources électriques sont parfaitement sinusoïdales, on peut utiliser la notation

complexe pour les représenter :

( ) ( )( )ϕϖϕϖ +ℜ=+= tjeUtUU 00 cos (I.27)

Où fπϖ 2= est la pulsation et f la fréquence. Dans ce cas, la dérivation d'une grandeur par

rapport au temps revient à une multiplication parϖj .

Si, de plus, les matériaux ont des relations constitutives linéaires alors les grandeurs

électromagnétiques ont des variations dans le temps parfaitement sinusoïdales. Les équations de

Maxwell se réécrivent alors sous la forme :

1- DjJHtor c

ρρρρ ϖ+= (I.28)

2- BjEtorρρρ ϖ−= (I.29)

3- 0=Bdivρ

(I.30)

4- ρ=Ddivρ

(I.31)

Si les propriétés sont non-linéaires, les grandeurs électromagnétiques ne sont plus

nécessairement sinusoïdales dans le temps. C'est le cas en particulier des matériaux magnétiques

saturables.


- 12 -

I-2-Propriétés et comportement électromagnétique des matériaux

I-2-1-Milieux électriques [09, 10,11]:

A l’exception du vide, nous distinguons essentiellement trois types de milieux :les conducteurs,

les diélectriques et les plasmas.

1-Milieux conducteurs :

Un matériau conducteur est caractérisé par l'existence de charges libres dont les porteurs

(électron dans les métaux, ions dans l'électrolyse par exemple) sont susceptibles de se mouvoir dans

tout l'espace intérieur au matériau.

2-Milieux diélectriques :

Dans les matériaux diélectriques, les porteurs de charges ne peuvent se déplacer librement sous

l'effet d'un champ : ils restent attachés à des groupements atomiques moléculaires ou cristallins. Les

milieux diélectriques sont susceptibles d'interagir avec un champ électrique et améliorer les propriétés

électriques.

3-Milieux plasmas :

Le plasma est un gaz totalement ionisé, globalement neutre, constitué de cations et d’électrons.

Le passage d’une onde électromagnétique dans ce milieu va engendrer le mouvement des électrons et

des cations, créant ainsi des courants qui vont eux-mêmes modifier le champ électromagnétique

incident.

La propagation d’une onde électromagnétique dans tels milieux est complexe et le mouvement

des charges devient régi par la théorie d’un ou deux fluides.

I-2-2- Classification magnétique des matériaux [12]:

Les matériaux magnétiques sont classés d’une manière générale, en trois catégories :

1- Matériaux ferromagnétiques : Ils peuvent être fortement magnétisés, leur aimantation persiste

plus ou moins lorsque le champ magnétisant est supprimé (Fer, Nickel, Acier, Cobalt…). Ils sont

capables de s'aimanter de manière beaucoup plus forte ; leur aimantation est de même sens que le

champ inducteur, mais elle n'est pas proportionnelle. Elle croît avec le champ inducteur et tend vers

une limite ou saturation.

2- Matériaux paramagnétiques : Ils s'aimantent faiblement dans le sens du champ magnétisant. Leur

aimantation cesse dès que le champ magnétisant est supprimé (Aluminium, Platine, Manganèse…).

Ces matériaux présentent une aimantation proportionnelle au champ dans lequel ils sont placés, et de

même sens ; le rapport entre la valeur de l'aimantation du corps et celle du champ qui le produit est

faible.


- 13 -

3- Matériaux diamagnétiques : Ils s'aimantent faiblement dans le sens opposé au champ magnétisant,

leur aimantation cesse dès que le champ magnétisant est supprimé (Cuivre, Zinc, Or, Argent…). Ces

matériaux s'aimantent proportionnellement au champ dans lequel ils sont placés, mais en sens inverse ;

le rapport entre la valeur de l'aimantation du corps et celle du champ qui le produit est également

faible.

I-2-3- Lois de comportement des matériaux [05,13] :

Les lois constitutives du matériau, qui sont caractéristiques de chaque milieu doivent être

ajoutées aux équations de Maxwell pour traiter un problème électromagnétique. Elles relient Bρ

àHρ

,

Dρ

à Eρ

et cJρ

àEρ

. Ainsi, l’évolution des champs électromagnétiques présents dans un milieu donné

peut être prédite.

1-Loi d’aimantation :

Sous sa forme générale, la loi d’aimantation s’écrit :

rBMHBρρρϖ

++= 00 µµ (I.32)

Pour les matériaux non ferromagnétiques (matériaux diamagnétiques ou paramagnétiques), le

moment Mρ

est nul et la loi d’aimantation est linéaire. Pour les matériaux ferromagnétiques, le moment

n’est pas nul car il résulte de la polarisation de la matière et il est proportionnel au champ appliqué. Il

s’écrit:

HM m

ρρχ= (I.33)

mχ : Un nombre sans dimension appelé susceptibilité magnétique.

En combinant les équations (1.32) et (1.33) la loi d’aimantation B(H) s’écrit sous la forme suivante :

( ) rm BHBρρρ

++= χµ 10

r

rr

BH

BHρρ

ρρ

+=

+=

µµµ0 (I.34)

rBρ

: Induction rémanente (peut être considérée comme nulle ( 0ρρ

=rB ) dans le cas ou il n’y a pas

d’aimants) :

HBρρ

µ= (I.35)

Dans les cas des matériaux isotropes et linéaires: HBρρ

µ= et µ est un constante indépendante

de Hρ

et de la direction.


- 14 -

D’autre coté, µ peut être un tenseur pour les matériaux anisotropes et µ dépend deHρ

dans les

cas non linéaires (matériaux ferromagnétiques). Ce paramètre dépend fortement de la température.

2-Loi de polarisation diélectrique :

La forme générale de la loi de polarisation diélectrique est :

PEDϖϖϖ

+= ε (I.36)

Dans les cas des matériaux isotropes et linéaires : EDρρ

ε= et ε est un constante indépendante

deEρ

et de la direction. Comme pour les matériaux magnétiques, ε devient un tenseur pour les corps

anisotropes, peut dépendre deEρ

dans les cas non linéaires et évaluer en fonction de la température.

3-Loi d’Ohm :

La loi d’Ohm s’écrit :

( )BvEJc

ρρρρ∧+= σ (I.37)

Pour les systèmes électromagnétiques sans mouvement :

EJc

ρρ.σ= (I.38)

Cette loi porte le nom de « Loi d’Ohm locale» et interprété la relation entre la densité de

courant en un point et le champ électrique en ce point. Dans la plupart des matériaux, σ est considérée

constante ou dépendant de la température.

I-3- Conditions électriques de passage entre deux milieux

I-3-1- Continuité entre deux milieux différents : 1-Potentiel :

Au passage entre deux milieux différents, le potentiel V doit être continu, car s’il y avait une

discontinuité, il y aurait un champ électrique infiniment grand, ce qui est physiquement impossible.

Si les distributions de charge sont contenues dans un volume fini et au repos, le potentiel doit

être nul à l’infini, et constant à l’intérieur de ce conducteur. [03]


- 15 -

2-Composante normale du déplacement électrique :

Considérons un cylindre de Gauss plan situé prés d’une surface de séparation entre deux

milieux comme le montre la figure(I-2-), les surfaces fermant le cylindre sont parallèles à la surface de

séparation, et aussi proches d’elle que l’on veut. La surface de séparation porte une densité

superficielle de chargesρ . Si la surface S est petite, Dρ

et sρ ne varient pas de façon appréciable et,

d’après le théorème de Gauss, le flux de Dρ

à travers le cylindre aplati est égale à la charge intérieure :

SSDD snn .).( 21 ρ=−

La seule contribution au flux de D

ρ est celle des composantes normales et en prenant la surface

latérale aussi petite que l’on veut, on déduit :

snn DD ρ=− 21 (1.39)

A la surface de séparation entre deux milieux diélectriques, la densité de charge libre, est en

général nulle, et nD est donc continu au passage d’un milieu à l’autre. D’autre part, au passage entre

un conducteur et un diélectrique, en régime statique, 0=D à l’intérieur du conducteur, et snD ρ=

dans le diélectrique, sρ étant la densité de charge libre à la surface du conducteur [03].

1θ

2θ 1

2

1Dρ

2Dρ

2nD

1nD

S

Figure I-2-Cylindre de Gauss à l’interface entre deux milieux différents 1 et 2.


- 16 -

3- Composante tangentielle du champ électrique :

Considérons le chemin indiqué sur la figure (1-3-), dont deux cotés de longueur L sont

parallèles à la surface de séparation et aussi proches d’elle que l’on veut. Les deux autres cotés sont

infinitésimales.

Si le circuit est assez petit, tE ne varie pas de façon importante d’un point à l’autre, et la

circulation de Eρ

vaut LELE tt .. 21 − . Or, d’après le théorème de Stokes, cette circulation est égale au

flux du Etorρρ

à travers la surface s’appuyant sur la courbe. Cette surface est considérée nulle d’après sa

définition. Ainsi, même si Etorρρ

n’est pas nul, son flux est nul et

0.. 21 =− LELE tt Où 21 tt EE = (1.40)

La composante tangentielle de Eρ

est donc continue au passage d’un milieu à l’autre.

Quand il s’agit de la séparation entre un diélectrique et un conducteur, tE est nul dans les deux

milieux puisque Eρ

est nul à l’intérieur du conducteur. Pour les champs statiques, Eρ

est donc normal à

la surface du conducteur [03].

1

2

1Eρ

2Eρ

1tE

2tE

FigureI-3-Circuit fermé traversant l’interface entre deux milieux différentes 1 et 2.


- 17 -

I-3-2- Conditions magnétiques d’interface :

Examinons les conditions de continuité auxquelles doivent satisfaire Bρ

et Hρ

à l’interface entre

deux milieux.

1-Composante normale d’induction magnétique :

Nous procédons comme dans la section précédente, la figure (I-4-) représente un volume

cylindrique plat dont les faces supérieure et inférieure sont parallèles et infiniment proches de

l’interface et soumises à un champ magnétique.

Puisqu’il y a un flux à travers la surface cylindrique, le flux à travers la face supérieure doit être

égal à celui à travers la face inférieure, et 21 nn BB = . La composante normale de Bρ

est donc continue

à la traversée de l’interface [03].

2-Composante tangentielle du champ magnétique :

Considérant maintenant la figure (I-5-). Le circuit fermé a deux cotés parallèles à l’interface et

proches de celle-ci. D’après le théorème d’Ampère : ∫ = IldHρρ

. .Où I est le courant de

conduction entouré par le circuit fermé.

1θ

2θ

1

2

1Bρ

2Bρ

2nB

1nB

S

FigureI-4- Surface de Gauss à l’interface entre deux milieux.


- 18 -

Si les deux cotés parallèles à l’interface sont infiniment proches de celle-ci, I est égal à zéro

puisqu’il n’y a pas vrais courants de surface, sauf dans les supraconducteurs. Donc :

21 tt HH = (1.41)

Et la composante tangentielle de Hρ

est continue à la traversée de l’interface [03].

I-4- Energie électromagnétique [03,04]

I-4-1- Expression locale d’un bilan énergétique :

Considérons un volume fini arbitraire τ de l’espace limité par une surface fermée S et

supposons que l’on puisse définir en chaque point une densité d’énergie u liée au champ

électromagnétique.

1

2

1Hρ

2Hρ

1tH

2tH

FigureI-5- Circuit fermé traversant l’interface.

τ

τd

FigureI-6-Bilan local d’énergie


- 19 -

Dans ces conditions, l’énergie U contenue dans τ est : ∫∫∫=)( v

udU τ .Cette énergie peut

varier dans le temps pour deux raisons :

1-soit parce que le champ électromagnétique fournit un certain travail 1W∂ sur des charges se

trouvant à l’intérieur de S ;

2- soit parce qu’il existe un certain débit d’énergie 2W∂ à travers la surface S .

Par analogie avec l’électrocinétique, nous allons supposer que ce débit en énergie peut se mettre sous

la forme :

∫∫ ∫∫∫==∂S

dRdivSdRdt

Wτ

τρρρ

.2 (I.42)

Où Rρ

est un vecteur que nous devrons pouvoir exprimer à l’aide des champs Eρ

et Bρ

.

La surface Sétant fixe,

∫∫∫

∂∂=

vd

t

u

dt

dU τ (I.43)

Le bilan d’énergie pour le volume τ s’écrit donc :

∫∫∫ ∫∫∫−∂

−=

∂∂

vdRdiv

dt

Wd

t

uτ

ττ .1ρ

(I.44)

Le « mécanisme » par lequel le champ électromagnétique cède de l’énergie à des charges est bien

connu : cet échange d’énergie se fait par l’intermédiaire de la force de Lorenz :

).( BvEqF D

ρρρρ∧+=

La force de Lorenz s’exerçant sur un élément de volume τd est :

τρ dBJEFd t ).(ρρρρ

∧+= (I.45)

Comme nous cherchons à exprimer le travail de cette force, il suffit de considérer les charges

en mouvement : par conséquent. ρ est ici la densité volumique relative aux porteurs de charges. Liée

a tJρ

par Dt vJρρ

.ρ= . Pendant le laps de temps dt le travail de Fdρ

est :

τρτρδ dtdEvddtvBvEdtvFdW DDDD

ρρρρρρρρ....).(..1

2 =∧+==

Soit :

τδ ddtEJW t ....12

ρρ=

Pour tout le volume τ nous écrivons :


- 20 -

∫∫∫=

∂v t dEJ

dt

W τ..1ρρ

(I.46)

En reportant dans l’expression du bilan d’énergie, nous obtenons :

∫∫∫ =

++∂∂

ττ 0. dRdivEJ

t

ut

ρρρ

(I.47)

Cette expression étant nulle quel que soit le volumeτ , l’intégrant est identiquement nul :

0. =++∂∂

RdivEJt

ut

ρρρ

(I.48)

Cette relation représente donc le bilan local en énergie [04].

I-4-2- Energie du champ électromagnétique

Nous pouvons éliminer ρ entre l’équation de Maxwell-Gauss (I-17) et l’équation de la

continuité (I-18) :

Equation de Maxwell-Gauss : ρ=Ddivρ

Equation de la continuité : 0=∂∂+

tJdiv t

ρρ

Pour obtenir l’équation :

0=

∂∂+

t

EJdiv t

ρρε (I.49)

t

EJt ∂

∂+ρρ

ε : est un champ de rotationnel ; afin d’obtenir dans le cas statique (ou 0=∂∂

t

Eρ

) un

résultat conforme au théorème d’Ampère, nous poserons :

∂∂+=

t

EJBtor t

ρρρρ εµ (I.50)

Cette équation porte le nom d’équation de Maxwell-Ampère.

Une voie se présente tout de suite à l’esprit pour relier l’expression obtenue précédemment.

Ecrivons cote à cote les équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell Faraday qui représentent une

certaine analogie formelle :


- 21 -

t

EJBtor t ∂

∂+=ρρρρ εµµ

t

BEtor

∂∂−=

ρρρ

En calculant les produits scalaires de ces champs avec, la première parµEρ

et la seconde par

µBρ

et retranchons membre à membre les expressions obtenues ; nous obtenons :

( )t

BE

EJEroBBtorE

t ∂

+∂

+=− µε

µ22

...

22

ρρρρρρρ (I.51)

Or, de façon générale:

BrotAAtroBBAdivρρρρρρρ

..)( −=∧ Nous écrivons donc :

0.22

22

=∧++∂

+∂

µµ

εBE

divEJt

BE

t

ρρ (I.52)

Par identification nous obtenons les expressions de la densité volumique d’énergie

électromagnétique uet de vecteurRρ

, dont le flux représente le débit en énergie, appelé vecteur de

Poynting:

µε

22

22 BEu += (I.53)

( )µ

BER

ρρρ ∧= (I.54)

La densité volumique d’énergie u se présente sous forme de la somme de deux termes: si dans

chacun de ces termes nous reconnaissons les densités d’énergie introduites en électrostatique et en

magnétostatique, dans le cas générale, cette somme est indissociable.

Cette expression de u est fondamentale car elle montre que l’énergie électromagnétique est

localisée dans les régions de l’espace où règne un champ. Ceci justifie les choix que nous avons faits

en électrostatique et en magnétostatique pour les expressions des densités d’énergie [03,04].


- 22 -

I-4-3- Vecteur de Poynting :

Le vecteurµ

BER

ρρρ ∧= est, par définition, le vecteur de Poynting et son flux à travers une

surface fermée représente le débit en énergie du champ électromagnétique à travers cette surface; cette

relation est connue sous le nom de théorème de Poynting et se traduit par la relation :

∫∫∫∫

∧==∂

SSSd

BESdR

dt

W ρρρρρ..2

µ (I.55)

Nous devons remarquer ici que le vecteur de Poynting n’est pas défini de façon unique par le calcul

que nous venons d’effectuer ; nous aurons pu, en effet , y ajouter un champ ( formé à partir de Eρ

et

Bρ

) à divergence identiquement nulle sans modifier l’expression du bilan local d’énergie.

L’expression de Rρ

que nous avons adoptée est la plus simple.

Signalons enfin que le théorème de Poynting est valable dans tous les domaines de

l’électromagnétisme et non pas seulement dans le domaine des ondes électromagnétiques [03,04].


- 23 -

Conclusion

Dans ce chapitre, on a présenté les éléments de base qui sont destinés à décrire le phénomène

étudié dans ce travail. Les lois fondamentales de l’électromagnétisme, ainsi que le comportement des

matériaux électriques et magnétiques ont été étudiés. La connaissance de ces données nous a permis le

développement de l’expression de l’énergie électromagnétique qui est la cause du chauffage par

induction présenté dans ce mémoire.


- 24 -

Introduction

Le phénomène de chauffage par induction fut découvert par le physicien anglais Mickael

Faraday en 1831. C’est dans les années 1900 que l’on commence à utiliser l’induction comme procédé

de chauffage de pièces en métal, mais il est très limité à cause des faibles puissances disponibles.

En 1922, l’avènement des générateurs dynamiques le rend plus efficace et des études

scientifiques sur le chauffage par induction montrent que l’on peut chauffer différentes parties d’une

pièce sans chauffer les autres en jouant sur la fréquence, la puissance ainsi que les paramètres

matériaux tels que la résistivité électrique et la perméabilité magnétique relative.

L'induction électromagnétique a pour particularité de générer la chaleur directement à

l'intérieur du matériau à chauffer. Cette particularité présente de nombreux atouts par rapport aux

méthodes de chauffe plus standard, notamment la réduction des temps de chauffe et des rendements

élevés, ou encore la possibilité de chauffer de façon très locale.

Les hautes densités de puissance mises en jeu permettent d'obtenir des vitesses de chauffe très

rapides :

- Il permet des transferts de chaleur à grande puissance et cela à l'intérieur même des pièces à

chauffer ;

- L'effet thermique peut être concentré à l'endroit voulu sans chauffer les autres parties de la

pièce traitée ;

- Le temps de chauffage est très court par rapport aux autres procèdes de chauffage.


- 25 -

II-1 Présentation générale des procédés de chauffage par induction

II-1-1- Présentation de l'électrothermie [14]

L'électrothermie consiste à utiliser l'énergie électrique pour produire la chaleur, il existe

plusieurs techniques utilisant l'électricité pour produire la chaleur, On distingue :

1-Des techniques basées sur l'effet Joule (par conduction, par induction, par arc électrique…) :

le chauffage par conduction de la pièce peut se produire par conduction directe ou indirecte; dans un

chauffage par induction, une pièce conductrice est soumise à un champ électromagnétique variable

avec le temps. Cette pièce est le siège de courants induits qui chauffent celle-ci par effet Joule.

Le chauffage par arc électrique trouve son origine dans le passage du courant entre deux électrodes

plongées dans un milieu ionisé. Lorsque ce milieu ionisé est un gaz autre que l'air celui-ci est nommé

plasma. On distingue les fours à arc direct et les fours à arc indirect.

2- Des techniques basées sur le rayonnement : une source (Laser) émet un rayonnement

électromagnétique. Le faisceau émis présente deux propriétés importantes : une très faible ouverture et

un rayonnement presque monochromatique; ces deux propriétés lui confèrent une densité de puissance

très importante.

3-Des Techniques liées aux frottements : sous l'effet d'un champ électrique, les molécules d'un

matériau sont polarisées et se déforment. Les changements de direction du champ électrique mettent en

mouvement les molécules, qui en se frottant les unes contre les autres, s'échauffent.

La figure II-1 présenté les différentes techniques utilisant l'électricité pour produire la chaleur

Chauffage par induction

Chauffage par rayonnement

FigureII-1-Techniques de production de la chaleur par l’électricité


- 26 -

II-1-2- Le principe du chauffage par induction

Le chauffage par induction est une application directe de deux lois physiques, la loi de Lenz et

l'effet Joule. Tout matériau conducteur de l'électricité plongé dans un champ magnétique variable (créé

par une bobine inductrice ou inducteur) est le siège de courants électriques induits ou courant de

Foucault. Ces courants dissipent de la chaleur par effet Joule dans le matériau où ils ont pris naissance.

En effet, un milieu conducteur, en l’occurrence un inducteur, parcouru par un courant variable

dans le temps, génère un champ électromagnétique dans l’espace environnant. Ce champ

électromagnétique pénètre dans la pièce à partir de la surface sur une profondeur plus ou moins

importante suivant la fréquence du champ électromagnétique et les propriétés du matériau considéré.

Si maintenant un courant alternatif alimente notre inducteur, le champ électromagnétique va

osciller exactement ou sensiblement à la même fréquence que le courant imposé suivant que le

matériau constitutif de la pièce est magnétique, amagnétique ou diamagnétique. Ces oscillations

rapides du champ électromagnétique induisent des courants de Foucault dans la pièce.

La direction et le sens de déplacement des courants obéissent à la loi de Lenz qui stipule que

«les courants induits s’opposent à la cause qui leur a donné naissance». Ainsi les courants induits dans

la pièce vont circuler dans la même direction mais dans le sens opposé au courant imposé dans

l’inducteur. La région parcourue par les courants est une zone de dissipation de chaleur par effet Joule.

Enfin la chaleur se propage vers le centre de la pièce par diffusion thermique, (voire figure II-2) [15].

Figure II-2-Principe du chauffage par induction


- 27 -

La zone de production de la chaleur est concentrée dans une fine couche sous la surface de la

pièce. En effet, la densité des courants induits décroît de manière exponentielle vers le centre de la

pièce avec la distance à la surface : c’est l’effet de peau.

On distingue deux types de chauffage par induction l’une direct lorsque les courant de Foucault

se développent directement dans la pièce à chauffer, en provoquant son échauffement par effet joule, et

l’autre indirect où les courants sont induits dans un élément en contact thermique avec la charge [15].

II-1-3-Les applications industrielles

Le procédé de chauffage par induction est de plus en plus utilisé et ceci de manière croissante

dans les milieux industriels pour la préchauffe de pièces avant mise en forme à chaud (forgeage,

matriçage, laminage, brasage), pour les traitements thermiques (trempe) ou encore pour des opérations

de soudure entre pièces métalliques. Les traitements de surface recouvrent des opérations très diverses:

- dégraissage, décapage, séchage,

- galvanisation et étamage,

- cuisson de vernis et peintures, plastification.

Dans le cas de l'utilisation du chauffage par induction, le transfert thermique du revêtement

s'opère du support vers l'extérieur, ce qui est favorable aux opérations de séchage et de cuisson

(évacuation des solvants et vapeurs). Ce mode de chauffage permet donc d'obtenir :

- une meilleure adhérence,

- un meilleur aspect de surface,

- une bonne reproductibilité, critère important pour le séchage des peintures colorées,

- une grande souplesse d'utilisation par le choix des températures de traitement,

- enfin, une ligne de production plus compacte et susceptible de fonctionner de façon

discontinue, en l'absence de toute inertie thermique.

Les applications dans ce domaine sont très vastes. Par exemple, on peut citer :

- la polymérisation de vernis intérieur sur tubes aérosols,

- la cuisson de joints d'étanchéité,

- la polymérisation de vernis sur fils et méplats de cuivre,

- le revêtement,

- la ligne de galvanisation,

- le recuit.

Un autre type d’application qui tend à se développer récemment au sein des industries

verrières, chimiques, céramiques, environnementales et chez les réfractoristes est la fusion de verre et

d’oxydes par induction en autocreuset. En effet, la résistivité électrique des oxydes (1 à 10 Ω.cm à

Cο1500 ) due à une conduction ionique est compatible avec la fusion par induction. Leur faible


- 28 -

conduction thermique aux basses températures et une résistivité décroissante avec la température

permet d’utiliser la technique de l’induction directe en autocreuset avec une profondeur de peau égale

au rayon de la charge. Cet autocreuset, constitué du même matériau solide que l’on cherche à fondre,

se forme grâce au refroidissement optimal de l’inducteur (mono-spire) et permet d’atteindre des

températures supérieures à Cο2500 sans contact du bain avec l’inducteur (pas de pollution du

produit). Les applications sont les suivantes :

- Fusion de cristal,

- Fusion de verres spéciaux ou techniques,

- Fusion d’oxydes réfractaires,

- Elaboration de phosphates,

- Vitrification de déchets [15].

En ce qui concerne la fusion, on distingue généralement deux types de fours de fusion par

induction : les fours à creuset et les fours à canal.

Dans le cas d'un four à creuset la surface intérieure du creuset est constituée d’un revêtement

réfractaire (brasque), qui contient le matériau à porter à la fusion et est entouré par la bobine inductrice

(figure II-3-).

creuset

tôles

bobine d’induction

Bague de béton inférieur

bague de béton séperieur

Figure II-3- Four à creuset

axe de rotation


- 29 -

Les fours à creuset sont utilisés dans des applications à 50Hz mais aussi à moyennes

fréquences. Les gammes de puissance, jusqu’à 10MW pour des applications standards, et jusqu’à

1200kW/ton pour des applications spécifiques, sont très élevées, et permettent de réduire

considérablement les temps de fusion.

Les fours à creuset basse fréquence (50Hz) sont dédiés aux applications de taille importante (en

termes de puissance et de capacité). Les applications à fréquences moyennes sont de taille plus

modeste, mais offrent de plus grandes flexibilités de production et sont plus compactes.

Dans le cas d'un four à canal, le réservoir est en communication avec un canal dont les deux

extrémités débouchent dans le réservoir. La bobine d'induction est entourée par le canal de

communication. Du point de vue électrique, ceci est équivalent à un transformateur avec circuit

magnétique fermé, dont le canal constituerait le secondaire (figure II-4-).

Le métal s'échauffe dans le canal par effet Joule, sous l'action des courants induits. La

circulation du métal dans le canal s'effectue par effet de thermosiphon et par effet électromagnétique.

Cette migration du métal entre le canal et le creuset crée un léger brassage (beaucoup plus faible que

dans le cas des fours à creuset). Pour mettre en fonctionnement le four à canal, on doit d'abord remplir

le four avec du métal puis mettre les inducteurs sous tension [01, 14,16].

réfractaire

inducteur

canal

Figure II-4- Four à canal


- 30 -

II-1-4- Intérêt et limitation du chauffage par induction

Quelle que soit la nature des applications industrielles, le chauffage par induction présente un

certain nombre d'avantages intrinsèques qui expliquent son développement croissant :

- rapidité de chauffage liée à la possibilité d'obtenir des densités de puissance très élevées,

- localisation précise de l'effet thermique grâce à une conception d'inducteur et une fréquence

de fonctionnement adaptée à la pièce à chauffer,

- possibilité de chauffer à des températures très élevées avec un rendement pratiquement

indépendant de la température.

Ce procédé répondant parfaitement aux exigences industrielles de la moyenne et grande série :

- facilité d'automatisation des équipements,

- absence d'inertie thermique (démarrage rapide),

- bonne reproductibilité des opérations effectuées,

- rendement de chauffage souvent très élevé,

- absence de pollution par la source de chaleur (source froide),

- bonnes conditions de travail [16].

II-2- Installation de chauffage par induction

II-2-1- Equipement de chauffage par induction

Une unité de chauffage par induction peut être représenté par le schéma ci-dessous :

Un équipement de chauffage par induction comprend généralement:

Transformateur Convertisseur

d’adaptation statique si Hzf 50⟩

Inducteur Charge Réseau

Figure II-5- Installation de chauffage par induction

Condensateur de

compensation


- 31 -

- un ou plusieurs inducteurs de chauffage,

- une source à basse ou moyenne fréquence associant un convertisseur de fréquence (générateur

ou onduleur) à un coffret d'adaptation d'impédance et de compensation par batterie de condensateurs,

- un système de refroidissement par eau de la source de puissance, du coffret d'adaptation et

éventuellement de l'inducteur,

- un système de présentation ou de manutention des pièces à chauffer,

- un ensemble de commande-contrôle de l'installation. [11,17].

II-2-2- Les paramètres de réglage [16,17]

Selon l’application voulue, on dispose dans le procédé de chauffage par induction certains

paramètres accessibles à l’utilisateur et qu’on appelle paramètres de réglage.

1-La fréquence :

La fréquence joue un rôle primordial d’autant plus que c’est un paramètre à la disposition de

l’utilisateur. En effet, grâce à cette fréquence, on pourra agir sur l’épaisseur de peau qui dépend

essentiellement du traitement que doit subir la pièce.

On peut ainsi, en choisissant bien la valeur de la fréquence entre 50Hz et 10MHz, faire varier la

profondeur de pénétration, pour un matériau et une application données.

On comprend donc que le choix de la fréquence est essentiel avant toute opération de chauffage

inductif.

2-Amplitudes des courants inducteurs:

Comme la puissance transmise dépend de la fréquence, elle dépend aussi du carré du champ

magnétique c'est-à-dire du carré de l’intensité créant ce champ. Donc, suivant l’application thermique

voulue on choisit l’intensité des courant inducteurs.

3- Temps d’exposition:

Le temps d’échauffement est un facteur très essentiel dans le chauffage par induction, on peut l’évaluer

selon le type d’application, comme il peut dépendre du matériau considéré et de la fréquence utilisée.


- 32 -

II-2-3-Ordres de grandeur des paramètres caractérisant les chauffages par induction

[16,17]

1-Ordres de fréquence :

Il est habituel de distinguer les plages de fréquences suivantes :

Basse fréquence : de 50Hz à 1000Hz

Moyenne fréquence : de 1000Hz à 35000Hz

Haute fréquence : de 35000Hz à 10MHz

2-Ordres de puissance :

Les puissances mises en jeu dépendent de types d’applications et de fréquences utilisées. On les

caractérise par la puissance injectée dans la pièce à chauffer. Elles peuvent aller de 10² KW/m² à

510 KW/m².

3- Classification des applications :

On peut résumer ces valeurs selon la classification suivante:

-Chauffage pénétrant:

Fréquence : de 1 à 50KHz pour les métaux, et de 0.1 à 4 MHz pour les semi-conducteur.

Puissance : 10²<Ps<310 KW/m².

Exemple d’application : forgeage fusion.

-Chauffage superficiel :

Fréquence : de 10 à 50KHz pour les métaux.

Puissance : 310 <Ps<5. 510 KW/m².

Exemple d’application : trempe superficielle, brasage.

-Chauffage pelliculaire :

Fréquence : de 10 à 100KHz pour les métaux.

Puissance : Ps< 610 KW/m².

Exemple d’application : soudages de tubes thermoscellage.


- 33 -

II-2-4-Convertisseurs de fréquence [01] :

L'alimentation électrique peut être de différente nature selon la fréquence d'alimentation de

l'installation.

1-Pour les installations à 50Hz:

La charge est directement connectée au transformateur. Le transformateur peut être réglé pour

ajuster le courant à l'impédance de la charge.

2-Convertisseur de fréquence à thyristors :

-Rendement : 90-97%

- Plage de fréquence : 100Hz-10kHz

- Plage de puissance : jusqu'à 10MW

3-Convertisseur de fréquence à transistors :

- Rendement : 75-90%

- Plage de fréquence : jusqu'à 500kHz

- Plage de puissance : jusqu'à 500kW

4-Convertisseur de fréquence à lampe à vide :

- Rendement : 55-70%

- Plage de fréquence : jusqu'à 3000kHz

- Plage de puissance : jusqu'à 1200kW


- 34 -

II-3- Caractéristiques électriques du chauffage par induction

Pour les applications industrielles, deux grandeurs caractérisent l'efficacité thermique et

énergétique de l'induction:

- l'effet de peau, qui caractérise la répartition des courants induits dans la pièce.

- la puissance dissipée dans la pièce qui caractérise le phénomène électrique.

De nombreux paramètres interviennent:

- la fréquence du courant et le champ inducteur;

- la nature magnétique et thermique du matériau;

- le couplage entre l'inducteur et la pièce à chauffer (entrefer, longueurs respectives…);

- le type d'inducteur et les caractéristiques géométriques ainsi que nature des conducteurs [20].

II-3-1- Type d'inducteur:

Pour la plupart des applications, l'inducteur est un tube en cuivre creux se présentant comme un

enroulement venant couvrir l'objet à chauffer. Toutefois, l'inducteur peut être placé de différentes

façons selon l'application. L'inducteur est le plus souvent en cuivre, afin de limiter les pertes

électriques, il est refroidi par eau, dans la plupart des cas [21].

Les géométries d’inducteurs peuvent être très variées, allant de la simple spire à des inducteurs

multi-spires de formes complexes (voir figure II-6-) [15]

Figure II-6- chauffages par induction avec des inducteurs de formes différentes [21].


- 35 -

II-3-2- Pénétration électrique :

C'est la notion fondamentale qui régit le phénomène de l'induction. Plus la fréquence

d'alimentation f augmente, plus les courants induits se concentrent en surface.

On parle de l'effet de peau. La répartition exacte de la densité de courant dans la pièce dépend

des caractéristiques physiques du matériau à chauffer, de sa forme, de la forme et de la position de

l'inducteur, de l’amplitude et de la fréquence du courant dans l'inducteur. On montre facilement sur un

exemple très simple (un cylindre de rayon infini) que cette densité de courant dans la pièce décroît

exponentiellement comme il est montré dans la figure (II-7-). La profondeur de pénétration δ est

définie par le point où la densité de courant iJ a atteint 37 % (soite

1) de sa valeur maximale0J [07].

Dans cet exemple, la répartition de la densité de courant est donnée par:

( )

−= δ

x

i eJxJ 0 (II-1)

( ) 001

0 37.0 Je

JeJJ i === −δ (II-2)

frσµπµδ

0

1= (II-3)

0.37.0 J

Densité de courant iJ

Surface 0 δ vers le centre de la pièce

Figure II-7- Répartition de la densité de courant induit dans la pièce

( ) δx

eJxJ−

= 0


- 36 -

=

0

1

FK

0F

Avec :

0J : Valeur maximale de la densité de courant,

x : Distance de la surface,

σ : Conductivité électrique,

δ : Profondeur de pénétration,

0µ : Perméabilité magnétique du vide,

rµ : Perméabilité magnétique relative,

f : Fréquence du courant d'excitation.

II-3-3- Pénétration thermique:

La puissance électromagnétique introduite dans le matériau diffuse dans le corps par

conduction thermique. La diffusion est définie à partir de la diffusivité thermique :

PC

ka

ρ= (II-4)

aest exprimé en m²/s. ρ ,k et PC sont respectivement la masse volumique,la conductivité thermique

et la chaleur massique spécifique du matériau à chauffer.

Pour les métaux habituellement utilisés en chauffage par induction cette diffusivité est de

l’ordre de sm /10 25− .

La distance affectée thermiquement ∆ peut être estimée par la formule suivante :

taK ..=∆ (II-5)

Avec :

est généralement compris entre 3 et 4,

∆ : Profondeur de pénétration thermique (m),

: Le nombre de Fourier,

a : Diffusivité thermique (m²/s),

t : Le temps d’échauffement.

L’augmentation du temps, induit l’augmentation de la profondeur de pénétration thermique

ainsi que le volume à chauffer [17].

∆

δ

B

Sources thermiques

Figure II-8- la pénétration thermique


- 37 -

II-3-4- Puissance dissipée dans la pièce:

En parallèle à la profondeur de pénétration, il est bon de s’intéresser à la puissance injectée

dans la pièce.

En utilisant la loi d’Ohm

EJ i

ρρ.σ= (II-6)

Cette dissipation volumique par courant de Foucault s’écrit :

σi

i

JEJP

2

. ==ρρ

(II-7)

Avec :

σρ 1= : est la résistivité électrique,

iJ : Densité des courants induits.

Ces formules montrent que la puissance augmente avec l’augmentation de la résistivité. Elle

dépend du carré du courant induit, donc de l’intensité créant ce courant [11,17,20].

II-3-5- Rendement (inducteur - charge) :

Le rendement électrique est défini comme suit:

ic

ce PP

P

+=η (II-8)

cP : Puissance transmise à la charge.

iP : Puissance dissipée dans l’inducteur.

Le rendement dépend fortement du ratio diamètre/profondeur de pénétration (dans le cas de

charge cylindrique) et de la conception de l’inducteur.

Les règles de base à respecter pour un meilleur rendement sont :

- Pour l’inducteur, utiliser un matériau de faible résistance, en règle général du cuivre

électrolytique.

- Minimiser la distance entre les enroulements.

- Etablir une bonne connexion entre l’inducteur et la charge (limitation de l’entrefer, et la taille

de l’inducteur suffisamment longue) [01].


- 38 -

II-3-6-Facteur de puissance :

L’ensemble constitué de l’inducteur et de la charge est assimilable à une charge globalement inductive

gourmande en énergie réactive. Ce caractère inductif est dû, d’une part à l’entrefer (entre l’inducteur et

la charge) et d’autre part, au comportement inductif de la charge elle-même (dans le cas d’un cylindre).

Le facteur de puissance de l’inducteur et de la charge se situe entre 0,05 et 0,6. Dans tous les cas, un

relèvement du facteur de puissance par condensateurs est requis [01].

II-3-7- Résistivité électrique : La profondeur de pénétration est proportionnelle à la racine carrée de la résistivité de l'induit.

Celle-ci, pour les métaux, croît généralement avec la température [20].

La figure II-9- représente l’évolution de la résistivité en fonction de la température pour l’or [57]:

Figure II-9- Evolution de la résistivité en fonction de la température pour l’or

II-3-8- Nature magnétique du matériau :

La profondeur de pénétration est inversement proportionnelle à la racine carrée de la

perméabilité magnétique relativerµ . Pour les matériaux magnétiques (rµ > l), la profondeur de

pénétration est réduite. Pour un matériau donné, ce sont les grandeurs qui varient avec la température

et avec le champ magnétique [20].


- 39 -

II-4- Transmission de la chaleur et échauffement des corps

II-4-1- Loi de Fourier :

Le champ thermique, généré dans le corps à chauffer, est déterminé par les sources thermiques

crées par des courants de Foucault et la diffusion de la chaleur. Cette diffusion dépend de la

transmission de la chaleur et des processus de stockage.

La loi de Fourier traduit les phénomènes thermiques, en chaque point d'un corps, entre le flux

de chaleur et le gradient de température:

( ) ( ) ( )txTdgratxktxq ,,,ρρ ×−= (II-9)

La direction de l'écoulement de la chaleur coïncide avec celle du gradient de température.

Le flux de chaleur par unité de surface est proportionnel à ce gradient de température. Le signe

(-) caractérise le fait que l'écoulement de chaleur s'effectue dans le sens des températures

décroissantes, donc dans le sens opposé au gradient, c'est-à-dire du plus chaud vers le plus froid.

L'application de la loi de Fourier à un élément de matière d’élément de volume τd détermine les

qualités de chaleur transmises par conduction à travers les corps [16,17].

Il existe trois modes de transfert de la chaleur: la conduction, le rayonnement; et la convection.

II-4-2- Conduction:

La conduction thermique est la propagation de la chaleur de molécule à molécule, dans un

corps solide, sans intervention d'un mouvement. La conductivité thermique dépend non seulement du

matériau, mais aussi de la température. Sa valeur est déterminée souvent par les mesures [16,17].

On présente sur la figure II-11- l'évolution de la conductivité thermique en fonction de la

température pour le cuivre [56]:

dTagrρ

ds

τd

nρ

qρ

Figure II-10- Volume élémentaire de Fourier


- 40 -

Figure II-11- Conductivité thermique pour le cuivre

II-4-3- Rayonnement:

Le rayonnement correspond à une absorption ou à une émission de radiations

électromagnétiques.

Dans la transmission de la chaleur par rayonnement, le transfert thermique de l’énergie

s’effectue par des vibrations électromagnétiques qui se propagent sans support de matière [16, 17,20].

II-4-4- Convection :

La convection thermique caractérise la propagation de la chaleur dans un fluide, donc gaz ou

liquide, dont les molécules sont en mouvement. On distingue généralement deux types de convection:

convection naturelle et convection forcée.

La convection naturelle apparaît spontanément dans un fluide. Les particules de fluide en

contact avec un corps chaud deviennent plus légères et montent en cédant leur place à d’autres

particules qui ne sont pas encore chaudes ou qui se sont refroidies. Ces dernières à leur tour

s'échauffent, montent et ainsi de suite.


- 41 -

La convection forcée est crée par circulation forcée du milieu réfrigérant, par exemple par le

soufflage d'air d'un ventilateur sur la surface à refroidir. Ainsi une pièce qui est traitée

superficiellement et qui se déplace est touchée par un courant d'air à cause de sa vitesse de

déplacement [16, 17,20].

II-4-5- Capacité calorifique :

La chaleur massique pC est déterminée par la quantité d'énergie à apporter par échange

thermique pour élever d'un kelvin la température de l'unité de masse d'une substance. L'index p indique

que la pression reste constante pendant cet échauffement. La capacité calorifique est le produit entre la

chaleur massiquepC et la masse volumiqueρ . La masse volumique dépend aussi de la température

[20].

On présente dans la figure ci-dessous l'évolution de la chaleur massique en fonction de la

température pour le cuivre [56]:

Figure II-12- Chaleur massique pour le cuivre


- 42 -

Conclusion

Dans ce deuxième chapitre, nous sommes concentrés sur le principe fondamental du chauffage

par induction puis fait le point sur le chauffage par induction avec ses diverses applications

industrielles, les propriétés ainsi que leurs caractéristiques électriques, la transmission de la chaleur et

l’échauffement des corps avec les trois modes de transfert.

Les modèles mathématique régissant les phénomènes physiques concernant le fonctionnement

du procède de chauffage par induction seront présentés dans le chapitre suivant.


- 43 -

Introduction

Les équations aux dérivées partielles qui décrivent de tels phénomènes (électromagnétique,

thermique,…) s’obtiennent à partir d’équations fondamentales de la physique et des propriétés des

matériaux qui composent les systèmes étudiés.

Dans le cas de l’électromagnétisme, ce sont les équations de Maxwell, les relations du milieu

considéré et les caractéristiques électrique et magnétique des matériaux.

Dans le cas de la thermique, ce sont les lois de la thermodynamique et les propriétés thermiques

des matériaux.

Pour la résolution des problèmes électromagnétiques et thermiques, il existe plusieurs

méthodes: la méthode des élément finis, la méthode des différences finies, la méthode des volumes

finis…

La modélisation numérique des procédés de chauffage par induction nécessite au minimum un

couplage multi-physique entre un solveur électromagnétique et thermique en adoptant l’un des trois

principaux modes de résolution des problèmes couplés: le couplage alterné, le couplage direct et le

couplage paramétré.


- 44 -

III-1- Equations mathématiques

III-1-1- Hypothèses et équations à résoudre [11, 17]:

Les équations de Maxwell décrivent globalement tous les phénomènes électromagnétiques et

leurs résolutions ne sont possibles que dans le cas de dispositifs simples.

Dans les dispositifs que l’on étudie, certains phénomènes deviennent négligeables, les

équations se découplent, en donnant naissance à des modèles plus simples.

La plupart des travaux accomplis dans le domaine de calcul des champs et des courants induits

dans les systèmes électromagnétiques sont fondés sur les hypothèses suivantes :

1-Ces travaux sont limités à l’approximation des régimes lentement variables et en

conséquence le courant de déplacement est négligeable :

0ρρ

=∂∂

t

D (III.1)

2- La densité volumique de charge est considérée comme nulle :

0=ρ (III.2)

Ce qui est le cas dans presque tous les dispositifs à induction.

3- Les courants d’alimentations sont souvent supposés produits par un générateur de courant

parfait et sa valeur doit être connue, comme l’indique l’équation suivante :

( ) eDt JBvEJ

ρρρρρ+∧+= σ (III.3)

En outre, dans cette étude nous nous intéressons, en particulier aux systèmes

électromagnétiques sans mouvement:

0=Dv (III.4)

Donc :

( ) 0=∧ BvD

ρρσ (III.5)


- 45 -

4- Dans le cas où il n’y a pas d’aimant permanant l’induction magnétique rémanente, peut être

considérée comme nulle :

0=rB (III.6)

Avec ces hypothèses, les équations de Maxwell et les relations constitutives du milieu ainsi les

conditions de continuité seront résumées comme suit :

III-1-2-Equations de Maxwell [11, 17]

1- tJHtorρρρ = (III.7)

2-t

BEtor

∂∂−=

ρρρ (III.8)

3- 0=Bdivρ

(III.9)

4- 0=Ddivρ

(III.10)

Dans le cadre de notre étude, le phénomène électromagnétique s’applique à un problème

harmonique (excitation sinusoïdale) d’amplitude constante. Dons le cas du régime harmonique

l’équation (III.7) sera :

BjEtorρρρ ϖ−= (III.11)

III-1-3-Relations constitutives du milieu [11, 17]

1- EDϖρ

ε= (III.12)

2- HBϖρ

µ= (III.13)

3- et JEJ

ρρρ+= σ (III.14)

De plus l’équation (III.7) permet d’écrire :

0=tJdivρ

(III.15)


- 46 -

III-1-4- conditions de continuité [11, 17]

Lors du passage d'un milieu repéré 1 vers un milieu repéré 2, les grandeurs électromagnétiques

subissent des discontinuités et ne sont donc plus mathématiquement différentiables. Les équations qui

les relient s'écrivent alors:

( ) snDD ρ=− ρρρ.21 (III.16)

( ) 0.21 =− nBBρρρ

(III.17)

( ) 021 =×− nEEρρρ

(III.18)

( ) sJnHH =×− ρρρ21 (III.19)

Avec :

sρ : La densité surfacique de charge

sJ : La densité surfacique de courant

nρ

: Le vecteur unitaire normal dirigé vers l'extérieur du milieu 1.

L’équation (III.14) implique la condition de continuité de la composante normale de la densité

du courant de conduction aux interfaces entre deux milieux de conductivités électriques différentes :

( ) 0.21 =− nJJρρρ

(III.20)

III-1-5-Formulation électromagnétique [11, 17,18]:

La formulation des équations de Maxwell en équations simples est nécessaire dans le but de

réduire le nombre d’inconnues et de simplifier la résolution.

Il existe un grand nombre de formulations des équations de Maxwell et, nous nous proposons

de présenter simplement les plus fréquemment utilisées pour l’étude des dispositifs de chauffage par

induction qu’on peut classer en deux groupes.

1- Celles qui utilisent des variables (inconnues) de type potentiel.

2- Celles qui utilisent des variables de type champ.


- 47 -

1- Formulation A-V :

La relation (III.9) implique que Bρ

dérive d’un potentiel vecteur Aρ

tel que :

AtorBρρρ

= (III.21)

En tenant compte de (III.8) et (III.21), le champ électrique peut être exprimé par :

dVagrt

AE

ρρρ

−∂∂−= (III.22)

Où :

V : représente le potentiel scalaire électrique.

D’après l’équation (III.7) et les relations (III.12); (III.13); (III.21); (III.22), on obtient

l’équation :

( ) eJdVagrt

AAtovrtor

ρρρρρρ =

+

∂∂+ σ (III.23)

En terme de A et V, l’équation (III.15) s’écrit :

0=

−

∂∂− dVagr

t

Adiv

ρρ

σ (III.24)

Le système d’équations :

( ) eJdVagrt

AAtovrtor

ρρρρρρ =

+

∂∂+ σ (III.25)

0=

−

∂∂− dVagr

t

Adiv

ρρ

σ (III.26)

Associé aux conditions aux limites, admet une infinité de solutions. En effet, si le couple

( Aρ

,V) est solution, il existe une fonction scalaire quelconquef , tel que le couple ( Aρ

’,V’) défini par :

dfagrAAρρρ

+=′ (III.27)

t

fVV

∂∂−=′ (III.28)

est aussi solution pour ce système.


- 48 -

Pour assurer l’unicité de la solution il est suffisant d’assurer celle du potentiel vecteur

magnétiqueAρ

.

Pour assurer l’unicité deAρ

, il faut imposer une condition supplémentaire, appelée condition de

jauge

-Jauge de Coulomb :

0=Adivρ

(III.29)

-Jauge de Lorenz :

VAdiv µσ−=ρ

(III.30)

La condition la plus utilisée dans les applications statiques ou quasi-statiques est la jauge de

Coulomb, par contre celle de Lorenz est utilisée dans les applications dépendant du temps.

L’équation (III.26) devient :

( ) 0=dVagrdivρσ (III.31)

2- Formulation ∗Aρ

:

Une transformation du couple ( Aρ

,V) en une nouvelle variable appelée potentiel vecteur

modifié permet de réduire le nombre d’inconnues tout en assurant l’unicité de la solution :

∫+=∗ dVdtagrAAρρρ

(III.32)

A partir de cette équation, l’équation (III.25) devient :

( ) eJt

AAtovrtor

ρρρρρ =∂

∂+∗

∗ σ (III.33)

Cette équation est utilisée par les logiciels de simulation pour prédire le comportement de∗Aρ

,

puis de Aρ

et deBρ

.


- 49 -

III-1-6- Equation de la conduction thermique:

Considérant un matériau de masse volumique ρ , de volumeτ limité par un surface S et de

chaleur massique pC , comportant un source interne de chaleur qui libère une puissance Qpar unité de

volume[16].

Le flux eq émis par la source de chaleur est égal au flux sq stocké par le matériau, augmenté de

flux sortant rq , exprimé en orientant la normale rnρ

vers l'extérieur. Le flux généré par la source est

donné par l’intégrale:

∫∫∫=ve Qdq τ (III.34)

Le flux sdq , emmagasiné par un volume élémentaireτd , de masse dmégal à τρd de capacité

τρ dCdmC pp = s’écrit :

τρ dt

TCdq ps ∂

∂= (III.35)

Ainsi, le flux total stocké dans le volume τ est :

∫∫∫ ∂∂= τρ d

t

TCq ps (III.36)

Les pertes correspondent à :

∫∫=s rr dsnqq

ρρ. (III.37)

eq sq rqτd S

rnρ

FigureIII-1-Schéma d’un corps comportant une source interne de chaleur et schéma équivalent du bilan thermique


- 50 -

Le système peut être représenté par le schéma équivalent en surimpression sur la figure III-1- et

le bilan thermique, ser qqq −= , peut être formulé de la façon suivante :

∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ⇒∂∂−=

v ps r dt

TCQddsnq τρτρρ

. La formule de Green

∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⇒∂∂−==

s Pvvr dt

TCdQddivqdsnq τρττ ...

ρρ Il en résulte que :

t

TCQqdiv p ∂

∂−= ρρ (III.38)

D’après la formule (II.9) , on déduit [16,20] :

( )( ) ⇒∂∂−=−

t

TCQgradTTkdiv pρ.

( )( ) 0. =−∂∂+− Q

t

TCgradTTkdiv pρ (III.39)

Avec :

ρ : Masse volumique

pC : La chaleur massique

k : Conductivité thermique

Q : Densité volumique de puissance électrique d’échauffement

FigureIII-2-Bilan énergétique pour le volume

τd en un point M du corps [20].

( )dvdtdTakgrdivρ

z

x

y

Qdvdtdvdt

dt

dTCpρ


- 51 -

III-2 - Modèles mathématiques

Le principe de fonctionnement du chauffage par induction est basé sur le couplage entre les

phénomènes électromagnétiques et thermiques. Il s’agit de déterminer le champ magnétique crée par

l’inducteur dans l’espace environnant, d’en déduire les courants d’induits et la puissance locale

dissipé par effet Joule dans la pièce à chauffer. Le calcul de température est réalisé en utilisant comme

source thermique la puissance dissipée.

La modélisation de la physique du chauffage par induction nécessite une bonne connaissance

des phénomènes électromagnétiques et thermiques, ainsi que, le traitement d’un tel problème fait appel

à ces deux types d’environnement [11, 16,17].

III-2 -1- Modèle magnétique :

1- Modèle magnétodynamique :

Le modèle magnétodynamique (modèle non linéaire exprimé en terme de potentiel vecteur)

s’applique aux dispositifs électromagnétiques dans lesquels les sources de courants ou de tension

varient en fonction du temps.

Rappelons que pour représenter l’état électromagnétique en un point, en tenant compte des

hypothèses simplificatrices, le modèle se réduit alors à [16,17]:

=

=

+∂

∂ ∗∗

0

1

Adiv

JAtortort

A e

ρ

ρρρρρ

µσ

(III.40)

Pour résoudre ce système, il est impératif de considérer les conditions aux limites ainsi que les

conditions initiales.

2- Conditions aux limites magnétiques:

La définition complète du problème magnétodynamique doit prendre en compte les conditions

aux limites du type [11, 16,17] :

DIRICHLET ( Champ électromagnétique imposé nul sur les frontières) :

Le potentiel vecteur est nul à l’infini simulé par (une boite d’air) autour du domaine d’étude :

0=A (III.41)


- 52 -

NEUMANN (Dérivé du champ imposée nulle sur les frontières) :

La condition de Neumann s’écrit donc :

0=∂∂n

A (III.42)

On observera que le modèle magnétodynamique, définissant une équation locale, devra être

systématiquement adapté à la région à laquelle il s’applique.

III-2 -2- Modèle thermique :

III-2 -2-1- Équation de diffusion de la chaleur :

En thermique, le modèle mathématique est régi par la loi de Fourier donnée précédemment.

Le champ de la température T doit vérifier le modèle classique de diffusion de la chaleur suivant

l’équation [11, 16,17]:

( )t

TCQdTakgrdiv p ∂

∂=+ ρρ (III.43)

III-2 -2-2- Conditions aux limites thermiques :

Les conditions aux limites spatio-temporelles qui sont associées à l’équation de conduction qui

décrit le phénomène thermique sont comme suit [16,17] :

- Si le corps est thermiquement isolé, le flux est nul en tout point de la surface (surface

adiabatique) :

0=q (III.44)

- S’il y a un transfert de chaleur avec un milieu ambiant, on distingue les trois types suivants:

1- transfert par convection :

( )aTThq −−= (III.45)

2- transfert par rayonnement :

( )44ab TTq −−= εσ (III.46)

3- transfert par convection et rayonnement :

( ) ( )44aba TTTThq −−−−= εσ (III.47)


- 53 -

Avec:

h : Coefficient d’échange convectif,

ε : Emissivité,

bσ : Constante de Boltzmann,

bεσ : Coefficient d’échange radiatif;

aT : Température ambiante.

III-2 -3- Cas des structures axisymétriques

1-Modele géométrique [16,22,23]:

Les systèmes axisymétriques sont les systèmes pourvus d’une symétrie de révolution. Dans ces

systèmes, le problème à résoudre vérifie les conditions suivantes:

1- La forme des matériaux et leurs propriétés physiques présentent une symétrie de révolution

autour d'un axe.

2- La répartition des courants "source" eJ est invariante par une rotation autour de cet axe.

3-Le domaine d'étude Ω choisi et les conditions aux limites sur la frontière de ce domaine

respectent l'axisymétrique des matériaux et des sources.

Le système de coordonnées utilisé dans de telles applications est le système de coordonnées

cylindriques (r, θ , z) et les conditions précédentes impliquent que toutes les grandeurs intervenant

dans le problème sont indépendantes de θ ; il suffira donc de résoudre le problème sur une partie deΩ ,

une section méridienne Σ , pour connaitre la solution complète dans Ω par rotation autour de l'axe de

symétrie.

Remarquons que les conditions proposées impliquent que, sur l'axe de symétrie, le potentiel

vecteur Aρ

est colinéaire à cet axe et de même sens que la densité de courant eJρ

. C’est le cas des

courant longitudinaux.

La configuration axisymétrique typique est celle du cylindre circulaire de longueur infinie suivant

l’axe oz (voir figure III-3- ).


- 54 -

2-Cas des courants orthogonaux [17,22,23]:

Supposons de plus :

θetzrJJ ee ρρ),,(= (III.48)

C'est par exemple le cas d'un inducteur solénoïde, bobiné en hélice dont le pas est négligeable par

rapport au diamètre de l'inducteur.

Dans la figure (III-4), les courants n’ont de composante que la direction orthoradiale (θ ) et le

potentiel vecteur magnétique (θA ) a la même direction que le courant. Le champ magnétique possède

alors deux composantes, l’une suivant le rayon r, l’autre suivant la hauteur z.

Ainsi, les dispositifs de chauffage par induction comportent généralement une symétrie de

révolution qui préconise l’utilisation des coordonnées cylindriques.

Le dispositif électromagnétique de notre étude (chapitre -VI-) étant pourvu d’une symétrie de

révolution, l’étude a pu être conduite dans un plan de coupe longitudinale r-z.

z

FigureIII-3-Configuration axisymétrique cylindrique

Charge

Inducteur



- 55 -

Les équations aux dérivées partielles qui décrivent les phénomènes électromagnétiques et

thermiques des systèmes présentés précédemment sont données par les expressions suivantes :

- Problème magnétique:

eJz

Ar

r

v

zr

Ar

r

v

rt

A ρρρρ=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂ ∗∗∗

σ (III.49)

Avec :

( )tzrAA ,,ρρ

=

- Problème thermique:

t

TCQ

r

Tkr

rrz

Tk

z p ∂∂=+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂ ρ1 (III.50)

Avec :

( )tzrTT ,,=

r

Charge

Inducteur

z

θ

FigureIII-4- Système à symétrie de révolution


- 56 -

III-3-Méthodes de résolution des équations aux dérivées partielles

Les principales méthodes de résolution des EDP dans les milieux non linéaires les plus

généralement utilisées sont la méthode des différences finies (MDF), la méthode des éléments finis

(MEF), la méthode des volumes finis (MVF), la méthode analytique (MA) et la méthode intégrale au

frontière (MI) dans les régions linéaires (inducteur,…).

La détermination de la solution de l’équation thermique qui décrit le champ de température

dans un milieu non linéaire (pièce à chauffer) nécessite l’emploi de l’une de ces méthodes.

C’est la MEF qui est la plus généralement utilisée car elle s’adapte bien à la représentation des

géométries complexes et au traitement du comportement non linéaire des matériaux.

L’utilisation des méthodes numériques de discrétisation consiste à ramener la résolution du

système d’équations différentielles dans le domaine d’étude, compte tenu des conditions aux limites, à

celle d’un système d’équations algébriques dont les solutions conduit à la détermination des champs

électromagnétiques et de température [16, 17,18].

III-3-1- Méthode des différences finies :

La méthode des différences finies (MDF), est basée sur la discrétisation du domaine d’étude et

sur la transformation de l’opérateur différentiel en un opérateur aux différences, en utilisant un

développement en série de Taylor. Ainsi, l’équation différentielle est transformée en équation

algébrique en chacun des nœuds.

L’écriture de cette transformation pour tous les nœuds du maillage conduit à un système

algébrique dont la solution permet d’obtenir la distribution de l’inconnu dans le domaine d’étude.

Cette méthode donne une formulation directe et relativement simple à mettre en œuvre, elle

s’adapte mal aux objets de géométrie complexe à cause de la rigidité du maillage.


- 57 -

D’autre part, la prise en compte des conditions de symétrie, de passage d’un milieu physique à

un autre, et des non linéarités (saturation…), nécessite un traitement spécifique, aussi, cette méthode

ne permet pas de percevoir la signification physique des différents termes. Cette difficulté peut être

surmontée par l’utilisation de la méthode des volumes finis [16, 17,18].

III-3-2- Méthode des volumes finis :

La méthode des volumes finis se déduit de la méthode des différences finies pour le fait que le

domaine d’étude ou de calcul est subdivisé en nombre d’éléments finis. Chaque élément contient

quatre nœuds.

L’équation différentielle est projetée sur une fonction de projection bien déterminée et ensuite

intégrée dans chacun des volumes élémentaires. Pour calculer l’intégrale dans le volume élémentaire,

la fonction inconnue est représentée à l’aide d’une fonction d’approximation (linéaire, parabolique,

puissance, exponentielle,…etc.) entre deux nœuds consécutifs. Ensuite, la forme intégrale est

discrétisée dans le domaine d’étude.

L’équation discrétisée de cette façon exprime le principe de conservation pour l’inconnu dans

l’élément de volume et la solution obtenue est constituée uniquement par les valeurs nodales.

Cette méthode est utilisée, en particulier en mécanique des fluides (l’équation d’écoulement.),

où elle est apparue depuis une trentaine d’années; sa procédure donne une solution plus précise que

celle fournie par la méthode des différences finies [16, 17,18].


- 58 -

III-3-3- Méthode des éléments finis :

La méthode des éléments finis a pris un essor considérable avec le développement des moyens

informatiques des années 60. Elle est devenue, par sa souplesse d'emploi et sa très grande

généralité [24,25], la méthode la plus fréquemment utilisée.

1- Principe [16, 17,18]:

La méthode des éléments finis consiste à ramener la résolution de l’équation aux dérivées

partielles (compte tenu des conditions aux limites) au calcul de la fonction inconnue en un ensemble de

points considérés dans le domaine d’étude.

La méthode des éléments finis est basée sur une subdivision du domaine d’étude en parties

élémentaires adjacentes eΩ appelées éléments finis, comme le montre la figure ci-dessous, et à

approximer l’inconnue sur chaque élément par les fonctions d’interpolation simples en fonction des

valeurs de l’inconnue en chacun des sommets de cet élément.

Ces dernières sont généralement des polynômes de Lagrange de degré un ou deux.

2- Discrétisation du domaine (maillage):

Le domaine de résolution est discrétisé en sous domaine. Ces éléments dans l'analyse en

éléments finis sont les briques élémentaires dont le maillage va représenter le système géométrique à

simuler. Les éléments sont des représentations géométriques composant plusieurs noeuds, la figure

III-6- représente des exemples classiques à 1D, 2D, et 3D qu'on rencontre généralement dans le

maillage éléments finis [24,25].

FigureIII-5-Elément de calcul

1A

2A

3A4A


- 59 -

3- L'approximation nodale:

Dans chacun des éléments, l'inconnue est généralement approchée par une interpolation

polynomiale en fonction des variables nodales de l'inconnue en chacun des noeuds de l’élément.

Chaque élément est repéré par les coordonnées de ses sommets [24,25].

4- La transformation vers une équation matricielle:

La transformation en fonction intégrale suivie de discrétisation nous conduit à trouver un

ensemble de valeurs. La manière d'obtenir un système d'équations dépend de la méthode de retenue

pour se ramener à une intégrale [24,25].

5- Résolution du système matricielle

Suite à la transformation intégrale et la discrétisation, on obtient un système matriciel. La

résolution du système d'équations est la dernière étape dans la méthode des éléments finis.

Si le problème est linéaire, autrement dit si la matrice ne dépend pas de la solution, les

méthodes de résolution de système peuvent être classées en deux catégories:

- Les méthodes directes (GAUSS,CHOLESKY).

- Les méthodes itératives (JACOBI).

Si le problème est non linéaire, on doit mettre en place un processus interactif qui recalcule la

matrice pour chaque nouvelle valeur de la solution (NEWTON-RAPHSON) [24,25].

Elément à une dimension Elément rectangulaire Elément triangulaire deux dimensions deux dimensions Elément tétraédrique Prisme rectangulaire trois dimensions trois dimensions

FigureIII-6-Exemples d'éléments d'un maillage éléments finis


- 60 -

III-3-4-Analyse du couplage magnéto-thermique par les éléments finis

Un dispositif de chauffage par induction peut être schématiquement représenté par un ensemble

de trois principales régions (inducteur – Charge - Espace environnant).

L’étude d’un tel système nécessite l’utilisation d’un modèle de représentation ou modélisation

(analytique, numérique); cette dernière constitue l’ensemble de base pour la conception et

l’optimisation du dispositif avant sa réalisation ou son amélioration après la simulation par le calcul de

la distribution des champs magnétique et thermique.

Pour ramener la résolution de l’équation aux dérivées partielles (compte tenu des conditions

aux limites) au calcul de la fonction inconnue en un ensemble de points considérés dans le domaine

d’étude, on utilise l’une des deux approches suivantes :

- La méthode variationnelle.

- La méthode des résidus pondérés ou méthode projective.

L’inconnue devra vérifie globalement les conditions de continuité à l’interface et au passage

d’un milieu physique à un autre [11,17].

L’inconnue I est exprimée par :

( ) ( )∑= Nn

j jj IzyxzyxI .,,,, α (III.51)

Nn : Le nombre de noeuds du domaine subdivisé.

iα : Fonctions polynomiales d’interpolation ( Nni ,...1= )

jI : Valeur de l’inconnue au nœud j

Si ( )jjj zyx ,, sont les coordonnées du nœud sur lequel l’inconnue I prend la valeur jI , les

fonctions iα vérifient les relations :

2Γ

1Γ

L’espace environnant 0Ω

0Γ

L’inducteur

2Ω La charge 1Ω

FigureIII-6-Régions constitutives d’un dispositif de chauffage par induction


- 61 -

=0

1jα

si

si

ji

ji

≠=

(III.52)

[08,11,20]

On dispose alors d’un système d’équations aux dérivées partielles de la forme :

∫∫∫ =Ω

∂∂

∂∂

0,...,...,, dt

I

x

IIFWi (III.53)

Avec :

0,...,...,, =

∂∂

∂∂

t

I

x

IIF : est l’équation à résoudre

Ω : Domaine d’étude.

iW : Fonction de projection pouvant être scalaire ou vectorielle [11,17].

Dans le cas particulier òu les fonctions de pondération iW sont identiques aux fonctions

d’interpolation de l’inconnue jα , cette méthode est appelée méthode de Galerkine [11]. C’est cette

méthode qui sera employée pour le traitement des équations étudiées.

- Formulation du modèle magnétique

( ) eJAtovrtort

A ρρρρρ

=+∂

∂ ∗∗

σ (III.54)

Par l’application de la méthode de Galerkine on obtient :

( )∫∫∫ ∫∫∫Ω Ω

∗∗ Ω=Ω

∂∂+ dJWd

t

AAtovrtorW e

ii

ρρρρρρρ.. σ (III.55)

Si en utilisant l’identité vectorielle :

( ) VtorUUtorVVUdivρρρρρρρρ

.. −=× (III.56)

L’équation (III.55) devient:

( ) ( )( )∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫Ω Ω Ω

∗∗

∗ Ω=Ω×−Ω

∂∂+ dJWdAtovrWdivd

t

AWAtovrWtor e

iii ....ρρρρρρρϖρρρ σ (III.57)

D’après le théorème de la divergence, on peut écrire :

( ) ( )( )∫∫∫ ∫ ∫∫∫Ω Γ Ω

∗∗

∗ Ω=Γ×−Ω

∂∂+ dJWdnAtovrWd

t

AWAtovrWtor exiiii

ϖρρρρρρρρρρρ.... σ (III.58)


- 62 -

On peut exprimer l’inconnue ∗Aρ

par :

∑=

∗∗ =Nn

j

jj AA1

.ρρ

α (III.59)

En remplaçant Aρ

par son expression, l’équation conduit à un système matriciel de la forme :

[ ][ ] [ ]FAM =.

La résolution de ce système permet la détermination du potentiel vecteur Aρ

et des grandeurs

physiques qui en dépendent (JBρρ

, ).

- Formulation du modèle thermique

( ) QdTakgrdivt

TCp =−+

∂∂ ρρ (III.60)

On applique la méthode projective de Galerkine sur l’équation du modèle thermique on obtient:

( )∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫Ω Ω Ω=Ω−Ω−+Ω

∂∂

0QdddTakgrdivdt

TC iipi ααρα ρ

(III.61)

D’autre part, le terme :

( )∫∫∫Ω Ω− ddTakgrdivi

ρα peut être intégré par partie et conduit à deux termes :

( )∫∫∫Ω ΩddTagrdakgr i

ρρ.α (III.62)

Et

( )∫∫∫Ω Ω− ddTakgrdiv i

ρα (III.63)

Ce dernier terme, par le théorème d’Ostrogradsky, conduit au terme :

∫∫

∂∂−

S i dSn

Tkα (III.64)

Qui fait intervenir l’expression de la quantité de la chaleur échangée avec l’extérieur au travers

de la limite S du domaine d’étude. On aura donc:

( )∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ Ω ΩΩ=Ω−

∂∂−Ω+Ω

∂∂

0. QddSn

TkddTagrdakgrd

t

TC iS iiPi αααρα ρρ

(III.65)


- 63 -

Dans le cas d’échanges convectifs et radiatifs :

( ) ( )dSTTdSTThdSn

Tk

S S Sabiaii∫∫ ∫∫ ∫∫ −+−=

∂∂− 44εσααα (III.66)

En remplaçant l’expression (III.66) dans (III.65), nous obtenons :

( ) ( ) ( )∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫Ω ΩΩ=Ω−−+−+Ω+Ω

∂∂

0. 44 QddSTTdSTThddTagrdakgrdt

TC iS S abiaiipi αεσαααρα ρρ

(III.67)

On obtient un système d’équations différentielles qui dépend du temps.

La discrétisation de t

T

∂∂

peut être traitée par une méthode de différences finies :

( )t

TT

n

T nn

n ∆−

=

∂∂ −1 (III.68)

Dans laquelle nest l’indice du pas de temps ou l’on calcule l’inconnueT .

Posons:

∑=

=Nn

jjjTT

1

α (III.69)

En remplaçant T par son expression, on obtient un système de la forme :

[ ][ ] [ ]FTM ′=′ . (III.70)

En remplaçant le terme

∂∂

t

T par la valeur approchée donnée dans l’équation (III.68), on

obtient alors un système d’équations algébriques non linéaire à résoudre.

La forte non linéarité, due au terme en 4T et à la dépendance de toute les propriétés en fonction

de la température, nécessite une méthode numérique qui converge rapidement, la méthode de Newton-

Raphson sera appropriée dans ce cas (voir Annexe -03-).

Le principe de cette méthode consiste à développer en série la fonction vectorielle dont on

cherche la solution.

L’équation (III.67) peut être écrite sous forme :

( ) 0=τF (III.70)

Où τ est le vecteur constitué par l’ensemble des températures aux nœuds du découpage en

élément finis.


- 64 -

Si 0τ est la solution cherchée, on peut donc écrire :

( ) ( ) ( )...0

00 +∆

∂∂

+= ττττT

FFF (III.71)

Soit kτ un estimé proche de la solution, en négligeant les termes de degré supérieur à deux et

en limitant ce développement en série aux premiers termes, on obtient l’algorithme vectoriel suivant :

kkk τττ ∆+=+1 (III.72)

Avec:

( ) ( )kkk F

T

F τττ−=∆

∂∂

(III.73)

( )

∂∂

T

F kτ : La matrice Jacobienne.

k : Le nombre d’itérations.

-Terme de couplage :

Le terme de couplage des deux phénomènes physiques, représentant comme la densité de

puissance moyenne dissipée sur une période, s’écrit comme suit :

( ) ( ) AATTQ .2

1 2ϖσ= (III.70)

Il est claire que le terme source thermique dépend de façon indirecte de la température par le

biais de la conductivité électrique.

Dans le couplage magnéto-thermique, ce terme est désigné par la densité de puissance ( )TQ

qui représente un apport d’énergie en thermique du aux courants induits.

Les sources de chaleurs peuvent avoir été calculées au préalable (du problème magnétique). Ces

valeurs sont calculées en chaque noeud du découpage et sont approchées par une formule

d’interpolation polynomiale de la forme:

∑ == Nn

j jj qQ1

.α (III.71)

Grâce à cette possibilité, on peut tenir compte du couplage magnétothermique qui caractérisé

les problèmes de chauffage par induction.


- 65 -

III-4-Les modes de couplage existants :

Dans un chauffage par induction la bobine génère un champ magnétique dans l’espace. Ce

champ agit sur la charge. Il se crée dans le métal un courant électrique induit dont l’effet tend à

s’opposer au champ magnétique qui lui a donné naissance. Ce courant induit, par la loi d’Ohm, crée

une dissipation thermique. Celle-ci est responsable de l’élévation de température de la pièce.

Les propriétés physiques des matériaux dépendent de l’état thermique de celui-ci. Par

conséquent, cette variation de température entraîne une modification du champ magnétique. Le

processus de chauffage par induction se caractérise donc par une interaction entre le champ

magnétique et la température [22].

Les trois principaux modes de résolution des problèmes couplés sont :

1- couplage alterné (MCA) qui est réalisé par le transfert des données d’un problème à l’autre.

2- couplage direct (MCD) qui est consiste à résoudre les deux problèmes simultanément.

3- couplage paramétré (MCP) qui est consiste à paramétrer le terme de couplage Q par la

méthode des élément finis pour une gamme de température et pour un courant d’excitation donné, pour

servir de source au problème thermique [16,17]

Champ magnétique généré par l’inducteur

Propriétés physiques modifiées

Corps à chauffer par effet Joule par l’inducteur

Action des propriétés physiques sur le champ magnétique initial

Action de la température sur le corps chauffé

Action du champ magnétique sur les propriétés physiques

du corps

Figure III- 7- Schéma d’interaction


- 66 -

III-4-1- Mode de couplage alterné:

Dans les dispositifs de chauffage par induction, la modélisation des phénomènes magnéto-

thermiques par le mode de couplage alterné (MCA) permet de résoudre les équations

électromagnétiques et thermiques séparément et couplées par le terme sourceQ . Les propriétés σ et v

qui varient en fonction de la température sont prises en considération dans la détermination du

champAρ

. Le couplage se fait alors par le transfert des données de l’un des deux problèmes vers

l’autre. Donc, on a besoin d’une procédure itérative pour calculer les densités de puissance et la

température [13,16,17].

Les variations lentes des grandeurs thermiques par rapport aux variations des grandeurs

électromagnétiques, permettent alors de considérer, à chaque instant du calcul thermique, un régime

permanent du champ électromagnétique. Ainsi, les sources d’échauffement peuvent être représentées

par la moyenne des puissances Joule déterminée sur une période de variation des phénomènes

électromagnétiques.

L’avantage de cette méthode c’est qu’elle nous permet d’utiliser plusieurs maillages adaptés à

chaque domaine physique. Dans l’exemple de l’étude magnéto-thermique, le maillage thermique doit

être assez affiné pour représenter la variation importante du gradient de température, par contre le

maillage magnétique ne nécessite pas d’affinage et donc, peu d’éléments sont nécessaires lors de la

résolution du problème magnétique. Cet avantage nous permet de réduire la taille des systèmes

d’équations à résoudre.

L’inconvénient de cette méthode est lié au transfert des informations de couplage qui engendre

des erreurs d’interpolation. Donc, au voisinage de la température de Curie, où la variation des

propriétés physiques est rapide, le pas de temps de discrétisation doit être relativement petit. D’un

autre coté, le MCA ne tient pas compte du couplage réel qui existe entre les deux phénomènes

physiques [17].


- 67 -

III-4-2- Mode de couplage direct:

Dans ce mode de couplage, l’ensemble des équations régissant le problème magnéto-thermique

est résolu dans un même et unique système d’équations, où les propriétés physiques et les inconnus

sont calculés au même instant (à chaque itération et à chaque pas du temps). Donc, la précision de la

solution est améliorée dans ce cas [13,17].

Le MCD peut être avantageusement utilisé dans le cas de problème fortement couplés,

cependant, le nombre d’itérations est plus important que dans le cas d’utilisation du MCA.

D’autre part, la matrice de couplage électromagnétique et thermique du système algébrique

obtenue par la formulation éléments finis présente une taille relativement importante et n’est pas bien

conditionnée. Son inversion nécessite l’utilisation d’une méthode directe comme la méthode de Gauss,

alors que cette dernière est coûteuse en temps de calcul. Pour cette raison, que la résolution du système

Résolution de l’équation électromagnétique

Calcule de la densité de puissance

Résolution de l’équation thermique

Réactualisation des propriétés

( )Tµ et ( )Tσ

t final

Fin

Non

Oui

Figure III-7-Mode de couplage alterné MCA [17]

Initialisation


- 68 -

par MCD exige un temps de calcul très long et une occupation mémoire importante; ces facteurs se

présentent comme inconvénients majeurs de cette méthode.

Cette méthode est basée sur un maillage unique, représentant l’ensemble du problème, réalisé

pour que toutes les particularités physiques, comme celles de fort gradient, soient considérées.

L’utilisation d’un maillage unique global conduit à un système de taille importante [17].

III-4-3- Mode de couplage paramétré :

L’objectif de ce mode de couplage est de considérer, en terme source de l’équation thermique

la fonction ( )eJTq , décrivant les variations de la densité de puissance dissipée par effet Joule en

fonction de la température et la densité du courant d’excitation.

Ce mode de couplage permet d’éviter l’alternance des résolutions des équations couplées

(électromagnétique-thermique) et de supprimer le transfert des données d’un problème à l’autre.

Figure III- 8-Mode de couplage direct MCD [17]

Evaluation des propriétés physiques non-linéaires

Calcule de Aρ

et T par la méthode des éléments finis

t final

Fin

Non

Oui

Initialisation


- 69 -

Ce mode de couplage est basé sur la détermination d’une densité moyenne de puissance (mdp )

localisée dans une épaisseur de peau de la pièce. Cette fonction est calculée à partir de la résolution de

l’équation électromagnétique par la méthode des éléments finis pour une gamme de température

donnée et correspondant à une alimentation électrique fixée (courant ou tension). Ensuite, la fonction

mdp servira de terme source pour l’équation thermique.

Le couplage paramétré permet d’utiliser des maillages différents, du domaine représentant la

charge, pour les problèmes électromagnétique et thermique.

On fixe une valeur de densité de courant d’excitation au préalable ee JJ 0= , la résolution de

l’équation électromagnétique, est effectuée pour une température donnéeiT . De ce premier résultat est

alors déduite la puissance totale évaluée sur toute la pièce à chauffer à partir de laquelle est estimée

une densité volumique de puissance moyenne iQ , qui est utilisé comme terme source dans le problème

thermique. On applique la même démarche pour différentes valeurs de la températureiT .

Cette méthode de couplage permet ainsi de découper entièrement les deux phénomènes

physiques et de ne s’intéresser plus qu’au problème thermique après l’exploitation du problème

magnétodynamique en terme de densité de puissance qui est une fonction de la température. Ainsi, une

modélisation des propriétés thermiques (capacité calorifique, conductivité thermique,…) ne concerne

que le problème et ne nécessite pas un nouveau calcul électromagnétique [16,17].

Figure III- 9-Mode de couplage paramétré MCP [17]

Résolution de l’équation électromagnétique pour une gamme de température

Calcul de la fonction ( mdp )

Résolution de l’équation thermique

Fin

Initialisation


- 70 -

Conclusion

Dans ce chapitre nous avons présenté les modèles mathématiques régissant les phénomènes

physiques concernant le fonctionnement du procédé de chauffage par induction et en particulier le cas

des structures axisymétriques.

Les principales méthodes numériques de résolution des équations aux dérivées partielles sont

ensuite passées en revue et nous avons mis l’accent sur le guide méthodologique pour la formulation

magnétothermique par la méthode des éléments finis.

Finalement nous avons cité le principe de chaque mode de couplage parmi les trois modes

existants (couplage alterné, le couplage direct et le couplage paramétré) avec leur algorithme ainsi que

les avantages et les inconvénients de chaque type de couplage.

CHAPITRE IV: Simulation du couplage magnéto-thermique dans une charge à symétrie axiale

- 71 -

Introduction

Le chauffage par induction est une méthode couramment employée pour fuser les métaux

grâce à ses nombreux avantages. Ce chapitre sera consacré à la simulation d’un système de chauffage

par induction utilisé pour fuser l’or où on utilise le logiciel "Comsol Multiphysics" comme outil de

simulation.

La première partie de la simulation sera consacrée à l’influence des paramètres physiques du

modèle tels que le couplage inducteur-charge et l’effet de l’épaisseur du creuset puis la position

verticale de l’inducteur. En suite on vérifie l’homogénéité de la fusion, puis on voit l’influence de la

densité de courant d’alimentation et sa fréquence sur la chaleur produite au sein de la charge.

Finalement ce chapitre se termine par une fiche d'observations les plus importantes et une conclusion.


- 72 -

IV-1-Présentation de COMSOL Multiphysics

IV-1-1- Méthodes numériques et l’outil informatique :

Le développement des méthodes numériques (différences finies, volumes finis, éléments finis,

intégrales de frontière, etc.) est heureusement accompagné par les avancées du matériel informatique.

Des programmes qui nécessitaient autrefois des calculateurs complexes et onéreux tournent à présent

sur les PC d’un coût modeste. Cela a contribué à faciliter la mise au point de logiciels [26].

Nous avons présenté dans la section précédente les différentes formulations des équations de

Maxwell et élaborons dans ce chapitre la présentation du logiciel utilisé dans ce travail.

IV-1-2- Logiciels utilisant les éléments finis [26]:

Parmi les Logiciels utilisant éléments finis on peut citer :

1- ABAQUS

2- ANSYS

3- CAST3M

4- ASTER

5- COMSOL MULTIPHYSICS

6- CosmosWorks

7- Dytran

8- EuroPlexus

9- Flux2D/ 3D.

Tous ces logiciels sont performants et adaptables aux différents problèmes rencontrés en physique.

Pour le chauffage par induction, on a choisi "Comsol Multiphysics" à cause de sa souplesse et sa

rapidité d’exécution.


- 73 -

IV-1-3- COMSOL Multiphysics [27]:

COMSOL Multiphysics, anciennement appelé FEMLab, est un logiciel de simulation qui

permet de résoudre des systèmes d'équations différentielles partielles en utilisant la méthode des

éléments finis en une, deux et trois dimensions. Il peut relever les défis du domaine de

l'électromagnétisme, l'élasticité dynamique des fluides et la dynamique des gaz. Femlab permet

également de résoudre le problème comme une formulation mathématique (sous la forme d'équations)

et physiques (le choix des modèles physiques, tels que les processus de diffusion). Dans le mode dit

physique, on peut aussi utiliser les équations pré-définies pour la majorité des phénomènes qui ont lieu

dans les sciences et la technologie, tels que le transfert de chaleur et d'électricité, la théorie de

l'élasticité, la propagation des ondes de diffusion, l'écoulement du fluide…

Dans notre travail nous utilisons La version 3.5. Elle se distingue, entre autres, par le support

généralisé pour les fichiers de géométrie au format Parasolid, une nouvelle interface bidirectionnelle et

des moteurs de calcul plus rapides par rapport aux versions précédentes. L'exécution des modèles

d'écoulement de grande taille dans Multiphysics 3.5 est par exemple trois fois plus rapide que dans la

version 3.4 et les simulations temporelles sont jusqu'à quatre fois plus rapides avec le nouveau solveur

temporel. On trouve également désormais un mailleur plus avancé. De front qui assure la création de

maillages 2D et 3D de qualité….

IV 2- -Présentation du problème

IV 2- -1- Définition du système :

On propose un système de chauffage par induction pour fuser l’or (bon conducteur), qui

s’effectue en chauffant ce dernier dans un creuset fabriqué à partir de l’alumine (matériau réfractaire

non conducteur : voir Annexes -01-). La masse de l’or placée dans le creuset est fondue jusqu’à

atteindre sa forme liquide (Température de fusion KT fο1337= ) [28 ,29]; l’inducteur utilisé est

formé d’une seule spire de section rectangulaire.

L’application proposée consiste à utiliser un creuset contenant une quantité d’or de diamètre

intérieur 0.1m et de hauteur 0.1m et un inducteur de hauteur 0.05m et d’épaisseur 0.01m; ces

dimensions restent constantes durant le déroulement du travail (voir la figure IV-01-).


- 74 -

0. 1m

IV -2- 2- Hypothèses et données d’étude :

1- Surfaces d’inducteur adiabatiques : Afin de limiter les pertes électriques dans l’inducteur,

on considère qu’il possède un système de refroidissement assure sa stabilité thermique (le flux est nul

en tout point des ses surfaces).

2- Vecteur de polarisation du creuset nul : Nous avons noté déjà que la forme générale de la

loi de polarisation : PEDϖϖϖ

+= ε , où on néglige le vecteur de polarisation électrique de

l’alumine: 0ρϖ

=P (IV.1)

3- On néglige également le phénomène hydrodynamique qui apparaît dans le domaine liquide

du matériau élaboré ( les vitesses des particules formant la charge sont considérées nulles )

4- Propriétés électromagnétiques et thermiques :

- la résistivité électrique de l’or répond à la loi de variation de la température qui suit [28,29]:

( ) ( )[ ]aTTT −+= αρρ 10 (IV.2)

Avec :

- La résistivité de l’or à la température de l’ambiante aT : m.10.14.22 90 Ω= −ρ

- Coefficient de température de l’or : 003.0=α

- Toutes les autres propriétés électromagnétiques et thermiques sont constantes et prennent

leurs valeurs à la température ambiante kTaο293= (voir Annexe 01).

Figue IV-01- Présentation du système

0.1m

0.05m

0.01m

d

e

SJ


- 75 -

5- Coefficients d’échanges convectif et radiatifs :

- Convectif : kmWh ο//10 2= [30,31].

- Radiatif :

Or-Air : 4281 //1067.502.0 kmWb

ο−××=σε soit une émissivité 02.01 =ε

Alumine-Air : 4282 //1067.58.0 kmWb

ο−××=σε soit une émissivité 8.02 =ε [32, 33,34].

Nous avons noté précédemment que le terme de couplage entre les deux phénomènes

électromagnétique et thermique s’écrit comme suite :

( ) ( ) AATTQ .2

1 2ϖσ= (IV.3)

IV -2- 3- Domaine d’étude et conditions aux limites :

1- domaine d’étude : La prise en compte du plan de symétrie représenté sur la figure IV-02- et

de l’axe de révolution permet de réduire le domaine d’étude sur la moitié du système. L’espace

environnant est représenté par une boite d’air (voir les figures IV-03 et IV-04).

r

z

Figue IV-03-Domaine d’étude en 2D

Or Alumine

Figue IV-02-Présentation du plan de symétrie

Air

Or

Cuivre


- 76 -

2- Conditions aux limites :

Rappelons que pour représenter l’état électromagnétique en un point, en tenant compte des

hypothèses simplificatrices le modèle se réduit alors à :

( ) eJAtovrtort

A ρρρρρ

=+∂

∂ ∗∗

σ (IV.4)

La figure (IV-05-) représente les conditions de passage et aux limites du système

électromagnétique se réduit en 2D (voir annexe -2- ) [35, 36,37]

Figue IV-04 -Domaine d’étude en 3D

y

x

z

r

z

Figure IV-05- Conditions aux limites du système électromagnétique

( ) 0

Continuité

21 =−× HHnρρρ

0

magnétiqueIsolation ρρρ =× An

( ) sJHHn =−× 21

surface deCourant ρρρ


- 77 -

En thermique, le modèle mathématique est régi par la loi de Fourier donnée précédemment. Le

champ de la température T doit vérifier le modèle classique de diffusion de la chaleur suivant

l’équation : ( )t

TCQdTakgrdiv p ∂

∂=+ ρρ (IV.5)

La figure (IV-06-) représente les conditions de passage et aux limites du système thermique.

En tenant compte les trois modes de transfert de chaleur (conduction convection et rayonnement) (voir

annexe -2- ).

IV 2- -4- Construction de système sur COMSOL Multiphysics [37, 38]

1-Choix de la dimension: 3D,2D,1D (nous faisons notre étude dans un système de coordonnées3D)

2- Choix des modules physique : (dans notre cas : électromagnétique et Transfert de chaleur).

3- Choix du type d’étude: Stationnaire, Temporelle, Fréquentielle (nous faisons notre travail sur le

régime Temporelle).

4- Construction de la géométrie et choix des matériaux : (nous avons quatre sous domaine) :

a- L’air ;

b- L’inducteur en cuivre ;

c- Le creuset en alumine ;

d- La charge en or.

5- Paramétrage des modules physiques (propriétés électromagnétiques et thermiques ainsi que les

conditions aux limites) (voir Annexes -1- et -2-)

r

z

Figure IV-06 - Conditions aux limites du système thermique

0

eTempératur

TT =

( ) 0.

thermiqueIsolation

=∇−− Tknρρ

)()().().(

chaleur de Source44

1222111 aba TTTThTknTkn −−−−=∇−−∇−− σερρρρ

)()().().(

chaleur de Source44

2222111 aba TTTThTknTkn −−−−=∇−−∇−− σερρρρ

( ) 0. =∇−− Tknρρ

( ) 0).(.

Continuité

111111 =∇−−∇−− TknTknρρρρ


- 78 -

6- Choix du maillage : une des spécificités de la modélisation à éléments finis est que plus le

nombre d'éléments croit plus les résultats obtenus s'approchent d'une solution réel. Cependant le temps

de calcul nécessaire augmente considérablement avec le nombre d'éléments; en ce qui concerne notre

travail ces éléments sont choisis comme des tétraédriques. Le Comsol Multiphysics propose neuf types

de maillage de l’extrêmement fin à l’extrêmement grossier; dans ce travail il suffit d’utiliser le

maillage normal (voir la figure IV-07-) car il possède le nombre d'éléments minimum mais permettant

une précision suffisante. Ce maillage est le moins raffiné, mais encore suffisant pour obtenir un

résultat acceptable.

7- Choix du solveur: le logiciel Comsol propose un ensemble de solveurs pouvant simuler les

aspects électromagnétiques et thermiques et leur couplage; dans notre travail la résolution numérique

des systèmes matriciels résultants des calculs électromagnétiques et thermiques est effectuée par un

solveur direct : SPOOLES ( SParse Object Oriented Linear Equations Solver ).

8- Résultat de la simulation:

Figure IV-07 – Présentation du maillage

Figure IV-08 - Distribution de la température dans le domaine d’étude


- 79 -

IV-3-Représentation et exploitation des résultats

On a besoin d’abord de voir l’influence du couplage inducteur-charge et d’épaisseur du creuset

puis la position verticale d’inducteur sur la température transmise vers la charge, pour voir ça on prend

le point [P03 (0 0 0.05)] comme un point de référence choisi pour faire la comparaison entre les

différents modèles étudiés, Cela nous amène à choisir le modèle optimal parmi ceux étudiés. Plus tard

être notre objectif de se concentrer uniquement sur ce modèle choisi.

V-3- 1- Influence du couplage sur la température transmise:

Le couplage est la distance entre le diamètre intérieur d’inducteur et la charge (l’or), pour

pouvoir d’étudier son influence sur la température transmise, il est donc possible de faire varier les

diamètres d’inducteur (voir la figure IV-09-), on fait la simulation sur trois modèles, chaque fois on

change la distance entre l’inducteur et le creuset.

On visualise l’évolution de la température transmise dans le point P03 pour chaque modèle on

trouve les résultats suivants :

Figure IV-10-L’évolution de la température transmise dans le point P03 pour [d01=0.015m et e=0.01m]

d01=0.015m

- Densité de courant de surface: mAJs /107=

- Fréquence d’alimentation : f Hz310=

Figure IV-09- Schéma explicatif de la variation du couplage en modifiant les diamètres d’inducteur On prend l’épaisseur du creuset e=0.01m.

d03

d02

d01

0.05m P03 (0 0 0.05)

0.05m


- 80 -



Référence Modèle d01 Modèle d02 Modèle d03

Couplage (m) 0.015 0.01 0.005

Temps de fusion (s) 70 46 27

Tableau IV-1- Le temps de fusion dans le point P03 pour les modèles [d01-d02-d03].

Grâce aux résultats présentés dans le tableau ci-dessus, c’est évidemment d'adopter le modèle

[d03], parce qu'il est le plus rapide de fuser l’or devant les deux autre [d01- d02]. Cette remarque montre

clairement que pour un couplage de valeur plus élevée (lâche: distance de séparation élevée) nous

avons une température transmise dans la charge moins élevée. Finalement nous pouvons noter qu’un

couplage plus petit (série) permet une meilleure température transmise vers la charge [39,40].

d01=0.005m

d01=0.01m






- 81 -

IV-3-2- Influence de l’épaisseur du creuset sur la température transmise

Pour étudier l’influence de l’épaisseur du creuset, il est possible de faire deux variations

simultanément de même valeur et de même sens, la première sur son diamètre extérieur et la deuxième

sur la position d’inducteur (voir la figure IV-13-).

La simulation des modèles sélectionnés dans le paragraphe précédent permet de choisir le

couplage d03 comme un couplage optimal, avec lui même on fait la simulation sur trois modèles,

chaque fois on change l’épaisseur du creuset, (voir les figure : IV-14-15-16-).

Référence Modèle e01 Modèle e02 Modèle e03

Epaisseur (m) 0.01 0.009 0.008

Temps de fusion (s) 27 25 21.2

Tableau IV-2- Le temps de fusion dans le point P03 pour les modèles [e01-e02-e03].

Les résultats obtenus et présentés dans le tableau montrent que le modèle [e03] est préférable

aux deux autres [e01-e02], car il a la capacité de la fusion la plus rapide. Cette remarque montre

clairement que pour une épaisseur du creuset de valeur plus élevée nous avons une température

transmise dans la charge moins élevée. Pour cela on peut dire qu’une épaisseur du creuset plus petit

permet une meilleure température transmise vers la charge [39,40].

Figure IV-13- Schéma explicatif de la variation d’épaisseur du creuset

e1 d e2 d e3 d


- 82 -

Figure IV-14-L’évolution de la température transmise dans le point P03 pour [e01=0.01m et d01=0.005m]

Figure IV-15-L’évolution de la température transmise dans le point P03 pour [e02=0.009m et d01=0.005m]

Figure IV-16-L’évolution de la température transmise dans le point P03 pour [e03=0.008m etd01=0.005m]

e2=0.009m

e1 =0.01m

e3=0.008m








- 83 -

IV-3-3-Vérification de l’homogénéité de la fusion

La vérification de l’homogénéité de la fusion entre les différents points constituant la charge est

nécessaire pour vérifier la disponibilité du modèle. Si le degré de l’homogénéité est moins faible le

système est non disponible car l’avancement de fusion dans les points de fusion plus rapide signifie

que le creuset est non protégé contre les claquages thermiques ( KT ο2072⟩ ) [41, 42,43] (voir

annexe-01-) qui on veut de les éviter.

Avec le modèle e03 sélectionné dans la section précédente on fait la simulation sur quatre

points appartiennent à l’axe z ont les coordonnées cités dans le tableau IV-3-, ceci nous permet de

définir le plan de fusion plus rapide et l’autre de fusion plus lente.

Figure IV-18- Comparaison du chauffage en différents points de la charge

Figure IV-17- Schéma explicatif indiquant les coordonnées des points

0.005 m

0.008 m P04

P03

P02

P01

- Densité de courant de surface:

mAJs /107=

- Fréquence d’alimentation

f Hz310=


- 84 -

Référence Points appartiennent à l’axe z

Point P05 PointP01 PointP02 PointP03 PointP04

Coordonnées (0 0 0) (0 0 0.025) (0 0 0.05) (0 0 0.1) (0 0.05 0.025)

Temps de fusion (s) 18.9 18.6 21.2 27.7 11.9

Comportement thermique /

Plan de

fusion plus

rapide

/

Temps de

fusion

totale

température atteinte à l’instant

27.7s [ kk οο 20732390 ⟩ : origine

de claquage thermique]

Tableau IV-3- Le temps de fusion en différents points de la charge

Concernant notre modèle [e03] ; parmi les quatre points appartiennent à l’axe z on remarque

que le point de fusion plus rapide est P02 et le point de fusion plus lente est P04. Cette remarque

montre que la fusion est plus rapide dans le plan horizontal qui contient P02, contrairement elle est plus

lente dans le plan horizontal qui contient P04.

C’est bien évidemment que la fusion est plus rapide dans les points qui sont plus proches de la

frontière interne du creuset car l’effet de peau, en revanche la fusion est plus lente dans les points qui

sont appartiennent à le plan de fusion plus lente et qui sont plus éloignés de la frontière interne du

creuset (voir la figure IV-19-).

D’après la visualisation de l’évolution de la température transmise en fonction du temps dans le

point [P05 (0.05 0 0.025)] qui appartient à le plan de fusion plus rapide et situé sur la frontière

interne du creuset nous voyons que la température atteint à la valeur [ kο2390 ] à l’instant de fusion

totale [27.7s]. Cette remarque signifie que le creuset est non protégé contre les claquages thermiques.

Plan de fusion plus lente (Pôle supérieur)

Plan de fusion plus rapide

Figure IV-19- Schéma explicatif indiquant le plan de fusion plus rapide et le plan de fusion plus lente

d

e P04

P02 P05


- 85 -

IV-3-4-Influence de la position verticale d’inducteur sur la température transmise

Si nous revenons à notre système étudié précédemment, la position verticale d’inducteur en bas

soumis à le raisonnement qui dit on veut un système fixe capable de fuser toute masse d’or égale ou

inférieur de celle qui remplit le creuset (Masse M1 : voir la figure IV-20-). Bien qu'il soit possible

d'adopter un autre raisonnement qui a dit qu’on peut choisir la position verticale d’inducteur suivant la

masse d’or qu’on veut la fuser (voir la figure IV -20-).

On faire la simulation sur trois modèles, chaque fois on change la position verticale d’inducteur

(voir la figure IV-21- ). On garde la densité de courant d'alimentation ( mAJs /107= ) et la fréquence

(f Hz310= ).

Figure IV-21- Schéma explicatif de la modification de la position verticale d'inducteur.

0.1m 0.05m H

Masse M1 Masse M2 Masse M3

Figure IV-20- Schéma explicatif de la variation de la position verticale l’inducteur


- 86 -

IV-22- L’évolution de la température transmise vers la charge pour H=0.025m

IV-23- L’évolution de la température transmise vers la charge pour H=0.015m

Référence Modèle H01 Modèle H02 Modèle H03

Distance H (m) 0 0.025 0.015

Temps de fusion totale (s) 27.7 22 21.6

Plan de fusion plus rapide z=0.025 m z=0.05 m z=0.04 m

Plan de fusion plus lente z=0.1 (pôle supérieur) z=0 (pôle inférieur) z=0.1 (pôle supérieur)

Comportement thermique Claquage thermique du

creuset

Claquage thermique du

creuset Normal

Tableau IV-4- Le temps de fusion totale pour les modèles [H01-H02-H03].

0.1m 0.05m 0.015m

0.1m 0.05m 0.025m






- 87 -

Sur les figures (IV-18-22-23-) sont reportées les évolutions de la température transmise pour

chaque modèle. Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau (IV-4-). Des notes importantes sont

observables :

En ce qui concerne le plan de fusion plus rapide il est situé toujours où niveau du plan méridien

d’inducteur [z=0.025 pour H01 (H=0m) et z=0.05 pour H02 (H03=0.025m) et z=0.04 pour H03 (H03=0.015m)], en

revanche le plan de fusion plus lente est situé toujours où niveau des pôles de la charge: dans le

modèle H02 (H=0.025m) on remarque que le plan de fusion plus lente est situé où niveau du pôle

inférieur [z=0], néanmoins dans les deux autres [H01 (H=0m), H03 (H03=0.015m)] il est situé où niveau du

pôle supérieur [z=0.1].

L’avantage de la réduction du temps de fusion totale est accompagné par le comportement

positif du creuset. Il est très intéressant de noter que le modèle H02 est le modèle admissible car

l’homogénéité de la fusion est réalisable [ kT ο2030max = ] que signifie que notre creuset est protégé

contre les claquages thermiques, ainsi que le temps de fusion totale est réduit où bout de (21.6s).

IV-3-5-Influence de la fréquence sur la température transmise

La fréquence a une capacité significative pour lui permettre de contribuer plus d’amélioration

sur l’application désirée. Il a un double lien, le premier qu’il est proportion directe avec la densité de

source de chaleur et le second qu’il est proportion inverse avec la zone de chauffage (voir la figure IV-

24-). C'est pourquoi nous pouvons dire que l’ordre de fréquence optimale [40] attente doit être résolu,

celui qui si on rassemble sa zone de chauffage avec sa densité de source de chaleur donnent des

meilleures résultats.

Vers les valeurs élevées de la fréquence

Max

Figure IV-24- Schéma explicatif de l’influence de la fréquence sur la chaleur générée dans la charge

Min

Densité de chaleur générée


- 88 -

On veut étudier l'influence de la fréquence sur la température transmise dans l'or, on faire une

simulation sur le modèle H03 a porté sur trois fréquences différentes d’ordre kHz. D'après la

visualisation (figure IV-25-) on trouve les résultats présentés dans le tableau (IV-5-):

Référence Fréquence f1 Fréquence f2 Fréquence f3

Fréquence d'alimentation (Hz) 1000 2000 10000

Temps de fusion total (s) 21.6 33 360

Comportement thermique Normal Normal Normal

Tableau IV-5- Le temps de fusion total pour les fréquences [f1-f2-f3].

Les résultats obtenus et présentés dans le tableau montrent que la fréquence f1 Hz310=

(Modèle F01) est le plus préférable aux deux autres, car il a la capacité de la fusion la plus rapide

(21.6s), l'augmentation de la fréquence est accompagnée par la diminution de la profondeur de

pénétration des courants induits dans la charge [44,45]. Cet effet explique l'effet de peau, donc le

chauffage à coeur de la charge (la fusion de l’or) on peut le réaliser par des fréquences d’ordre 310 plus

faible.

f 2=2000 Hz f 3=10000 Hz

Figure IV-25-L’évolution de la température transmise vers la charge avec sJ = 710

A/m


- 89 -

IV-3-6-Influence de la densité de courant d'alimentation sur la température transmise

Maintenant on veut étudie l'influence de la densité de courant d'alimentation sur la température

transmise dans l'or. On garde le modèle H03 avec une fréquence (f= f1) et on change la densité de

courant. Et d'après la visualisation on trouve les résultats suivants:

Référence Densité de courant 1sJ Densité de courant 2sJ Densité de courant 3sJ

Densité de courant d'alimentation

(A/m) 6105 × 710 7102.1 ×

Temps de fusion (s) 81 21.6 16

Comportement thermique Normal Normal Claquage thermique

Tableau IV-6- Tableau IV-5- Le temps de fusion total pour les densités de courant [ 1sJ - 2sJ - 3sJ ].

Grâce aux résultats présentés dans le tableau ci-dessus, c’est évidemment d'adopter la densité

de courant d'alimentation 2sJ parce qu'il est le plus rapide de fuser l’or devant 1sJ et protégé contre

les claquages thermiques opposé de 3sJ qui est la capacité de fusion très rapide (16s) mais le creuset

est non protégé contre les claquages thermiques ( KT ο2334max = ).

61 105 ×=sJ A/m 7

3 102.1 ×=sJ A/m

IV-26-L’évolution de la température transmise vers la charge avec f= 310 Hz


- 90 -

L'augmentation de la densité de courant d'alimentation introduit une augmentation dans les

densités des sources de chaleur. Ces dernières sont localisées dans l'épaisseur de peau, la température

augmente rapidement dans cette zone, ce qui explique l'importance croissante du gradient de la

température entre l'axe de révolution et la surface de la charge [44,45]. Finalement on peut dire que la

densité de courant dicte la nature de traitement ; pour fuser l’or (chauffage à cœur) on utilise des

densités de courant de l’ordre de 710 A/m.

D’après cette simulation nous observons les points suivants :

1- Pour des couplages lâches on a des températures transmises dans la charge moins élevées. On peut

noter que les couplages séries permettent les meilleures températures transmises dans la charge.

2- On peut noter qu’une épaisseur du creuset plus petite permet une meilleure température transmise

dans la charge. Dans ce travail le comportement mécanique qui traduit l’action du creuset contre les

contraintes mécaniques n’étant pas considéré, Alors que cette problématique sera demandée des

travaux complémentaires concentrés qui mettront l’accent sur les propriétés et le comportement

mécaniques de l’alumine.

3- La valeur maximale de la température dans la charge est toujours située dans le plan méridien de

l’inducteur. Quand l’épaisseur de peau diminue, la position radiale de cette maximale se rapproche de

la surface externe de la charge. La valeur minimale de la température est toujours localisée aux pôles

de la charge.

4- On peut fuser l’or par des densités de courant de l’ordre de 710 A/m et des fréquences de l’ordre du

KHz. Lorsque l'épaisseur de peau diminue grâce à l’augmentation de la fréquence on remarque due

l’inhomogénéité dans la fusion augmente rapidement. L'augmentation de la densité de courant

introduit une inhomogénéité remarquable à cause de l’augmentation rapide de la température dans la

zone de chauffage localisée par l'épaisseur de peau.


- 91 -

Conclusion

Dans ce chapitre nous avons parlé brièvement sur les méthodes numériques et ses

développement avec l’outil informatique, en suite on cite quelque logiciels utilisant la méthode des

éléments finis en particulier le Comsol Multiphysics.

On propose un système de chauffage par induction pour fuser l’or, qui s’effectue en chauffant

ce dernier dans un creuset fabriqué à partir de l’alumine. La masse de l’or placée dans le creuset est

fondue jusqu’à atteindre sa forme liquide.

On a élaboré un modèle tridimensionnel sous Comsol Multiphysics. D’après la simulation on

remarque que cette technique permet de réduire le temps de fusion d’or par rapport aux méthodes de

chauffe plus standard.

On a besoin d’adopté des couplages séries et des épaisseurs du creuset faibles pour obtenir une

température transmise dans la charge maximale, puis de choisir une position verticale d’inducteur

d’une façon permettant de répartir les courants induits vers les deux pôles de la charge par des valeurs

comparables.

L’inhomogénéité est un des plus grands dilemmes que doit relever dans les systèmes de chauffage

par induction ; il est commandé par la densité de courant d’alimentation ainsi la fréquence. En ce qui

concerne la fusion de l’or, on a pu la réaliser par des densités de courant de l’ordre710 A/m et des

fréquences de l’ordre du KHz.

- 92 -

CONCLUSION ET PERSPECTIVES

L'induction électromagnétique a pour particularité de générer la chaleur directement à l'intérieur du

matériau à chauffer. Cette particularité présente de nombreux atouts par rapport aux méthodes de

chauffe plus standard, notamment la réduction des temps de chauffe et des rendements élevés, ou

encore la possibilité de chauffer de façon très sélective.

Les lois constitutives du matériau, qui sont caractéristiques de chaque milieu doivent être ajoutées

aux équations de Maxwell pour traiter le problème électromagnétique. Ainsi les propriétés thermiques

des matériaux doivent être ajoutées aux lois de la thermodynamique pour traiter le problème thermique.

Pour la résolution des problèmes électromagnétiques et thermiques, il existe plusieurs méthodes.

Parmi ces méthodes, on cite la méthode des éléments finis, la méthode des différences finies, la

méthode des volumes finis... La modélisation numérique traitée dans ce travail sera axée sur la

méthode des éléments finis.

Nous avons au cours de ce travail élaboré un modèle tridimensionnel sous Comsol Multiphysics.

La visualisation de l’évolution de la température dans la charge où la réduction du temps de fusion à

été considéré comme l’objectif principal permettant de déterminer les conditions optimales de

performance du système.

D’après la simulation on peut noter que cette technique permet de réduire le temps de fusion d’or

par rapport aux méthodes de chauffe plus standards (réduction du temps de fusion jusqu’à quelque

secondes). Le choix de la zone de chauffage, la position, la forme d'inducteur et la fréquence ainsi que

la forme et les dimensions du creuset sont des paramètres qui permettent d'adapter la source de chaleur

à l'application désirée.

On a besoin d’adopter des couplages séries (couplages plus petits) et des épaisseurs du creuset

faibles pour obtenir une température transmise vers la charge maximale, puis de choisir une position

verticale d’inducteur d’une façon permettant de répartir les courants induits vers les deux pôles de la

charge par des valeurs comparables. L’inhomogénéité est un des plus grands dilemmes qu’on doit

relever dans les systèmes de chauffage par induction ; elle est influencée par la densité de courant

d’alimentation ainsi que sa fréquence. En ce qui concerne la fusion de l’or, on a pu la réaliser par des

densités de courant de l’ordre de 710 A/ m et des fréquences de l’ordre du KHz.

- 93 -

Dans cette étude, on adopte certaines hypothèses simplificatrices et par conséquent on considère

que la résistivité électrique de l’or répond uniquement à une variation linéaire de la température et

toutes les autres propriétés électromagnétiques et thermiques sont constantes prenant leurs valeurs à la

température ambiante. On néglige également le phénomène de polarisation de l’alumine, ainsi que le

phénomène hydrodynamique qui apparaît dans le domaine liquide du matériau élaboré. Dans les

travaux futurs, la prise en compte de la variation de ces paramètres rendra les résultats de simulation

très proches des résultats expérimentaux.

Les chocs thermiques résultant de l’inhomogénéité de la fusion de l’or nous invite à envisager de

remplacer l’alumine par un matériau composite réfractaire dont la capacité est suffisante pour résister à

des températures qui peuvent dépasser le point d'ébullition de l'or. Cette démarche permet d’ignorer la

problématique de réfraction du creuset et de la remplacer par la problématique de l'évaporation de l'or.

Les effets de la variation des autres paramètres tels que la disposition de l’inducteur, la forme du

creuset, la fréquence et l’intensité du signal ont été également étudiés et optimisés.

A l’issue de ce travail, nous recommandons que les travaux futures soient orientés vers :

- L’utilisation de bobines solénoïdes dont le nombre de spires peut jouer un rôle favorable dans

le chauffage par induction.

- L’utilisation de creusets froids.

- L’introduction du modèle hydrodynamique (Navier-Stokes) en plus des modèles étudiés

(électromagnétique et thermique).

- 94 -

ANNEXE 01

I- NOTIONS ET PROPRIETES

1- Œrsted (unité)

L’œrsted (symbole Oe) est l'unité CGS (Centimètre Gramme Seconde) « électromagnétique » à

trois dimensions d'excitation magnétique ou de champ magnétique.

L'œrsted est définit dans le système SI par :

métreAmpéreOe /

4

10001

π=

[46].

2- Milieu linéaire

Un milieu est dit linéaire si la « réponse » est proportionnelle à la «perturbation», on connaît

l’exemple du ressort harmonique, le déplacement de son extrémité est proportionnel à la force que l’on

applique.

3- Milieu homogène

On dit qu’un milieu est homogène si ses propriétés sont les mêmes en tout point.

4- Milieu isotrope

Si ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions en point donné. [09].

5- Les réfractaires

Un matériau réfractaire est un produit qui conserve ses caractéristiques physico-chimiques

jusqu’à des valeurs élevées de température, la fusion du matériau n’apparaissant qu’au-delà des

conditions d’emploi. La norme ISO 1927 de 1984 stipule que «les matériaux réfractaires sont des

matières et produits autres que les métaux et alliages (sans que soient exclus ceux contenant un

constituant métallique), dont la résistance pyroscopique est équivalente à cο1500 au minimum

[47, 48,49].

6 – L’alumine

L'oxyde d'aluminium (Al2O3), couramment appelé alumine, est couramment utilisé en

céramique industrielle en raison de ses hautes performances et de son bas coût. En général, l'alumine

est proposée avec une pureté comprise entre 88 % et 99,99 % avec des propriétés qui varient en

conséquence. L'alumine renforcée par zircone est une qualité d'alumine modifiée plus résistante.

Les composants en alumine peuvent être fabriqués selon différentes méthodes telles que le

pressage, l'extrusion, le coulage en barbotine et le moulage par injection. Le procédé de fabrication

dépend généralement de la taille et de la quantité de composants demandés [50].

- 95 -

L’alumine est composé très dur : seul le diamant est quelque produit de synthèse ont une

dureté supérieure. A température ambiante, elle est inattaquée par les composés chimiques courants.

Elle fond à plus de cο2000 . L’alumine très pure peut être utilisée jusqu’à cο1700 . Elle est étanche aux

gaz jusqu’à cο1700 . La combinaison d’un coefficient thermique élevé, d’une faible dilatation

thermique et d’une résistance élevée à la compression permet une bonne tenue aux chocs thermique.

On l’utilise donc comme matériau réfractaire, par exemple pour le revêtement de fours ou comme

creuset, tubes de gains de thermocouples soumis à des chocs thermiques. L’alumine offre également

une bonne isolation électrique à température élevée et une bonne résistance à l’usure, ce qui permet de

l’utiliser comme matériau d’outillage [51].

7- Propriétés des creusets d'alumine [51,52] :

1- grande pureté : Al2O3> 99%, bonne résistance à la corrosion chimique.

2- bonne résistance de la température, utilisation à long terme cο1600 et cο1800 à court terme.

3- bonne résistance rapide de choc thermique, non facile à éclater.

4- coulée en barbotine avec une densité.

II- LES PROPRIETES PHYSIQUES DU PROBLEME TRAITE [2 8, 29, 37,38]

L’air

L’inducteur (cuivre)

Le creuset (alumine)

La charge (or)

Perméabilité magnétique [ 1. −mH ] 710..4 −π 710..4 −π

710..4 −π 710..4 −π

conductivité électrique [ 1. −mS ] 0 6105.62 × 1210−

( )[ ]0

6

1

106.45

TT −+×

α

Conductivité thermique [ KmW ο// ] 0.026 384 35 317

Chaleur massique [ KkgJ ο// ] 1010 340 730 129

Permittivité électrique [ 1. −mF ] 1210854.8 −× 1210854.8 −×

121027.44 −× 1210854.8 −×

- 96 -

ANNEXE 02

Les conditions aux limites proposées par Comsol Multiphysics [37,38]

SYSTEME ELECTROMAGNETIQUE

FRONTIERES EXTERNES

Isolation magnétique La composante tangentielle du potentiel

magnétique est nulle. 0=× An

ρρ

Isolation électrique La composante tangentielle du champ

magnétique est nulle. /

Champ magnétique Spécification de la composante tangentielle du

champ magnétique. /

Potentiel magnétique Spécification de la composante tangentielle du

potentiel magnétique. /

Courant de surface Spécification de la densité de courant de surface /

Condition aux limites

d'impédance

Spécification du champ électrique en

fonction de l'impédance de surface, valable pour les

faibles épaisseurs de peau.

/

Condition périodique

Le potentiel magnétique dans une frontière

est spécifie en fonction du potentiel magnétique d'une

source.

/

FRONTIERES INTERNES

Isolation magnétique La composante tangentielle du potentiel

magnétique est nulle. /

Potentiel magnétique Spécification de la composante tangentielle du

potentiel magnétique /

Courant de surface Spécification de la densité de courant de surface. ( ) SJHHn =−× 21

ρρρ

Continuité

Égalité des composantes tangentielles des

champs magnétiques entrant et sortant dans une

surface.

( ) 021 =−× HHnρρρ

Couche mince de faible

perméabilité

Spécification du champ magnétique de

surface pour une épaisseur mince en fonction de la

perméabilité magnétique.

/

Condition aux limites

de transition

Spécification du champ électrique en

fonction de l'impédance de surface, valable pour les

faibles épaisseurs de peau.

/

SYSTEME THERMIQUE

- 97 -

ANNEXE 03

FRONTIERES EXTERNES

Température Spécification de la température de

surface. /

Isolation / symétrie

Cette condition est utilisé si la frontière

est calorifugée ou quand il y à des

symétries qui imposent un flux nul.

( ) 0. =∇−− Tknρρ

Flux de chaleur Spécification du flux de chaleur

traversant une frontière. /

Flux convectif Spécification du flux convectif

traversant une frontière. /

FRONTIERES INTERNES

Source / puis de chaleur

Spécification du flux généré (source: signe +)

par une frontière ou dissipé (puis: signe -) par

une frontière.

( ) ( )( ) ( )44

0

222111

.

..

aba TTTThq

TknTkn

−−−−

=∇−−∇−−

εσ

ρρρρ

Continuité

(contact parfait)

Cette condition est utilisé si deux frontières

sont en contact parait: Il y à égalité des

températures et des flux.

( ) ( ) 0.. 222111 =∇−−∇−− TknTknρρρρ

Température Spécification de la température de surface. 0TT =

- 98 -

Méthode de NEWTON-RAPHSON [17, 53]

1- Principe

Le procédé le plus utilisé est celui de Newton-Raphson.

Si ( )xf est une fonction continue st continûment dérivable dans le voisinage de∗x , alors le

développement en série de Taylor autour d’un estimé ( )nx s’écrit :

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ....!2/2 +′′−+−′+= ∗∗∗ nnnnn xfxxxxxfxfxf (A3-01)

Si ( )nx est un estimé proche de la solution ∗x de ( ) 0=xf .

Alors le carré de l’erreur ( )nε où ( ) ( )( )nn xx −= ∗ε est les termes de degré supérieur sont négligeables.

Sachant que ( ) 0=∗xf , on obtient la relation approximative:

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0=−′+ ∗ nnn xxxfxf (A3-02)

est une approximation de l’erreur est donc :

( ) ( )( ) ( )( )nnn xfxf ′= /ε (A3-03)

On peut don considérer qu’un meilleur estimé de ∗x sera :

( ) ( ) ( )nnn xX ε+=+1 (A3-04)

De (A3-03) et (A3-04) on obtient l’algorithme de Newton-Raphson :

( ) ( ) ( )( ) ( )( )nnnn xfxfxx ′−=+ /1 ( )max,.......2,1,0 nn =

2- Convergence de la méthode

D’une manière générale, la dérivée seconde joue un rôle important dans la convergence de la

méthode de Newton-Raphson. On pourrait montrer sans trop de difficulté le théorème suivant :

Soit [ ]ba, un intervalle tel que : ( ) ( ) 0. ⟨bfaf

[ ]bax ,∈∀ ( ) 0≠′ xf

[ ]bax ,∈∀ ( ) 0≠′′ xf

Alors, ( ) 0=xf possède une seule racine dans [ ]ba , et ( ) [ ]bax ,0 ∈∀ la suite :

( ) ( ) ( )( ) ( )( )nnnn xfxfxx ′−=+ /1 ( )max,......2,1,0 nn = converge quadratiquement.

Le choix du point de départ est crucial. Pour assurer la convergence on choisira un ( )0x telle

que la condition de FOURIER soit vérifiée à savoir :

( )( ) ( )( ) 0. 00 ⟩′′ xfxf

ANNEXE 04

- 99 -

I- Comparaison entre le chauffage par gaz et le chauffage par induction [01,17,54]:

chauffage par gaz chauffage par induction

Appareillage - Investissements modérés; - Grande souplesse.

Installations coûteuses.

Transmission d’énergie vers la

charge

- Chauffage à la flamme; - Transferts de chaleur à des puissances limitées.

- Aucune flamme et aucun contact entre la pièce et l’inducteur; - Transferts de chaleur à grande puissance.

Temps de chauffage Lent. Rapide.

Zone de chauffage Non localisé. Bien localisé.

Environnement Pollution d’environnement à cause du

gaz brûlé. Perturbation d’environnement à cause

du champ électromagnétique.

II- Principe de compensation de chauffage par induction [19,55]

La nature inductive de la charge dans un chauffage par induction impose que l'on compense la

puissance réactive de cette dernière à l'aide d'un condensateur, place soit en parallèle soit en série.

1- La compensation série :

Figure -A4-01- Schéma de principe de compensation série

La charge est constituée par une inductance, une résistance et une capacité en série (voir la

figure -A4-01-), formant un circuit oscillant. Un tel circuit résonne à la fréquence :

chch

rCL

fπ2

1= (A4-01)

Pour laquelle l’impédance

- 100 -

2

2 1

−+=

ϖϖ

chchch C

LRZ (A4-02)

Se réduit à chR .

Le courant chi est en phase avec la tension du générateur sV est égal àch

s

R

V.

La tension aux bornes de l’inducteur est égale à sQV (ch

ch

R

LQ 0ϖ

= étant le facteur de qualité) (donc très

supérieur à sV ). Un tel montage s'applique naturellement aux cas de faibles puissances et en haute

fréquence, car l'impédance de l'inducteur est alors élevée ( ϖchL ), ce qui nécessite une forte tension.

2- La compensation parallèle :

L'inducteur (inductance et une résistance en série) est ici en parallèle avec le condensateur

(voir la figure -A4-02-). Dans ce cas l'impédance complexe de l'ensemble inducteur-capacité est :

( )( ) ( )22

22

1 ϖϖϖ

chchch

chch

CRL

LRZ

+−+

= (A4-03)

A la résonance, Z est maximale en module.

Un cas simple (fréquent en chauffage par induction) est celui ou la résistance (chR ) de l’inducteur est

faible devant sa réactance (ϖchL ). Dans ces conditions, on peut dire que si la condition de résonance

( 12 =ϖchchCL ) est vérifie, on a :

echch

ch RCR

LZ == (A4-04)

L’impédance du circuit est alors réelle (eR ).Le courant fournit par le générateur (chi ) est minimal, en

phase avec la tension et égal àe

s

R

V. Le courant dans l'inducteur i a pour valeur sQI . Il est très important

par rapport au courant du générateur.

Figure -A4-01- Schéma de principe de compensation parallèle

i

- 101 -

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