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Departamento de Ingeniería Mecánica

Proyecto Fin de Carrera

Optimización mediante algoritmos genéticos de la

interacción pantógrafo catenaria en los seccionamientos

de la catenaria ferroviaria

Gonzalo Limones Pradas

Alberto Carnicero López

Jesús R. Jimenez Octavio

Cristina Sánchez Rebollo

Madrid, Mayo de 2014

Índice general

1. Introducción 1

2. Motivación, Estructura y Objetivos del Proyecto y Recursos a

Emplear 5

2.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Estructura del Proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. Recursos a Emplear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. La Tracción Eléctrica Ferroviaria 9

3.1. Descripción de la Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1. Hilo de Contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.2. Hilo Sustentador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.3. Péndolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2. Características de la Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1. Características Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.2. Características Mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3. Descripción y Características del Pantógrafo . . . . . . . . . . . . . 23

3.4. Estado de la Técnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4. Estudio del Contacto Pantógrafo Catenaria 29

4.1. Fuerza del pantógrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2. Análisis estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5. Seccionamientos 37

5.1. Introducción a los Seccionamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2. Características Constructivas de los Seccionamientos . . . . . . . . 41

I

II ÍNDICE GENERAL

6. Algoritmos Genéticos 43

6.1. Inicio del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2. Evaluar la población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.3. Proceso de selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7. Descripción del Modelo Desarrollado 51

7.1. Optimización de un vano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.2. Optimización de un seccionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8. Análisis de Resultados 69

8.1. Resultados de la optimización del vano . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.2. Resultados de la optimización del seccionamiento . . . . . . . . . . 79

9. Conclusiones Generales y Trabajos Futuros 87

9.1. Conclusiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.1.1. Conclusiones de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.1.2. Conclusiones de la metodología . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.2. Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Bibliografía 92

Índice de tablas

3.1. Pendientes máximas del hilo de contacto [CS12] . . . . . . . . . . . 18

III

IV ÍNDICE DE TABLAS

Índice de �guras

1.1. Locomotora Eléctrica para la Exposición de Berlín de 1879[dIeTyL] 1

3.1. Catenaria CR 220 en el tramo Mataporquera-Reinosa, en Cantabria[ABE] 9

3.2. Principales elementos de distintos tipos de línea aérea de contacto[ADIa] 10

3.3. Principales modos de electri�cación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4. Tipos de sección del hilo de contacto[Rai] . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5. Péndola �exible (izquierda) y péndola articulada (derecha)[Pro] . . 14

3.6. Tipos de catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.7. Esquema del hilo de contacto en disposición zigzag[ABE] . . . . . . 16

3.8. Brazo de atirantado tirando del cable hacia afuera del poste[ABE] 17

3.9. Grá�co de �exibilidad de una catenaria simple[Onl] . . . . . . . . . 19

3.10. Alzado de un pantógrafo simétrico poligonal [Exp] . . . . . . . . . 23

3.11. Pantógrafo asimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1. Representación grá�ca de la fuerza de contacto . . . . . . . . . . . 31

4.2. Esquema de un pantógrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3. Representación de una malla de elementos �nitos de tres vanos . . 33

4.4. Representación grá�ca de la rigidez de un vano . . . . . . . . . . . 35

5.1. Polea de compensación para Lineas de Alta Velocidad [Ele] . . . . 38

5.2. Esquema de un cantón de compensación . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3. Diagrama de cuerpo libre del funcionamiento de una polea . . . . . 40

5.4. Alzados y planta de un seccionamiento de compensación de 4 vanos 42

5.5. Alzados y planta de un seccionamiento de compensación de 5 vanos 42

6.1. Esquema iterativo de los algoritmos genéticos . . . . . . . . . . . . 44

6.2. Proceso de selección por ruleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.3. Cromosomas padres codi�cados en binario . . . . . . . . . . . . . . 47

V

VI ÍNDICE DE FIGURAS

6.4. Esquema de punto de cruce único . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.5. Esquema de punto de cruce múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.6. Esquema de mutación de un cromosoma hijo . . . . . . . . . . . . . 49

7.1. Malla de elementos �nitos de benchmarkCatenary . . . . . . . . . . 52

7.2. Distribución de péndolas concentradas en el centro del vano . . . . 53

7.3. Distribución de péndolas concentradas en los extremos del vano . . 53

7.4. Distribución uniforme de péndolas a lo largo del vano . . . . . . . . 54

7.5. Grá�cas de desplazamientos y de la rigidez para un vano con con-

centración de péndolas en el centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.6. Grá�cas de desplazamientos y de la rigidez para el vano original . . 56

7.7. Malla de elementos �nitos del seccionamiento original . . . . . . . . 60

7.8. Malla de elementos �nitos de un seccionamiento con una distribu-

ción de péndolas alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.9. Malla de elementos �nitos de un seccionamiento modi�cando el pun-

to de elevación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.10. Superposición de seccionamientos con parábolas de coe�cientes dis-

tintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.11. Superposición de seccionamientos con curvas distintas . . . . . . . 65

7.12. Grá�ca de la rigidez para el seccionamiento original . . . . . . . . . 66

8.1. Evolución del valor de la función de aptitud . . . . . . . . . . . . . 71

8.2. Estructura con máyor homogeneidad en la rigidez del algoritmo de

5 iteraciones con tamaño de población de 100 . . . . . . . . . . . . 71

8.3. Grá�cas de desplazamientos y rigidez del vano óptimo . . . . . . . 72


8.5. Estructura con máyor homogeneidad en la rigidez del algoritmo de

10 iteraciones con tamaño de población de 50 . . . . . . . . . . . . 73



8.8. Estructura más apta del algoritmo de 5 iteraciones con tamaño de

población de 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76



8.11. Estructura más apta del algoritmo de 10 iteraciones con tamaño de

población de 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


ÍNDICE DE FIGURAS VII


8.14. Malla de elementos �nitos del seccionamiento óptimo . . . . . . . . 81

8.15. Malla de elementos �nitos del seccionamiento original . . . . . . . . 81

8.16. Grá�ca de la rigidez del seccionamiento óptimo . . . . . . . . . . . 83

8.17. Grá�ca comparando la rigidez del seccionamiento óptimo y del sec-

cionamiento original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.18. Grá�ca del análisis dinámico para el seccionamiento óptimo . . . . 85

8.19. Grá�ca del análisis dinámico para un seccionamiento generado alea-

toriamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.20. Grá�cas para la comparación de la simulación dinámica entre el

seccionamiento generado aleatoriamente y el seccionamiento óptimo 86

VIII ÍNDICE DE FIGURAS

Capítulo 1

Introducción

La tracción eléctrica ferroviaria nace en la Exposición Industrial de Berlin en

1879, cuando la sociedad de Siemens y Halske crea la primera locomotra eléctrica

alimentada por un carril especial situado en el eje de la vía. El tractor eléctrico

estaba alimentado con corriente continua a 160 V, circulaba con una velocidad

máxima de 12 km/h y arrastraba tres coches con un total de 18 viajeros (�gura

1.1). Fue el comienzo de la revolución electromecánica, que seguida por el desarrollo

de la electrónica de potencia a partir del año 1960, y la introducción de los motores

de corriente alterna trifásica han dado lugar a la tracción eléctrica ferroviaria que

conocemos hoy.

Figura 1.1: Locomotora Eléctrica para la Exposición de Berlín de 1879[dIeTyL]

El principio de funcionamiento de la tracción eléctrica ferroviaria se basa en

que los trenes toman la electricidad de elementos exteriores de la propia unidad

motriz. Se alimentan por una línea aérea de contacto a través de un sistema me-

cánico de alimentación llamado pantógrafo situado en el techo del ferrocarril. El

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

pantógrafo recibe la energía necesaria para el correcto funcionamiento del tren, esté

en circulación o en reposo. Pero para captar la energía, el pantógrafo debe seguir

siempre al hilo de contacto que está suspendido de la catenaria. El reto siempre ha

consistido en conseguir mantener este equilibrio, necesario para mantener niveles

aceptables de seguridad, a medida que se aumenta la velocidad de circulación.

El diseño de la catenaria debe cumplir entonces con dos funciones claras. Una

de ellas es determinar la sección del hilo para el transporte de energía a la ten-

sión y frecuencia deseadas. La otra, desde un punto de vista mecánico, es que

asegure el guiado y contacto permanente del pantógrafo, por lo que requiere unas

características geométricas determinadas.

Asegurar un contacto continuo, o prácticamente sin despegues entre los frota-

dores del pantógrafo y el hilo de contacto es imprescindible. Para que el pantógrafo

no encuentre ninguna discontinuidad en la línea aérea de contacto, los cables se

deben de solapar, de tal forma que cuando un cantón de la línea termina a con-

tinuación empiece el siguiente. La zona donde se solapa una sección del cable con

otra se denomina seccionamiento.

Debido a la importancia actual de la captación de corriente eléctrica, se hace

necesario un estudio en detalle de los elementos que componen la catenaria y el pan-

tógrafo, enfocando el análisis al comportamiento que tienen en los seccionamientos.

Esta parte de la catenaria es de particular interés por dos razones principales. La

primera es que es donde hay mayor riesgo de despegue del pantógrafo y es entonces

prioritario reducirlo. La segunda es que en alta velocidad se exige por norma que

el hilo de contacto no supere una determinada elevación, y al ser el solape de dos

hilos de contacto que se elevan interesa analizar qué geometría produce la zona

común de frotamiento más homogénea posible que evite picos de fuerza y por lo

tanto un mayor desgaste en ese punto.

Durante el siglo XX, la tracción eléctrica española ha experimentado un gran

desarrollo convirtiéndose en un referente en el mundo de los ferrocarriles. Investigar

mejoras en el material, en las instalaciones y en los montajes siempre ha sido

primordial para conseguir aumentar las velocidades de forma segura, reduciendo la

necesidad de trabajos de mantenimiento. Además de aumentar la comodidad del

servicio con la reducción en los tiempos de transporte, se crea un impacto energético

y económico. Estos son los mismos objetivos que persigue este proyecto, en el que

se pretende investigar el impacto que tienen las distintas curvas de elevación de los

seccionamientos en la interacción entre el pantógrafo y la catenaria.

Con una transición más suave de una línea a otra se espera conseguir aumentar

3

la e�ciencia de la captación eléctrica evitando posibles discontinuidades, y reducir

el desgaste tanto en el pantógrafo como en el hilo de contacto para no incurrir en

gastos excesivos de reparación y mantenimiento.

El estudio que se realiza en este proyecto se hace con programas de cálculo por

elementos �nitos, capaces de generar la geometría de la catenaria y el pantógrafo

y simular la interacción entre ambos. Estos programas se desarrollan en base a

las ecuaciones matriciales de ingenieria estructural y permiten variar parámetros

de la geometría de la catenaria para analizar de forma académica el impacto que

tienen sobre la rígidez del hilo de contacto ante el paso del pantógrafo. Estos pro-

gramas son el punto de partida de este proyecto, y se usan como herramientas

para programar unas funciones que permitan valorar el impacto de las caracte-

rísticas constructivas y geométricas de los seccionamientos sobre esta interacción.

La incidencia en la interacción pantógrafo catenaria de los parámetros tratados a

lo largo del proyecto se comprobará a través de unas simulaciones de contacto, y

se pretenden buscar las mejores geometrías mediante unos procesos iterativos que

incorporan los algoritmos genéticos desarrollados en este proyecto.

4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Capítulo 2

Motivación, Estructura y

Objetivos del Proyecto y

Recursos a Emplear

2.1. Motivación

La elección del estudio de las curvas de elevación en los seccionamientos y su

impacto en la interacción pantógrafo-catenaria responde a la importancia vital de

tener un contacto adecuado para garantizar la seguridad en alta velocidad.

La motivación se ve aumentada por el hecho de que se pueda evitar que las

líneas se queden sin servicio y perder tiempo y dinero reparándolas. Tiene además

el bene�cio añadido de permitir condiciones de estabilidad y seguridad aceptables

para aumentar la velocidad comercial de circulación.

Se decide enfocar el estudio en los seccionamientos por varios motivos:

1. Es un tramo de gran interés ya que el impacto de variar las curvas de elevación

sobre la interacción pantógrafo catenaria es muy tangible. Es decir, permite

establecer hipótesis iniciales sobre las curvas teóricas que ofrecen los mejores

resultados y hacer comprobaciones a través de simulaciones.

2. Se observa que es el tramo de la catenaria con más riesgo de despegue ya

que es donde aparecen más irregularidades y discontinuidades en parámetros

como la elasticidad de la catenaria y su homogeneidad. Si el objetivo �nal

es mejorar la calidad de contacto entre el pantógrafo y la catenaria es lógico

estudiar los tramos más vulnerables al despegue.

5

6CAPÍTULO 2. MOTIVACIÓN, ESTRUCTURAYOBJETIVOS DEL PROYECTOYRECURSOS A EMPLEAR

3. Hasta la fecha no se han realizado publicaciones de ningún tipo sobre las

curvas de elevación, lo cual aporta originalidad y una motivación adicional

para descubrir su posible impacto.

En de�nitiva, el proyecto se ve impulsado por la motivación de conseguir tres

objetivos detallados a continuación:

1. Mejorar la calidad de la captación de energía. La catenaria debe diseñarse

de tal forma que cuando el pantógrafo contacte con ella al pasar el tren, los

movimientos sean mínimos para garantizar un contacto permanente. En alta

velocidad y en los seccionamientos esto es una tarea complicada, por lo que

se decide buscar una solución estudiando curvas de elevación distintas.

2. Aumentar la resistencia al desgaste de la catenaria. Para conseguir una mejor

calidad de captación de corriente, se busca mejorar la calidad de contacto

entre el pantógrafo y la catenaria. Inevitablemente, con un contacto más

suave se evitan golpes y enganches que a altas velocidades desgastan ambos

elementos.

3. Reducir los costes de material y mantenimiento. Finalmente, un menor des-

gaste implica menos reparaciones y operaciones de mantenimiento en las

líneas. Estas son necesarias ya que el desgaste provoca cambios en el peso del

hilo de contacto y por tanto, cambios en su altura. Esto hace que a medida

que se desgasta más el hilo aumenta el riesgo de despegue del pantógrafo.

2.2. Estructura del Proyecto

El capítulo 3 se inicia con una descripción detallada de los elementos que in-

tervienen en la captación de corriente, los diseños geométricos y materiales que se

emplean en la catenaria �exible, y análogamente se describe el funcionamiento y

las propiedades mecánicas del pantógrafo. Se incluyen en este apartado las carac-

terísticas más importantes de las tecnologías desarrolladas por RENFE y ADIF y

las normas de relevancia que se deben tener en cuenta en el diseño de la catenaria.

Se hace al �nal del capítulo un breve resumen de las soluciones adoptadas para

mejorar la interacción entre el pantógrafo y la catenaria para poner el proyecto en

contexto antes de su desarrollo.

En el capítulo 4 se explica el fenómeno físico de la interacción entre el pantógrafo

y la catenaria. Se explica la diferencia entre el análisis estático y dinámico, y

2.3. OBJETIVOS 7

la forma en la que se modela el pantógrafo y la catenaria para analizar dicha

interacción.

A continuación, en el capítulo 5 se estudian los seccionamientos en profundidad.

Se explica su razón de ser y las características constructivas y geométricas más

relevantes a analizar y optimizar para conseguir una transición de un cantón a

otro más suave por parte del pantógrafo. Serán estas variables las que se estudien

más adelante en el modelo desarrollado.

Posteriormente en el capítulo 6 se explica el funcionamiento de los algoritmos

genéticos, ya que es el algoritmo metaheurístico de optimización global empleado

para la búsqueda de la mejor con�guración.

En el capitulo 7 se presenta el modelo desarrollado. Se detalla la evolución

del proyecto, partiendo de las herramientas sobre las que está cimentado y des-

cribiendo el código implementado para realizar el estudio de los seccionamientos.

Se incluye además un estudio adicional más sencillo de optimización de un vano,

empleado como base para crear las funciones más complejas desarrolladas para la

optimización de los seccionamientos.

Finalmente se recogen los resultados del análisis estático en el capítulo 8. Mi-

diendo la rigidez de la catenaria ante la fuerza vertical del paso del pantógrafo

se evalúa una gran variedad de seccionamientos con geometrías muy diversas. Ca-

da seccionamiento se construye con una distribución de péndolas aleatoria y unas

curvas de elevación distintas para analizar su posible impacto en la interacción

entre el pantógrafo y la catenaria. Se analizan y valoran las características del

seccionamiento más in�uyentes en dicha interacción.

En el último capítulo se recogen las conclusiones principales del proyecto y las

líneas futuras de investigación y trabajo.

2.3. Objetivos

En este proyecto se desarrolla una investigación para optimizar la interacción

entre el pantógrafo y la catenaria en los seccionamientos. El estudio se realizará

desde el punto de vista estático usando el cálculo por elementos �nitos y mediante

algoritmos genéticos para obtener la con�guración óptima del seccionamiento.

El estudio por elementos �nitos FEM (Finite Element Method) permite variar

la complejidad del diseño modelado. De esta manera, se pueden considerar tramos

de catenaria formados por uno o más vanos, variar las distancias entre péndolas,

variar el punto en el cual se empieza a elevar el hilo de contacto en los secciona-

8CAPÍTULO 2. MOTIVACIÓN, ESTRUCTURAYOBJETIVOS DEL PROYECTOYRECURSOS A EMPLEAR

mientos y estudiar el amplio abanico de curvas que puede tomar la elevación.

El objetivo principal del proyecto es realizar un estudio estático de los secciona-

mientos de la catenaria ferroviaria, midiendo la �exibilidad o rigidez, y homogenei-

dad que tiene la estructura de cables al estar sometida a la fuerza del pantógrafo.

Los parámetros que se deciden variar para analizar su posible impacto son:

Las curvas de elevación de los hilos de contacto

La distancia entre péndolas

El porcentaje de zona común

Previo al estudio es necesario conocer las características mecánicas y geomé-

tricas de la catenaria y del pantógrafo para modelar su interacción. Se enfoca el

estudio luego a los seccionamientos y sus características constructivas para anali-

zar los parámetros de inerés. Se realiza a continuación el modelo para encontrar la

con�guración óptima, o un pareto de soluciones óptimas.

2.4. Recursos a Emplear

Los recursos empleados para realizar este proyecto han sido los siguientes:

1. Matlab como programa principal para generar las funciones del proyecto y

crear el modelo de algoritmos genéticos para la optimización

2. CALESCA y AFECTOS como herramientas desarrolladas en Matlab para

el cálculo estático por elementos �nitos que permiten calcular la rigidez y

homogeneidad del hilo de contacto

3. CANDY como herramienta desarrollada en Matlab para evaluar la interac-

ción dinámica

4. LaTeX como editor de texto

5. Ordenadores para realizar las simulaciones, visualizar y analizar los resulta-

dos

Capítulo 3

La Tracción Eléctrica Ferroviaria

3.1. Descripción de la Catenaria

Catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos,

sometida a un campo gravitatorio uniforme. En el ámbito de la Ingenieria Ferro-

viaria, el término catenaria engloba todos los componentes que hacen posible la

toma de contacto eléctrico entre el pantógrafo del ferrocarril y el hilo conductor

del sistema. Expresa el conjunto de elementos, eléctricos y mecánicos, necesarios

para la captación de corriente de la línea aérea. Uno de sus elementos describe la

curva por la que hereda el nombre el conjunto entero.

Figura 3.1: Catenaria CR 220 en el tramo Mataporquera-Reinosa, enCantabria[ABE]

9

10 CAPÍTULO 3. LA TRACCIÓN ELÉCTRICA FERROVIARIA

En todas las líneas eléctricas convencionales se emplea el sistema de captación

catenaria, excluyendo aquellas que por sus características constructivas instalan

otros sistemas de captación como el tercer rail.

Este complejo sistema está compuesto por un conjunto de elementos citados a

continuación, mostrando su montaje en la �gura 3.2.

Hilo de contacto

Hilo sustentador

Péndolas

Ménsulas

Sistemas de compensación

Aisladores

Feeder de acompañamiento

Poste

Cable de tierra

Figura 3.2: Principales elementos de distintos tipos de línea aérea decontacto[ADIa]

3.1. DESCRIPCIÓN DE LA CATENARIA 11

La catenaria está formada por uno o dos hilos de contacto, que deben perma-

necer paralelos al plano de rodadura para facilitar la captación de corriente. Van

colocados sobre los carriles y los demás elementos de la catenaria deben asegurar

que estos hilos conductores transcurran paralelos a la vía y al suelo.

Para evitar que los hilos conductores formen una curva debido a su propio pe-

so, se sujetan mediante un cable superior que se llama hilo sustentador. Este hilo

también es conductor, pero no está en contacto con el elemento captador del tren,

por lo que no tiene que estar paralelo al suelo. Tiene la única función de sujetar al

hilo de contacto mediante unos cables verticales, también conductores, denomina-

dos péndolas. La electricidad transcurre por todos estos cables. Para mantenerlos

aislados eléctricamente, el conjunto está sustentado por ménsulas �jadas a postes o

pórticos. Estas ménsulas tienen aisladores que evitan la electri�cación de los postes

para la seguridad de las personas. Cada poste dispone de una ménsula que sujeta

el sustentador y descentra el hilo de contacto con el brazo de atirantado. Esto

hace que el hilo de contacto no esté exáctamente paralelo a la vía formando un

zig-zag, y se verán las aplicaciones de esta característica geométrica más adelante.

La distancia entre postes es de 50-70 metros, dependiendo del tipo de catenaria, y

el tramo comprendido entre dos postes se denomina vano.

3.1.1. Hilo de Contacto

El hilo de contacto es el conductor de la línea aérea de contacto que hace con-

tacto con los aparatos de toma de corriente. Los tipos de sistemas de alimentación

en la red ferroviaria son en corriente continua a 3000 V ó 1500 V y suelen incorpo-

rar dos hilos de contacto en las líneas principales. Las electri�caciones en corriente

alterna se hacen a 25 kV ó 15 kV y 50 Hz y suelen llevar sólo un hilo de contacto

ya que la corriente necesaria es menor para transportar la mísma potencia. En la

�gura 3.3 se aprecia en el grá�co los distintos tipos de electri�cación usados a nivel

global y el porcentaje de instalaciones ferroviarias en las que se emplean. [Fer14]

El material que se usa para la fabricación de los hilos de contacto ha sido tradi-

cionalmente el cobre. Sin embargo, por los incrementos en la tensión mecánica que

tienen que soportar los cables debido al aumento de la velocidad, se ha recurrido a

aleaciones con otros metales. Los más utilizados son el cadmio, la plata, el magnesio

y el estaño. El cadmio se usa cada vez menos por problemas medioambientales.

Las características más importantes que de�nen al hilo de contacto están re-

guladas por la norma EN 50149. Las secciones normalizadas son de 80, 100, 107,

120 y 150 mm2. Los tipos de per�l son de sección ovalada y circular. Se emplea


Figura 3.3: Principales modos de electri�cación

el de sección ovalada cuando se requiere un mayor radio de curvatura en la parte

inferior del hilo que permita una mayor zona de contacto para evitar los pequeños

arcos que se pueden formar. También tiene que cumplir con unas características

mecánicas como la tensión mínima y carga de rotura que dependen de la sección.

Para una sección de 100 mm2, por ejemplo, se tiene una capacidad mecánica de

35,50 kN y una tensión mínima de 355 N/mm2 [CS12].

Figura 3.4: Tipos de sección del hilo de contacto[Rai]

Como se observa en la �gura 3.4, los hilos de contacto tienen unas ranuras en

3.1. DESCRIPCIÓN DE LA CATENARIA 13

la parte superior. Estas ranuras tienen que estar a una distancia de 6,50 mm en

España, por el tipo de grifas que se utilizan en las administraciones ferroviarias

para unir el hilo de contacto a las péndolas.

3.1.2. Hilo Sustentador

El sustentador es el otro elemento más importante de la catenaria, ya que

al igual que el hilo de contacto tiene dos misiones: una eléctrica y una mecánica.

Colabora con la sección conductora a la transmisión de la corriente para la tracción,

y tiene que soportar el peso de los hilos de contacto para mantenerlos paralelos al

per�l de la vía mediante las péndolas.

Está diseñado para resistir esfuerzos grandes de tracción. Su composición es de

alambres de cobre o bronce agrupados helicoidalmente y las secciónes más utili-

zadas en la catenaria de corriente continua en ADIF son de 150 mm2 y 185 mm2

[CS12].

Las características mecánicas del hilo sustentador como la rigidez o la tensión

in�uyen directamente sobre el comportamiento del hilo de contacto. Su capaci-

dad de absorber las deformaciones de las péndolas y del hilo o hilos de contacto

condiciona el comportamiento estático y dinámico con el pantógrafo.

3.1.3. Péndolas

Las péndolas son los cables metálicos situados entre el hilo sustentador y el

hilo de contacto. Se colocan cada cierta distancia para transmitir el peso del hilo

de contacto al sustentador. Por ello, se desea que trabajen a tracción y tienen

diseños diferentes orientados para conseguir este objetivo. La péndola tiene que

ser conductora de corriente por lo que está fabricada de cobre o aleaciones de este,

para cumplir las funciones eléctricas y mecánicas que tiene.

En la interacción entre la catenaria y el pantógrafo, el elemento captador produ-

ce impulsos sobre el conductor. Es importante que estos impulsos no se transmitan

al sustentador para que no se ponga en movimiento, provocando una desconexión

entre el pantógrafo y la catenaria importante. Las péndolas tienen que estar some-

tidas a compresión para no transmitir esfuerzos al sustentador que lo desplacen.

Existen diversas con�guraciones de péndola que favorecen este funcionamiento co-

mo la péndola �exible y la péndola articulada.


Figura 3.5: Péndola �exible (izquierda) y péndola articulada (derecha)[Pro]

La distribución de las péndolas a lo largo del vano puede tomar varias con�gu-

raciones, y dependiendo de su disposición la catenaria se puede clasi�car en tres

grupos principales que son los más desarrollados en las administraciones ferrovia-

rias: la catenaria simple, la catenaria con péndola en Y y la catenaria compuesta.

Estos tres tipos están ilustrados en la �gura 3.6.

Figura 3.6: Tipos de catenaria

La catenaria simple es la más sencilla de montar, y aunque sus propiedades

3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA CATENARIA 15

estáticas y dinámicas no son idóneas para la la alta velocidad, hay líneas de alta

velocidad que la usan. Hoy se discute sobre si es mejor que la que tiene péndola

en Y porque su montaje es mucho más sencillo.

La catenaria con péndola en Y mejora las propiedades estáticas y dinámicas

en el paso por los apoyos especialmente. En la zona de unión con la ménsula, las

péndolas se unen mediante unos cables diagonales llamados falsos sustentadores.

Esto hace sobre todo más homogénea la rigidez en la zona de los postes, ya que

se evita que el hilo de contacto lo sujete directamente la ménsula y se amortiguan

mejor las deformaciones en este tramo. Se consigue entonces que la zona donde

están los postes, que es la parte más rígida de la catenaria, sea más �exible como en

el centro del vano, pero tiene un montaje y mantenimiento mucho más complicado

que la catenaria simple.

La catenaria compuesta es una prolongación de la idea de colocar más hilos

sustentadores. Ofrece las características más uniformes de �exibilidad y rigidez

pero tiene un coste y di�cultad de montaje que no ha favorecido su implantación.

En Japón se ha incorporado este diseño en las líneas de alta velocidad denominadas

Shinkansen.

3.2. Características de la Catenaria

Las condiciones geométricas que in�uyen más en el contacto entre el pantógrafo

y la catenaria, y que se deben de tener en cuenta durante el diseño e instalación

de la catenaria son:

Descentramiento del hilo de contacto

Distancia entre postes

Altura del hilo de contacto

Por otro lado, los factores mecánicos que determinan la correcta captación de

la corriente a través del pantógrafo son:

Rigidez/�exibilidad del hilo de contacto

Resistencia mecánica su�ciente frente a cargas externas (como el efecto del

viento)


3.2.1. Características Geométricas

Debido a la forma en la que se capta la corriente, el pantógrafo se ve constante-

mente sometido al desgaste por rozamiento con el hilo de contacto, y de la misma

manera el hilo de contacto se desgasta también.

Si se colocase el hilo de contacto siempre sobre el eje de la vía, el pantógrafo

rozaría siempre con el centro de su zona de captación, provocando un desgaste

excesivo del elemento captador. Si en cambio se hace que el hilo de contacto no

siga perfectamente el eje de la vía sino que haga zigzag de forma que roce el

pantógrafo en toda su zona útil se consigue alargar considerablemente la vida útil

de este elemento. En la �gura 3.7 se ve la planta y alzado de una instalación para

ilustrar el descentramiento.

Figura 3.7: Esquema del hilo de contacto en disposición zigzag[ABE]

El descentramiento suele variar entre ±20 cm y ±30 cm. Esta disposición se

consigue descentrando el hilo de contacto en las ménsulas con unos brazos de

atirantado. Estos tiran del hilo hacia afuera o hacia dentro del poste de manera

alternada, de forma que el hilo trace una diagonal de poste a poste. En la �gura 3.8

se ve un brazo de atirantado tirando del hilo de contacto hacia afuera del poste.

Otra magnitud geométrica principal en una catenaria es la longitud del vano.

Por razones económicas, se intenta que sea lo más larga posible para contar con

menos cimentaciones, postes y ménsulas en la instalación. Sin embargo, hay dos

factores que limitan la longitud del vano. El primero es la altura de los postes, ya

que cuanto más largo sea el vano, más altos deberían ser los postes para compensar

la �echa del sustentador y mantener el hilo de contacto a la altura adecuada. El


Figura 3.8: Brazo de atirantado tirando del cable hacia afuera del poste[ABE]

segundo factor es el efecto del viento, que crea una �echa transversal más grande

bajo su acción cuanto más larga sea la longitud del vano. Esto hace que el hilo

de contacto se salga de la super�cie de frotamiento del pantógrafo (mesilla), es-

tropeando su funcionamiento. El valor de longitud de vano óptimo establecido por

las administraciones ferroviarias en España es del orden de 60 m.

La última característica geométrica de gran importancia es la altura del hilo

de contacto. Se de�ne como la altura media del hilo desde el plano de rodadura

de la vía. La velocidad de circulación de�ne la altura a la que se debe disponer el

hilo. Los hilos de contacto deben tener una altura que consiga que estos discurran

paralelos a la vía. Esta disposición es necesaria en las líneas de alta velocidad ya que

las condiciones de circulación son muy especí�cas y con un margen de variabilidad

casi nulo. Una variación brusca de la altura puede causar que el pantógrafo, por su

inercia, no consiga adaptarse a la nueva altura. Esto produce el despegue y la falta

de alimentación, y genera un arco eléctrico que contribuye a un mayor desgaste

entre ambos elementos.

La pendiente o gradiente es la variación de altura del hilo de contacto entre dos

puntos consecutivos. Se suele medir en tantos por mil, que equivale a la variación

en altura en milimetros por cada metro de longitud. En la tabla 3.1 se muestran

los valores máximos permitidos de pendiente y variación de pendiente tomados de

la norma UNE EN 50119.


Velocidad Máxima km/hPendiente Máxima Variación Máxima de Pendiente

%� %�50 1/40 25 1/40 2560 1/50 20 1/100 10100 1/167 6 1/333 3120 1/250 4 1/500 2160 1/300 3,3 1/600 1,7

CR160200 1/500 2 1/1000 1

CR200250 1/1000 1 1/2000 0,5>250 0 0 0 0

Tabla 3.1: Pendientes máximas del hilo de contacto [CS12]

3.2.2. Características Mecánicas

Es importante estudiar las características mecánicas de la catenaria para eva-

luar su comportamiento ante cargas externas y ante la fuerza que ejerce el pantó-

grafo sobre el hilo de contacto.

La variable mecánica que interesa controlar para mantener la deformación del

hilo en un rango de valores aceptables frente a la fuerza del pantógrafo es la �exibi-

lidad o rigidez del hilo de contacto. La condición para que se transmita energía en

todo momento de la catenaria al ferrocarril es que la catenaria y el pantógrafo estén

siempre en contacto. Debido a este contacto, el pantógrafo, mientras se desplaza,

ejerce una fuerza vertical sobre el hilo de contacto. Esto provoca una elevación en

el hilo de contacto, y el grado de elevación depende de las características del hilo

y de la fuerza del pantógrafo, que depende a su vez de la velocidad de circulación.

Conociendo la fuerza ejercida por el pantógrafo y recurriendo a métodos de ele-

mentos �nitos para calcular las elevaciones del hilo, se calcula la rigidez usando la

ley de comportamiento de muelles 3.1.

F = K · x; (3.1)

donde:

F es la fuerza del pantógrafo (N)

x es el desplazamiento (mm)

K es la rigidez (N/mm)


La �exibilidad es la inversa de la rigidez por lo que mide la elevación del

hilo de contacto cuando se aplica una fuerza unitaria. El estudio de la rigidez

y �exibilidad se hace aplicando una fuerza estática. Esto signi�ca que se mide la

elevación aplicando una fuerza en cada punto del hilo de contacto partiendo del

equilibrio estático del mismo.

Para mejorar las condiciones de contacto es necesario que la rigidez vertical de

la catenaria sea lo más uniforme posible. Se pre�ere además que sea muy elevada

para que los desplazamientos sean pequeños y la altura del hilo de contacto varíe lo

menos posible. Dado el diseño que tiene la catenaria, la �exibilidad no es uniforme y

esta no uniformidad debe intentarse que sea mínima. El desplazamiento producido

por la fuerza de contacto depende esencialmente del punto de aplicación: será

mayor en el centro del vano que cerca de las ménsulas y tiene mínimos locales en

los puntos que coincide con las péndolas, ya que son puntos de mayor rigidez.

Figura 3.9: Grá�co de �exibilidad de una catenaria simple[Onl]


El cálculo de la homogeneidad de la �exibilidad se hace con la formula 3.2:

U( %) =emax − emin

emax + emin· 100; (3.2)

donde:

U es la homogeneidad

emax es la �exibilidad máxima del vano

emin es la �exibilidad mínima del vano

Se busca minimizar el valor de U para que esté en un intervalo entre el 10%

y el 30% [CS12] para optimizar el contacto. Los factores que contribuyen de ma-

nera más signi�cativa a minimizar la homogeneidad (minimizar la variación de

�exibilidad) son:

El empleo de catenaria con péndolas en Y

Concentrar las péndolas en el centro del vano

Montar el hilo de contacto con una �echa inicial

Partiendo de la grá�ca 3.9 en la que se muestra la �exibilidad para un catenaria

simple con una distribución de péndolas aproximadamente uniforme se explica

como estos factores mejoran la homogeneidad.

El empleo de péndolas en Y concretamente disminuye la rigidez al paso por los

brazos de atirantado. En la grá�ca de la catenaria sencilla se ve que las ménsulas son

el punto de máxima rigidez y reducirla consigue disminuir la deformación relativa

entre el punto de máxima deformación y mínima deformación, consiguiendo una

rigidez más homogénea.

Concentrar las péndolas en el centro del vano consigue añadir rigidez en esta

parte, que es la zona de mayor �exibilidad. De la misma manera, la �echa inicial

en el hilo de contacto hace más rígido el centro del vano al paso del pantógrafo.

Con una combinación de los factores anteriores se puede reducir la �exibilidad

en el centro del vano y aumentarla en los extremos para conseguir la máxima

homogeneidad.

La otra cara del análisis mecánico es analizar la resistencia de la estructura

de la catenaria frente a cargas externas. Las distintas hipótesis de hielo, viento y

cambios de temperatura provocan cambios en la tensión mecánica de los cables


y en su �echa. También afectan al comportamiento de la catenaria las cargas

permanentes, como el peso propio de los cables.

La ecuación que relaciona dos estados o situaciones es la ecuación de cambio

de condiciones 3.3. Conociendo la temperatura, carga y tensión en el cable en una

situación inicial, y las condiciones de temperatura y cargas en otra situación, se

puede despejar la tensión mecánica en el cable en esta última situación.

a2 · P 21

24 · T 21

− α · t1 −T1A · E

=a2 · P 2

2

24 · T 22

− α · t2 −T2A · E

(3.3)

donde:

a es la longitud del vano

P es el peso aparente del conductor

t es la temperatura del cable

T es la tensión mecánica del cable

A es la sección del conductor

E es el módulo de elasticidad

α es el coe�ciente de dilatación térmica

Se utiliza el concepto de EDS (Every Day Stress) que establece la tensión me-

cánica, como porcentaje sobre la carga máxima de rotura, a la que está sometido

el cable en condiciones habituales de carga y temperatura. Suele estar en un valor

entre el 16 % y 24 % de la carga de rotura [RH14]. Si el EDS es más bajo, el cable

soporta mejor el efecto de las cargas externas en condiciones normales. Esto favo-

rece su comportamiento frente a posibles vibraciones, pero empeora la economía

de las líneas. Cuanto más tensado esté el cable más riesgo hay de los siguientes

tipos de fenómenos de vibración:

Vibraciones eólicas

Galope de conductores

Oscilaciones en subvanos

Las vibraciones eólicas no son muy comunes en la Línea Aérea de Contacto

como lo son en las líneas de alta tensión por sus vanos de longitudes elevadas.


Sin embargo, si se han dado casos motivados por un incremento excesivo de la

tensión mecánica en los cables donde se ha producido rotura de los mismos en la

zona cercana a la grapa de suspensión. La amplitud de las vibraciones eólicas están

entre 0.01 y 1 veces el diámetro del conductor y ocurren ante vientos moderados

de 1-7 m/s [RH14].

El fenómeno del galope de conductores se asocia a la acción del viento cuando

los conductores tienen un depósito de hielo que los recubre sólo parcialmente. Al no

tener una forma simétrica, se producen fuerzas por la inestabilidad aerodinámica.

Las oscilaciones en subvanos se producen en líneas aéreas con haces múltiples

de conductores debido al acoplamiento aerodinámico de los conductores sometidos

a vientos entre 4-18 m/s [CS12].

El fenómeno más preocupante para la LAC es el de las vibraciones eólicas ya

que produce roturas en la zona cercana a la grapa. Se emplean reforzadores para

reforzar el conductor en el punto de sujeción con la grapa. También es muy fre-

cuente usar amortiguadores encargados de modi�car las características dinámicas

del conductor.

3.3. DESCRIPCIÓN Y CARACTERÍSTICAS DEL PANTÓGRAFO 23

3.3. Descripción y Características del Pantógrafo

El término pantógrafo se emplea para hacer referencia al elemento captador de

la energía situado en el techo de los ferrocarriles porque los primeros pantógrafos

diseñados y puestos en servicio presentaban la geometría simétrica poligonal de un

pantógrafo de dibujo. Se parece a un conjunto de varillas conectadas formando un

paralelogramo con un punto �jo o pivote como muestra la �gura 3.10.

Figura 3.10: Alzado de un pantógrafo simétrico poligonal [Exp]

El funcionamiento óptimo del pantógrafo se consigue si no hay ningún despegue

entre el frotador y el hilo de contacto de la catenaria. Así podrá tomar la corriente

eléctrica necesaria para el correcto funcionamiento del tren en todo momento. Las

pérdidas de contacto se producen principalmente por la inercia del pantógrafo, que

le impide adquirir las aceleraciones instantáneas según las perturbaciones del hilo

de contacto, como variaciones de altura; por este motivo se tiende a reducir la

masa dinámica del pantógrafo.

El pantógrafo simétrico poligonal tiene la capacidad de absorber las diferencias

de altura entre la parte superior del vehículo y la catenaria así como los movimien-

tos verticales y transversales de la propia dinámica de la marcha. En la mesilla,

situada en la parte superior del pantógrafo, se encuentran los frotadores para captar

la corriente eléctrica. En la parte inferior del pantógrafo se encuentran aisladores

para aislar el techo del tren de la electricidad que recibe. Este diseño duró muchas

decadas pero sólo era adecuado hasta velocidades de 120 km/h debido a la masa


elevada del aparato. Evolucionó la tecnología al pantógrafo asimétrico que tenía

una masa reducida para que tuviese menos inercia a velocidades superiores en las

que es determinante este factor para evitar los despegues del pantógrafo.

Figura 3.11: Pantógrafo asimétrico

El pantógrafo asimétrico (�gura 3.11) ha demostrado mejores prestaciones en

servicio y mayor �abilidad y ha sido adoptado como elemento captador por las

administraciones ferroviarias para su empleo en los vehículos modernos de alta

velocidad. Por la función que desempeña, se requiere que los pantógrafos tengan

unos diseños óptimos de comportamiento entre los cuales se encuentran:

Estructura geométrica adecuada a las necesidades de cada tren / instalación.

Los criterios dinámicos requeridos no serán iguales para un pantógrafo de

tipo tranviario y un pantógrafo de un tren de alta velocidad

Materiales con buen comportamiento a la fatiga y condiciones ambientales.

En el caso de los frotadores, se emplean materiales con buen comportamiento

frente al desgaste

Reducido mantenimiento y alta disponibilidad y �abilidad

Los pantógrafos asimétricos han demostrado cumplir con estos requisitos y

tienen unas ventajas que lo hacen adecuado para el mundo de alta velocidad:

3.3. DESCRIPCIÓN Y CARACTERÍSTICAS DEL PANTÓGRAFO 25

Permiten captar electricidad sin interrupciones (despegues) a velocidades

superiores a 200 km/h

El menor número de barras permite reducir masas e inercias al mínimo ne-

cesario

El sistema de accionamiento neumático permite corregir las desviaciones geo-

métricas producidas durante el ascenso y descenso

Se reduce el número de articulaciones, que derivan en holguras y funciona-

miento incorrecto

Disminuye el mantenimiento y los costes de producción

Las características geométricas más importantes del pantógrafo son las siguien-

tes:

Desarrollo del pantógrafo: recorrido en mm desde la posición plegado hasta la

altura máxima que puede alcanzar en el punto de contacto con el pantógrafo.

Se establece un desarrollo del pantógrafo como mínimo de 1.700 mm

Altura de captación mínima: distancia mínima en mm, medida sobre el plano

de la vía, a la que el pantógrafo debe ser capaz de tomar corriente en con-

diciones de seguridad. El valor mínimo establecido por ADIF es de 4.600

mm

Altura de captación máxima: distancia máxima en mm, medida sobre el

plano de la vía, a la que el pantógrafo debe ser capaz de tomar corriente

en condiciones de seguridad. El valor establecido por ADIF es de 6.000 mm

[CS12]

Fundamentalmente la estructura del pantógrafo tiene que ejercer una fuerza

su�ciente para que el contacto sea continuo, pero también tiene que permitir que

la mesilla descienda cuando lo haga el hilo de contacto. Esto ocurre en algunos

tramos como por ejemplo en túneles o puentes donde debido al gálibo la distancia

entre el hilo de contacto y el techo del vehículo disminuye. Si cumple con estas

condiciones básicas la captación de corriente será más regular y sin despegues o

rozamiento excesivo, y se alargarán las vidas útiles del pantógrafo y del hilo de

contacto.


3.4. Estado de la Técnica

En España, la Red Nacional de los Ferrocarriles Españoles (RENFE) ha sido la

encargada de diseñar una catenaria tipo para su aplicación en los futuros planes de

desarrollo. Desde su creación en 1941, se han estudiado los problemas de las piezas

que componían la catenaria y analizado las características eléctricas y mecánicas

que proporcionan un funcionamiento cada vez más óptimo. Impulsados también

por buscar soluciones más económicas, prácticas y resistentes al desgaste se han

ido desarrollando proyectos que mejoran la catenaria como sistema para alimentar

la tracción ferroviaria.

Durante la evolución de la catenaria, se han adoptado varias soluciones tecno-

lógicas para mejorar especí�camente la interacción entre el pantógrafo y el hilo de

contacto. A continuación se resumen las soluciones más importantes adoptadas y

su repercusión.

Per�l del hilo de contacto Se estableció un per�l que ofreciese la mínima re-

sistencia al viento y que hiciese el mejor contacto posible con el pantógrafo.

Descentramiento Se introdujo esta característica que consiste en descentrar el

hilo de contacto con respecto al eje de la vía para utilizar toda la parte útil

del pantógrafo y evitar un desgaste más rápido en el centro del mísmo. Se

tiene generalmente un descentramiento de 20 cm en los postes, y se consigue

usando brazos de atirantado, alternando el atirantado hacia fuera y hacia

dentro del poste.

Vano máximo Se limitó la longitud del vano a 70 m, atendiendo a las conside-

raciones de que en ningún caso el hilo de contacto pueda salirse de la parte

útil del pantógrafo por las cargas del viento.

Péndola en Y Es una con�guración que favorece la homogeneidad de la elasti-

cidad de la catenaria a lo largo del vano. Si se quiere conseguir una buena

calidad de captación, es importante que la elasticidad y su variación a lo lar-

go del vano sean lo más estable posible, de manera que al aumentar la fuerza

de contacto con la velocidad, la frecuencia de la onda generada y la elevación

máxima sean lo más pequeñas posibles en el comportamiento dinámico.

Material del hilo de contacto Se empezaron a usar aleaciones de cobre para

dar mayor resistencia al desgaste, generalmente cobre magnesio o cobre es-

taño. Esto es muy importante ya que el desgaste provoca una disminución

3.4. ESTADO DE LA TÉCNICA 27

en el peso del hilo de contacto que afecta a su elevación y, por tanto, a su

interacción con el pantógrafo.

Catenarias diseñadas con �echa inicial Se tomó esta medida para contrarres-

tar la elevación del hilo de contacto producida por el desgaste, sobretodo en

el centro del vano.

Estas soluciones han mejorado considerablemente la captación de la energía

eléctrica, haciendo que el hilo de contacto tenga la elasticidad y la altura más

uniforme posible. Con esto se pretende tener menos pérdidas de contacto, y que

el número y tiempo de los arcos que se forman se minimicen. Al jugar un papel

de limitador de la velocidad máxima, es de extrema relevancia seguir investigando

nuevas formas de perfeccionar la interacción pantógrafo-catenaria.

La forma de realizar estas investigaciones es a través de programas informáticos

de elementos �nitos. Debido al alto coste que supone probar nuevas catenarias en

fase de proyecto, se simulan para optimizar su desarrollo y posterior uso. Empresas

constructoras e instaladoras de catenaria así como administraciones ferroviarias

desarrollan programas y aplicaciones para simular y predecir el comportamiento

de las catenarias y pantógrafos en uso en sus proyectos. La actividad desarrollada

en universidades y grupos de investigación asociados como la Universidad Ponti�cia

Comillas permite mejorar los programas existentes o introducir nuevas aplicaciones

en forma de paquetes informáticos.

Es importante señalar que la captación de corriente depende de múltiples fac-

tores que no pueden implementarse durante la simulación por lo que se hacen

diversas hipótesis conservadoras que facilitan el cálculo. Con la programación y

modi�cación de aplicaciones especí�cas para este proyecto, y el desarrollo de un

algoritmo genético adaptado a este problema, se busca el modelo de seccionamiento

que optimice el contacto con el pantógrafo, y por tanto la captación de la corriente

en este tramo.

Capítulo 4

Estudio del Contacto Pantógrafo

Catenaria

4.1. Fuerza del pantógrafo

Mantener el contacto entre el pantógrafo y la catenaria es imprescindible para

una buena captación de la energía eléctrica. Durante el contacto, el pantógrafo

ejerce una fuerza sobre el hilo de contacto causando un desplazamiento vertical del

hilo en esa zona. Para garantizar la transmisión de la energía eléctrica y disminuir

el desgaste debido a los arcos eléctricos que se producen con los despegues, la fuerza

de contacto tiene que ser mayor que cero. Para evitar que se llegue a este límite, se

pretende evitar que la fuerza esté por debajo del umbral de los 5daN. Por otra parte,

no interesa que sea demasiado alta para que no se provoque un desgaste excesivo

del hilo de contacto y del pantógrafo debido al rozamiento entre ellos durante

la circulación, ya que el rozamiento es proporcional al coe�ciente de rozamiento

estático y a la fuerza normal al sentido de circulación que es precisamente la fuerza

vertical que ejerce el pantógrafo sobre la catenaria.

En algunas ocasiones se emplean 2 pantógrafos si una potencia muy alta es

requerida por la locomotora y si los pantógrafos se encuentran su�centemente lejos

para que las vibraciones que causa el primer pantógrafo sobre la catenaria no

afecten negativamente el contacto del segundo. La calidad del contacto depende

también de muchos parámetros ajenos al pantógrafo como el estado de la catenaria,

el estado de la vía, las codiciones climáticas y la fuerza del viento. Principalmente,

se quiere reducir el número de despegues ya que estos eliminan el suministro de la

energía eléctrica además de desgastar el hilo de contacto. El número de despegues

29

30 CAPÍTULO 4. ESTUDIO DEL CONTACTO PANTÓGRAFO CATENARIA

por kilómetro es una medida de calidad del contacto, y el tiempo de interrupción

de corriente no debe superar un porcentaje del tiempo total invertido en el trayecto

�jado por las administraciones ferroviarias. Los límites establecidos por la Norma

Técnica de Homologación de Pantógrafos para Catenarias de 3000 V y Velocidad

Alta de Renfe son:

no de arcos/km recorridos <10

No se admiten arcos de duración >100 ms

% de tiempo de duración de los arcos <1% , cuando la velocidad sea mayor

o igual a 200 km/h

Se desprecian los arcos de duración <10 ms

La fuerza ejercida por el pantógrafo sobre la catenaria tiene tres componentes

como indica la ecuación 4.1.

Fmedia = Festatica + Faerodinamica + Fdinamica (4.1)

La componente estática siempre actúa en el contacto mientras que la fuerza

aerodinámica aumenta con el cuadrado de la velocidad de circulación. La fuerza

dinámica en cambio es la componente causada por las vibraciones provocadas por

la excitación de la catenaria y es proporcional a la masa dinámica del pantógrafo

y a la amplitud de deformación del hilo de contacto. Esta última componente

es un fenómeno aleatorio que tiene mayor impacto a medida que se aumenta la

velocidad de circulación, por lo que se realizan los ensayos dinámicos a velocidades

por encima de los 100 km/h.

En la grá�ca 4.1 se representa la evolución de la fuerza media en función de la

velocidad de circulación. La curva que se observa se ha obtenido mediante ensayos

experimentales y describe la parábola F (N) = 0,00097 · v(km/h)2 + 70. [lM03,

ETI02]

4.1. FUERZA DEL PANTÓGRAFO 31

Figura 4.1: Representación grá�ca de la fuerza de contacto

Se denomina fuerza media precisamente porque el esfuerzo total instantáneo

no es un valor exacto que se determina a partir de esta fórmula y grá�ca, sino que

se ajusta a una distribución normal de valor medio Fm y desviación estándar σ.

Se tiene entonces que la fuerza máxima para cualquier velocidad es

Fmax = Fmedia + 3 · σ (4.2)

y la fuerza mínima

Fmin = Fmedia − 3 · σ (4.3)

siendo la fuerza media la suma de las tres componentes indicadas en 4.1. Se

exige que la desviación típica no sea muy elevada de manera que la fuerza mínima

no llegue a estar por debajo de los 50 N y la fuerza máxima también esté por

debajo del límite superior exigido (que suele ser de 220 N pero depende del tipo

de vía) para que no haya un rozamiento excesivo.[ETI02]

La componente de la fuerza estática es la única que interesa a la hora de realizar

un análisis estático. Esta representa la fuerza de contacto entre el pantógrafo y la

catenaria con el vehículo parado y es consecuencia de la acción de los resortes del


pantógrafo sobre su estructura. Para simular correctamente el contacto entre el

pantógrafo y el hilo de contacto se utiliza un sistema de masas y muelles para

representar de una manera realista y sencilla la acción del pantógrafo sobre la

catenaria. En la �gura 4.2 se muestra un esquema de un pantógrafo con 3 grados

de libertad.

Figura 4.2: Esquema de un pantógrafo

Para el funcionamiento idóneo la fuerza estática debe de mantenerse constante,

aunque se admiten pequeñas variaciones. Para ello, se realiza una serie de ensayos

para medir la fuerza que ejerce el pantógrafo en sus movimientos de subida y

bajada antes de dar el visto bueno para su puesta en práctica.

4.2. Análisis estático

Una vez analizada la descomposición de la fuerza del pantógrafo en sus tres

componentes se deduce de manera lógica que la interacción entre el pantógrafo y

la catenaria se puede estudiar desde un nivel estático, considerando únicamente la

fuerza estática del pantógrafo, o desde un nivel dinámico en el que entran en juego

los efectos de la velocidad y las vibraciones en el contacto.

El análisis del proyecto se centra en un estudio estático por lo que se explica

la forma en la que se calculan los desplazamientos de la catenaria causados por la

fuerza estática del pantógrafo y los indicadores que miden la calidad del contacto

4.2. ANÁLISIS ESTÁTICO 33

desde esta perspectiva.

El primer paso para el análisis estático es la creación de una malla de elementos

�nitos que formen la estructura de la catenaria. Esto se hace a través de una dispo-

sición de nodos que representan una discretización de la estructura. Cuantos más

nodos se usen, más realista es la simulación pero tendrá un coste computacional

más alto y realizar cálculos tardará más tiempo. Una vez se tiene una malla de

nodos establecidos en coordenadas muy concretas, se unen los nodos de manera

que se representen las péndolas, el hilo sustentador, los postes y el hilo de contacto.

Las uniones entre los nodos se denominan elementos y pueden usarse elementos

de tipo barra pretensada o viga pretensada para representar la unión entre nodos

del hilo sustentador y del hilo de contacto y usar elementos tipo cable que solo

trabajan a tracción para representar las péndolas. Se tiene que diferenciar además

el tipo de material y la geometría que se emplea para cada elemento para conocer

parámetros fundamentales para el cáclulo estructural como el área de la sección,

el momento de inercia, la densidad por metro y el módulo de Young.

Figura 4.3: Representación de una malla de elementos �nitos de tres vanos

La estructura para un tramo central de vanos es como la representada en la

�gura 4.3. Los postes representan una condición de contorno que �ja la coordena-


da en el plano vertical del hilo sustentador y del hilo de contacto. El resto de la

estructura se genera a partir de las coordenadas de los nodos y de los desplaza-

mientos debidos al peso de los cables y a la tensión incial generada en el alzado de

los cables de la catenaria.

Teniendo la estructura se le aplica la fuerza del pantógrafo en un punto del hilo

de contacto y se obtienen los desplazamientos de la estructura mediante un cálculo

iterativo que consiste en calcular con�guraciones sucesivas que se van acercando a

la con�guración real tras cada iteración mediante el método de Newton-Raphson.

De todos los desplazamientos de los nodos calculados se identi�ca el desplazamiento

del hilo de contacto en el punto de aplicación de la fuerza ya que es el punto de

interés para valorar cuanto ha subido el hilo de contacto debido a esta fuerza. Se

repite este cálculo para una serie de puntos de un extremo del vano al otro para

obtener el per�l de rigidez o �exibilidad de la catenaria.

El cálculo de las deformaciones para generar las con�guraciones se hace a través

del cálculo matricial para todos los nodos. Los desplazamientos de los puntos entre

los nodos, que es donde están de�nidos los elementos, se calculan como media

ponderada de los movimientos de los extremos, aplicando unas ecuaciones de forma

según el tipo de elemento que sea.

El resultado del análisis estático es un vector que recoge la rigidez de todos los

puntos en los que se ha aplicado la fuerza del pantógrafo y tiene la forma represen-

tada en la �gura 4.4. Al centro del vano le corresponde una rigidez inferior que a

los extremos donde el hilo de contacto está sujeto a los postes. Esta característica

de la grá�ca es análoga a la idea de conseguir una deformación máxima mayor al

aplicar una fuerza en el centro de una viga bi-apoyada que si se aplicaa la fuerza

en un punto cerca de uno de los apoyos. Los picos de rigidez se deben al paso

del pantógrafo por las péndolas que, al ser puntos de rigidez añadida, producen

máximos locales en la grá�ca del per�l de rigidez.

4.2. ANÁLISIS ESTÁTICO 35

Figura 4.4: Representación grá�ca de la rigidez de un vano

Teniendo el punto de máxima rigidez y el punto de mínima rigidez se emplea

la ecuación 4.4 para obtener la homogeneidad de la catenaria. Este es el indicador

para analizar la calidad del contacto desde la perspectiva estática

U( %) =rmax − rmin

rmax + rmin· 100; (4.4)

donde rmax es la rigidez máxima y rmin es la rigidez minima. Cuanto menor sea

U, mejor será la geometría de la catenaria. Se considera buena la homogeneidad

cuando está por debajo del 30%.

Capítulo 5

Seccionamientos

5.1. Introducción a los Seccionamientos

El tendido de la línea aérea de contacto está formado por la composición de

cantones sucesivos, cada uno con longitudes máximas de 1080 m en las instalaciones

de ADIF. En el trayecto ferroviario electri�cado, el pantógrafo de la locomotora

circula sucesivamente de un hilo de contacto al otro de las distintas catenarias.

Para que no se despegue en ningún momento, hay una zona en la que se tienen

que solapar las catenarias contiguas y esta se denomina seccionamiento.

La razón principal por la que existen los seccionamientos es por las deforma-

ciones en los hilos de la catenaria que producen los cambios de temperatura. Los

cables de la catenaria son tensados mecánicamente para asegurar que el pantógra-

fo circule de manera uniforme. Las deformaciones por temperatura se traducen en

variaciones de tensión además de cambios en la altura del hilo de contacto que no

permiten el adecuado funcionamiento del mismo. Para compensar las variaciones

de longitud se utilizan sistemas de compensación mecánica, que pueden llevarse a

cabo en los hilos de contacto y en el cable sustentador. Estos sistemas regulan la

longitud del cable mediante poleas de compensación y contrapesos, para que cuan-

do las dilataciones térmicas alarguen el cable se mantenga tensado y a la misma

altura con respecto al eje de la vía.

En la Figura 5.1 se ve un sistema de compensación para catenarias en Líneas

de Alta Velocidad (LAV). Los cables se tensan inicialmente de tal forma que, para

una temperatura de 25oC la altura de las pesas se encuentre en el punto medio del

poste y quede libre el tramo superior e inferior para absorber las dilataciones.

37

38 CAPÍTULO 5. SECCIONAMIENTOS

Figura 5.1: Polea de compensación para Lineas de Alta Velocidad [Ele]

El incremento de longitud de un cable debido a un incremento de temperatura

es:

∆L = L · α · ∆T

siendo

α el coe�ciente de dilatación térmica del cable (oC−1)

L la Longitud del cable (m)

∆T el incremento de temperatura (oC)

El incremento de longitud de un cable debido a la tensión de montaje es:

∆L =L · TE ·A

siendo

T el esfuerzo axil de tracción ejercido en el cable (N)

L la Longitud del cable (m)

A la sección del cable (m2)

E el módulo elástico del material del cable (N/m2)

5.1. INTRODUCCIÓN A LOS SECCIONAMIENTOS 39

Cuanto más largo sea el cable, más efecto hay por dilatación térmica y el incre-

mento de longitud debido a la tensión inicial de montaje también es proporcional

a la longitud inicial. El sistema de compensación, por ende, tiene limitaciones ya

que las pesas podrían llegar a apoyarse en el suelo con una dilatación su�ciente,

destensando el cable. Por ello, hay que limitar la longitud de los cantones para

que no se produzcan dilataciones que generen esta situación desfavorable. Para ser

más exactos, un sistema de compensación sólo tiene que soportar las dilataciones

de un semicantón. Los cantones se miden de anclaje a anclaje, pero en el punto

medio de la longitud del cantón la catenaria se �ja de manera que impida su des-

plazamiento longitudinal, denominándose a este punto �jo. La longitud máxima de

un semicantón está limitada a 540 m, lo cual explica por qué la longitud total del

cantón no puede sobrepasar los 1080 m. En la �gura 5.2 se muestra un esquema

de un cantón de compensación, señalando el punto �jo situado en el centro y los

seccionamientos en los extremos para empalmar con otros cantones.

Figura 5.2: Esquema de un cantón de compensación

Las poleas que se utilizan tienen normalmente una relación de compensación

de 1:5 para el hilo de contacto. Esto se hace para reducir el número de contrapesos

utilizados ya que el principio de acción de las poleas se basa en que el sistema

formado es un sólido rígido y para que esté en equilibrio la suma de momentos

respecto al centro del eje tiene que ser cero. Además, es habitual tener sistemas

de compensación independientes para el hilo de contacto y el sustentador, como

muestra la �gura 5.1, utilizándose una relación de compensación de 1:3 para el

sustentador.


Figura 5.3: Diagrama de cuerpo libre del funcionamiento de una polea

El equilibrio representado en la �gura 5.3 responde a la siguiente ecuación:

P ·R2 = T ·R1;

P

R1=

T

R2

Donde:

P es el peso de los contrapesos

T es la tensión del cable

R1 y R2 son las distancias a la línea de acción del eje de la polea

Si se quiere conseguir una tensión T constante en los cables, con una distancia

R2 más grande y una distancia R1 más pequeña, se requiere menos contrapesos

para la compensación. Precisamente la relación R2R1

es conocida como la relación

de compensación o factor de multiplicación.

Los seccionamientos que aparecen entre cantónes se llaman seccionamientos de

compensación, y tienen la función de dividir mecánicamente las líneas para absor-

ber las variaciones de longitud de los cables por efectos de la dilatación térmica.

También existe otro tipo de seccionamiento denominado seccionamiento de lámina

de aire que tiene además la misión eléctrica de aislar los dos tramos distintos de la

línea aérea de contacto.

5.2. CARACTERÍSTICAS CONSTRUCTIVAS DE LOS SECCIONAMIENTOS41

5.2. Características Constructivas de los Seccionamien-

tos

El problema a resolver en los seccionamientos es que por un lado, interesa que

la carga mecánica de la catenaria sobre el pantógrafo sea lo más uniforme posible

y no modi�car entonces la masa de la catenaria. Por otro lado, no puede haber

pérdida de contacto por lo que el cruce debe tener una zona de frotamiento común.

La variación de altura entre los apoyos y el centro del vano del seccionamiento

no tuvo mucha importancia mientras las velocidades de circulación eran bajas. A

partir de los 160 km/h se exige que el seccionamiento tenga un comportamiento

homogéneo con el resto de la línea. Esto signi�ca que el pantógrafo no debe detectar

ningún cambio de características entre un vano de seccionamiento y un vano normal

de la línea.

Para ello, se quiere analizar cual debe ser la longitud de frotamiento común

entre las dos líneas y como debe ser su elevación. Será necesario tener en cuenta

las siguientes consideraciones técnicas:

Elevación de los hilos de contacto: Es necesario calcular la longitud necesaria

de acuerdo a las características mecánicas y la elevación máxima de montaje,

por lo que se debe disponer del número de vanos necesarios para elevar la

catenaria hasta el poste de anclaje.

Distancia entre péndolas: La distribución de las péndolas en el vano de sec-

cionamiento in�uye mucho en el impacto mecánico de la catenaria. Es impor-

tante analizar si conviene una con�guración de manera que no haya péndola

en el centro del vano que corresponde a la zona más rígida ya que se solapan

las dos catenarias.

Porcentaje de zona común: Según se elija elevar los hilos de contacto se pue-

den establecer distintos porcentajes de zona común entre ambas catenarias.

Una zona común del 0% signi�ca que sólo existe un punto de contacto entre

una catenaria y la otra. Una zona común del 100% se consigue si ambos hilos

tienen el mismo punto de inicio de elevación. Esto lleva asociado la máxima

zona común teniendo en cuenta el empuje del pantógrafo y la elasticidad

dinámica del vano.[CS12]

Cuando no hay ningún tramo en el que los dos hilos de contacto son horizontales

y el punto de cruce se encuentra a una altura mayor de la que corresponde, se


produce el efecto tijera que provoca una variación brusca de la pendiente y un

golpe sobre los hilos del nuevo semicantón. Ese efecto produce una reacción del

pantógrafo y por consiguiente, el despegue del mismo. Se debe evitar en el diseño

vanos de seccionamiento de este tipo.

A continuación se muestran dos posibles con�guraciones para los seccionamien-

tos de compensación en las �guras 5.4 y 5.5. El funcionamiento es idéntico salvo

que en el seccionamiento de compensación de 5 vanos se dispone de dos ejes de

seccionamiento en vez de uno, y se consigue una zona mayor en la que coinciden

ambos hilos de contacto frotando con el pantógrafo.

Figura 5.4: Alzados y planta de un seccionamiento de compensación de 4 vanos

Figura 5.5: Alzados y planta de un seccionamiento de compensación de 5 vanos

Capítulo 6

Algoritmos Genéticos

Los algoritmos genéticos son una parte de la computación evolutiva, que es una

rama de la inteligencia arti�cial que involucra problemas de optimización combi-

natoria. Se inspira en los mecanismos de la evolución biológica. Se comenzaron a

aplicar los principios de Charles Darwin en los años 50 en la resolución de proble-

mas. Pero no fue hasta el año 1975 que John H. Holland propuso los algoritmos

genéticos como modelo general de proceso adaptable.[Obi98, Wikb]

Un algoritmo genético consiste en proponer inicialmente una población de so-

luciones, candidatas al problema a optimizar. Cada solución candidata es represen-

tada por un cromosoma que está compuesto por genes, también llamados bloques

de ADN. Estas soluciones se mutan y alteran para intentar mejorar su respuesta

al problema y llegar al óptimo tras un proceso iterativo.

El proceso evolutivo inicia con una población de individuos que son generados

de manera aleatoria y cada iteración del proceso evolutivo se denomina generación.

En cada generación se valora la aptitud de los individuos de la población. Esta

aptitud se mide usando una función objetivo que es la que se quiere optimizar

para buscar la solución al problema en cuestión. Los individuos más aptos de

la población actual son seleccionados de manera estocástica y se cruzan y sufren

mutaciones para generar a sus hijos, o miembros de la población nueva. Este grupo

de soluciones candidatas nuevo se usa en la siguiente iteración del algoritmo. Se

llega al �nal del proceso cuando se alcanza un nivel de aptitud su�ciente o se llega

al número máximo de generaciones.

43

44 CAPÍTULO 6. ALGORITMOS GENÉTICOS

Figura 6.1: Esquema iterativo de los algoritmos genéticos

6.1. Inicio del algoritmo

Se implementa un algoritmo genético cuando el problema es no lineal y hay

muchos parámetros que in�uyen en la variable o variables a optimizar. Si se quie-

re optimizar sólo una variable, ya sea minimizarla o maximizarla, se dice que el

algoritmo genético tiene un único objetivo. Su función objetivo depende única-

mente del valor que tenga esta variable. Si el algoritmo pretende optimizar varias

variables se dice que es un algoritmo multiobjetivo. Para analizar la aptitud de los

individuos de una población en este caso se tiene que generar una función objetivo

que incluya los múltiples objetivos a optimizar.

Los parámetros que se quieren analizar para optimizar sus valores se juntan en

un vector con tantas componentes como parámetros. Cada vector de estos repre-

senta un cromosoma, y el conjunto de los vectores forma la población. El tamaño

de la población es uno de los factores a determinar en la creación del algoritmo

genético, y este tamaño se mantiene igual en todo el proceso evolutivo para todas

las generaciones. El otro factor macroscópico del algoritmo es el número de itera-

ciones o generaciones a evaluar. Evidentemente, una población mayor explora más

posibles soluciones y con un mayor número de iteraciones se evoluciona más y se

perfeccionan las poblaciones cada vez más. [Tes14]

Se inicia el algoritmo con una población inicial de cromosomas aleatorios que

tienen que ser viables como soluciones al problema de optimización. Para ser via-

6.2. EVALUAR LA POBLACIÓN 45

bles se tienen que de�nir las restricciones que tienen que cumplir estas soluciones

incluyendo los intervalos en los que deben estar. Estos intervalos se establecen de-

�niendo el mínimo y máximo que pueden tomar los parámetros que se varían en

el problema, en concreto, los componentes del vector o cromosoma.

6.2. Evaluar la población

En esta fase se cogen todas las soluciones candidatas de la primera población (o

de poblaciones de generaciones futuras) y se ve como responde el problema frente

a cada cromosoma de la población. Se establece una función objetivo que mida

lo aptas que son las soluciones para el problema. Esta función se denomina cost

function en inglés y cuanto más elevada sea peor se adapta la solución al problema,

ya que representa un coste mayor. Una forma de mejorar las generaciones futuras

es penalizando los cromosomas que no cumplan las restricciones del problema. Una

penalización es una cantidad elevada que se suma en la función objetivo para que

estos cromosomas tengan un mal resultado y tengan menos posiblidades de ser

escogidos para formar la nueva población.

En el caso de ser un algoritmo multiobjetivo, la función objetivo se debe diseñar

de manera que se mida la aptitud de los cromosomas viendo su impacto sobre todos

los objetivos. Si se busca minimizar dos variables objetivo por ejemplo, la idea es

que la función objetivo sume la aportación de estas dos variables. El inconveniente

es que si una de las variables tiene un orden de magnitud mucho mayor que la otra,

no se notará la in�uencia de las dos variables por igual. Por ello, lo primero que se

debe hacer es multiplicar las variables por unos factores que sean potencias de 10

para que la función objetivo mida el coste de las dos variables objetivo de forma

equilibrada. Una vez se tienen las variables objetivos escaladas ya con el mismo

orden de magnitud, se puede personalizar la función objetivo aún más. Esto se

hace si se considera que una variable objetivo es más importante que la otra y se

utilizan unos factores de ponderación, que hacen que esta tenga más peso en la

función objetivo. La suma de todos los factores de ponderación empleados en la

función objetivo debe de ser 1.

f(x) = c1 · p1 · g(x) + c2 · p2 · h(x) + penalty

En esta formula de ejemplo, f(x) es la función objetivo global, que depende

del vector de parámetros o cromosoma x. A su vez, g(x) y h(x) son funciones

objetivo que representan las dos variables objetivo a minimizar en este problema


multiobjetivo. Se escalan las dos subfunciones con c1 y c2 para que tengan el

mismo orden de magnitud y p1 y p2 son los factores de ponderación que indican

la importancia de las subfunciones. Por último se añade un penalty que podrá

ser cero si el vector x cumple con las restricciones o un valor muy elevado para

penalizar a los cromosomas que no cumplen los rangos establecidos.

6.3. Proceso de selección

El siguiente paso en el esquema es generar la nueva población usando los cro-

mosomas padres de la población actual para cruzarlos posteriormente. El proceso

de selección de padres es fundamental para simular la teoría evolutiva de Darwin

en la que sobreviven los mejores parar crear la población descendiente. Existen

muchas maneras de seleccionar los mejores cromosomas como la selección Roulet-

te Wheel o por ruleta, la selección Boltzman, la selección torneo, la selección de

orden y muchas más. A continuación se explica en detalle el proceso de selección

por ruleta, que es el que se emplea en el modelo desarrollado.

En el proceso de selección por ruleta se eligen los padres en función de lo aptos

que son. Se genera una función de aptitud para cada cromosoma que es la inversa de

la función de coste. Cuanto más elevado el coste asociado al cromosoma (o valor de

la función objetivo), menos apto es el cromosoma. Se colocan en un grá�co circular

todos los cromosomas, y son representados por un segmento más grande según el

grado de aptitud que tengan, como muestra la siguiente �gura.

Figura 6.2: Proceso de selección por ruleta

Se generan los segmentos de cada cromosoma proporcionales al valor de la

6.3. PROCESO DE SELECCIÓN 47

aptitud del cromosoma dividido entre la suma de las funciones aptitud de todos

los cromosomas de la población. El esquema de la �gura 6.2 representa la ruleta

de una población de cuatro cromosomas, siendo el cromosoma 1 el más apto y por

lo tanto el que tiene mayor probabilidad de ser elegido para el posible cruce.

Una vez se prepara la ruleta, se lanza la canica dos veces seleccionando dos

cromosomas de la población. Estos dos cromosomas van a ser los dos padres que

se van a reproducir para formar dos hijos de la nueva población. Al ser un proceso

iterativo, a la larga los cromosomas más aptos serán seleccionados por probabilidad

más veces para ser padres de una generación de hijos mejorada.

Una vez se escogen los dos padres entra en juego un operador genético que es

el cruce. Antes de ver si se cruzan los dos padres se genera un número aleatorio

entre 0 y 1 y si sale un número menor que el factor de cruce se cruzan los padres.

Si en cambio sale mayor que el factor de cruce los padres pasan directamente a

formar parte de la nueva población, o interpretado de otra manera, los hijos salen

idénticos a los cromosomas padres. Se suele asignar un valor alto a la probabilidad

de cruce (alrededor del 80%) para que se exploren más soluciones distintas a lo

largo del proceso evolutivo.

Para poder efectuar el cruce, primero se tienen que codi�car los cromosomas.

Se pueden codi�car de diversas maneras pero la más utilizada es la codi�cación

binaria. El resultado es el vector o cromosoma representado como una cadena de

0's y 1's como muestra la �gura 6.3. Para visualizar mejor el cruce, se colocan los

padres uno encima del otro y se elige un punto de cruce aleatoriamente de toda

la cadena de bits. Uno de los hijos se forma creando un vector de bits nuevo que

copia los símbolos del primer padre hasta el punto de cruce y luego los del otro

padre hasta el �nal. El otro hijo es el complementario de este como se representa

en la �gura 6.4.

Figura 6.3: Cromosomas padres codi�cados en binario


Figura 6.4: Esquema de punto de cruce único

Esta es la forma más sencilla de cruce, denominada punto de cruce único. Se

puede complicar el operador de cruce eligiendo más puntos de cruce aleatoriamente

y copiando bits de forma alterna de un padre y de otro entre puntos de cruce. La

idea de cruces múltiples se ve claramente en la �gura 6.5.

Figura 6.5: Esquema de punto de cruce múltiple

El otro operador protagonista en esta fase del algoritmo es la mutación. Como

en la naturaleza, pueden haber errores de reproducción o pequeñas alteraciones

de los genes en el ADN. Estas alteraciones pueden cambiar de manera radical el

comportamiento del cromosoma o tener un impacto despreciable. En el algorit-

mo, una mutación se traduce en cambiar un bit aleatorio de la cadena. Un 0 se

transforma en un 1 o viceversa, y el impacto que tenga esta mutación afectará en

mayor medida si el bit que se cambia es de los más signi�cativos. Se representa

6.3. PROCESO DE SELECCIÓN 49

este proceso en la �gura 6.6.

En el proceso evolutivo, las mutaciones ocurren con poca frecuencia, por lo

que habrá una probabilidad baja de que cada hijo sufra esta transformación. De la

misma manera que para el cruce, se asigna un valor de probabilidad de mutación

(en este caso bajo: alrededor del 1%), y se genera un número aleatorio entre 0 y 1

que tendrá que ser menor que la probabilidad de mutación para que esta ocurra.

Figura 6.6: Esquema de mutación de un cromosoma hijo

Finalmente, se itera el proceso de seleccionar padres de la ruleta y cruzarlos

para obtener una población de hijos del mismo tamaño que la población original.

Dadas las características del algoritmo, algunos de estos hijos sufren mutaciones

y algunos padres pasan intactos sin cruzarse a la siguiente población. Con tantos

cambios al generar la nueva población hay una probabilidad muy grande de perder

el mejor cromosoma de la población anterior. Para evitar que pase esto se intro-

duce el método de Elitismo en el algoritmo. Consiste en copiar directamente el

mejor cromosoma (o un grupo reducido de los mejores cromosomas) a la siguiente

población para asegurar que no se pierde la mejor solución hallada hasta el mo-

mento. Gracias al Elitismo se consigue mejorar considerablemente el rendimiento

y la velocidad de convergencia del algoritmo. [Obi98, MUSoCS99]

Una vez obtenida la nueva población se vuelven a repetir los apartados 6.2

y 6.3 hasta llegar al criterio de convergencia o llegar al límite de generaciones

establecido.

Capítulo 7

Descripción del Modelo

Desarrollado

7.1. Optimización de un vano

Para la optimización de un vano de la catenaria se decide analizar el impacto

de la distribución de péndolas en una catenaria denominada benchmarkCatenary

sobre la rigidez de la estructura. Al realizarse un análisis estático se valorará la

homogeneidad y se comparará el resultado obtenido con otro análisis posterior que

utilice la varianza y la media de la rigidez como indicadores para medir la calidad

de contacto. Se busca la mejor con�guración mediante un algoritmo genético que

determinará la mejor geometría del abanico de posibilidades aleatorias que se han

considerado.

La geometría base de la que se parte está representada en la �gura 7.1. Es una

catenaria de tipo simple con vanos de 55 m, el hilo de contacto tiene �echa inicial

y hay 9 péndolas en cada vano.

A la hora de variar las con�guraciones que se pretenden analizar se tienen que

cumplir las siguientes restricciones:

La disposición de péndolas en el vano tiene que ser simétrica, ya que se

considera que la circulación puede darse en ambos sentidos y se quiere obtener

un resultado que valga para los dos sentidos de circulación

El número de péndolas está �jado en 9, lo cual signi�ca que habrá siempre

una péndola en el centro del vano para que se cumpla la condición anterior

de simetría

51

52 CAPÍTULO 7. DESCRIPCIÓN DEL MODELO DESARROLLADO

Figura 7.1: Malla de elementos �nitos de benchmarkCatenary

Asegurando que se cumplen estas restricciones se procede a generar un abanico

de con�guraciones aleatorias. Principalmente se distinguen tres tipos de con�gu-

ración que se presentan a modo de ejemplo como geometrías a las que se pueden

parecer las distribuciones aleatorias generadas:

1. Distribución de péndolas concentradas en el centro del vano

2. Distribución de péndolas concentradas en los extremos del vano

3. Distribución uniforme de péndolas a lo largo del vano

7.1. OPTIMIZACIÓN DE UN VANO 53

En las �guras 7.2, 7.3 y 7.4 se ve el resultado de la malla de elementos �nitos

generada de estos tres tipos de distribución. Las geometrías serán aleatorias por lo

que se podrán parecer a uno de estos tres modelos o serán combinación lineal de

ellos, como por ejemplo tener 5 péndolas concentradas en el centro del vano y las

otras 4 cerca de los extremos.

Figura 7.2: Distribución de péndolas concentradas en el centro del vano

Figura 7.3: Distribución de péndolas concentradas en los extremos del vano


Figura 7.4: Distribución uniforme de péndolas a lo largo del vano

El proceso de crear una lista de con�guraciones de vano corresponde a la prime-

ra etapa del algoritmo genético que consiste en crear una población inicial aleatoria

de geometrías que cumplan con las restricciones que se han establecido. La fun-

ción GenerationCreator es la que se encarga de crear el conjunto de vectores que

guardan la información de las posiciones de las péndolas de todas las geometrías

de la población. El número de con�guraciones que se genera es un parámetro que

se puede establecer antes de iniciar el algoritmo en la variable tamano_poblacion.

Cuantas más con�guraciones se generen, mejor se exploran las in�nitas posibilida-

des y aumenta la probabilidad de que el algoritmo converja a un mínimo global

frente a uno local. Sin embargo, evaluar un elevado número de geometrías en cada

iteración puede tardar semanas por lo que se tiene que buscar un número que no

tenga un coste computacional prohibitivo.

La segunda etapa del algoritmo se hace en la subrutina Evaluator. Desde aquí

se llama a la función rigidezContactovar en un bucle for, encargándose de evaluar

la rigidez del vano central de cada geometría aleatoria generada en la primera fase.

La forma en la que evalua la rigidez es a partir de los desplazamientos que son

calculados usando la herramienta de AFECTOS como se detalla en el capítulo 4.

Las variables de entrada a la función rigidezContactovar son:

1. El número de puntos entre péndolas que se desea evaluar. Ya que el lugar

donde contactan las péndolas con el hilo de contacto es un punto crítico se


decide evaluar siempre la rigidez en estos puntos. Con esta variable de entrada

se le dice además al programa en cuantos otros puntos se desea calcular la

rigidez, sabiendo que con un número elevado de puntos se consigue un per�l

de rigidez más preciso pero tarda más en efectuar el cálculo. El programa

automáticamente cogerá puntos equidistantes para cada intervalo entre dos

péndolas, ya que la distancia entre péndolas es variable por lo que no tiene

sentido que haya un paso constante.

2. El vector de posiciones de las péndolas de la con�guración. Este vector es

necesario para saber cuales son los puntos donde se va a aplicar la fuerza

del pantógrafo, tanto para los propios puntos de las péndolas como para los

puntos intermedios que se han decidido calcular en la variable de entrada

anterior. Esta variable además se de�ne como variable global para que fun-

ciones que han sido modi�cadas de las herramientas puedan adaptarse al

algoritmo sin cambiar su estructura o modi�car la forma en la que se tienen

que llamar.

3. El número de vanos de la estructura. Aunque sea una variable de entrada, se

ha �jado su valor siempre en 3 de manera que sea la geometría de pendolado

que sea, se generen siempre tres vanos y se evalúe la rigidez del vano central.

Se tiene que hacer de esta manera ya que la malla que se utiliza para de�nir el

pantógrafo no cabe cuando se evaluan los extremos de la estructura y puede

ocurrir que no converja el cálculo de las deformaciones por Newton-Raphson

en estas circunstancias.

4. La última entrada es la cadena de caractéres 'benchmarkCatenaryVariable'.

Esta variable es el modelo que se ha creado utilizando el modelo de 'bench-

markCatenary ' como referencia para generalizarlo y que se puedan generar

estructuras aleatorias a partir de un vector de péndolas cualquiera, y no estar

restringido a un vector especí�co como estaba diseñado el modelo original.

A la salida de esta función se obtiene un vector con los valores de rigidez en

N/m para todos los puntos de aplicación de la fuerza del pantógrafo que se han

calculado. En las �guras 7.5 y 7.6 se muestra tanto el cálculo de rigidez para el vano

original benchmarkCatenary como el del cálculo de un vano generado con el modelo

benchmarkCatenaryVariable con una distribución de péndolas concentradas en el

centro del vano para hacer una comparación.


Figura 7.5: Grá�cas de desplazamientos y de la rigidez para un vano con concen-tración de péndolas en el centro

Figura 7.6: Grá�cas de desplazamientos y de la rigidez para el vano original

Las grá�cas muestran a la izquierda las deformaciones del hilo de contacto y a la

derecha el per�l de rigidez. Se ve claramente que son inversamente proporcionales

y que los mínimos locales de la grá�ca de deformaciones coinciden con los máximos

locales del per�l de rigidez debido a la presencia de las péndolas en esos puntos

que refuerzan la estructura.

Sin necesidad de efectuar el algoritmo se ha elegido una con�guración que

consigue una gran mejora en la rigidez con respecto a la geometría original. La

colocación de las péndolas exteriores hacia el centro del vano hace que se lleguen a

pícos de rigidez de 5000 N/m, mucho menores que los picos de 7000 N/m presentes

en el per�l del vano original, aunque en el centro del vano las rigideces sean muy


parecidas. Esto hace que la variación de rigidez a lo largo del vano sea más pequeña

al no haber tanta diferencia entre los extremos del vano y el centro. Se logra así

una homogeneidad más apta para la captación de corriente. Además el tener un

grupo de 3 péndolas muy unidas en el centro del vano hace que no se diferencien

los tres picos centrales en la grá�ca 7.5, sino que se vea como una única curva,

dato que mejora la suavidad del contacto en el centro del vano.

Esta evaluación comparativa para elegir cual de las geometrías es mejor se

debe incorporar en el algoritmo por lo que hay que cuanti�car la aptitud de las

catenarias. Esto se hace mediante una función objetivo que resume en un número

los valores de las variables que interesa medir para cuanti�car la aptitud. En el

algoritmo de optimización de un vano se han considerado dos posibilidades:

1. Una de las formas de medir la aptitud se hace a través de la fórmula de

la homogeneidad introducida en el capítulo 4. La con�guración óptima es

aquella con el valor mínimo de homogeneidad dado por esta fórmula.

2. La otra forma de medir la aptitud en otro análisis de optimización se realiza

calculando la varianza y la media de la rigidez. Al ser dos variables las que se

consideran se hace una función multiobjetivo como se explica en el capítulo

6 en la sección 6.2. Se busca así una con�guración óptima que tenga un valor

de varianza bajo que es equivalente a una buena homogeneidad y además que

tenga un valor de rigidez elevado para evitar a altas velocidades fenómenos

de vibración ya que se tendrían desplazamientos más pequeños del hilo de

contacto.

La última fase consiste en seleccionar los vectores de posiciones de péndolas

que han generado las geometrías más aptas y cruzarlos para obtener una nueva

población a evaluar en la próxima iteración. Esta fase está programada en la función

Selection. La elección de los padres se hace con el método de la ruleta explicado

en el capítulo 6. De manera iterativa se eligen dos padres, se cruzan con el método

de punto único de cruce que generan dos hijos hasta llegar al número de elementos

de la población inicial.

Para el cruce de dos padres, la primera operación que hace el programa es

pasar los vectores que contienen las posiciones de las péndolas de ambos al sistema

binario. Para evitar trabajar en binario con potencias de 12 se decidió pasar las

coordenadas de las péndolas de metros a centímetros. De esta manera, se facilita

la conversión a binario al no tener decimales. Al tener valores muy elevados en


centímetros debido al cambio de escala se necesitan más bits para representarlos

en binario. En la función se usan 12 bits por coordenada.

Los vectores de posición de péndolas contienen solo las coordenadas de las

primeras 4 péndolas, ya que la quinta está �jada en el centro y las últimas cuatro

son simétricas. Después del cambio de sistema pasan a ser vectores con 48 bits. De

forma aleatoria se escoge uno de los 48 bits y este respresenta el punto de cruce

para obtener 2 hijos a partir de los 2 padres como se explica en el capítulo 6 en el

apartado 6.3.

En la función Selection hay una serie de factores característicos del algoritmo

genético y se han establecido de la siguiente manera:

1. Probabilidad de cruce = 80%

2. Probabilidad de mutación = 1%

3. Número de mejores cromosomas que pasan directamente a la nueva población

por elitismo = 5% de la población total

Una vez terminado el proceso de selección se obtiene una nueva población

mejorada que se debe evaluar para seguirla mejorando hasta llegar al número de

iteraciones de�nido en el algoritmo.

7.2. OPTIMIZACIÓN DE UN SECCIONAMIENTO 59

7.2. Optimización de un seccionamiento

Para la optimización de los seccionamientos se resumen en primer lugar las

características constructivas más determinantes de los seccionamientos que están

explicadas en detalle en el capítulo 5. Estas son las que se van a variar para analizar

el impacto que tienen sobre la rigidez de la estructura desde la perspectiva estática:

1. La posición de las péndolas

2. El punto en el que se empieza a elevar el hilo de contacto

3. La forma de la curva de elevación de los hilos de contacto

La posición de las péndolas, al igual que para la optimización de un vano,

tiene un papel importante en los seccionamientos porque afecta su colocación a la

dimensión y posición de los picos de rigidez que puede percibir el pantógrafo en su

circulación. Sin embargo, el seccionamiento es un tramo delicado porque se solapan

dos hilos de contacto y esta es la mayor fuente de desnivel en la rigidez, ya que el

pantógrafo soporta el peso de dos estructuras en el punto de cruce. Esto es más

crucial que la posición de unas péndolas en su recorrido, y por eso es interesante

analizar el impacto de la geometría de elevación de los hilos. La geometría de los

hilos se controla usando dos variables. La primera es el punto en el que empiezan

a elevar los cables. Este punto tiene que estar elegido de forma que haya una

zona, aunque sea pequeña, en la que el pantógrafo contacte con ambos hilos de

contacto para que no se despegue por una elevación repentina de los mismos. El

reto es minimizar la zona de solape ya que es precisamente el contacto con dos

hilos lo que causa una rigidez añadida importante en el seccionamiento. Se puede

minimizar esta zona también a través de la forma en la que se eleven los hilos. Ya

que el punto en el que se comienza a elevar corresponde a un lugar concreto, que

es la posición de una péndola, se añade sensibilidad al análisis variando las curvas

que pueden tomar los hilos de contacto.

En la �gura 7.7 se muestra la estructura del modelo de seccionamiento de

partida.


Figura 7.7: Malla de elementos �nitos del seccionamiento original

Las características de este seccionamiento son las siguientes:

1. Tipo de seccionamiento de 4 vanos

2. Catenaria con falso sustentador

3. Longitud de vano de 64 m

4. 8 péndolas por vano

5. Curva de elevación del hilo de contacto parabólica

6. Punto en el que se comienza a elevar el hilo de contacto: 2 péndolas antes de

llegar al poste que corresponde al eje del seccionamiento

La primera fase para la optimización de los seccionamientos consiste en generar

geometrías muy distintas que tengan gran variedad de distribuciones de péndolas,

puntos de elevación y curvas de elevación de los hilos de contacto. Con respecto

a la optimización del vano tiene más complejidad por tener que compaginar la

variación de tres variables simultáneamente. Esta primera fase la realiza la función

GenerationCreator adaptada para los seccionamientos.

La forma de distribuir las péndolas se hace de la misma manera, de�niendo

unos márgenes en los cuales pueden estar colocadas las péndolas y atendiendo a

restricciones como la de mantener la simetría. En este caso, sólo hay 8 péndolas


por lo que no se requiere en el diseño una péndola �jada en el centro del vano,

pero cuando se establecen las posiciones de las péndolas hay que veri�car que la

cuarta péndola no esté sobrepasando la coordenada de mitad del vano entre otras

restricciones.

La �exibilidad de variar la posición de las péndolas abre las puertas a geome-

trías como la de la �gura 7.8 para participar en el proceso de búsqueda de una

con�guración óptima. En esta geometría se ha variado la distribución de péndolas

manteniendo el tipo de curva parabólica. El punto de elevación del hilo de contacto

no es exáctamente el mismo aunque empiece a elevar dos péndolas antes del eje

del seccionamiento, como ocurre en la geometría original, porque la posición de la

péndola en la que se eleva ha variado y esto modi�ca la coordenada de inicio de

elevación de los hilos.

Figura 7.8: Malla de elementos �nitos de un seccionamiento con una distribuciónde péndolas alternativa

Una vez se tiene la disposición de las péndolas de�nida se pueden establecer

los parámetros que van a de�nir las curvas de elevación. Esta parte se hace en

una subrutina llamada CurveGenerator. Esta subrutina requiere como variable de

entrada únicamente el vector con las posiciones de las péndolas y genera las curvas

de elevación de la geometría.


El primer parámetro que se de�ne es el punto de elevación de los hilos de

contacto. Físicamente, este punto tiene que coincidir con la posición de una péndola

ya que no tiene ningún sentido que se eleve un hilo en mitad de un tramo entre

péndolas ya que no hay nada que lo sujete en posición horizontal hasta que empieza

a elevarse. Elegir el punto de elevación entonces se hace eligiendo una péndola a

partir de la cual se empieza a elevar el hilo. Las opciones que baraja la función son

las siguientes:

1. 3 péndolas antes del poste del seccionamiento

2. 2 péndolas antes del poste del seccionamiento

3. 1 péndola antes del poste del seccionamiento

4. En el propio poste del seccionamiento

La elección del punto de elevación está restringida a péndolas antes del poste y

no posteriores al poste para no entorpecer el algoritmo generando geometrías que

tendrían un per�l malo de rigidez, ya que se sabe de antemano el impacto negativo

que ocasiona tener dos hilos solapados completamente horizontales en un tramo

prolongado. También se evita elevar a una distancia elevada del poste para que en

el cruce no tengan los hilos una pendiente elevada que pueda causar un golpe o

despegue si luego se hiciese una simulación dinámica.

En la �gura 7.9 se ha empleado la misma distribución de péndolas y la mis-

ma curva parabólica modi�cando únicamente la péndola en la que se comienzan a

elevar los hilos de contacto. Se muestran tres con�guraciones distintas de seccio-

namiento, elevando los hilos de contacto en el poste, 1 péndola antes de llegar al

poste y 2 péndolas antes de llegar al poste.


Figura 7.9: Malla de elementos �nitos de un seccionamiento modi�cando el puntode elevación

El otro parámetro que se de�ne en la subrutina CurveGenerator es la forma

de la curva de elevación. La elección del tipo de curva se hace utilizando funcio-

nes matemáticas. En la subrutina se elige una función de una lista de funciones

matemáticas y luego se establecen aleatoriamente los coe�cientes para de�nirla

con exactitud, aunque estos coe�cientes tienen que estar con�nados a intervalos

especí�cos para que las curvas sean proporcionales a la estructura.

El tipo de curva se elige entre una de las siguientes funciones matemáticas:

1. Función parabólica de tipo: a · x2

2. Función cúbica de tipo: a · x3 + b · x2

3. Función de potencia 4 de tipo: a · x4 + b · x3 + c · x2

4. Función senoidal de tipo: −a · cos(b · x) + a

El primer aspecto que se tiene que cumplir de estas funciones matemáticas

es que su derivada en el origen sea 0, ya que el hilo se empieza a elevar desde

una posición horizontal y no se quiere producir picos en la geometría sino que sea

una elevación suave. Por eso, los tres tipos de funciones polinomiales no tienen el

término en x y como función senoidal se ha elegido operar con el coseno porque

tiene pendiente nula en el origen.

El siguiente paso es determinar los coe�cientes que correspondan a la función

matemática de manera que se le permita al algoritmo explorar aleatoriamente pero


con restricciones para que no se creen curvas de elevación irreales. Se impone para

cada coe�ciente un máximo de manera que no quede el hilo de contacto anclado

en el primer poste a más de 1 metro. Evidentemente el máximo para cada factor y

tipo de curva será distinto, estando más restringido el coe�ciente que multiplica el

término en x4 que el coe�ciente que multiplica a x2. También se establecen unos

mínimos para que no queden curvas casi horizontales de elevación en las que el

hilo de contacto apenas se eleva, ya que se requiere anclarlo a una altura elevada

donde no inter�era con la circulación del ferrocarril.

En la �gura 7.10 se aprecia el impacto que tiene modi�car el coe�ciente que

multiplica, en este caso, al término en x2 ya que se han usado dos curvas parabóli-

cas. Ocurre una elevación mucho más pronunciada en el caso en el que el coe�ciente

es mayor.

Figura 7.10: Superposición de seccionamientos con parábolas de coe�cientes dis-tintos

En la �gura 7.11 en cambio se muestran dos seccionamientos con curvas dife-

rentes. En uno se ha empleado curvas senoidales y en el otro curvas de un polinomio

de potencia 4.


Figura 7.11: Superposición de seccionamientos con curvas distintas

La iniciación del algoritmo comienza generando un número concreto de con�-

guraciones geométricas aleatorias variando las características de pendolado, forma

de la curva de elevación y punto de elevación. Se generan las con�guraciones nece-

sarias para llegar al tamaño de la población de�nido en el algoritmo. La próxima

etapa consiste en evaluar cada una de las con�guraciones y se efectúa llamando a

la función Evaluator adaptada para seccionamientos.

Evaluator tiene un bucle para calcular el per�l de rigidez de todas las geometrías

generadas usando la función rigidezContactovar_secc en cada itearación. A esta

función hay que pasarle como variables de entrada:

1. El número de puntos entre péndolas para los que se desea calcular la rigidez,

teniendo en cuenta que calculará además la rigidez en los puntos donde están

colocadas las péndolas

2. El vector con la posición de las péndolas para identi�car los sitios donde

tiene que alpicar la fuerza del pantógrafo tanto en las propias péndolas como

en los puntos intermedios de�nidos en la primera entrada

3. Un body, actions, options que corresponden a variables que describen la es-

tructura del seccionamiento, las acciones que sufre y otras opciones necesarias


para el cálculo de los desplazamientos y de la rigidez.

Para cada elemento de la población se obtiene un per�l de rigidez como el

mostrado en la �gura 7.12. El número de puntos para los que se calcula la rigidez

entre péndolas es de 3, un número pequeño a la hora de tener la mejor de�nición

del per�l, pero que es su�ciente para captar el pico central de rigidez que tiene

la estructura debido al solape de los dos hilos. A la hora de evaluar la aptitud

de las geometrías se utiliza la fórmula de la homogeneidad que se calcula usando

únicamente el punto de mayor rigidez y el de mínima rigidez. Esto permite acelerar

el cálculo de la rigidez a la vez que asegurar la obtención de resultados �ables. Para

acelerar aún más el cálculo se estudia la rigidez para un tramo reducido entre la

coordenada de 100 m y 150 m, donde está situado el pico más pronunciado de

rigidez. Se evita entonces evaluar la rigidez de dos vanos enteros de poste a poste,

calculando sólo la rigidez en la zona de interés.

Figura 7.12: Grá�ca de la rigidez para el seccionamiento original

El siguiente paso en el algoritmo es la selección y cruce de las mejores geometrías

que se realiza en la subrutina Selection adaptada para seccionamientos. En esta

fase se ordenan las geometrías en función del resultado que de la fórmula de la

homogeneidad de mejor a peor. Un grupo de geometrías se seleccionan y pasan

directamente a formar parte de la nueva población sin sufrir modi�caciones. Esta


etapa es necesaria para no perder la mejor solución encontrada hasta el momento

en futuras iteraciones y es el concepto de elitismo que se introduce en el capítulo

6.

Luego se procede a seleccionar padres de dos en dos para generar a los hijos

de la siguiente población. Los padres se eligen aleatoriamente usando el método

de selección de la ruleta. Una vez se elige a dos padres, que generalmente serán

cromosomas superiores porque estos tienen una probabilidad más alta de ser es-

cogidos, se procede a realizar una forma de cruce más complicada que la que se

empleó en la optimización de un vano.

1. El primer paso es generar un número aleatorio entre 0 y 1 para ver si sale

menor que la probabilidad de cruce establecida en el algoritmo, en este caso

0.8. Esta probabilidad de cruce se re�ere sólo al cruce del vector de posiciones

de péndolas de los padres. Es decir, si el cruce se tiene que efectuar, se cruza

únicamente el vector de péndolas de los padres para generar dos vectores

nuevos de posiciones de péndolas para los futuros miembros de la nueva

población.

2. En el segundo paso, independiente de lo que haya ocurrido en el escenario

anterior, se procede a cambiar la forma de elevar los hilos de contacto modi�-

cando tanto el punto de elevación como la curva que se emplea. Esto signi�ca

que en el caso de que los dos padres elegidos no se tuvieran que cruzar, aún

así sufrirían un cruce adicional o una mutación severa dependiendo de como

se interprete. No pasarían sin más a la siguiente población (como ocurría

en la optimización de un vano) sino que lo único que mantendrían intactas

son las posiciones de las péndolas. De esta forma, tanto los padres que se

han cruzado en la primera etapa como los que no se les atribuye curvas de

elevación distintas de manera aleatoria.

Este tipo de cruce pretende mejorar el rendimiento del algoritmo. Como se ha

observado ya, la posición de las péndolas aunque es un factor importante no es

el factor determinante para minimizar el pico de rigidez principal. Se intuye que

modi�cando ligeramente la posición de las péndolas pero manteniendo la misma

curva y elevada desde el mismo punto (o un punto muy próximo dependiendo de

la colocación nueva de las péndolas) se van a obtener unos resultados parecidos. Se

busca entonces transformar a los padres continuamente en cada iteración, amplian-

do el abanico de geometrías que se abarca y no evaluando hijos que se asemejan


tanto a sus padres que no van a tener resultados signi�cativamente mejores que

los de sus antecedentes.

De manera iterativa se vuelve a valorar la nueva población, realizando un aná-

lisis estático para las nuevas geometrías producidas, y se vuelven a transformar,

cruzar y mutar para producir una geometría que sea mejor que el padre dominante

de la población anterior, hasta que no se encuentre nada mejor o se llegue al límite

de iteaciones establecido en el algoritmo.

Capítulo 8

Análisis de Resultados

8.1. Resultados de la optimización del vano

Para la optimización de un vano se realizaron varias simulaciones para poner a

prueba el algoritmo y ver si convergía a resultados parecidos con tamaños distintos

de población y números de iteraciones diferentes. Se consideraron simulaciones con

tamaño de población de 100 con 5 iteraciones y tamaño de población de 50 con 10

iteraciones, de manera que se buscaba entre 500 geometrías distintas pero con una

estructura distinta del algoritmo. También, se aprovechó para modi�car la función

de aptitud para probar el algoritmo con una función multi-objetivo ponderada

como se explica en el capítulo 6 en el apartado 6.2. Se esperaban resultados más

�ables con la función de objetivo único pero la función multiobjetivo dió resultados

casi tan buenos a pesar de los siguientes inconvenientes que se tiene a la hora de

diseñarla:

1. Para de�nir la función con múltiples objetivos en primer lugar hay que multi-

plicar las variables que se miden por potencias de 10 para que sean todas las

variables (u objetivos a optimizar) números del mismo orden. El problema

es que a veces una variable no está en un rango especí�co de manera que

multiplicandola por una potencia de 10 sea del mismo orden siempre. Esto

puede provocar que la función esté descompensada y no de los resultados

esperados.

2. Por otra parte, una vez se tienen teóricamente números del mismo orden para

las variables de�nidas, hay que ponderar la función para de�nir qúe variable

debe tener más peso. La forma de ponderar es completamente arbitraria y

69

70 CAPÍTULO 8. ANÁLISIS DE RESULTADOS

los resultados de la simulación son sensibles a la manera de de�nir estos

parámetros arbitrarios.

En el caso de la función objetivo de variable única a optimizar se ha elegido la

inversa de la función homogeneidad mostrada en la ecuación 8.1.

U( %) =rmax + rmin

rmax − rmin; (8.1)

En el capítulo 4 se ha visto que se pretende buscar la solución más homogé-

nea en un análisis estático ya que favorece el contacto entre el pantógrafo y la

catenaria. La solución más homogénea corresponde al valor mínimo de la función

de homogeneidad pero el algoritmo está programado para obtener la con�guración

con el valor de la función objetivo más alto. Por eso se establece la función objetivo

como inversa de la función de homogeneidad para que la con�guración más apta

(con el valor máximo de la función objetivo) corresponda con la con�guración con

el valor de homogeneidad mínimo.

En la �gura 8.1 se muestra la evolución de la función de aptitud con objetivo

único (considerando únicamente la inversa de la fórmula de la homogeneidad)

de tamaño de población 100 con 5 iteraciones. El valor máximo de la función

objetivo se alcanza en la iteración 5 y tiene un valor de 4.0048 que corresponde a

una homogeneidad del 24.97%. Esto mejora considerablemente la con�guración a

nivel estático ya que la geometría inicial de benchmarkCatenary tiene un valor de

homogeneidad de 41.69%.

La posición de las péndolas en cm desde el poste están representadas en el si-

guiente vector [888, 1007, 1420, 2262, 2750, 3238, 4080, 4493, 4612]. La estructura

resultante al tener esta colocación de péndolas está representada en la �gura 8.2,

y las grá�cas con los desplazamientos y cálculo de la rigidez al aplicar la fuerza del

pantógrafo están representadas en la �gura 8.3. Las péndolas están más concentra-

das en el centro del vano que en la con�guración original de benchmarkCatenary.

Esto provoca que en el centro del vano se mantenga una rigidez no mucho menor

que en el original a pesar de la gran reducción de rigidez en los extremos (2800

N/m en el original frente a una rigidez de 2700 N/m en la nueva con�guración).

El factor determinante para mejorar la homogeneidad es el gran aumento de la

distancia del poste a la primera péndola. En la con�guración original esta distan-

cia era de 4.5 m y en la disposición óptima es de 8.88 m, casi el doble. Esto ha

conseguido disminuir la rigidez en la zona cercana al poste a un valor máximo de

tan solo 4300 N/m, una gran reducción con respecto a la rigidez en la zona del

8.1. RESULTADOS DE LA OPTIMIZACIÓN DEL VANO 71

Figura 8.1: Evolución del valor de la función de aptitud

poste de la disposición de péndolas en benchmarkCatenary que tiene un valor de

aproximadamente 6800 N/m.

Figura 8.2: Estructura con máyor homogeneidad en la rigidez del algoritmo de 5iteraciones con tamaño de población de 100


Figura 8.3: Grá�cas de desplazamientos y rigidez del vano óptimo

En la simulación con un tamaño de población de 50 con�guraciones con 10

iteraciones se observa la evolución de la función de aptitud en la grá�ca 8.4. Se

obtiene un valor máximo de aptitud de 3.4159 a partir de la iteración 9 que co-

rresponde a una homogeneidad del 29.27%, peor que el obtenido en la simulación

anterior. A pesar de considerar el mismo número de con�guraciones en total, el

algoritmo parece responder mejor a las simulaciones con un tamaño de población

mayor, ya que se explora mejor el abanico completo de soluciones posibles para

luego tender a un máximo/mínimo global en pocas iteraciones.

La estructura de la con�guración óptima de esta simulación se muestra en

la �gura 8.5 y las coordenadas de las péndolas en cm desde el poste son: [721,

820, 1787, 2325, 2750, 3175, 3713, 4680, 4779]. También tiene una tendencia a

concentrarse el pendolado en el centro del vano pero el valor de rigidez máximo

es de 4750 N/m, más elevado que en la con�guración óptima anterior (que tenía

una rigidez máxima de 4300 N/m), causado probablemente por el hecho de que

la posición de la primera péndolas está un metro y medio más próxima al poste.

En el centro del vano, la rigidez mínima es muy parecida a la del vano óptimo de

la con�guración anterior, ya que en ambas el valor es de alrededor de 2700 N/m.

Estos valores se pueden observar en la grá�ca de rigidez representada en la �gura

8.6.



Figura 8.5: Estructura con máyor homogeneidad en la rigidez del algoritmo de 10iteraciones con tamaño de población de 50

A continuación se analizan los resultados de las simulaciones hechas con la

función multiobjetivo. La función empleada es la indicada en la ecuación 8.2.

f(x) = 10−3 · 0,3 · g(x) + 107 · 0,7 · h(x) (8.2)



Siendo x el vector que de�ne la posición de las péndolas, g(x) la media de la

rigidez del vano que depende a su vez del vector de péndolas x y h(x) la inversa

de la varianza de la rigidez, también función de la colocación de las péndolas. Se

pretende maximizar el valor de esta función objetivo, y esto se consigue con una

rigidez de valor medio más elevada con menos variaciones con respecto a la media

para que la inversa de la varianza sea más elevada también. Se le atribuye una

prioridad superior a la componente de la varianza, aunque como se ha comenta-

do, la ponderación es arbitraria y no hay una forma de saber de antemano qué

ponderación es mejor. En este caso se emplean los factores 0.7 y 0.3.

En la primera simulación se establece que el tamaño de la población del algorit-

mo sea de 100 y que se hagan 5 iteraciones. La evolución de la función de aptitud

multiobjetivo es la indicada en la �gura 8.7, obteniendo un valor máximo de 20.993

en la última iteración. La estructura de la con�guración óptima está representada

en la �gura 8.8, y, aunque la función objetivo sea distinta a la empleada en las

simulaciones anteriores, ha convergido a una estructura muy parecida a las dos an-

teriores. La disposición de las péndolas en cm desde el primer poste es: [815, 1189,

1596, 2134, 2750, 3366, 3904, 4311, 4685]. La distancia de la primera péndola al

poste es muy superior a la con�guración original, superando los 8 m como sucedió

en la con�guración óptima de la primera simulación que medía la inversa de la

homogeneidad. Aunque las péndolas están más concentradas en el centro del vano

porque la primera péndola se aleja mucho del poste, las distancias entre ellas son

más parecidas, teniendo una distribución casi uniforme.


El valor máximo de rigidez es de 4550 N/m y el valor mínimo es de 2700

N/m, lo cual implica una homogeneidad de 25.52% que es muy parecida al valor

correspondiente a la con�guración óptima hallada usando la otra función objetivo.

Estos valores se aprecian en la grá�ca mostrada en la �gura 8.9. Hasta el momento,

esta es la geometría que está mejor considerada, ya que tiene una característica

de rigidez cuasi óptima y además la distribución es más uniforme, asemejándose

más a la manera de tender los hilos de contacto en la actualidad además de ser

estéticamente mejor.



Figura 8.8: Estructura más apta del algoritmo de 5 iteraciones con tamaño depoblación de 100


Por último, se efectuó otra simulación con la misma función objetivo 8.2 pero

utilizando una población más reducida de 50 con�guraciones con 10 iteraciones.

Sorprendentemente, dió mejor resultado que la anterior que contaba con una po-

blación mayor. Esto se puede deber a que la población inicial incluiría una con-


�guración cercana a la óptima y convergió rápidamente como muestra la grá�ca

8.10. El valor de aptitud que se alcanzó es de 29.785 a partir de la iteración 6.


La distribución de péndolas es en cm desde el poste como se indica a conti-

nuación: [856, 958, 1508, 2143, 2750, 3357, 3992, 4542, 4644] y está representada

en la �gura 8.11. Esta con�guración se parece mucho a la observada en la �gura

8.2 que fue el resultado óptimo de la primera simulación y que dió el mejor re-

sultado de homogeneidad. Al analizar su per�l de rigidez se observa que es muy

parecido al de la con�guración mencionada anteriormente con un valor máximo de

rigidez de 4450 N/m y un valor mínimo de 2700 N/m que produce un porcentaje

de homogeneidad del 24.75%.

Esta con�guración en base al criterio de homogeneidad es la mejor de las cuatro

simulaciones que se han llevado a cabo. Sin embargo, la estructura también es

menos ortodoxa ya que dos péndolas están muy próximas entre sí (a apenas 1

metro de distancia). La con�guración anterior mostrada en 8.8 es sólamente un

4% peor que la mejor en su valor de homogeneidad. Sin embargo mantiene un

estilo más parecido al clásico y estándar de colocar las péndolas y como solución

ingenieril sería la más adecuada aunque matemáticamente la mejor disposición sea

esta última.


Figura 8.11: Estructura más apta del algoritmo de 10 iteraciones con tamaño depoblación de 50


8.2. RESULTADOS DE LA OPTIMIZACIÓN DEL SECCIONAMIENTO 79

8.2. Resultados de la optimización del seccionamiento

La optimización del seccionamiento se hace a través de una única simulación con

un número muy elevado de con�guraciones analizadas, todas ellas muy distintas

gracias al sistema de cruce múltiple y mutación constante que está detallado en

el capítulo 7 en el apartado 7.2. En total se evaluan 1000 geometrías, variando

la distribución de péndolas, las curvas de elevación y el punto desde el cual se

empieza a elevar el hilo de contacto. El algoritmo se lleva a cabo en 10 iteraciones

con un tamaño de población de 100 y en la grá�ca 8.13 se muestra la evolución de

la función de aptitud. Para este estudio se mide la aptitud del seccionamiento por

el valor de la homogeneidad que depende del valor máximo y mínimo de la rigidez

en este tramo. Como el mejor seccionamiento corresponde al que tenga un valor de

homogeneidad más bajo y el algoritmo optimiza buscando el máximo de la función

de aptitud, esta función se de�ne como inversa de la fórmula de la homogeneidad.

La fórmula empleada es la misma que en la optimización del vano (ecuación 8.1).


En la grá�ca 8.13 se aprecia que a lo largo del algoritmo ha habido dos geo-

metrías que se han proclamado las mejores varias iteraciones seguidas hasta ser

destronadas por la solución óptima en la iteración 7, alcanzando un valor de apti-

tud de 3.896 que equivale a una homogeneidad del 25.67%. Cabe destacar que en

la primera iteración se obtiene un valor de aptitud de 3.497 que es muy elevado

y corresponde a una homogeneidad del 28.59%. En de�nitiva, desde la primera

iteración el algoritmo localiza una geometría con un resultado muy bueno y las


iteraciones sucesivas sirven para mejorar ligeramente este resultado. Por ello, se

decide analizar un poco en detalle las geometrías anteriores para ver como ha sido

el proceso evolutivo.

Lo interesante es que en el proceso evolutivo del mejor seccionamiento no se

aprecian cambios signi�cativos en las geometrías ya que los seccionamientos me-

jorados coinciden en la mayoría de las características geométricas principales del

seccionamiento óptimo de la primera iteración. Aunque el algoritmo está diseña-

do para explorar mucas geometrías distintas, por mucho que busque entre todas

esas con�guraciones no encuentra nada mejor que la solución óptima de la primera

iteración, y cuando la encuentra es muy parecida salvo pequeñas modi�caciones.

Las características geométricas que permanecen iguales en los tres seccionamientos

óptimos del algoritmo son:

1. El tipo de curva que produce los mejores seccionamientos es el polinomio de

orden 4 del tipo a · x4 + b · x3 + c · x2.

2. El punto en el que empieza a elevar es a partir de la segunda péndola antes

del poste situado en el eje del seccionamiento.

3. La coordenada en la que empieza a elevar el hilo de contacto está en las tres

con�guraciones entre los 10.9 m y 12 m antes del poste del seccionamiento,

diferenciándose en apenas 1 m. Esta característica sirve para indicar que

además de que las tres con�guraciones coinciden en el hecho de elevar el hilo

de contacto desde 2 péndolas antes del poste, esta péndola casualmente está

posicionada en una zona muy concreta.

Teniendo estas características iguales o casi iguales deja muy poco margen

para variaciones entre los seccionamientos óptimos. De hecho, sólamente cambian

ligeramente la disposición de las péndolas y los coe�cientes a, b, c del polinomio de

grado 4, pero a simple vista estos cambios casi ni se aprecian en la representación

de la geometría. La con�guración óptima �nal se muestra en la �gura 8.14.


Figura 8.14: Malla de elementos �nitos del seccionamiento óptimo

En la �gura 8.15 se muestra el seccionamiento original para comparar la subida

más pronunciada que tiene la parábola frente a la curva de elevación del secciona-

miento óptimo. Se aprecia además la diferencia en la disposición de las péndolas.

Figura 8.15: Malla de elementos �nitos del seccionamiento original


Al ser una elevación más suave, hay un mayor tramo en el que los dos hilos

contactan con el pantógrafo cuando este empuja hacia arriba en su circulación. Se

podía pensar que la mejor con�guración sería una en la que los dos hilos de contac-

to se solapasen lo menos posible, esperando que esto produjera un valor de rigidez

máximo más bajo. Sin embargo, en el punto en el que se solapan los dos hilos de

contacto, por muy pequeño que sea este tramo, la rigidez se dispara a valores por

encima de los 7000 N/m. La solución entonces al problema de mejorar la homo-

geneidad no reside en disminuir el pico de la rigidez sino en aumentar la rigidez

de la zona próxima al solape. En la con�guración óptima se consigue este objetivo

con una pendiente muy baja de elevación, haciendo que se prolongue la zona de

solape más y concentrando un mayor número de péndolas en la zona cercana al

eje del seccionamiento. La grá�ca de rigidez del seccionamiento óptimo está re-

presentada en la �gura 8.16 y tiene un escalón característico de aproximadamente

6500 N/m entre los 116 m y 140 m del seccionamiento. Se observan además unos

picos o máximos locales sobre este escalón que corresponden a los puntos donde

están colocadas las péndolas. En los extremos de la grá�ca hay unas pendientes

que alcanzan unos valores mínimos de rigidez de 4583 N/m.

Se muestra en la grá�ca 8.17 la comparación entre el per�l de rigidez del sec-

cionamiento óptimo (en azul) y del original (en rojo). El seccionamiento original

tiene un pico muy pronunciado en el centro y este cambio repentino en la rigidez

de la estructura puede provocar oscilaciones y despegues del pantógrafo a altas

velocidades. En el seccionamiento nuevo se consigue una pendiente más suave en

el per�l de rigidez y habría que comprobar a nivel dinámico si esto mejora la inter-

acción entre el pantógrafo y la catenaria en este tramo. Esta pendiente más suave

se ha conseguido gracias al escalón mantenido de rigidez máxima que hace que no

aumente de forma tan repentina la rigidez y gracias al incremento de la rigidez en

la zona cercana al eje del seccionamiento que aumenta la rigidez en los extremos

de la grá�ca. Esto hace que además la diferencia entre la rigidez máxima y mínima

sea menor. Para �nalizar el análisis, la media de la rigidez en el seccionamiento

óptimo es mayor tambíen que la media de la rigidez del seccionamiento original ya

que para casi todos los puntos la grá�ca azul está por encima de la grá�ca roja. La

combinación de estos factores produce un seccionamiento con un valor de homoge-

neidad del 25.67%, muy por debajo del valor de homogeneidad del seccionamiento

original de 46.98%.


Figura 8.16: Grá�ca de la rigidez del seccionamiento óptimo

Figura 8.17: Grá�ca comparando la rigidez del seccionamiento óptimo y del sec-cionamiento original


Para complementar el análisis estático se efectúo un análisis dinámico a 300

km/h para el seccionamiento óptimo y el mismo análisis para un seccionamiento

aleatorio. En la grá�ca 8.18 se ve el comportamiento de carga del pantógrafo a

lo largo del seccionamiento, con una fuerza media de 157 N que corresponde a la

suma de la componente estática y aerodinámica asociada a los 300 km/h. En la

coordenada de 90 m aproximadamente entra en contacto con el hilo de contacto de

bajada, pero lo hace de una manera suave ya que el pico en la fuerza de contacto

observable no es muy drástico comparado con el resto de picos que aparecen en la

grá�ca. De la misma manera se produce otro pico de relajación al despegarse de un

hilo de contacto cerca de la coordenada de los 160 m al disminuir la rigidez, pero

tampoco es un pico muy pronunciado. En de�nitiva el seccionamiento, a efectos del

comportamiento del pantógrafo, pasa casi desapercibido ya que el comportamiento

del pantógrafo se asemeja al que tiene al circular por los vanos, sin tener perturba-

ciones signi�cativas. Esto permite que la fuerza esté casi en su totalidad con�nada

entre 120 N y 180 N. Como referencia para la comparación se incluye una grá�ca

de la simulación dinámica para una geometría de seccionamiento aleatoria en la

que se aprecia una transición más turbulenta (�gura 8.19). De hecho se ve como

la fuerza de contacto oscila con mayor amplitud, llegando a picos altos de manera

reiterada que representan golpes que dañan tanto al pantógrafo como al hilo de

contacto. Además no se aprecia un patrón estable sino que la fuerza de contacto

varía entre unos límites más amplios de manera más descontrolada. Se representan

en una misma grá�ca las 2 anteriores para ver esta comparación mejor sobre los

mismos ejes.


Figura 8.18: Grá�ca del análisis dinámico para el seccionamiento óptimo

Figura 8.19: Grá�ca del análisis dinámico para un seccionamiento generado alea-toriamente


Figura 8.20: Grá�cas para la comparación de la simulación dinámica entre el sec-cionamiento generado aleatoriamente y el seccionamiento óptimo

Capítulo 9

Conclusiones Generales y

Trabajos Futuros

9.1. Conclusiones Generales

9.1.1. Conclusiones de los resultados

En este proyecto se perseguía optimizar los seccionamientos de la catenaria

ferroviaria. El estudio se ha hecho a nivel estático evaluando la rigidez que ofrece

la geometría a la fuerza vertical del pantógrafo en su circulación. Los programas

creados siguen un procedimiento basado en los algoritmos genéticos para obtener

la con�guración óptima. Estos algoritmos de manera iterativa evaluan con�gura-

ciones geométricas distintas y cruzan propiedades de las mejores geometrías para

ver si se encuentra una geometría mejor. La manera de valorar la aptitud de los

seccionamientos se ha hecho viendo las estructuras con mayor homogeneización de

la rigidez. Al cabo de un número determinado de iteraciones, o al converger a un

valor óptimo que no se consigue mejorar en iteraciones posteriores se llega al �n

del proceso de optimización.

Las geometrías de los seccionamientos se han variado acorde a tres parámetros:

1. La posición de las péndolas

2. El punto en el que se empieza a elevar el hilo de contacto

3. La forma de la curva de elevación de los hilos de contacto

En el estudio se variaban estos parámetros simultáneamente de manera que se

explorasen múltiples combinaciones de pendolado y tipos de curvas de elevación. Al

87

88 CAPÍTULO 9. CONCLUSIONES GENERALES Y TRABAJOS FUTUROS

�nalizar el estudio se ha obtenido una con�guración óptima con unos parámetros

de diseño concretos.

Del análisis de resultados se ha observado que la geometría con mejores resul-

tados usa como curva de elevación un polinomio de grado 4. Esta curva óptima

en concreto tiene una elevación muy suave, provocando que el pantógrafo contacte

con los dos hilos de contacto en un tramo amplio. Esta geometría ha mejorado

las propiedades estáticas del seccionamiento produciendo mayor homogeneidad en

la rigidez. En la grá�ca que muestra el per�l de rigidez se ve como tiene a una

forma de tipo escalón, con una variación en la rigidez más suave que en el caso del

seccionamiento original donde hay un pico muy pronunciado.

Una vez obtenida la geometría óptima del seccionamiento se ha realizado una

simulación dinámica para ver el comportamiento del pantógrafo en condiciones

de funcionamiento a 300 km/h. Se han comparado los resultados de la interac-

ción dinámica con los de un seccionamiento generado de manera aleatoria para

a�rmar que el seccionamiento óptimo hallado con el análisis estático también da

mejores resultados en la simulación dinámica que otro seccionamiento generado

aleatoriamente. Esta simulación dinámica tiene en cuenta los efectos de las ondas

propagadas y las vibraciones de la estructura presentes en la circulación ferroviaria.

9.1.2. Conclusiones de la metodología

La forma de hallar el seccionamiento óptimo es a través de unos programas

que se han creado basados en los algoritmos genéticos. Estos algoritmos tienen

una componente alta de aleatoriedad, sobretodo a la hora de de�nir la población

inicial. Una vez de�nida la población inicial el modelo evalua las con�guraciones

establecidas aleatoriamente y las cruza para, como en un proceso evolutivo, crear

con�guraciones mejores. La limitación que tiene esta metodología es que el resul-

tado �nal depende en gran medida de la población inicial que a su vez es de�nida

de manera aleatoria. Interesa entonces repetir el estudio varias veces para ver si en

todos los casos se converge a una misma solución.

La solución de repetir el estudio varias veces sin embargo es ine�caz y compu-

tacionalmente mala ya que se tarda mucho en realizar este estudio y no se sabe

cuantas veces se debe repetir para saber si los resultados son �ables. Se opta en

este proyecto por una solución más ingenieril que consiste en inyectar en el modelo

una mayor componente de aleatoriedad en las iteraciones posteriores a la primera.

En la jerga de los algoritmos genéticos es equivalente a introducir una componente

alta de mutación de genes de manera que los hijos obtenidos al cruzar dos padres

9.2. TRABAJOS FUTUROS 89

no son completamente semejantes a estos sino que se copian sólo algunas propie-

dades y se de�nen otras muchas de manera aleatoria. Esta variación del algoritmo

asegura explorar un abanico mayor de posibilidades en todas las iteraciones y que

no se dependa tanto de las con�guraciones formadas en el punto de partida. El

efecto contraproducente que se podría tener es que no convergiese ya que el algo-

ritmo se dispersa más al analizar más con�guraciones. Sin embargo, el algoritmo

ha convergido a un resultado que no se ha mejorado en 5 iteraciones, lo cual indica

que es un óptimo a�anzado y tiene la ventaja de que ha explorado de manera

exhaustiva todas las combinaciones que se podía.

9.2. Trabajos Futuros

En este proyecto se ha realizado un estudio de optimización de la interacción

pantógrafo catenaria en los seccionamientos. Se han analizado los resultados obte-

nidos y se ha evaluado el programa en su e�cacia para conseguir buenos resultados.

A continuación se enumeran unas posibles líneas de trabajo futuro que se podrían

considerar como continuaciones del estudio que se ha presentado en este proyecto

para profundizarlo.

1. Una de las posibles ampliaciones del estudio es la de incorporar más tipos

de curva al algoritmo. En este proyecto se han considerado 4 tipos de curvas

distintas y se podría expandir este número para que abarque polinomios de

grado mayor, exponenciales y curvas hiperbólicas.

2. La línea de investigación futura más evidente es realizar un estudio dinámico.

Todos los resultados que se han conseguido provienen de un análisis estático

pero como se ha visto en el capítulo 4 la componente aerodinámica y dinámica

de la fuerza del pantógrafo adquieren mayor importancia a altas velocidades.

Por ello, sería interesante aprovechar el algoritmo genético creado y usarlo

como plataforma para buscar soluciones óptimas desde el punto de vista

dinámico y ver si coinciden con las geometrías que han dado los mejores

resultados a nivel estático.

3. Explorar más con�guraciones en el análisis estático es otra posibilidad de aná-

lisis futuro. Se han considerado para este proyecto simulaciones que buscaban

con�guraciones óptimas entre 500 geometrías distintas ó 1000 geometrías dis-

tintas. Por razones de tiempo y por razones prácticas no se han considerado

poblaciones más grandes, ya que existe el posible fallo de que se cree una

90 CAPÍTULO 9. CONCLUSIONES GENERALES Y TRABAJOS FUTUROS

geometría que no sea apta y dañe la simulación entera al generar un error.

La optimización será más efectiva si se valoran más con�guraciones pero se

tendría que mejorar el algoritmo para reducir los tiempos.

4. Por último, este estudio se ha realizado con un tipo de catenaria y un pan-

tógrafo especí�co. Se podría ampliar el estudio generalizando el algoritmo

para que considere otros tipos de catenaria como la simple o la compuesta

o incluso con un número variable de péndolas para ampliar las posibilidades

de busqueda.

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