IMPLEMENTACIÓN DEL CUBO COMO RECURSO DIDACTICO PARA LA INTEGRACIÓN DE LA ARITMETICA Y LA GEOMETRIA

Maria Cecilia VélezDorys Lucia GrisalesMarta Cecilia Zapata

Edgar Fabián Rave V.

DIPLOMADOIntegración de la Aritmética y la Geometría

Asesor

Diego León correa

Universidad Autónoma LatinoamericanaMedellín

2008

IMPLEMENTACIÓN DEL CUBO COMO RECURSO DIDACTICO PARA LA INTEGRACIÓN DE LA ARITMETICA Y LA GEOMETRIA

INTRODUCCIÓN

El abordaje de la problemática educativa en la integración de la Aritmética y la Geometría desde el aprendizaje y la enseñanza de la figura geométrica cubo que permita trazar y direccionar la estructura curricular a fin de alcanzar el desarrollo humano que pretendemos mediante los procesos de formación del pensamiento matemático; en la descripción de dimensiones espaciales de la realidad en la que se mueven los estudiantes del grado tercero de la Institución Educativa Félix Henao Botero en Geometría y en Aritmética, la cual posibilita la oportunidad de que los estudiantes planteen problemas y preguntas sobre propiedades geométricas – aritméticas, que desde el trabajo con el cubo se puedan formular hipótesis y conjeturas, de planear su verificación o refutación y de poder elaborar sus resultados en el idioma de su entendimiento, por lo que: “Si los pueblos no se hubieran ocupado de las formas geométricas y su relación con la sencillez de la Aritmética, no hubiesen podido construir grandes estructuras como las pirámides o tan sencillas como una mesa”.

En este trabajo se pretende que el estudiante explore la figura geométrica cubo como elemento integrador con la Aritmética sencilla y en cuya relación se aprenda la mayoría de los principios de la geometría usando el cubo como herramienta de aprendizaje y de fortalecimiento de los conocimientos ya existentes.

La geometría para este trabajo inicia con los conceptos de recta, punto, rayo, plano, línea y espacio y que ayude a los niños y a las niñas a desarrollar un pensamiento capaz de operar con las formas y las posiciones.

“Cuando se habla de enseñar una geometría dinámica que ayude a desarrollar un pensamiento capaz de operar con las formas y las posiciones, se hace referencia a la necesidad de propiciar experiencias verdaderamente problematizadoras que inciten el pensamiento creador”.

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 DESCRIPCION DEL PROBLEMA

Los estudiantes del grado tercero de la Institución Educativa Félix Henao Botero, jornada de la tarde, de la ciudad de Medellín, presentan dificultades en el aprendizaje y la comprensión asociados con los conceptos básicos de la geometría integrada a la aritmética, en particular en la construcción del cubo como recurso didáctico e integrador con la geometría, es de anotar que estas dos áreas se dictan por separado, generalmente la geometría se ve en el último período, lo que conlleva a que solo se trabaje lo básico y lo más simple de la asignatura.

Para la integración de la aritmética y la geometría en el grado tercero se requiere del conocimiento básico de ambas, en lo referente a Aritmética: número, operaciones básicas y su construcción, y en lo relacionado con la geometría se debe poseer un conocimiento básico de punto, línea, ángulo y figuras, junto con sus relaciones con la vida cotidiana, entre otros. Por lo que al integrar estas áreas y sin el debido estudio de ellas se nos presentarían dificultades en el entendimiento, pereza por las asignaturas y bajo rendimiento académico en un presente y futuro.

Frente a este panorama es de gran importancia analizar y visualizar la imposibilidad y las limitantes que poseen los maestros y maestras de primaria para dar una solución a esta situación problemática en relación a la formación que poseen y el conocimiento aritmético, debido a que su formación académica no incluye aprender aritmética y lo que enseña se basa en lo que aprendió durante su carrera como docente, en los cursos que recibe a través de documentos, Internet, libros, eventos entre otras situaciones de formación didáctica , lo que visualiza de forma clara las carencias de los niños y niñas en la aritmética y la geometría.

De acuerdo a lo planteado los estudiantes del grado tercero de la Institución Educativa Félix Henao Botero presentan una serie de vacíos y lagunas en su aprendizaje asociados en la construcción del cubo y su relación con la aritmética resultado de la formación del docente de primaria, del currículo en lo relacionado con la separación de Aritmética y Geometría y el PEI el cual no presenta de alguna manera que se debe integrar estas dos asignaturas y que hacen parte esencial del estudio de las matemáticas.

1.2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

¿Cómo implementar las TIC en el trabajo con el cubo como recurso didáctico e integrador entre la aritmética y la geometría a los procesos de formación en competencias matemáticas en los estudiantes del grado sexto en la Institución Educativa Alcaldía de Medellín?

2. JUSTIFICACIÓN

La importancia de la integración de la Aritmética y la geometría en la utilización del cubo como recurso didáctico e integrador en la Institución Educativa Félix Henao Botero en el grado tercero propiciará estrategias en la que los docentes como los alumnos realicen ejercicios, gráficas, y problemas que impliquen el desarrollo de la competencia interpretativa, pues esta integración desarrollaría el pensamiento y la inteligencia a través del reconocimiento de la existencia del ser humano en un espacio geométrico - numérico, en otras palabras, todo el espacio en el que nos movemos posee estas dos asignaturas.

“con base en los criterios de interdisciplinariedad y en los principios didácticos relacionados con la vinculación del carácter individual y el colectivo de la enseñanza de la Geometría – Aritmética que sugieren una formación integral de los estudiantes y los docentes”, por lo cual se puede dar unos mejores procesos de aprendizaje analizando los conceptos Aritméticos – Geométricos que se van a tratar, para luego darse a la tarea de investigar, indagar las relaciones existentes como por ejemplo problemas aritméticos surgidos con el trabajo con el cubo en interrelación con conocimientos geométricos y viceversa.

En el tema de variación de números y figuras de grado tercero, por ejemplo, se puede pensar en la enseñanza – aprendizaje, descubriendo lo que siempre se repite en algunos números o en algunas figuras geométricas, al igual si construyo secuencias numéricas y geométricas (14, 12, 10,… ¿Cuál es el número que sigue)

En este proceso de integración Aritmético – Geométrico se debe tener bien claro e identificar los contenidos o estándares curriculares básicos de cada asignatura y solicitar tanto a los docentes de primaria como a los estudiantes que indaguen acerca de la forma como enseñar la forma del cubo, a través de tratamiento aritmético y viceversa, utilizando diferentes fuentes de información como los textos, la Internet, la biblioteca, entre otros.

Los estudiantes observarán, describirán, compararán y clasificarán la forma geométrica cubo y: contextualizar la forma geométrica, representará gráficamente la forma geométrica, realizará diseños y construcciones de la forma geométrica, reconoce y aplica traslaciones y giros del cubo en el plano.

3. OBJETIVOS

3.1 OBJETIVO GENERAL:

- Implementar el trabajo con el cubo como recurso didáctico e integrador entre la Aritmética y la Geometría en los estudiantes del grado tercero de la Institución Educativa Félix Henao Botero de la Ciudad de Medellín.

- Mejorar el aprendizaje integral de la Geometría y la Aritmética en los estudiantes del grado tercero de la Institución Educativa Félix Henao Botero de la Ciudad de Medellín a partir de la forma geométrica del cubo.

3.2 OBJETIVO ESPECIFICO

- Observar la forma Geométrica del cubo desde la Aritmética y viceversa.

- Describir el cubo desde la Aritmética.

- Comparar la forma del cubo desde la Aritmética y la Geometría con el fin de integrarlas.

- Mejorar el aprendizaje integral de la Geometría y la Aritmética en los estudiantes del grado.

4. MARCO TEORICO

4.1. Pensamiento espacial y sistemas geométricos:

El estudio de la geometría en los currículos de las matemáticas escolares se había abandonado como una consecuencia de la adopción de la “matemática moderna”. Desde un punto de vista didáctico, científico e histórico, actualmente se considera una necesidad ineludible volver a recuperar el sentido espacial intuitivo en toda la matemática, no sólo en lo que se refiere a la geometría.

Howard Gardner en su teoría de las múltiples inteligencias considerar como una de estas inteligencias la espacial y plantea que el pensamiento espacial es esencial para el pensamiento científico, ya que es usado para representar y manipular información en el aprendizaje y en la resolución de problemas.

El manejo de información espacial para resolver problemas de ubicación, orientación y distribución de espacios es peculiar a esas personas que tienen desarrollada su inteligencia espacial. Se estima que la mayoría de las profesiones científicas y técnicas, tales como el dibujo técnico, la arquitectura, las ingenierías, la aviación, y muchas disciplinas científicas como química, física, matemáticas, requieren personas que tengan un alto desarrollo de inteligencia espacial.

En los sistemas geométricos se hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial, el cual es considerado como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos , sus transformaciones, y sus diversas traducciones a representaciones materiales.

Los sistemas geométricos se construyen a través de la exploración activa y modelación del espacio tanto para la situación de los objetos en reposo como para el movimiento. Esta construcción se entiende como un proceso cognitivo de interacciones, que avanza desde un espacio intuitivo o sensorio-motor (que se relaciona con la capacidad práctica de actuar en el espacio, manipulando objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando desplazamiento, medidas, cálculos espaciales, entre otros.), o un espacio conceptual o abstracto relacionado con la capacidad de representar internamente el espacio, reflexionando y razonando sobre propiedades geométricas abstractas, tomando sistemas de referencia y prediciendo los resultados de manipulaciones mentales.

Este proceso de construcción del espacio está condicionado e influenciado tanto por las características cognitivas individuales como por la influencia del entorno físico, cultural, social e histórico. Por tanto, el estudio de la geometría en la escuela debe favorecer estas interacciones. Se trata de actuar y argumentar sobre el espacio ayudándose con modelos y figuras, con palabras del lenguaje ordinario, con gestos y movimientos corporales.

4.2. Geometría Activa

Para lograr este dominio del espacio se sugiere el enfoque de geometría activa que parte de al actividad del alumno y so confrontación con el mundo. Se da prioridad a la actividad sobre la contemplación pasivo de figuras y símbolos, a las operaciones sobre las relaciones y elementos de los sistemas y a la importancia de las transformaciones en la comprensión aun de aquellos conceptos que a primera vista parecen estáticos. Se trata pues de hacer cosas, de moverse, dibujar, construir, producir y tomar de estos esquemas operatorios el material para la conceptualización o representación interna. Esta conceptualización va acompañada en un principio por gestos y palabras del leguaje ordinario, hasta que los conceptos estén insipientemente construidos a un nivel suficientemente estable para que los alumnos mismos puedan proponer y evaluar posibles definiciones y simbolismos formales.

4.3. Desarrollo del pensamiento geométrico

Éste sigue una evolución muy lenta desde las formas intuitivas iniciales hasta las formas deductivas finales aunque los niveles finales escolares bastante más avanzados que los que se dan en la escuela.

El modelo de Van Hiele propone cinco niveles de desarrollo del pensamiento geométrico que muestran un modo de estructurar el aprendizaje de la geometría escolar.

Nivel 1: Es el nivel de visualización, llamado también de familiarización, en el que el alumno percibe las figuras como un todo global, sin detectar relaciones entre tales formas o entre sus partes. Por ejemplo, un niño de seis años puede reproducir un cuadrado, un rombo, un rectángulo; puede recordar de memoria sus nombres. Pero no es capaz de ver que el cuadrado es un tipo espacial de rombo o que el rombo es un paralelogramo particular. Para él son formas distintas y aisladas.

En este nivel, los objetos sobre los cuales los estudiantes razonan son clases de figuras reconocidas visualmente como de “la misma forma”.

Nivel 2: Es un nivel de análisis, de conocimiento de los componentes de las figuras, de sus propiedades básicas. Estas propiedades van siendo comprendidas a través de observaciones efectuadas durante trabajos prácticos como mediciones, dibujo, construcción de modelos, etc. El niño, por ejemplo, ve que un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos, que las diagonales son de la misma longitud, y que los lados opuestos también son de la misma longitud. Se reconoce la igualdad de los pares de lados opuestos del paralelogramo general, pero el niño es todavía incapaz de ver el rectángulo como un paralelogramo particular.

En este nivel, los objetos sobre los cuales razonan los estudiantes son las propiedades de clases de figuras.Nivel 3: Llamado de ordenamiento o de clasificación. Las relaciones y definiciones empiezan a quedar clarificadas, pero sólo con ayuda y guía. Ellos pueden clasificar figuras jerárquicamente mediante la ordenación de sus propiedades y dar argumentos informales para justificar sus clasificaciones; por ejemplo, un cuadrado es identificado como un rombo porque puede ser considerado como “un rombo con unas propiedades adicionales”. El cuadrado se ve ya como un caso particular del rectángulo, el cual es caso particular del paralelogramo, comienzan a establecerse las conexiones lógicas a través de la experimentación práctica y del razonamiento.

En este nivel, los objetos sobre los cuales razonan los estudiantes son las propiedades de clases de figuras.

Nivel 4: Es yo de razonamiento deductivo; en él se entiende el sentido de los axiomas, las definiciones, los teoremas, pero aún no se hacen razonamientos abstractos, ni se entienden suficientemente el significado de rigor de las demostraciones.

Nivel 5: Es el de rigor, es cuando el razonamiento se hace rigurosamente deductivo. Los estudiantes razonan formalmente sobre sistemas matemáticos, pueden estudiar geometría sin modelos de referencia y razonar formalmente manipulando enunciados geométricos tales como axiomas, definiciones y teoremas.

Aunque estos niveles son una aproximación aceptable a las posibles etapas en las que progresa el pensamiento geométrico, los docentes debemos ser críticos con respecto a ellos, pues no parecen dirigidos a lo que parecen ser los logros más importantes del estudio de la Geometría: la exploración del espacio, el desarrollo de la imaginación tridimensional, la formulación y discusión de conjeturas, jugar con los diseños y relaciones del plano y sus grupos de transformaciones. La propuesta de geometría activa, que parte del juego con sistemas concretos, de la experiencia inmediata del espacio y el movimiento, que lleva a la construcción de sistemas conceptuales para la codificación y el dominio del espacio, y a la expresión externa de esos sistemas conceptuales a través de múltiples sistemas de simbólicos, no coincide con la descripción de Van Hiele.

4.4. Representación bidimensional del espacio tridimensional

Otro aspecto importante del pensamiento espacial es la exploración activa del espacio tridimensional en la realidad externa y en la imaginación, y la representación de objetos sólidos ubicados en el espacio. Al respecto Lappan y Winter, afirman:

A pesar de que vivimos en un mundo tridimensional, la mayor parte de las experiencias matemáticas que proporcionamos a nuestros niños son

bidimensionales. Nos valemos de libros bidimensionales para presentar las matemáticas a los niños, libros que contienen figuras bidimensionales de objetos tridimensionales. A no dudar, tal uso de “dibujos” de objetos le supone al niño una dificultad adicional en el proceso de comprensión. Es empero, necesario que los niños aprendan a habérselas con las representaciones tridimensionales de su mundo. En nuestro mundo moderno, la información seguirá estando desanimada por libros y figuras, posiblemente en figuras en movimiento, como en la televisión, pero que seguirán siendo representaciones bidimensionales del mundo real”.

El dibujo en perspectiva se puede utilizar con mucho provecho para la educación estética, y para el ejercicio de las proyecciones de objetos tridimensionales en la hoja de papel, y de la hoja de papel al espacio. Para esto último se puede empezar por dibujar cubos y cajas en perspectiva, de manera que unos oculten parcialmente a los otros, y luego tratar de colocar cubos y cajas de cartón sobre una mesa de manera que se vean como en el papel. Aun en el dibujo en perspectiva es difícil dibujar las elipses que representan las distintas maneras como aparece un círculo desde distintos puntos de vista. Por eso puede ser aconsejable limitar la perspectiva a figuras rectilíneas, a menos que los mismos alumnos quieran explorar cómo se dibujan las tapas de las alcantarillas en las calles ya dibujadas en perspectivas.

4.5. Las transformaciones

En la actualidad, gran parte de la geometría escolar se ha ocupado del movimiento de figuras geométricas desde una posición a otra, y de movimientos que cambian el tamaño o la forma.

La primacía de las figuras muertas y de las relaciones de paralelismo y perpendicularidad de líneas y las de igualdad o congruencia o semejanza de figuras ocultaron por mucho tiempo el origen activo, dinámico de los conceptos geométricos, y dejaron en la penumbra las transformaciones. Los sistemas geométricos se redujeron a sus componentes, como los puntos, líneas y planos, segmento de recta y curvas, y figuras compuestas por ellos, con sólo la estructura dada por las relaciones mencionadas.

Las transformaciones intentan devolver la dinámica a los sistemas geométricos, con sus operadores, que resultan de internalizar en forma de esquema activos en la imaginación, los movimientos, acciones y transformaciones que se ejecutan físicamente, esto quiere decir que una transformación no puede definirse, ni mucho menos simbolizarse formalmente, antes de que los alumnos hayan hecho algunas transformaciones externas, moviéndose ellos mismos y moviendo hojas, varillas y otros objetos, deformándolos, retándolos, o deslizándolos unos sobre otros de manera física, de tal manera que ya puedan imaginarse esos movimientos del cuerpo o de las manos.

4.6. Pensamiento métrico y sistemas de medidas

La interacción dinámica que genera el proceso de medir entre el entorno y los estudiantes, hace que éstos encuentren situaciones de utilidad y aplicaciones prácticas donde una vez más cobran sentido las matemáticas.

Actividades de la vida diaria relacionadas con las compras en el supermercado, con la cocina, con los deportes, con la lectura de mapas, con la construcción, etc. Acercan a los estudiantes a la medición y les permiten desarrollar muchos aspectos y destrezas matemáticas.

La desatención de la geometría como materia de estudio en las aulas y el tratamiento de los sistemas métricos desde concepciones epistemológicas y didácticas, descuida por un lado el desarrollo histórico de la medición y por otro reduce el proceso de medir a la mera asignación numérica.

No es extraño, en nuestro medio, introducir a los niños y a las niñas en el mundo de la medida con instrumentos refinados y complejos descuidando la construcción de la magnitud objeto de la medición y la comprensión y el desarrollo de procesos de medición en cuya culminación sería precisamente aquella que hemos denunciado como prematuro.

Algunos investigadores afirman que lo niños no tienen conciencia de las sutilezas de la noción de replicación de la unidad, es decir, la repetición de uno única unidad de medida, a partir de la cual el hombre ha llegado al número y al recuento; y que de este hecho nación la necesidad de patrones de medida fijos. Las experiencias de los niños con las medidas comienzan normalmente con el número y están a menudo restringidas a él, con pocas posibilidades de explorar los principios en los cuales se apoya la medición.

Osborne afirma:

“en las escuelas actuales, gran parte de lo que se aprende sobre medición es de naturaleza puramente incidental. Los conceptos de medida aparecen en situaciones cuyo propósito es enseñar y aprender sobre el número. Se supone que la medida es intuitiva y está lo suficientemente poseída y comprendida por los alumnos como para servir de marco intuitivo en cuyo seño explicar las operaciones aritméticas. Tal presunción ha de ser puesta en tela de juicio. Además, la naturaleza de la forma en que los niños aprenden a medir y se valen de medidas en el contexto de esta transferencia exige cuidadosa atención (Osborne, 1976-115).

Los procesos de medición comienzan “desde las primeras acciones con sus éxitos y fracasos codificados como más o menos, mucho o poco, grande o pequeño, en clasificaciones siempre relacionadas en alguna forma con imágenes espaciales, esto es con modelos geométricos, aún en el caso del tiempo.

Por eso nos referimos a los sistemas geométricos, que se inician con modelos cualitativos del espacio, y a los sistemas métricos, que pretenden llegar a

cuantificar numéricamente las dimensiones o magnitudes que surgen en la construcción de los modelos geométricos y en las reacciones del os objetos externos a nuestras acciones”.

Los logros propuestos para los sistemas métricos van encaminados a acompañar a los estudiantes a desarrollar procesos y conceptos como los siguientes.

- La construcción de los conceptos de cada magnitud.- La comprensión de los procesos de conservación de magnitudes.- La estimación de magnitudes y los aspectos del proceso de “capturar lo

continuo con lo discreto”.- La apreciación del rango de las magnitudes.- La selección de unidades de medida, de patrones y de instrumentos.- La diferencia entre la unidad y el patrón de medición.- La diferencia entre la unidad y el patrón de medición.- La asignación numérica.- El papel del trasfondo social de la medición.

4.6.1. La Construcción de la Magnitud

Una primera actividad de quien aprende es la de crear y abstraer en el fenómeno u objeto la magnitud concreta o cantidad susceptible de medición.

Por ejemplo, si se considera una regla, dependiendo de nuestra actividad creadora, la regla puede tener espesor, o ancho, o largo o hasta diámetro. ¿Cuál seria el diámetro de una regla? Podemos decir que es la longitud del segmento de recta más largo que el cerebro puede meter dentro de la regla, que no es precisamente la diagonal de una de las caras. Así como el diámetro de la regla requirió de una actividad creadora de nuestro cerebro, ninguna de esas cantidades como largo, ancho o espesor está simplemente allí como ya dada, sin actividad humana previa.

Hay que tener en cuenta que esa construcción requiere tiempo, todo el necesario para que activamente el niño o la niña en una primera etapa cree en el objeto o en el fenómeno la magnitud concreta como el largo, el ancho, el espesor, etc., o cantidad susceptible de ser medida y posteriormente logre fundir en una sola o abstraer de todas esas magnitudes concretas la magnitud abstracta, como lo sería, por ejemplo, la longitud.

El concepto de magnitud empieza a construirse cuando se sabe que hay algo que es más o menos que otra cosa y se pregunta: más qué o más de qué. Puede darse una etapa intermedia de construcción de magnitudes que después se puedan fundir en una sola, como se ha señalado para la longitud, con las magnitudes intermedias de largo, ancho, espesor, altura profundidad, etc.

Más bien se nota que primero se logra la comparación en la dirección de menor o mayor, es decir la relación de ser más grande, que es anterior a la de ser más

pequeña que, etc. Una vez consolidada esa relación unidireccional se reversibiliza la relación para construir la inversa, y se coordinan ambas, sólo cuando fracasan los intentos de someter los objetos y fenómenos a esas relaciones de desigualdad se construye la equivalencia respectivo.

4.6.2. El desarrollo del proceso de conservación

En estudios acerca de la conservación de la longitud realizados por Musick (1978) en 142 niños de edades comprendidas entre los tres años y medio y los nueve años, encontró que dada una distancia entre dos sitios A y B que se encontraban en lados opuestos de una sala, los comentarios de los niños al juzgar las distancias de ida (AB) y vuelta (BA) en condiciones diferentes fueron de este tipo.

- Es más lejos ir a un sitio que volver.- Fui más lejos cuando corrí porque eso es más rápido que saltar.- Llevar el cesto hizo que el camino fuera más largo.- Las carreras son siempre más lejos que los saltos, porque a saltos es más

despacio y se tarde más tiempo.- Es la misma distancia cuando anda la muñeca o cuando ando yo, pero no

es la misma distancia al correrla o saltarla.- Mira, no importa lo que hagas, la habitación es igual de grande. Siempre es

el mismo espacio.

Con base en sus hallazgos Musick asevera que es preciso tomar precauciones al recurrir a tareas motoras que puedan distraer al niño o a la niña y obstaculizar su capacidad de asir el concepto y su estructura subyacente.

4.6.3. La estimación de magnitudes

Y los aspectos del proceso de “capturar lo continuo con lo discreto” están íntimamente relacionados con los conceptos de medida y conteo.

A propósito de esta relación “Brookes (1970) adopta un planteamiento histórico, considerando que la base de todo proceso de medida es la reiteración de una unidad.

Sin embargo, los conceptos numéricos asociados al proceso de medida suponen más que el mero contar en sentido ordinario. Puede suceder que en el proceso de medida las propias unidades sean indistinguibles unas de otras. De ordinario, el recuento se ocupa de las llamadas variables discretas, es decir, se aplico a situaciones en las que cada una de las unidades individuales que hay que contar es una entidad distinta y separable, con asignación de un número a un conjunto.

Aunque las magnitudes de naturaleza continua, tienden a encontrar una estimación de sus medidas, la repetición reiterada de patrones susceptibles de ser contados mediante los números naturales parece ocultar el carácter continuo de

dichas magnitudes. Podríamos decir que, en este caso, hay un esfuerzo por capturar lo continuo (magnitudes) con lo discreto (números naturales).Cuando se trata del área de superficie, es usual “cuadricular” la representación de éstas y preguntar, por ejemplo, ¿con cuántas baldosas se recubren el piso? La unidad patrón es la baldosa, y el número de ellos es una medida del área de dicha superficie.

Esto conlleva a la noción de recubrimiento por repetición de una unidad y son previas para el proceso de medición del área. Sin embargo es necesario realizar otro tipo de actividades que permitan captar la naturaleza continua y aproximativa de la medida ya que las anteriores tienen la desventaja de promover un carácter discreto y exacto de la medida lo cual no es sino una primera aproximación, que si no se supera oportunamente, obstaculiza el desarrollo interior de los procesos de medición.

4.6.4. La selección de unidades

No es necesario seleccionar unidades en un proceso de medición, este puede terminar con la ubicación de la cantidad respectiva en un rango de magnitudes, y en la afirmación o negación de una comparación con una instancia conocida de la misma magnitud, no necesariamente con la unidad.

Se requiere retinar el resultado de la medición, con la unidad de medida apropiada para el rango determinado. Tiene que ser la cantidad o instancia de la magnitud que puede identificarse lo suficientemente bien para poder utilizarla en combinación con un sistema numérico ya previamente construido.

Hay una diferencia importante entre la unidad y el patrón de medida. Los litros que dicen que un centímetro cuadrado es un cuadrito de un centímetro de lado, estarían excluyen do que un disco también puede tener un centímetro cuadrado de área, o que una región del plano se pueda subdividir en triángulo equilátero de un centímetro de área. El patrón es más concreto, la unidad es más abstracta, el patrón debe tener en lo posible una unidad de área. Pero la unidad no tiene por qué estar ligada a un patrón determinado. La influencia de la longitud y del antiguo metro-patrón de sirve como obstáculos epistemológicos para una conceptualización más completa del proceso de medición.

4.6.5. El trasfondo social de la medición

La interacción social y la referencia a un trasfondo significativo e importante para el alumno son absolutamente insustituibles en la construcción de los procesos de la medición en el cerebro de cada uno de los participantes.

Es de anotar que antes de la selección de la unidad y la ejecución del proceso particular de asignación numérica, los objetos o procesos ya vistos selectivamente desde el punto de vista de la magnitud, así sea sólo a escala ordinal, pueden considerarse como instancias concretas de la magnitud respectiva, que llamamos

“cantidades”. Como lo vimos en el caso de las magnitudes discretas, podemos hablar de “una Gran cantidad de lápices”, aún antes de saber cuántos son. Que después resulten ser ciento cuarenta y cuatro o doce docenas, o una gruesa eso es ya una etapa posterior, en la que esa cantidad ya ha sido objeto de un nuevo proceso de asignación numérica, altamente dependiente de la selección de unidad, del proceso de medición, y de todo el trasfondo social en el que ocurre el proceso.

Esta presencia invisible del trasfondo social, lingüístico y utilitario de los procesos de medición debe tenerse muy en cuenta, así como la importancia del proceso inicial de estimación ordinal, pre-numérica o cualitativa, que es crucial aun para seleccionar la unidad y el proceso de medición apropiados a la situación.

4.7. EN EL INTENTO DE DIBUJAR, SE HACE GEOMETRIA: EL CUBO

En todo intento de representar mediante un dibujo los objetos físicos, de alguna manera, se esta haciendo geometría. Al dibujar un cubo, se trata de llevar algo que esta en tres dimensiones al plano de una hoja, a dos dimensiones; en ese intento se deben resolver múltiples problemas.

4.7.1. Figuras geométricas

Se denominan cuerpos geométricos a aquellos elementos que, ya sean reales o ideales — que existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente — ocupan un volumen en el espacio desarrollándose por lo tanto en las tres dimensiones de alto, ancho y largo; y están compuestos por figuras geométricas.

Las líneas que corresponden a los lados comunes de los diversos planos que componen los cuerpos geométricos, se denominan aristas.

El estudio de los cuerpos geométricos comprende: Su clasificación; Su diagrama y construcción; El cálculo de su superficie total; El cálculo de su volumen.

4.7.2. Clases de cuerpos geométricos.

Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos:

Los poliedros — o cuerpos planos, que son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras geométricas planas; como por ejemplo el cubo;

Los cuerpos redondos — que son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.

Los poliedros son cuerpos geométricos que están compuestos exclusivamente por superficies planas, que se denominan caras del poliedro. Se distinguen dos clases de poliedros:

Los poliedros regulares — en los cuales todas las caras son iguales.

Los poliedros irregulares — en los cuales no se trata de que todas sus caras sean distintas, sino de que tienen caras que comprenden más de un tipo de figuras planas (por ejemplo, una piedra preciosa tallada, o los caireles de una lámpara).

La representación gráfica de los cuerpos geométricos en general, presenta la dificultad de que, teniendo tres dimensiones, solamente pueden representarse en el plano dos dimensiones; por lo cual se recurre a una técnica de dibujo, la perspectiva, que permite dar la sensación tridimensional.

El cubo — que está compuesto por seis caras cuadradas; motivo por el cual se le conoce también con el nombre de exaedro regular, (exaedro = cuerpo con 6 caras), es un ortoedro con todas las aristas iguales, es llamado hexaedro, es un paralelepípedo cuyas caras contiguas son perpendiculares, caracterizado por sus dimensiones, que son las longitudes de tres aristas concurrentes, a, b, c. todas sus caras, aristas y ángulos son iguales.

4.7.3. Diagrama y construcción de poliedros

El diagrama de un poliedro, consiste el despliegue de todos sus planos, unidos por un lado común, sobre un plano único.

Ese despliegue, tendrá dos utilidades principales; una que permitirá un diseño con el cual construir los poliedros en materiales apropiados (como cartulina, chapa metálica o madera laminar), y otra que conducirá al modo de calcular la superficie lateral. 4.7.4. Construcción de poliedros

Para lograr la construcción de poliedros, debe procederse a confeccionar un diagrama considerando cuidadosamente las dimensiones de sus planos y su lados comunes; de manera que ulteriormente sea posible, en el caso de utilizar un material que lo permita, realizar pliegues sobre las líneas de sus aristas, hasta hacer coincidir los demás bordes y proceder a unirlos como aristas.

A efectos de poder efectuar la unión de las aristas que son líneas libres en el diagrama, puede ser necesario agregar a ellas una pestaña; que permita solaparla con la cara opuesta del arista, mediante el uso de una sustancia adherente adecuada. Para construir más fácilmente poliedros de cartulina, esas uniones pueden sostenerse mediante cintas adhesivas.

EL CUBO

5. MARCO CONCEPTUAL

En 1778 Thomas Malthus publicó un pequeño ensayo sobre la población, afirmando su celebre ley demográfica, según la cual la población, cuando no encontraba impedimentos legales ó históricos, tendía acrecer de manera geométrica, mientras que los recursos de Alimentos solo crecían de manera aritmética. De modo que el crecimiento desmesurado de la población conllevaría inexorablemente a la miseria de la especie.

El hombre civilizado esta rodeado por todas partes por un conflicto sutil y raramente percibido entre de maneras antiguas de dar forma a las cosas: la ortogonal y la redonda. Los coches sobre ruedas redondas y conducidas por las manos sobre un volante circular, se mueven por las calles que se cortan como las líneas de una malla rectangular. Los edificios y las casas constan principalmente de ángulos rectos, aligerados ocasionalmente por cúpulas y ventanas circulares. Comemos en mesas rectangulares o circulares, con servilletas rectangulares sobre las rodillas, con platos redondos y vasos de sección circular.

En la mayoría de los deportes que se practican al aire libre se emplean bolas esféricas en campos rectangulares y en los de interior, desde el billar a las damas chinas, aparecen combinaciones similares de lo redondo y lo rectangular. Donde quiera que se mire, la escena está llena de cuadrados y círculos y otras formas estrechamente afines: los cubos y las elipses.

Resulta tan interesante la geometría a y la aritmética que se vislumbra de una forma objetiva en la vida y en especial en la naturaleza que nos enseña la precisión geométrica que poseen los animales, como por ejemplo las abejas que utilizan la geometría para construir su vivienda. Estos inteligentes insectos viven en colmenas de hasta 50.000 abejas por familia. Normalmente la colmena esta compuesta por una reina que pone los huevos, miles de larvas o abejas bebés y un número mayor de abejas obreras que se encargan de buscar la comida y cuidar las larvas. Las abejas construyen su celda en forma de prisma hexagonal. Prisma de seis lados. Pues esta es la forma más practica de una cuna para sus pequeñas larvas.

Vemos que desde la antigüedad la aritmética y la geometría fueron la base como por ejemplo la arquitectura egipcia en la que Ahmose, arquitecto principal del faraón, tenía un problema. Estaba construyendo un nuevo palacio con bloques en forma de cubo de una piedra especial traída del país de Punt. Así pues Ahmose tenía que saber exactamente cuantos bloques necesitaba.

Ahmose empezó a calcular cuantos bloques serían. El dormitorio de la reina Mediría diez pasos de largo por nueve de ancho. Si hacía cortar los bloques en

grandes cubos que midieran un paso por cada lado. De esta forma construyo la habitación de la reina.

Ha sido desde siempre el cubo la base para la realización de las construcciones arquitectónicas de allí la aparición de las grandes ciudades según los egipcios. Por tanto es el CUBO conocido en la antigüedad como uno de los cinco sólidos platónicos, por lo que daremos un ejemplo con un ejercicio de cómo se puede trabajar el cubo desde la integración de la aritmética y la geometría, por ejemplo:

5.1. LOS POLICUBOS

Observe los policubos con los que está formado el cubo de soma

Los policubos son cuerpos geométricos formados por cubos iguales encajados o pegados por medio de sus caras. Unos policubos muy famosos son los descubiertos por el matemático danés Piet Hein con los que construyó el cubo de soma.

¿Por cuantos cubos está formado cada uno de los siete policubos del cubo de

soma?

Represente en el plano los siete policubos del cubo de soma utilizando papel

Isométrico

INVESTIGUE Y DESCUBRA. Ayudándose de los policubos, cuántos policubos

diferentes se pueden formar con tres, cuatro y cinco cubos

Represente los policubos encontrados en el papel isométrico.

Observe las siguientes figuras. Estas corresponden a escaleras de 1, 2, 3,

y 4 escalones. Construya estas escaleras con los policubos y complete la

sigueinte tabla.

Número

de

escalone

s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Número

de cubos

¿Cuántos cubos se necesitan para construir una escalera con 100 escalones?

Intente escribir una fórmula con la cual pueda encontrar el número de cubos

que necesitaría para construir una escalera de K escalones

Sugerencia: - Observe la relación que existe entre el número

de escalones y la base de la escalera

- Exprese el número total de cubos como la suma de los cubo

que están formando cada nivel de la escalera

Observe las siguientes figuras. Estas corresponden a escaleras dobles

construidas con cubos de 1, 2 y 3 escalones. Dibuje en el papel isométrico

las siguientes tres escaleras. Construya estas escaleras con los policubos

y complete la sigueinte tabla.

Nº de

escalones

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de

cubos

Nº de

cubos de

la base

¿Qué característica debe tener el número de cubos usados en la base de

las escaleras dobles?

¿Cuántos cubos en total tendrá la escalera doble cuya base es de 13

cubos?

Intente escribir una fórmula con la cual pueda encontrar el número de cubos

que necesitaría para construir una escalera doble cualquiera

A partir de lo planteado en este trabajo se puede empezar a trabajar de manera

amplia, la idea de hacer una geometría dinámica en relación con una aritmetica

creadora, que ayuden a los niños y las niñas a desarrollar un pensamiento capaz

de operar con las formas y las posicioneds. Pero a pesar de los esfuerzos de

capacitación, aún subsiste en las prácticas del aula e incluso en muchos textos

escolares, la idea de centrar la enseñanza de la geometría y la aritmética

elemental en los nombres y el reconocimiento de las formas (triángulo, rectángulo,

cubo, etc.), de las posiciones (horizontal, vertical, etc.), y de los números (1, 2, 3,).

Tambien en este trabajo se tendra en cuenta actividades que tienen estrecha

relación con lo inicialmente planteado como:

- El ábaco abierto, la más sencilla de las calculadoras, tiene la gran ventaja

didáctica de posibilitar el afianzamiento del carácter posicional del sistema

decimal de numeración y la construcción significativa de los algoritmos de

las operaciones básicas necesarias para la geometria.

- El rompecabezas, tangram, además de ser un juego que estimula la

creatividad y la exploración espacial, permite desarrollar procesos de

conservación de áreas y comprender la relación área-perímetro importantes

en el trabajo aritmético-geométrico.

- Los bloques multiples permiten afianzar los conceptos de longitud y de área

y desarrollar el concepto de volumen (su conservación), explorarel espacio

y las relaciones entre espacio unidimensional, bidimensional y

tridimensional (en el cubo), representar datos estadísticos, representar

números y utilizar los números fraccionarios como medidores.

- El geoplano permite explorar el espacio bidimensional (construir figuras

geométricas) y la relación área-perímetro, estimar áreas y perímetros,

encontrar regularidades y seguir instrucciones. Es además un facilitador

para el aprendizaje del lenguaje “Logo”.

6. MARCO CONTEXTUAL

Las normas de acompañamiento al estudiante de la Institución Educativa félix

Henao Botero están estructuradas acorde con las características de la comunidad.

La misión, los objetivos y los principios, son los fundamentos sobre los cuales se

sustenta la acción educativa de la institución.

6.1. IDENTIFICACIÓN DEL PLANTEL

Nombre de la Institución Educativa: FÉLIX HENAO BOTERO

Dirección: Calle 52 N°23 51

Teléfono: 2699624 y 2260203

Núcleo Educativo: 924

Secciones: Fe y Alegria

Miguel de Aguinaga

República del Perú

Jornada Académica: Mañana y Tarde

Nivel: Preescolar

Básica Primaria

Básica Secundaria

Media Académica en Tecnología-Informática

Título que Otorga: Bachiller Académico con profundización en

Tecnología e Informática

6.2. MISIÓN

La Institución Educativa Félix Henao Botero, es una Institució Educativa de

naturaleza oficial que pretende alcanzar la formación y el desarrollo humano

integral de las personas que conforman la comunidad educativa. Se pretende por

una formación humanista, cultural, social desde los valores, del respeto, la

solidaridad, la responsabilidad y la autonomia para una transformación consciente

de la realidad y su entorno; cultural desde el uso de la razón, la sensibilidad y la

acción para la obtención del conocimiento, el goce y la creatividad; lo social desde

el compromiso con las prácticas democráticas, el respeto por si mismo, el entorno

y su comunidad. Esta formación se caracteriza por el trabajo en equipo, la

proyección socio cultural y la dignificación permanente de los seres humanos.

6.3. VISION

La comunidad educativa de la Institución Educativa Félix Henao Botero se

caracteriza por ser una comunidad que forma hombres y mujeres autónomos,

críticos, solidarios. Con compromiso y sentido de pertenencia por los bienes y

servicios de uso personal y comunitario. Conscientes de su propia formación y

constructores de su proyecto de vida.

Responsables promotores de la democracia participativa, del avance de laa

ciencia, del arte y la tecnología que actúan para mejorar la calidad de vida. Lideres

en sus comunidades y en sus familias. Preparados para convivir en comunidad y

sustentados en principios éticos, religiosos y morales que reconocen y respetan

los derechos humanos; capacitados para asumir la responsabilidad laboral como

parte integrante de su realización personal.

En lo relacionado con el currículo la Institución Educativa Félix Henao Botero

plantea desde la ley los pensamientos matemáticos y lo que se debe lograr para el

grado tercero en lo relacionado con el pensamiento variacional y sistemas

algebraicos y analíticos es: Reconocer patrones y construir secuencias aritméticas

y geométricas aplicando los conocimientos y destrezas matemáticas adquiridas

integrando estas dos áreas desde el trabajo con el cubo.

7. DISEÑO METODOLOGICO

A partir del curriculo se impieza a trabajar la idea de hacer una geometría

dinámica, que ayude a los niños y a las niñas a desarrollar un pensamiento capaz

de operar con las formas y las posiciones, mediante recursos didácticos que

requieren hacer manipulaciones. Se pide a los estudiantes que recorten y

manipulen modelos, o en algunos casos, se recurre a los plegados para ilustrar

algunas construcciones y que a la par esten operando mentalmente y reflexionen

sobre las acciones y sus resultados.

Cuando se habla de enseñar una geometría dinámica que ayude a desarrollar un

pensamiento capaz de operar con las formas y las posiciones, se hace referencia

a la necesidad de propiciar experiencias verdaderamente problematizadoras que

inciten el pensamiento creador. Experiencias en las que los estudiantes tengan la

oportunidad de plantearse problemas y preguntas sobre propiedades geométricas,

de formular sus propias hipótesis y conjeturas, de planear acciones que les

permitan verificarlas o refutarlas, de obtener consecuencias y elaborar sus

explicaciones sobre el porqué de los resultados obtenidos.

Frente a un trabajo integrador geometría – aritmética es necesario hacer surgir en

el espíritu del niño un estado mental en el que tengan significado preguntas como:

¿cuánto suman las medidas de los ángulos interioes de un cubo?; ¿Por qué, a

pesar de ser diferentes las formas de los cubos y sus tamaños, la suma

permanece constante? La busqueda de explicaciones y respuestas a tales

preguntas debe dar lugar a sorprenderse y maravillarse por la constancia de tal

resultado.

Por lo tanto desde el punto de vista de la geometría un cubo, se puede explorar

observando:

La longitud de sus lados. En este caso se identifica que la figura llamada

cubo posee los lados de igual longitud.

La dirección relativa de sus lados, es decir sus ángulos. En este caso se

identifica que sus ángulos internos son rectos.

En todo intento de representar mediante un debujo los objetos físicos, de alguna

manera, se está haciendo geometría. Al dibujar un objeto, se trata de llevar algo

que está en tres dimensiiones al plano de una hoja, a dos dimensiones; en ese

intento se deben resolver múltiples problemas:

¿Cómo disponer las líneas para dar la sensación de la tercera dimensión? El niño

avanza desde un momento en el que todo lo “aplana” hasta que tiene la capacidad

de manejar la dimensión de profundidad.

En este caso el niño sólo se limita a dibujar lo que alcanza a ver por una cara del

objeto, haciendo caso omiso de la dimensión de “profundidad”.

En este segundo caso, tiene en cuenta la profundidad, pero resuelve el problema,

poniendo una cara de frente y la de profundidad al lado de la otra, sin tener en

cuenta el punto desde el cual mira la figura.

Esta producción es propia de un nivel más elaborado, son soluciones intermedias

antes de lograr manejar la perspectiva.

Otro problema que deben resolver los niños al hacer dibujos de objetos tiene que

ver con la posición relativa de cada elemento en el dibujo.

Un tercer problema al que se enfrenta al niño al hacer dibujos de objetos es el de

la conservación de las proporciones, es decir, cómo manejar una escala, cómo

hacer para que cada elemento del objeto sea ampliado o reducido lo mismo.

Un cuarto problema tiene que ver con mantener la dirección de cada elemento.

Hay otro problema que el niño debe resolver, el de representar todos los

elementos, por no hacer una exploración sistemática del objeto.

En el trabajo con el cubo se puede desarrollar desde una ubicación global

combinadolos con las operaciones básicas de la aritmética y con lo fundamental

de la geometría (linea, punto, forma).

Con los cubos se pueden utilizar para construir gran variedad de modelos físicos

para prepararlos a conceptos como perímetro, área, volumen y un acercamiento

geométrico a la potenciación, a los números naturales primos y compuestos y a

los poliominós, además dibujar en perspectiva.

El cubo como figura geométrica tridimensional tiene tres medidas: largo, ancho, y

alto. Cada una de las superficies planas de este sólido se llama cara, el segmento

de recta en el que dos caras se unen se llama arista, y una esquina en la que tres

o más aristas se unen se llama vértice.

7.1. Construcción de figuras solidas:

Materiales: Plastilina, lápiz, papel, cuchillo.

Procedimiento:

1. Haz siete bolas de plastilina. Todas deben ser exactamente del mismo

tamaño. Por lo tanto, todas tendrán el mismo volumen.

2. Usa cada una de las bolas de plastilina para hacer una de las siguientes

figuras tridimensionales: Cubo, rectángulo, cono, cilindro, pirámide de base

triángular, pirámide de base cuadrada, esfera. Usa los diagramas como

ayuda.

3. Sabemos que cada una de las figuras tiene aproximadamente el mismo

volumen pero, ¿cuál se ve más grande? ¿cuál parece ser la más pequeña?

Pirámide de base cuadrada

Pirámide de base triangularCilindro

CuboCono

Esfera

Sólido rectangular

4. Escribe el nombre de cada figura con letras grandes en siete hojas de papel

separadas.

5. Sin consultar, pon cada modelo encima de la hoja que tenga su nombre

correcto.

6. Usa el cuchillo para partir cada figura a la mitad haciendo un corte

horizontal que la atraviese por el centro. ¿qué nueva figuras creaste?

7. vuelve a formar las figuras.

8. Parte cada figura a la mitad con un corte vertical que la atraviese por el

centro. ¿qué nuevas figuras creaste?

Con este trabajo estamos involucrando al niño con lo planteado inicialmente y lo

llevamos a que construya el tema de nuestro trabajo que es la construcción del

cubo y su integración con la aritmética.

7.2. Construcción de figuras sólidas:

Con esta actividad podemos descubrir cómo calcular el volumen, perimétro, área y

todo aquello que se nos pueda ocurrir, en este caso calcularemos el volumen:

Materiales: lápiz, papel, regla, tijeras, cinta adhesiva o colbón.

Procedimiento:

1. Dibuja el siguiente diagrama en una hoja de papel. Los lados de cada uno de

los cuadrados deben medir exactamente un centimétro de largo.

Diagrama del cubo

2. recorta el diagrama y pega los bordes para formar un cubo de un centímetro. Un cubo de un centímetro tiene un centímetro de largo, uno de ancho, y uno de alto.

3. repite los pasos 1 y 2 diez veces para tener un total de diez cubos de un centímetro.

4. ahora junta algunos de los cubos de un centímetro para crear un cubo que tenga 2 centímetros de largo, 2 de ancho, y 2 cm. De alto.

5. ¿Cuántos cubos de 1 cm. Necesitaste para formar un cubo de 2 cm.? Debiste haber necesitado ocho cubos de 1 centímetro. En un cubo de 2 centímetros hay 8 centímetros cúbicos. Éste es el volumen del cubo.

Conclusión: para encontrar el volumen de un cubo, multiplica el largo por el ancho por el alto; esto es, sólo tienes que elevar al cubo (multiplicar un número por sí mismo tres veces) la medida de un lado. El volumen de un cubo de 2 centímetros es 2x2x2, que es igual a 8 centímetros cúbicos.

7.3. Otro trabajo: Podemos realizar con el cubo en los niños de tercer grado la construcción de figuras y gran variedad de modelos.

- Hacer construcciones como los de las figuras y preguntar (se trabaja perímetro y área).

¿Cuántos cuadrados (una cara de uno de los cubos) se observan en esta cara? ¿Cuántos bloques color negro hay en la figura?

- Con el mismo modelo construido, se pueden formular situaciones como poner cinta alrededor del modelo construido, así como lo muestra el dibujo.

¿Cuánta cinta se necesita? (expresar esta cantidad en términos de la longitud del lado de los cubos).

7.4. Otro ejercicio:

- Edgar armó un cubo grande compuesto por 27 cubos pequeños.

Luego pintó las caras de los 4 lados y la cara de arriba. Responde las siguintes preguntas:

a. ¿Quedaron todos los cubos pintados?b. Algunos cubos quedaron pintados en sólo 3 caras, ¿Cuántos fueron?c. ¿Algún cubo quedó sin pintar?

Solución:Para resolver estas preguntas hay que recordar que un cubito consta de 6 caras.

a. Todos los cubos no quedaron pintados.

b. Algunos cubos quedaron con solo tres caras pintadas: Estos son los 4 cubos de la esquina de arriba.

c. El cubo del centro quedo sin pintar.

- Los alumnos de tercer grado están organizando un acuario para el salón. Para medir el volumen del acuario se puede usar como unidad el decímetro cúbico.

El decímetro cúbico es un cubo de 1 dm de lado:

Para medir la capacidad de este acuario podemos usar como unidad de medida el litro.¡Pero qué extraño! Comenta un alumno. El volumen de este acuario es 36 dm y su capacidad es de 36 litros. No es extraño. Contesta otro alumno; recuerda que la capacidad de un litro equivale al volumen de un decímetro cúbico.

1. Construye tres decímetros cúbicos en cartulina. (Recuerda como se construye un cubo).

2. forma un grupo con cuatro de tus compañeros o compañeras. Reúnan doce decímetros cúbicos. Arma con ellos diferentes sólidos y determina su volumen.

3. Colorea los cuerpos que tengan el mismo volumen del sólido de la izquierda.

4. Encuentra otro método para hallar el volumen de una caja del problema anterior. Escríbelo.

5. Encuentra el volumen de cada caja y completa los datos en la tabla:

figura Cubos por caja Número de capas Volumen en dm

6) Con tus compañeros, utiliza decímetros cúbicos para construir cajas cuyas capas sean siempre 8 unidades. Completa la tabla para obtener el volumen dado.

Cubos porcapa

Número De capas

Volumen En dm 40 56 24 72 48 16

- Como acercamiento geométrico a la potenciación

Al hacer construcciones como las de la figura, preguntar:

¿Cuántos bloques se usaron para hacer la figura? Usar la potenciación para expresar la cantidad de bloques utilizados.

- Como modelo geométrico de números naturales primos y compuestos

Construir con 7 cubos todos los sólidos que tengan sus caras rectangulares.

Construir con 6 cubos todos los sólidos que tengan sus caras rectangulares.

¿Cuántos modelos distintos se pueden hacer en cada caso?¿Por qué con 6 se pueden hacer más que con 7?

7. CONCLUSION

De acuerdo a lo planteado en el trabajo LA IMPLEMENTACIÓN DEL CUBO COMO RECURSO DIDACTICO PARA LA INTEGRACIÓN DE LA ARITMETICA Y LA GEOMETRIA se puede concluir que el carácter de la Aritmética y la Geometría implementadas a través de la observación, manipulación y elaboración del cubo, en los procesos de enseñanza y aprendizaje y a la evaluación; debe iniciarse a partir de planteamientos desde la práctica investigativa los cuales deben estar inmersos en el contexto institucional.

“Este aprendizaje de las matemáticas de acuerdo a lo expuesto durante todo el trabajo posibilita a los niños; la aplicación de sus experiencias y conocimientos fuera del ámbito escolar, donde debe fomentarse la toma de decisiones, enfrentarse y adaptarse a situaciones nuevas, exponer sus opiniones, ser propositivo y receptivo a las de los demás; así los estudiantes no solo desarrollan su capacidad de pensamiento y de reflexión lógica sino que al mismo tiempo, adquieren un amplio conjunto de herramientas para explorar la realidad, representarla, explicarla, en suma para “actuar” en y para ella”.

Desde esta dinámica, debe potenciarse al estudiante para que aplique los conceptos adquiridos en la resolución de problemas de la vida cotidiana, sencillos, al interior de la matemática misma, y en otras disciplinas, procurar desarrollar habilidades, en las cuales haga uso del lenguaje matemático y comunique ideas, razone, analice, se cuestione, interprete críticamente información y tome decisiones consecuentes, las cuales vayan en pro de su conocimiento.

Por lo tanto esta unión Aritmética – Geometría en el trabajo con el cubo ayuda al estudiante para que aprenda a aprender y aprenda a pensar; propicie la aprehensión del saber matemático como un proceso asequible y agradable, el cual debe ser continuo y permanente donde se fomenten espacios de aprendizaje significativo y motivador en los estudiantes y entre éstos y sus compañeros, que lleven a fundamentar la formación de competencias intrapersonales e interpersonales de manera que permitan la reflexión, exploración, abstracción, clasificación y estimación, y llegar a resultados que permitan, hacer interpretaciones y representaciones. Es decir, descubrir que las matemáticas están íntimamente relacionadas con los diferentes espacios en los cuales se desempeñan.

Es así como el compromiso en relación a este trabajo se alcanza si en el aula se propicia un ambiente posibilitador de discusión, interpretación, argumentación y creación en el trabajo con el cubo; que favorecerá el desarrollo integral y el gusto por las matemáticas para así poder intervenir en la realidad.

8. BIBLIOGRAFÍA

Acosta M. Martha Lucia y Ramírez M. Carlos Orlando. Matemáticas en Construcción. Oxford University Press. Bogotá, 1997.

Castaño García, Jorge. Los Multicubos y sus múltiples usos. Ministerio de Educación Nacional Editores, Bogotá, 1997.

Long, Lynette. No te compliques con la Geometría. Actividades y pasatiempos para aprender jugando. Editorial Limusa, S.A. de C.V. México, 2006, 89 a 101 Págs.

Acevedo, M. García G. La Evaluación de Competencias en Matemáticas y el Currículo en Competencias y Proyectos Pedagógicos. Unibiblos. Universidad Nacional de Colombia. 2000

Institución educativa Normal Superior de Medellín. Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas desde Preescolar y Primaria. Documento

Ministerio de Educación Nacional. Estándares Básicos y Competencias para una Educación con Calidad. 2007