PROYECTO DE ANALISIS ESTRUCTURAL: SOLUCION DE UN PÓRTICO TRIDIMENSIONAL

Presentado por:

ALEXANDER BANDERA MORENO 2091144

Presentado a:

ING. MYRIAM ROCÍO PALLARES

Universidad Santo Tomas Facultad De Ingeniería Civil

Bogotá D.C.

Resolver la siguiente estructura tridimensional.

Pórticos de carga: ejes A y B

Pórticos de riostra: ejes 1 y 2

Columnas pórtico eje A: carga de viento de 1,2 ton/m (X+)

Cargas de sismo sobre la placa: 5 ton [repartir la carga proporcionalmente sobre cada nodo de la placa] (Y+)

Par las vigas de los pórticos de carga asumir: Carga viva: 1ton/m Carga muerta (sin contar peso propio): 0.8 ton/m Peso propio

Para las vigas de los pórticos de arriostramiento: peso propio.

Desprecie el peso de las columnas

Cargas puntuales en vigas de carga:

Dimensiones Vigas de carga: 30X40 cm Vigas de riostra: 30X30 cm Columnas: 40X40 cm

Calcular G como:

SOLUCION

1. NUMERACION Y ORIENTACION.

ELEMENTO TRAMO I J

VIGA DE CARGA 1-2 1 2

VIGA DE RIOSTRA 2-3 2 3

VIGA DE CARGA 4-3 4 3

VIGA DE RIOSTRA 1-4 1 4

COLUMNA 5-4 5 4

COLUMNA 6-3 6 3

COLUMNA 7-2 7 2

COLUMNA 8-1 8 1

2. REPRESENTACION GRAFICA DE LAS CARGAS IMPUESTAS SOBRE

LOS ELEMENTOS.

3. CALCULO DE REACCIONES FIJAS DE EMPOTRAMIENTO. 3.1. ELEMENTO 1-2 VIGA DE CARGA

Sobre el elemento tenemos aplicadas las cargas distribuidas de peso propio las cargas vías y las cargas muertas además de las cargas puntuales aplicadas. Es combeniente utilizar el principio de superpocicion para poder evaluar cada una de las reacciones fijas de empodarmiento que se dan por efecto de cada uno de las cargas Luego:

3.1.1. FF DEBIDAS A LA ACCION DEL PESO PROPIO El peso propio genera unos cortantes en el eje z y unos momentos alrededor del eje x, ya que el plano de cargas es el plano YZ y la orientacion es de 1-2, la carga distribuida del peso propio la obtenemos al multiplicar el peso especifico del meterial, en este caso concreto, por el area de la seccion transversal del

elemento, luego tenemos

Asi:

Z

Y X

3.1.2. FF DEBIDAS A LA CARGA VIVA

3.1.3. FF POR EFECTO DE LA CARGA MUERTA

3.1.4. FF POR EFECTO DE LAS CARGAS PUNTUALES

Siendo

Haciendo momentos con respecto a 1:

Entonces

Momentos debidos a P

Momentos debidos a

Luego ahora hacemos una suma de los términos correspondientes y obtenemos las reacciones fijas de empotramiento:

3.2. ELEMENTO 2-3 VIGA DE RIOSTRA

El plano de cargas del elemento 2-3 es el plano xz, la carga impuesta en el elemento es el peso propio que lo hayamos de la misma manera que para el

elemento 1-2, e.d.

, además aquí tenemos en

consideración que el momento de 2-3 es un momento negativo que va en la dirección del eje y negativo y el momento de 3-2 es un momento positivo. Siendo la orientación de 2-3 se tiene que las FF de empotramiento son:

3.3. ELEMENTO 4-3 VIGA DE CARGA

Para este elemento tenemos cargas de la misma magnitud en el elemento 1-2 Verificamos y tenemos:

3.3.1. FF DEBIDAS A LA ACCION DEL PESO PROPIO

Z

X Y

3.3.2. FF DEBIDAS A LA CARGA VIVA

3.3.3. FF POR EFECTO DE LA CARGA MUERTA

3.3.4. FF POR EFECTO DE LAS CARGAS PUNTUALES

Siendo

Haciendo momentos con respecto a 1:

Entonces

Momentos debidos a P

Momentos debidos a

Luego ahora hacemos una suma de los términos correspondientes y obtenemos las reacciones fijas de empotramiento:

3.4. ELEMENTO 1-4 VIGA DE RIOSTRA

3.5. ELEMENTO 8-1 COLUMNA

Para este elemento, que se encuentra en el plano XZ, tenemos que: se producen momentos alrededor del eje Y por acción de la carga de viento, y se producen unos cortantes, por acción de esta misma carga, en el sentido X. la magnitud de estas FF es:

3.6. Por analogía al elemento anterior y considerando que están en el

mismo plano de cargas XZ, y tienen la misma orientación, de abajo hacia arriba, podemos decir que, las FF de empotramiento para el elemento 7-2 son::

Ya que los elementos 6-3 y 5-4 no tienen cargas impuestas sobre ellos no se generan reacciones fijas de empotramiento. Y las cargas de sismo son cargas impuestas sobre el sistema y no sobre los elementos, por tanto no se tienen en cuenta para el cálculo de las FF de empotramiento.

4. CUADROS DE RESUMENES

CUADRO DE RESUMEN PROPIEDADES GEOMÉTRICAS Y DE MATERIAL

E= 2400000

γ= 0,3

G= 923076,9

ALTURA PERPENDICULAR AL EJE DE FLEXIÓN

Tramo X y z Área Inercia t b

C t3b J Ms ms ms [m2] Ix Iy Iz

< dimensión

> dimensión

1-2 (Y) 0,3 axial 0,4 0,12 0,0016 --- 0,0009 0,3 0,4 0,179986 0,0108 0,001944

2-3 (X) Axial 0,3 0,3 0,09 --- 0,000675 0,000675 0,3 0,3 0,140833 0,0081 0,001141

4-3 (Y) 0,3 axial 0,4 0,12 0,0016 --- 0,0009 0,3 0,4 0,179986 0,0108 0,001944

1-4 (X) Axial 0,3 0,3 0,09 --- 0,000675 0,000675 0,3 0,3 0,140833 0,0081 0,001141

5-4(Z) 0,4 0,4 axial 0,16 0,00213333 0,002133 --- 0,4 0,4 0,140833 0,0256 0,003605

6-3(Z) 0,4 0,4 axial 0,16 0,00213333 0,002133 --- 0,4 0,4 0,140833 0,0256 0,003605

7-2(Z) 0,4 0,4 axial 0,16 0,00213333 0,002133 --- 0,4 0,4 0,140833 0,0256 0,003605

8-1(Z) 0,4 0,4 axial 0,16 0,00213333 0,002133 --- 0,4 0,4 0,140833 0,0256 0,003605

CUADROS RESUMEN FACTORES DE RIGIDEZ

Tramo L

GJ GJ/L EI

ms EIx EIy EIz

1-2 (Y) 6 1794,324 299,05394 3840 --- 2160

2-3 (X) 5 1053 210,6 --- 1620 1620

4-3(Y) 6 1794,324 299,05394 3840 --- 2160

1-4(X) 5 1053 210,6 --- 1620 1620

5-4(Z) 4 3328 832 5120 5120 ---

6-3(Z) 4 3328 832 5120 5120 ---

7-2(Z) 4 3328 832 5120 5120 ---

8-1(Z) 4 3328 832 5120 5120 ---

Tramo L

AE/L ms

1-2 (Y) 6 48000

2-3 (X) 5 43200

4-3 (Y) 6 48000

1-4 (X) 5 43200

5-4(Z) 4 96000

6-3(Z) 4 96000

7-2(Z) 4 96000

8-1(Z) 4 96000

Tramo L

12/L3 12EI/L3

ms (12/L3)*(EIx) (12/L3)*(EIy) (12/L3)*(EIz)

1-2 (Y) 6 0,055556 213,33333 --- 120

2-3 (X) 5 0,096 --- 155,52 155,52

4-3 (Y) 6 0,055556 213,33333 --- 120

1-4 (X) 5 0,096 --- 155,52 155,52

5-4(Z) 4 0,1875 960 960 ---

6-3(Z) 4 0,1875 960 960 ---

7-2(Z) 4 0,1875 960 960 ---

8-1(Z) 4 0,1875 960 960 ---

Tramo L

6/L2 6EI/L2

ms (6/L2)*(EIx) (6/L2)*(EIy) (6/L2)*(EIz)

1-2 (Y) 6 0,166667 640 --- 360

2-3 (X) 5 0,24 --- 388,8 388,8

4-3(Y) 6 0,166667 640 --- 360

1-4(X) 5 0,24 --- 388,8 388,8

5-4(Z) 4 0,375 1920 1920 ---

6-3(Z) 4 0,375 1920 1920 ---

7-2(Z) 4 0,375 1920 1920 ---

8-1(Z) 4 0,375 1920 1920 ---

Tramo L

4/L 4EI/L

ms (4/L)*(EIx) (4/L)*(EIy) (4/L)*(EIz)

1-2 (Y) 6 0,666667 2560 --- 1440

2-3 (X) 5 0,8 --- 1296 1296

4-3 (Y) 6 0,666667 2560 --- 1440

1-4(X) 5 0,8 --- 1296 1296

5-4(Z) 4 1 5120 5120 ---

6-3(Z) 4 1 5120 5120 ---

7-2(Z) 4 1 5120 5120 ---

8-1(Z) 4 1 5120 5120 ---

Tramo L

2/L 2EI/L

ms (2/L)*(EIx) (2/L)*(EIy) (2/L)*(EIz)

1-2 (Y) 6 0,333333 1280 --- 720

2-3 (X) 5 0,4 --- 648 648

4-3 (Y) 6 0,333333 1280 --- 720

1-4(X) 5 0,4 --- 648 648

5-4(Z) 4 0,5 2560 2560 ---

6-3(Z) 4 0,5 2560 2560 ---

7-2(Z) 4 0,5 2560 2560 ---

8-1(Z) 4 0,5 2560 2560 ---

CUADRO REACCIONES FIJAS DE EMPOTRAMIENTO

Tramo I J X I-J X J-I Y I-J Y J-I Z I-J Z J-I MX I-J MX J-I MY I-J MY J-I MZ I-J MZ J-I

1-2 (Y) 1 2 6,931 6,997 7,152 -7,241

2-3 (X) 2 3 0,54 0,54 -0,45 0,45

4-3 (Y) 4 3 6,931 6,997 7,152 -7,241

1-4(X) 1 4 0,54 0,54 -0,45 0,45

5-4(Z) 5 4

6-3(Z) 6 3

7-2(Z) 7 2 -2,4 -2,4 -1,6 1,6

8-1(Z) 8 1 -2,4 -2,4 -1,6 1,6

5. FORMULACION MATRICIAL ELEMENTAL (G=L) La formulación matricial para cada elemento se encuentra en la hoja de calculo que se anexa al trabajo; en la misma se hallan hojas para cada formulación de cada elemento. No considero necesario escribir de nuevo cada formulación. PROYECTO DE ANALISIS ESTRUCTURAL.xlsx

6. SOLUCION DE DESPLAZAMIENTOS Al tener la formulación matricial del sistema y viendo que afortunadamente no hubo

necesidad de reordenar tenemos que nuestra matriz es la matriz de color Sabemos que por condición de balance: X1=Z1=MX1=MY1=MZ1=X2=Z2=MX2=MY2=MZ2=X3=Z3=MX3=MY3=MZ3=X4=Z4=MX4=MY4=MZ4= 0

Además se tiene en cuenta que el sismo es una carga del sistema, es por ello que en la formulación matricial las fuerzas en Y deben ser iguales a 1,25 ton en cada nodo, luego haciendo las operaciones se tiene que el vector de deslazamientos es: Los grados de libertad conocidos son los de los empotramientos donde todos son cero e.d: U5=V5=W5=TX5=TY5=YZ5=U6=V6=W6=TX6=TY6=YZ6=U7=V7=W7=TX7=TY7=YZ7=U8=V8=W8=TX8=TY8=YZ8= 0

U1

0,002256986 M

V1

0,002287028 M

W1

-6,74212E-05 M

TX1

-0,001612446 RAD

TY1

0,000440726 RAD

TZ1

-1,27055E-18 RAD

U2

0,002256986 M

V2

0,002242229 M

W2

-8,08828E-05 M

TX2

0,0006499 RAD

TY2

0,000440726 RAD

TZ2

-1,36542E-18 RAD

U3

0,002231998 M

V3

0,002242229 M

W3

-8,89122E-05 M

TX3

0,0006499 RAD

TY3

0,000553767 RAD

TZ3

-1,42979E-18 RAD

U4

0,002231998 M

V4

0,002287028 M

W4

-7,54506E-05 M

TX4

-0,001612446 RAD

TY4

0,000553767 RAD

TZ4

-1,38575E-18 RAD

8. Reemplazando estos valores en la formulación matricial del sistema y resolviendo tenemos los siguientes valores de las reacciones:

X 5 = X5-4

=

-1,079485959 ton

Y 5 = Y5-4 0,900348606 ton

Z 5 = Z5-4 7,243252886 ton

MX 5 = MX5-4 0,26323304 ton-m

MY 5= MY5-4 -2,867793584 ton-m

MZ 5= MZ5-4 1,15294E-15 ton-m

X 6 = X6-3 -1,079485959 ton

Y 6= Y6-3 -3,400348606 ton

Z 6= Z6-3 8,535566982 ton

MX 6= MX6-3 5,968824674 ton-m

MY 6= MY6-3 -2,867793584 ton-m

MZ 6= MZ6-3 1,18959E-15 ton-m

X 7= X7-2 -3,720514041 ton

Y 7= Y7-2 -3,400348606 ton

Z 7= Z7-2 7,764747114 ton

MX 7= MX7-2 5,968824674 ton-m

MY 7= MY7-2 -4,805156745 ton-m

MZ 7= MZ7-2 1,13603E-15 ton-m

X 8 = X8-1 -3,720514041 ton

Y 8 = Y8-1 0,900348606 ton

Z 8 = Z8-1 6,472433018 ton

MX 8 = MX8-1 0,26323304 ton-m

MY 8 = MY8-1 -4,805156745 ton-m

MZ 8 = MZ8-1 1,0571E-15 ton-m

Vemos como en los apoyos no se generan momentos sobre el eje Z, tienden a ser cero, lo que nos da cuenta de que en las condiciones de carga actuales no se genera sobre la estructura torsión.

9. FUERZAS INTERNAS

X 1-2 -1,7458E-16

Y 1-2 2,15034861

Z 1-2 6,31784295

MX 1-2 3,86462746

MY 1-2 -6,1062E-16

MZ 1-2 5,7121E-16

X 2-1 1,7458E-16

Y 2-1 -2,15034861

Z 2-1 7,61015705

MX 2-1 -7,63256975

MY 2-1 6,1062E-16

MZ 2-1 4,7629E-16

X 2-3 1,07948596

Y 2-3 2,2125E-16

Z 2-3 0,15459007

MX 2-3 -3,0531E-16

MY2-3 0,47689942

MZ 2-3 7,3883E-16

X 3-2 -1,07948596

Y 3-2 -2,2125E-16

Z 3-2 0,92540993

MX 3-2 3,0531E-16

MY 3-2 1,45015025

MZ 3-2 7,005E-16

X 4-3 1,26147E-16

Y 4-3 2,150348606

Z 4-3 6,317842952

MX 4-3 3,864627462

MY 4-3 -6,1062E-16

MZ 4-3 -1,4127E-16

X 3-4 -1,2615E-16

Y 3-4 -2,15034861

Z3-4 7,610157048

MX 3-4 -7,63256975

MY 3-4 6,10623E-16

MZ 3-4 -1,7152E-16

X 1-4 1,07948596

Y 1-4 2,9389E-16

Z 1-4 0,15459007

MX 1-4 -3,8858E-16

MY 1-4 0,47689942

MZ 1-4 7,6737E-16

X 4-1 -1,07948596

Y 4-1 -2,9389E-16

Z 4-1 0,92540993

MX 4-1 3,8858E-16

MY 4-1 1,45015025

MZ 4-1 7,5759E-16

X 5-4 -1,07948596

Y 5-4 0,90034861

Z 5-4 7,24325289

MX5-4 0,26323304

MY 5-4 -2,86779358

MZ 5-4 1,1529E-15

X 4-5 1,07948596

Y 4-5 -0,90034861

Z 4-5 -7,24325289

MX 4-5 -3,86462746

MY 4-5 -1,45015025

MZ 4-5 -1,1529E-15

X 6-3 -1,07948596

Y6-3 -3,40034861

Z 6-3 8,53556698

MX6-3 5,96882467

MY 6-3 -2,86779358

MZ 6-3 1,1896E-15

X 3-6 1,07948596

Y 3-6 3,40034861

Z 3-6 -8,53556698

MX 3-6 7,63256975

MY3-6 -1,45015025

MZ 3-6 -1,1896E-15

X 7-2 -3,72051404

Y 7-2 -3,40034861

Z 7-2 7,76474711

MX 7-2 5,96882467

MY 7-2 -4,80515674

MZ 7-2 1,136E-15

X 2-7 -1,07948596

Y 2-7 3,40034861

Z 2-7 -7,76474711

MX 2-7 7,63256975

MY 2-7 -0,47689942

MZ 2-7 -1,136E-15

X 8-1 -3,72051404

Y 8-1 0,90034861

Z 8-1 6,47243302

MX 8-1 0,26323304

MY 8-1 -4,80515674

MZ 8-1 1,0571E-15

X 1-8 -1,07948596

Y 1-8 -0,90034861

Z 1-8 -6,47243302

MX 1-8 -3,86462746

MY1-8 -0,47689942

MZ 1-8 -1,0571E-15

10. VERIFICACIÓN DEL EQULIBRIO GENERAL

EQUILIBRIO GENERAL

SUMA DE FUERZAS EN X

CARGAS DE VIENTO 9,6 RACCIONES EN SENTIDO

X -9,6

SUMA DE FUERZAS EN SENTIDO Z

PESO PROPIO VIGS DE CARGA -3,456

PESO PTOPIO VIGS DE RIOSTRA -2,16

CARGAS VIVAS -12

CARGAS MUERTAS -9,6

APLICADAS -1,2

-1,6 REACCIONES EN SENTIDO

Z

-30,016 30,016

SUMA DE FUERZAS EN SENTIDO Y

CARGAS DE SISMO REACCIONES

EN Y SUMA

5 -5 0

Graficando los resultados se tienen: