Universidad de GuadalajaraCentro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenieras

Primer Proyecto:Circuito serie LRC y Series de Fourier

Seminario de Solucin de Problemas de Mtodos Matemticos IIIAutor: Heraclio Bernal Orozco8 de septiembre de 2014Maestro Gustavo Hernndez Corona

IntroduccinEn el siglo XVIII y XIX vivi un matemtico y fsico francs llamado Joseph Fourier quien es reconocido principalmente por su estudio sobre las transformaciones de funciones peridicas en series infinitas de senos y cosenos, el cual, ms tarde sera de gran utilidad a la electrnica. El uso de estas transformaciones ayuda a simplificar ciertos procesos matemticos como la integracin y en conjunto con las ecuaciones diferenciales podemos describir con ms facilidad muchos fenmenos tales como los elctricos y dems, podemos describir el comportamiento, por ejemplo, de la corriente en un circuito, lo cual ser nuestro tema principal en este documento.

Marco tericoFunciones:Empezaremos con ciertas definiciones para dar a entender mejor el problema desde un enfoque principalmente matemtico.Funcin: comnmente denotada indica un proceso que transforma un valor a otro, es decir, que el valor resultante es dependiente de otro independiente.Funcin peridica: es una funcin en la que los valores de salida se repiten en el intervalo de variables de entrada, la distancia entre las variables de entrada en las que se repiten los valores de salida se llama periodo.Existen muchas funciones que no son peridicas, pero podemos tomar un rango entre las variables independientes y hacer que la forma de la funcin que est dentro de ese intervalo se repita, as pues la funcin no es peridica, pero si decimos que la funcin tomar esos valores dentro de tambin estamos diciendo que la funcin repetir sus valores cada que se complete el periodo, que en este caso es de 10, a esto se le llama funcin a trozos o por partes.Conjuntos ortogonales: Cuando tenemos dos funciones y podemos decir que son ortogonales si se cumple que la integral de su producto en el intervalo cerrado es cero, siempre y cuando la integral exista:

De forma parecida podemos definir un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo si el producto de cada funcin del intervalo es igual a cero:Con

As pues sta notacin indica que hay que multiplicar cada miembro del conjunto por todos y cada uno de los otros y constatar que en cada caso esto es igual a cero para declarar ortogonal dicho conjunto, se debe excluir la multiplicacin de un miembro por s mismo ya que esto se llama norma o longitud y no nos sirve para saber si es ortogonal tal conjunto de funciones.Conjuntos ortonormales:Un conjunto de funciones es ortonormal si la integral del cuadrado de cada funcin, de un conjunto ortogonal, en el intervalo es igual a 1, si no es as el conjunto puede normalizarse dividiendo cada funcin entre la norma de cada uno.

Desarrollo en series ortogonales:Suponiendo que es un conjunto infinito de funciones ortogonales en un intervalo . Nos preguntamos: si es una funcin definida en el intervalo , es posible determinar un conjunto de coeficientes para el que: ?Siendo que es una igualdad (ecuacin) podemos multiplicar todo por cualquier valor y se seguir cumpliendo la igualdad as pues, si multiplicamos todo por una de las funciones del conjunto como e integrando en el intervalo :

Como sabemos que es un conjunto ortogonal el cual tiene la propiedad de que el producto de sus funciones es igual a cero, y mediante la ortonormalidad el producto de sta funcin por si misma ser la norma quien es igual a 1 y as podremos despejar el coeficiente :

De sta misma forma podemos despejar cada uno de los coeficientes multiplicando la ecuacin por la funcin respectiva de cada coeficiente.Series:En matemticas, una serie es la generalizacin de la nocin de suma a los trminos de una sucesin infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los trminos: lo cual suele escribirse en forma ms compacta con el smbolo de sumatorio:

El estudio de las series consiste en la evaluacin de la suma de un nmero finito de trminos sucesivos, y mediante un pasaje al lmite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Series de Fourier:El conjunto ortogonal de funciones trigonomtricas:

Es ortogonal en el intervalo .Suponiendo que es una funcin definida en el intervalo y que se puede desarrollar en una serie ortogonal formada por las funciones trigonomtricas del conjunto ortogonal anterior, es decir:

Los coeficientes se pueden determinar exactamente de la misma manera que en el anlisis general de los desarrollos en series ortogonales. El coeficiente en la frmula anterior se ha escrito como solo por conveniencia; la frmula de se reducir despus para Dnde:

Circuito serie LRC:Un circuito que contiene un inductor (L), un capacitor (C), una resistencia (R) y una fuente de voltaje; conectados consecuentemente uno del otro se llama circuito serie LRC donde L se mide en Henrios (h), C en faradios (f) y R en ohm () el voltaje de entrada de un circuito cerrado ser; por la segunda ley de Kirchhoff: que dice que el voltaje total de un circuito es igual a la suma de los voltajes en cada componente, por lo tanto ser la suma de los voltajes del inductor, capacitor y resistencia:

Figura 1 Circuito serie LRCDnde:

Figura 2 La ecuacin diferencial que describe la corriente y el voltaje en el circuito es:

Donde es la carga en coulombComo la corriente es igual a , podemos reescribir la ecuacin como:

Corriente:La corriente es la cantidad de electrones por la seccin transversal (rea) de un conductor con respecto al tiempo, su unidad es el ampere (A) tambin denotada como donde un ampere equivale a al paso de un coulomb de electrones (aprox. ) por segundo.

Inductancia:En electromagnetismo y electrnica, la inductancia , es una medida de la oposicin a un cambio de corriente de un inductor o bobina que almacena energa en presencia de un campo magntico, y se define como la relacin entre el flujo magntico y la intensidad de corriente elctrica que circula por la bobina y el nmero de vueltas del devanado:

Farad:Un faradio es la capacidad de un condensador entre cuyas armaduras existe una diferencia de potencial elctrico de 1 voltiocuando est cargado de una cantidad de electricidad igual a un culombio .Resistencia:Se le denomina resistencia elctrica a la igualdad de oposicin que tienen los electrones al desplazarse a travs de un conductor. La unidad de resistencia en el Sistema Internacional es el ohmio, que se representa con la letra griega omega ().

ProblemaHallar la corriente de estado estable en el circuito LRC

Dnde:

R = 100 L = 10 hC = f

Proceder como sigue:1. Desarrollar en una serie de Fourier.2. aparecer en la forma de una serie trigonomtrica; hallar la frmula para los coeficientes de sta serie.3. Trazar la grfica de la suma de los primeros trminos de la serie.

1.

Donde la ecuacin se reduce a:

Por lo tanto la ecuacin:Sustituyendo los coeficientes:Comparacin de graficas: original = roja, serie = azul

2.Sustituyendo L, C, R y en la ecuacin:

Resolviendo la ecuacin mediante software; wxMaxima versin 13.04.2

Logrando de esta forma conseguir el valor de que satisface la ecuacin, donde (corriente) es igual a la derivada de la carga entonces podemos encontrar la corriente derivando el valor de obtenido anteriormente:

Con esto concluimos finalmente la solucin al problema encontrando el valor de la corriente del circuito serie LRC en estado estacionario.Bibliografa: Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, 7ma edicin, Autor: Denis G. Zill / Michael R. Cullen [Pags. 24,398,399,401,403,404] http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_el%C3%A9ctrica[Recuperado el 8 de septiembre de 2014] http://es.wikipedia.org/wiki/Faradio[Recuperado el 8 de septiembre de 2014] http://es.wikipedia.org/wiki/Inductancia [Recuperado el 8 de septiembre de 2014] http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica [Recuperado el 8 de septiembre de 2014]

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