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8/20/2019 Prova Modelo 4 Soluções.docx
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PROVA MODELO 4
1. Na escola do Rui há uma equipa de basquetebol com 13 atletas. A distribuição donúmero de jogos em que cada atleta participou, no último ano letivo, está
representada no seguinte gráfico de barras.
Um dos atletas é escolhido
ao acaso para dar uma entrevista ao jornal da escola. Determina a probabilidade
de ser escolhido um elemento com um número de participações inferior à média
das participações dos atletas da equipa.
Apresenta o resultado arredondado às milésimas.
Mostra como chegaste à tua resposta.
2. O hectare (ha) é uma unidade de medida de área e sabe-se que 1 hectare equivale
a 4 210 m .
Em 2010, um incêndio consumiu 725 ha de floresta. Neste momento, 20% dessa
área ardida foi recuperada. Representa, em metros quadrados e em notação
científica, a área que falta recuperar.
Indica todos os cálculos que tiveres de efetuar.
3. Os segmentos de reta [ AB] e [ BC ] representam dois lados
consecutivos de um polígono regular inscrito na
circunferência de centro O, representada na figura.
Sabe-se que ˆ 140CBA .
Determina o número de lados do polígono.
Mostra como chegaste à tua resposta.
1
34
23
0
2
4
6
13 14 15 16 17
N .
o
d e a t l e t a s
N.o de jogos
Número de participações
140
C
B
A
O
Caderno 1
Nas respostas aos itens deste caderno é permitido o uso da calculadora.
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4. Construiu-se um cubo com volume igual ao de uma esfera com 7 cm de raio.
Qual é a medida da aresta do cubo, em centímetros, arredondada às décimas?
Transcreve a opção correta.
(A) 11,4 (B) 11,2 (C) 11,3 (D) 11,1
5. Uma peça utilizada em mecânica está representada na figura A e um seu esquema,
com as dimensões em centímetros, na figura B.
Figura A Figura B
A peça é constituída por um prisma hexagonal regular e por um cilindro em que a
base superior do cilindro está inscrita na base inferior do prisma.
Sabe-se que:
• a altura da peça é 7 cm;
• a altura do prisma é 2 cm;
• o comprimento do lado do hexágono é 6 cm.
Determina, em centímetros cúbicos, o volume do sólido representado no esquema,
começando por mostrar que o comprimento do raio da base do cilindro é 27 cm
.
Apresenta o resultado arredondado às décimas.
Nota: Sempre que em cálculos intermédios procederes a arredondamentos,conserva, no mínimo, três casas decimais.
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1. O Pedro está a fazer um conjunto de sete lançamentos de um dado cúbico com asfaces numeradas de 1 a 6.
Nos seis primeiros lançamentos as pontuações obtidas foram as seguintes:
5 2 4 6 6 2
O dado vai ser lançado a última vez. Qual é a probabilidade de ocorrer, no sétimo
lançamento, uma pontuação de modo que a mediana das sete pontuações seja 4?
Transcreve a opção correta.
(A)
2
3 (B)
1
6 (C)
1
3 (D) 1
2. Considera um número racional a representado por
53
14
.
Qual das seguintes representações corresponde ao número a ?
Transcreve a opção correta.
(A)10
2
(B)5
4 (C)
5
1
4
(D)5
2
3. No quadriculado da figura estão representados quatros quadriláteros, A, B, C e D,
geometricamente iguais.
3.1. Dos quatro quadriláteros dados, identifica
dois em que um seja a imagem do outro por
uma reflexão em relação a um eixo.
3.2. Considera a translação que aplica oquadrilátero C no quadrilátero D.
Quantos vértices do quadrilátero B são
aplicados em vértices do quadrilátero A por
essa translação?
4. Resolve a equação seguinte.
2
2 7 1 x x x
Caderno 2
Nas respostas aos itens deste caderno não é permitido o uso da calculadora.
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5. Num refeitório há mesas de quatro lugares e de seis lugares.
5.1. O número de mesas de quatro lugares e o número de mesasde seis lugares representam-se, respetivamente, por x e y .
Sabe-se que o par ordenado , x y é solução do seguinte sistema de equações:
2 1
2 6
2 1 13
y x x
y x y
Resolve o sistema e determina o número máximo de lugares que há no refeitório.
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
5.2. Admite que é possível utilizar qualquer número de mesas de quatro ou de seis
lugares.
Na figura estão representados os quatros primeiros termos de uma sequência que
resulta da disposição das mesas seguindo a lei de formação sugerida.
No 1.º termo da sequência há 10 lugares, no 2.º termo há 18 lugares, no 3.º termo
há 26 lugares, no 4.º termo há 43 lugares, e assim sucessivamente.
Qual dos seguintes números pode ser o número de lugares de um dos termos da
sequência?
Transcreve a opção correta.
(A) 240 (B) 274 (C) 286 (D) 305
6. No referencial da figura abaixo estão representadas duas retas paralelas r e s.
4 lugares6 lugares
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Qual dos seguintes sistemas de equações pode corresponder à representação
gráfica apresentada?
(A) (B)
2 1
3 4
y x
y x
3 2
3 1
y x
y x
(C) (D)
2 2
2 4
y x
y x
3 2
3 4
y x
y x
7. Na figura está representada uma circunferência, de centro O, em que:
• A, B, C e D são pontos da circunferência;
•ˆ
36 ACB e 38CD ;
• AC é um diâmetro da circunferência;
• V é o ponto de interseção das retas AC e BD.
7.1. Como classificas, quanto aos ângulos, o triângulo [ ABC ]?
Justifica.
7.2. Numa rotação de centro O e amplitude , com
0 360 , o ponto A é transformado no ponto B. Determina o valor de .
7.3. Determina, em graus, a amplitude do ângulo AVB.
8. No referencial da figura estão representados dois retângulos, [OABC ] e [ODEF ],
e parte do gráfico de uma função f de proporcionalidade inversa.
Sabe-se que:
• os pontos B e E pertencem ao gráfico da
função f ;
•
os pontos A e D pertencem ao semieixo positivo das abcissas;
• os pontos C e F pertencem ao semieixo
positivo das ordenadas;
• a área do retângulo [OABC ] é 2,5.
Determina o perímetro do retângulo [ODEF ], sabendo que a abcissa do ponto D é
igual a 5.
9. Na figura estão representadas, num referencial cartesiano, as retas r e s.
V
36
D
C
B
O A38
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Sabe-se que:
• A reta r é definida por 0,5 4 y x .
• A reta r interseta os eixos Ox e Oy nos pontos A e B,
respetivamente.
• A reta s é a mediatriz de [ AB].
• As retas r e s intersetam-se no ponto P .
• A reta s interseta os eixos os eixosOx eOy nos pontos
C e D, respetivamente.
9.1. Determina as coordenadas dos pontos A e B.
9.2. Os triângulos [OAB] e [ PCA] são semelhantes. Justifica.
9.3. Os triângulos [ PCA] e [ODC ] são semelhantes.
Sejam p e a , respetivamente, o perímetro e a área do triângulo [ODC ] e p’ e a’ o
perímetro e a área do triângulo [ PCA]. Sabe-se que2 11
' 5
p
p .
Qual é o valor da razãoa
a? Transcreve a opção correta.
(A)5
2 11 (B)
44
25 (C)
44
5 (D)
22
25
10. No referencial cartesiano da figura estão representados parte de duas parábolas,
gráficos de duas funções f e g , e um trapézio [ ABCD].
Sabe-se que:
• os pontos A e B têm ordenada igual, pertencem
a uma das parábolas e a abcissa de B é 1;
• os pontos C e D pertencem à outra parábola e
têm ordenada 8.
• a função f é definida por 20,5 f x x ;
• a função g é definida por 23 g x x .
Determina a medida da área do trapézio [ ABCD].
Mostra como chegaste à tua resposta.
11. Na figura está representado um mapa de uma zona florestal onde vai ser instalada
uma antena.
A localização da antena deve obedecer às seguintes condições:
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• ficar na zona representada pelo mapa;
• a distância ao ponto B não deve ultrapassar 4 km;
• as distâncias aos pontos A e C devem ser iguais.
Faz as construções geométricas rigorosas que te permitam representar no mapa as
possíveis localizações para a instalação da antena.
FIM
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Proposta de Resolução
Caderno 1
1. Seja x a média das participações:13 3 14 4 15 2 16 3 17 198
13 13 x
15,231 x
Há oito atletas com um número de participações inferior à média.
Assim, a probabilidade pedida é8
13.
O valor da probabilidade arredondado às milésimas é 0,615.
2. A área não recuperada corresponde a 80% da área ardida, ou seja, 0,8 725 580 ha 4 2
580 ha 580 10 m 4 2 2 4 2 6 2
580 10 m 5,8 10 10 m 5,8 10 m
Assim, falta recuperar 6 25,8 10 m .
3.360
1402
AC pelo que 360 280 AC , ou seja, 80 AC .
Como AB BC e 80 AC , então 40 AB .
A cada lado do polígono corresponde um arco de amplitude 40 .
Seja n o número de lado do polígono,360
940
n , ou seja, o polígono tem nove lados
(eneágono).
4. O volume de uma esfera de raio r é 34
π3
r . Como 7r , então o volume da esfera
é1372π
3. Sendo o volume do cubo igual a
1372π
3, então o comprimento da aresta do
cubo é dado por 31372π
3
.
O valor do comprimento da aresta arredondado às décimas é 11,3.
A opção correta é a (C).
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5. Para determinar o valor do raio da base do cilindro, recorre-se ao Teorema de Pitágoras.Tal como é sugerido na figura, tem-se:
2 2 2 23 6 27r r
Como 0r , então 27r .A altura do prisma hexagonal é 7 5 2 cm .O hexágono regular pode ser decomposto em seis triângulosequiláteros iguais.
Área da base do prisma:6 27
6 18 272
Volume do prisma: 18 27 2 36 27 Volume do cilindro:
2
π 27 5 5 27 π 135π
Volume da peça: 36 27 135π O volume da peça, em centímetros cúbicos,arredondado às décimas, é 611,2 cm3
Caderno 2
1. As seis primeiras pontuações ordenadas:
2 2 4 5 6 6
Ao introduzir um novo dado a mediana do conjunto dos sete dados ordenados é igualao que ocupa a posição de ordem 4.Se a sétima pontuação for 1, 2, 3, ou 4, então a mediana é 4.Se a sétima pontuação for 5 ou 6, então a mediana é 6.Assim, em seis resultados possíveis há quatro favoráveis.
A probabilidade pedida é4
6, ou seja,
2
3.
A opção correta é a (A).
2. 5 5 5 5
52 10
2
3 4 3 1 11 2 2
4 4 4 4 2
A opção correta é a (A).
3.
3.1 As figuras B e D. Reflexão de eixo r (ver figura ao lado).
r
3
6
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3.2 Há dois vértices da figura B que são aplicados em vértices da figura
A pela translação de vetor u que aplica a figura C na figura D (verfigura ao lado).
4. 2
2 7 1 x x x
2 2 2 2
2 7 1 4 4 7 2 5 3 0 x x x x x x x x x
5 25 24 5 7 5 7 13
4 4 4 2 x x x x x
Conjunto-solução:1
3,2
5.
5.1
2 13 6 1
7 3 1 7 3 12 62
3 6 2 3 3 3 92 12 1 1 3
3
y x x y x x
x y x y y
y x y y x y x y x y
7 3 3 9 1 7 9 27 1 13
3 9 303 9
x x x x x
y x y y x
Há 13 mesas de quatro lugares e 30 mesas de seis lugares.
O número máximo de lugares no refeitório é 4 6 x y , ou seja, 4 13 6 30 232 .Existem 232 lugares no refeitório.
5.2 No termo de ordem n há n mesas com 4 lugares e 2 mesas com 3 lugares.
O número de lugares no termo de ordem n é dado pela expressão 8 2n (é um múltiplode 8 mais 2).
240 8
00 30
0
274 8
34 34
2
Repara que 274 8 34 2 , ou seja, ao termo de ordem 34 corresponde 274 lugares.A opção correta é a (B).
6. As retas representadas graficamente são estritamente paralelas, logo têm igual declive(negativo) e as suas ordenadas na origem são diferentes, uma positiva e outra negativa.A opção correta é a (D).
7.
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7.1 [ ABC ] é um triângulo retângulo porque180
ˆ 902 2
CA ABC .
7.2 ˆ 36 2 72 AOB AB
O valor de
é 72º.
7.372 38
ˆ 552 2
AB CD AVB
A amplitude do ângulo AVB é 55º.
8. Sejam , x y as coordenadas do ponto B.
A área do retângulo [OABC ] é 2,5. Então,2,5
2,5 x y y x
.
Como y f x , tem-se que 2,5 f x x
.
Repara que 2,5
5 0,55
DE f .
O perímetro do retângulo [ODEF ] é: 2 5 2 0,5 10 1 11 .
Logo, o perímetro do retângulo [ODEF ] é 11.
9.
9.1 O ponto A pertence à reta de equação 0,5 4 y x e tem ordenada 0.
0 0,5 4 0,5 4 8 x x x .
Logo, 8, 0 A . O ponto B pertence à reta de equação 0,5 4 y x e tem abcissa 0.
0,5 0 4 4 y y
Logo, 0,4 B .
9.2 Os triângulos [OAB] e [PCA] são semelhantes. A justificação pode ser feita recorrendoao critério AA de semelhança de triângulos.ˆ ˆ PAC BAO e ˆˆCPA AOB . Repara que a mediatriz de um segmento de reta é
perpendicular à reta que contém esse segmento de reta.
9.3 Se2 11
5
p
p
(razão de semelhança), então
2
2 11 4 11 44
5 25 25
a
a
.
A opção correta é a (B).
10. A parábola que contém os pontos C e D corresponde ao gráfico da função f e a parábolaque contém os pontos A e B corresponde ao gráfico da função g.
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Repara que para o mesmo valor de x a imagem y por f é menor do que a imagem y porg (0,5 e 3 são ambos positivos, as parábolas têm “concavidades voltadas para cima” e0,5 < 3).Seja x a abcissa do ponto C .
2 28 0,5 8 16 4 4 f x x x x x
4, 8C e 4, 8 D
Então, 4 4 8CD .
Em relação aos pontos A e B, tem-se:
21 3 1 3 g
1,3 A e 1, 3 B . Então 1 1 2 AB .
Altura do trapézio: 4 1 8 3 5 f g
Área do trapézio [ ABCD]:8 2
5 5 25
2 2
AB CD
A área do trapézio [ ABCD] é 25.
11. Considerando a escala apresentada, a abertura do compasso é feita para que sejatraçada uma circunferência de centro em B e raio correspondente a 4 km. Todos os pontos da região limitada por essa circunferência distam de B no máximo 4km.De seguida, traça-se a reta r , mediatriz de [ AC ]. Todos os pontos da reta r estão a igual
distância de A e de C .Os possíveis pontos parainstalar a antenacorrespondem aosegmento de reta [PQ].