Introduccion

En este trabajo plantearemos las bases para definir representaciones de arcoen una superficie de Riemann la cual es compacta con frontera no vaca ypuntos marcados respecto de una triangulacion dada de .

En el primer captulo recordaremos conceptos basicos sobre triangulacionesde superfies y sus flips definidos por S. Fomin, M. Shapiro, D. Thurston en [3],a demas de como asignar un carcaj con potencial a una triangulacion de .

En el segundo captulo recordaremos la definicion de mutacion de represen-taciones introducidas por H. Derksen, J. Weyman y A. Zelevinsky en [1] a demasdel concepto de representacion de arco introducidas por Labardini-Fragoso en[6] para arcos en una triangulacion sin etiquetas de .

Por ultimo en el tercer captulo recordaremos los conceptos de triangulacio-nes etiquetadas introducidas en [3], a demas de el carcaj y el potencial de unatriangulacion etiquetada y Labardini-Fragoso prueba en [7] la compatibilidaddel flip con la mutacion de carcajes con potencial.

Pretendemos extender el concepto de representacion de arco definido porLabardini-Fragoso en [6] para triangulaciones ideales a triangulaciones etique-tadas de una forma que sea compatible con mutaciones y respectivamente flip.

En particular, nuestras representaciones seran inescindibles.Asumimos que el lector sea familiarizado con las nociones basicas de carcajes

con potencial y sus mutaciones. Ver por ejemplo [1].

1

Indice

1. Triangulaciones de Superficies y sus Flips. 31.1. El Potencial de una Triangulacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Representaciones de Carcajes con Potencial. 72.1. Representacion de arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Triangulacion Etiquetada. 11

2

1. Triangulaciones de Superficies y sus Flips.

Recordemos algunos conceptos de H. Derksen, J. Weyman y A. Zelevinsky en[1] y S. Fomin, M. Shapiro, D. Thurston en [3].

Definicion 1.1. Una Superficie con frontera y puntos marcados es un par(,M), donde es una superficie de Riemman orientada, compacta, conexay con frontera, donde M es un conjunto finito de puntos en llamados puntosmarcados, tal que M 6= y tiene al menos un punto de M en cada componenteconexa de la frontera. A los puntos marcados en el interior de les llamaremospinchaduras.

NOTA:Siempre supondremos que no es:

1. Una esfera con menos de 5 pinchaduras.

2. Un monogon, digon, o un triangulo sin pinchaduras.

3. Un monogon con una pinchadura.

Entenderemos por un monogon (respectivamente digon, triangulo) como un dis-co con exactamente un(dos, tres) punto(s) marcado en la frontera.

Definicion 1.2. Sea (,M) una superficie con frontera y puntos marcados. Unarco ordinario en (,M) es una curva i que cumple lo siguiente:

1. Los puntos extremos de i son puntos en M .

2. i no se autointersecta, excepto en sus extremos, los cuales podran coinci-dir.

3. El interior relativo de i es disjunto de M y de la frontera de .

4. i no corta un monogon, ni un digon sin pinchaduras

Denotaremos al conjunto de clases de isotopa de arcos en (,M) por Ao(,M)y decimos que dos arcos son compatibles si en sus respectivas clases existenarcos que no se intersectan en su interior.

Definicion 1.3. Una triangulacion ideal de (,M) es cualquier coleccion ma-ximal de arcos compatibles dos a dos.

Un triangulo 4 se dice que es interior, si la interseccion de 4 con la frontera de es vacia, o consta de puntos en M , ademas un triangulo se dice doblado si esde la siguiente forma:

3

ji

donde i es el lado doblado de 4.Lo siguiente fue observado primeramente por Fock-Goncharov [2, Seccion 2],Fomin-Shapiro-Thurston [3, Definicion 4.1] y Gekhtman-Shapiro-Vainshtein [4,Seccion 3.2].Sea una triangulacion ideal de (,M), consideramos un arco i que no es ellado doblado de algun triangulo doblado, entonces existe un unico arco j talque = { {i}}{j} es una triangulacion ideal. Una observacion importantees que no es posible hacr el flip del arco i en la figura anterior.El objetivo en esta seccion es asociar un carcaj con potencial a una superficieque cumpla las hipotesis mensionadas anteriormente.Empezemos por asociar un carcaj a (,M), en las piezas de rompecabezas sedefine de la siguiente manera;

4

y con esto se puede extender a toda triangulacion , pues cada triangulacion sepuede obtener pegando estas piezas, ver [5, Figura 13];El siguiente resultado es una consecuencia directa de los conceptos anteriores yes de S. Fomin, M. Shapiro, y D. Thurston, ver [3, Proposicion 4.8].

Teorema 1.4. Sean y dos triangulaciones de (,M). Si se obtiene de mediante el flip en un arco i, entonces Q() = i(Q()). Es decir, si y son dos triangulaciones ideales de tal forma que estan relacionadas por el flipen el arco i, entonces los carcajes asociados a y estan relacionados por lamutacion en el vertice i.

1.1. El Potencial de una Triangulacion.

En la seccion anterior asociamos un carcaj a una triangulacion. La definicion delsiguiente potencial aparece en el [5] y fue introducido por Labardini-Fragoso.

Definicion 1.5. Sea una triangulacion de (,M) y RQ() el algebracompleta de caminos, asociamos a un potencial S() RQ() como sigue;

1. Cada triangulo interior no doblado4 de nos aporta un triangulo en Q()orientado en el sentido de las manecillas del reloj, sea S4 tal triangulo.

2. Si el triangulo interior no doblado tiene lados j, k, l tal como se muestraen la figura siguiente;

kj l

i m

j

i m

l

k

p q

b1

b4

a1

b5

aa2b2 b3

entonces definimos T4 = b2b3b4, por otro lado si es adyacente a menos dedos triangulos doblados entonces T4 = 0.

3. Si p es adyacente a exactamente un arco i de entonces i es el lado dobladode algun triangulo doblado en (en el caso que k y l son arcos que nopertenecen a la frontera), entonces Sp = ab1b2.

5

l

k

a

ji k l

i

j

b2 b1

a2 a1

4. Si una pinchadura p es adyacente a mas de un arco, borrando todos loslazos adyacentes a p que encierran al triangulo doblado, las flechas res-tantes forman un unico cclo ap1, ..., a

pd alrededor de p orientado encon-

tra de las manecillas del reloj definida por la orientacion de ,definimosSp = ap1, ..., a

pd salvo equivalencia cclica.

El potencial no reducido S() RQ de esta definido por:

S() =4

(S4 + T4) +pP

Sp

donde la primera suma corre sobre todos los triangulos interiores no doblados.Finalmente definimos (Q(), S()) como la parte reducida de (Q(), S()).

El siguiente teorema es de Labardini-Fragoso y se pueden encontar en [5, Teo-rema 30], para la definicion de equivalencia derecha para carcajes con potencialver [1, Definicion 4.2].

Teorema 1.6. Sean y triangulaciones ideales de una superficie con pun-tos marcados (,M). Si y estan relacionadas por un flip en el arco i,entonces los carcajes con potencial i(Q(), S()) y (Q(), S()) son equivalen-tes derechos, es decir que (Q(), S()) y (Q(), S()) estan relacionados por lamutacion de carcaj con potencial en el vertice i.

6

2. Representaciones de Carcajes con Potencial.

Recordemos que para un carcaj con potencial (Q,S), una representacion nilpo-tente M de (Q,S) es dada por:

1. Una familia (Mi)iQ0 donde cada Mi es un Kespacio vectorial de di-mension finita.

2. Una familia (aM : Mt(a) Mh(a))aQ1 de transformaciones Klinealesque son anuladas por {a(S)|a Q1}, para el cual existe un entero 1 rcon la propiedad que la composicion a1M , ..., arM es identicamente ceropara cada rcamino a1, ..., ar en Q.

Nota:El mapeo lineal (aM : Mt(a) Mh(a))aQ0 inducido por la multipli-cacion izquierda de a lo denotaremos por Ma y denotaremos por uM al ma-peo lineal M M inducido por la multiplicacion de un elemento arbitrariou RQ.

Definicion 2.1. Sean (Q,S) y (Q, S) carcajes con potencial en el mismo

conjunto de vertices, y sean M = (Q,S,M) y M

= (Q, S,M

) dos repre-

sentaciones. Una pareja (,) es unaequivalencia derecha entre M y M

sisatisface las siguientes condiciones:

1. : RQ RQ es una equivalencia derecha de carcajes con po-tencial entre (Q,S) y (Q

, S).

2. : M M es un isomorfismo de espacios vectoriales que cumple um = (u) para todo u RQ

Ahora toca el turno de definir el concepto de mutacion para representaciones;Sea (Q,S) un carcaj con potencial, si fijamos un vertice j de tal manera que nohay 2-cclos incidentes en j, denotaremos a1, ..., as(analogo b1, ..., bt) las flechasque terminan en j(analogamente empezando en j).Tomando una representacion M = (Q,S,M) y definiendo,

Min :=s

k=1

Mt(ak) , Mout :=tl=1

Mh(bl).

la multiplicacion por las flechas a1, ..., as y b1, ..., bt induce mapeos Klineales;

a = aM = [a1...as] : Min Mj , b = bM =

b1...bt

: Mj Mout.para cada k y l sea ck,l : Mh(bl) Mt(ak) el mapeo lineal dado por la mul-tiplicacion de la matriz cuyas entradas son [blak]([S]), entonces obtenemos unmapeo lineal c = cM : Mout Min, dado que M es un P(Q,S) modulotenemos que ac = 0 = cb.

7

Por otro lado, definimos el espacio vectorial M i = Mi para i Q0 si i 6= j y

M j =Ker cIm b

Im c Ker aIm c

Ahora definamos la accion en las flechas de j(Q) en M =iQ0

M i como sigue;

si c es una flecha de Q no incidente en j entonces cM = cM y para cada k, ltenemos [blak]M = (blak)M = blmakm, ahora para definir la accion en las flechasrestantes elegimos un mapeo : Mout Ker c tal que la composicion es laidentidad en Ker c y un mapeo : Ker aIm c Ker a tal que la composicion es la correspondiente identidad. Entonces tenemos ;

a = [b1, ..., bt ] =

c0

: Mout M j , a

1

...as

= b = [0 ] : Mj M incon lo hecho en la parte anterior obtenemos la premutacion, y la mutacion es laparte reducida.

2.1. Representacion de arco.

Sean (,M) una superficie con frontera, puntos marcados y con conjunto depinchaduras P . El concepto de representacion de arco lo introdujo Labardini-Fragoso en [6, Seccion 4], veamos mediante un ejemplo como calcular la repre-sentacion de (Q(), S()) asociada aun arco i para una trianulacion .Sea un octa-gon (es decir, un disco con 8 puntos marcados en la frontera)con dos pinchaduras, una triangulacion de (arcos de color verde) y Q() elcarcaj asociado a , como se muestra en la figura siguiente;

Q() =

d1

d2

m2

n2

p2q2

f1

s1

r1g1

l1

q1p1

n1

m1

h1

t1g2

r2

s2

f2q3

a2

a3

a4 a5

a1 c

b3

b1

b2

e

m

h

t g r

n

p

q f s

l

El potencial asociado es S() = a5a4a3a2a1 b3b2b1 + c + e.Sea i el arco (rojo) al cual le queremos calcular la representacion. Para cadavertice j de Q() asociamos el espacio vectorial Knj , donde nj es el numerode veces que el arco i corta al arco j, y para cada flecha de Q() asociamosla transformacion K-lineal T en su forma matricial de la siguiente manera;Sean j1, ..., jn y k1, ..., km los puntos de corte del arco i con los arcos j y k

8

respectivamente, colocamos un 1 en la entrada ab de la matriz si y solo si elsegmente [ja, kb] de i no corta a ningun otro arco de la triangulacion, y cero sicorta a algun arco de la riangulacion.Con lo anterior podemos ver que una representacion de i es la siguiente;

10

I2

I2 24 1 00 10 0

35

1 0 0

0

1 01

I2

I2

I2

24 0 01 00 1

35

0

1 0

K2

K

K K2 K2

K2

K2

K3 K2 K2

K

a la cual denotaremos por m(, i), pero la representacion anterior podra no seranulada por las derivadas, por lo cual necesitamos las 1-desviaciones (las flechasazules), las cuales se codifican en las matrices desviacion cuyas filas y columnasestan indexadas por los cortes del arco i con el arco j, donde j es el arco en elcual la 1-desviacion tiene su extremo final, esta matriz tiene 1s en la diagonaly si nos fijamos en el corte de j en el cual el segmento [ja, kb] de i no corta aningun otro arco de la triangulacion y kb es el punto inicial de una 1-desviacion,la matriz de desviacion en la columna a tendra un 1 en la fila donde se encuentreel extremo final de una 1-desviacion.En vista de lo anterior sean;

D1 =[

1 10 1

]y D2 =

1 1 00 1 00 0 1

las matrices de desviacion asociadas a d1 y d2. Definimos una nueva represen-tacion M(, i) la cual solo va a diferir de m(, i) en la accion de las flechasparalelas a las 1-desviaciones, es decir en nuestro caso la accion de c y e. En larepresentacion M(, i) las acciones en dichas flechas estaran dadas por D1Tc yD2Te, donde Tc y Te son las transformaciones lineales en m(, i). Por lo tantonuestra representacion M(, i) es:

9

10

I2

I2 24 1 00 10 0

35

1 0 0

0

1 11

I2

I2

I2

24 1 01 00 1

35

0

1 0

K2

K

K K2 K2

K2

K2

K3 K2 K2

K

Este caso esta cubierto por la construccion de Labardini-Fragoso en [5] y bastarealizar un par de calculos para checar que la representacion es nilpotente ycumple con las relaciones jacobianas.Con la denificion anterior Labardini-Fragoso demostro en [6, Teorema 6.5] lacompatibilidad entre el flip y la mutacion de representaciones.

10

3. Triangulacion Etiquetada.

En la primera seccion de este trabajo recordamos lo que es el flip de un arcoen , pero solo para arcos que no son el lado doblado de un triangulo doblado,ahora en el sentido de extender ese concepto a cualquier arco de la triangulacionrecordemos algunos conceptos de [3, Seccion 9.3].En la siguiente definicion pensaremos a cada arco de la triangulacion seccionadoen tres partes iguales, las cuales son, la parte central que consiste solo de interiordel arco y las otras dos partes son las que contiene a los extremos del arco, enestas ultimas colocaremos las etiquetas.

Definicion 3.1. Sea (,M) una superficie con puntos marcados y una trian-gulacion de . Un arco etiquetado es un arco tal que los extremos an sido eti-quetados, ya sea plain o notched y que cumplen las siguientes condiciones:

i) El arco no corta a un monogon con una pinchadura.

ii) Sea i es un arco con extremos en la frontera de la superficie entonces ambasetiquetas seran plain.

iii) Ambos extremos de un lazo tendran la misma etiqueta.

En la figura la etiqueta plainsera omitida, mientras que la etiqueta notchedestara representada por 1.Notemos que cualquier triangulacion de una superficie la podemos ver como unatriangulacion etiquetada de la siguiente manera:Si es un arco que no corta a un monogon con una pinchadura, entonces enla triangulacion sera el mismo arco con etiqueta plain en ambos extremos,por otro lado si es un lazo basado en un punto marcado a tal que existe unpunto marcado b en el interior, como se muestra en la figura siguiente;

a

b

a

b

1

entonces reemplazamos a por el arco etiquetado cuyos extremos son a y b ysus etiquetas en el extremo a es plain y en el extremo b es notched y lodenotaremos sin perdida de generalidad como .

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Denotaremos al conjunto de todos los arcos etiquetados por A1(,M) y alconjunto de arcos como Ao(,M).Los siguientes conceptos los introdujo Labardini-Fragoso en [7, Seccion 2].

Definicion 3.2. Sea : P {1,1} una funcion donde P es el conjunto depinchaduras, definimos la funcion t : Ao(,M) A1(,M) como sigue;

i) Si el arco i no es un lazo que encierra un monogon con una pinchadura,la version sin etiquetas de t(i) es i y es etiquetado notched si y solo siel correspondiente punto marcado es un elemento de P y toma el valorde 1 en dicho punto marcado.

ii) Sea i un lazo basado en un punto marcado q que encierra a un monogoncon una pinchadura, siendo p la pinchadura dentro del monogon, entoncest(i) es el arco que conecta los puntos p y q y el extremo en q es etiquetadocon notchedsi y solo si q P y (q) = 1, ademas en la pinchadura pes etiquetada notchedsi y solo si (p) = 1.

Sea una triangulacion de (,M), definamos la signatura de como la funcion : P {1,1, 0} dada por:

(p) =

1 Si el extremo de cada arco incidente en p tienen etiqueta .1 Si el extremo de cada arco incidente en p tienen etiqueta 1.0 en otro caso.Definicion 3.3. Sea una triangulacion de (,M), definamos la signaturadebil de como la funcion:

(p) ={

1 Si (p) {0, 1}1 en otro caso.

Queremos definir el potencial para la triangulacion etiquetada, para eso solonos falta observar que de una triangulacion etiquetada podemos obtener unatriangulacion con arcos ordinarios de la siguiente manera;

i) Borramos todas las etiquetas en la pinchadura p con signatura no cero.

ii) Para cada pinchadura p, tal que la signatura es cero, reemplazamos el arcoetiquetado i el cual tiene etiqueta 1 en p, por el lazo que encierra ala pinchadura p y al arco i.

A la triangulacion anterior la denotaremos o.

Definicion 3.4. Sea una triangulacion etiquetada de (, M).

i) Definimos el potencial no reducido S() RQ() asociado a como;

S() = t (4

(S4(o) + T4(o)) +pP

( (p)Sp(o)))

donde la primera suma corre sobre todos los triangulos interiores no do-blados de o, y es la signatura debil de .

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ii) Definimos (Q(), S()) como la parte reducida de (Q(), S()).

El siguiente resultado es de Daniel Labardini Fragoso y aparece primeramenteen [7, Teorema 8.1].

Teorema 3.5. Si y son triangulaciones etiquetadas de (,M) relaciona-das por el flip de un arco etiquetado i entonces los carcajes con potenciali(Q(), S()) y (Q(), S()) son equivalentes derechos.

Con el objetivo de extender [6, Teorema 6.5] a un contexto mas general, locual son las triangulaciones etiquetadas, nos vemos en la necesidad de definiruna representacion nilpotente en las triangulaciones etiquetadas que cumplancon las relaciones jacobianas, para lo cual necesitamos analizar localmente lasposibles configuraciones que podran aparecer en .De acuerdo con [5, Seccion 3] las posibles configuraciones en que se podranformar son las siguientes, donde los arcos de color rojo son los lados en el cualse hizo el pegado con las piezas de rompecabezas ver [5, Figura 13]

13

14

15

Para arcos i que no son arcos etiquetados ya contamos con una posible defi-nicion y pensamos que no sera muy dificil extender nuestra definicion a arcosetiquetados, para ejemplificar la definicion lo haremos con un ejemplo.Sea un tetra-gon (es decir, un disco con cuatro puntos marcados en la frontera)con dos pinchaduras, una triangulacion etiquetada (de color verde) y Q() elcarcaj asociado a como se muestra en la figura siguiente;

a

b

c h

g

e

fkQ() =1

g2

h1c1

a1 b1c2 h3

c3

b2a2

e1

f1g1

h2

k1

a1 b1

a2

b2a3

u

vd

El potencial asociado es S() = a3a2a1 + u+ v a2b1b2.Calculemos la representacion del arco i (el arco rojo en la figura anterior), sea y las flechas del carcaj con extremo en el arco etiquetado y no etiquetado

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respectivamente, observemos localmente como el arco i gira alrededor de lapinchadura en a cual tenemos el arco etiquetado. Analizemos la manera que elarco i corta al arco etiquetado.Calculemos primeramente T, recorramos el arco i en contra de las manecillasdel reloj (i,e. recorramos i de c2 a c1) y T en su forma matricial esta dadacomo sigue; primero nos olvidaremos del arco no etiquetado entonces colocamosun 1 en la entrada a1c2 y un 1 en la entrada a1c1, a demas notenmosque la seccion [c3, k] corta al arco etiquetado entonces colocamos un 1 enla entrada a2c3, por lo tanto se tiene;

T =[

1 1 00 0 1

]Ahora calculemos T , en este caso nos olvidaremos por un momento del arcoetiquetado, de la misma manera recorramos el arco i en ontra de las manecillasdel reloj, y colo camos un 1 en la entrada b1c2, a demas notemos que la seccion[c3, k] de i corta al arco no etiquetado en b2 entonces colocamos un 1 en laentrada b2c3 por lo cual tenemos que ;

T =[

0 1 00 0 1

]Para calcular Tu notemos que la seccion [a2, k] de i no corta a ningun otro arcode la triangulacion, en cambio la seccion [aa, k] si lo hace entonces Tu = [0 1].Analogamente Tv y con un argumento similar se puede ver que T actua como latransformacion lineal cero. Todas las demas transformaciones se calculan comoen la seccion 2.1 de este trabajo.Por lo tanto la representacion nos queda de la siguiente manera.

1 1

0 1

I3

0 1 01 0 0

10

0

124 01

1

35

0 1

0 1

0

K

K2

K2

K3 K3

K2

K

K

Basta hacer unos calculos para ver que satisface las relaciones jacobianas.Esta definicion se dedujo a partir de la definicion de Labardini-Fragoso al aplicarla mutacion de representaciones para obtener la nuestra. Por eso pensamos quetambien sera factible verificar que sean compatibles con mutaciones, y lo cualseria nuestro resultado principal.

Dr. Christof Geiss H. Dr. Octavio Mendoza H.

Dr. Raymundo Bautista R.

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Referencias

[1] H. Derksen, J. Weyman y A. Zelevinsky. Quiver With Potential and TheirRepresentations I: Mutations. Selecta Math. 14 (2008), No. 1, 59-119. ar-Xiv:0704.0649v4.

[2] V. V. Fock, A. B. Goncharov, Dual Teichmuler and Lamination Spa-ces. Handbook of Teichmuler theory, vol. I, 647-684, IRMA Lecturesin Mathematics and Theorical Physics 11, Eur. Math. Soc., 2007. ar-Xiv:math.DG/0510312.

[3] S. Fomin, M. Shapiro, D. Thurston. Cluster Algebras and Triangulated Sur-faces, Part I: Cluster Complexes. Acta Mathematica 201 (2008), 83-146.arXiv:mathRa/0608367.

[4] M. Gekhtman, M. Shapiro, A. Vainstein. Cluster Algebras and Weil-Patersson Forms. Duke Math. J. 127 (2005) 291311, math.QA/0309138.

[5] D. Labardini-Fragoso.Quivers with potentials associated to triangulated sur-faces. Proc. London Mathematical Society (2009) 98 (3): 797-839. ar-Xiv:0803.1328.

[6] D. Labardini-Fragoso. Quivers with potentials associated to triangulated sur-faces, part II: Arc representations.arXiv:0909.4100.

[7] D. Labardini-Fragoso. Quiver With Potentials Associated to TriangulatedSurfaces, Part IV: Removing Boundary Assumptions.arXiv:1206.1798.

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Temario

1.- Triangulaciones de Superficies y sus Flips.

2.- Representaciones de Carcaj con Potencial.

3.- Triangulaciones etiquetadas.

Vo. Bo. Vo. Bo.

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Dr. Christof Geiss H. Dr. Octavio Mendoza H.

Vo. Bo.

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Dr. Raymudo Bautista R. Salomn Domnguez de la C.