proses branching
DESCRIPTION
Proses StokastikTRANSCRIPT
PROSES STOKASTIK
• Anggota :
• Inge Jana, Kurniasari A, Ari Vanerlin, Merly Fatriana B, Moch.Farid Shofi, Umi Hanifah, Hanny Adiati, Moch.Afandi, Sari Putri, Ni Putu Budi Setyaningsih
Branching Processes & Generating Functions
Setiap organisme, sampai pada akhir masa hidupnya menghasilkan sejumlah
keturunan secara random dengan probabilitas :
Pr { = k} = Pk for k = 0, 1, … (8.1)
Dimana :
: Jumlah keturunan
Pk 0
x
kkp
0
1
Kita asumsikan bahwa semua keturunan adalah saling independent satu sama
lain, dan pada akhir hidupnya masing-masing menghasilkan keturunan dengan
probabilitas yang sama (8.1).
Branching Processes
Sifat Markov dapat dijelaskan secara sederhana sebagai berikut :
Di dalam generasi ke-n ada sejumlah individu Xn, secara independent dalam
menghasilkan keturunan )()(
1 .... nX
n
n
)()(11 .... n
Xn
n nX
Proses Xn adalah bentuk khusus Markov Chain yang dinamakan Branching
Processes, dimana Xn adalah jumlah populasi pada generasi ke-n.
yang secara kumulatif menghasilkan generasi ke (n+1) :
Xo = 1
kX )0(11
generasi
0
1
2
3
n
Secara Umum contoh dari Branching Processes
n - 1
MEAN AND VARIANCEAnggap
][ E
][2 Var
)(nM
)(nV
: rata-rata dari distribusi keturunan (8.1)
: rata-rata dari Xn (Populasi generasi Ke-n) dengan kondisi awal X0 = 1
: varian dari Xn (populasi generasi ke-n) dengan kondisi awal X0 = 1
: varian dari distribusi keturunan (8.1)
1
1
1
1
1
][
][
])([
])|([
])|([
)()1(
n
n
n
X
ii
X
ini
nn
n
XE
XE
EE
XEE
XXEE
XEnM
n
n
MEAN :
; Dalam kondisi X0 = 1 maka : M(0) = 1 , V(0) = 0
)()(
]([][
]()([
][
)()1(
22
222
1
21
1
21
1
1
nVnM
XEXE
XXE
E
XVnV
nnn
X
ii
nnn
X
ii
nX
ii
n
n
n
n
VARIANCE :
nnM )(
2212)( nnnnV
; if = 1
; if 1
112 1 nn
-1
-1X
n
12
nn
Secara Umum :
Varian size populasi
NOTE :• Rata-rata size populasi M(n) akan meningkat secara geometrik jika > 1,
akan menurun jika < 1,
dan akan konstan jika = 1
• Varian size populasi V(n) akan meningkat secara geometrik jika > 1,
meningkat secara linier jika = 1,
dan turun secara geometrik < 1
)0()( nn XPnNPu
01 )(
k
knkn upu
Sehingga :
, ; n = 1,2,……
Extinction Probabilities
Kepunahan populasi terjadi ketika dan jika ukuran populasi berkurang menuju ke 0. Waktu punah random (N) dan n adalah waktu pertama kali punah (Xn = 0). Dalam Markov Chain 0 adalah kondisi absorbing. Sehingga kita bisa menghitung probabiliti kepunahan dengan menggunakan First Step Analysis (FSA).
)1|0( 0 XXP n
)1|(.)|0( 010
1
XkXPkXXPk
n
)(.)|0(0
01 kPkXXPk
n
• Jika suatu variabel random merupakan bilangan integer nonnegative memiliki distribusi probabilitas sebagai berikut :
Pr { = k} = Pk ; untuk k = 0, 1, … (9.1)
• Maka fungsi pembangkit (s) dari variabel random dengan distribusi {pk} dapat didefinisikan sebagai berikut :
; untuk 0 ≤ s ≤ 1. (9.2)
FUNGSI PEMBANGKIT
0
][)(k
kk spsEs
DEFINISI :DEFINISI :
SIFAT UMUM FUNGSI PEMBANGKIT
1. Hubungan antara fungsi probabilitas (9.1) dan fungsi pembangkit (9.2) dapat digambarkan sebagai berikut :
( 9.3)
2. Jika 1, …, n adalah variabel random independen yang mempunyai fungsi pembangkit 1(s), …, n(s), maka penjumlahan fungsi pembangkitnya X = 1 + … + n secara sederhana menghasilkan :
x(s) = 1(s) 2(s) … n(s) ( 9.4)
3. Moment suatu variabel random yang bernilai integer nonnegative dapat diperoleh dengan menurunkan fungsi pembangkit.
0
)(
!
1 sk
k
k ds
sd
kp
• Sebagai contoh :
(9.5)
(9.6)
][)(
1 E
ds
sds
][][)]1([)( 2
12
2
EEE
ds
sds
2
1112
222 )()()(
]}[{][
sss ds
sd
ds
sd
ds
sdEEVar
SIFAT UMUM FUNGSI PEMBANGKITSIFAT UMUM FUNGSI PEMBANGKIT
k k
k pssEs .][)(
).()( 10
1
n
k
knkn uupu
Misalkan Xn suatu branching process, dimana Xn merupakan
ukuran populasi pada generasi ke-n. Diasumsikan bahwa distribusi keturunan pk = Pr{=k} mempunyai fungsi pembangkit
Jika un = Pr{Xn = 0} adalah probabilitas kepunahan pada generasi ke-n, kemudian mengacu pada (8.8) fungsi pembangkit menjadi :
Dengan mengetahui fungsi pembangkit, kita dapat menghitung probabilitas kepunahan un dimulai dengan u0 = 0, kemudian u1=(u0), u2 =(u1), dan seterusnya.
Generating Functions Generating Functions and Extinction and Extinction
ProbabilitiesProbabilities
Jika rata-rata ukuran keturunan E[] ≤ 1 maka un = 1 dan kemunahan pasti terjadi. Jika E[] >1, maka ux< 1 dan populasi dapat berkembang tak terbatas. Kasus batas E[] =1 menjadi perhatian khusus. E[Xn|X0=1]= 1 untuk semua n, sehingga rata-rata ukuran populasi tetap. Ini adalah suatu contoh sederhana di mana rata-rata ukuran populasi sendiri tidak cukup menguraikan perilaku populasi.
][)(
)1(' 1 Eds
sds
Generating Functions Generating Functions and Extinction and Extinction
ProbabilitiesProbabilities
Probability Generating Function And Sums Of Independent Random Variables
Misalkan dan adalah variabel random yang bernilai bilangan integer nonnegative mempunyai probabilitas fungsi pembangkit ( p.g.f.s)
(s) = E[s] dan (s) = E[s] untuk s < 1
Probabilitas fungsi pembangkit dari penjumlahan + disederhanakan menjadi perkalian (s) dan (s) sebab
E[s + ] = E[ss] = E[s] E[s] (karena dan independent)
(9.7) = (s) (s)
Hal ini juga berlaku sebaliknya. Jika perkalian p.g.f.s dua variabel random independent adalah suatu p.g.f. variabel random ketiga, maka variabel random ketiga sama dengan penjumlahan dua lainnya.
Probability Generating Function And Sums Of Independent Random Variables
Misalkan 1, 2, variabel random integer nonnegative dan berdistribusi identik dan independent dengan p.g.f. (s) = E[s].Induksi langsung (9.7) menyebabkan penjumlahan 1 + … + m, mempunyai p.g.f.
E[s1 + … + m ] =[ (s)]m (9.8)
Kita perluas hasil ini untuk menentukan p.g.f penjumlahan sejumlah variabel random independent. Misalkan N variabel random yang bernilai bilangan integer nonnegative dan berdistribusi independent pada 1, 2, … dengan p.g.f gN(s)= E[sN], dan perhatikan random sum ( lihat II, Bagian 3).
X= 1 + … + NMisal hx(s) = E[Sx] adalah p.g.f untuk X, dapat dinyatakan bahwa hx(s) = gN[ (s)] (9.9)
Probability Generating Function And Sums Of Independent Random Variables
)(
)8.9()Pr{)(
)Pr{}...Pr{
.)..,,(
}Pr{}...Pr{
}Pr{}|...Pr{
}Pr{}|Pr{
}Pr{)(
0
0 01
21
0 01
0 01
0 0
0
sg
nmenggunakanNs
nNsk
padaindependenNKarena
snNk
snNnNk
snNnNkX
skXsh
n
n
n
n k
kn
k
k nn
k
k nn
k
k n
k
kx
Probability Generating Function And Sums Of Independent Random Variables
)()(11 .... n
Xn
n nX
][)( nXn sEs
ssEs ][)( 10 ][)()(1
sEss
)]([)(1 ss nn
Dengan bantuan ( 9.9), persamaan dasar branching process
(9.10) Dapat dinyatakan dengan rata-rata fungsi pembangkit. Jika
menjadi p.g.f ukuran populasi Xn pada generasi ke-n, asumsikan bahwa X0= 1, maka dan
Untuk memperoleh bentuk umum, kita menerapkan (9.9) untuk (9.10) untuk menghasilkan (9.11)
Probability Generating Function And Sums Of Independent Random Variables
)()( 11 ss nn
)(.... s
)(sn
( n+1) iterasi
Persamaan (9.11) dapat diiterasikan
(9.12)
kita memperoleh fungsi pembangkit untuk ukuran populasi Xn, pada generasi n, jika diketahui X0=1, dengan substitusi yang berulang-ulang dalam probabilitas fungsi pembangkit pada distribusi keturunan.
Secara umum, p.g.f untuk ukuran populasi awal X0= k adalah
Probability Generating Function And Sums Of Independent Random Variables
0
0 )(}|Pr{k
kn
jn sskXjX
Persisnya bahwa suatu penjumlahan k garis turun independent. Dari perspektif ini, the branching process meningkatkan penjumlahan k independent branching processes, masing-masing dapat satu initial orangtua.
Multiple Branching Processes Proses pertumbuhan populasi meliputi beberapa tahap kehidupan (seperti pemuda, orang dewasa reproduktif, senescense) dengan pola perilaku dan kelangsungan hidup berbeda. Kita bisa memperhatikan sejumlah contoh branching processes mengenai karakteristik ini.
Untuk contoh pertama, anggap bahwa suatu individu dewasa akan menghasilkan keturunan mengikuti p.g.f (s). Jika suatu populasi individu yang belum dewasa masing-masing akan tumbuh menjadi dewasa dengan probabilitas p dan kemudian bereproduksi secara independent dari anggota populasi lain. Suatu individu belum dewasa tidak akan mencapai kedewasaan dan tidak akan meninggalkan keturunan dengan probabilitas 1–p. Dengan probabilitas p seseorang akan menjadi dewasa dan menghasilkan sejumlah keturunan, ditentukan menurut p.g.f (s). Oleh karena itu ukuran distribusi keturunan (sama dengan p.g.f) individu belum dewasa memiliki dua ketidakpastian yaitu)()1( spp (9.14)
Multiple Branching Processes
Jika suatu sensus dilakukan pada individu dewasa, jumlah individu dewasa yang disokong oleh individu dewasa sekarang akan mempunyai p.g.f)1( psp (9.15)
( hal ini perlu diverifikasi)hal yang perlu ditekankan bahwa p.g.f.s ( 9.14) dan ( 9.15) mempunyai rata-rata yang sama p’(1) tetapi umumnya variannya berbeda, yang pertama menjadi 2))1('()1(')1(" p
Dibandingkan dengan 222 ))1('()1(')1(" ppp Ketidakhadiran kematian jumlah keturunan x individu mempunyai p.g.f (s) Asumsikan, konsisten dengan dalil suatu branching process, bahwa semua keturunan di dalam populasi bertindak dengan bebas yang diatur oleh hukum probabilitas yang sama. Asumsikan juga suatu populasi orang dewasa ukuran x=k
Multiple Branching Processes
Kita memiliki tiga jenis kematian: a) kematian individu. Misalkan p probabilitas bertahan hidup
dan bereproduksi, independent dari apa yang terjadi pada individu lain. Dengan begitu kontribusi dari tiap keluarga kepada populasi orang dewasa generasi yang berikutnya mengikuti suatu distribusi binomial dengan parameter (N,p), di mana N adalah ukuran keturunan orangtua dengan p.g.f (s). p.g.f jumlah orang dewasa yang disokong oleh orangtua tunggal adalah (q+ps),q=1-p, dan untuk populasi secara keseluruhan adalah
kpsqs )()(1 (9.16)Kematian jenis ini dapat mencerminkan predation pada orang dewasa.
Multiple Branching Processes
b) kematian keluarga. masing-masing keluarga independen dan survive dengan probabilitas p dan disapu bersih dengan probabilitas q= 1-p. Diketahui suatu ukuran keluarga sekarang , ukuran litter yang efektif adalah dengan probabilitas p, dan 0 dengan probabilitas q. p.g.f orang dewasa di dalam generasi mengikuti
kspqs )()(2
(9.17)kematian jenis ini mungkin mencerminkan predation atas pemuda atau atas sarang dan telor dalam kasus burung-burung.
c) kematian generasi. keseluruhan generasi survive dengan probabilitas p dan disapu bersih dengan probabilitas q. Kematian jenis ini mungkin disebabkan bencana lingkungan ( seperti, kebakaran hutan, banjir). p.g.f. ukuran populasi di generasi yang berikutnya adalah
kspqs )()(3
(9.18)Semua p.g.f.s. dari ( 9.16) sampai ( 9.18) mempunyai mean yang sama berarti tetapi variance yang berbeda.
Multiple Branching Processes
3,2,1,)( iss *is
Hal yang menarik untuk menilai stabilitas yang relatif pada tiga model ini. Kita harus membandingkan akar possitive yang paling kecil dari
; yang ditandai dengan
i=1,2,3.
Kita akan menunjukkan bahwa
)3()()( 321 ss
Suatu fungsi f(x) adalah cembung dalam x jika untuk tiap-tiap x1 dan x2 dan 0<<1, maka
)()1()(1 2121 xfxfxxf
Multiple Branching Processes
0)(
k
kk sps
kkk ssss 2121 )1(1
*2
*1 ss
fungsi
cembung dalam s, karena untuk integer positif k,
for 0<, s1, s2<1, sekarang
, and then
, Thus the first model is more stable than the second.
for 0<s<1,
*3
*2 ss
*3
*2
*1 sss
Observe further that due the convexity of f(x)=xk ,x>0, , and thus
, implying that the second model stable than the third model, in conjuction we get the ordering
)(1)()()( 32 sqspqsps kkk
)(1)()()( 32 sqspqsps kkk
)()()()1()()( 21 sspqspqpsqs kkk
TERIMA KASIH