GOVERNO DO PARANÁSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOSUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃOPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

CLAUDIA MONTEIRO GUILHERME DA SILVA

PROPOSTA DE TRABALHO

UEL - Londrina2008

CLAUDIA MONTEIRO GUILHERME DA SILVA

UMA PROPOSTA DE TRABALHO COM A ESTRATÉGIA DA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Proposta de trabalho apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional.Orientador: Prof. Dr. Olívio Augusto Weber.

UEL - Londrina2008

2

SUMÁRIO

Introdução......................................................................................4

Da Resolução de Problemas...............................................................5

Do Contrato Didático........................................................................6

Do Problema a ser utilizado...............................................................7

Dos Objetivos..................................................................................7

Do Conteúdo...................................................................................7

Da Avaliação...................................................................................7

Dos materiais utilizados....................................................................8

Do Desenvolvimento do Trabalho.......................................................8

Referências...................................................................................20

Bibliografia Indicada.......................................................................20

3

TÍTULO

UMA PROPOSTA DE TRABALHO UTILIZANDO COMO ESTRATÉGIA A

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Claudia Monteiro Guilherme da Silva1

IntroduçãoA Resolução de Problemas tem se apresentado como uma

estratégia bastante promissora proporcionando situações em que o aluno

lida com informações, analisa possíveis encaminhamentos, busca outras

informações, trabalha em equipe e desenvolve o chamado ‘espírito crítico’.

O problema apresentado será trabalhado com alunos de 8.ª

série do Ensino Fundamental de um Colégio Estadual do município de

Londrina, devendo ser desenvolvido em forma de oficina com duração de

12 horas-aula e terá por objetivo a abordagem de conteúdos matemáticos

por meio da Resolução de Problemas com o intuito de proporcionar

experiências diversificadas, baseadas em tarefas que envolvam os alunos

em processos relevantes da atividade matemática como a observação, a

identificação de questões, a formulação e teste de conjecturas, a

justificação, a argumentação; a reflexão; a avaliação, com momentos de

descoberta, de retrocessos e de avanços, da elaboração de conjecturas e

da procura das suas provas. Tarefas que ao oportunizar a comunicação e

uma maior formalização do raciocínio na argumentação dos alunos entre

si e com o professor, possibilitam também o desenvolvimento de atitudes

e valores como o gosto pela Matemática, a autonomia, a cooperação.

1 Secretaria de Estado da Educação do Paraná - Professora Especialista em Educação Matemática do Ensino Fundamental e Médio – Professora Efetiva do Estado. E-mail: claudiamonteiro@seed.pr.gov.br.

4

Da Resolução de Problemas

Um dos grandes desafios hoje é, não só ajudar o aluno a

resolver problemas nas aulas de matemática, mas ajudá-lo a pensar

matematicamente para que possa, também, utilizar a matemática no

enfrentamento de situações do seu cotidiano. Na perspectiva de

Schoenfeld (1996),

[...] o pensar matematicamente significa: (a) ver o mundo de um ponto de vista matemático (tendo predileção por matematizar: modelar, simbolizar, abstrair, e aplicar idéias matemáticas a uma larga gama de situações), e (b) ter os instrumentos para tirar proveito para matematizar com sucesso. (p. 8)

De forma análoga, as Diretrizes Curriculares apontam que

se pretende “[...] a formação de um estudante crítico, capaz de agir com

autonomia nas suas relações sociais e, para isso, é preciso que ele se

aproprie também de conhecimentos matemáticos” (PARANÁ, 2006, p.24).

Com o objetivo de formar esse estudante crítico, também

por meio da matemática, a Resolução de Problemas tem se apresentado

como um caminho promissor, uma vez que não apresenta respostas

prontas nem inegáveis, mas considera o ponto de vista do estudante que,

a partir daí, resolve algum problema.

Segundo Diniz,

[...] o aprendizado da Matemática só está se realizando no momento em que o aluno é capaz de transformar o que é ensinado e de criar a partir do que ele sabe. Caso essa autonomia para transformação e criação não exista, o que se tem é um aluno adestrado, repetindo processos de resolução criados por outros (apud NINA; CURY, 2004, p.2).

Segundo Dante, “[...] a metodologia de resolução de

problemas deve constituir o eixo principal da Matemática escolar. A

capacidade de resolver problemas é desenvolvida ao longo dos anos,

como resultado de um ensino pleno de oportunidades variadas” (apud

NINA; CURY, 2004, p.2). Sendo assim,

5

[...] o acto de resolver problemas é a amálgama de vários processos cognitivos diferentes orquestrados no sentido de atingirem um certo objectivo que não poderia ser atingido, pelo menos de modo evidente, simplesmente aplicando um procedimento, um processo, uma rotina ou um algoritmo, já conhecido, de uma única área disciplinar. A competência de resolução de problemas pode ser descrita em termos das capacidades que permitem aos estudantes criarem e monitorizarem um certo número de processos no âmbito de uma determinada gama de tarefas e de situações. (LISBOA, OCDE, PISA 2003, p.14)

Portanto, o trabalho com a Resolução de Problemas, para

mim, configura-se como um desafio, mas ao mesmo tempo me encanta,

me seduz por ser diferente da forma como tenho conduzido minhas aulas,

e por procurar oportunizar ao aluno o desenvolvimento de seu espírito

crítico de modo que ele mesmo seja o agente transformador de sua

história.

Do Contrato Didático

O Contrato Didático, tomado aqui como um conjunto de

regras que pode ser estabelecido para reger as aulas durante um ano

inteiro ou somente durante uma ou algumas aulas de um determinado

conteúdo. No segundo caso, ele pode ser mais detalhado, pois pode e

deve conter regras mais pontuais. Por exemplo: numa aula de Resolução

de Problemas, uma das regras poderá ser: ‘a leitura dos problemas deverá

sempre ser feita pelos alunos’, ou ainda, ‘o trabalho deverá ser realizado

formando grupos de n alunos’. Pode-se também incluir no Contrato

Didático, regras comportamentais de respeito e disciplina.

Segundo Brousseau (1986, 1988), o Contrato Didático diz

respeito a “[...]um conjunto de comportamentos do professor esperados

pelo aluno e, também, a um conjunto de comportamentos do aluno

esperados pelo professor.” (apud MEDEIROS, K.M, 2001).

6

Do Problema a ser utilizado

O problema a ser trabalhado, Maçãs, foi utilizado na prova

do PISA/2000. O programa PISA2 - Programa Internacional de Avaliação

de Estudantes foi criado pela Organização para Cooperação e

Desenvolvimento Econômico - OCDE, com o objetivo de avaliar o

desempenho de estudantes que estão próximos de concluir a

escolarização obrigatória definida no seu país de origem.

Dos Objetivos

Oportunizar situação em que o aluno utilize seus próprios

conhecimentos para resolver o problema contribuindo positivamente

com sua auto-estima.

Apresentar diversas formas de resolução de um problema.

Identificar seqüência de números ímpares.

Utilizar incógnitas ou variáveis em expressões.

Identificar e resolver equações.

Do Conteúdo

O problema em pauta oportuniza trabalhar com alunos de

várias séries, porém, neste caso, será trabalhado com os da 8.ª série do

Ensino Fundamental. Para esta turma podemos estudar temas tais como

Números Naturais, Quadrado de um Número, Valor Numérico, Seqüências,

Expressões Algébricas e Equações.

Da Avaliação

Segundo as Diretrizes Curriculares do Paraná (2006), uma

[...] avaliação que se restringe a quantificar o nível de informação que o aluno domina não é coerente com a

2 Mais informações no site http://www.inep.gov.br/internacional/pisa/Novo/oquee.htm

7

proposta da Educação Matemática. Para ampliar sua eficácia, a avaliação deve incluir a complexa relação do aluno com o conhecimento. Isso significa interrogar em que medida o aluno atribuiu significado ao que aprendeu e consegue materializar situações que exigem raciocínio matemático. (p.47).

Em conformidade com essas Diretrizes, a avaliação será

realizada por meio da observação da participação e do aproveitamento de

cada aluno, para tanto, utilizarei como critérios:

• a demonstração de empenho e interesse na resolução das tarefas

propostas na aula e/ou em casa;

• a participação por iniciativa própria e o interesse em atividades

relacionadas com a disciplina;

• a correção e a consistência teórica da sua participação;

• a participação efetiva nos trabalhos em grupo.

Os critérios aqui expostos ainda deverão ser discutidos com

os alunos no momento da construção do Contrato Didático procurando

desenvolver um processo de negociação.

Dos materiais utilizados

• folhas impressas com os problemas a serem utilizados

• quadro

• giz

Do Desenvolvimento do Trabalho

Iniciarei a aula propondo aos alunos a construção conjunta

de regras que deverão nortear nosso trabalho (Contrato Didático).

Explicarei a eles que tal construção faz-se necessária para que juntos,

utilizando a estratégia da Resolução de Problemas, possamos construir

uma aprendizagem consistente.

8

É possível que algumas das regras que poderão compor

nosso Contrato Didático sejam:

1. Deverá haver cooperação entre professor e alunos a fim de manter

o bom desenvolvimento da aula.

2. Professor e aluno deverão respeitar-se mutuamente.

3. Quando uma pessoa estiver falando, as demais deverão manter

silêncio para um melhor entendimento.

4. Quando alguém precisar falar deverá levantar a mão para pedir a

palavra.

5. A avaliação será realizada no decorrer da aula de acordo com os

critérios abaixo:

a demonstração de empenho e interesse na resolução das tarefas propostas na aula e/ou em casa;

a participação por iniciativa própria e o interesse em atividades relacionadas com a disciplina;

a correção e a consistência teórica da sua participação;

a participação efetiva nos trabalhos em grupo.

6. Todos os trabalhos de Resolução de Problemas deverão ser

realizados em grupo.

7. A escolha dos grupos deverá ser feita ora pela professora, ora pelos

próprios alunos, ora por sorteio.

8. A ajuda do professor será solicitada somente quando nenhum

componente do grupo souber encaminhar a questão.

Quanto ao item 6, que trata da avaliação, pretendo

pormenorizar, em conjunto com os alunos, os critérios já explicitados no

tópico correspondente e aqui complementá-lo com as suas sugestões.

9

Após a construção do Contrato Didático, iniciarei a

formação dos grupos de acordo com as regras nele estabelecidas.

Com os grupos compostos, passarei à distribuição do

problema escolhido para este momento. Embora os alunos estejam

organizados em grupos, o problema será distribuído individualmente, ou

seja, um para cada aluno, de modo que todos possam analisar o problema

e compartilhar a sua forma de pensar com os colegas do grupo.

Explicarei que a princípio deverão ler, analisar o problema,

imaginar de quais formas poderão abordá-lo e resolvê-lo. Que somente

após a leitura e análise do problema e em caso de dúvida poderão solicitar

minha ajuda, conforme consta no Contrato Didático.

A seguir apresento o problema a ser trabalhado nesta

oficina.

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Maçãs

Um fazendeiro planta macieiras formando quadrados. Para protegê-las do

vento, ele planta pinheiros ao redor do pomar.

O Diagrama abaixo mostra essa situação, na qual se podem ver as macieiras

e os pinheiros para um número ( )n de filas de macieiras

X

X

QUESTÃO 1:

Complete a tabela abaixo:

11

nNúmero de macieirasNúmero de pinheiros

1

1

8

2

4

3

4

5

12

Ao entregar o problema, é possível que, por uma questão

de costume, os alunos procurem resolvê-lo sozinhos, ou seja, de forma

individual, porém, penso que à medida que forem sentindo dificuldades

em resolvê-lo começarão a discuti-lo no grupo.

Para completar a tabela da questão 1, uma das formas

possíveis e prováveis é que os alunos contem quantas ● (macieiras) e

quantos x (pinheiros) há em cada situação, porém, quando tiverem que

completar a linha na qual 5=n é que a dificuldade se apresenta. Nesta

etapa, os alunos já poderão ter percebido alguma regularidade na tabela,

mas se não perceberem, é provável que construam outro quadro com 5

linhas e 5 colunas para poderem contar e completá-la.

Neste momento quero salientar a importância da contagem

no ensino da matemática, pois esta “desenvolve a habilidade de raciocínio

combinatório e a capacidade de elaborar estratégias para a sua resolução”

(ZANIN, 2005, p.5).

Alguns alunos poderão questionar se não há outra maneira

de se resolver a questão. Neste momento poderei intervir sugerindo que

eles analisem a tabela que já completaram. Posso questionar se observam

alguma regularidade, alguma coisa que dê entender qual será o próximo

número. Há alguma pista de qual será o próximo número?

Voltados para a tabela, os alunos poderão observar se há

relação de um número com o outro anterior. Neste momento, poderei

questionar: será que existe alguma relação com a letra n? Vocês sabem

como esta letra n pode ser chamada? Hora de introduzir ou de lembrar os

termos variável e incógnita, explicar aos alunos que uma variável é um

símbolo (que geralmente é uma letra) utilizado para representar valores

diversos em um mesmo problema, ou seja, um valor não fixo, que poderá

variar neste problema em função de outro, ao passo que incógnita é um

valor a ser descoberto, um valor que está implícito numa equação e que

torna uma sentença verdadeira.

13

Quanto à possível regularidade comentada, é provável que

os alunos percebam que a coluna dos pinheiros é formada pelos múltiplos

de 8, assim, ficará fácil descobrirem os próximos números da tabela. Já na

coluna das macieiras possivelmente será um pouco mais trabalhoso até

que os alunos cheguem à conclusão de que o número de macieiras, aqui

representado por • é igual ao número de fileiras, representado pela

variável n , multiplicado por ele mesmo n , ou seja, ²n .

Outra forma possível de se completar a tabela é a análise

do crescimento do número de macieiras. O aluno pode observar que o

número de macieiras é o resultado da soma de uma seqüência de

números ímpares no conjunto dos números naturais e que o número n

indica a quantidade de números da seqüência a serem utilizados. Se

algum deles observar essa regularidade, construirei no quadro a seguinte

tabela

1=n → macieiras = 1

2=n → macieiras = 4 = (1+3)

3=n → macieiras = 9 = (1+3+5)

4=n → macieiras = 16 = (1+3+5+7)

5=n → macieiras = 25 = (1+3+5+7+9)

Supondo que nenhum deles observe a seqüência, poderei

instigá-los perguntando, por exemplo: vocês já observaram que o número

de macieiras é dado por ²n . Vocês acham que é possível haver alguma

outra regularidade além desta? E qual seria essa regularidade? Se ainda

assim não observarem, posso ainda questionar: Vocês se lembram dos

números ímpares? É possível formular alguma regularidade utilizando

esses números?

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É bastante provável que demorem um pouco para

encontrar a regra, mas quando a observarem, notarão que ficará fácil

encontrar os próximos números.

Essa oportunidade é adequada para se falar sobre

seqüências. Poderei expor que existem várias seqüências como a

seqüência de Fibonacci, uma Progressão Aritmética (PA), uma Progressão

Geométrica (PG), etc. Poderei mostrar também que o número de pinheiros

do problema em questão nada mais é do que uma PA de razão 8 e ainda,

fazer uma ligação com a PG dizendo que na PA a razão é somada a cada

termo e na PG a razão é multiplicada a cada termo.

Terminada as discussões sobre esta questão, passarei a

sistematizar o conteúdo no quadro, trabalhando com os comentários

realizados por eles até chegarmos à conclusão que:

Número de pinheiros = n8

Número de macieiras = ²n

Iniciarei a distribuição da questão seguinte, da mesma

forma planejada para a questão 1, todos os alunos de cada grupo

receberão a questão 2 do problema Maçãs.

Questão 2:

Existem duas fórmulas que você pode usar para calcular o número de

macieiras e o número de pinheiros no padrão descrito acima:

Número de macieiras = ²n

Número de pinheiros = n8

Onde n é o número de filas de macieiras.

Existe um valor n para o qual o número de macieiras é igual ao número

de pinheiros. Encontre o valor de n , mostrando o método usado para

fazer os cálculos.

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Entregue a questão a todos os alunos, eles deverão ler e

tentar resolvê-la nos grupos.

Provavelmente os alunos utilizarão da mesma estratégia e

acrescentarão linhas na tabela até chegarem ao número solicitado, ou

seja, um número n de filas em que o número de macieiras e de pinheiros

será igual. Porém, nesta fase, espero que os alunos não mais utilizem o

princípio da contagem e sim, as expressões já descobertas, ou seja, para

encontrar o número de macieiras utilizarão a expressão ²n , substituindo

os valores 6, 7, 8 à variável n , e paralelamente deverão substituí-los

também na expressão n8 , até encontrarem o número 8, quando 64² =n e

648 =n .

Supondo que os alunos não utilizem as expressões ²n e n8 ,

lembrarei a eles que na 7.ª série, provavelmente eles devem ter estudado

um conteúdo chamado Valor Numérico. Poderei instigá-los a calcular o

Valor numérico das expressões citadas para cada um dos valores de n . Ou

seja, 1=n , 2=n , 3=n , 4=n , e assim por diante. Dessa forma observarão

que por meio da substituição de um número informado em uma expressão

que contenha variável ou variáveis, podem resolver ou calcular o Valor

Numérico para aquela expressão, chegando à resposta solicitada à

questão 2 do problema.

Farei um paralelo entre o que descobrimos na 1.ª questão

e o que temos na 2.ª questão. Chamarei a atenção para observarem que

a coluna que representa o número de pinheiros é formada pelos múltiplos

de 8. Assim, 8x1, 8x2, 8x3, 8x4, e assim por diante, representam 8 vezes

a variável n , da mesma forma a coluna que representa o número de

macieiras é aquilo que descobrimos na questão 1, ou seja, o valor n de

fileiras multiplicado por ele mesmo, ²n .

É pouco provável que os alunos utilizem de equação para

resolver o problema procurando o valor da incógnita, porém, é também

uma forma de resolução. Então ele pode pensar: se quero saber se há um

valor n para o qual o número de macieiras é igual ao número de pinheiros

e sei que o número de macieiras é representado pela expressão ²n e o

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número de pinheiros é representado pela expressão n8 , então se eu

igualar as duas expressões posso calcular esse número. Assim, posso

fazer

nn 8² =

Como os alunos são da 8.ª série e o projeto será aplicado

no início do ano, é provável que os alunos não saibam resolver a equação

posta. Se isso acontecer, poderei tratar da resolução de equações

incompletas3 do 2° grau e das diversas formas de resolvê-las.

Levantarei a discussão sobre quais as vantagens de se

utilizar a equação para se resolver o problema. É possível que os alunos

percebam que desta forma, qualquer que seja o valor de n , seja ele

grande ou pequeno, os passos da resolução são os mesmos, o raciocínio é

o mesmo.

Após a conclusão da discussão acima passarei a distribuir a

terceira questão.

QUESTÃO 3:

Suponha que o fazendeiro queira fazer um pomar muito maior com

muitas fileiras de árvores. A medida que o fazendeiro aumentar o pomar,

o que crescerá mais rápido: o número de macieiras ou o número de

pinheiros: Explique como você encontrou a sua resposta.

Mais uma vez o problema será entregue e deixarei a cargo

dos próprios alunos articularem uma forma de resolução.

A primeira forma de resolução, provavelmente será o

preenchimento de linhas na tabela. Desta forma, poderão observar o

crescimento do número de macieiras e de pinheiros.

É provável que os alunos pensem crescer mais rápido o

número de pinheiros por ser um produto, ou seja, o número é sempre

multiplicado por 8. Mas deverão perceber que a partir do número 4=n , o

3 Equações do 2.º grau chamadas incompletas são equações que se apresentam na forma 0² =+ bxax , 0² =+ cax ou ainda .

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número de macieiras crescerá mais rápido, pois é uma potência de

expoente 2, ou seja, a representação de um quadrado perfeito.

Outra maneira possível é por meio da construção de

gráficos. Utilizando esta estratégia, o aluno poderá, após completar a

tabela, construir o gráfico correspondente que mostrará que o número de

árvores de macieiras crescerá mais rápido que o número de árvores de

pinheiros. Ele deverá construir uma tabela como a mostrada abaixo:

n Número de macieiras Número de pinheiros

1 1 82 4 163 9 244 16 325 25 406 36 487 49 568 64 649 81 72

10 100 8011 121 8812 144 9613 169 10414 196 11215 225 120

Após a construção da tabela, eles deverão construir o

gráfico correspondente. Provavelmente precisarão de ajuda e poderei

construir no quadro

18

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20

Valores de n

Núm

ero

de

árvo

res

Número de macieirasNúmero de pinheiros

É provável que algum aluno pergunte se pode traçar a linha

ligando os pontos do gráfico sendo esta, uma boa oportunidade para

questionar o que estaríamos representando se traçássemos essa linha. A

idéia é que eles percebam que estaremos considerando todos os Números

Reais em cada intervalo, o que neste caso não se aplica uma vez que

estamos trabalhando com o conjunto dos Números Naturais, então não

podemos considerar, por exemplo, 4,5 árvores, ou seja, quatro árvores e

meia.

Pedirei para que eles me informem uma situação em que

pensam ser possível traçar as linhas num gráfico e a partir daí, farei um

paralelo entre esta situação posta e a informada, no intuito de esclarecer

alguma dúvida que possa vir a surgir. Caso eles não tenham sugestão

alguma, pedirei para que, em casa, encontrem alguma situação onde

podemos traçar uma linha ligando os pontos num gráfico e tragam na

próxima aula.

Partindo da interpretação da tabela e do gráfico que

construímos, concluirei com eles que o crescimento do número de

macieiras é mais rápido porque tem um crescimento exponencial

enquanto o crescimento do número de pinheiros é aritmético.

19

Em cada etapa do trabalho será feita a retomada e

respectiva sistematização dos conteúdos envolvidos.

Referências

CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. 3 ed. Tipografia Matemática: Lisboa, 1951.

NINA, Clarissa Trojack Della; CURY, Helena Noronha. Criação e resolução de problemas que estão nos gibis. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., Recife. Anais...Recife, SBEM, 2004. CD-ROM.

PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2006.

PORTUGAL, Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação./Conceitos Fundamentais em Jogo na Avaliação de Resolução de Problemas./ Disponível em: <http://www.gave.min-edu.pt/np3content/?newsId=33&fileName=conceitos_fundamentais_avaliacao_pisa2003.pdf.> Acesso em dez de 2004.

SCHOENFELD, Alan. Porquê toda esta Agitação Acerca da Resolução de Problemas? In: ABRANTES, P.; LEAL, L. C.; PONTE, J. P.(Eds). Investigar para aprender Matemática. Lisboa: Projecto MPT e APM. 1996, p. 61-72.

ZANIN, Alda de Cássia. MC 05 Estatística e Problemas de Contagem no Ensino Fundamental, Disponível em http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc05.pdf, em 05/02/2008.

Bibliografia Indicada

BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Da Resolução de Problemas para as Atividades de Investigação, 24 de março de 2007. 3 f. Notas de aula. Mimeografado.

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BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Sobre a Resolução de Problemas (I). NOSSO FAZER, Ano 1, n.º5. Secretaria Municipal de Educação, Londrina, 1995. p. 1.

BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Sobre a Resolução de Problemas (II). NOSSO FAZER, Ano 1, n.º6. Secretaria Municipal de Educação, Londrina, 1995. p. 1.

CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. 3 ed. Tipografia Matemática: Lisboa, 1951.

CASTRO, Monica Rabello de. Educação Algébrica e Resolução de Problemas. Disponível em <http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2003/eda/>. Acesso em 18/02/2008.

FRANT, Janete Bolite. Educação Algébrica e Resolução de Problemas. PGM 5 – As Equações e o conceito de função, Disponível em <http://www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2003/eda/text5.htm>. Acesso em 20/02/2008.

KUNZ, Rosibel. Séries Iniciais do Ensino Fundamental: Vivenciando a Matemática através da Resolução de Problemas. Disponível em http://ccet.ucs.br/eventos/outros/egem/relatos/re33.pdf.> Acesso em 02 de Janeiro de 2008.NINA, Clarissa Trojack Della; CURY, Helena Noronha. Criação e resolução de problemas que estão nos gibis. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., Recife. Anais...Recife, SBEM, 2004. CD-ROM.

PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2006.

PAULOVICH, Leonardo. Um Estudo Sobre a Formação de Conceitos Algébricos. Ciência & Educação. Disponível em <http://www2.fc.unesp.br/cienciaeeducacao/include/getdoc.php?id=509&article=142&mode=pdf >. Acesso em 15/02/2008.

PORTUGAL, Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação. Conceitos Fundamentais em Jogo na Avaliação de Resolução de Problemas. Disponível em: <http://www.gave.min-edu.pt/np3content/?newsId=33&fileName=conceitos_fundamentais_avaliacao_pisa2003.pdf.> Acesso em dez de 2004.

RESOLUÇÃO de problemas e investigações. Investigar e Aprender: Porquê investigar na aula de matemática. Disponível em: <http://ia.fc.ul.pt/investigacoes/invmat/probleinvest.htm> Acesso em: 01 fev. 2008.

21

SCHOENFELD, Alan. Porquê toda esta Agitação Acerca da Resolução de Problemas? In: ABRANTES, P.; LEAL, L. C.; PONTE, J. P.(Eds). Investigar para aprender Matemática. Lisboa: Projecto MPT e APM. 1996, p. 61-72.

VIOLA DOS SANTOS, João Ricardo. O que alunos da Escola Básica mostram saber por meio de sua produção escrita em matemática. 2007. 114 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, p. 31 a 43.

ZANIN, Alda de Cássia. MC 05 Estatística e Problemas de Contagem no Ensino Fundamental./ Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc05.pdf>. Acesso em 05/02/2008.

22