P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 1

1. MERNI I IZVEDENI EDINICI VO SI SISTEMOT

^estopati dosega sme se sretnale so razni veli~ini vo matematikata

( dol`ina, plo{tina, volumen ), fizikata (masa, vreme, brzina), hemijata,

biologijata i drugi nauki. Vo odredeni uslovi sekoja od niv mo`e da se okarakterizira so eden pozitiven realen broj-golemina na taa veli~ina.

Poimot golemina e eden od osnovnite poimi vo prirodnite nauki, i ne se definira, tuku se razbira intuitivno, glavno,preku nekoi negovi svojstva.

Pritoa osoznavaweto na edna golemina e mo`no samo vo prisustvo na druga, niz sporeduvawe. Vsu{nost,sporeduvaweto na dve golemini e osnova na sekoe

merewe,koe{to e pojdovna operacija vo prirodnite nauki. Poto~no, mereweto e kvantitativno sporeduvawe na dadena golemina

so nejzinata merna edinica, t . e. so odnapred izbrana edinica merka.

Zna~i, mereweto e operacija koja ka`uva kolku pati mernata edinica E se sodr`i

vo nekoja dadena golemina A. Toa matemati~ki se izrazuva so operacijata delewe, a brojot A/E se vika meren broj za goleminata A. Na primer: 170 e

merniot broj na dol`inata na patot Skopje-Ohrid, vo kilometri. So promena na edinicata za merewe se menuva i merniot broj,no merata osta-

nuva ista (170km=170000m).

Ako merniot broj e racionalen broj, toga{ merenata golemina i izbranata edinica se somerlivi, a ako toj broj e iracionalen,toga{ mere-

nata golemina i izbranata edinica se nesomerlivi. Kako najstari edinici za merewe ~ovekot gi upotrebuval goleminite od svojata neposredna okolina:

palec, peda, ~ekor, ar{in i dr. Neopredelenosta na ovie merki

pretstavuvala golema pre~ka vo razvojot na trgovijata, industrijata i naukata, i ja nametnala potrebata za opredeluvawe na edinstvenite merni

edinici. Vo XIX vek se prifa}aat metar i kilogram kako me|unarodno etaloni-

rani edinici za dol`ina i za masa. Vo po~etokot na XX vek se pristapuva

kon razrabotka na edinstven ME\UNARODEN SISTEM NA EDINICI

(skratena oznaka: SI), za site fizi~ki veli~ini, so cel da gi zameni

dotoga{nite parcijalni sistemi, kako {to se:sistemot CGS (santimetar-

gram-sekunda) {to se koristi vo fizikata, sistemot MKSS (metar-kilogram-

sila-sekunda)koristen vo tehnikata i dr.

Me|unarodniot sistem na edinici (SI ) vo svojot kone~en oblik e usvoen 1960 godina, a kaj nas vo 1961 godina e donesen Zakon za merni edinici

i merila so koj e usvoen SI i negovoto koristewe vo javniot soob-ra}aj, so

{to se dopu{ta koristewe i na drugi edinici. Me|unarodniot sistem edinici poa|a od faktot deka za fizikata i

tehnikata e potrebno da se usvojat samo sedum osnovni veli~ini i za niv da se definiraat edinicite; site drugi veli~ini se pojavuvaat kako izvedeni, vrz

osnova na fizi~kite zakoni, a isto taka, i nivnite edinici. Zna~i,

Me|unarodniot sistem edinici go so~inuvaat osnovni i izvedeni merni edinici.

Osnovnite merni edinici vo SI se dadeni vo slednava tabela:

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 2

Edinica

Znak

Veli~ina

Metar m dol`ina

Kilogram kg masa

Sekunda s vreme

Amper A ja~ina na elektri~na struja

Kelvin K termodinami~ka teperatura

Kandela cd svetlosna ja~ina

Mol mol koli~ina na materija

Od ovie edinici se izvedeni drugi: wutn (N) za sila, xul (J) za rabota

i energija, vat (W) za snaga, volt (V) za elektri~en napon, herc (Hz) za frek-

vencija, kulon (C ) za elektricitet, om ( Ω) za elektri~en otpor, tesla (T) za

magnetna indukcija, paskal (Pa) za povr{inski pritisok, farad (F) za elektri~en kapacitet i dr. Na primer: pritisok od eden paskal e onoj

pritisok {to go pravi sila od eden wutn na eden metar kvadraten. Pogolemi ili pomali od osnovnite ili izvedenite merni edinici se

obrazuvaat so decimalno mno`ewe ili delewe na istite. Nazivite na

prefiksite, nivnite oznaki i brojnite vrednosti se dadeni vo slednava tabela:

Naziv na prefiksot

Oznaka

Broj na vrednost

na prefiksot

Eksa E 1018

Peta P 1015

Tera T 1012

Giga G 109

Mega M 106

Kilo k 103

Hekta h 102

Deka da 101

Deci d 10-1

Centi c 10-2

Mili m 10-3

Mikro μ 10-6

Nano n 10-9

Piko p 10-12

Femto f 10-15

Ato a 10-18

Prefiksot i nazivot na mernata edinica se pi{uvaat zaedno kako

eden zbor (kilometar, mikrofarad, itn.). Oznakite na edinicite se

pi{uvaat bez to~ka na krajot i odvoeno od brojnata vrednost ( 25 s, 77 kg, 60 W, 220 V, itn.).

Vo nekoi zemji se zadr`ale i drugi edinici, dodeka i zemjite koi go

prifatile Me|unarodniot sistem i ponatamu koristat nekoi drugi edinici.

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 3

Merni edinici koi ne pripa|aat na Me|unarodniot sistem (SI), a mo`at da se

upotrebuvaat i kaj nas, se slednive:

- ar (oznaka: a) = 100 m2 - za plo{tina;

- hektar (ha) = 10000 m2- za plo{tina;

- litar (l) = 1 dm2 - za volumen; - tona (t) = 1000 kg- za masa;

- stepeni Celziusovi (oS) - za termodinami~ka temperatura,( 0oS

=273,15 K) - bar (bar) = 105Pa- za pritisok (vo meteorologijata i medicinata ).

Ne se odobruva upotrebata na slednive edinici:

- mikron ( ) =10-6 m – za dol`ina;

- registarski toni = 2,8321m2 - volumen; - kvintal ili metarska centa = 100 kg - za masa.

Primer 1: Kolkav del e santimetarot od kilometarot?

Re{enie: Stoiljadapati.

Primer 2: Kolku kvadratni metri ima: a) 1 ar; b) 1 hektar?

Re{enie: a) 100 m2 b)10000 m2

Primer 3: Kolku ari ima eden hektar?

Re{enie: 100 a.

Primer 4: Kolku kvadratni milimetri ima eden kvadraten metar?

Re{enie: 1000000 mm2

Primer 5: Kolku kubni milimetri sodr`i eden kuben santimetar?

Re{enie: 1000 mm3

Primer 6: Kolku kubni santimetri ima eden litar?

Re{enie: 1000 cm3

IMENUVANI BROEVI

Poimot broj, vo matematikata kako nauka, e eden od najapstraktnite

poimi. Vo praktikata, do poimot broj naj~esto doa|ame pri izmeruvawe na

nekoi, glavno, materijalni, fizi~ki golemini. Sekoja od ovie golemini, kako {to znae{, mo`e da se osmisli so nekoj realen broj, t.n. meren broj na

taa golemina. Na primer: 175 cm, 54 kg, 16 godini, 20 dinari,72 l i dr. Ovie

broevi se narekuvaat imenuvani broevi, bidej}i po brojot stoi imeto na edinicata ili nejzinata oznaka.

Od imenuvanite broevi razlikuvame: istoimeni (2 m i 3 m); istorodni (2 m i 5 cm); ednoimenuvani i pove}eimenuvani (1 m i 75 cm). Od dva

istorodni imenuvani broevi edniot e sekoga{ od povisok red.Na primer od

2 m i 5 cm, brojot 2 m e od povisok red, a brojot 5 cm e od ponizok red.

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 4

Sekoj pove}eimenuvan broj mo`e da se pretvori vo ednoimenuvan broj,

i obratno, ednoimenuvaniot broj mo`e da se pretvori vo pove}eimenuvan broj, samo ako sodr`i edinica od povisok red.

Pretvoraweto na edinicite od povisok vo ponizok red se vika rezolvirawe, a obratnata postapka se vika reducirawe.

Ako vrskata pome|u edinicite od povisok i ponizok red e dekadna, toga{ rezolviraweto ili reduciraweto e ednostavno.Zada~ata se uslo`uva

koka se raboti za vremenskite edinici ili za nekoi stari merni edinici {to se upotrebuvaat vo Velika Britanija.

Primer 1: Izrazi 0,54 godini preku poniski edinici. Re{enie: Imame po red:

0,54 godini=0,54·12meseci=6,48 meseci,

0,48 meseci=0,48·30 denovi=14,4 denovi,

0,4 dena=0,4·24 ~asovi = 9,6 ~asovi,

0,6 ~asa = 0,6·60 minuti=36 minuti.

Sledstveno:

0,54 godini = 6 meseci, 14 denovi, 9 ~asovi i 36 minuti.

Primer 2: Kolku denovi ima vo 16 godini,7 meseci, 13 denovi, 8 ~asovi

i 24 minuti.

Re{enie: Vo ovaa zada~a }e izvr{ime i reducirawe (~asovite i minu-

tite }e gi pretvorimi vo denovi)i rezolvirawe(godinite i mesecite }e gi pretvorime vo denovi). Zada~ata }e ja re{ime so postepeno pretvorawe na

sekoja edinica vo prvata sosedna edinica, a ne direkno kako vo prethodnite dva primera.

a) 16 god.=16·12 mes.=192 mes.

+ 7 mes.

--------------------- 199 mes.·30 denovi = 5970 denovi

+ 13 denovi

--------------------------- 5 983 denovi.

b) 24 min: 60 =0,4h

+ 8h

---------------- 8,4h : 24=0,35 dena.

Spored toa, imame:

16 godini, 7 meseci, 13 denovi, 8 h 24 min = 5983,35 denovi.

Primer 3: Kolku minuti,~asovi i denovi ima vo 333 222 sekundi?

Re{enie: Zada~ata mo`eme da ja re{ime na dva na~ina:

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 5

I) 333 222 s 5 553min 92h

---------------- : 60 = -------------- : 60 = -------- : 24 = 3 d Ost. 42 s 33 min 20h

Zna~i, 333 222 s = 3 d 20 h 33 min 42 s.

I) 333 222 s : 86 400 = 3,8567361 d.Toga{:

0,8567361 d =0,8567361·24 h = 20,5616667 h 0,5616667 h =0,5616667·60 min = 33,7 min

0,7 min = 0,7·60 s = 42s. Zna~i: 333 222s =3d 20 h 33 min 42 s.

Na nekolku primeri }e poka`eme kako smetame so imenuvani broevi. Primer 4: Vo rabotnata kni{ka na eden rabotnik pi{uva deka toj vo

edno pretprijatie rabotel 3 godini, 8 meseci i 25 denovi, vo drugo 4 godini, 7

meseci i 21 den, a vo treto pretprijatie 7 godini, 4 meseci i 17 denovi. Kolkav e vkupniot raboten sta` na rabotnikot?

Re{enie: Pri sobirawe (ili odzemawe) na pove}eimenuvanite broevi

tie se pi{uvaat eden pod drug, taka {to istoimenite golemini da bidat edna

pod druga, a potoa se sobiraat (ili odzemaat). Vo na{iov primer imame:

3 god. 8 mes. 25 denovi 4 god. 7 mes. 21 denovi

7 god. 4 mes. 17 denovi --------------------------------------------------

15 god. 9 mes. 3 dena

(bidej}i 63 denovi =2 meseci i 3 dena; (19 +2) meseci = 1 godina i 9 meseci).

Primer 5: Presmetaj kolku e (52 m, 36 cm, 8 mm)·15. Re{enie: Prv na~in.

(52 m 36 cm 8 mm)·15=780 m 540 cm 120 mm

=785 m 52 cm. Vtor na~in: Bidej}i 52 m 36 sm 8 mm= 52 368 mm }e imame

( 52 m 36 sm 8 mm)·15 = 52 368 mm·15

= 785 520 mm

= 785 m 52 sm.

PROPORCIONALNI VELI^INI

I. Razmeri i proprorcii

- Osnovni poimi i definicii Neka se dadeni dve istorodni veli~ini, ~ii merni broevi a i b se

izrazeni so ista edinica merka.Koga gi sporeduvame tie veli~ini ~esto

se pra{uvame: a) Kolku pati ednata veli~ina e pogolema od drugata, ili

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 6

b) Kolkav del ednata veli~ina pretstavuva od drugata veli~ina?

Za da odgovorime na postavenite pra{awa, treba merniot broj na ednata veli~ina da go podelime so merniot broj na drugata veli~ina, odnosno

treba da go sostavime koli~nikot a:b ,

b

аили (b ≠ 0).

Definicija I

Pod poimot razmer ili odnos na dve veli~ini se podrazbira koli~nikot a:b ili (a/b) na mernite broevi na dve ednorodni veli~ini.

Broevite a i b se ~lenovi na razmerot, poto~no a se vika prv ~len a b se

vika vtor ~len na razmerot. Vrednosta na presmetaniot koli~nik se vika

vrednost na razmerot. Bidej}i razmerot e koli~nik site svojstva na koli~-nikot se prenesuvaat na razmerot. Vo taa smisla, verednosta na razmerot ne

se menuva, ako dvaat nekovi ~lenovi se pomno`at ili podelat eden ist broj, razli~en od nula.

Primer 1: Razmeri ~ii ~lenovi se dropki mo`eme da gi zamenime so

raz- meri ~ii ~lenovi se se prirodni broevi. Taka na primer:

4:563

2:6

6

5

3

2:

6

5

Odnosite a:b i b:a, koi se razlikuvaat samo po mestata na svoite ~lenovi, se

vikaat zaemno obratni razmeri. Primer 2: Razmerite 8:5 i 5:8 se zaemno obratni razmeri.

Primer 3: Razmerite a:b i ba

1:

1 se zaemno obratni, bidej}i:

ababb

ababa

:1

:11

:1

Teorema 1: Proizvodot na dva zaemno obratni razmeri e ednakov na

edinica.

Dokaz: Sleduva od:

(a:b).(b:a)= 1ba

ab

a

b

b

a

Primer 4:

15

8

8

5

Definicija II

Dva razmeri so ednakvi vrednosti svrzani so znakot za ravenstvo so~inuvaat proporcija.

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 7

Ako e dadena proporcijata a : b = c : d, toga{ velime deka a sprema b

se odnesuva kako c sprema d, ili razmerot a sprema b e ednakov na razmerot c

sprema d.

Primer 5: Slednive ravenstva se primeri na proporcii:

a) 12 : 3 = 20 : 5, bidej}i 12 : 3 = 4 i 20 : 5 = 4;

b) ,10:6

53:

4

1 bidej}i

12

13:

4

1 i

12

110:

6

5 ;

v) 1,2 : 0,4 = 4,5 : 1,5, bidej}i 1,2 : 0,4 = 3 i 4,5 : 1,5 = 3.

Sekoja proporcija se sostoi od ~etiri ~lena, koi od levo na desno

redosledno se narekuvaat prv, vtor, treti, ~etvrti ~len na proporcijata.

Prviot i ~etvrtiot ~len na proporcijata se vikaat nadvore{ni ~lenovi na proporcijata, dodeka vtoriot i tretiot ~len se vikaat vnatre{ni ~lenovi

na proporcijata.Taka, vo proporcijata a : b = c : d nadvore{ni ~lenovi se a i d, dodeka vnatre{ni se b i c. Bilo koj od ~etirite ~lena na dadena propor-

cija se vika ~etvrta proporcionala na ostanatite tri ~lena na propor-

cijata. Primer 6:Vo proporcijata 3 : 15 = 5 : 25 broevite 3 i 25 se nadvore{ni

~lenovi na proporcijata, dodeka broevite 15 i 5 se vnatre{ni ~lenovi na

proporcijata. Brojot 3 e ~etvrta proporcionala na broevite 15, 5 i 25 vo toj redosled.

Mo`e da se slu~i dvata vnatre{ni ili dvata nadvore{ni ~lena na edna proporcija da se ednakvi. Proporcijata a : b = b : c vo koja dvata vnat-

re{ni ~lena se ednakvi se vika neprekinata proporcija. Takva e, na primer,

proporcijata 4:6=6:9.Sredniot ~len na neprekinatata proporcija a:b=b:c se

narekuva sredna geometriska proporcija ili geometriska sredina na

broevite a i c.

Svojstva na proporciite

Svojstvo 1: Proizvodot na nadvore{nite ~lenovi na edna proporcija

e ednakov na proizvodot na vnatre{nite ~lenovi na proporcijata. Dokaz: Ako e dadena proporcijata: a/b=c/d, i ako gi pomno`ime dvete

nejzini strani so proizvodot bd dobivame a/b∙bd=c/d∙bd, odnosno ad=bc.

Primer 7: Vo proporcijata 7:21=2:6 va`i 7∙6=42=21∙2.

Svojstvo 2. Ako proizvodot na dva broja razli~ni od nula e ednakov na proizvodot na drugi dva broja , toga{ od tie ~etiri broja mo`e da se

sostavi proporcija. Dokaz: Ako se dadeni broevite a, b, c i d taka {to ad=bc≠0, i ako

dvete strani na ravenstvoto ad=bc gi podelime so proizvodot bd, }e ja

dobieme proporcijata: ..,, eтd

c

b

a

bd

bc

bd

ad a:b=c:d.

Primer 8: Od broevite 2,3,6 i 9 mo`e da se sostavi proporcija, bidej}i

2∙9=3∙6.Proporcijata }e glasi: 2:3=6:9.

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 8

Svojstvo 3: Edna proporcija ostanuva vistinita, ako eden nadvore{en

i eden vnatre{en ~len, ili site nejzini ~lenovi se pomno`at ili podelat so eden ist realen broj razli~en od nula.

Dokaz: Od proporcijata a:b=c:d, za proizvolen realen broj m 0 mo`e da se dobijat proporciite:

(am):(bm)=c:d; a:b=(cm):(dm); (am):b=(cm):d;

a:(cm)=c:(dm)

i (am):(bm)=(cm):(dm).

Site ovie proporcii se to~ni bidej}i kaj sekoj od niv proizvodot na

krajnite ~lenovi e ednakov na proizvodot na srednite ~lenovi.Ova svojstvo

~esto se koristi za uprostuvawe na proporciite i toa:koga nekoi od ~leno-

vite na proporcijata se dropki ili decimalni broevi,ili koga eden vnatre-{en i eden nadvore{en ~len ili site ~lenovi na proporcijata imaat zaed-

ni~ki mno`itel. Pod re{avawe na proporcijata se podrazbira odreduvawe na nepoz-

natiot ~len vo nea, koga se poznati ostanatite tri ~lena. Primer 9: Da se opredeli nepoznatiot ~len vo proporcijata 8:5=h:7,5.

Re{enie: So primena na osnovnoto svojstvo na proporciite, imame:

5∙h=8∙7, 5 odnosno 5∙h=60, od kade sleduva deka h=12.

IZVEDENI PROPORCII. PRODOL@ENI PROPORCII

Da istakneme u{te nekoi svojstva na proporciite, so ~ija pomo{

odelni zada~i mo`at mnogu ednostavno da se re{at.

Od proporcijata d

c

b

a sleduva

11 d

c

b

aili .

d

dc

b

ba

Zna~i, od osnovnata proporcija a: b = c: d ja izvedovme proporcijata:

(1) (a + b) : b = (c +d):d.

Na sli~en na~in mo`e da se izvede i propircijata:

(2) (a - b) :b =(c- d);d.

Poslednive dve proporcii mo`eme da gi zapi{eme vo vidot:

(1’) (a + b): (c +d)= b : d (2’) (a – b) : (c – d )= b :d,

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 9

od kade {to neposredno sleduva proporcijata:

(3) (a +b):(c+d)=(a-b):(c-d).

Proporciite (1), (2), (1”), (2”), (3) se vikaat izvedeni proporcii od osnovnata

proporcija a:b=c:d.

Primer 1: Re{i ja proporcijata (15 - h) : h = 3 : 2

Re{enie: Prv na~in: Vtor na~in

2(15 -h)=3h (15 - h +h):h=(3+2):2

30 - 2h = 3 h 15 : h = 5 : 2 30 = 5 h 3 : h + 1 : 2

h=6 h=6

Primer 2: Doka`ija implikacijata:

(a +b+c+d) : ( a - b + c - d ) = (a + b - c - d) : (a - b - c + d)

a:b=c:d.

Re{enie: Spored (3) imame:

(a+b+c+d+a-b +c-d) : (a+b+c+d-a +b-c+d)=

=(a+b-c-d+a-b-c+d) : (a+b-c-d-a+b+c-d) 2(a+c) : 2(b+d)=2(a-c) : 2 (b-d)

(a+c) : (a – c) = (b+ d) : (b-d). Ako u{te edna{ ja iskoristime (3), dobivame:

(a + c + a – c ) : (a+ c- a+ c)= (b+d+b-d):(b+d-b+d) 2a: 2c = 2b : 2d a : b = c:d.

]e spomeneme sega u{te eden vid proporcii i nivnoto svojstvo.

Definicija 1: Ravenstvoto na tri ili pove}e ednakvi razmeri se vika

prodol`ena proporcija, t.e.

n

n

b

a

b

a

b

a

2

2

1

1

Prodol`enite proporcii se zapi{uvaat i na sledniov na~in:

a1 : a2:... ..: an = b1 : b2:....:bn

Svojstvo 4: Zbirot na site prvi ~lenovi na razmerite kaj prodol-

`enata proporcija sprema zbirot na site vtori ~lenovi se odnesuva isto

kako i koj i da bilo prv ~len sprema negoviot soodveten vtor ~len.

Dokaz:Ako vrednosta na ednakvite razmeri ja ozna~ime so k, t.e ako

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 10

kb

ak

b

a

2

2

1

1 ; ;.......; kb

a

n

n

toga{

a1 = kb1 ; a2 = kb2; ....an = kbn

So sobirawe na soodvetnite strani od poslednite ravenstva dobivame:

a1+ a2 +....+an = k ( b1+b2+....+bn),

od kade {to sleduva

n

n

n

n

b

a

b

a

b

ak

bbb

aaa...

...

...

2

2

1

1

21

21

Na primer: 15

9

10

6

5

3 . Op{to, ako k

b

ak

b

a

2

2

1

1 ; ;.......; kb

a

n

n

Primer 3: Najdigi h i y od proporcijata

h : 4 = 6 : y = 3 : 2 , Re{enie: Od dadenata proporcija mo`eme da gi sostavime slednive

proporcii:

h : 4 = 3 : 2 i 6 : y = 3 : 2,

od kade {to h = 6 , y = 4.

Primer 4: Obrazuvaj prodol`ena proporcija od proporciite:

a : b = 4 : 5, b:c =5:7, c :d = 7 : 3 , Re{enie: Od prodol`enata proporcija a : b : c : d = x : y : z : t mo`eme da

gi obrazuvame proporciite :

a : b = x : y , b : c = y : z , c : d = z : t . Sporeduvaj}i gi dadenite i dobienite proporcii dobivame:

a : b : c : d = 4 : 5 : 7 : 3

Primer 5 : Razdeli go brojot 720 na tri dela {to se odnesuvaat kako 7: 12 : 17.

Re{enie:Prv na~in:Ako h, y i z se baranite delovi,toga{ od uslovite

na zada~ata dobivame : x : y : z = 7 : 12 :17 i x + y + z = 720

Spored toa dobivame:

.17127

2036

720

17127

zyxzyx

Od kade {to: h =140 , y = 240 , z = 340.

Vtor na~in : neka delovite se 7k, 12 k ,17 k , kade {to k e koeficient

na proporcionalnosta, toga{: 7k +12 k 17 k = 720, 36 k = 720, k = 20,

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 11

pa baranite delovi se:

- prviot del: 140207

- vtoriot del: 12 24020

- tretiot del: 17 34020

------------------------------------------

Vkupno: 720

I I. Prava i obratna proporcionalnost -Prava proporcionalnost Edna od najprostite i naj~esto sre}avani zavisnosti pome|u dve

promenlivi veli~ini e takanare~enata prava proporcionalna zavisnost na veli~inite. Definicija 1:

Dve promenlivi velei~ini A i V se nao|aat vo prava proporcionalna

zavisnost ako razmerot na koi i da bilo dve proizvolni dopu{teni vred-nosti od ednata veli~ina e ednakov na razmerot na soodvetnite vrednosti od

drugata veli~ina.

Primer 1:Ako 1 kilogram jabolka ~ini 30 denari, kolku }e ~inat 2, 3, 4, 5.......kilogrami jabolka pregledno e prestaveno na tabelata:

Koli~estvo

Jabolka vo kg

1 2 3 4 5 6 7 .....

Vrednost vo denari

30 60 90 120 150 180 210....

Od tuka zaklu~uvame deka: 1: 2=30 : 60; 2: 3=60 : 90; 3 : 4=90 : 120 i t. n.Od tabelata go zaklu~uvame slednovo: koga ednata veli~ina (koli~estvoto) }e se

zgolemi 2, 3, 4, 5.... pati, toga{ i drugata veli~ina (vrednosta na stokata) }e se zgolemi isto tolku pati i obtatno.

Zna~i, pome|u koli~estvoto na nekoja stoka i vrednosta na stokata postoi pravna proporcionalna zavisnost. Veli~inite pome|u koi postoi

prava proporcionalna zavisnost se vikaat pravo proporcionalni veli~ini. Primer 2:Pravo proporcionalni veli~ini se: Dol`inata na kru`-

nata linija i nejziniot radius; perimetarot na kvadrat i negovata strana; te`inata i volumenot na edno telo pri postojana temperatura; izminatiot

pat pri ramnomerno pravolinisko dvi`ewe i vremeto za koe e izminat toj pat; brojot na rabotnicite i izvr{enata rabota od niv i.t.n.

Neka X i Y se dve pravo proporcionalni veli~ini. Ako x1, x2, x3,.......xn

se nekolku proizvolni dopu{teni vrednosti na veli~inata X, a y1, y2,

y3,.......yn ce soodvetnite vrednosti na veli~inata Y, toga{, soglasno gornata definicija imeme:

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 12

y1 : y2 = x1 : x2

y2 : y3 = x2 : x3

y3 : y4 = x3 : x4

-------------------------------------- yn-1 : yn = x n-1 : x n

Od ovie proporcii sleduva prodol`enata proporcija:

y1 : y2 :……. yn= x1 : x2 : ……… x n

odnosno:

kx

y

x

y

x

y

x

y

x

y

n

n .....4

4

3

3

2

2

1

1

So toa ja doka`uvame slednata teorema.

Teorema 1: Sekoga{, odnosot na soodvetnite vrednosti na dve pravo proporcionalni veli~ini e konstanten broj. Toj broj k se narekuva koefi-

cient na proporcionalnost na pravo proporcionalnite veli~ini X i Y.

-Obratna proporcionalnost

Definicija 2: Velime deka dve promenlivi veli~ini A i V se nao|aat

vo obratna proporcionalna zavisnost, ako razmerot na koi i da bilo dve

proizvolni dopu{teni vrednosti od ednata veli~ina e ednakov na obratniot razmer od soodvetnite vrednosti na drugata veli~ina.

Veli~inata pome|u koi postoi obratna proporcionalna zavisnost se vikaat obratno proporcionalni veli~ini.

Neka X i Y se dve obratno proporcionalni veli~ini. Ako x1, x2,

x3,.......xn se nekolku proizvolni dopu{teni vrednosti na vele~inata H, a, y1,

y2, y3,.......yn se soodvetnite vrednosti na veli~inata Y, toga{, soglasno gornata definicija imame:

y1 : y2 = x2 :x1 y1 : y3 = x3 :x1

y1 : y4 = x4 :x1

-------------------------------------- y1 : yn = x n:x1

Primenuvaj}i go osnovnoto svojstvo vrz gornite proporcii, dobivame:

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 13

x1 :y1 = x2 :y2 = x3 :y3 = x4 :y4 =... = xn :yn = k.

So toa ja doka`avme slednata teorema.

Teorema 2: Proizvodot na soodvetnite vrednosti na dve obratno proporcionalni veli~ini e postojan (konstanten) broj.

Brojot k se narekuva koeficient na proporcionalnost na obratno

proporcionalnite veli~ini X i Y.

Primer 3: Neka rastojanieto me|u dva grada e 120 km. Toa mo`e da se

izmine za razli~no vreme vo zavisnost od brzinata na dvi`eweto. Za da ja ispitame zavisnosta pome|u brzinata i vremeto potrebno za izminuvawe na

patot, }e ja sostavime slednava tabela:

Brzina

vo km na ~as 5 10 15 20 30 60 120

Vreme vo ~asovi 24 12 8 6 4 2 1 ...

Patot vo km 120 120 120 120 120 120 120...

Od tabelata zabele`uvame deka:

5 : 10 = 12 : 24 ; 5 : 15 = 8 : 24

5 : 30 = 4 : 24 ; 15 : 60 = 2 : 8 i.t.n, odnosno

5 ∙24 = 10∙12 = 15∙8 = 20∙6 = 30∙4 = ...=120∙1 =120

Ako od tabelata gi razgledame soodvetnite vrednosti na ednata i drugata veli~ina, mo`eme da zaklu~ime deka koga ednata veli~ina (brzi-

nata) }e se zgolemi za 2, 3, 4,...pati, toga{ drugata veli~ina }e se namali isto

tolku pati i obratno. Primer 4: Obratna proporcionalna zavisnost postoi pome|u

veli~inite: pritisokot i volumenot na odredenoto koli~estvo gas pri

postojana temperatura (Boil-Mariotov zakon); brojot na rabotnicite i vremeto za koe tie izvr{uvaat opredelena rabota; vrednosta na dropkata i

nejziniot imenitel, pri eden ist broitel; dol`inata i {irinata na

pravoagolnikot, pri posto-jana plo{tina; brojot na lu|eto i vremeto za koe tie mo`at da se prehranat so opredeleno koli~estvo hrana; koli~estvoto i

cenata na stokata {to mo`e da se kupi so odreden iznos pari i.t.n

TROJNO PRAVILO

Svojstvata na proporciite i proporcionalnite veli~ini nao|aat golema primena vo re{avaweto na zada~i od sekojdnevniot `ivot. Toe se

zada~i vo koi koga e dadena vrednosta na nekoja veli~ina A i soodvetnata vrednost na druga veli~ina V, so koja veli~ina A e pravo ili obratno

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 14

proporcionalna, se bara da se odredi onaa vrednost na ednata od veli~inite,

{to soodvetstvuva na poznatata vrednost na drugata veli~ina. Zada~ite od vakov vid se vikaat zada~i od trojno pravilo. Nazivot "trojno pravilo"

poteknuva od tamu {to vo zada~ite vrz osnova na tri poznati brojni vred-

nosti na dve proporcionalni veli~ini se odreduva ~etvrtata barana vred-nost na edna od tie veli~ini.

Primer 1: Edna zemjodelska zadruga od 4 ha lozje nabrala 68 toni

grozje. Zadrugata imala vkupno 15 ha lozje na rod. Kolku toni grozje nabrala?

Re{enie: Vo zada~ata se pojavuvaat dve veli~ini: plo{tinata na

lozjeto i nabranoto koli~estvo grozje. Bidej}i koli~estvoto grozje e pravo proporcionalno na plo{tinata na lozjeto, odnosot na plo{tinata na

lozovite nasadi }e bide ednakov na odnosot na soodvetno nabranite koli-~estva grozje od niv. Ako baranoto koli~estvo grozje go ozna~ime so h,

mo`eme da ja sostavime slednata proporcija:

4 : 15 = 68 : h, od kade {to sleduva deka h = 2554

1568

toni.

Toa mo`e pregledno da se zapi{e na sledniot na~in:

od 4 ha 68 t grozje

od 15 ha h t grozje

--------------------------------------------------------

h : 68 = 15 : 4 , h = 68 2554

15 toni.

Zaklu~ivme deka od 15 ha lozje zadrugata }e nabere 255 toni grozje.

Ednata strelka sekoga{ po~nuva od h i e naso~ena nagore, a drugata strelka ja naso~uvame isto nagore, ako dvete veli~ini se pravoproporcionalni; ili

nadolu ako dvete veli~ini se obratno proporcionalni edna na druga. Posta-

vuvaweto na strelkite ne e zadol`itelno, no tie vo golema mera go olesnu-vaat sostavuvaweto na proporcijata.

Primer 2: Od nekoe koli~estvo pre|a mo`e da se istkae 92 m platno

{iroko 140 sm. Kolku metri platno }e se istkae od istoto koli~estvo pre|a, ako platnoto e {iroko 80 sm?

Re{enie: Dvete veli~ini: dol`inata i {irinata na platnoto {to

mo`e da se istkae od istoto koli~estvo pre|a, se obratno proporcionalni

edna na druga. Zatoa, odnosot na koi i da bilo dve vrednosti od ednata veli~ina }e bide ednakov na obratniot odnos od soodvetnite vrednosti na

drugata veli~ina, odnosno:

h : 92 = 140 : 80, od kade {to sleduva deka h = 16180

14092

.

Uslovot i re{enieto na zada~ata popregledno go zapi{uvame na sledniot na~in:

92 m dolgo platno ako e 140 sm {iroko h m dolgo platno ako e 80 sm {iroko

----------------------------------------------------------------------

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 15

H : 92 = 140 : 80 , h = 92 16180

140 metar.

Zaklu~ivme deka od istoto koli~estvo pre|a }e se istkaat 161 m

platno {iroko 80 sm.

PROCENTNA I PROMILNA SMETKA Vo praktikata e voobi~aeno razni uspesi ili neuspesi, porastot ili

opa|aweto na cenite na stokite,ili proizvodstvoto da se iska`uvaat so specijalni vidovi na razmeri.

Definicija 1. Razmerot od oblik a : 100 (a : 1000) se narekuva procent (promil), i se ozna~uvava so a % ( 0/00 ).

Bidej}i procentot (promilot) e pred se razmer, site svojstva na raz-

merot se prenesuvaat i na procentot, no smetaweto so procenti zaradi svojata specifi~nost i va`nost go nosi imeto procentna smetka (promilna

smetka). Primer 1: Na eden u~ili{en natprevar po biolofija Ana to~no odgo-

varala na 17 pra{awa od vkupno postavenite 25 pra{awa. Na istiot natp-

revar Marija dala to~en odgovor na 13 pra{awa od vkupno postavenite 20 pra{awa. Koja od natprevaruva~kite poka`ala podobar rezultat.?

Re{enie:Ana odgovorila na 17 pra{awa od vkupno 25 pra{awa. Rezu-

ltatot mo`eme da go izrazime so razmerot. 17:25 Analogno, rezultatot na Marija koj se sostoi od 13 odgovoreni pra{awa od vkupno 20, mo`eme da go

izrazime so razmerot 12:20. Sega odgovorot na postavenoto pra{awe se sveduva na zaklu~okot dali razmerot 17:25 e pogolem ili pomal od razmerot

13 : 20? Da gi sostavime slednite proporcii:

Ana: 10025

17 x od kade {to sleduva deka h = 68.

Marija: 10020

13 y od kade {to sleduva deka y = 65.

Zna~i, rezultatot na Ana od 25

17e ekvivalenten so

100

68, dodeka

rezultatot na Marija od 20

13e ekvivalenten so

100

65.

Spored toa, Ana poka`ala podobri rezultati na testot, bidej}i to~no odgovorila na 68% od postavenite pra{awa za razlika od Marija koja

odgovorila to~no na 65% od postavenite pra{awa.

Od napravenata diskusija mo`eme da zaklu~ime deka procentnata smetka e

dobra alatka za sporeduvawe na dva ili pove}e razmeri. ^esto pati vo sekojdnevniot `ivot se pojavuva potreba od opredeluvawe na del od

koli~estvoto izrazen vo procenti. Primer 2: Irina imala 500 denari. Za kolku denari se nagolemilo

najzinoto saldo ako na igra na sre}a dobila 12% od vkupnata suma pari {to

ja poseduvala?

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 16

Re{enie: Znaeme deka 12% e vsu{nost razmerot 12:100. Re{enieto na

zada~ata se sveduva na opredeluvawe na razmer od oblikot h : 500 ekvivale-nten so razmerot 12:100. Od proporcijata 12:100 = h : 500 dobivame deka h = 60

denari.

^esto pati vo prodavnica ~itame natpisi od vidot "namalenie od 15% na site proizvodi". Se razbira, nestrplivi sme da ja doznaeme novata cena na

proizvodot {to sakame da go kupime.

Primer 3: Neka kologram ~okolado ~ini 450 denari. Ako cenata na

~okoladoto se namalila za 5%, kolku }e ~ini kologram ~okolado? Re{enie: Namalenieto od 5% zna~i deka za kilogram ~okolado treba

da platime (100-5)%, odnosno 95% od postoe~kata cena na ~okoladoto. Sega

problemot se sveduva na problem iznesen vo predhodnata zada~a. Toa zna~i, da se opredeli razmer od oblik h : 450 ekvivalenten na razmerot 95 : 100. So

postavuvaweto na proporcijata 95 : 100 = h : 450 dobivame deka, kilogram ~okolado po novata cena }e ~ini 427,5 denari.

Slednata zada~a e interesen primer za nao|awe na celo koli~estvo, ako se znae negov del iska`an vo procenti.

Primer 4: Nastavnikot po matematika konstantiral deka vo klasot se

otsutni 75% od u~enicite. Na sledniot ~as, pod pretpostavka deka brojot na u~enici vo klasot ostanal nepromenet, nastavnikot po biologija voo~il

deka se otsutni 18 u~enici od klasot. Kolku u~enici broi klasot? Re{enie: Znaeme deka 75% e vsu{nost razmerot 75:100. Re{enieto na

zada~ata se sveduva na opredeluvaweto na razmer od oblikot 18:h ekviva-

lenten so razmerot 75:100. Od proporcijata 75:100=18:h dobivame deka h=24, odnosno klasot broi 24 u~enici.

Na kraj da zabele`ime deka analogni zada~i na zada~ite 1 - 4 mo`e da

se re{at so primena na promilnata smetka, vo slu~aj koga uslovite vo zada~ata se zadadeni vo promili. DELBENA SMETKA Drug vid zada~i, vo koi nao|aat primena svojstavata na proporciite se zada~ite od proporcionalnoto delewe ili delbena smetka. Toa se zada~i

vo koi dadena veli~ina ili mno`estvo treba da se razdeli na delovi, {to }e

bidat pravo ili obratno proporcionalni na odnapred zadadeni broevi. Spored toa, tie mo`e da bidat zada~i od pravo proporcionalno delewe ili

obratno proporcionalno delewe.

Pravo proporcionalno delewe Primer 1: Da se razdeli brojot 370 na tri dela, {to }e bidat pravo proporcionalni na broevite 2, 3 i 5!

Re{enie: Brojot 370 treba da se razdeli na tri dela (sobiroci) takvi

{to prviot del da se odnesuva sprema vtoriot kako 2 : 3, vtoriot kon tretiot kako 3 : 5, a prviot kon tretiot kako 2 : 5. Ako baranite tri dela soodvetno

gi ozna~ime so x1, x2, x3,., toga{:

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 17

x1:x2= 2 : 3, x2:x3 = 3 : 5, x1: x3= 2 : 5

Od ovie proporcii sleduva prodol`enata proporcija:

x1: x2: x3= 2 : 3 : 5, odnosno 532

321 xxx .

Ottuka, soglasno svojstvata na prodol`enite proporcii, }e imame:

532

321 xxx =

532

321

xxx.

No, bidej}i x1+x2+x3= 370, a 2 + 3 + 5 = 10, dobivame deka:

2

1x;

10

370

510

370

3;

10

370 32 xx

i

pa ottuka dobivame: x1= 185510

370,1113

10

370,742

10

37032 xx .

Spored toa, mo`eme da zaklu~ime deka, daden broj se deli na delovi

{to se pravo proporcionalni na nekolku dadeni broevi, koga toj }e se podeli so zbirot na tie broevi, pa dobieniot koli~nik se pomno`i oddelno

so sekoj od tie broevi.

Primer 2: Da se razdeli brojot 540 na ~etiri delovi pravo proporcio-nalni na broevite

!4

3

6

5;

2

11;

3

2и .

Re{enie: Ako baranite delovi gi ozna~ime so x1,x2,x3 i x4 }e dobieme:

x1:x2:x3 :x4 =4

3:

6

5:

2

11:

3

2.

Pred da prodol`ime so re{avawe na zada~ata, vo ovoj moment e zgodno

razmerite so dropki da se zamenat so razmeri na prirodni broevi. Za taa

cel, dropkite gi sveduvame na zaedni~ki imenitel, a potoa zaedni~kiot imenitel go izostavuvame:

.9:10:18:812

9:

12

10:

12

18:

12

8

4

3:

6

5:

2

3:

3

2

Taka dobivme x1:x2:x3 :x4 = 8 : 18 : 10 : 9. Vo prodol`enie, postapuvaj}i kako vo

predhodniot slu~aj dobivame:

h1 = ;96845

5408

910188

540

h2 = ;2161845

540

h3 = ;1201045

540

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 18

h4 = .108945

540

Primer 3: U~enicite od I, II i III klas na edno u~ili{te zasadile 688

drvca. Po kolku drvca zasadil sekoj klas, ako broevite na zasadenite drvca od I i II klas se odnesuvaat kako 5 : 6, a tie na zasadenite od II i III klas kako

4:7?

Re{enie: Da gi ozna~ime broevite na zasadenite drvca od u~enicite

od |,|| i ||| klas soodvetno so x,y i z. Toga{ soglasno uslovot na zada~ata, }e imame x:y=5:6, y:z=4:7 i x+y+z=688. Vo ovoj moment e potrebno prviot i

vtoriot odnos da se transformiraat taka {to i vo dvata odnosa na y da

odgovara eden ist broj. Bidej}i, zaedni~ki sodr`atel na broevite 6 i 4 e

brojot 12, dobivame: x:y=10:12 i y:z=12:21

Od tuka sleduva prodol`enata proporcija:

h : u: z = 10:12:21

Potoa, zada~ata se re{ava analogno kako i predhodnite dve. Kone~no dobivame deka:

h = ,1601043

68810

211210

688

u = .3362143

688,19212

43

688 z

Obratno proporcionalno delewe.

Primer 4: Eden rabotnik ja ispolnuva normata za 4 ~asa, drug za 5 3

1

~asa, a tretiot za 6 ~asa. Trojcata rabotnici rabotele zaedno i napravile 588 detali za opredeleno vreme.Po kolku detali izrabotil sekoj rabotnik?

Re{enie: Vkupniot broj na izraboteni detali ne treba da se deli na delovi pravo proporcionalno na vremeto {to e potrebno sekoj od rabotni-

cite da ja ispolni svojata norma, bidej}i onoj rabotnik koj za najkuso vreme

ja ispolnuva normata }e izraboti pove}e detali otkolku drugite. Brojot na detalite {to gi izrabotuva sekoj rabotnik za edno isto vreme e pravo

proporcionalno na produktivnosta na trudot na sekoj rabotnik. Ako sekoj od rabotnicite svojata norma ja ispolnuva soodvetno za 4,

5 6,3

1~asa, toga{ produktivnosta na trudot na sekoj od niv mo`e da se izrazi

soodvetno so broevite: 6

1,

3

15

1,

4

1, bidej}i prviot rabotnik za 1 ~as ispolnuva

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 19

4

1od normata, vtoriot

16

3

3

15

1 , a tretiot

6

1od normata. Spored toa, za da ja

re{ime zada~ata, potrebno e brojot 588 da se razdeli na delovi koi }e bidat

obratno proporcionalni na broevite 4, 53

1,6, ili pravo proporcionalni na

recipro~nite vrednosti na tie broevi: .6

1,

3

15

1,

4

1

Ako baranite delovi gi ozna~ime so x1,x2 i x3 }e imame

x1:x2:x3 = 6

1:

16

3:

4

1odnosno: x1:x2:x3 = 12:9:8.

Ottuka imame: h1 = ,24012201229

58012

8912

580

H2= 20 1809 i h3 = 20 .1608 Vrz osnova na izlo`enoto zaklu~uvame deka: Za da se razdeli daden

broj na delovi {to se obratno proporcionalni na nekolku dadeni broevi, dovolno e toj broj da se razdeli na delovi pravo praporcionalni na recip-ro~nite vrednosti na dadenite broevi.

SMETKA NA SMESI Smetkata na smesi e u{te edna interesna primena na proporciite. Taa se primenuva koga treba so me{ewe na dva ili pove}e kvaliteti da se dobie

nov kvalitet so opredeleni karakteristiki. Pri me{aweto na stoki, ako se poznati cenite na stokite {to se

me{aat i cenata na izme{anata stoka, mo`eme da go opredelime odnosot vo

koj treba da se me{aat stokite. Osnovniot princip pri me{aweto na stokata od razli~ni kavaliteti e pri proda`ba na izme{anata stoka da se

dobie vo vrednost isto tolku kolku {to }e se dobie ako stokata ne se me{a i se prodava po porane{na cena.

Primer 1: Neka se dadeni dva kvaliteta stoka i toa od po 48 denari za

kilogram i 30 denari za kilogram. Na pazarot se baraat 360 kilogrami stoka so nov kvalitet koja }e se prodava po cena od 40 denari po kilogram. Vo koj

odnos treba da se izme{aat dvete stoki?

Re{enie: Da ja ozna~ime so h baranata koli~ina na stokata {to se

prodava po 48 denari za kilogram, a so u baranata koli~ina na stokata {to se prodava po 30 denari. Toga{:

48h + 30u = 40 (h+u),

48h + 30u = 40h +40u,

48h - 40h = 40u - 30u, 8h = 10u,

h : u = 10 : 8.

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 20

Ovaa zna~i deka, na sekoi 10 kilogrami od stokata h odgovaraat 8

kilogrami od stokata u. Od svojstvoto na prodol`enite proporcii sleduva deka: (h+u):(10+8)=h:10, (h+u):(10+8) =u:8,

Bidej}i h+u=360 dobivame:

360:18=h:10, od kade {to sleduva deka: h= 18

360∙ 10=200 kilogrami, 360:18=u:8

,od kade {to sleduva deka u= 18

360∙ 8=160 kilogrami.

Zaklu~ivme deka za 360 kilogrami stoka so nov kvalitet {to }e se

prodava po 40 denari za kilogram, treba da se zemaat 200 kilogrami od kvalitetot od 48 denari za kilogram i 160 kilogrami od kvalitetot od 30

denari za kilogram. Primer 2: Neka se dadeni tri kvaliteti stoka od po 40, 44 i 50 denari

za kilogram. So me{awe na ovie tri kvaliteti treba da se dobijat 480 kilo-

grami stoka {to }e se prodava po 45 denari za kilogram i pritoa da ima isti koli~ini na stoki od prvite dva kvaliteta. Da se opredeli vo koj odnos

treba da se izme{aat dadenite stoki? Re{enie: Da gi ozna~ime so h , u i z baranite koli~ini na stokite {to

se prodavaat po 40, 44 i 50 denari za kilogram. Toga{ va`i:

40h+44u+50z = 45 (h+u+z),

40h+44u+50z = 45 h+45u+45z,

5z=5h+u.

Ako stavime h = u dobivame:

5 z = 6u, z : u = 6 :5,

z : h = 6 :5,

h : u: z = 5 : 5 : 6.

Od svojstvoto na prodol`enite proporcii sleduva deka:

(h+u+z):(5+5+6)=h:5, (h+u+z):(5+5+6)=u:5,

(h+u+z):(5+5+6)=z: 6.

Bidej}i: h+u+z = 480 imame: 480:16=h:5, od kade {to sleduva deka:

1505016

480x kilogrami,

480:16=y:5, od kade {to sleduva deka:

150516

480y kilogrami,

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 21

480:16=z:6 od kade {to sleduva deka:

180616

480z kilogrami.

Spored toa, za da se prodadat 480 kilogrami stoka po 45 denari za kilogram

treba da se prodadat 150 kilogrami od kvalitetot po 40 denari za kilogram, isto tolku od kvalitetot po 44 denari za kilogram i 180 kilogrami od

kvalitetot po 50 denari za kilogram.

Smetkata so smesi se koristi i vo hemijata za dobivawe na leguri i rastvori {to treba da ispolnuvaat opredeleni svojstva.

Primer 3. Po kolku grama zlato treba da se zeme od zlatni predmeti so finost od 80% i 90% za da se dobijat 115 grama zlato so finost 86%.

Re{enie: Da ja ozna~ime so h baranata koli~ina an zlato zemena od

predme-tot so finost od 80%, a so u baranata koli~ina zlato zemena od predmetot so finost 90%. Toga{:

,100

86

100

90

100

80yxyx

80h+90u=86h+86u, 80u -86h=86u -90u,

6h = 4u,

h : u =4 : 6

So svojstvoto na prodol`enite proporcii sleduva deka:

(h+u):(4+6)=h:4, (h+u):(4+6)=u:6.

Bidej}i h+u=115 dobivame: 115:10=h:4 od kade {to sleduva deka:

46410

115x grama,

115: 10 = u:6, od kade {to sleduva deka:

69610

115y grama.

Zaklu~ivme deka ako se izme{aat 46 grama zlato so finost od 80% i 69 grama zlato so finost od 90%, se dobiva 115 grama zlato so finost od

86%. Primer 4: Vo koj odnos treba da se izme{aat 70%, 25% i 15% voden

rastvor na ocetna kiselina za da se dobijat 155 litri voden rastvor na

ocetna kiselina so koncentracija od 35%. Re{enie: Da gi ozna~ime so h i u i z baranite koli~estva voden

rastvot so koncentracii od 75%, 25% i 15% soodvetno. Toga{ imame:

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 22

,100

35

100

15

100

25

100

75zyxzyx

75x+25y+15z=35x+35y+35z,

2z=4x+y. Zada~ata kako {to e ostavena e neopredelena, odnosno ima bez-broj

re{enija. Zatoa, }e ja re{ime zada~ata so dopolnitelna pretpostavka deka

h=u. Vo toj slu~aj dobivame:

2z = 5u,

z : u = 5 : 2,

z : h = 5 : 2,

h : u : z = 2 : 2 : 5.

Od svojstvoto na prodol`enite proporcii sleduva deka:

(h+u+z ):(2+2+5) =h : 2,

(h+u+z ):(2+2+5) =u : 2,

(h+u+z ):(2+2+5) =z : 5.

Bidej}i h + u + z = 155, imame: 108 : 9 = h : 2, od kade {to sleduva deka:

h = 2429

108 litri, 108:9=u:2, od kade {to sleduva deka: u= 242

9

108 litri,

108:9 = z : 5 od kade {to sleduva deka: z = 7259

108 litri.

Spored toa, za da se dobijat 108 litri od 35% voden rastvor na ocetna kiselina, dovolno e da se pome{aat 12 litri 70% rastvor, 12 litri 25%

rastvor i 72 litri 15% rastvor.

KAMATNA SMETKA Pozajmuvaweto pari e nu`na transakcija so koja site nie se sre}a-vame

vo sekojdnevniot `ivot. Zaemopriema~ot mo`e da gi upotrebi parite za da ostvari dobivka koja {to zaemodava~ot ne e vo mo`nost da ja realizira,

dodeka toj za smetka na toa dobiva nadomest za pozajmenite pari, nare~ena kamata. Bankite pla}aat kamata na lu|eto ili kompaniite koi svoite pari

gi deponiraat na bankarskite smetki, i obratno, tie pla}aat kamati na

bankite koga od niv pozajmuvaat opredelena suma pari. Visinata na pozajmenata suma pari, odnosno sumata za koja se pla}a

kamatata se narekuva glavnina. Periodot za koja treba da se vrati pozajme-

nata suma pari se narekuva vremetraewe na zaemot. Voobi~aeno e ovoj period

da se meri vo edinicite denovi, meseci ili godini. Visinata na kamatata {to se ostvaruva za edinica vreme e proporcionalna so glavninata, odnosno

taa e nekoj procent od glavninata, nare~en kamatna stapka. Zna~i, kamatnata

stapka e vsu{nost procentnata stapka svrzana za eden opredelen vremenski period. Spored toa, visinata na kamatata ne zavisi samo od glavninata, tuku

i od vremetraeweto na zaemot. Da se dogovorime deka kamatata }e ja

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 23

ozna~uvame so K, glavninata so G, vremetraeweto na zaemot so t i kamatnata

stapka so s.

Primer 1: Mile mu pozajmil na Sa{o 120 denari. Pritoa, go napra-

vile sledniov dogovor: Mile da go vrati zaemot za {est meseci i pritoa za nadomest da mu ispla}a na krajot od sekoj mesec iznos od 15% od glavninata.

Vo slu~ajot glavninata isnesuva G=120 denari, vremetraeweto na zaemot e {est meseci, odnosno t = 6, dodeka mese~nata kamatna stapka iznesuva s=15%.

Sa{o na Mile treba sekoj mesec da mu pla}a onolku kolku {to iznesuva 15%

od 120 denari, odnosno po 18 denari, {to zna~i za vreme od {est meseci Mile }e dobie nadomest ili kamata od 108 denari.

Spored toa, za kamatata K {to se ostvaruva od glavninata G za

vremetraewe na zaemot t, pri kamatna stapka s imame:

K = s ·G · t

Da napomeneme deka, pri presmetuvawe na kamatata treba da se

vnimava vremetraeweto na zaemot da bide izrazeno vo istata edinica vo odnos na koja e opredelena kamatnata stapka.

Primer 2: Vo edna banka visinata na godi{nata kamata za {teden vlog

iznesuva 12%. Kolkav }e bide iznosot na kamatata {to treba da se isplati za {teden vlog od 5.000 denari po istekot na tri godini?

Re{enie: Spored uslovot vo zada~ata glavninata G=5.000 denari,

kamatnata stapka iznesuva s=12% za vreme od edna godina, odnosno s= 0,12, a vremetraeweto na zeamot e tri godini. t.e t = 3 godini.

Toga{ za ostvarenata kamata na dopolnitelniot vlog imame:

K=s·G·t = 0,12·5.000·3 = 1.800 denari.

Primer 3: Kolkava kamata }e donese kapital od 50 000 dinari za edna godina pri kamatna stapka od 8 %?

Re{enie: Bidej}i 8% od 50 000 e 4 000, sleduva deka baranata kamata e

4 000 dinari. Zabele`uva{ deka ednogodi{nata kamata se presmetuva kako i procentniot

iznos kaj procentnata smetka.

No, pri presmetuvaweto na kamatata treba da vodime smetka za vremeto.Ako vlo`eniot kapital od 50 000 dinari ostane uste edna godina vo bankata,

toga{ toj }e donese u{te edna godi{na kamata od 4 000 dinari. Analogno, i pri zgolemuvaweto na kapitalot ili na kamatnata stapka za dva,

tri, ~etiri,.... pati,za isto tolku pati }e se zgolemi i kapitalot. Sledstveno,kamatata (k) e pravoproporcionalna so: kapitalot (K),

kamatnata stapka (r) i vremeto (t), pa se presmetuva po formulata:

100

tpKk

Do istata formula mo`eme da dojdeme i so slo`eno pravilo trojno od

{emata.

100 din. za 1 god. nosat r din. kamata K din. za t god. nosat k din. kamata

Odnosno od proporcijata:

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 24

k: r=Kt:100.

Od formulata (1) gledame deka kamatata e gunkcija od tri golemini: kapitalot,kamatnata stapka i vremeto.Zatoa pri dadeni tri od tie vrednosti

mo`eme sekoga{ da ja presmetame ~etvrtata.

Kamatata presmetana od formulata (1) se vika prosta kamata, a taa se presmetuva samo na po~etno vlo`eniot kapital,a nejzinoto presmetuvawe se

vika prosto kamatna smetka. Vremeto t vo formulata (1) e izrazeno vo godini, a godinata vo ekonomskata

praksa ima 360 denovi - sekoj mesec po 30 denovi.

Ako vremeto e dadeno vo meseci(denovi), toga{ kamatata za eden mesec (eden den) }e bide 12 (360) pati pomala otkolku za edna godina.Vo toj slu~aj bi gi

imale formulite:

12100

mpKk ,

360100

dpKk

Kade {to m(d) e brojot na mesecite (denovite).

Primer 4: So kolkava kamatna stapka e vlo`en kapital od 72 000 dinari, ako za 100 denovi donel kamata 1 500 dinari?

Re{enie: Dadeno e: K=72 000, d=100denovi, k=1500 din.,a se bara r;

spored (3) imame:

k 100360=Krd,

od kade {to 5,710072000

3601001500360100

dp

Kp

Zna~i kamatnata stapka e 7.5%. Ako va zada~ite od procentnata smetka e daden zbirot( razlikata)od

kapitalit i kamatata ( K + k, K - k), a se bara ~istiot kapital ili samo kamatata, toga{ velime deka imame kamatka smetka nad (pod) 100.

Proporcijata ja zapi{uvame vo vidot

K : k = 100 : rt, Od kade {to sleduvaat izvedenite proporcii

(K + k) : (100 + pt ) = K : 100 =k : pt,

( K - k): ( 100 - pt)= K : 100 = k : pt.

Od prvata proporcija sleduvaat formulite:

pt

kKK

100

)(100

pt

kkptk

100

)(

Od koi se presmetuvaat kapitalot i kamatata pri kamatna smetka nad sto.

Primer 5: Edna zadruga zala kredit so kamatna stapka od 16 %,i po 3

meseci vratila suma od 2 600 000 dinari.Kolkav bil kreditot i kolkava kamata e plateno za nego?

P r o p o r c i o n al n i v el i ~ i n i

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ 25

Re{enie: Dadeno e : K + k= 2 600 000, r = 16, t =12

3= 0.25,a se bara K i k;

toga{:

2500000104

260000000

25,016100

2600000100

100

)(100

pt

kKK

100000104

260000025,016

100

)(

pt

kkptk

Zna~i,zadrugata zala kredit od 2 500 000 dinari i za nego platila kamata od 100 000 dinari.