projeto Ótimo de um pÓrtico tridimensional de concreto …
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PROJETO ÓTIMO DE UM PÓRTICO TRIDIMENSIONAL DE CONCRETO
ARMADO UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS
Halina dos Santos Salles
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa
de Pós-graduação em Engenharia Civil, COPPE,
da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Mestre em Engenharia Civil.
Orientadora: Franciane Conceição Peters
Rio de Janeiro
Abril de 2018
iii
Salles, Halina dos Santos
Projeto ótimo de um pórtico tridimensional de concreto
armado utilizando Algoritmos Genéticos/ Halina dos
Santos Salles. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2018.
XIV, 68 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Franciane Conceição Peters
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Civil, 2018.
Referências Bibliográficas: p. 66-68.
1. Otimização estrutural. 2. Algoritmos genéticos. 3.
Concreto armado. I. Peters, Franciane Conceição II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa
de Engenharia Civil. III. Título.
iv
A Salles e Gesete, minha estrutura.
v
Agradecimentos
A Deus, autor da minha vida e destino, por tudo.
Aos meus pais, Salles e Gesete, e irmã, Nabila, digo que esta conquista não é só
minha, mas nossa. Tudo só foi possível pelo amor, apoio e dedicação que vocês sempre
tiveram por mim. Vocês sempre me ensinaram a agir com respeito, simplicidade,
dignidade e amor ao próximo. Muito obrigada por mostrarem o quanto era importante
estudar e por entenderem minha ausência durante este caminho.
À minha família Santos e Salles pelo apoio incondicional. Em especial, Margareth
Salles, agradeço por ter me acolhido em seu lar e todo amor maternal. Aqui, registro meu
respeito e admiração como profissional, mulher e mãe. À Helena Carestiato, agradeço
pelos melhores sorrisos e conselhos. Sobrinha, você foi minha fortaleza, dedicação,
compreensão, maior amor e metade de mim todo esse tempo. Me perdoe por não saber
fazer poemas, mas prometo te acompanhar no café todos os dias. A Otto, por cada olhar,
portas abertas e, principalmente, pelo melhor companheirismo.
Ao Raphael PH, pelo sorriso, pelas conversas, pelo incentivo entusiasmante e
muitas vezes contagiante e, principalmente, pelo amor e cuidado que me permitiram ter
forças e ânimo suficientes todos os dias. Muito obrigada por ficar sentado comigo às
noites me olhando trabalhar e me tranquilizar dizendo: “Dova, de um jeito ou de outro,
no fim tudo dá certo”.
Ao Acre, Rondônia e Rio de Janeiro pelas minhas amadas meninas e fiéis amigos.
Não vou citar nomes para não correr risco de esquecer alguém, eles sabem quem são.
Aos amigos do Mestrado por termos vivenciado a diversidade cultural do Brasil e
do mundo. Cada sotaque e peculiaridade estará sempre em meu coração. Em especial,
Adna Vasconcelos, Ana Claudia Gonzaga, Gabriella Puente e Gabriela Polisseni.
Agradeço os sorrisos e conselhos durante todos os momentos e, principalmente, por
compartilharmos várias experiências não só da vida acadêmica.
À professora Franciane Conceição Peters, exemplo de simplicidade, compreensão
e competência. Assim como todos que trabalham com você, admiro sua dedicação a
pesquisa e, principalmente, a preocupação não só com a realização do trabalho, mas com
o ser humano. Muito obrigada pela confiança, orientação, disposição e paciência durante
este trabalho. Seu exemplo levarei por toda minha vida.
vi
A todos os alunos, professores e funcionários do LAMEMO, por serem exemplo
de profissionalismo e diversão. Minha timidez foi perdendo o sentido a cada manhã de
bom humor e estudo. Muito obrigada por terem me acolhido de braços abertos no
laboratório, sem o qual não seria possível a realização deste trabalho.
À engenheira Eduarda Pinheiro, mãe e eterna chefinha. Serei eternamente grata
por ter compartilhado todos seus ensinamentos sobre engenharia e a vida. A sua paciência,
humor e carinho estão em meu coração. O Escritório Laico transformou trabalho em
sinônimo de alegria. Muito obrigada a todos.
Ao professor Roberto Fernandes de Oliveira por ter me acolhido como um pai,
sempre disponível com os melhores conselhos. Admiro sua dedicação à docência e,
principalmente, sua busca pelo conhecimento.
Aos membros da banca por aceitarem o convite e pelas contribuições.
A Ansys Inc. pelo fornecimento da versão acadêmica do programa comercial
usado neste trabalho.
À CAPES e FAPERJ pelo apoio financeiro.
Aos docentes que contribuíram para minha formação.
A todos aqueles que de alguma maneira me fizeram crescer e aprender.
Serei eternamente grata.
vii
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
PROJETO ÓTIMO DE UM PÓRTICO TRIDIMENSIONAL DE CONCRETO
ARMADO UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS
Halina dos Santos Salles
Abril/2018
Orientadora: Franciane Conceição Peters
Programa: Engenharia Civil
No projeto de edificações, com o avanço da computação que permite análises em
menor tempo, passa-se a buscar soluções otimizadas e de menor custo. Neste contexto,
os projetistas almejam um projeto melhor e seguro referente a diversos aspectos
estruturais, além da redução dos custos dos insumos. Os métodos de otimização podem
ser utilizados neste intuito sem comprometer a segurança estrutural. Desse modo, o
procedimento aplicado neste estudo visa otimizar as dimensões da seção transversal e
armadura de um pórtico tridimensional de concreto armado utilizando um Algoritmo
Genético (AG), a fim de obter projetos de custo mínimo. Para isso, foram realizadas
aplicações numéricas, análise de parâmetros do AG e uma avaliação da variação de preços
dos materiais do pórtico. A construção do modelo computacional é realizada no programa
ANSYS, onde são aplicadas técnicas de discretização, via método dos elementos finitos,
para a análise e obtenção dos esforços e deformações na estrutura. Um AG foi
desenvolvido para o estudo, contendo também as especificações para o dimensionamento
das armaduras dos elementos estruturais, incorporando diversas restrições para a solução.
A função objetivo é formada pelos custos de concreto, forma e aço e será minimizada,
sujeita a restrições da NBR 6118:2014 (Projeto de Estruturas de Concreto -
Procedimento). Os resultados obtidos mostram que o procedimento proposto pode ser
usado como uma ferramenta a mais para auxiliar o engenheiro no ambiente de projeto.
viii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
OPTIMAL DESIGN OF REINFORCED CONCRETE 3D FRAMES USING
GENETIC ALGORITHMS
Halina dos Santos Salles
April/2018
Advisor: Franciane Conceição Peters
Department: Civil Engineering
In building design, with the development of computing that allows analysis in a
shorter time, it is possible to search for optimized and lower cost solutions. In this context,
the designers aim a better and safer project, regarding several structural aspects, besides
the reduction of the costs of the materials. Optimization methods can be used for this
purpose without compromising structural safety. Thus, the procedure applied in this study
aims to optimize the dimensions of the cross-section and reinforcement of a reinforced
concrete 3D frames using Genetic Algorithm (GA), in order to obtain projects of
minimum cost. For this, numerical applications, GA parameter analysis and evaluation of
the price variation of the frame materials were performed. The construction of the
computational model is performed in the ANSYS software, where discretization
techniques are applied, through the finite element method, to analyze and obtain the
stresses and deformations of the structure. A GA was developed for the study, also
containing the specifications for the dimensioning of the reinforcement of the structural
elements, incorporating several restrictions for the solution. The objective function is
formed by the costs of concrete, formwork and steel and will be minimized, according to
the restrictions of NBR 6118:2014 (Concrete Structures Project - Procedure). The results
show that the proposed procedure can be used as an additional tool to assist the engineer
in building design.
ix
Sumário
Lista de Figuras .............................................................................................................. xii
Lista de Tabelas ............................................................................................................. xiv
1 Introdução.................................................................................................................. 1
1.1 Apresentação do trabalho ..................................................................................... 1
1.2 Motivação ............................................................................................................. 2
1.3 Objetivos ............................................................................................................... 3
1.4 Estrutura do trabalho ............................................................................................ 3
2 Revisão Bibliográfica ................................................................................................ 4
2.1 Otimização de projeto ........................................................................................... 5
2.2 Otimização de estruturas de concreto armado ...................................................... 7
2.2.1 Trabalho de ARGOLO (2000) .................................................................... 7
2.2.2 Trabalho de SILVA (2001)......................................................................... 8
2.2.3 Trabalho de TORRES (2001) ................................................................... 11
2.2.4 Trabalho de BASTOS (2004) ................................................................... 13
2.2.5 Trabalho de ALEXANDRE (2014) .......................................................... 14
2.3 Algoritmos Genéticos ......................................................................................... 16
2.3.1 Diferenças entre Algoritmos Genéticos e métodos clássicos ................... 17
2.3.2 Otimização por Algoritmos Genéticos ..................................................... 18
2.4 Considerações ..................................................................................................... 20
x
3 Metodologia ............................................................................................................ 22
3.1 Resumo geral ...................................................................................................... 22
3.2 Formulação do problema de otimização ............................................................. 23
3.2.1 Constantes de projeto................................................................................ 23
3.2.2 Variáveis de projeto .................................................................................. 23
3.2.3 Função objetivo ........................................................................................ 23
3.2.4 Critério de parada ..................................................................................... 25
3.2.5 Restrições de projeto ................................................................................ 25
3.2.5.1 Equilíbrio das seções transversais ..................................................... 25
3.2.5.2 Taxas de armaduras ........................................................................... 27
3.2.5.3 Distribuição das armaduras ............................................................... 29
3.2.5.4 Verificação de abertura de fissuras ................................................... 30
3.2.5.5 Verificação de deformações excessivas ............................................ 32
3.2.6 Considerações sobre o dimensionamento ................................................. 33
3.2.7 Definição final do problema ..................................................................... 35
3.3 Formulação do Programa AG ............................................................................. 35
3.3.1 Metodologia computacional ..................................................................... 36
3.3.1.1 Análise estrutural............................................................................... 37
3.3.1.2 Rotinas de otimização ....................................................................... 37
3.3.1.3 Integração com programa comercial ................................................. 37
3.3.2 Descrição do programa ............................................................................. 38
3.3.2.1 Preparação do arquivo de entrada ..................................................... 40
xi
3.3.2.2 Descrição das sub-rotinas principais ................................................. 41
3.3.3 Considerações sobre o AG ....................................................................... 42
4 Aplicação numérica e resultados ............................................................................. 43
4.1 Modelo estrutural investigado ............................................................................ 43
4.2 Análise de parâmetros do Algoritmo Genético .................................................. 46
4.3 Aplicação ............................................................................................................ 51
4.4 Avaliação da variação de preços dos materiais .................................................. 60
5 Conclusões .............................................................................................................. 63
5.1 Sugestões para trabalhos futuros ........................................................................ 64
Referências Bibliográficas .............................................................................................. 66
xii
Lista de Figuras
Figura 2.1: Fluxograma para desenvolvimento de um projeto convencional e um projeto
ótimo (ARORA, 2016). .................................................................................................... 6
Figura 2.2: Modelos estruturais adotados para os pórticos planos (TORRES, 2001). ... 12
Figura 3.1: Concreto de envolvimento da armadura (ABNT NBR 6118, 2014). ........... 31
Figura 3.2: Esquema para os comprimentos das armaduras longitudinais nas vigas. .... 34
Figura 3.3: Abordagens aplicadas no desenvolvimento do programa AG. .................... 36
........................................................................................................................................ 39
Figura 3.4: Fluxograma do programa desenvolvido, com detalhe à direita para a avaliação
dos indivíduos. ................................................................................................................ 39
Figura 4.1: Pórtico tridimensional que terá seus elementos estruturais otimizados. ...... 44
Figura 4.2: Custo total do pórtico para as 10 rodadas independentes do programa AG
realizadas com as combinações de parâmetros 𝑃𝑐 e 𝑃𝑚. ................................................. 48
Figura 4.3: Erro relativo médio obtido nas combinações dos parâmetros 𝑁𝑝𝑜𝑝, 𝑃𝑐 e 𝑃𝑚.
........................................................................................................................................ 50
Figura 4.4: Erro relativo médio ordenado obtido nas combinações dos parâmetros 𝑁𝑝𝑜𝑝,
𝑃𝑐 e 𝑃𝑚. ........................................................................................................................... 51
Figura 4.5: Custos dos pórticos referentes à situação 1. ................................................. 52
Figura 4.6: Valores das variáveis de projetos referentes à situação 1. ........................... 53
Figura 4.7: Detalhamento das vigas obtidos pelo AG na situação 1. ............................. 53
Figura 4.8: Detalhamento dos pilares obtidos pelo AG na situação 1. ........................... 54
xiii
Figura 4.9: Custos dos pórticos referentes à situação 2. ................................................. 55
Figura 4.10: Valores das variáveis de projetos referentes à situação 2. ......................... 55
Figura 4.11: Detalhamento dos pilares obtidos pelo AG na situação 2. ......................... 56
Figura 4.12: Custos dos pórticos referentes à situação 3. ............................................... 57
Figura 4.13: Valores das variáveis de projetos referentes à situação 3. ......................... 57
Figura 4.14: Detalhamento dos pilares obtidos pelo AG na situação 3. ......................... 58
Figura 4.15: Comparação entre os custos dos pórticos referentes as situações 1, 2 e 3. 59
Figura 4.16: Comparação entre os custos dos insumos dos pilares referentes as situações
1, 2 e 3. ........................................................................................................................... 60
Figura 4.17: Comparação entre os custos dos insumos das vigas referentes as situações 1,
2 e 3. ............................................................................................................................... 60
Figura 4.18: Influência do aumento dos insumos no custo total do pórtico. .................. 62
xiv
Lista de Tabelas
Tabela 3.1: Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da
armadura, em função das classes de agressividade ambiental. ....................................... 30
Tabela 4.1: Organização dos grupos de variáveis de projeto. ........................................ 45
Tabela 4.2: Preço dos insumos considerados na otimização dos elementos estruturais. 46
Tabela 4.3: Distribuição do tamanho da população e número de gerações para as
diferentes análises. .......................................................................................................... 47
Tabela 4.4: Distribuição da probabilidade de cruzamento (𝑃𝑐) e mutação (𝑃𝑚). ............ 47
Tabela 4.5: Custo mínimo e erro relativo médio do pórtico para as 10 rodadas
independentes do programa AG realizadas com as combinações de parâmetros 𝑃𝑐 e 𝑃𝑚.
........................................................................................................................................ 49
Tabela 4.6: Influência da variação de 𝐶𝑐 no custo total do pórtico. ............................... 61
Tabela 4.7: Influência da variação de 𝐶𝑎 no custo total do pórtico. ............................... 61
Tabela 4.8: Influência da variação de 𝐶𝑓 no custo total do pórtico. ............................... 61
1
1 Introdução
1.1 Apresentação do trabalho
A competitividade atual do mercado tem incentivado a elaboração de projetos com
menor custo de material e mão-de-obra. Os métodos de otimização podem ser utilizados
para alcançar estes objetivos, encontrando a melhor solução entre inúmeras possíveis.
Assim, os projetistas podem considerar mais opções e, portanto, alcançar um projeto
economicamente melhor e otimizado.
Nas décadas de 50 e 60, destacando-se os trabalhos de HEYMAN (1956) e
SCHIMIT (1960), foram publicados os primeiros trabalhos empregando métodos
clássicos de otimização na Engenharia Estrutural, como programação linear e
programação não-linear, minimizando o consumo de insumos ou o peso da estrutura. No
entanto, as soluções obtidas precisavam ser adaptadas para sua execução, além da
dificuldade do emprego dos métodos matemáticos, incentivando pesquisas por métodos
diferentes que obtivessem soluções tão eficazes, ou melhores, aos resultados gerados
pelos métodos clássicos.
Os métodos heurísticos têm se sobressaído diante da sua relativa simplicidade de
programação e na sua utilização em problemas de otimização. Os Algoritmos Genéticos,
por exemplo, não executam cálculos matemáticos complexos e podem ser usados em
problemas com funções não diferenciáveis, além de resolver problemas com variáveis
discretas e contínuas, gerando soluções que podem ser executadas sem adaptações.
É comum os projetistas ao dimensionarem uma estrutura se basearem na sua
experiência profissional quando realizam o lançamento e análise estrutural. Modificando
apenas alguns parâmetros, se consegue um número limitado de modelos. Assim, os
resultados são encontrados e analisados de acordo com a perspectiva empregada e a
solução escolhida será aquela que for mais significativa de acordo com a experiência do
projetista. Porém, apesar da solução eleita ser adequada, esse método pode conduzir a
resultados não próximos do ótimo.
Neste cenário, associando o procedimento de análise e dimensionamento com o
de mínimo custo, é possível obter um projeto ótimo entre inúmeras combinações
possíveis de maneira automatizada. Resumidamente, os Algoritmos Genéticos, partindo
2
de uma população inicial, realizam todas as verificações necessárias, gerando populações
novas a partir da anterior, até alcançar a estrutura que possui o menor custo.
Diante do exposto, e conforme os resultados promissores de trabalhos na área de
estruturas com emprego de Algoritmos Genéticos para otimização, optou-se por utilizar
este método como ferramenta de otimização. Assim, o procedimento aplicado neste
estudo visa otimizar as dimensões da seção transversal, dimensionando as armaduras, de
um pórtico tridimensional de concreto armado utilizando Algoritmos Genéticos, a fim de
obter projetos de custo mínimo.
Para isso, um programa de Algoritmos Genéticos foi desenvolvido, contendo as
especificações para o dimensionamento das armaduras dos elementos estruturais,
incorporando diversas restrições para a solução. A construção do modelo computacional
é realizada no programa ANSYS, onde são aplicadas técnicas de discretização, via
método dos elementos finitos, para a análise e obtenção dos esforços e deformações na
estrutura. A função objetivo a ser minimizada é composta pelo custo do concreto, da
forma e do aço. Utiliza-se também penalização multiplicativa dos custos quando
restrições previstas na norma brasileira NBR 6118:2014 (Projeto de Estruturas de
Concreto - Procedimento) são violadas.
1.2 Motivação
Nos últimos anos, a competitividade entre as empresas aumentou a preocupação
com a redução de custos na construção civil. Na engenharia estrutural é um grande desafio
buscar um equilíbrio entre economia e segurança, pois a redução considerável de insumos
não pode comprometer a segurança e o comportamento da estrutura.
Neste contexto, a procura por métodos que busquem um aproveitamento mais
eficiente economicamente é essencial. A otimização de estruturas se introduz como um
mecanismo eficaz para contribuir com a melhoria dos projetos, dimensionando os
elementos estruturais com menor custo, garantindo a integridade e desempenho da
estrutura.
Além disso, é interessante se ter outros meios que permitam ao engenheiro
diversificar as técnicas aplicadas para soluções de projetos, não somente processos de
tentativa e erro que consomem muito tempo. Um procedimento que torna possível
alcançar um conjunto de soluções, não apenas uma, pode ser usado como uma ferramenta
3
a mais para auxiliar o projetista. Dessa forma, o engenheiro pode testar de forma
automática diversas soluções, até mesmo uma solução diferente da prática na construção
civil. Por consequência, o engenheiro pode adequar seu projeto as restrições
arquitetônicas, estruturais, materiais disponíveis e demais projetos complementares,
motivando assim o estudo sobre tal tema.
1.3 Objetivos
O objetivo deste trabalho é realizar a otimização das dimensões da seção
transversal, dimensionando a respectiva armadura, de um pórtico de concreto armado
utilizando Algoritmos Genéticos, a fim de obter projetos de custo mínimo. Em virtude
disso, busca-se: apresentar um estudo sobre otimização estrutural e Algoritmos
Genéticos, almejando conhecer suas particularidades e aplicações; elaborar um programa
flexível de Algoritmos Genéricos, que auxilie o processo de otimização estrutural em um
ambiente de projeto, contendo as especificações para o dimensionamento das armaduras;
utilizar o programa comercial ANSYS para a modelagem do pórtico tridimensional
investigado, análise e obtenção dos esforços e deformações na estrutura. E por fim,
pretende-se realizar a análise de parâmetros do Algoritmo Genético, aplicação numérica
e avaliação da variação de preços dos materiais do pórtico.
1.4 Estrutura do trabalho
O presente trabalho encontra-se dividido em 6 capítulos. No Capítulo 2 são
introduzidos conhecimentos referentes a otimização estrutural e apresentadas aplicações
desse procedimento em estruturas de concreto armado. Neste capítulo também é abordado
o método de Algoritmos Genéticos, explicando seus principais aspectos e características.
A metodologia é descrita no Capítulo 3 contendo a formulação do problema de otimização
e do programa desenvolvido. No Capítulo 4 é realizada a análise de parâmetros do
Algoritmo Genético, a apresentação dos resultados obtidos da aplicação numérica
realizada e a avaliação da variação de preços dos materiais do pórtico. No capítulo 5 são
apresentadas as conclusões obtidas e sugestões para trabalhos futuros.
4
2 Revisão Bibliográfica
Matematicamente, a otimização consiste em um conjunto de procedimentos que
minimizem ou maximizem uma função, sujeita a restrições, com um ou mais objetivos.
A otimização pode ser compreendida na aplicação de métodos que buscam a melhor
opção dentre as diversas possíveis baseados em critérios previamente estabelecidos.
Nas décadas de 50 e 60 foram publicadas as primeiras pesquisas empregando
otimização na engenharia estrutural. HEYMAN (1956) minimizou o consumo de material
em pórticos no regime elástico e em projetos de vigas através de programação linear. Já
SCHIMIT (1960) minimizou o peso de estruturas elásticas submetidas a diversas
condições de carregamento aplicando programação não linear.
GOLDBERG (1989) comparou os métodos clássicos com os Algoritmos
Genéticos, citando como principais vantagens a simplicidade de implementação, o
emprego de variáveis discretas e contínuas, a busca em uma população de indivíduos e a
não imposição da função objetivo ser diferenciável ou contínua. Assim, demostrou que
os Algoritmos Genéticos fornecem soluções satisfatórias para engenharia, sem a
necessidade de adaptação.
Mais recentemente, SILVA (2001) apresentou em sua pesquisa a programação
matemática e, especialmente, os Algoritmos Genéticos, demonstrando através de
exemplos as diferenças básicas entre os métodos clássicos e os métodos aleatórios. Os
exemplos utilizados foram duas estruturas de concreto armado: um trecho de pilar e um
pórtico plano, concluindo a tendência promissora dos Algoritmos Genéticos para os
próximos anos.
MELO et al. (2001) formularam um problema de otimização de pórticos planos
de concreto armado. A função objetivo é formada pelos custos dos insumos (concreto,
aço e forma), onde as variáveis de projeto são a altura da seção transversal e as armaduras.
As restrições estão associadas aos deslocamentos, a resistência e limites das variáveis de
projeto.
CHAVES (2004) desenvolveu um programa computacional que aplica métodos
matemáticos de otimização, para obtenção do menor custo total de seções transversais de
pilares de concreto armado e determinação do índice de confiabilidade. MAIA (2009)
utilizou o método Simplex e o Gradiente Reduzido Generalizado para minimizar o custo
5
e seções transversais de dois projetos: uma viga em balanço com seção contínua e outra
com seção variada.
PONTE (2015) aplicou técnicas de otimização do programa ANSYS, com o
objetivo de estudar o comportamento de uma edificação de concreto armado com 47
metros de altura e 15 pavimentos, considerando casos de cargas diferentes. A função
objetivo possui apenas o propósito de reduzir o volume da seção transversal. Dessa forma,
o autor conseguiu modificar e aprimorar o desempenho estrutural do edifício.
É possível observar que as pesquisas sobre otimização de estruturas de concreto
armado têm apresentado resultados promissores, assim como a utilização dos Algoritmos
Genéticos.
Neste capítulo é feita uma apresentação sobre otimização estrutural aplicada em
Engenharia Civil e de forma sucinta alguns trabalhos já desenvolvidos, a fim de aferir
sobre as características, comportamento e a formulação empregada nos problemas
investigados.
2.1 Otimização de projeto
ARORA (2016) explica que a otimização de projeto tem por objetivo a melhoria
das peças estruturais, buscando um projeto ideal, ou seja, que atenda a todos os requisitos
especificados, mas com custo mínimo de alguns fatores, tais como peso, superfície e
volume, sempre obedecendo aos limites impostos, como por exemplo, as tensões
máximas admissíveis.
O projeto estrutural é resultado de atividades que englobam a arquitetura,
concepção estrutural e o dimensionamento dos elementos. Esse resultado deve garantir a
segurança e, se possível, o menor custo. Na otimização de projetos é importante a
distinção entre análise e projeto. A análise está relacionada ao processo de determinação
das respostas da estrutura diante de um carregamento aplicado, enquanto que o projeto se
refere a definição do sistema estrutural, como por exemplo o posicionamento dos
elementos estruturais (PONTE, 2015).
Este trabalho aborda especificamente a aplicação em estruturas de concreto
armado na engenharia civil, onde é comum almejar resultados com redução do consumo
de matéria prima e os custos de produção. Portanto, para melhor entendimento da
6
importância da otimização de estruturas é fundamental entender as diferenças entre
projeto ótimo e projeto convencional.
O projeto estrutural convencional sofre influência direta do projetista, visto que
as soluções são referentes a procedimentos de tentativa e erro, dependentes da experiência
do profissional. Assim, a solução alcançada pode não ser a melhor para os critérios
estabelecidos. O projeto estrutural ótimo é obtido aplicando métodos de otimização na
representação do problema por modelo matemático bem definido, com parâmetros,
variáveis, objetivos e restrições, encontrando soluções por processos sistemáticos.
ARORA (2016) mostra projeto convencional e projeto ótimo, conforme a Figura 2.1.
Figura 2.1: Fluxograma para desenvolvimento de um projeto convencional e um projeto
ótimo (ARORA, 2016).
A estrutura atende ao critério de convergência?
Modifica-se a configuração
tendo por base
experiência/heurística
Verificam-se as restrições
Analisa-se o sistema
Estima-se uma configuração
inicial tendo por base
experiência/ heurística
Coletam-se dados para a
descrição do sistema
Projeto Concluído
Projeto Convencional
Sim
Não A estrutura atende
ao critério de convergência?
Modifica-se a configuração
empregando-se um método de
otimização
Verificam-se as restrições
Analisa-se o sistema
Estima-se uma configuração
inicial tendo por base
experiência/ heurística
Coletam-se dados para a
descrição do sistema
Identificam-se:
1) Variáveis de Projeto
2) Função Objetivo
3) Restrições de Projeto
Projeto Concluído
Projeto Ótimo
Sim
Não
7
A otimização pode ser uma importante ferramenta na tomada de decisões e na
análise de projetos estruturais. Partindo da identificação de algum objetivo, a meta é
encontrar valores para as variáveis que aprimorem o objetivo. Existem inúmeros
algoritmos de otimização, cabendo ao projetista escolher o mais apropriado para o
problema em análise. Depois da aplicação do método de otimização no projeto, pode-se
identificar, analisar e estudar a solução encontrada.
2.2 Otimização de estruturas de concreto armado
Em seguida serão apresentados de forma resumida trabalhos que desenvolveram
otimização em estruturas de concreto armado, com a intenção de compreender e analisar
a formulação do problema adotado e os modelos discutidos. As principais informações
são: natureza do problema, função objetivo, variáveis e restrições de projeto, parâmetros
dos Algoritmos Genéticos, resultados e conclusões.
2.2.1 Trabalho de ARGOLO (2000)
ARGOLO (2000) apresentou uma formulação para o dimensionamento ótimo de
seções retangulares de concreto armado à Flexão Composta Normal (FCN) empregando
Algoritmos Genéticos. A função objetivo para minimizar o custo total da seção é a
Equação 2.1.
𝐹 = 𝐶𝑆𝛾𝑠𝐴𝑠 + 𝐶𝑐𝐴𝑐 + 𝐶𝑓(𝑏′ + 2ℎ) (2.1)
onde,
𝐶𝑠 é o custo do aço por unidade de peso;
𝐶𝑐 é o custo do concreto por unidade de volume;
𝐶𝑓 é o custo da forma por unidade de área;
𝐴𝑠 é a área total de armadura obtida;
𝐴𝑐 é a área total de concreto;
𝛾𝑠 é o peso específico do aço;
𝑏′ é uma largura fictícia que é assumida igual a b em seções de vigas e 2b em
seções de pilares.
8
As variáveis de projetos foram: altura (ℎ) e largura (𝑏) da seção transversal de
concreto; número de camadas de aço dentro da seção de concreto (𝑛𝑐); número de barras
em uma mesma camada de aço (𝑛𝑏) e diâmetro (∅) das barras na mesma camada. As
primeiras variáveis citadas determinam a área total de concreto na seção (𝐴𝑐) e as demais
são responsáveis por fornecer a área total de aço na mesma seção (𝐴𝑠). As restrições
impostas são relativas à resistência da seção transversal e aos limites para taxa de
armadura da norma.
A estrutura do programa de Algoritmos Genéticos foi do tipo geracional, com 100
indivíduos em 80 gerações, as variáveis foram representadas de forma discreta com
codificação binária, os operadores genéticos foram cruzamento de um ponto com
probabilidade de 80% e taxa de mutação de 0,3% e para as restrições foi empregado a
técnica de penalização.
O autor comparou os resultados obtidos no programa com alguns exemplos
encontrados na literatura. Inicialmente, foi realizado o dimensionamento de uma seção
transversal fixa (300 mm x 700 mm) para três diferentes pares de 𝑀𝑆 e 𝑁𝑆, encontrando
uma economia de até 26%. Para seção transversal variável a economia foi de até 30%.
Em seguida, os resultados do programa foram comparados com outros trabalhos da
literatura que aplicaram otimização em seções transversais de concreto sem utilizar
Algoritmos Genéticos, obtendo uma economia de até 12% em relação aos outros autores.
Além disso, o autor também avalia a influência do aumento de 50% do custo dos
materiais, de forma individual, no resultado final do custo da seção transversal. Com o
aumento no custo do concreto, aço e forma, o custo total aumentou 14,06%, 12,37% e
16,57% respectivamente, demostrando que o insumo que mais afeta o custo final é a
forma, mesmo sendo utilizada apenas como molde.
2.2.2 Trabalho de SILVA (2001)
SILVA (2001) estudou Algoritmos Genéticos como método de otimização,
aplicando-os em dois exemplos de estruturas de concreto armado: Um trecho de pilar
dimensionado à Flexão Composta Obliqua (FCO) e um pórtico plano de cinco
pavimentos.
No problema, para otimizar o trecho de pilar sujeito a FCO, se desejou obter uma
seção retangular e o detalhamento da armadura que resistam a um determinado conjunto
9
de esforços e que tivessem o menor custo. A função objetivo utilizada neste exemplo foi
a Equação 2.2.
𝐹 = 𝐶𝑐𝑏ℎ + 𝐶𝑠𝑁𝑏𝐴𝑠(∅) + 𝐶𝑓(2𝑏 + 2ℎ) (2.2)
onde,
𝐶𝑠 é o custo do aço por unidade de peso;
𝐶𝑐 é o custo do concreto por unidade de volume;
𝐶𝑓 é o custo da forma por unidade de área;
𝐴𝑠(∅) é a área total de armadura de uma determinada bitola;
𝐴𝑐 é a área total de concreto;
𝑁𝑏 é o número de barras de uma determinada bitola;
𝑏 é a largura da seção transversal;
ℎ é a altura da seção transversal.
As variáveis de projeto escolhidas para o problema foram: altura (ℎ) da seção
transversal do pilar, bitola das barras de aço (∅) e o número de barras utilizado (𝑁𝑏). A
largura da seção foi considerada constante. As restrições do problema foram: verificação
a FCO e taxa de armadura mínima e máxima, conforme a NBR 6118.
Para os três exemplos estudados, o programa de Algoritmos Genéticos foi do tipo
geracional, utilizado uma população com 20 indivíduos em 10 gerações, variáveis
discretas, a probabilidade de cruzamento foi de 80% e para mutação 5%. As restrições
não eram penalizadas. Para comparar o resultado obtido pelo programa de otimização, o
autor desenvolveu no MathCad outro programa que percorre todos os indivíduos do
espaço de busca, verifica o equilíbrio e calcula o custo de cada indivíduo obtendo assim
o custo mínimo exato.
Para os exemplos, foram apresentados os resultados obtidos para seções de pilares
com largura (𝑏) de 20 cm, 30 cm e 40 cm. Foi possível observar que a maioria dos
indivíduos gerados não atendiam as restrições impostas e eram, portanto, descartados da
população. Portanto, o autor optou por gerar apenas indivíduos dentro das recomendações
da norma, porém mesmo esse procedimento sendo eficiente para o caso estudado, não é
viável para os problemas de otimização em geral.
Com isso o autor observou que a otimização via Algoritmos Genéticos do custo
do pilar não foi eficiente, em virtude dos indivíduos reprovados pelo módulo de FCO
10
serem eliminados da população. Desta forma, para o problema de minimização do custo
do pórtico plano de concreto armado, foi desenvolvido o módulo de verificação a FCN,
fornecendo uma informação a mais que o módulo de FCO, que é a distância em relação
ao Estado Limite Ultimo (ELU), servindo para penalizar os indivíduos que infringirem a
esta restrição. Assim, para cada uma das restrições do problema foi associada uma função
de penalização e desta forma nenhum indivíduo é descartado ao longo do processo de
otimização.
No problema para aplicação de pórtico plano se desejou obter uma estrutura de
concreto armado de menor custo e que resista a um determinado carregamento. A função
objetivo utilizada foi a Equação 2.3.
𝐹 = [𝐶𝑐𝑏ℎ + 𝐶𝑠𝑁𝑏𝐴𝑠(∅) + 𝐶𝑓(𝑏 + 2ℎ)]𝐿𝑣
+ [𝐶𝑐𝑏ℎ + 𝐶𝑠𝑁𝑏𝐴𝑠(∅) + 𝐶𝑓(2𝑏 + 2ℎ)]𝐿𝑝
(2.3)
onde,
𝐶𝑠 é o custo do aço por unidade de peso da viga ou pilar;
𝐶𝑐 é o custo do concreto por unidade de volume viga ou pilar;
𝐶𝑓 é o custo da forma por unidade de área viga ou pilar;
𝐴𝑠(∅) é a área total de armadura de uma determinada bitola viga ou pilar;
𝐴𝑐 é a área total de concreto viga ou pilar;
𝑁𝑏 é o número de barras de uma determinada bitola viga ou pilar;
𝑏 é a largura da seção transversal viga ou pilar;
ℎ é a altura da seção transversal viga ou pilar;
𝐿𝑣 é o comprimento do trecho da viga em metros;
𝐿𝑝 é o comprimento do trecho do pilar em metros.
As variáveis de projeto escolhidas são: altura (ℎ) da seção e área de aço (𝐴𝑠), da
viga e do pilar. As restrições do problema, para vigas e pilares, foram: dimensões
máximas e mínimas das seções transversais, espaçamento máximo e mínimo da
armadura, taxas de armadura máxima e mínima, flechas horizontais e verticais máximas
e equilíbrio das seções transversais. Essas restrições foram impostas através de funções
de penalização.
O pórtico plano modelo possui 1 térreo e 4 pavimentos, vigas com vãos de 4,5 m
e balanço de 1,0 m, pé direito de 3,0 m e apenas dois lances de pilares. O autor observou
11
que a divisão do cromossomo principal em 4 (cada um deles com informação sobre uma
variável), permitiu uma convergência mais rápida do método e uma maior facilidade de
codificação e descodificação das variáveis. Além disso, o método de penalização se
revelou muito eficiente, permitindo que os indivíduos que não atendem as restrições
continuem cruzando e transmitindo suas características que não devem ser eliminadas nas
gerações seguintes.
O autor também projetou uma solução para o pórtico plano através do programa
comercial EBERICK, buscando uma estrutura de concreto armado mais econômica
possível, obtendo uma economia de 22,7% no resultado obtido pelo Algoritmo Genético,
em relação à solução obtida com o programa comercial, confirmando a eficiência do
método empregando. Assim, o autor conclui que a utilização dos Algoritmos Genéticos
nos problemas de otimização é bastante promissora, devido às suas características de
robustez, flexibilidade e relativa facilidade de implementação.
2.2.3 Trabalho de TORRES (2001)
TORRES (2001) desenvolveu um procedimento para obtenção de pórticos planos
de concreto armado com seções transversais retangulares para alcançar projetos ótimos
utilizando o programa ANSYS. A estratégia adotada é baseada nos trabalhos BALLING
e YAO (1997), contida no Guia de otimização estrutural da ASCE (1997), seguindo os
critérios da norma americana ACI (1998) para o dimensionamento.
A função objetivo adotada para minimizar o custo total foi a Equação 2.4. Cada
custo se desmembra em funções seguindo o Guia de otimização estrutural da ASCE.
𝐹 = 𝐶𝑆 + 𝐶𝑐 + 𝐶𝑓 (2.4)
onde,
𝐶𝑠 é o custo do aço por unidade de peso;
𝐶𝑐 é o custo do concreto por unidade de volume;
𝐶𝑓 é o custo da forma por unidade de área;
As variáveis de projeto foram as dimensões da seção transversal das vigas e pilares
e as armaduras, sendo estas dependentes das variáveis anteriormente citadas. Os
12
parâmetros constantes no problema foram: geometria, cargas, propriedades dos materiais
e valores dos custos dos materiais e mão-de-obra.
As restrições impostas foram baseadas nos critérios para projetos de concreto
armado da norma americana, ACI. Para os pilares as restrições consideradas foram:
capacidade de resistência da coluna e armadura máxima. Para as vigas as restrições
impostas foram: capacidade de resistência a flexão, armadura máxima e capacidade de
resistência ao cisalhamento.
Para o cálculo das armaduras adotou-se a hipótese feita pelo guia da ASCE e a
norma americana, ACI. Nas vigas a armadura foi controlada por um dos dois fatores: (1)
a resistência à flexão ou (2) a condição de armadura mínima. Nos pilares: (1) a armadura
foi controlada pela resistência da coluna ou (2) pela taxa de armadura mínima.
Após o cálculo do custo total do pórtico bem como o cálculo das restrições
impostas ao projeto, entra-se no módulo de otimização do programa ANSYS. O
otimizador selecionado para a otimização do pórtico de concreto armado foi o de primeira
ordem (Steepest Descent).
Diferentes modelos estruturais foram utilizados para representar pórticos planos
de concreto armado, conforme a Figura 2.2. O modelo 2 foi dividido em: modelo 2A onde
os pilares externos e interno possuem as mesmas variáveis de projeto e modelo 2B com
diferentes variáveis projeto para os pilares externos e interno.
Figura 2.2: Modelos estruturais adotados para os pórticos planos (TORRES, 2001).
Todos os modelos foram analisados para três condições de carregamentos. No
caso de carga (1) a estrutura foi submetida unicamente a esforços horizontais, aplicadas
13
em cada andar do pórtico. O caso de carga (2) consistiu nas cargas verticais, definidas
como carga uniformemente distribuída para cada andar. No caso de carga (3) combinou-
se os casos (1) e (2). Para o caso de carga (1) o objetivo da otimização foi minimizar
apenas o volume total do pórtico, enquanto que, para os casos (2) e (3) o objetivo foi
minimizar o custo total do pórtico.
Além disso, também foram consideradas três situações diferentes para as variáveis
de projeto. Na situação (1) o pórtico tinha apenas um grupo de variáveis de projeto do 1º
ao 22º andar. Para a situação (2) quatro grupos de variáveis de projeto foram definidos ao
longo do pórtico. Enquanto que para a situação (3) oito grupos de variáveis de projeto
foram definidos.
O autor concluiu que, na maioria dos casos, quanto maior a quantidade de
variáveis de projeto maior a redução da função objetivo, porém no otimizador disponível
no ANSYS nem sempre foi observado esse comportamento. Para todos os modelos
estudados, as bases das vigas permaneceram praticamente constantes para qualquer
situação de variáveis de projeto. Nos modelos do caso de carga horizontal, as alturas das
vigas e pilares foram as quantidades que mais apresentaram variações com diferentes
arranjos das variáveis de projeto. Os modelos 1 e 2A foram os mais econômicos,
considerando todos os casos de cargas.
2.2.4 Trabalho de BASTOS (2004)
BASTOS (2004) utilizou Algoritmos Genéticos para desenvolver um programa
de otimização de seções retangulares de concreto armado submetidas a esforços de FCO.
A função objetivo foi a mesma definida por ARGOLO (2000), com uma pequena
modificação nas restrições do momento fletor para considerar a flexão oblíqua. As
variáveis utilizadas foram: altura (ℎ) e largura (𝑏) da seção transversal, número de barras
em uma camada de aço (𝑛𝑏) e diâmetro (∅) das barras de aço em uma mesma camada. As
restrições impostas foram referentes a resistência da seção transversal e aos limites de
taxa de armadura da norma.
No programa de Algoritmos Genéticos foi utilizada codificação binária, variáveis
discretas, aplicações com 100 indivíduos em 40 gerações, probabilidade de cruzamento
de 80% e taxa de mutação de 3%.
14
O autor comparou uma seção fixa (400 mm x 600 mm) com resultados obtidos na
literatura, o programa desenvolvido apresentou uma economia de até 13%. Já na
comparação de resultados extraídos da literatura, para o caso de FCO utilizando outros
métodos de otimização, o programa conseguiu uma economia de até 34%.
Também foi realizado um estudo de sensibilidade dos custos dos materiais, onde
diferentemente do observado por ARGOLO (2000), o insumo que mais impactou o custo
final foi o aço. Porém, o autor ressalta que para a primeira configuração de preço a taxa
de armadura ficou próxima da mínima prescrita pela norma, impedindo sua diminuição.
Caso essa restrição fosse desconsiderada, o custo de forma passaria a ser o parâmetro de
maior influência.
2.2.5 Trabalho de ALEXANDRE (2014)
ALEXANDRE (2014) aplicou o método dos Algoritmos Genéticos no
dimensionamento ótimo de vigas retangulares de concreto armado, submetidas a esforços
de flexão e cisalhamento.
A função objetivo a ser minimizada é representada pela Equação 2.5:
𝐹 = 𝐶𝑡𝑐 + 𝐶𝑡𝑠 + 𝐶𝑡𝑓 (2.5)
onde 𝐶𝑡𝑐, 𝐶𝑡𝑠 e 𝐶𝑡𝑓 é o custo total referente ao concreto, aço e forma, respectivamente.
Sendo cada custo da Equação foi formulado de acordo com as Equações 2.6, 2.7 e 2.8.
𝐶𝑡𝑐 = 𝑏 ℎ 𝐿 𝐶𝑐(𝑓𝑐𝑘) (2.6)
𝐶𝑡𝑠 = ∑(∅𝑗𝐿𝑣,𝑗𝜌𝑠𝐶𝑠(∅𝑗))
𝑛𝑣
𝑗=1
− [∑(∅𝑖𝐿𝑠,𝑖𝜌𝑠𝐶𝑠(∅𝑖))
𝑛𝑠
𝑖=1
] 𝐹𝑟
+ ∑(𝐿𝑏,𝑘𝐶𝑠′(∅𝑘))
𝑛𝑏
𝑘=1
(2.7)
𝐶𝑡𝑓 = (2 ℎ 𝑙 + ∑ 𝑏 𝐿𝑣,𝑚
𝑛𝑣′
𝑚=1
) 𝐶𝑓(ℎ)
(2.8)
sendo,
15
𝑏 é a largura da seção transversal;
ℎ é a altura da seção transversal;
𝐿 é o comprimento total da viga;
𝐿𝑣,𝑗 é o comprimento da j-ésima vara de aço;
𝐿𝑠,𝑖 é o comprimento da i-ésima sobra de barro de aço;
𝐿𝑏,𝑘 é o comprimento da k-ésima barra de aço;
𝐿𝑣,𝑚 é o comprimento entre as faces dos pilares do m-ésimo vão de viga;
𝐶𝑠(∅) é o custo do aço por kg, em função da bitola;
𝐶𝑠′(∅) é o custo da mão-de-obra por m, em função da bitola;
𝐶𝑐(𝑓𝑐𝑘) é o custo do concreto por m³, em função da sua resistência a compressão;
𝐶𝑓(ℎ) é o custo da forma por m², em função da altura da viga;
𝑁𝑏 é o número de barras de uma determinada bitola viga ou pilar;
𝑏 é a largura da seção transversal viga ou pilar;
ℎ é a altura da seção transversal viga ou pilar;
𝐿𝑣 é o comprimento do trecho da viga em metros;
𝐿𝑝 é o comprimento do trecho do pilar em metros.
As variáveis de projeto consideradas foram: resistência à compressão do concreto
(𝑓𝑐𝑘), altura da viga (ℎ), inclinação da biela (𝜃) e bitola das armaduras positivas (∅𝑝𝑜𝑠),
negativas (∅𝑛𝑒𝑔) e transversais (∅𝑒𝑠𝑡).
Em relação as restrições, na averiguação do ELU foram verificados o momento
resistente, o esforço cortante resistente e a altura da linha neutra. Para atender as restrições
referentes ao ELS verificou-se a abertura de fissuras e a deformação excessiva, levando
em consideração o tempo para o início de aplicação da carga definido pelo usuário. No
detalhamento foram verificadas as taxas de armadura; os espaçamentos mínimos e
máximos; e a geometria da seção transversal. Caso alguma destas restrições não fosse
atendida, o indivíduo era penalizado.
Na implementação dos Algoritmos Genéticos, optou-se por utilizar somente
variáveis discretas. Além disso, com o objetivo de melhorar o desempenho do programa
foram realizadas diversas análises (valores médios de 10 rodadas) com diferentes
configurações dos parâmetros. De acordo com os resultados, o autor concluiu que: o
aumento da razão entre o número de gerações e a população inicial melhora o
desempenho do operador de mutação; a otimização é sensível ao valor da taxa de
16
mutação; e o valor do fator de escalonamento não afeta de forma determinística a
convergência para a solução ótima.
Na comparação com outros trabalhos de otimização encontrados na literatura, com
a finalidade de avaliar a eficiência do programa desenvolvido, o autor observou que: a
seção ótima obtida considerando somente o dimensionamento à flexão difere da obtida
considerando o dimensionamento à flexão e ao cisalhamento; a geometria da seção ótima
é influenciada pelos custos da armadura transversal e construtiva.
Para avaliar o desempenho prático do programa piloto, fez-se a otimização de uma
viga que seria executada. O autor ressaltou que a simplificação do detalhamento da viga
tem um grande impacto econômico em seu custo final. E por fim, na análise de
sensibilidade, verificou que o custo de forma foi o mais representativo, seguido pelo custo
de concreto, aço e armador, respectivamente.
2.3 Algoritmos Genéticos
Na natureza, o homem sempre encontrou inspiração para melhorar sua qualidade
de vida. No século XIX, com a teoria da “Seleção Natural” de Darwin que consiste em
selecionar indivíduos mais adaptados a determinada condição, eliminando aqueles
desfavoráveis para a mesma condição, a medicina e suas ciências afins vêm numa busca
constante tentando “mapear” todas as informações da genética humana, relacionando
deste modo cada gene de cada cromossomo às características que eles representam nos
indivíduos: hereditárias, físicas e funcionais (SILVA, 2001).
Os Algoritmos Genéticos (AGs) são métodos de busca inspirados nos mecanismos
de evolução dos seres vivos. Em 1975, John Holland, no seu livro “Adaptation in Natural
and Artificial Systems”, introduziu os primeiros conceitos sobre AGs, que seguem o
princípio da seleção natural e sobrevivência do mais apto. HOLLAND (1975) admitia a
possibilidade de implementar um algoritmo capaz de solucionar problemas complexos
baseados no sistema de evolução da natureza.
Assim, HOLLAND (1975) desenvolveu um algoritmo que faz analogia aos
processos naturais de evolução. Primeiramente, parte-se de uma população inicial de
indivíduos através de uma codificação genética, onde cada um dos indivíduos representa
uma possível solução do problema. Em seguida, esta população é analisada por meio de
uma nota dada a cada cromossomo, medindo a qualidade da solução que ele representa.
17
Assim, baseado no princípio da sobrevivência (Darwinismo), o operador genético segue
selecionando apenas os indivíduos com maior aptidão e desconsidera os indivíduos
menos aptos para a reprodução, uma vez que os progenitores são bons, isto é, as soluções
determinadas são as melhores para resolver o determinado problema proposto naquela
geração, então é esperado que seus filhos também o sejam conduzindo a boas soluções.
Por fim, do mesmo modo que ocorre na natureza, os processos são repetidos até se
alcançar indivíduos cada vez mais aptos.
Dessa forma, os AGs a partir de uma população de indivíduos, cada um com um
valor de adaptabilidade associado, desenvolvem, através de operações genéticas como
cruzamentos e mutações, uma nova geração de indivíduos usando os princípios
Darwinianos de reprodução e sobrevivência dos mais aptos. Cada indivíduo na população
representa uma possível solução para um dado problema. O que o Algoritmo Genético
faz é procurar aquela que seja muito boa ou a melhor, visando à otimização da função
objetivo (SILVA, 2001).
O método AGs é uma metáfora desses processos de seleção natural, por isso eles
possuem diversos termos gerados da biologia. Conforme é possível encontrar na
literatura, os fundamentos referentes ao Algoritmo Genético (nomenclatura, codificação,
população inicial, número de gerações, operadores genéticos, entre outros) não foram
abordados neste trabalho, pois se entende que os mesmos já foram exaustivamente
discutidos nos trabalhos de ARGOLO (2000), BASTOS (2004), CASTRO (2001), LIMA
(2011), PIRES (2014), SILVA (2001), entre outros.
2.3.1 Diferenças entre Algoritmos Genéticos e métodos
clássicos
Inicialmente, os métodos clássicos de otimização partem de uma única solução,
que através do cálculo das derivadas é determinada a direção que se deve seguir para
determinar a próxima solução. Esses métodos atuam com cálculo de derivadas, portanto
são definidos como de ordem 𝑛, onde 𝑛 é a ordem da maior derivada. Alguns exemplos
de técnicas clássicas são: o Método dos Gradientes Conjugados, o Método de Newton e
o Método Quase-Newton
Os Algoritmos Genéticos (AGs) representam uma classe de ferramentas muito
versátil e robusta a ser empregada na solução de problemas de otimização, embora não
18
devam ser considerados somente extremizadores de funções. Assim como outros
métodos, por não empregarem o cálculo de derivadas, mas sim atuarem diretamente na
busca das soluções no espaço viável, ele é classificado como método direto ou de ordem
zero (SILVA, 2001).
Como método de otimização, os AGs se diferenciam dos métodos clássicos
matemáticos sobretudo por trabalharem com as possíveis soluções, utilizam sempre uma
população de indivíduos ou soluções e trabalham com técnicas probabilísticas. Assim, os
AGs não se prendem tão facilmente a extremos locais, já que operam com uma população
de indivíduos e realizam a busca dentro de toda a região viável.
Como principais vantagens dos AGs, podemos citar: fácil implementação,
realizam buscas simultâneas em várias regiões do espaço de busca, funcionam para
parâmetros contínuos ou discretos, e também com combinação deles, são versáteis e
dificilmente se prendem a ótimos locais. Além disso, dispensam o cálculo do gradiente
da função objetivo em relação aos parâmetros de otimização. Por essas razões, os AGs
apresentam bom desempenho na solução de muitos problemas complexos,
principalmente, com múltiplos mínimos ou máximos.
Apesar das vantagens mencionadas, os AGs demandam bastante esforço
computacional, por causa do grande número de análises das funções aptidão e suas
restrições, podem convergir lentamente para o ótimo global e demandam inúmeras
escolhas de parâmetros de configuração, o que pode tornar complexa a sua utilização. Por
outro lado, o emprego de computação paralela na função objetivo para os inúmeros
indivíduos da população pode reduzir substancialmente o tempo de computação.
2.3.2 Otimização por Algoritmos Genéticos
Para relacionar dos Algoritmos Genéticos (AGs) como técnica de otimização em
geral, primeiramente é necessário compreender as principais classes de métodos de
otimização (SILVA, 2001): exploration e exploitation.
Os métodos exploration investigam diversos pontos novos do espaço de busca, já
os métodos exploitation utilizam informações provenientes de pontos anteriores para
encontrar o melhor ponto. Um algoritmo eficiente de otimização deve empregar estes dois
métodos para alcançar o ótimo global da função objetivo. Ambos os métodos têm a
mesma tradução para o português, exploração. Apesar disso, exploitation possui o sentido
19
de obter dados presentes nas soluções encontradas e exploration significa exploração por
percorrer pontos desconhecidos no espaço de busca para alcançar novas soluções.
O cruzamento e a mutação são dois mecanismos de busca dos AGs que levam à
exploração de pontos inteiramente novos do espaço de busca (exploration). Enquanto a
seleção dirige a busca em direção aos melhores pontos do espaço de busca (exploitation),
a taxa da seleção, dada pela razão entre aptidão máxima da população e a aptidão média,
influencia a quantidade de exploitation e exploration (SILVA, 2001). Na prática, é difícil
estabelecer o equilíbrio ideal para a taxa de seleção. No momento em que a aptidão é
praticamente a mesma para toda a população, ou seja, a taxa de seleção é muito baixa, o
AG apresenta um comportamento aleatório, pois não há seleção, fazendo com que o
algoritmo realize em sua busca muita exploration. Porém, quando a taxa de seleção é
muito alta, o AG admite o comportamento dos métodos exploitation.
Conforme apresentado anteriormente, um algoritmo genético parte de uma
determinada população inicial, que é um conjunto de possíveis soluções do problema
analisado, ou soluções candidatas. Ao longo do processo evolutivo, a população é
avaliada através de notas. Essa avaliação dos indivíduos permite que os mais aptos
influenciem mais o comportamento da convergência para uma solução, tendo maior
probabilidade de darem origem a novos indivíduos. Os indivíduos podem sofrer
modificações por meio dos operadores de cruzamento e mutação, produzindo
descendentes para a próxima geração. Este procedimento é repetido até que uma solução
seja encontrada. O algoritmo a seguir apresenta um pseudocódigo que representa um AG.
Início
Inicialize a população 𝑃 aleatoriamente
Avalie indivíduos na população 𝑃
Ordene a população 𝑃 de acordo com a aptidão
Repita
Selecione operador genético
Selecione indivíduo(s) para reprodução
Aplique operador genético
Avalie indivíduo(s) gerado(s)
Selecione indivíduo 𝑥 para sobreviver
Se 𝑥 é melhor que o pior elemento de 𝑃 então
Insira 𝑥 em 𝑃 de acordo com seu “ranking”
Até critério de parada satisfeito
Fim
20
2.4 Considerações
Na Engenharia de Estruturas, alcançar um arranjo estrutural capaz de atender a
todas as condições de segurança e que, além disso, satisfaça a um ou mais critérios pré-
estabelecidos, tais como o menor custo, é um dos objetivos fundamentais dos projetistas.
Na revisão bibliográfica elaborada é possível observar que os Algoritmos Genéticos têm
se mostrado eficazes na resolução de problemas de engenharia estrutural, pois mesmo
com as pesquisas apresentadas trabalhando com diferentes naturezas do problema,
variáveis e restrições, o AG forneceu bons resultados em todas as aplicações realizadas.
Nos estudos apresentados neste trabalho, todos alcançaram redução no custo total
da estrutura e um aproveitamento mais eficiente dos materiais, evidenciando o potencial
do emprego de algoritmos de otimização em projetos de estruturas, principalmente
através de Algoritmos Genéticos. Isso ficou demonstrado nos trabalhos que comparam
suas soluções com os resultados obtidos na literatura e projetos reais.
No trabalho realizado utilizando o módulo de otimização no ANSYS foi possível
constatar com os diagramas de esforços provenientes da análise estrutural conduzida no
programa são satisfatórios. No entanto, com relação aos otimizadores disponíveis no
ANSYS, nem sempre se observa bons resultados. Para contornar tal situação, acoplar ao
programa algoritmos de otimização mais robustos pode levar a alcançar soluções
melhores.
Na formulação dos Algoritmos Genéticos, a codificação binária foi empregada em
todos os trabalhos e um destes a comparou com o código de Gray, que teve um resultado
pior. Na codificação binária é necessário constantemente a conversão entre valores reais
e binários nas diversas iterações do processo. Nenhum trabalho citado fez testes com
codificação real. Na maioria dos casos, a população inicial foi pouco discutida, dando a
entender que foi feita de forma aleatória.
A estratégia de penalização dos indivíduos não aptos se mostrou mais eficiente
que a eliminação dos indivíduos da população. Outra vantagem do processo de
penalização consistiu na facilidade com que pode ser acoplada aos Algoritmos Genéticos,
somando-se diretamente à função objetivo do problema.
Na formulação do problema estrutural a maioria dos trabalhos buscou a
otimização através da minimização do custo total de materiais, utilizando a geometria da
seção e área da armadura como variáveis de projeto. Cada trabalho utilizou uma
21
metodologia especifica para obtenção dos esforços solicitantes e resistentes da estrutura.
As restrições consideradas foram, basicamente, a resistência ao momento fletor e ao
esforço cortante e taxas de armadura mínima e máxima, prescritos pela norma brasileira.
A maioria dos critérios construtivos, como o espaçamento entre barras longitudinais,
foram considerados nas rotinas para gerar apenas soluções factíveis. As análises de
sensibilidade dos custos demonstraram a importância de se considerar o custo da forma
no custo total de estruturas moldadas “in loco”.
De maneira geral, todos os trabalhos apresentados se preocuparam em estudar
individualmente as situações de Flexão Simples, Flexão Composta Normal (FCN) e
Flexão Composta Oblíqua (FCO), seja em elementos estruturais isolados ou pórtico
plano. Na construção civil, principalmente em edificações, as estruturas (vigas e pilares)
trabalham de forma solidária, isto é, atuam como um único conjunto estrutural. Desta
forma, em uma única estrutura encontra-se mais de uma situação de projeto, tais como
pilar de extremidade e pilar de canto em situação de FCN e FCO, respectivamente.
Assim, com o objetivo de ampliar o estudo da aplicação de métodos de otimização
em estruturas de concreto armado, esse trabalho busca otimizar as dimensões da seção
transversal e armadura de um pórtico tridimensional, utilizando Algoritmos Genéticos,
obtendo projetos de custo mínimo e avaliando o emprego de métodos de otimização em
estruturas.
22
3 Metodologia
Este capítulo descreve o procedimento para minimização do custo de um pórtico
tridimensional de concreto armado com seções transversais retangulares. Para isso, serão
apresentadas as principais características do problema a ser resolvido e descrito o
funcionamento do programa utilizado para realizar a otimização. Inicialmente será
exposta a formulação do problema com os seus devidos objetivos e restrições a serem
atendidas, além das prescrições da NBR 6118:2014 sobre a estrutura de concreto armado.
Este assunto é bem mais amplo do que será apresentado, porém os conceitos
abordados são suficientes para a compreensão dos procedimentos adotados no programa
desenvolvido para o estudo. Por fim, será apresentada a metodologia computacional
desenvolvida e as principais rotinas de cálculo do programa de otimização.
3.1 Resumo geral
A metodologia aplicada busca encontrar as dimensões ótimas da seção transversal
das vigas e pilares em concreto armado de um pórtico tridimensional. Para tal, um
algoritmo genético é utilizado como ferramenta de otimização. Para cada solução
candidata é feita a análise estrutural através do programa comercial ANSYS e,
posteriormente, o dimensionamento das armaduras é realizado seguindo as orientações
da NBR 6118:2014. Por fim, o custo total da estrutura é calculado, sendo este o objetivo.
Neste trabalho, a função objetivo do problema de otimização a ser minimizada é
o custo total do pórtico, que consiste nos custos do material e da mão-de-obra do concreto,
da armadura e da forma. As variáveis de projeto são as alturas da seção transversal e as
armaduras dos elementos estruturais, sendo estas últimas dependentes das variáveis
primeiramente citadas. As constantes de projeto são a geometria retangular das seções
transversais, a largura da seção transversal, a sobrecarga, as propriedades dos materiais,
o cobrimento e os valores dos custos dos materiais e mão-de-obra. As restrições de projeto
são o equilíbrio das seções transversais dos elementos estruturais, as taxas de armadura
máxima e mínima, os espaçamentos máximos e mínimos da armadura e a verificação de
abertura de fissuras e as deformações excessivas prescritas pela norma.
23
3.2 Formulação do problema de otimização
A formulação do problema de otimização deste trabalho seguiu as principais
diretrizes matemáticas detalhadas no Capítulo 2. Os elementos para a formulação foram
aplicados para otimização do pórtico tridimensional de concreto armado.
3.2.1 Constantes de projeto
As constantes de projeto são: a geometria retangular das seções transversais, a
largura da seção transversal (𝑏), a sobrecarga, as propriedades dos materiais (módulo de
elasticidade do concreto e do aço, a resistência característica à compressão do concreto
(𝑓𝑐𝑘), o coeficiente de Poisson (𝜈) e a resistência ao escoamento do aço de armadura
passiva (𝑓𝑦), cobrimento (𝑐) e os valores dos custos dos materiais e mão-de-obra.
3.2.2 Variáveis de projeto
As variáveis independentes de projeto são as alturas da seção transversal das vigas
e pilares. A armadura dos elementos estruturais e o peso próprio são determinados em
função das variáveis independentes. Assim, no presente trabalho o problema de
otimização é formulado por apenas duas variáveis independentes: altura da seção das
vigas (ℎ𝑣) e altura da seção dos pilares (ℎ𝑝).
A quantidade de variáveis de projeto se dá conforme a concepção estrutural
analisada. Posteriormente, no Capítulo 4 são apresentadas as situações de projeto.
3.2.3 Função objetivo
A função objetivo do problema de otimização a ser minimizada é o custo total das
vigas e pilares que compõem a estrutura, que será penalizado se algum dos elementos
estruturais violar restrições. O custo total consiste nos custos do material e da mão-de-
obra do concreto, da armadura e da forma. O custo total do pórtico é dado pela Equação
3.1.
24
𝐶𝑇 = 𝐶𝑉 + 𝐶𝑃 (3.1)
onde 𝐶𝑉 é o custo total de todas as vigas e 𝐶𝑃 é o custo total de todos os pilares.
Lembrando que o custo de cada elemento estrutural será multiplicado pelas respectivas
penalizações. Os custos das vigas e pilares, já penalizados se for o caso, serão dados pelas
Equações 3.2 e 3.3.
𝐶𝑉 = ∑ [∏ 𝑃𝑒𝑛𝑟
𝑘
𝑟=1
(𝐶𝑉𝑐𝑖+ 𝐶𝑉𝑎𝑖
+ 𝐶𝑉𝑓𝑖)]
𝑚
𝑖=1
(3.2)
𝐶𝑃 = ∑ [∏ 𝑃𝑒𝑛𝑠
𝑝
𝑠=1
(𝐶𝑃𝑐𝑗+ 𝐶𝑃𝑎𝑗
+ 𝐶𝑃𝑓𝑗)]
𝑛
𝑗=1
(3.3)
Na Equação 3.2, 𝑚 é a quantidade de vigas e o custo referente ao concreto, aço e
forma são, respectivamente, 𝐶𝑉𝑐𝑖, 𝐶𝑉𝑎𝑖
e 𝐶𝑉𝑓𝑖. 𝑃𝑒𝑛𝑟 é a função de penalização para a 𝑟-
ésima restrição e 𝑘 é a quantidade de penalizações. Na Equação 4.3, 𝐶𝑃𝑐𝑗, 𝐶𝑃𝑎𝑗
e 𝐶𝑃𝑓𝑗 são
o custo referente ao concreto, aço e forma dos pilares, respectivamente, e 𝑛 é a quantidade
de pilares. 𝑃𝑒𝑛𝑠 é a função de penalização para a s-ésima restrição; e 𝑝 é a quantidade de
penalizações.
As Equações 3.4, 3.5 e 3.6 mostram as parcelas dos custos referentes às vigas.
𝐶𝑉𝑐𝑖= 𝐶𝑐 𝐿𝑣 𝑏 ℎ𝑣 (3.4)
𝐶𝑉𝑎𝑖= 𝐶𝑎 𝑦𝑎 𝐿𝑙 ∗ 𝑁𝑏 + 𝐶𝑎 𝑦𝑎 𝐿𝑤 (𝐿𝑣/𝑠) (3.5)
𝐶𝑉𝑓𝑖= 𝐶𝑓 𝐿𝑣 (𝑏 + 2 ℎ𝑣) (3.6)
As Equações 3.7, 3.8 e 3.9 mostram as parcelas dos custos referentes aos pilares.
𝐶𝑃𝑐𝑗= 𝐶𝑐 𝐿𝑝 𝑏 ℎ𝑝 (3.7)
25
𝐶𝑃𝑎𝑗= 𝐶𝑎 𝑦𝑎 𝐿𝑙 ∗ 𝑁𝑏 + 𝐶𝑎 𝑦𝑎 𝐿𝑤 (𝐿𝑝/𝑠) (3.8)
𝐶𝑃𝑓𝑗= 𝐶𝑓 𝐿𝑝 2 (𝑏 + ℎ𝑝) (3.9)
Nas Equações de 3.4 a 3.9, 𝐶𝑐 é o custo do concreto por volume, 𝐶𝑎 é o custo do
aço por peso, 𝐶𝑓 é o custo da forma por área, 𝑦𝑎 é o peso do aço, 𝐿𝑣 é o comprimento da
viga, 𝑏 é a espessura da seção transversal, 𝐿𝑃 é o comprimento do pilar, ℎ𝑣 é a altura da
seção transversal da viga, ℎ𝑝 é a altura da seção transversal do pilar, 𝐿𝑙 é o comprimento
da armadura longitudinal, 𝐿𝑤 é o comprimento da armadura transversal, 𝑁𝑏 é o número
de barras longitudinais e 𝑠 é o espaçamento entre as armaduras transversais.
3.2.4 Critério de parada
Por simplicidade, uma vez que o problema a ser resolvido é relativamente simples
com apenas dois parâmetros independentes, o critério de parada adotado está relacionado
ao número de gerações. Assim, nos resultados aqui apresentados, o número total de
soluções candidatas testadas ao longo do processo foi escolhido de tal forma que fosse
representativo o número de soluções candidatas no espaço de busca.
3.2.5 Restrições de projeto
Todos os indivíduos gerados são verificados em relação ao Estado Limite Último
(ELU), Estado Limite de Serviço (ELS) e detalhamento, conforme as recomendações
estabelecidas pela NBR 6118:2014. Caso alguma destas restrições não seja atendida, o
indivíduo será penalizado.
A penalização ocorre quando a razão entre o valor calculado e o limite
estabelecido pela norma tiver valor maior que a unidade, aumentando o valor da função
objetivo. Caso contrário, o valor da penalização será igual à unidade, mantendo o valor
da função objetivo inalterado.
3.2.5.1 Equilíbrio das seções transversais
26
As condições de equilíbrio devem ser necessariamente respeitadas de acordo com
o item 14.3.1 da NBR 6118:2014.
O pórtico tridimensional desse estudo trata da representação de uma estrutura de
pequeno porte, sobre a influência de carregamento vertical uniformemente distribuído nas
vigas e o peso próprio da estrutura, ou seja, não sofre influência de carregamentos
horizontais. Em virtude disso, foi empregada a análise linear para a verificação do ELU
e ELS, conforme o item 14.5.2 da NBR 6118:2014 que afirma que os esforços solicitantes
decorrentes de uma análise linear podem servir para o dimensionamento dos elementos
estruturais no ELU, mesmo que esse dimensionamento admita a plastificação dos
materiais, desde que se garanta uma dutilidade mínima às peças.
Por esse motivo, os elementos estruturais são dimensionados apenas para a ruptura
convencional por encurtamento-limite do concreto no domínio 3, ou seja, flexão simples
(seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento
do aço, obedecendo ao limite de comportamento dúctil presente no item 14.6.4.3 da NBR
6118:2014, garantindo uma boa dutilidade, de forma que uma eventual ruína ocorra de
forma suficientemente avisada.
Para as vigas, a armadura referente a resistência à flexão é calculada através da
Equação 3.10.
𝐴𝑠𝑣
=𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 (𝑑 − 0,4 𝑥)
(3.10)
onde,
𝐴𝑠𝑣 é a área de aço da seção transversal da viga;
𝑀𝑑 é o momento fletor de cálculo;
𝑓𝑦𝑑 é a tensão de cálculo do aço;
𝑑 é a altura útil da seção transversal da viga;
𝑥 é a altura da linha neutra da seção transversal da viga.
O dimensionamento da estrutura é realizado com os esforços obtidos no ELU. a
resistência ao esforço cortante (𝑉𝑅𝑑) é determinada utilizando a analogia da treliça,
através das equações segundo o Modelo I do item 17.4.2.2 da NBR 6118:2014. Os
esforços e deslocamentos referentes ao ELS são utilizados para verificar a abertura de
fissuras e a deformação excessiva.
27
Ao contrário do caso das vigas, para efeito de simplificação, foram utilizadas
tabelas de dimensionamento de pilares sujeitos à Flexo-Compressão Normal e Flexo-
Compressão Oblíqua obtidas pelo “software” PACON, desenvolvidas por ARAÚJO
(2006). Assim, após verificação da situação de projeto que o pilar se encontra, o programa
busca nas tabelas correspondentes, através de parâmetros obtidos pelos esforços, a taxa
mecânica (𝜔), com a qual se calcula a área da armadura, através da Equação 3.11.
𝐴𝑠𝑝
= 𝜔𝑏 ℎ𝑝 0,85 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
(3.11)
onde,
𝐴𝑠𝑝 é a área de aço da seção transversal do pilar;
𝑏 é a espessura do pilar;
ℎ𝑝 é a altura do pilar;
𝑓𝑐𝑑 é a tensão de cálculo do concreto;
𝑓𝑦𝑑 é a tensão de cálculo do aço.
3.2.5.2 Taxas de armaduras
Para satisfazer a NBR 6118:2014, devem ser impostas restrições relativas às taxas
de armadura. Para a seção retangular com armadura simples, considerando o diagrama de
tensões retangular para o concreto, o item 17.3.5.2.1 da NBR 6118:2014 define que a
armadura mínima pode ser considerada atendida se forem respeitadas as taxas mínimas
de armadura conforme a Equação 3.12, considerando o uso de aço CA-50, uma viga com
altura útil de 80% a altura da seção.
𝜌𝑚í𝑛 (
𝐴𝑠,𝑚í𝑛
𝐴𝑐) ≥ 0,15%
(3.12)
onde,
𝜌𝑚í𝑛 é a taxa geométrica mínima de armadura longitudinal;
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 é a área da seção transversal da armadura longitudinal de tração;
𝐴𝑐 é a área da seção transversal de concreto.
A taxa geométrica máxima de armadura de flexão em vigas é definida, no item
17.3.5.2.4 da NBR 6118:2014, como sendo a soma das armaduras de tração e de
28
compressão (𝐴𝑠 + 𝐴𝑠′ ) não pode ter valor maior que 4%𝐴𝑐, calculada na região fora da
zona de emendas.
A taxa geométrica mínima de armadura transversal (Equação 3.13), estabelecida
no item 17.4.1.1.1 da NBR 6118:2014, garante a dutilidade à ruína por cisalhamento.
𝜌𝑠𝑤 =
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤 𝑠 sen(𝛼)≥ 0,2
𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
(3.13)
onde,
𝜌𝑠𝑤 é a taxa geométrica de armadura transversal;
𝐴𝑠𝑤 é a área da seção transversal dos estribos;
𝑠 é o espaçamento dos estribos, segundo o eixo longitudinal;
𝛼 a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal;
𝑏𝑤 é a largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção;
𝑓𝑦𝑤𝑘 é a resistência característica ao escoamento do aço da armadura transversal;
𝑓𝑐𝑡,𝑚 é a resistência média à tração do concreto.
Apesar de não existir uma limitação para a taxa geométrica máxima de armadura
transversal, no item 18.2.1 da NBR 6118:2014 é definido que os espaços dos estribos
devem ser projetados para a introdução do vibrador e de modo a impedir a segregação
dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do elemento estrutural.
No item 17.3.5.3 da NBR 6118:2014 são especificados os valores-limites para
armaduras longitudinais de pilares. A armadura longitudinal mínima é definida pela
Equação 3.14 e a máxima armadura permitida em pilares é conforme a Equação 3.15,
considerando inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda.
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = (0,15 𝑁𝑑 𝑓𝑦𝑑⁄ ) ≥ 0,004 𝐴𝑐 (3.14)
𝐴𝑠,𝑚á𝑥 = 0,08 𝐴𝑐 (3.15)
onde,
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 é a área da seção transversal da armadura longitudinal mínima;
𝐴𝑠,𝑚á𝑥 é a área da seção transversal da armadura longitudinal máxima;
𝑁𝑑 é a força normal de cálculo;
𝑓𝑦𝑑 é a resistência ao escoamento do aço de armadura passiva de cálculo;
𝐴𝑐 é a área da seção transversal de concreto.
29
3.2.5.3 Distribuição das armaduras
Para vigas, no item 18.3.3.2 da NBR 6118:2014, o espaçamento mínimo entre
estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente
para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento da massa. E o
espaçamento máximo deve atender às condições presentes na Equação 3.16:
𝑠𝑚á𝑥 = {
0,6𝑑 ≤ 300 𝑚𝑚, 𝑠𝑒 𝑉𝑑 ≤ 0,67𝑉𝑅𝑑2
0,6𝑑 ≤ 200 𝑚𝑚, 𝑠𝑒 𝑉𝑑 > 0,67𝑉𝑅𝑑2
(3.16)
onde,
𝑠𝑚á𝑥 é o espaçamento máximo da armadura transversal;
𝑉𝑑 é a força cortante no apoio;
𝑉𝑅𝑑2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais
comprimidas de concreto;
𝑑 é a altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de
gravidade da armadura de tração.
Para pilares no item 18.4.3 da NBR 6118:2014 o espaçamento entre estribos,
medido na direção do eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem
das barras longitudinais, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores: 200
mm, menor dimensão da seção ou 12𝜙 para CA-50. Adotando 𝜙𝑡 < 𝜙/4, o espaçamento
máximo deve respeitar a limitação da Equação 3.17.
𝑠𝑚á𝑥 = 90000 (
𝜙𝑡2
𝜙)
1
𝑓𝑦𝑘
(3.17)
onde,
𝑠𝑚á𝑥 é o espaçamento máximo da armadura transversal;
𝜙 é o diâmetro das barras da armadura;
𝜙𝑡 é o diâmetro das barras de armadura transversal;
𝑓𝑦𝑘 é o valor característico da resistência ao escoamento do aço.
O arranjo transversal da armadura longitudinal das vigas é feito conforme o item
18.3.2.2 da NBR 6118:2014, que define o espaçamento mínimo livre entre as faces das
30
barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao
maior dos seguintes valores:
Na direção horizontal (𝑎ℎ): 20 mm; diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 1,2
vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo.
Na direção vertical (𝑎𝑣): 20 mm; diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 0,5 vez
a dimensão máxima característica do agregado graúdo.
O arranjo transversal da armadura longitudinal dos pilares é realizado segundo o
item 18.4.2.2 da NBR 6118:2014 que apresenta o espaçamento mínimo livre entre as
faces das barras longitudinais, diz que a região deve ser igual ou superior ao maior dos
seguintes valores: 20 mm; diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 1,2 vez a dimensão
máxima característica do agregado graúdo.
3.2.5.4 Verificação de abertura de fissuras
A fissuração em elementos estruturais de concreto armado é inevitável, devido à
grande variabilidade e à baixa resistência do concreto à tração; mesmo sob as ações de
serviço (utilização), valores críticos de tensões de tração são atingidos. Portanto, a
abertura máxima das fissuras não deve exceder valores limites estipulados de acordo com
a classe de agressividade ambiental, desde que estas não afetem a funcionalidade da
estrutura.
No item 13.4.2 da NBR 6118:2014 são exibidos os valores-limites da abertura
característica 𝑤𝑘 das fissuras (Tabela 3.1), visando garantir proteção adequada das
armaduras quanto à corrosão. O programa AG considera o limite de concreto armado para
CAA II.
Tabela 3.1: Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da
armadura, em função das classes de agressividade ambiental.
Tipo de concreto
estrutural
Classe de agressividade
ambiental e tipo
de protensão
Exigências
relativas à
fissuração
Combinação
de ações em serviço
a utilizar
Concreto armado
CAA I 𝑤𝑘 ≤ 0,4 mm
Combinação frequente CAA II e CAA III 𝑤𝑘 ≤ 0,3 mm
CAA IV 𝑤𝑘 ≤ 0,2 mm
31
De acordo com o item 17.3.3.2 da NBR 6118:2014, o valor característico da
abertura de fissuras 𝑤𝑘, determinado para cada parte da região de envolvimento, é o
menor entre os obtidos pelas Equações 3.18 e 3.19.
𝑤𝑘 =
𝜙𝑖
12,5𝜂1
𝜎𝑠𝑖
𝐸𝑠𝑖
3𝜎𝑠𝑖
𝑓𝑐𝑡𝑚
(3.18)
𝑤𝑘 =
𝜙𝑖
12,5𝜂1
𝜎𝑠𝑖
𝐸𝑠𝑖(
4
𝜌𝑟𝑖+ 45)
(3.19)
onde,
𝑤𝑘 é o valor característico da abertura de fissuras.
𝜙𝑖 é o diâmetro da armadura considerada;
𝜂1 é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada;
𝐸𝑠𝑖 é o módulo de elasticidade secante do aço da barra considerada;
𝜌𝑟𝑖 é a taxa de armadura em relação à área de concreto de envolvimento da
armadura considerada (𝐴𝑐𝑟𝑖);
𝜎𝑠𝑖 é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada,
calculada no Estádio II.
Estas equações aplicam-se a todas as barras tracionadas, sendo que para cada barra
analisada, deve ser considerada uma área (𝐴𝑐𝑟𝑖) do concreto de envolvimento, constituída
por um retângulo cujos lados não distem mais de 7,5𝜙 do eixo da barra da armadura
(Figura 3.1).
Figura 3.1: Concreto de envolvimento da armadura (ABNT NBR 6118, 2014).
O programa desenvolvido calcula a abertura de fissura para a barra mais
tracionada e para a barra com maior área de concreto de envolvimento, pois deste modo
32
cobre-se todas as demais possibilidades. No item 17.3.5.2.3 da NBR 6118:2014 define
que em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilização da
armadura de pele em toda a pele tracionada, bastando realizar a verificação descrita
acima.
3.2.5.5 Verificação de deformações excessivas
O deslocamento excessivo de uma viga pode causar danos a elementos estruturais
e não estruturais, prejudicar o funcionamento adequado da construção, gerar efeitos
visuais desagradáveis e vibrações indesejáveis da estrutura. Com a finalidade de evitar
tais problemas, no item 13.3 da NBR 6118:2014 estabelece valores-limites de
deslocamentos que visam proporcionar um adequado comportamento da estrutura em
serviço, calculados para a combinação quase permanente de carregamento. Os
deslocamentos limites considerados pelo programa AG são referentes as paredes.
Para calcular a flecha é necessário conhecer o módulo de elasticidade dos
materiais que compõem a seção (concreto e aço) e o momento de inércia da seção. No
domínio das cargas de utilização, o módulo de elasticidade do concreto e do aço são
considerados constantes, mas o mesmo não se aplica ao momento de inércia quando a
viga se encontra fissurada. No Estádio II, a altura da linha neutra (𝑥𝐼𝐼) e o momento de
inércia (𝐼𝐼𝐼) podem ser calculados utilizando-se respectivamente as Equações 3.20 e 3.21.
𝑏
2 𝑥𝐼𝐼
2 +𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠 𝐴𝑠 𝑥𝐼𝐼 −
𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠 𝐴𝑠 𝑑 = 0
(3.20)
𝐼𝐼𝐼 =
𝑏 𝑥𝐼𝐼2
3+
𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠 𝐴𝑠 (𝑑 − 𝑥𝐼𝐼)2
(3.21)
onde,
𝐴𝑠 é a área de camada de aço considerada;
𝐸𝑠 é o módulo de elasticidade do aço de armadura passiva;
𝐸𝑐𝑠 é o módulo de deformação secante do concreto;
𝑑 é a distância da camada considerada a fibra mais comprimida;
𝑏 é a espessura da seção transversal da viga considerada.
33
De acordo com o item 17.3.2.1.1 da NBR 6118:2014 para uma avaliação
aproximada da flecha imediata em vigas, pode-se utilizar a expressão de rigidez
equivalente dada pela Equação 3.22.
𝐼𝑒𝑞 = (
𝑀𝑟
𝑀𝑎)
3
𝐼𝑐 + [1 − (𝑀𝑟
𝑀𝑎)
3
] 𝐼𝐼𝐼 ≤ 𝐼𝑐 (3.22)
onde,
𝐼𝑐 é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
𝐼𝐼𝐼 o momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II;
𝑀𝑟 é o momento de fissuração do elemento estrutural;
𝑀𝑎 é o momento fletor na seção crítica do vão considerado.
Para calcular a flecha total da viga, é necessário considerar a parcela devido à
fluência do concreto sob a ação de cargas de longa duração (flecha diferida). O programa
AG segue as recomendações do item 17.3.2.1.2 da NBR 6118:2007 para o cálculo da
flecha total e diferida.
3.2.6 Considerações sobre o dimensionamento
O dimensionamento de elementos de concreto armado requer, além do
atendimento à segurança estrutural, a garantia da execução da estrutura. Para melhor
compreender a implementação proposta, faz-se necessário expor as considerações
admitidas para o dimensionamento.
O dimensionamento da estrutura é realizado com os esforços obtidos no ELU. A
combinação do carregamento permanente e variável são majoradas pelo coeficiente de
ponderação para obter os esforços referentes ao ELU. Para obter os esforços e
deslocamentos referentes ao ELS, as combinações frequentes e quase permanentes são
calculadas utilizando fatores de combinações condizentes com os estabelecidos pela NBR
6118:2014. Os esforços e deslocamentos referentes ao ELS são utilizados para verificar
a abertura de fissuras e a deformação excessiva.
Para fins práticos, tanto para as vigas quanto para os pilares, busca-se a quantidade
de barras e bitola de aço a serem utilizadas na armadura longitudinal e espaçamento e
bitola das barras de aço para a armadura transversal em tabelas de aço comerciais a partir
34
da área de aço necessária calculada. Adota-se o aço CA-50 e são consideradas que todas
as barras da armadura possuem o mesmo diâmetro em cada elemento estrutural analisado.
Além disso, os estribos permanecem com mesmo espaçamento e diâmetro em todos os
elementos estruturais.
Não foram consideradas as armaduras de montagem e suplementares, somente as
armaduras principais longitudinal e transversal.
A ancoragem das armaduras é realizada com o comprimento de ancoragem básico
(item 9.4.2.4 da NBR 6118:2014). Apesar do comprimento de ancoragem necessário
ocasionar menor consumo de aço, aplicando o comprimento de ancoragem básico há
maior padronização no tamanho das barras e, por consequência, ganhos na produção.
Figura 3.2: Esquema para os comprimentos das armaduras longitudinais nas vigas.
Para os comprimentos das armaduras longitudinais nas vigas (Figura 3.2), o
diagrama de momentos foi dividido em três regiões proporcionais a 1/3(𝑀𝑚á𝑥), somando-
se o comprimento de ancoragem, o comprimento de decalagem do diagrama al e o
comprimento de 10𝜙, conforme item 18.3.2.3.1 da NBR 6118:2014. Para o cálculo do
comprimento de ancoragem, o programa AG considera a região de armadura negativa
como de má aderência e a região de armadura positiva como de boa aderência.
Para os comprimentos das armaduras longitudinais dos pilares, é admitido que as
barras se estendem no comprimento inteiro da coluna.
35
3.2.7 Definição final do problema
A partir da função objetivo e das restrições impostas do problema, pode-se então
definir a formulação final (Equação 3.23) a ser empregada na otimização das seções de
concreto armado. Neste trabalho não existem restrições de igualdade e existem oito
restrições de desigualdade para garantir a segurança dos elementos e a obediência das
medidas normativas.
Minimizar 𝐶𝑇 = 𝐶𝑉 + 𝐶𝑃 (3.23)
Submetido a 𝑃𝑒𝑛1 = 𝑚á𝑥 (1,𝑀𝑆𝑑
𝑀𝑅𝑑)
𝑃𝑒𝑛2 = 𝑚á𝑥 (1,𝑁𝑆𝑑
𝑁𝑅𝑑)
𝑃𝑒𝑛3 = 𝑚á𝑥 (1,𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2)
𝑃𝑒𝑛4 = 𝑚á𝑥 (1,𝑥
𝑥𝑙𝑖𝑚)
𝑃𝑒𝑛5 = 𝑚á𝑥 (1,𝐴𝑠
𝐴𝑠,𝑚á𝑥)
𝑃𝑒𝑛6 = 𝑚á𝑥 (1,𝑠
𝑠𝑚á𝑥)
𝑃𝑒𝑛7 = 𝑚á𝑥 (1,𝑤𝑘
𝑤𝑙𝑖𝑚)
𝑃𝑒𝑛8 = 𝑚á𝑥 (1,𝛿𝑚á𝑥
𝛿𝑙𝑖𝑚)
A formulação para o dimensionamento dos elementos associada à otimização por
AGs foi implementada utilizando a linguagem de programação FORTRAN.
3.3 Formulação do Programa AG
36
3.3.1 Metodologia computacional
No mercado pode-se encontrar muitos programas que o engenheiro usa para
auxiliá-lo no desenvolvimento de projetos, porém estas ferramentas encontram-se muitas
vezes dispersas, trabalhando de forma isolada (LEGNANI, 2000).
LEGNANI (2000) afirma que, fundamentalmente, um sistema de otimização
consiste de quatro módulos, que são: modelo geométrico parametrizado, modelagem do
problema físico, rotinas de otimização e integração com programa comercial.
Neste trabalho buscou-se desenvolver um sistema que integre todos estes
módulos, através da associação de três abordagens independentes (Figura 3.3), tornando
o procedimento genérico. Por isso, no programa desenvolvido, o usuário tem liberdade
para modificar qualquer uma das três abordagens, adaptando a metodologia proposta para
outras aplicações.
Figura 3.3: Abordagens aplicadas no desenvolvimento do programa AG.
Assim sendo, apesar deste trabalho empregar a otimização em um pórtico
tridimensional especifico, a inclusão do programa comercial torna a metodologia
abrangente, sendo possível descrever qualquer modelo, sendo necessário apenas informar
ao AG as variáveis que serão otimizadas e os novos arquivos de leitura.
Projeto
Algoritmo de otimização
Dimensiona-mento pela
norma ABNT NBR 6118
Programa comercial para
análise estrutural
37
3.3.1.1 Análise estrutural
Quando se necessita realizar uma análise numérica de um problema físico, utiliza-
se uma formulação que expresse corretamente o fenômeno. O método de elementos
finitos é um procedimento bastante utilizado para resolver os problemas de engenharia.
A integração promovida pela metodologia proposta foi realizada a partir de um
programa de elementos finitos, o ANSYS, que possui um pré-processador que permite a
entrada de dados por um arquivo de entrada. Este arquivo é editável, escrito a partir de
comandos do ANSYS, onde estão todas as informações relativas às características do
problema que se deseja resolver. A vantagem de se ter um arquivo deste tipo está na
flexibilidade que se tem em manipular o arquivo de modo a definir a estrutura investigada
e as saídas que se deseja.
A análise estrutural é responsável pela obtenção dos esforços e deslocamentos da
estrutura. Através dos resultados obtidos nas análises é realizado o dimensionamento dos
elementos estruturais, que devem cumprir os requisitos das normas vigentes para projetos.
Com o passar dos anos, as normas podem sofrer alterações, por isso se faz necessário um
procedimento que seja facilmente adaptado para qualquer modificação normativa.
Assim, aproveitando o conhecimento do programa de elementos finitos, o
projetista pode analisar o problema a ser resolvido, e com as rotinas integradas, proceder
à otimização.
3.3.1.2 Rotinas de otimização
Um fator essencial de um procedimento de otimização é a escolha do algoritmo
para solução do problema, sendo fundamental sua formulação.
Existem vários métodos matemáticos aplicados no desenvolvimento de
algoritmos de otimização, existem também vários algoritmos já desenvolvidos com seus
códigos fonte disponíveis na internet e em bibliografia específica. Neste trabalho foram
utilizados Algoritmos Genéticos devido ao algoritmo ser bastante eficiente e de fácil
programação, conforme observado na bibliográfica estudada.
3.3.1.3 Integração com programa comercial
38
Uma das vantagens do procedimento adotado é a sua flexibilidade. Existe a
completa liberdade de poder serem incorporadas rotinas que chamem outros programas
ao sistema, enquanto a otimização permanece inalterada. Com a ajuda dessa metodologia,
o engenheiro pode executar uma análise de otimização de projeto contando com a sua
experiência e o seu conhecimento em um programa comercial de elementos finitos, o qual
é chamado externamente à estrutura principal das rotinas de otimização.
3.3.2 Descrição do programa
Neste trabalho foi desenvolvido um programa de otimização para um pórtico
tridimensional de concreto armado utilizando AG. A análise de estruturas, passo
intermediário para avaliação dos indivíduos, foi realizada no programa comercial
ANSYS. A escolha do ANSYS se deve ao fato da sua disponibilidade da versão estudante
18.2 pela Ansys Inc. e pela sua condição de trabalho, que permite que o programa seja
iniciado por uma linha de comando com os parâmetros de entrada. O programa que
contém o AG inclui também o dimensionamento dos elementos estruturais e verificações
das restrições, função objetivo e demais processos. A Figura 3.4 apresenta o fluxograma
genérico do procedimento utilizado no programa.
O processo iterativo de otimização é iniciado com a definição das variáveis de
projeto pelo AG, o qual é reescrito em um formato ANSYS, e em seguida é formado o
arquivo de entrada que ativa o processo do ANSYS em modo “batch”. Assim, após o AG
definir os dados de entrada, parte-se para a construção do modelo computacional e a
análise da estrutura via método dos elementos finitos no ANSYS, que fornecerá os
relatórios dos esforços e deformações dos elementos estruturais.
A integração com o programa comercial é feita dentro das rotinas de otimização
através de uma sub-rotina especifica que utiliza recursos do FORTRAN. No momento
em que o programa ANSYS é chamado, a rotina de otimização recebe um “pause”,
ficando temporariamente parada até que o ANSYS termine o processo e gere os arquivos
de saída. O ANSYS produz dois relatórios de saída, um para o Estado Limite de Último
(ELU) e um para Estado Limite de Serviço (ELS). Em seguida, o AG faz a leitura dos
relatórios gerados pelo ANSYS e prossegue para as rotinas de dimensionamento. Este
processo de avalição da estrutura é repetido a cada nova iteração ou em todo momento
que se deseja determinar a função objetivo e restrições.
39
Figura 3.4: Fluxograma do programa desenvolvido, com detalhe à direita para a
avaliação dos indivíduos.
Não
Sim
Sim
Não
Ansys
Esforço/Deformação
Dimensionamento Vigas
Pilares
Verificação do ELU
Verificação do ELS
Fim da Sub-rotina
Verificação do Detalhamento
Cálculo da Função Objetivo
Avaliação dos
indivíduos da
População
Entrada de Dados
Geometria/Cargas
Inicialização da População
Indivíduo selecionado
é mais apto que o
menos apto?
Número de
gerações maior que
o máximo?
Geração do Novo Indivíduo
Cruzamento e Mutação
Impressão dos Melhores Indivíduos
Fim do Programa
Ordenação da População
“ranking”
Seleção do indivíduo(s) para reprodução
Substituir o menos apto pelo mais apto
Seleção do indivíduo para sobreviver
Avaliação dos
indivíduos da
População
Avaliação dos indivíduos da
População
40
Assim, após a avaliação da população, o AG colocará os indivíduos em ordem
(ranking) de acordo com a aptidão e então irá repetir as seguintes etapas, até o critério de
parada ser satisfeito: selecionar os indivíduos para reprodução, aplicar os operadores
genéticos de cruzamento e mutação, avaliar os indivíduos gerados e selecionar o que
sobreviverá na população. Nesta última etapa, se o indivíduo gerado for melhor que o
pior elemento da população atual, então este indivíduo será inserido na população, de
acordo com sua classificação, gerando a população da nova geração.
3.3.2.1 Preparação do arquivo de entrada
Inicialmente, é escrito o arquivo de entrada para o programa ANSYS, que
descreve o modelo de elementos finitos a ser analisado com as características do projeto
inicial.
A separação do arquivo de entrada se faz necessária, pois o arquivo que contém
as variáveis de projeto sofre manipulação constante, com várias modificações provocadas
pelo AG. A manutenção deste arquivo ocorre automaticamente dentro da rotina de
otimização, através de comandos da linguagem de programação FORTRAN, que
escrevem o arquivo de variáveis de projeto com os comandos específicos do programa
ANSYS. Por fim, ocorre a concatenação com os arquivos de geometria e demais
características necessárias para proceder à análise.
As definições que fazem parte dos módulos que compõem o ANSYS são:
Pré-processamento (/PREP7): Neste módulo o arquivo mostra as definições das
características da estrutura. O arquivo mostra as características do modelo
geométrico e de elementos finitos, indicando as propriedades materiais e o tipo de
elemento a ser usado. Nesta etapa se encontram também outros comandos
relativos a controle e geração de malha e condições de contorno.
Solução (/SOLU): Neste módulo é definido o tipo de análise e são calibrados
alguns aspectos que dependem do tipo de análise, por exemplo, aspectos de não
linearidade de material, não linearidade geométrica, entre outras.
Pós-processamento (/POST1): Este é o último módulo do processo de análise
numérica por elementos finitos, onde são gerados os arquivos dos resultados dos
esforços e deformações da estrutura através do comando /OUTPUT.
41
3.3.2.2 Descrição das sub-rotinas principais
O procedimento de otimização proposto é apresentado de maneira genérica na
Figura 3.4. Nesta seção serão expostas com mais detalhes as rotinas mais relevantes do
programa.
Rotina Principal Main: Nesta rotina o usuário irá inicializar alguns parâmetros de
controle do processo de otimização, através da leitura do arquivo “paramAG”, tais
como: número de variáveis de projeto, número de rodadas do AG, número da
população, número de gerações, limite inferior e superior das variáveis de
projetos, probabilidade de cruzamento e taxa de mutação. Após as inicializações,
é chamada a sub-rotina Ag.
Sub-Rotina Ag: É nesta sub-rotina onde se inicia o processo de otimização
propriamente dito. Daqui parte a chamada para outras sub-rotinas e funções que
permitirão determinar o valor ótimo do problema, tais como determinação da
função objetivo, processo de seleção, probabilidade de cruzamento e taxa de
mutação. Assim, iterativamente o processo se repete até a máxima iteração ser
alcançada.
Função Objfun: Esta função é responsável pela formação da função objetivo. A
função Objfun chama a sub-rotina Ag_p_ansys, que executará o programa
ANSYS. Nesta sub-rotina ocorre a geração do arquivo das variáveis de projeto,
que é feito de forma automática com a linguagem FORTRAN. Após o término do
programa ANSYS, que gera os arquivos que contém os esforços e deslocamentos
da estrutura, procede-se a leitura dos arquivos de saída através da sub-rotina
Ansys_p_ag, para buscar os dados referente a função objetivo. Por fim, é
chamada a sub-rotina objetivopenalidades que é responsável pela determinação
efetiva da função objetivo
Sub-rotina Ag_p_ansys e Ansys_p_ag: A função da sub-rotina Ag_p_ansys é
fazer a concatenação dos arquivos particionados e formar o arquivo de entrada do
ANSYS. Então através de recursos da linguagem de programação se faz a
chamada do ANSYS por uma linha de comando que possui alguns parâmetros que
identificam que o programa ANSYS executará no modo “batch”, e gerará o
arquivo de saída. Após o ANSYS terminar de executar a função Objfun é
retomada e, em seguida, chama a sub-rotina Ansys_p_ag responsável pela leitura
42
dos arquivos de saída do ANSYS e armazenamento dos esforços e deslocamentos
dos elementos estruturais.
Sub-rotina Objetivopenalidades: Esta sub-rotina é responsável pela
determinação da função objetivo, armazenando a cada interação os valores já
penalizados dos custos do concreto, aço e forma dos elementos estruturais. O
cálculo das armaduras das vigas e pilares são chamados através das sub-rotinas
dimensionamento_viga e dimensionamento_pilar, respectivamente,
necessárias para a determinação dos custos já penalizados da estrutura.
3.3.3 Considerações sobre o AG
O AG utilizado nesta pesquisa foi o mesmo empregado no trabalho de PETERS
et al. (2007). A estrutura do AG é do tipo Steady-State, ou seja, de maneira geral são
gerados 𝑛 filhos que substituem os 𝑛 piores pais. Caso os novos indivíduos gerados
possuam melhores aptidões que os piores da lista de classificação, eles terão direito à
sobrevivência e os piores serão eliminados.
A seleção do AG, responsável por direcionar a procura genética em regiões
promissoras no espaço de busca, é realizada através do método da roleta, que é um dos
mais simples e difundidos métodos de seleção. A ideia básica do método é determinar a
probabilidade de seleção ou a probabilidade de sobrevivência de cada cromossomo
baseando-se no seu valor de aptidão. Quanto mais apto é um indivíduo, maior é a sua
probabilidade de ser selecionado.
A aplicação de operadores genéticos (cruzamento e mutação) é determinada pela
seleção. No AG empregado neste trabalho os operadores de cruzamento sorteiam uma
posição do cromossomo para troca do material genético entre os pais ou fazendo a
combinação linear dos valores das variáveis dos pais, em ambos os casos gerando dois
novos filhos. Já os operadores de mutação modificam o valor das variáveis sorteadas para
valores entre o atual e o máximo ou mínimo.
A representação real do AG foi mantida devido os cromossomos gerados serem
menores e não ser preciso realizar a conversão entre os parâmetros do problema com a
representação cromossômica, facilitando as operações de cruzamento e mutação.
43
4 Aplicação numérica e resultados
Neste capitulo é apresentado a aplicação numérica objetivando demonstrar a
aplicabilidade do procedimento de otimização proposto.
Inicialmente, é apresentado o modelo estrutural do pórtico tridimensional que foi
investigado. Aproveitando este mesmo pórtico, diferentes concepções estruturais são
utilizadas para representar a estrutura na aplicação realizada. Para cada modelo, diferentes
grupos de variáveis são estudados. Os resultados numéricos da aplicação são mostrados
através de gráficos que permitem avaliar o comportamento da função otimizada em cada
iteração. Com esta exposição pode-se verificar que o uso deste procedimento de
otimização é viável em um ambiente de projeto.
O desempenho do programa proposto está atrelado à eficiência do Algoritmo
Genético na busca da solução ótima. Por isso foi realizada uma análise de parâmetros do
AG para calibrar seus valores.
Ao final, é realizada uma avaliação da variação dos preços dos materiais do
pórtico tridimensional, com o objetivo de verificar a influência dos insumos (concreto,
aço e forma) na solução ótima obtida pelo AG.
Vale ressaltar que, para se tirar maior proveito da vantagem de se estar trabalhando
com métodos de otimização, o programa armazena os resultados de cada iteração. Assim,
o projetista pode escolher entre a solução ótima global, ou uma outra solução também
viável e que apresente um custo apenas ligeiramente superior.
4.1 Modelo estrutural investigado
Para esse estudo será considerado o pórtico tridimensional apresentado na Figura
4.1, formado por 5 andares (1 térreo + 4 pavimentos), com 17,50 metros de altura e uma
área em planta de 15,00 metros de extensão por 10,00 metros de largura.
O modelo em elementos finitos desenvolvido no programa ANSYS definiu o
pórtico com sua planta longitudinalmente na direção do eixo global 𝑥, transversalmente
na direção do eixo global 𝑧 e sua elevação na direção do eixo global 𝑦, conforme a Figura
4.1. O material que constitui a estrutura foi considerado trabalhando no regime linear
elástico. As condições de contorno foram definidas na base do pórtico tridimensional de
44
forma a restringir os pilares tridimensionalmente nas direções dos eixos globais 𝑥, 𝑦 e 𝑧,
representando apoios de terceiro gênero (engaste).
Foram utilizados elementos finitos de barras para a modelagem das vigas e pilares,
através do elemento tridimensional BEAM188. Este é um elemento uniaxial definido
internamente por dois nós de seis graus de liberdade em cada um (translações e rotações
em 𝑥, 𝑦 e 𝑧). A malha de elementos finitos do modelo foi refinada com dimensão de 25
cm para cada elemento.
Figura 4.1: Pórtico tridimensional que terá seus elementos estruturais otimizados.
𝑦
𝑥 𝑧
45
Em relação aos carregamentos foram considerados o peso próprio da estrutura
(𝑃𝑃) e sobrecarga (𝑆𝐷) de 15 kN/m. A resistência característica à compressão do concreto
é (𝑓𝑐𝑘) de 30 MPa, módulo de deformação secante do concreto (𝐸𝑐𝑠) de 27 GPa, massa
específica do concreto equivalente a 2500 kg/m³, resistência ao escoamento do aço de
armadura passiva (𝑓𝑦) de 500 MPa, módulo de elasticidade do aço (𝐸𝑠) igual a 210 GPa,
cobrimento (𝑐) de 30 mm e coeficiente de Poisson (𝜈) igual a 0,2.
No programa desenvolvido a largura da seção transversal (𝑏) é 20 cm e as
variáveis independentes de projeto são as alturas da seção transversal das vigas e pilares.
O mínimo para altura dos elementos é 25 cm e o máximo 50 cm. Como as variáveis de
projeto são dimensões em centímetros, optou-se em manter a codificação real dos
cromossomos. Entretanto, posteriormente, decidiu-se considerar a realidade da prática da
construção civil e os valores das variáveis fornecidas pelo AG são transformados em
números inteiros antes do dimensionamento das armaduras.
O modelo estrutural para a realização da otimização foi elaborado para explorar
várias concepções estruturais. As situações de variáveis de projeto consideradas são:
Situação 1: O pórtico em função de 2 variáveis, considerando que todas as vigas
têm a mesma altura da seção transversal, bem como os pilares.
Situação 2: O pórtico em função de 4 variáveis, sendo duas referentes aos pilares,
com um grupo com mesma altura da seção transversal do 1º ao 3º andar e outro
do 4º ao 5º andar, e as demais para as vigas transversais e outra para as
longitudinais.
Situação 3: O pórtico em função de 7 variáveis, sendo cinco referentes aos pilares,
com um grupo com mesma altura da seção transversal por andar, e as demais as
vigas transversais e longitudinais.
A Tabela 4.1 apresenta a organização dos grupos de variáveis de projeto.
Tabela 4.1: Organização dos grupos de variáveis de projeto.
Situação Pilares Vigas
1 ℎ𝑝1 ℎ𝑣1
2 ℎ𝑝1 ℎ𝑝2 ℎ𝑣1 ℎ𝑣2
3 ℎ𝑝1 ℎ𝑝2 ℎ𝑝3 ℎ𝑝4 ℎ𝑝5 ℎ𝑣1 ℎ𝑣2
46
Foram realizadas 4.000 avaliações em cada situação, com probabilidade de
cruzamento (𝑃𝑐) de 60% e taxa de mutação (𝑃𝑚) de 40%. No item 4.2, uma discussão
sobre a influência dos parâmetros no funcionamento do AG é apresentada. Nesta
discussão está incluída a justificativa da escolha dos valores para 𝑁𝑝𝑜𝑝, 𝑃𝑐 e 𝑃𝑚.
Os valores utilizados para os preços de concreto, forma e aço (Tabela 4.2) foram
extraídos do Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção Civil
(SINAPI), referente ao mês de julho de 2017 para a cidade do Rio de Janeiro.
Tabela 4.2: Preço dos insumos considerados na otimização dos elementos estruturais.
Insumo Unidade Valor
Concreto R$/m³ 325,94
Forma Viga
R$/m² 60,67
Pilar 47,98
Aço
𝜙 5,0 mm
R$/kg
20,65
𝜙 6,3 mm 19,32
𝜙 8,0 mm 18,71
𝜙 10,0 mm 15,20
𝜙 12,5 mm 12,48
𝜙 16,0 mm 9,39
𝜙 20,0 mm 8,50
𝜙 25,0 mm 9,37
4.2 Análise de parâmetros do Algoritmo Genético
A configuração dos parâmetros do AG tem grande influência no seu desempenho
e dependem do problema que está sendo estudado, de modo que os valores que
forneceram bons resultados para um problema podem não ter um mesmo desempenho
para outros casos. Desta forma, é necessário combinar diferentes parâmetros para
verificar a combinação que aumenta a probabilidade de sucesso da otimização.
Diante disso, será analisada a influência dos parâmetros 𝑁𝑝𝑜𝑝 (tamanho da
população), 𝑃𝑐 (probabilidade de cruzamento) e 𝑃𝑚 (probabilidade de mutação) no
funcionamento do AG. Neste item foram realizados testes no pórtico na situação 1, que
tem a configuração mostrada na Tabela 4.1, onde foram combinados os diferentes
parâmetros para conhecer qual combinação produz resultados mais satisfatórios.
47
A quantidade de indivíduos avaliados deve ser relativamente menor do que o
espaço de busca total para conseguir estimar o desempenho do AG, pois caso contrário o
esforço computacional será semelhante ao se realizar a otimização por busca exaustiva.
Na situação 1 o número de soluções candidatas do espaço de busca corresponde a 252,
desta forma optou-se por realizar a otimização com a avaliação de 400 indivíduos, o que
corresponde a aproximadamente 64% das soluções candidatas do espaço de busca.
A quantidade de indivíduos a serem avaliados pode ser distribuída em diferentes
valores de tamanho da população e número de gerações. Para avaliar a influência desta
distribuição são feitas análises conforme as combinações descritas na Tabela 4.3.
Tabela 4.3: Distribuição do tamanho da população e número de gerações para as
diferentes análises.
Análise População Gerações
1 10 40
2 16 25
3 20 20
4 25 16
5 40 10
Os operadores de cruzamento e mutação são os responsáveis pela a exploração do
espaço de busca. Para avaliar a eficiência desses operadores, foram realizadas rodadas
para as distribuições de população inicial e número de gerações expostos na Tabela 4.3
com as taxas apresentadas na Tabela 4.4.
Tabela 4.4: Distribuição da probabilidade de cruzamento (𝑃𝑐) e mutação (𝑃𝑚).
Arranjo 𝑃𝑐 𝑃𝑚
1 00 100
2 20 80
3 40 60
4 60 40
5 80 20
6 100 00
Os valores da Tabela 4.3 e 4.4 foram combinados entre si tendo sido obtidas 30
combinações possíveis. Como o método dos Algoritmos Genéticos não apresenta um
48
comportamento determinístico, resultados diferentes podem ser encontrados a cada
rodada realizada. Logo, as comparações a seguir são feitas com valores médios obtidos
para 10 rodadas para cada combinação. Dessa forma, com cada arranjo de 400 indivíduos
em 10 rodadas, o programa AG foi executado 4.000 vezes.
Os resultados obtidos nas 10 rodadas independentes do AG, realizadas para as 30
combinações de parâmetros, são apresentados na Figura 4.2.
Figura 4.2: Custo total do pórtico para as 10 rodadas independentes do programa AG
realizadas com as combinações de parâmetros 𝑃𝑐 e 𝑃𝑚.
Inicialmente o pórtico foi estudado para que fosse possível conhecer a solução que
apresentasse o custo mínimo global exato, obtido pela verificação de todas as seções
candidatas que compõem o espaço de busca. Em seguida, foi conhecido os custos
mínimos de cada uma das (𝑛) 10 rodadas. Por fim, foi calculado o erro relativo médio,
conforme a Equação 4.1.
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑚 =
∑ [(𝐶𝑚í𝑛 − 𝐶𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙) 𝐶𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙⁄ ]𝑛1
𝑛
(4.1)
onde, 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑚 é o erro relativo médio, 𝐶𝑚í𝑛 é o custo mínimo de cada rodada independente,
𝐶𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 é o custo mínimo global exato e 𝑛 é o número de rodadas.
122.500,0
123.000,0
123.500,0
124.000,0
124.500,0
125.000,0
125.500,0
126.000,0
126.500,0
127.000,0
10X40 16X25 20X20 25X16 40X10
Cu
sto
(R
$)
População X Gerações
1ª 0/100 2ª 20/80 3ª 40/60 4ª 60/40 5ª 80/20 6ª 100/0
49
Sintetizando os resultados obtidos na Figura 4.2, a Tabela 4.5 apresenta o custo
mínimo (𝐶𝑚í𝑛), o erro relativo médio, e a quantidade de convergência por rodada, obtidos
entre as 10 rodadas realizadas para cada combinação de parâmetros considerada.
Tabela 4.5: Custo mínimo e erro relativo médio do pórtico para as 10 rodadas
independentes do programa AG realizadas com as combinações de parâmetros 𝑃𝑐 e 𝑃𝑚.
População X
Gerações (𝑁𝑝𝑜𝑝) 𝑃𝑐 (%) 𝑃𝑚 (%) 𝐶𝑚í𝑛 (R$) Errom (%) Convergência
10 X 40
0 100 123.891,04 0,63 5
20 80 123.891,04 0,50 5
40 60 123.891,04 0,36 4
60 40 123.891,04 0,53 3
80 20 123.891,04 0,86 1
100 0 124.310,30 0,89 0
16 X 25
0 100 123.891,04 0,51 4
20 80 123.891,04 0,49 4
40 60 123.891,04 0,16 7
60 40 123.891,04 0,53 2
80 20 123.891,04 0,26 6
100 0 124.614,32 1,00 0
20 X 20
0 100 123.891,04 0,52 3
20 80 123.891,04 0,32 6
40 60 123.891,04 0,32 4
60 40 123.891,04 0,44 3
80 20 123.891,04 0,61 4
100 0 123.891,04 0,68 2
25 X 16
0 100 123.891,04 0,45 3
20 80 123.891,04 0,45 1
40 60 123.891,04 0,19 5
60 40 123.891,04 0,29 4
80 20 123.891,04 0,34 5
100 0 123.891,04 0,34 5
40 X 10
0 100 123.891,04 0,32 5
20 80 123.891,04 0,33 6
40 60 123.891,04 0,11 8
60 40 123.891,04 0,03 9
80 20 123.891,04 0,23 5
100 0 123.891,04 0,27 8
50
Os resultados da Tabela 4.5 estão ordenados na Figura 4.3 e, pode-se observar
que, de todas as 30 combinações (𝑁𝑝𝑜𝑝 − 𝑃𝑐 − 𝑃𝑚) a que produziu os melhores resultados
foi a combinação 40X10/60/40, com 0,03% de erro relativo médio. A pior combinação
de parâmetros foi 16X25/100/0 que resultou em um erro relativo médio de 1,00%.
Figura 4.3: Erro relativo médio obtido nas combinações dos parâmetros 𝑁𝑝𝑜𝑝, 𝑃𝑐 e 𝑃𝑚.
Através da Figura 4.3, nota-se que os casos onde a população inicial é maior que
o número de gerações tendem a fornecer menores erros. Assim, se observa que conforme
a população aumenta e o número de gerações diminui os resultados melhoram.
Além disso, os arranjos 40/60 e 60/40 foram responsáveis pelos melhores
resultados, verificando que o AG utilizado no estudo funciona com 𝑃𝑐 e 𝑃𝑚 próximas,
demostrando que o melhor arranjo obtido no AG pode ser empregado nas demais
situações de variáveis de projeto que serão analisadas.
Observa-se também que na análise 40X10 todos os arranjos apresentaram menor
erro e discrepância entre si, sendo o melhor com arranjo de 60/40. Dessa forma, pode-se
dizer que o melhor resultado foi obtido com probabilidade de cruzamento maior que a de
mutação e população inicial maior do que o número de geração, o que garante uma
diversidade genética inicial maior.
Ordenando pelo erro relativo médio os resultados da Figura 4.3, verifica-se pela
Figura 4.4 que, nos resultados das 10 piores combinações (10 combinações que
resultaram em maior erro relativo médio) em 6 delas foi com 𝑃𝑐 ou 𝑃𝑚 com 100%. Então,
0,00%
0,20%
0,40%
0,60%
0,80%
1,00%
10X40 16X25 20X20 25X16 40X10
Per
cen
tual
do
Err
o
População X Gerações
0/100 20/80 40/60 60/40 80/20 100/0
51
não se mostrou uma boa estratégia utilizar essas probabilidades em 100%. Isso pode ser
justificado pelo fato de haver uma grande descaracterização da população em
probabilidades elevadas, tornado mais difícil a convergência do algoritmo para um ponto
ótimo.
Figura 4.4: Erro relativo médio ordenado obtido nas combinações dos parâmetros 𝑁𝑝𝑜𝑝,
𝑃𝑐 e 𝑃𝑚.
Diante dos resultados obtidos e das análises realizadas, verificou-se que são
muitas as variáveis que devem ser combinadas para que se chegue a melhor combinação
de parâmetros nos Algoritmos Genéticos. Neste trabalho, a configuração dos parâmetros
que será utilizada na aplicação a seguir adotará a combinação dos parâmetros 𝑃𝑐 = 60%
e 𝑃𝑚 = 40%.
4.3 Aplicação
O modelo estrutural desse estudo foi analisado para três situações, onde as
variáveis de projeto para cada uma delas estão apresentadas na Tabela 4.1.
O programa AG foi processado 4.000 vezes, na primeira situação distribuídos com
400 indivíduos em 10 rodadas independentes. A escolha representativa na situação 1 foi
possível em virtude do número de soluções candidatas no espaço de busca ser 252, porém
0,00%
0,20%
0,40%
0,60%
0,80%
1,00%
1,20%
16
X2
5/1
00/
0
10
X4
0/1
00/
0
10
X4
0/8
0/2
0
20
X2
0/1
00/
0
10
X4
0/0
/10
0
20
X2
0/8
0/2
0
16
X2
5/6
0/4
0
10
X4
0/6
0/4
0
20
X2
0/0
/10
0
16
X2
5/0
/10
0
10
X4
0/2
0/8
0
16
X2
5/2
0/8
0
25
X1
6/0
/10
0
25
X1
6/2
0/8
0
20
X2
0/6
0/4
0
10
X4
0/4
0/6
0
25
X1
6/8
0/2
0
25
X1
6/1
00/
0
40
X1
0/2
0/8
0
20
X2
0/4
0/6
0
40
X1
0/0
/10
0
20
X2
0/2
0/8
0
25
X1
6/6
0/4
0
40
X1
0/1
00/
0
16
X2
5/8
0/2
0
40
X1
0/8
0/2
0
25
X1
6/4
0/6
0
16
X2
5/4
0/6
0
40
X1
0/4
0/6
0
40
X1
0/6
0/4
0
Per
cen
tual
de
Erro
Combinação dos parâmetros do AG
52
as situações 2 e 3 apresentam o equivalente a 254 e 257, respectivamente, de soluções
candidatas no espaço de busca, o que torna inviável manter a representação de 64%.
Portanto, para fins comparativos, optou-se por permanecer com 4.000 avaliações nas
situações 2 e 3, distribuídas com 200 indivíduos em 20 gerações em uma única rodada,
garantindo uma diversidade genética inicial maior.
Além da apresentação dos resultados obtidos pelo AG para cada situação, será
exposto uma solução próxima a ótima do AG e múltipla de 5 (denominada neste estudo
de solução prática). Essa comparação permite analisar a diferença entre as soluções do
AG e a prática da construção civil.
Na primeira análise, Figuras 4.5 e 4.6, considerada a situação 1 de distribuição das
variáveis de projeto da Tabela 4.1, as alturas ótimas da seção transversal para os pilares
pelo programa AG foi ℎ𝑝1 = 32 cm e para as vigas ℎ𝑣1 = 30 cm. O valor do custo ótimo
foi de R$ 123.891,04. Na configuração do AG para a solução prática, foi modificado
apenas a altura do pilar, haja vista que a solução obtida pelo AG para as vigas é múltipla
de 5, sendo utilizada a altura para a seção dos pilares ℎ𝑝1 = 35 cm, obtendo um valor do
custo prático do pórtico de R$ 124.368,11.
Deve-se ressaltar que ambas as soluções não violam as restrições. Aqui cabe frisar
que a experiência do projetista naturalmente descartaria a solução de 32 cm, embora
critérios diversos aos custos, como os estéticos, pudessem induzir a escolha desta solução.
Figura 4.5: Custos dos pórticos referentes à situação 1.
124.368,11
80.937,35
13.102,79
30.327,97
123.891,04
81.635,41
12.692,10
29.563,53
0,00 40.000,00 80.000,00 120.000,00 160.000,00
Total
Aço
Concreto
Forma
Custo (R$)
AG Prático
53
Figura 4.6: Valores das variáveis de projetos referentes à situação 1.
Ao se comparar os resultados obtidos pelo AG e a solução ótima prática (Figuras
4.5 e 4.6), nota-se que os resultados totais do pórtico são próximos e o valor prático tem
um custo 0,39% superior ao fornecido pelo AG. A diferença entre as soluções ocorreu
devido à altura do pilar e, consequentemente, maiores custos do concreto e forma. Isto se
deve ao fato da altura prática do pilar ser 9,40% maior para a solução fornecida pelo AG.
O aumento da altura do pilar ocasionou, aproximadamente, uma diminuição de 0,86% do
aço e aumento de 3,25% e 2,60% no concreto e forma, respectivamente.
Nas Figuras 4.7 e 4.8 são apresentados o detalhamento das vigas e dos pilares,
respectivamente, obtidos pelo AG.
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 30𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 8𝑚𝑚
∅𝑤 = 6.3𝑚𝑚
𝑠 = 12.5𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 30𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 8𝑚𝑚
∅𝑤 = 6.3𝑚𝑚
𝑠 = 12.5𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 30𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 9
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 6.3𝑚𝑚
𝑠 = 12.5𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 30𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 2
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 6.3𝑚𝑚
𝑠 = 12.5𝑐𝑚
Vão Lateral Vão Central Apoio Central Apoio Extremidade
Viga Longitudinal e Transversal
Figura 4.7: Detalhamento das vigas obtidos pelo AG na situação 1.
32
30
35
30
23
25
27
29
31
33
35
37
hp1 hv2
Alt
ura
da
seçã
o t
ran
sver
sal (
cm)
AG Prático
54
4º
Pav
imen
to
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
3º
Pav
imen
to
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
2º
Pav
imen
to
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
1º
Pav
imen
to
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 16𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
Tér
reo
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 20𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 20𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 16𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 16𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
Pilar Intermediário
2 repetições
Pilar de Extremidade
4 repetições
Pilar de Extremidade
2 repetições
Pilar de Canto
4 repetições
Figura 4.8: Detalhamento dos pilares obtidos pelo AG na situação 1.
Na segunda análise, Figuras 4.9 e 4.10, comparam-se os resultados da otimização
para a situação 2 de distribuição das variáveis de projeto da Tabela 4.1. Como pode ser
observado o valor do custo final pelo programa AG foi de R$ 121.882,17, o que
corresponde a 1,65% de melhoria em relação a situação 1. A solução final resultou nos
valores da altura da seção do pilar de ℎ𝑝1 = 32 cm e ℎ𝑝2 = 25 cm e para as vigas ℎ𝑣1 =
ℎ𝑣2 = 30 cm.
Na configuração do AG para a solução prática, foi modificado apenas ℎ𝑝1 dos
pilares, para uma solução próxima a ótima múltipla de 5, sendo utilizada a altura para a
seção dos pilares ℎ𝑝1 = 35 cm, obtendo um valor do custo prático do pórtico de R$
122.053,17. Deve-se ressaltar que ambas as soluções não violam as restrições.
55
Figura 4.9: Custos dos pórticos referentes à situação 2.
Figura 4.10: Valores das variáveis de projetos referentes à situação 2.
Ao comparar os resultados obtidos pelo AG e a solução prática (Figuras 4.9 e
4.10), percebe-se que os resultados totais do pórtico são muito próximos, sendo o valor
prático apenas 0,14% superior ao fornecido pelo AG. Assim como a situação 1, a
diferença entre as soluções ocorreu devido à altura do pilar e, consequentemente, maiores
custos do concreto e forma, porém a situação 2 apresentou redução da diferença entre os
insumos do AG e o prático. Isto se deve ao uso de duas variáveis de projeto para a seção
dos pilares, permitindo dimensões mais coerentes com os esforços atuantes. O aumento
da altura do pilar ocasionou uma diminuição de 0,70 % do aço e aumento de 2,00% e
1,60% no concreto e forma, respectivamente.
122.053,17
80.189,24
12.555,21
29.308,72
121.882,17
80.723,32
12.308,80
28.850,05
0,00 40.000,00 80.000,00 120.000,00 160.000,00
Total
Aço
Concreto
Forma
Custo (R$)
AG Prático
32
25
30 30
35
25
30 30
23
25
27
29
31
33
35
37
hp1 hp2 hv1 hv2
Alt
ura
da
seçã
o t
ran
sver
sal (
cm)
AG Prático
56
Na Figura 4.11 são apresentados os detalhamentos dos pilares obtidos pelo AG.
O dimensionamento das vigas permanece conforme a situação 1. É interessante observar
que a armadura dos pilares é menor nos andares superiores e para as vigas a armadura
permanece constante para todos os andares. Tal comportamento é condizente com os
esforços atuantes nas peças.
4º
Pav
imen
to
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
3º
Pav
imen
to
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
2º
Pav
imen
to
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
1º
Pav
imen
to
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 16𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
Tér
reo
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 20𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 20𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 16𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 16𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 32𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
Pilar Intermediário
2 repetições
Pilar de Extremidade
4 repetições
Pilar de Extremidade
2 repetições
Pilar de Canto
4 repetições
Figura 4.11: Detalhamento dos pilares obtidos pelo AG na situação 2.
Na terceira análise, Figura 4.12 e 4.13, considerada a situação 3 de distribuição
das variáveis de projeto da Tabela 4.1, o custo ótimo é de R$ 120.094,87, o que
corresponde a 3,16% de melhoria em relação a situação 1. A resultado encontrado pelo
AG para os valores da altura da seção do pilar são ℎ𝑝1 = 35 cm, ℎ𝑝2 = 28 cm, ℎ𝑝3 = 27
cm, ℎ𝑝4 = 25 cm e ℎ𝑝5 = 25 cm e para as vigas ℎ𝑣1 = ℎ𝑣2 = 30 cm. Na configuração do
AG para a solução prática, foi modificado apenas ℎ𝑝2 = ℎ𝑝3 = 30 cm, para a solução
57
próxima a ótima múltipla de 5, obtendo um valor do custo prático do pórtico de R$
120.412,38. Deve-se ressaltar que ambas as soluções não violam as restrições.
Figura 4.12: Custos dos pórticos referentes à situação 3.
Figura 4.13: Valores das variáveis de projetos referentes à situação 3.
Ao comparar os resultados obtidos pelo AG e a solução prática (Figuras 4.12 e
4.13), vê-se que os resultados totais do pórtico são muito próximos, sendo o valor prático
apenas 0,26% superior ao fornecido pelo AG. Assim como a situação 1 e 2, a diferença
entre as soluções ocorreu devido à altura do pilar e, consequentemente, maiores custos do
concreto e forma. O aumento da altura do pilar ocasionou uma diminuição de 0,1% do
aço e aumento de 1,15% e 0,90% no concreto e forma, respectivamente.
120.412,38
79.331,87
12.281,42
28.799,09
120.094,87
79.406,08
12.144,52
28.544,27
0,00 40.000,00 80.000,00 120.000,00 160.000,00
Total
Aço
Concreto
Forma
Custo (R$)
AG Prático
35
2827
25 25
30 30
35
30 30
25 25
30 30
23
25
27
29
31
33
35
37
hp1 hp2 hp3 hp4 hp5 hv1 hv2
Alt
ura
da
seçã
o t
ran
sver
sal (
cm)
AG Prático
58
A situação 3 apresentou uma menor redução da diferença entre os insumos do AG
e o prático, acompanhando a tendência da situação 2. Isto se deve, também, ao uso de
mais variáveis de projeto para a seção dos pilares, permitindo dimensões mais coerentes
com os esforços atuantes.
O detalhamento dos pilares obtidos pelo AG para cada trecho do pórtico está
ilustrado na Figura 4.14. Tal como esperado, as dimensões dos pilares são maiores para
os andares mais baixos da estrutura e as dimensões das vigas permaneceram constantes.
Ambos os comportamentos aqui destacados estão condizentes com as solicitações.
4º
Pav
imen
to
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
3º
Pav
imen
to
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 25𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
2º
Pav
imen
to
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 27𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 27𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 27𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 4
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 27𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
1º
Pav
imen
to
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 28𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 16𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 28𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 28𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 10𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 10𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 28𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
Tér
reo
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 35𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 8
∅𝑙 = 16𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 35𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 8
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 35𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 8
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
𝑏 = 20𝑐𝑚
ℎ = 35𝑐𝑚
𝑁𝑏 = 6
∅𝑙 = 12.5𝑚𝑚
∅𝑤 = 5𝑚𝑚
𝑠 = 15𝑐𝑚
Pilar Intermediário
2 repetições
Pilar de Extremidade
4 repetições
Pilar de Extremidade
2 repetições
Pilar de Canto
4 repetições
Figura 4.14: Detalhamento dos pilares obtidos pelo AG na situação 3.
A Figura 4.15 ilustra a resposta da função objetivo para as 3 situações analisadas.
Como era de se esperar, há uma diminuição no valor da função objetivo à medida que o
número das variáveis de projeto aumenta, ou seja, uma redução no custo é obtida quando
59
o pórtico é discretizado em 7 variáveis (situação 3). Neste caso, a solução obtida pelo
programa AG foi 3,16% mais econômica do que a proposta inicial na situação 1. Tal
resultado deve-se ao fato de ocorrer uma maior flexibilidade à medida que o número de
compartimentos aumenta e, portanto, o número de variáveis de projeto cresce.
Figura 4.15: Comparação entre os custos dos pórticos referentes as situações 1, 2 e 3.
Os custos totais de insumos dos pilares e das vigas estão apresentados nas Figuras
4.16 e Figura 4.17, respectivamente. Pode-se observar que, para os pilares e vigas, o custo
do aço constitui a maior parcela seguidos das parcelas correspondentes ao custo da forma
e do concreto.
A caracterização das vigas com seção constante é observada em todas as situações.
Isto é de certa forma previsível tendo em vista às solicitações uniformes nas vigas que
formam o pórtico e a simetria do mesmo.
29.563,53
28.850,05
28.544,27
81.635,41
80.723,32
79.406,08
12.692,10
12.308,80
12.144,52
123.891,04
121.882,17
120.094,87
0,00 20.000,00 40.000,00 60.000,00 80.000,00 100.000,00 120.000,00 140.000,00
Situação 1
Situação 2
Situação 3
Custo (R$)
Total Concreto Aço Forma
60
Figura 4.16: Comparação entre os custos dos insumos dos pilares referentes as situações
1, 2 e 3.
Figura 4.17: Comparação entre os custos dos insumos das vigas referentes as situações
1, 2 e 3.
4.4 Avaliação da variação de preços dos materiais
O resultado da otimização está vinculado aos preços utilizados para os insumos e a
mão de obra. Logo, se os preços forem alterados, a solução ótima também pode ser
alterada. Desta forma, o projeto ótimo desenvolvido para uma determinada região em um
0,00
5.000,00
10.000,00
15.000,00
20.000,00
Situação 1 Situação 2 Situação 3
Cu
sto
(R
$)
Concreto Aço Forma
0,00
20.000,00
40.000,00
60.000,00
80.000,00
Situação 1, 2 e 3
Cu
sto
(R
$)
Concreto Aço Forma
61
determinado tempo, pode não ser ótimo em regiões ou datas diferentes, pois estas
características influenciam os preços que por sua vez irão impactar a solução ótima.
Nesta seção será avaliada, a partir do resultado ótimo obtido para a situação 1 com
4.000 avaliações, a influência da variação independentemente dos custos dos insumos no
custo da solução ótima. Foram realizadas análises aumentando os custos em 25% e 50%.
Os resultados destas avaliações estão apresentados nas Tabelas 4.6, 4.7 e 4.8.
Tabela 4.6: Influência da variação de 𝐶𝑐 no custo total do pórtico.
Concreto 100% 125% 150%
Custo concreto (R$/m³) 12.692,10 15.865,13 19.038,15
Custo aço (R$/kg) 81.635,41 81.635,41 81.635,41
Custo forma (R$/m²) 29.563,53 29.563,53 29.563,53
Custo total (R$/m) 123.891,04 127.064,07 130.237,09
Tabela 4.7: Influência da variação de 𝐶𝑎 no custo total do pórtico.
Aço 100% 125% 150%
Custo concreto (R$/m³) 12.692,10 12.692,10 12.692,10
Custo aço (R$/kg) 81.635,41 102.044,26 122.453,12
Custo forma (R$/m²) 29.563,53 29.563,53 29.563,53
Custo total (R$/m) 123.891,04 144.299,90 164.708,75
Tabela 4.8: Influência da variação de 𝐶𝑓 no custo total do pórtico.
Forma 100% 125% 150%
Custo concreto (R$/m³) 12.692,10 12.692,10 12.692,10
Custo aço (R$/kg) 81.635,41 81.635,41 81.635,41
Custo forma (R$/m²) 29.563,53 36.954,41 44.345,30
Custo total (R$/m) 123.891,04 131.281,93 138.672,81
A Figura 4.18 representa os resultados do aumento dos insumos no custo total do
pórtico em percentual, mostrando que a mesma tendência de comportamento dos custos
é mantida para ambas as variações de preço, sendo o aço o insumo que exerce maior
influência no custo final da seção. Também é possível observar que a variação no preço
da forma tem impacto maior no custo do que a variação no preço do concreto, o que é
esperado tendo em vista que custo da forma é maior que o custo de concreto.
62
Figura 4.18: Influência do aumento dos insumos no custo total do pórtico.
A partir da Tabela 4.6 e da Figura 4.18, pode-se perceber que, para um aumento
de 25% e 50% no custo do concreto, há um acréscimo de 2,56% e 5,12%,
respectivamente, no custo total da solução ótima. Com base nos resultados apresentados
na Tabela 4.7 e na Figura 4.18, nota-se que para um incremento de 25% e 50% no custo
do aço, há um aumento de 16,47% e 32,95%, respectivamente, no custo final da solução
ótima. Já na Tabela 4.8 e na Figura 4.18, observa-se um aumento de 5,97% e 11,93%, no
custo final da solução ótima devido ao acréscimo de 25% e 50% no custo da forma,
respectivamente.
Nas Tabelas de 4.6 a 4.8 é possível perceber também que exceto o custo
relacionado ao preço do insumo que está variando, os demais custos não variam. Isto
significa que mesmo com alterações significativas nos custos dos insumos a solução
ótima não se altera. Portanto, para o pórtico analisado, pode-se dizer que a solução ótima
não varia com alterações de custos, ou seja, a solução ótima pode se manter por um bom
período de tempo, não sendo necessário esperar que o projeto deixe de ser ótimo devido
à variação sofrida nos custos dos insumos entre o início da elaboração do projeto e da
execução da obra.
É importante ressaltar este tipo de análise é essencial para auxiliar o detalhamento
de estruturas, já que evidencia o material que se pode tirar o maior ou menor proveito.
Isso representa mais uma vantagem do dimensionamento ótimo em relação ao
dimensionamento tradicional, pois as variáveis de custo dos materiais são levadas
diretamente em consideração no cálculo da seção.
2,56%
5,12%
16,47%
32,95%
5,97%
11,93%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
125% 150%
Concreto Aço Forma
63
5 Conclusões
A motivação para este estudo se deu a partir da constatação de que, geralmente,
os projetos estruturais são determinados de acordo com a experiência, habilidade e
intuição dos projetistas e isso garante soluções econômicas, mas não ótimas. Dessa
maneira, buscou-se desenvolver um procedimento que escolhe, em um conjunto de
possíveis soluções, as seções transversais que melhor atendam as restrições impostas.
O programa proposto foi desenvolvido utilizando a linguagem de programação
FORTRAN e envolveu a implementação de um algoritmo de otimização, um programa
comercial para análise estrutural e modelagem do pórtico e o procedimento de
dimensionamento conforme a norma NBR 6118:2014. A partir do programa
desenvolvido, foi estudada uma aplicação através da comparação entre o resultado ótimo
e a prática da construção civil. Também foi realizada uma análise de taxas de mutação e
cruzamento para verificar a combinação que aumenta a probabilidade de sucesso do
algoritmo, e uma avaliação da variação dos preços dos materiais, a fim de verificar se
aumentos significativos no preço de cada material modificaria a solução ótima encontrada
pelo AG.
Através da discussão comparativa dos resultados obtidos pelo AG para diferentes
concepções de projeto, fica evidenciada a eficácia do procedimento proposto na obtenção
das soluções ótimas. Foram alcançadas soluções coerentes com resultados esperados do
ponto de vista prático.
Na análise com diferentes combinações dos parâmetros de cruzamento e mutação
para melhorar o desempenho do Algoritmo Genético, minimizando a influência do
comportamento probabilístico no problema analisado, os resultados obtidos demostram
que o aumento da razão entre o tamanho da população inicial e o número de gerações
tende a melhorar o desempenho do algoritmo, como esperado.
Na avaliação da variação dos preços dos materiais, verificou-se que o custo do aço
é o mais representativo, seguido pelo custo da forma e concreto, respectivamente. Para as
variações de preços adotadas, pode-se verificar que os valores das variáveis da solução
ótima não foram afetados.
Pode-se concluir que o objetivo principal deste trabalho, otimizar um pórtico
tridimensional de concreto armado utilizando AGs a fim de obter projetos de custo
mínimo, foi concretizado com sucesso. Os resultados obtidos demostram que o AG
64
empregado serve como uma ferramenta a mais para auxiliar o engenheiro no ambiente de
projetos, devido ao programa não fornecer apenas uma solução ótima, mas um conjunto
de soluções. Assim, caso necessário, o projetista pode utilizar uma solução diferente da
ótima, ou seja, uma outra cujo custo seja um pouco superior, mas que seja mais
conveniente.
É de relevância observar que, das mais de um milhão de soluções possíveis que
compõem o espaço de busca do problema, com o maior número de variáveis empregadas,
o AG encontrou um ponto ótimo ou na vizinhança do ponto ótimo explorando apenas
quatro mil soluções. Constatou-se, assim, que os AGs resultam em um procedimento
robusto que consegue trabalhar com muitas variáveis e foi facilmente adaptado ao
problema proposto.
Este trabalho também teve como objetivo desenvolver um programa para
otimização estrutural integrando rotinas de otimização com um programa comercial de
elementos finitos, gerando um procedimento flexível e amigável para usuário. A maior
vantagem do programa proposto é sua flexibilidade. É importante salientar já que o
procedimento não se limita a um único algoritmo de otimização e ao programa comercial
considerado, pois através de simples alterações das rotinas de interface pode-se empregar
outros algoritmos e/ou programas comerciais.
De uma maneira geral, este estudo se destaca por apresentar ao universo dos
engenheiros uma escolha ótima da concepção estrutural de projetos. Em geral, o projeto
é influenciado por vários aspectos externos, tais como a estética, funcionalidade e
construção dos projetos arquitetônicos e complementares. Assim, o engenheiro tem de
buscar, entre todas as possibilidades, a estrutura mais econômica. Utilizando métodos de
otimização, os projetistas podem comparar de maneira automatizada diversas soluções
que atendam melhor os aspectos do projeto investigado, e assim elaborar sua proposta.
5.1 Sugestões para trabalhos futuros
Alguns temas de pesquisa podem ser sugeridos para a continuação deste trabalho:
Incluir ao projeto outros elementos estruturais, como lajes, escadas, dentre outros,
fazendo a total integração entre os elementos usuais de edifícios de concreto
armado;
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Otimizar pórticos tridimensionais de concreto armado sob a ação de carregamento
dinâmico;
Otimizar pórticos tridimensionais de concreto armado considerando a não
linearidade geométrica e física exatos e comparar os resultados obtidos para o
mesmo problema considerando os métodos aproximados para a não-linearidade
física e geométrica propostos pela NBR 6118:2014;
Considerar o 𝑓𝑐𝑘 como variável de projeto, verificando diferentes faixas de
resistência do concreto.
Ampliar o procedimento de otimização para pilares e vigas com geometria de
seção transversal diferentes da retangular (seção I, seção L, seção T e outras);
Incorporar outro tipo de algoritmo ou paralelização das análises, objetivando
alcançar uma redução de tempo para o processamento.
66
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