PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAISENGENHARIA ELETRÔNICA E DE TELECOMUNICAÇÕES

MATÉRIA: ANÁLISE DE SISTEMAS III

Análise de Sistemas IIIProjeto de Controle de Posição entre veículos

Documentação apresentada à disciplina de Análise de Sistemas III, do curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Professor: Ciro Marcus Monteiro Campos

Belo Horizonte2008

ÍNDICE

1. Introdução......................................................................................................................31.1 Enunciado................................................................................................................31.2 Diagrama de Blocos.................................................................................................41.3 Definição dos parâmetros........................................................................................4

2. Resposta ao degrau:.......................................................................................................62.1 Determinação das variáveis de estado:....................................................................7

3. Análise de Estabilidade................................................................................................73.1 Conceito de estabilidade:.........................................................................................73.2 Método de Routh ....................................................................................................83.3 – Aplicando Routh ao projeto:.................................................................................93.4 Método do Lugar das Raízes.................................................................................10

3.4.1 Aplicação no Projeto .....................................................................................113.5 Método da Resposta em Freqüência......................................................................12

3.5.1- Aplicação no projeto :...................................................................................134. Projetando um controlador PID...................................................................................14

4.1 Gráfico de Lugar das Raízes..................................................................................164.2 Resposta em Freqüência – Sistema Controlado....................................................17

5. Conclusão:...................................................................................................................18

1. Introdução

Esse trabalho tem como objetivo o projeto de um sistema que controla a

posição entre veículos para manter uma distância determinada entre eles.

A sugestão desse sistema de controle de automatização foi retirado do

livro Sistemas de Controle Modernos, de Richard C. Dorf e Robert H. Bishop,

páginas 317 e 318, exercício PP7.12

1.1 Enunciado

Os sistemas eletrônicos constituem atualmente cerca de 6% do valor de

um carro. Este número subirá para 20% por volta do ano 2000, uma vez que os

freios antibloqueio, as suspensões ativas e outras tecnologias dependentes de

computadores estão entrando em plena produção. Muito da potencia

computacional agregada será usada em novas tecnologias para carros e

estradas inteligentes, ou seja, nos sistemas IVHS (intelligente vehicle/highway

systems)[14]. O termo se refere a uma coleção variada de dispositivos

eletrônicos que fornecem informação em tempo real sobre acidentes,

engarrafamentos, roteiros e serviços de estrada a motoristas e controladores

de tráfego. O IVHS também engloba dispositivos que tornariam os veículos

mais autônomos: sistemas de prevenção de colisão e tecnologia de

rastreamento de pista de rolamento que alertam os motoristas para impedir

desastres ou que permitem aos carros se guiarem autonomamente.

Um exemplo de sistema de automatização de auto-estrada está

mostrado na Fig.12(a). Um sistema de controle de posição para manter a

distancia entre veículos está mostrado na Fig.12(b). Selecionar ka e kt de modo

que o erro estacionário a uma entrada em rampa seja menor que 25% da

magnitude de entrada, A, da rampa R(s)=A/s^2. A resposta a um comando em

degrau deve ter uma ultrapassagem menor que 3% e um tempo de

assentamento (critério de 2%) menor que 1,5 segundo.

1.2 Diagrama de Blocos

Figura 1- Diagrama de blocos do sistema

A figura a seguir, ilustra o diagrama de blocos simplificado do sistema a ser

projetado:

Figura 2 - Diagrama de blocos simplificado

1.3 Definição dos parâmetros

Erro estacionário para uma entrada a rampa

2( )

AR s

s=

li m. ( )ss

s

Ae

s G s→ ∞

= 0, 25.sse A<

( ).[( 2).( 8) . ]

kaG s

s s s ka kt=

+ + +

64

1ka

kt<

−

Para ess < 25%*A

kt = -1;ka = 64/(1-4*kt); %Valor de ka máximoka = 5;

Função de transferência em malha aberta

num = ka;

den = [1 10 16+ ka* kt 0];

Exibir função de transferência em malha aberta

ga=5/(s^3+10*s^2+11*s)

Função de transferência em malha fechada

[n,d]=feedback(num,den,1,1);

Exibir função de transferência em malha fechada

s = t f('s');

gf = 5/(s^3+10*s^2+11*s+5)

2. Resposta ao degrau:

t=[0:.01:25];figure(1),step(n,d,t), grid

Figura 3 - Resposta ao impulso do sistema

Analisando o gráfico podemos notar que a ultrapassagem é de 2% e o

ess tendo a 0, porém o tempo de assentamento é de aproximadamente 5

segundos.

2.1 Determinação das variáveis de estado:

[A,B,C,D]=tf2ss(n,d)

3. Análise de Estabilidade

3.1 Conceito de estabilidade:

A resposta temporal de um sistema é constituída por duas componentes:

a resposta transitória e a resposta em estado estacionário ou resposta

permanente. O intervalo da resposta que varia com o passar do tempo e

ocorre no princípio do funcionamento do circuito é chamada transitória. Após

seu domínio, quando o sistema já se encontra estabilizado, surge uma resposta

invariável no tempo, conhecida como estacionária ou permanente.

A resposta transitória de um sistema pode ser descrita em termos da

localização dos pólos da função de transferência. Os pólos determinam os

modos particulares de resposta. Os zeros estabelecem os pesos relativos das

funções individualmente. Uma entrada do tipo impulso caracteriza-se por ser de

curtíssima duração comparada à sua magnitude.

Para que o sistema seja estável, os pólos devem estar localizados no

semiplano esquerdo. Tal condição é necessária e suficiente. Mesmo que o

sistema seja excitado por um sinal limitado, a saída será ilimitada e, portanto,

instável caso a equação tenha pelo menos algum pólo no semiplano s da

direita ou se houver raízes repetidas sobre o eixo ωj . Diferentemente, o

sistema pode ser estável mesmo com a ocorrência de zeros no semiplano

direito. A localização exata das raízes no semiplano esquerdo também é

fundamental. Por exemplo, toda raiz complexa deve aparecer aos pares

conjugados: se ωσ jr +=1 , seu conjugado é ωσ jr −=*1 .

3.2 Método de Routh

O método de estabilidade de Routh-Hurwitz fornece uma resposta à

questão da estabilidade considerando a equação característica do sistema em

malha fechada. A equação característica no domínio de Laplace é escrita

como:

.0...)( 011

1)( =++++==∆ −− asasasasq n

nn

nS (1)

Para assegurar a estabilidade do sistema é necessário determinar se

alguma das raízes de q(s) se situa no semiplano s da direita (esta posição

caracteriza um sistema instável).Também é necessário para um sistema

estável que todos o coeficientes do polinômio (1) sejam não-nulos. Estes

requisitos são necessários, mas não suficientes.

O critério de Routh-Hurwitz é um critério necessário e suficiente para a

estabilidade de sistemas lineares. O método foi desenvolvido inicialmente em

termos de determinantes, mas utiliza-se a formulação em arranjo de tabela que

é mais conveniente.

O critério de Routh-Hurwitz estabelece que o número de raízes de q(s)

com parte real negativa é igual ao número de trocas de sinal da primeira coluna

da tabela de Routh. Este critério requer que não haja troca de sinal na primeira

coluna para se ter um sistema estável. Este requisito é ao mesmo tempo

necessário e suficiente.

3.3 – Aplicando Routh ao projeto:

'Coeficientes - Critério de Routh'a3=1;a2=10;a1=11;a0=5;b1=(-1/a2)*det([a3 a1; a2 a0])b2=(-1/a2)*det([a3 a1; 0 0])c1=(-1/b1)*det([a2 a0; b1 b2])c2=(-1/b1)*det([a2 a0; 0 0])

Como todos os coeficientes são positivos o sistema é estável

3.4 Método do Lugar das Raízes

Como as raízes do denominador da função de transferência em malha

fechada determinam o comportamento dinâmico do sistema, o método consiste

em desenhar no plano S o lugar das raízes da equação característica, ao fazer

o parâmetro K (ganho) variar de zero a infinito.

De acordo com este critério, um processo é estável para valores de K que

determinam raízes no semiplano S da esquerda. O sistema não oscila se as

raízes forem reais puras. Caso existam raízes complexas conjugadas, o

sistema torna-se oscilatório, porém mantendo-se estável. Ganhos K que

provocam raízes sobre o eixo imaginário determinam um processo

marginalmente estável. Alguns valores de K causam raízes no semiplano da

direita, de modo a sinalizar um processo instável.

O gráfico do lugar das raízes:

é simétrico em relação ao eixo real,

inclui todos os pontos no eixo real a esquerda de um número ímpar de pólos

e zeros no eixo real,

começa nos pólos de G(s).H(s) (malha aberta, K = 0),

termina nos zeros de G(s).H(s),para K = ∞, incluindo zeros no infinito,

α é o número de zeros no infinito Para α = (nº de pólos em malha aberta – nº

de zeros em malha aberta),

contém um ponto se Σ ângulos zeros – Σ ângulos pólos = r.180º,

o ponto de saída do eixo real é obtido entre as raízes de N(s) . D’(s) –

N’(s).D(s) = 0.

o ângulo das assíntotas em relação ao eixo real é dado por:

• αθ 180.r

−+

=

o ponto de intercessão das assíntotas com o eixo real é dado por :

zerosnpólosn

zerosnpólosn

ºº

ºº

−−

= ∑ ∑σ

3.4.1 Aplicação no Projeto

figure(2),rlocus(num,den),grid;

Figura 4 - Lugar das raízes do sistema não controlado

Podemos notar que o sistema não apresenta zeros e apresenta pólos em 0,

-1.26 e -8.74.

Notamos também que para ganho maior que 21.3 o sistema se torna instável.

3.5 Método da Resposta em Freqüência

A resposta em freqüência de um sistema é o resultado obtido em

estado estacionário devido a um sinal senoidal de entrada. A senóide de saída

será diferente da de entrada apenas em sua amplitude e seu ângulo de fase.

Assim, investiga-se a resposta em regime permanente do sistema a uma

entrada senoidal cuja freqüência estará variando. Matematicamente, o sinal de

saída em regime permanente a uma freqüência específica ω depende

somente da magnitude e da fase de G( ωj ).

Os diagramas de bode podem ser utilizados para a análise da

estabilidade de um sistema. Comparando os gráficos de ganho e de fase,

pode-se determinar se o sistema é estável ou não e para quais freqüências ele

tende à instabilidade. Observa-se a defasagem da saída para uma entrada que

produz um ganho unitário (0dB). Caso este defasamento seja maior que 180º o

sistema será instável. Analisa-se também se existe alguma freqüência de

entrada que produza um ganho maior ou igual ao unitário para defasagens

maiores que 180º. Caso não se observe nenhuma das condições anteriores, o

sistema será estável. Senão, o sistema será instável para qualquer freqüência

de entrada. Em suma, deve-se garantir que, quando a realimentação provoca

uma soma de sinais (defasagem maior ou igual a 180°), o sistema deve ter

ganho negativo, de forma a manter uma subtração e, logo, uma saída limitada.

Tem-se um caso particular quando, para uma mesma freqüência temos

um defasamento de 180º e um ganho de 0dB. Neste caso o sistema será

marginalmente estável assumindo comportamento oscilatório

3.5.1- Aplicação no projeto :

figure(3),margin(n,d),grid;

Margem de ganho: apresenta em quanto se pode aumentar o valor do

ganho do sistema sem que este se torne instável.

Margem de fase: indica em quanto se pode aumentar a defasagem do filtro

sem que o processo deixe de ser estável.

De acordo com o diagrama de bode podemos notar que o sistema é estável

e possui uma margem de ganho de 26.448 dB, ou seja, ajustarmos o ganho

para 441 vezes maior, o sistema estará no limite da estabilidade.

Para esta mesma freqüência (3.3173 rad/s) notamos q o gráfico de fase

passa de -180°, indicando instabilidade.

4. Projetando um controlador PID

De acordo com o critério de Routh kcr=22kcr=22;Kp=.6*kcr;Ti=.5*kcr;Td=.125*kcr;

FTMAg=((ka*Kp)+((ka*Kp/Ti)/s)+(ka*Kp*Td*s))/(s^3+10*s^2+11*s);FTMF[g1]=feedback(g,1,1,1);figure(4),step(g1,t), grid

Notamos que com esses valores de Kp,Ti e Td nosso sistema não

obedece aos requisitos. A ultrapassagem chega a ser maior que 20%.

Para ajustar o sistema vamos modificar os valores de Kp,Ti e Td por tentativa e erro para obedecer aos parâmetros do sistema

Kp=5.4;Ti=25;Td=0.9;g2=((ka*Kp)+((ka*Kp/Ti)/s)+(ka*Kp*Td*s))/(s^3+10*s^2+11*s);[g3]=feedback(g2,1,1,1);figure(5),step(g3,t), grid

Conseguimos ajustar o sistema obtendo ultrapassagem de 1%, tempo

de assentamento (critério de 2%) 1,14 segundos e ess de 1%.

4.1 Gráfico de Lugar das Raízes

figure(6),rlocus(g2),grid;npid=[24.3 27 1.08];dpid=[1 10 11 0 0];roots(npid)roots(dpid)

Localização dos Zeros:-1.0696-0.0416

Localização dos Pólos: 0 0 -8.7417 -1.2583

Para o sistema controlado notamos que este é estável para qualquer valor de ganho.

4.2 Resposta em Freqüência – Sistema Controlado

figure(7),margin(g3),grid;

O resultado da análise de estabilidade pelo Lugar das Raízes é

reforçado pelo Diagrama de Bode onde notamos que a Margem de Ganho é

infinita e que o gráfico de fase não ultrapassa -180°.

5. Conclusão:

Os sistemas de controle contribuem para todos os aspectos da

sociedade moderna. Em nossas casas, os encontramos em tudo, desde

torradeiras aos sistemas de calefação e refrigeração até aparelhos de vídeo.

Os sistemas de controle também encontram aplicações em grande escala na

ciência e na indústria, desde a pilotagem de navios e de aviões até mísseis e

ônibus espaciais.

Neste projeto, verificamos que os sistema em questão apresenta-se

dentro dos critérios requeridos indicando que está bem representado pelo

diagrama de blocos para ganhos determinados.

Através da modelagem matemática, percebemos que diversas

aplicações do nosso dia-a-dia podem ser expressas e controladas por

equações matemáticas que são bastante fiéis e precisas ao modelo real.

Dentro da temática abordada na Disciplina Análise de Sistemas III, o

programa utizado, Matlab, se destacou como uma ferramenta de grande

utilidade e praticidade na representação de sistemas e na modelagem dos

mesmos.