Fakultät VInstitut für Mechanik

Projekt Simulationstools und ihreAnwendung

«Untersuchung der Anregbarkeit vonMagnetfeldern durch sphärische Hydrodynamos

mittels Finiter Elemente Methode»

vorgelegt von:

Maximilian Becker 339764Eva Al-Dabbagh 339152David Sanwald 341204

Hochschullehrer: Prof. Dr. rer. nat. W. H. MüllerBetreuer: Felix Reich M.Sc.

Technische Universität BerlinFakultät V – Institut für Mechanik

Fachgebiet für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie15. Dezember 2015

1

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis 2

Symbolverzeichnis 2

1. Einführung 4

2. Grundlagen der Magnetohydrodynamik 42.1. Magnetohydrodynamische Approximation . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Induktionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Entdimensionalisierung der Induktionsgleichung . . . . . . . . . . . . 82.4. Überführung der Induktionsgleichung in ein Eigenwertproblem . . . 10

3. Modellierung eines kinematischen Dynamos 11

4. Das Strömungsfeld 13

5. Numerische Behandlung 155.1. Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2. Variationale Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3. Behandlung der Divergenzfreiheit des Magnetfelds . . . . . . . . . . 17

6. Ergebnisse 19

7. Diskussion 20

Literatur 21

A. Anhang 23A.1. Vektoridentitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23A.2. Quelltexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

A.2.1. Gmsh Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23A.2.2. Geschwindigkeitsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26A.2.3. Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

Abbildungsverzeichnis1. Abstraktion eines realen Fluiddynamos. . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Approximation des Modells in Abb. 1 zur numerischen Implementierung. 123. Strömungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144. Schematische Vernetzung des Fluiddynamo-Modells . . . . . . . . . 165. Nédélec-Element 1. Art mit Darstellung der sechs Freiheitsgrade . 186. Höchster Eigenwertrealteil aufgetragen gegen Reynoldszahl für die

Parameterkombination (1, -1.96, 0.1, 0.1) . . . . . . . . . . . . . . . 19

Symbolverzeichnis

D Freies Ladungspotential

H Freies Strompotential

𝜀0 Dielektrizitätskontante

𝜆 Eigenwert

𝜇0 Permeabilitätskonstante

𝜏 Charakteristische Zeitskala

𝐵 Magnetische Flussdichte

𝐵ref Referenzgröße der magnetischen Flussdichte

𝑐 Lichtgeschwindigkeit

𝐷 Ladungspotential

𝐸 Elektrische Feldstärke

𝐸ref Referenzgröße der elektrischen Feldstärke

𝐻 Strompotential

𝐽 f Freie Stromdichte

𝑗f Freie diffusive Stromdichte

𝐽A

f Freie Flächenstromladungsdichte

ℓ Charakteristische Längenskala

𝑙ref Referenzgröße der Länge

𝑀 Magnetisierung

𝑃 Polarisation

Abbildungsverzeichnis 3

𝑞A

f Freie Flächenladungsdichte

𝑞f Freie Ladungsdichte

𝑅𝑒mag magnetische Reynoldszahl

𝑡 Zeit

𝑡ref Referenzgröße der Zeit

𝑣 Geschwindigkeit

𝑣ref Referenzgröße der Geschwindigkeit

4

1. Einführung

Die Dynamotheorie, welche Anfang des 20. Jahrhunderts von Larmor begründetwurde, liefert eine Erklärung für die Entstehung und Aufrechterhaltung magnetischerFelder von Himmelskörpern [Merrill u. a. 1996, S. 305]. Sie besagt, dass durch dieBewegung von leitenden Fluiden durch bereits vorhandene Magnetfelder ein sichselbst erregender Dynamoprozess angestoßen werden kann, welcher ein weiteres Ma­gnetfeld induziert. Dieser Theorie nach entstanden durch einen solchen Prozess in derFrühzeit des Universums die jetzigen kosmologischen Magnetfelder aus sogenanntenSaatmagnetfeldern. Im Rahmen der Dynamotheorie ist die Untersuchung unter­schiedlichster Teilaspekte und Fragestellungen von Interesse. So ist insbesondere dieFrage interessant, ob bestimmte Strömungen in der Lage sind einen Dynamoprozessanzustoßen und unter welchen Bedingungen dies möglich wäre.

Zur Untersuchung dieser Fragen werden kinematische Dynamos modelliert. Dasanregende Geschwindigkeitsprofil des Fluids wird hierbei stationär vorgegeben. Eswird also darauf verzichtet das Feld mittels Impulsbilanz, unter Berücksichtigungelektromagnetischer und thermischer Effekte, zu berechnen. Diese Reduktion desModells kann vorgenommen werden, da nur die initiale Anregbarkeit magnetischerFelder Gegenstand der Untersuchung ist, nicht jedoch ihre zeitliche Evolution.

Verschiedene Arbeiten haben gezeigt, dass in sphärischen Geometrien ein Dynamo­effekt nur von Geschwindigkeitsfeldern höherer Komplexität erzielt werden kann[Elsasser 1946; Bullard u. Gellman 1954; Cowling 1933]. Die Untersuchung sol­cher komplexer Geschwindigkeitsfelder ist analytisch kaum mehr möglich, sodassnumerische Methoden eingesetzt werden. Zur numerischen Behandlung dieser Frage­stellungen sind finite Differenzen und Volumen weit verbreitet.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Anwendbarkeit der Finite-Elemente-Methodeauf einen sphärischen Fluiddynamo.

2. Grundlagen der Magnetohydrodynamik

Wie der Name schon sagt, behandelt die Magnetohydrodynamik das elektrodyna­mische Verhalten von leitenden Fluiden. Zu ihrer vollständigen Beschreibung sinddemnach die Grundgleichungen der Elektrodynamik, sowie der Strömungsmechaniknotwendig. Wie einleitend erwähnt, wird sich diese Arbeit mit dem speziellen Be­reich kinematischer Fluiddynamos auseinandersetzen, also solcher, bei denen dasStrömungsfeld als bekannt vorrausgesetzt wird. Deswegen ist es in diesem Rahmennicht notwendig, die Navier-Stokes Gleichungen zu lösen. Die grundlegenden Glei­chungen, welche elektrodynamische Prozesse beschreiben, sind die MaxwellschenGleichungen. Sie folgen aus den Postulaten, dass elektrische Ladung und magnetischer

Magnetohydrodynamische Approximation 5

Fluss Erhaltungsgrößen sind. Ausgangspunkt für die Untersuchung von hydrodyna­mischen Effekten sind die Maxwellschen Gleichungen in Materie. Sie nehmen fürreguläre Punkte bzw. an singulären Flächen folgende Form an [Müller 2011, S. 271ff.]

∇ · D = 𝑞f , (2.1a)

𝜕D

𝜕𝑡− ∇ × H = −𝐽 f , (2.1b)

∇ · 𝐵 = 0 , (2.1c)𝜕𝐵

𝜕𝑡+ ∇ × 𝐸 = 0 , (2.1d)

[[D]] · 𝑒 = 𝑞L

f , (2.2a)

[[D]]𝑤⊥ − [[H]] × 𝑒 = −𝐽L

f , (2.2b)

[[𝐵]] · 𝑒 = 0 , (2.2c)

[[𝐵]]𝑤⊥ + [[𝐸]] × 𝑒 = 0 . (2.2d)

Da sich die freie Stromdichte 𝐽 f additiv in einen diffusiven Anteil 𝑗f und einenkonvektiven Anteil 𝑞f𝑣 zerlegen lässt,

𝐽 f = 𝑗f + 𝑞f𝑣 , (2.3)

handelt es sich bei den Maxwellschen Gleichungen um acht Gleichungen, die dasdreidimensionale Verhalten des freien Ladungspotentials D, des freien Strompotenti­als H, der elektrischen Feldstärke 𝐸 und der magnetischen Flussdichte 𝐵, also dasvon 12 skalaren Unbekannten, beschreiben. Mit der vektorwertigen freien diffusivenStromdichte 𝑗f und der skalaren freien Ladungsdichte 𝑞f gehen vier weitere Größenein. Die Gleichungen (2.1a) - (2.1d) sind demnach in der aufgeführten Form starkunterbestimmt. Abhilfe schaffen die Maxwell-Lorentz-Ätherrelationen, die inInertialsystemen die Form:

𝐷 = 𝜀0𝐸 und (2.4a)

𝐻 = 1𝜇0

𝐵 (2.4b)

annehmen [Müller 2011, S. 271ff.]. Sie verbinden das Ladungspotential 𝐷 mit der elek­trischen Feldstärke 𝐸, beziehungsweise das Strompotential 𝐻 mit der magnetischenFlussdichte 𝐵. Die Potentiale 𝐷 und 𝐻 sind mit ihren materiellen Gegenstücken D

und H über die materialabhängigen Größen der Polarisierung 𝑃 und der Magnetisie­rung 𝑀 verbunden über:

D = 𝐷 + 𝑃 , (2.5a)H = 𝐻 − 𝑀 . (2.5b)

2.1. Magnetohydrodynamische Approximation

Die Magnetohydrodynamik beschäftigt sich mit einer speziellen Unterklasse vonFluiden. Nämlich denen, die weder polarisierbar (𝑃 = 0) noch magnetisierbar

Magnetohydrodynamische Approximation 6

(𝑀 = 0) sind. Für diese Fluide reduzieren sich die Maxwellschen Gleichungen(2.1a) - (2.1d) mithilfe von Gl. (2.4a), (2.4b), (2.5a) und (2.5b) auf

𝜀0∇ · 𝐸 = 𝑞f , (2.6a)

𝜀0𝜕𝐸

𝜕𝑡− 1

𝜇0∇ × 𝐵 = −𝑗f − 𝑞f𝑣 , (2.6b)

∇ · 𝐵 = 0 , (2.6c)𝜕𝐵

𝜕𝑡+ ∇ × 𝐸 = 0 . (2.6d)

Üblicherweise werden hydrodynamische Probleme in einem nichtrelativistischenKontext behandelt, sodass

||𝑣||2 ≪ 𝑐 (2.7)

gefordert wird. Um die Implikationen dieser Forderung zu untersuchen, bezeichnetman die charakteristische Zeit- und Längenskala, auf der sich das Magnetfeld ändert,mit 𝜏 und ℓ und wählt Referenzgrößen 𝐸ref, 𝐵ref sowie 𝑣ref für das 𝐸- , 𝐵- undGeschwindigkeitsfeld. Mit deren Hilfe können nun die Größenordnungen der auftre­tenden Terme in den Maxwellschen Gleichungen abgeschätzt werden. Aus Gl. (2.6d)wird zunächst ein Zusammenhang zwischen den Größenordnungen abgeleitet

𝒪(︂

𝜕𝐵

𝜕𝑡

)︂= 𝒪 (∇ × 𝐸) ⇐⇒ 𝐵ref

𝜏= 𝐸ref

ℓ⇐⇒ 𝐸ref = 𝐵ref

ℓ

𝜏. (2.8)

Für die Größenordnung der freien Ladung ergibt sich nach Gl. (2.6a) mit Hilfe desZusammenhangs aus Gl. (2.8):

𝒪(︁𝑞f)︁

= 𝒪 (𝜀0∇ · 𝐸) = 𝜀0𝐸ref

ℓ= 𝐵ref

𝜇0ℓ𝜀0𝜇0

ℓ

𝜏. (2.9)

Die hergeleiteten Zusammenhänge ermöglichen eine Analyse der Größenordnungenim Ampèreschen Durchflutungsgesetz in Gl. (2.6b)

𝒪(︂

𝜀0𝜕𝐸

𝜕𝑡

)︂− 𝒪

(︂ 1𝜇0

∇ × 𝐵

)︂= −𝒪

(︁𝑗f)︁

− 𝒪(︁𝑞f𝑣)︁

⇐⇒ 𝜀0𝐸ref𝜏

− 𝐵ref𝜇0ℓ

= −𝒪(︁𝑗f)︁

− 𝐵ref𝜇0ℓ

𝜀0𝜇0ℓ

𝜏𝑣ref

⇐⇒ 𝐵ref𝜇0ℓ

𝜀0𝜇0ℓ2

𝜏2 − 𝐵ref𝜇0ℓ

= −𝒪(︁𝑗f)︁

− 𝐵ref𝜇0ℓ

𝜀0𝜇0ℓ

𝜏𝑣ref

⇐⇒ 𝐵ref𝜇0ℓ

(︃𝜀0𝜇0

ℓ2

𝜏2 − 1)︃

= −𝒪(︁𝑗f)︁

− 𝐵ref𝜇0ℓ

𝜀0𝜇0ℓ

𝜏𝑣ref .

(2.10)

Induktionsgleichung 7

Auf Grund des Zusammenhangs

1𝜀0𝜇0

= 𝑐2 (2.11)

wird deutlich, dass die Annahmen nichtrelativistischer Mechanik

ℓ

𝜏≪ 𝑐 , sowie 𝑣ref ≪ 𝑐 (2.12)

dazu führen, dass die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes, sowie die konvektivefreie Stromdichte gegenüber der Rotation des magnetischen Feldes vernachlässigbarklein sind. Das Ampèresche Gesetz reduziert sich so in guter Näherung auf einen Zu­sammenhang zwischen der Rotation des Magnetfelds und der diffusiven Stromdichte,für die mit dem Ohmschen Gesetz

𝑗f = 𝜎 (𝐸 + 𝑣 × 𝐵) (2.13)

geschrieben werden kann. Dies stellt die Kopplung zwischen dem mechanischen Verhal­ten (Strömungsfeld) und den Maxwellschen Gleichungen dar. Die Zusammenfassungder getroffenen Näherungen ergibt einen Gleichungssatz, der als magnetohydrodyna­mische Approximation bezeichnet wird [Kovetz 2000, S. 234]:

𝜀0∇ · 𝐸 = 𝑞f , (2.14a)1𝜇0

∇ × 𝐵 = 𝜎 (𝐸 + 𝑣 × 𝐵) , (2.14b)

∇ · 𝐵 = 0 , (2.14c)𝜕𝐵

𝜕𝑡+ ∇ × 𝐸 = 0 . (2.14d)

2.2. Induktionsgleichung

Die Berechnung von kinematischen Fluiddynamos besticht durch ihre einfache mathe­matische Beschreibung. Im Gegensatz zur Berechnung von nichtlinearen Dynamos,bei der zusätzlich die Navier-Stokes-Gleichungen gelöst werden müssen, lässt sichdie Evolution des magnetischen Feldes durch nur zwei Gleichungen, Induktionsglei­chung und Divergenzfreiheit, ausdrücken. Die Induktionsgleichung ergibt sich mithilfeder Rotation von Gl. (2.14b)

1𝜇0

∇ × (∇ × 𝐵) = 𝜎∇ × (𝐸 + 𝑣 × 𝐵)

⇐⇒ 1𝜇0

∇ × (∇ × 𝐵) = 𝜎 (∇ × 𝐸 + ∇ × (𝑣 × 𝐵))(2.15)

Entdimensionalisierung der Induktionsgleichung 8

und dem Einsetzen von Gl. (2.14d):

1𝜇0

∇ × (∇ × 𝐵) = 𝜎

(︂−𝜕𝐵

𝜕𝑡+ ∇ × (𝑣 × 𝐵)

)︂⇐⇒ 𝜕𝐵

𝜕𝑡+ 1

𝜇0𝜎∇ × (∇ × 𝐵) = ∇ × (𝑣 × 𝐵) .

(2.16)

Letzteres ist eine gängige Formulierung der Induktionsgleichung. So erhält manmithilfe der Identität aus Gl. (A.1) und der Beziehung in Gl. (2.14c) auch

𝜕𝐵

𝜕𝑡= 1

𝜇0𝜎∇2𝐵 + ∇ × (𝑣 × 𝐵) . (2.17)

Ist das betrachtete leitende Fluid inkompressibel, gilt also ∇ · 𝑣 = 0, so lässt sich dieGleichung auch in die Form

𝜕𝐵

𝜕𝑡+ 𝑣 · ∇𝐵 = 1

𝜇0𝜎∇2𝐵 + 𝐵 · ∇𝑣 (2.18)

überführen. Als Nebenbedingung zur Induktionsgleichung muss die Divergenzfreiheitdes Magnetfelds

∇ · 𝐵 = 0 (2.19)

sichergestellt werden, um eine eindeutige Lösung zu erhalten. Diese Gleichung impli­ziert auch, dass das magnetische Feld im Unendlichen schneller als quadratisch zunull abfallen muss.

2.3. Entdimensionalisierung der Induktionsgleichung

Die Induktionsgleichung Gl. (2.16) wird zur besseren Behandelbarkeit in eine di­mensionslose Form überführt. Zu diesem Zweck werden Referenzgrößen für Zeit,Länge, Geschwindigkeit sowie magnetisches Feld eingeführt. Sie tragen sowohl dieGrößenordnungen der Systemparameter als auch die Einheiten. Auf diese Weisewerden die dimensionslosen Variablen

𝑡 = 𝑡

𝑡ref, �̃� = 𝑥

𝑙ref, �̃� = 𝑣

𝑣refund �̃� = 𝐵

𝐵ref

eingeführt. Das Einsetzen der dimensionslosen Variablen führt zu

𝐵ref𝑡ref

𝜕�̃�

𝜕𝑡+ 𝐵ref

𝜇0𝜎𝑙2ref∇̃ × ∇̃ × �̃� = 𝑣ref𝐵ref

𝑙ref∇̃ × (�̃� × �̃�) . (2.20)

Diese Gleichung kann so umgeformt werden:

𝜕�̃�

𝜕𝑡+ 𝑡ref

𝜇0𝜎𝑙2ref∇̃ × ∇̃ × �̃� = 𝑣ref𝑡ref

𝑙ref∇̃ × (�̃� × �̃�) , (2.21)

Entdimensionalisierung der Induktionsgleichung 9

dass durch relationales Festlegen einer der Referenzgrößen, alle Größenordnungenin einem gemeinsamen Term zusammengefasst werden können. Prinzipiell ist esmöglich diesen Größenordnungsterm mit jedem der drei Terme in der Gleichung zumultiplizieren. Anhand der Gl. (2.21) kann eine sinnvolle Relation gewählt werden.Die einfachste Möglichkeit ist die Zeitskala unterschiedlich festzulegen.

Fall 1 Die Zeitskala wird gewählt zu

𝑡ref = 𝜇0𝜎𝑙2ref , (2.22)

sodass die entdimensionalisierte Induktionsgleichung die Form

𝜕�̃�

𝜕𝑡+ ∇̃ × ∇̃ × �̃� = 𝜎𝜇0𝑙ref𝑣ref ∇̃ × (�̃� × �̃�) (2.23)

annimmt. In diesem Zusammenhang kann die gewählte Zeitskala als eine Art Dif­fusionszeit interpretiert werden. Korrespondierend dazu wird die Größe 1

𝜇0𝜎 auchmagnetische Diffusivität genannt. Der auftretende größenbehaftete Term wird ineiner Zahl zusammengefasst, welche die Diffusivität in Relation zur Konvektiondurch das Geschwindigkeitsfeld (repräsentiert durch 𝑣ref) setzt. In Anlehnung an dieStrömungsmechanik wird dieser Term auch magentische Reynoldszahl genannt:

𝑅𝑒mag = 𝜎𝜇0ℓref𝑣ref . (2.24)

Fall 2 Die Zeitskala wird gewählt zu

𝑡ref = 𝑙ref𝑣ref

, (2.25)

sodass die entdimensionalisierte Induktionsgleichung die Form

𝜕�̃�

𝜕𝑡+ 1

𝜎𝜇0𝑙ref𝑣ref∇̃ × ∇̃ × �̃� = ∇̃ × (�̃� × �̃�) (2.26)

annimmt. Die Zeitskala auf der das Problem in diesem Fall beleuchtet wird, entsprichteiner Zeit, die ein repräsentatives materielles Volumen im Strömungsfeld benötigt,um die Referenzlänge zurückzulegen. In dieser Formulierung taucht der reziprokeTerm an einer anderen Stelle in der Gleichung auf.Im Rahmen der Magnetohydrodynamik kommt der magnetischen Reynoldszahleine große Bedeutung zu. Dass sich die Induktionsgleichung bis auf einen einzigenTerm reskalieren lässt, impliziert eine gewisse Universalität der Gleichung. Wennzwei Systeme zwar unterschiedlich sind, sich aber durch die gleiche Reynoldszahlbeschreiben lassen, wird davon ausgegangen, dass die resultierende Dynamowirkungähnlich ist. Sie kann deshalb als Kontrollparameter eines abstrakten Problems aufge­fasst werden. Zu beachten ist, dass die unterschiedlichen aufgeführten Formulierungen

Überführung der Induktionsgleichung in ein Eigenwertproblem 10

der Induktionsgleichung nicht äquivalent zueinander sind. Sie unterscheiden sichin ihrem Ergebnis, da dieses auf der gewählten Zeitskala zu interpretieren ist. ImHinblick auf die Interpretierbarkeit scheint es außerdem sinnvoll den Kontrollparame­ter mit dem Term stehen zu haben, der im Rahmen der kinetischen Fluiddynamosgewisserweise als treibender Term aufgefasst werden kann. Aus diesem Grund werdensich die folgenden Untersuchungen auf die mit der magnetischen Reynoldszahlgeschriebenen Formulierung

𝜕�̃�

𝜕𝑡+ ∇̃ × ∇̃ × �̃� = 𝑅𝑒mag∇̃ × �̃� × �̃� (2.27)

beziehen. Im Kommenden wird auf die Schreibweise für entdimensionalisierte Größenverzichtet. Jede Gleichung, die die magnetische Reynoldszahl beinhaltet, liegt inentdimensionalisierter Form vor.

2.4. Überführung der Induktionsgleichung in ein Eigenwertproblem

Wie bereits in Abschn. 2.1 erwähnt, koppelt das Magnetfeld im Falle kinematischerFluiddynamos nicht an das Strömungsfeld zurück. Das führt dazu, dass für jedesStrömungsfeld mit Dynamowirkung zur Verstärkung eines Magnetfeldes, dieses Feldzeitlich divergiert, also unendlich groß wird. Da anzunehmen ist, dass nur sehr spezielleStrömungsfelder das Magnetfeld gerade aufrecht erhalten, ist es wenig sinnvoll diezeitliche Evolution von kinematischen Dynamos zu untersuchen. Stattdessen ist dasObjekt der Untersuchung die Anregbarkeit von Magnetfeldern. Gefragt ist nachden Bedingungen, unter denen ein Magnetfeld aus einer kleinen Störung herausentstehen könnte, welches sich anschließend stabilisiert. Die Fragestellung basiertalso auf einem Stabilitätsproblem. Um dieses zu lösen, wird ein Separationsansatzfür Gl. (2.27) gewählt, der das magnetische Feld multiplikativ in eine zeitabhängigeund eine ortsabhängige Funktion zerlegt:

𝐵(𝑥, 𝑡) = �̂�(𝑥)𝑇 (𝑡) . (2.28)

Es folgt

�̂�(𝑥)𝑇 ′(𝑡) + 𝑇 (𝑡) ∇ × ∇ × �̂�(𝑥) = 𝑅𝑒mag𝑇 (𝑡) ∇ × (𝑣 × �̂�(𝑥)) . (2.29)

Wählt man für die Zeitfunktion 𝑇 einen Exponentialansatz der Form

𝑇 (𝑡) = 𝑒𝜆𝑡 , (2.30)

führt es auf ein Eigenwertproblem der Form

�̂�(𝑥)𝜆𝑇 (𝑡) + 𝑇 (𝑡)∇ × ∇ × �̂�(𝑥) = 𝑅𝑒mag𝑇 (𝑡)∇ × (𝑣 × �̂�(𝑥)) , (2.31)

11

oder auch− ∇ × ∇ × �̂� + 𝑅𝑒mag ∇ × (𝑣 × �̂�) = 𝜆�̂� . (2.32)

Der Wert 𝜆 beschreibt die zeitliche Evolution des Magnetfelds und ist durch dieDifferentialgleichung der Ortsfunktion des Magnetfelds bestimmbar. Nimmt 𝜆 fürein gegebenes Geschwindigkeitsfeld und eine gegebene magnetische Reynoldszahleinen positiven Realteil an, so ist das Magnetfeld selbstverstärkend beziehungsweiseanregbar. Ist der Realteil negativ, klingt es ab beziehungsweise ist nicht anregbar.Auch auf die Hütchenschreibweise für Ortsfunktionen wird im Folgenden verzichtet.Steht der Eigenwert 𝜆 in einer Gleichung, handelt es sich um Ortsfunktionen.

3. Modellierung eines kinematischen Dynamos

Die zentrale Fragestellung unter der kinematische Fluiddynamos beleuchtet werden,behandelt die Bedingungen, unter denen ein Dynamoeffekt auftritt. Das Ziel dieserArbeit war, Verständnis für hydrodynamische Effekte im Allgemeinen zu erlangenund nicht den Dynamoprozess eines bestimmten Systems zu untersuchen. Betrachtetman z. B. die Erde als Beispiel eines real existierenden Hydrodynamos, so stellt manfest, dass diese eine sehr komplexe Form besitzt, welche nur annähernd einer Kugelentspricht. Das Innere der Erde besteht aus flüssigem Gestein, das in seinen Eigen­schaften stark inhomogen ist. Um diesen Kern sind mehrere, hauptsächlich aus festemGestein bestehende Schichten angeordnet, die in ihrer Dicke und Zusammensetzungstark variieren. Auf den Dynamoprozess wirken zusätzlich äußere Einflüsse ein, wiez. B. der Sonnenwind. Statt einer solch komplexen realitätsnahen Modellierung wurdestark von existierenden Fluiddynamos abstrahiert, um Ergebnisse von universellerGültigkeit zu erhalten und diese durch ein möglichst einfaches Modell besser zuverstehen. Auf diese Weise ergibt sich ein Fluiddynamo in maximaler Abstraktion,wie in Abb. 1 gezeigt, als Kugel aus leitendem Fluid.

𝑅 → ∞

𝐵 = 0

𝑟

Abb. 1.: Abstraktion eines realen Fluiddynamos.

12

Sie befindet sich in einem unendlich ausgedehnten Vakuum, indem das Magnetfeldnach außen auf null abfällt, sodass der Dynamo keinen äußeren Einflüssen ausgesetztist und es zu keinen Wechselwirkungen, wie Reflexionen, kommt. Das Fluid wurde alsinkompressibel, homogen und weder polarisierbar noch magnetisierbar angenommen.Die elektrische Leitfähigkeit ist konstant.

Da die numerische Behandlung von unendlich ausgedehnten Räumen problematischist, wurde das abstrakte Modell in einem weiteren Schritt approximiert. Um denkugelförmigen Fluiddynamo herum wurde eine zweite Kugel als Außenraum definiert,deren Radius sehr viel größer ist, als der des Innenraums, siehe Abb. 2.

𝑅 ≫ 𝑟

𝐵 = 0

𝑟

Abb. 2.: Approximation des Modells in Abb. 1 zur numerischen Implementierung.

Auf dem äußeren Rand des Außenraums wird das Magnetfeld als null angenommen.Aufgrund des Abfalls des magnetischen Feldes ist diese Näherung bei hinreichendgroßem Außenraum als gut anzusehen. Um Aussagen über das Verhalten des magne­tischen Feldes am Übergang zwischen Innen- und Außenraum zu treffen, müssen dieSprungbilanzen der Maxwellschen Gleichungen Gl. (2.2b) und Gl. (2.2c) ausgewertetwerden. Da weder der Innen- noch der Außenraum polarisierbar oder magnetisierbarsind, reduzieren sich die Sprungbilanzen des magnetischen Feldes zu

[[𝜀0𝐸]]𝑤⊥ − [[ 1𝜇0

𝐵]] × 𝑒 = 𝐽A

f , (3.1a)

[[𝐵]] · 𝑒 = 0 . (3.1b)

Da der Hydrodynamo im Außenraum ruht und somit keine Relativgeschwindigkeithat, reduziert sich die erste Gleichung dieses Systems zu

−[[ 1𝜇0

𝐵]] × 𝑒 = 𝐽A

f . (3.2)

Sei nun die singuläre Fläche, welche die beiden Räume trennt, ein idealer Leiter mit𝜎 → ∞, so lässt sich zeigen, dass kein singulärer Strom in der Fläche fließt [Kovetz

13

2000, S. 239]. Das System ergibt sich dann zu

[[𝐵]] × 𝑒 = 0[[𝐵]] · 𝑒 = 0

}︃[[𝐵]] = 0 , (3.3)

sodass das Magnetfeld an der singulären Fläche stetig ist. Später wird gezeigt, dassdie Stetigkeit des Magnetfelds am Übergang zwischen Innen- und Außenraum esermöglicht, beide Bereiche mathematisch gemeinsam zu behandeln.

Die Formulierung des Eigenwertproblems in Gl. (2.32) führt bei der numerischenImplementierung des Außenraums mit homogener Dirichlet-Randbedingung zueinem Problem. Da das Magnetfeld im Außenraum durch den Dynamoeffekt imInnenraum entsteht, muss die hydrodynamische Approximation auch im Außenraumgelten. Wird der Außenraum nun als Vakuum beziehungsweise als nicht elektrischleitfähig modelliert, entfällt die Kopplung der beiden Felder Gl. (2.14a) - (2.14d).Stattdessen wird das magnetische Feld im Vakuum durch

∇ × 𝐵 = 0 , (3.4a)∇ · 𝐵 = 0 (3.4b)

definiert. Ein solches Feld wird in der Literatur auch als quasistatisches Magnetfeldbezeichnet [Jackson 1962]. Diese Gleichungen lassen sich nicht wie die Induktions­gleichung in ein Eigenwertproblem überführen. Um die geplante Modellierung vonInnen- und Außenraum zu realisieren, muss sich eines Tricks bedient werden. Gailitis[1993] löst dieses Problem durch die Annahme eines leitfähigen Außenraums. Indieser Arbeit wird sich der selben Annahme bedient.

4. Das Strömungsfeld

In vorherigen Arbeiten über kinematische Fluiddynamos wurde gezeigt, dass nichtalle mit einer sphärischen Geometrie verträglichen Strömungsfelder einen Dynamoantreiben können. So zeigt Cowling [1933], dass kein Geschwindigkeitsfeld existiert,welches ein achssymmetrisches Magnetfeld aufrechterhalten kann. Elsasser [1946] zeigt,dass rein toroidale Strömungsfelder keinen Dynamo betreiben können und Parker[1955], dass das Geschwindigkeitsfeld eine ausreichende Helizität aufweisen muss.Eine sehr allgemeine Klasse von Geschwindigkeitsfeldern, die diese Anforderungenerfüllen können, führen Kumar u. Roberts [1975] ein. Sie gehen zur Vereinfachungvon inkompressiblen Fluiden aus, sodass

∇ · 𝑣 = 0 . (4.1)

Auf dreidimensionale divergenzfreie Vektorfelder kann eine toroidal-poloidal-Zerle­gung angewandt werden. Der Aufbau von Geschwindigkeitsfeldern als Linearkombi­

14

nation von poloidalen und toroidalen Anteilen, siehe Abbildung 3, ermöglicht so eineallgemeine Formulierung aller Felder, die Gl. (4.1) erfüllen.

a) b) c)

Abb. 3.: Strömungsfeld definiert durch Gl. (4.2): a) Kontourplot der toroidalen Strömungkontrolliert durch 𝜖0 im Meridianschnitt, b) Stromlinien der Meridionalzirkulation (𝜖1) imMeridianschnitt, c) Konvektionswalzen (𝜖2 und 𝜖3) im Äquatorialschnitt.

Die behandelten Strömungsfelder nehmen expandiert in führenden poloidalen undtoroidalen Anteilen die Form

𝑣 = 𝜖0𝑡01 + 𝜖1𝑠0

2 + 𝜖2𝑠2𝑐2 + 𝜖3𝑠2𝑠

2 (4.2)

an. Dabei handelt es sich vermutlich um die einfachst möglichen sphärischen Strö­mungsfelder, die eine Dynamowirkung aufrechterhalten können. Bei 𝑡𝑚

𝑙 und 𝑠𝑚𝑙

handelt es sich um toroidale und poloidale Kugelflächenfunktionen

𝑡𝑚

{︁cossin

}︁𝑙 = ∇ ×

[︃𝑡𝑚𝑙 (𝑟)𝑃 𝑚

𝑙 (cos 𝜃){︃

cossin

}︃(𝑚𝜑)𝑒𝑟

]︃, (4.3)

𝑠𝑚

{︁cossin

}︁𝑙 = ∇ × ∇ ×

[︃𝑠𝑚

𝑙 (𝑟)𝑃 𝑚𝑙 (cos 𝜃)

{︃cossin

}︃(𝑚𝜑)𝑒𝑟

]︃, (4.4)

sodass die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfelds sichergestellt wird. Die Ex­pansion in eine Basis aus Kugelflächenfunktionen ermöglicht es eine geschlossenesphärische Form zu konstruieren. Dafür werden die zugeordneten Legendrepolynome𝑃 𝑚

𝑙 genutzt, welche die sphärische Symmetrie reflektieren. Die skalaren Funktionen𝑡𝑚𝑙 und 𝑠𝑚

𝑙 werden so gewählt, dass das Geschwindigkeitsfeld im Koordinatenursprungdifferenzierbar ist und am äußeren Rand zu null wird. Um den Rechenaufwand geringzu halten werden nur Legendrepolynome bis zum zweiten Grad verwendet. Für die

15

Funktionen ergibt sich

𝑡01(𝑟) = 𝑟2(1 − 𝑟2) ,

𝑠02(𝑟) = 𝑟6(1 − 𝑟2)3 ,

𝑠2𝑐2 (𝑟) = 𝑟4(1 − 𝑟2)2 cos(𝑝𝜋𝑟) ,

𝑠2𝑠2 (𝑟) = 𝑟4(1 − 𝑟2)2 sin(𝑝𝜋𝑟) .

(4.5)

Damit die magnetische Reynoldszahl der primäre Kontrollparameter des Systemsbleibt, muss das Geschwindigkeitsfeld normiert werden. Gubbins u. a. [2000] schlagenvor die magnetische Reynoldszahl derart zu definieren, dass die kinetische Energiedes Geschwindigkeitsfelds auf eins normiert wird:

ˆ

𝑉

𝑣2 d𝑉 = 𝛼𝜖20 + 𝛽𝜖2

1 + 𝛾𝜖22 + 𝛿𝜖2

3 = 1 , (4.6)

wobei die Skalare 𝛼, 𝛽, 𝛾 und 𝛿 Integrale der skalaren Funktionen in Gl. (4.5) sind.Mithilfe der Orthogonalitätsrelationen für Legendrepolynome kann gezeigt werden,dass Mischterme in verschiedenen 𝜖 nicht auftauchen. Die numerische Integrationergibt für 𝑝 = 𝑚 = 3

𝛼 ≈ 0,213 , 𝛽 ≈ 0,039 , 𝛾 ≈ 30,335 , 𝛿 ≈ 31,042 .

Um den zu untersuchenden Parameterraum zu verkleinern wird im folgenden au­ßerdem 𝜖2 = 𝜖3 angenommen. Auf diese Weise lässt sich die kinetische Energie desStrömungsfeldes aufteilen in Energie aus Meridionalzirkulation, bestimmt durch 𝜖0,Differentialrotation, bestimmt durch 𝜖1, sowie Konvektion, bestimmt durch 𝜖2 = 𝜖3.

5. Numerische Behandlung

Die numerische Lösung partieller Differentialgleichungen basiert auf der Diskreti­sierung der Gleichungen in Zeit und Raum. Da die Induktionsgleichung um diezeitliche Evolution zu eliminieren in ein Eigenwert umformuliert wird, entfällt dieDiskretisierung des Zeitbereichs in dieser Arbeit. Die räumliche Diskretisierung desProblems erfolgt mittels der Finite-Elemente-Methode. Implementiert wurde dasModell mithilfe der open-source Bibliothek FEniCS.

5.1. Vernetzung

Die Diskretisierung mittels FEM basiert auf die Einteilung des Simulationsgebietsin einzelne Elemente. Dies wird auch Vernetzung genannt. Für diese Arbeit wurde

Variationale Formulierung 16

Abb. 4.: Schematische Vernetzung des Fluiddynamo-Modells: Der Anschaulichkeit wegenist das Verhältnis der Größen von Außenraum (grün) und Innenraum (orange) in dieserAbbildung deutlich geringer als im simulierten Modell.

das in Abb. 2 dargestellte approximierte Modell mithilfe des open-source ProgrammsGmsh mit Tetraedern automatisch vernetzt.

Da der Dynamoprozess im Innenraum des Modells abläuft, ist in dieser Region mithohen Gradienten im Magnetfeld zu rechnen. Deshalb muss in diesem Bereich dieVernetzung ausreichend fein sein, um starke Gradienten aufzulösen. In der äußerendomain fällt das Magnetfeld mit höherer Ordnung nach außen ab. Die abzubildendenGradienten fallen dementsprechend analog ab. Um gute Präzision der Simulation beigleichzeitig geringen Berechnungszeiten sicherzustellen, wurde aus den angeführtenGründen der Vernetzungsdichte nach außen skaliert (s. Abb. 4).

5.2. Variationale Formulierung

Zu diesem Zweck wurde eine variationale Formulierung der Induktionsgleichung fürden Innenraum Gl. (2.32), sowie für den Außenraum erarbeitet. Zunächst wird dieGleichung skalar mit einer Testfunktion 𝛿𝐵 multipliziert

(−∇ × (∇ × 𝐵) + 𝑅𝑒mag∇ × (𝑣 × 𝐵)) · 𝛿𝐵 = 𝜆𝐵 · 𝛿𝐵

(𝐴.2)⇐⇒ − ∇ · [(∇ × 𝐵) × 𝛿𝐵] − (∇ × 𝐵) · (∇ × 𝛿𝐵) ++ 𝑅𝑒mag {∇ · [(𝑣 × 𝐵) × 𝛿𝐵] + (𝑣 × 𝐵) · (∇ × 𝛿𝐵)} = 𝜆𝐵 · 𝛿𝐵 .

(5.1)

Behandlung der Divergenzfreiheit des Magnetfelds 17

Die Integration der lokalen Form über ein Gebiet Ω mithilfe des Gaussschen Inte­gralsatzes führt auf:ˆ

Ω

[− (∇ × 𝐵) · (∇ × 𝛿𝐵) + 𝑅𝑒mag (𝑣 × 𝐵) · (∇ × 𝛿𝐵) − 𝜆𝐵 · 𝛿𝐵] d𝑉 +

+˛

𝜕Ω

[−𝑛 · ((∇ × 𝐵) × 𝛿𝐵) + 𝑛 · 𝑅𝑒mag (𝑣 × 𝐵) × 𝛿𝐵] d𝐴 = 0 (5.2)

und nach Zusammenfassen auf die schwache Formulierung in integraler Formˆ

Ω

[(∇ × 𝐵) · (−∇ × 𝐵 + 𝑅𝑒mag(𝑣 × 𝐵)) − 𝜆𝐵 · 𝛿𝐵] d𝑉 +

+˛

𝜕Ω

𝑛 · [− (∇ × 𝐵) × 𝛿𝐵 + 𝑅𝑒mag (𝑣 × 𝐵) × 𝛿𝐵] d𝐴 = 0 . (5.3)

Diese Formulierung ist zunächst sowohl für den Innenraum als auch für den Außen­raum gültig. Aufgrund der Glattheit sowohl des magnetischen Feldes als auch desGeschwindigkeitsfeldes

[[𝐵]] = [[𝑣]] = 0 (5.4)

kann auf die Betrachtung getrennter Integrationsbereiche verzichtet werden. Statt­dessen wird nur eine Integration über das gesamte Gebiet durchgeführt, wobei dasGeschwindigkeitsfeld im Außenraum null bleibt.

5.3. Behandlung der Divergenzfreiheit des Magnetfelds

Wie bereits in Abschn. 2 angesprochen, reicht die Induktionsgleichung nicht aus,um das Problem des kinematischen Dynamos zu beschreiben. Zusätzlich muss dieDivergenzfreiheit des Magnetfelds in der numerischen Implementierung sicherge­stellt werden. In der Simulation wurden rotationskonforme Kantenelemente, genauerNédélec-Elemente 1. Art, genutzt. Rotationskonform bezeichnet in diesem Zusam­menhang die Tatsache, dass der Finite Elemente Raum des Elements vollständig im𝐻(𝑟𝑜𝑡) Sobolev-Raum liegt, also dass

𝐸 ⊆ 𝐻(𝑟𝑜𝑡) (5.5)

gilt, wobei 𝐸 den Ansatzraum der Formfunktionen der rotationskonformen Nédélec-Elemente 1. Art bezeichnet [Logg u. a. 2012, S. 93f]. Die Rotationskonformität von zu­sammengesetzten Polynomen erfordert die Stetigkeit der tangentialen Komponenten.Deshalb entsprechen die Freiheitsgrade des in Abbildung 5 dargestellten, 𝐻(𝑟𝑜𝑡)-kon­

18

formen Tetraeder-Elements 1. Art den Tangentialkomponenten des approximiertenFeldes an den sechs Kanten des Tetraeders.

Abb. 5.: Nédélec-Element 1. Art mit Darstellung der sechs Freiheitsgrade

Im Gegensatz zu den weit verbreiteten Nodal-Elementen, deren Freiheitsgrade dieStetigkeit der zusammengesetzten Lösung an den Knoten der Elemente sicherstellen,sind die Freiheitsgrade der Kantenelemente vektorwertig, was diesen Elementtypbesonders interessant für die Simulation von Vektorfeldern macht [Logg u. a. 2012,S. 102]. Dies war z. B. auch in der vorliegenden Arbeit erforderlich. Nédélec selbstschreibt in der ersten Veröffentlichung zu der von ihm entdeckten Familie vonElementen [Nédélec 1980, S. 340]:

The main advantage of these finite elements is the possibility of approxi­mating Maxwells equations while exactly verifying one of the physicallaw[s].

Die neuere Literatur [Touma Holmberg 1998, S. 25] stellt ebenfalls fest, dass dieFreiheitsgrade der Kanten der verwendeten Nédélec-Elemente 1. Art divergenzfreisind. Durch die Verwendung dieses Elementtyps konnte auch in der vorliegendenArbeit die Divergenzfreiheit des B-Feldes weitestgehend realisiert werden. EineÜberprüfung ergab, dass

‖∇ × 𝐵‖2𝐿2(Ω) ≫ ‖∇ · 𝐵‖2

𝐿2(Ω) ≈ 0 (5.6)

gilt, also die Divergenz um mehrere Größenordnungen kleiner als die Rotation desapproximierten Feldes ist. Jedoch wird inzwischen an verschiedenen Stelle ange­merkt, dass die approximierten Felder durch Sprünge ihrer Normalkomponenten anden Flächen der Tetraeder-Elemente nicht vollkommen divergenzfrei sein müssen[Mur 1994b, a; Touma Holmberg 1998]. Die Divergenzfreiheit des B-Felds ausschließ­lich durch die Art des Element-Typs zu realisieren, könnte im Rahmen weitererUntersuchungen kritisch hinterfragt werden.

19

6. Ergebnisse

Um Aussagen über die Anregbarkeit eines Magnetfelds bei bestimmten Geschwindig­keitsfeldern zu treffen, sollte untersucht werden unter welchen Bedingungen bzw. beiwelchen Parameterkombinationen es Lösungen des Eigenwertproblems gibt, die einenpositiven Realteil haben.

Zunächst wurde ein rein toroidales Geschwindigkeitsfeld (𝜖0 ≈ 8,4, 𝜖1 = 𝜖2 = 𝜖3 = 0)überprüft. In Übereinstimmung mit Elsasser [1946] ergab die Simulation, dass auchbei hohen Reynoldszahlen kein Dynamoeffekt angeregt werden kann.

Dann wurde im Regime höherer Helizität nach Lösungen und kritischenReynoldszahlen gesucht. Im Folgenden werden die Untersuchungen anhandder Parameterkombination (1, -1.96, 0.1, 0.1) veranschaulicht. Bei feststehenderParameterkombination wurde die magnetische Reynoldszahl sukzessive gesenkt umeinen kritischen Punkt zu identifizieren. In Abb. 6 ist der höchste berechnete Realteilder Eigenwerte gegen die Reynoldszahl aufgetragen. Die Anzahl konvergierenderEigenwerte fällt jedoch mit sinkender Reynoldszahl ab, sodass kein kritischerPunkt bestimmt werden konnte. Im Bereich niedriger Reynoldszahlen lässt sichdie generierte Kurve jedoch sehr gut durch eine quadratische Kurve annähern.Mithilfe dieses Fits kann eine kritische Reynoldszahl von 𝑅𝑒mag ≈ 70 extrapoliertwerden. Für dieselbe Parameterkombination gibt Gubbins u. a. [2000] eine kritischeReynoldszahl von 80.17 an.

102103104

101

102

103

104

𝑅𝑒mag

max

(Re{

𝜆𝑖})

0100200300

0

50

100

150

200

𝑅𝑒mag

max

(Re{

𝜆𝑖})

Simulierte WerteQuadratischer Fit

Abb. 6.: Höchster Eigenwertrealteil aufgetragen gegen Reynoldszahl für die Parameterkom­bination (1, -1.96, 0.1, 0.1), Doppelt-Logarithmischer Plot für großen Parameterbereich (links),Bereich kleiner Eigenwerte, sowie lokal quadratischer Fit mit 𝑓(𝑥) = 0.0023𝑥2 + 0.272𝑥 − 30.3mit 𝑅2 = 0.999 (rechts).

Zuletzt wurde noch die Anregung bei optimaler Helizität bzw. für reine Konvektion𝜖0 = 𝜖1 = 0 bzw. für das Parameterquadrupel (0, 0, 0.128, 0.128) untersucht. Auchfür optimale Helizität wurde kein anregbares Magnetfeld gefunden, was ebenfalls denErgebnissen aus der Literatur entspricht.

20

7. Diskussion

Die Anregbarkeit von Dynamoprozessen in sphärischen Fluiddynamos wurde mit­tels einer Finite-Elemente-Methode untersucht. Es wurden in Übereinstimmung mitErgebnissen aus der Literatur für eine bestimmte Klasse von Geschwindigkeitsfel­dern Lösungen des Eigenwertproblems in Gl. (2.32) bei ausreichender magnetischerReynolds’zahl gefunden. Aufgrund von Konvergenzproblemen bei der Lösung desEigenwertproblems konnte jedoch keine kritische Reynolds’zahl ermittelt werden,bei welcher der Realteil des größten Eigenwerts null ist. Ohne Aussagen über dieExistenz oder Höhe dieser Kennzahl treffen zu können, kann jedoch die Fähigkeit ver­schiedener Geschwindigkeitsfelder einen Dynamoprozess anzustoßen nicht verglichenwerden.

Eine besondere Schwierigkeit bei der Behandlung von magnetischen Feldern mithilfefiniter Elemente ist sicherzustellen, dass die Approximation des Magnetfelds dieBedingung der Divergenzfreiheit erfüllt. Dies wurde in der vorliegenden Arbeit durchdie Verwendung von Nédélec-Elementen gelöst. Die Untersuchung der Divergenz desapproximierten Magnetfeldes zeigt, dass im vorliegenden Fall das Integral der Normder Divergenz über das gesamte Rechengebiet mehrere Größenordnungen kleiner ist alsdie der Rotation. Obgleich die Literatur [Mur 1994a, b] die gewählte Vorgehensweisekritisch betrachtet, konnten mithilfe dieser Methodik vielversprechende Ergebnisseerzielt werden. Jedoch wurden zur Erfüllung der „∇ · 𝐵 = 0“-Bedingung zahlreicheVerfahren, wie z. B. die divergence-cleaning method, entwickelt [Hu u. a. 2014]. DerenImplementierung ist jedoch häufig schwierig. Dies lässt vermuten, dass die alleinigeUmsetzung mittels divergenzfreier Elemente problematischer sein könnte als diesdie ersten Ergebnisse vermuten lassen. Hier sind weitere Untersuchungen und unterUmständen eine alternative Umsetzung der Divergenzfreiheit erforderlich.

Die Umsetzung des Modells mithilfe eines Innen- und eines Außenraums bedarf zurLösbarkeit die Annahme eines leitenden Außenraums. Obwohl die Leitfähigkeit nichtin die Gleichung des Eigenwertproblems für den Außenraum eingeht, da der treibendeGeschwindigkeitsterm null ist, geht sie in die Herleitung des Eigenwertproblems ein.Um die von der Realität weit entfernte Annahme eines leitfähigen Außenraums zuumgehen, müsste das betrachtete Kontrollvolumen auf den Innenraum beschränktwerden. Dies würde allerdings die Formulierung von Flusstermen über den Randerfordern, um die Bilanzgleichungen anzupassen.

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Literatur

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Literatur 22

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[Touma Holmberg 1998] Touma Holmberg, M.: Three-dimensional finite elementcomputation of eddy currents in synchronous machines, School of Electrical andComputer Engineering, Diss., 1998

23

A. Anhang

A.1. Vektoridentitäten

Im Folgenden werden die in der Arbeit genutzten Vektoridentitäten aufgeführt:

∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ · A) − ∇2A (A.1)

(∇ × A) · B = ∇ · (A × B) + A · (∇ × B) (A.2)

A.2. Quelltexte

A.2.1. Gmsh Mesh

1 RaRi = 100 ;2 RiEi = 10 ;3 EaEi = 100 ;45 Ri = 1 ;6 Ra = RaRi ∗ Ri ;7 Ei = Ri / RiEi ;8 Ea = Ei ∗ EaEi ;91011 //Mitte lpunkt12 Point (1 ) = {0 ,0 ,0 , Ei } ;131415 //##########################################################16 // Aussenkugel17 //##########################################################18 Point (400) = {Ra , 0 , 0 ,Ea} ;19 Point (401) = {0 ,Ra , 0 ,Ea} ;20 Point (402) = {−Ra, 0 , 0 ,Ea} ;21 Point (403) = {0,−Ra, 0 ,Ea} ;22 Point (405) = {0 ,0 ,Ra , Ea} ;23 Point (406) = {0 ,0 ,−Ra ,Ea} ;2425 C i r c l e (301) = {403 ,1 ,402} ;26 C i r c l e (302) = {402 ,1 ,401} ;27 C i r c l e (303) = {401 ,1 ,400} ;28 C i r c l e (304) = {400 ,1 ,403} ;29 C i r c l e (305) = {406 ,1 ,400} ;

Quelltexte 24

30 C i r c l e (306) = {400 ,1 ,405} ;31 C i r c l e (307) = {405 ,1 ,402} ;32 C i r c l e (308) = {402 ,1 ,406} ;33 C i r c l e (309) = {401 ,1 ,406} ;34 C i r c l e (310) = {406 ,1 ,403} ;35 C i r c l e (311) = {403 ,1 ,405} ;36 C i r c l e (312) = {405 ,1 ,401} ;3738 Line Loop (350) = { −306 ,304 ,311};39 Line Loop (351) = {304 , −310 ,305};40 Line Loop (352) = {−307 ,−311 ,301};41 Line Loop (353) = {−301 ,−310 ,−308};42 Line Loop (354) = {305 , −303 ,309};43 Line Loop (355) = {303 ,306 ,312} ;44 Line Loop (356) = { −312 ,307 ,302};45 Line Loop (357) = {−302 ,308 ,−309};4647 Ruled Sur face (360) = {350} ;48 Ruled Sur face (361) = {351} ;49 Ruled Sur face (362) = {352} ;50 Ruled Sur face (363) = {353} ;51 Ruled Sur face (364) = {354} ;52 Ruled Sur face (365) = {355} ;53 Ruled Sur face (366) = {356} ;54 Ruled Sur face (367) = {357} ;555657 //##########################################################58 // Innenkugel59 //##########################################################6061 Point (500) = {Ri , 0 , 0 , Ei } ;62 Point (501) = {0 ,Ri , 0 , Ei } ;63 Point (502) = {−Ri , 0 , 0 , Ei } ;64 Point (503) = {0,−Ri , 0 , Ei } ;6566 Point (505) = {0 ,0 ,Ri , Ei } ;67 Point (506) = {0 ,0 ,−Ri , Ei } ;6869 C i r c l e (401) = {503 ,1 ,502} ;70 C i r c l e (402) = {502 ,1 ,501} ;71 C i r c l e (403) = {501 ,1 ,500} ;72 C i r c l e (404) = {500 ,1 ,503} ;

Quelltexte 25

7374 C i r c l e (405) = {506 ,1 ,500} ;75 C i r c l e (406) = {500 ,1 ,505} ;76 C i r c l e (407) = {505 ,1 ,502} ;77 C i r c l e (408) = {502 ,1 ,506} ;7879 C i r c l e (409) = {501 ,1 ,506} ;80 C i r c l e (410) = {506 ,1 ,503} ;81 C i r c l e (411) = {503 ,1 ,505} ;82 C i r c l e (412) = {505 ,1 ,501} ;8384 Line Loop (450) = { −406 ,404 ,411};85 Line Loop (451) = {404 , −410 ,405};86 Line Loop (452) = {−407 ,−411 ,401};87 Line Loop (453) = {−401 ,−410 ,−408};88 Line Loop (454) = {405 , −403 ,409};89 Line Loop (455) = {403 ,406 ,412} ;90 Line Loop (456) = { −412 ,407 ,402};91 Line Loop (457) = {−402 ,408 ,−409};92 Ruled Sur face (460) = {450} ;93 Ruled Sur face (461) = {451} ;94 Ruled Sur face (462) = {452} ;95 Ruled Sur face (463) = {453} ;96 Ruled Sur face (464) = {454} ;97 Ruled Sur face (465) = {455} ;98 Ruled Sur face (466) = {456} ;99 Ruled Sur face (467) = {457} ;

100101102 //##########################################################103 // Geometrie104 //##########################################################105 Sur face Loop (0) = {460 ,461 ,462 ,463 ,464 ,465 ,466 ,467} ; //

Innenrand106 Sur face Loop (1) = {360 ,361 ,362 ,363 ,364 ,365 ,366 ,367} ; //

Aussenrand107 Volume (0) = {0} ; // Innenkugel108 Volume (1) = {1 ,0} ; // Aussenkugel109110 //##########################################################111 // Phys i ka l i s che Gruppen112 //##########################################################113 Phys i ca l Volume (0) = {0} ; // Innenkugel

Quelltexte 26

114 Phys i ca l Volume (1) = {1} ; // Aussenho lh lkuge l115 Phys i ca l Sur face (0 ) = {460 ,461 ,462 ,463 ,464 ,465 ,466 ,467} ; //

Innenrand116 Phys i ca l Sur face (1 ) = {360 ,361 ,362 ,363 ,364 ,365 ,366 ,367} ; //

Aussenrand

A.2.2. Geschwindigkeitsfeld

1 from d o l f i n import∗2 import s c ipy . s p e c i a l34 p = 356 class TFactor01 ( Express ion ) :7 def eval ( s e l f , value , x ) :8 r = (x [ 0 ] ∗∗ 2 + x [ 1 ] ∗∗ 2 + x [ 2 ] ∗∗ 2) ∗∗ 0 .59 rho = (x [ 0 ] ∗∗ 2 + x [ 1 ] ∗∗ 2) ∗∗ 0 .510 i f r < 0 . 0 1 :11 s inTheta = 012 cosTheta = 013 else :14 s inTheta = rho / r15 cosTheta = x [ 2 ] / r16 i f rho < 0 . 0 1 :17 s inPhi = 018 cosPhi = 019 else :20 s inPhi = x [ 1 ] / rho21 cosPhi = x [ 0 ] / rho22 eR = [ sinTheta ∗ cosPhi , s inTheta ∗ s inPhi , cosTheta

]23 t01 = r ∗∗ 2 ∗ ( 1 . 0 − r ∗∗ 2)24 angleFactorT01 = sc ipy . s p e c i a l . lpmv (0 ,1 , cosTheta )

∗1 .025 tota lFactorT01 = t01 ∗ angleFactorT0126 value [ 0 ] = tota lFactorT01 ∗ eR [ 0 ]27 value [ 1 ] = tota lFactorT01 ∗ eR [ 1 ]28 value [ 2 ] = tota lFactorT01 ∗ eR [ 2 ]29 def value_shape ( s e l f ) :30 return ( 3 , )3132 class SFactor02 ( Express ion ) :

Quelltexte 27

33 def eval ( s e l f , value , x ) :34 r = (x [ 0 ] ∗∗ 2 + x [ 1 ] ∗∗ 2 + x [ 2 ] ∗∗ 2) ∗∗ 0 .535 rho = (x [ 0 ] ∗∗ 2 + x [ 1 ] ∗∗ 2) ∗∗ 0 .536 i f r < 0 . 0 1 :37 s inTheta = 038 cosTheta = 039 else :40 s inTheta = rho / r41 cosTheta = x [ 2 ] / r42 i f rho < 0 . 0 1 :43 s inPhi = 044 cosPhi = 045 else :46 s inPhi = x [ 1 ] / rho47 cosPhi = x [ 0 ] / rho48 eR = [ sinTheta ∗ cosPhi , s inTheta ∗ s inPhi , cosTheta

]49 s02 = r ∗∗ 6 ∗ ( 1 . 0 − r ∗∗ 2) ∗∗ 350 angleFactorS02 = sc ipy . s p e c i a l . lpmv (0 ,2 , cosTheta )

∗1 .051 tota lFactorS02 = s02 ∗ angleFactorS0252 value [ 0 ] = tota lFactorS02 ∗ eR [ 0 ]53 value [ 1 ] = tota lFactorS02 ∗ eR [ 1 ]54 value [ 2 ] = tota lFactorS02 ∗ eR [ 2 ]55 def value_shape ( s e l f ) :56 return ( 3 , )5758 class SFactor2c2 ( Express ion ) :59 def eval ( s e l f , value , x ) :60 r = (x [ 0 ] ∗∗ 2 + x [ 1 ] ∗∗ 2 + x [ 2 ] ∗∗ 2) ∗∗ 0 .561 rho = (x [ 0 ] ∗∗ 2 + x [ 1 ] ∗∗ 2) ∗∗ 0 .562 i f r < 0 . 0 1 :63 s inTheta = 064 cosTheta = 065 else :66 s inTheta = rho / r67 cosTheta = x [ 2 ] / r68 i f rho < 0 . 0 1 :69 s inPhi = 070 cosPhi = 071 else :72 s inPhi = x [ 1 ] / rho73 cosPhi = x [ 0 ] / rho

Quelltexte 28

74 eR = [ sinTheta ∗ cosPhi , s inTheta ∗ s inPhi , cosTheta]

75 s2c2 = r ∗∗ 4 ∗ ( 1 . 0 − r ∗∗ 2) ∗∗ 2 ∗ cos (p∗ pi ∗ r )76 angleFactorS2c2 = sc ipy . s p e c i a l . lpmv (2 ,2 , cosTheta ) ∗(

cosPhi ∗ cosPhi − s inPhi ∗ s inPhi )77 to ta lFacto rS2c2 = s2c2 ∗ angleFactorS2c278 value [ 0 ] = tota lFacto rS2c2 ∗ eR [ 0 ]79 value [ 1 ] = tota lFacto rS2c2 ∗ eR [ 1 ]80 value [ 2 ] = tota lFacto rS2c2 ∗ eR [ 2 ]81 def value_shape ( s e l f ) :82 return ( 3 , )8384 class SFactor2s2 ( Express ion ) :85 def eval ( s e l f , value , x ) :86 r = (x [ 0 ] ∗∗ 2 + x [ 1 ] ∗∗ 2 + x [ 2 ] ∗∗ 2) ∗∗ 0 .587 rho = (x [ 0 ] ∗∗ 2 + x [ 1 ] ∗∗ 2) ∗∗ 0 .588 i f r < 0 . 0 1 :89 s inTheta = 090 cosTheta = 091 else :92 s inTheta = rho / r93 cosTheta = x [ 2 ] / r94 i f rho < 0 . 0 1 :95 s inPhi = 096 cosPhi = 097 else :98 s inPhi = x [ 1 ] / rho99 cosPhi = x [ 0 ] / rho

100 eR = [ sinTheta ∗ cosPhi , s inTheta ∗ s inPhi , cosTheta]

101 s2s2 = r ∗∗ 4 ∗ ( 1 . 0 − r ∗∗ 2) ∗∗ 2 ∗ s i n (p∗ pi ∗ r )102 angleFactorS2s2 = sc ipy . s p e c i a l . lpmv (2 ,2 , cosTheta )

∗(2∗ s inPhi ∗ cosPhi )103 to ta lFac to rS2s2 = s2s2 ∗ angleFactorS2s2104 value [ 0 ] = to ta lFac to rS2s2 ∗ eR [ 0 ]105 value [ 1 ] = to ta lFac to rS2s2 ∗ eR [ 1 ]106 value [ 2 ] = to ta lFac to rS2s2 ∗ eR [ 2 ]107 def value_shape ( s e l f ) :108 return ( 3 , )

A.2.3. Simulation

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1 from d o l f i n import ∗2 import s c ipy . s p e c i a l3 import Speed as speed4 import time56 # Define Parameters f o r Ve loc i ty −Fie l d and Induct ion−

Equation78 e0 = Constant ( 1 . 0 )9 e1 = Constant ( 2 . 0 )10 e2 = Constant ( 3 . 0 )11 e3 = e212 Re = Constant ( 1 . E4)13 zeroVec = Constant ( ( 0 . , 0 . , 0 . ) )1415 # Import Mesh and Meshregions1617 mesh = Mesh( " kuge l . xml " )18 subdomains = MeshFunction ( " s i z e_t " , mesh , "

kuge l_phys ica l_reg ion . xml " ) # Inner reg ion l a b e l e d wi th’0 ’ , Outer wi th ’1 ’

19 boundar ies = MeshFunction ( " s i z e_t " , mesh , "kuge l_facet_reg ion . xml " ) # Inner boundary l a b e l e d wi th’0 ’ , Outer wi th ’1 ’

20 dx = Measure ( " dx " ) [ subdomains ]2122 # Veloc i ty −Fie l d on mesh2324 t01 = speed . TFactor01 ( element = space . uf l_element ( ) )25 s02 = speed . SFactor02 ( element = space . uf l_element ( ) )26 s2c2 = speed . SFactor2c2 ( element = space . uf l_element ( ) )27 s2s2 = speed . SFactor2s2 ( element = space . uf l_element ( ) )28 v = ( e0∗ cu r l ( t01 ) + e1∗ cu r l ( c u r l ( s02 ) ) + e2∗ cu r l ( c u r l ( s2c2 ) )

+ e3∗ cu r l ( c u r l ( s2s2 ) ) )2930 # Define Function Space/ Tr ia l Function / Test Function3132 space = FunctionSpace (mesh , " N1curl " , 1)33 t r i a lB=Tria lFunct ion ( space )34 dB = TestFunction ( space )3536 # Set D i r i c h l e t −BC on Outer Boundary37

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38 bc = Dir ichletBC ( space , zeroVec , boundaries , 1)3940 # Set up form on Mesh−Regions4142 form_A_Inner = (− i nne r ( cu r l ( t r i a lB ) , c u r l (dB) ) + Re ∗ i nne r (

c r o s s (v , t r i a lB ) , c u r l (dB) ) ) ∗dx (0)43 form_A_Outer = −i nne r ( cu r l ( t r i a lB ) , c u r l (dB) ) ∗dx (1 )44 form_B_Inner = inner (dB, t r i a lB ) ∗dx (0)45 form_B_Outer = inner (dB, t r i a lB ) ∗dx (1)46 form_A =form_A_Inner + form_A_Outer # Le f t Side o f

Eigenvalue−Equation47 form_B =form_B_Inner + form_B_Outer # Right Side o f

Eigenvalue−Equation4849 # Assemble Eigenva lue Problem5051 A = PETScMatrix ( )52 B = PETScMatrix ( )53 assemble ( form_A , tenso r=A)54 assemble ( form_B , tenso r=B)55 bc . apply (A)56 bc . apply (B)5758 # Set up Eigenva lue So l ve r5960 e i g e n s o l v e r = SLEPcEigenSolver (A,B)61 e i g e n s o l v e r . parameters [ " spectrum " ] = " l a r g e s t ␣ r e a l "62 e i g e n s o l v e r . parameters [ " problem_type " ] = " gen_non_hermitian "6364 # Solve f o r the f i r s t N Eigenva lues and p r i n t them6566 N = 167 e i g e n s o l v e r . s o l v e (N)68 for n in range (0 , N) :69 r (n) , c (n) , rx (n) , cx (n) = e i g e n s o l v e r . ge t_e igenpa i r (n)70 print ’EW’ + str (n) + ’ ␣ ’ + str ( r (n) ) + ’ ␣+␣ i ␣∗␣ ’ + str (

c (n) )7172 # Pro jec t Rea lpar t o f Eigenvec tor a s s o c i a t e d Eigenva lue wi th

l a r g e s t r e a l par t onto Funct ionspace7374 B = Function ( space )75 B. vec to r ( ) [ : ] = rx (0 )

Quelltexte 31

76 f i l e B = F i l e ( " Eigenvektor . pvd " )77 f i l e B << B7879 # Compute L2−Norm of d i v (B) and c u r l (B)8081 rotBomegaSqr = assemble ( ( inne r ( cu r l (B) , c u r l (B) ) ) ∗( dx (0 )+dx

(1) ) )82 divBOmega = assemble ( div (B) ∗div (B) ∗( dx (0 )+dx (1) ) )83 print ’ divNorm ’ + str (divBOmega ∗∗ 0 .5 / (4/3 ∗ pi ∗ 1000) )84 print " rotNorm " + str ( rotBomegaSqr ∗∗ 0 .5 / (4/3 ∗ pi ∗

1000) )