projekcije - etf.ues.rs.baognjen/racunarska grafika/profesorka/publikovano/rg... · ef niš,...
TRANSCRIPT
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
1Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
RaRaččunarstvounarstvo i i informatikainformatikaRaRaččunarskaunarska grafikagrafika
ProjekcijeProjekcije
Prof. Dr Prof. Dr SlobodankaSlobodanka ĐorđeviĐorđevićć -- KajanKajanKatedraKatedra za za raraččunarstvounarstvoElektronskiElektronski fakultet fakultet NiNišš
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
2Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
CiljeviCiljeviDefinisanje projekcijaIstorijski pregledOsnovni parametri projekcijeKlasifikacija (sistematizacija)
projekcijaPregled projekcijaTransformacija koordinatnih sistema
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
3Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
ProjekcijeProjekcijeProjekcije preslikavaju tačku iz N-
dimenzionalnog koordinatnog sistema(prostora) u koordinatni sistem (prostor) kojiima manje od N dimenzija
U računarskoj grafici se obično radi saprojekcijama koje preslikavaju objekte iz 3D prostora u 2D prostor
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
4Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
IstorijskiIstorijski pregledpregled
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
5Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
IstorijskiIstorijski pregledpregled
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
6Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
IsIstorijskitorijski pregledpregled
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
7Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
OsnovniOsnovni parametriparametri projekcijeprojekcije Centar projekcije (COP) Projekcioni zraci (Projektori) Ravan projekcije (Projekciona ravan): Zadaje se
referentnom tačkom i normalom Pravac projekcije (DOP): određuje pravac projektora Projekcija 3D objekta je definisana projekcionim zracima koji
se emituju iz centra projekcije kroz svaku tačku objekta– projekcija 3D objekta se nalazi na preseku projektora i projekcione
ravni
objekat
projekcija
projekcioni zraci
objekat projekcija
projekcioni zraci
Paralelna prjekcija Perspektivna prjekcija
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
8Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Planarne gPlanarne geometrijskeeometrijske projekcijeprojekcijeProjekcija na ravan se naziva planarna
geometrijska projekcija– U računarskoj grafici se uglavnom koriste
planarne projekcijePostoje dve vrste planarnih projekcija:
– paralelne– perspektivne
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
9Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
SistematizacijaSistematizacija projekcijaprojekcija
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
10Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
ParalelneParalelne projekcijeprojekcije
Projekcija linije P1P2 na ravanprojekcije je linija P1’P2’
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
11Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
ParaleneParalene projekcijeprojekcijePostoje dva tipa paralelnih projekcija - zavisno od
odnosa između pravca projekcije (projekcionihzraka) i normale na projekcionu ravan:– Normalna (ortogonalna): Projekcioni zraci su normalni
na projekcionu ravan– Kosa (klinogalna): Projekcioni zraci su kosi u odnosu na
projekcionu ravan
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
12Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
NormalnaNormalna projekcijaprojekcijaPostoje dve vrste normalnih projekcija – zavisno od
odnosa projekcione ravni i glavnih osa:
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
13Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
OOrtografskartografska projekcijaprojekcija Projekciona ravan je normalna na neku od koordinatnih osa Često se koristi u inženjerskom crtanju
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
14Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
AksonometrijskaAksonometrijska projekcijaprojekcijaProjekciona ravan zaklapa proizvoljni ugao sa
koordinatnim osama– Zadržava se paralelnost linija, ali se ne zadržavaju uglovi
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
15Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
AksonometrijskaAksonometrijska projekcijaprojekcija
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
16Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
IIzzometrijska projekcijaometrijska projekcija Normala projekcione ravni (pravac projekcije) zauzima isti
ugao sa svakom od 3 glavne ose Ako je normala projekcione ravni (dx,dy,dz), tada se
zahteva da |dx|=|dy|=|dz| ili dx= dy=dz Ovaj uslov zadovoljava 8 pravaca (po jedan za svaki
oktant) Izometrijska projekcija ima jedno korisno svojstvo, a to je
da su sve tri glavne ose jednako skraćene Glavne ose se projektuju tako da međusobno zauzimaju
jednake uglove
y
xz
1200
1200
1200 Izometrijska projekcija jediničnog vektora sa pravcem projekcije (1,1,1)
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
17Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
KosaKosa projekcijaprojekcija Razlikuje se od ortografske po tome što su normala
projekcione ravni i pravac projekcije različiti Kosa projekcija kombinuje svojstva aksonometrijskih
projekcija spreda, odozgo i sa strane
63.40
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
18Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
SvostvaSvostva kosekose projekcijeprojekcije
Svojstva kabineske projekcije: projekcija linija koje su normalne na projekcionu ravan ima dužinu ½ originalne dužine
Svojstva kavaljerske projekcije: projekcija linija koje su normalne na projekcionu ravan ima istu dužinu kao original
x
y
z z
y
x
Projekcija kocke na ravan z=0
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
19Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
PerspektivnePerspektivne ((centralnecentralne) ) projekcijeprojekcije
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
20Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
PerspektivnePerspektivne projekcijeprojekcije
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
21Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
KarakteristikeKarakteristike perspektivneperspektivne projekcijeprojekcije
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
22Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
PodelaPodela perspektivnihperspektivnih projekcijaprojekcija Ako su linije paralelne sa nekom
od koordinatnih osa– Tačka prividnog preseka se
naziva glavna tačka prividnog preseka
– Postoje 3 glavne tačke koje odgovaraju x, y i z-osi
Perspektivne projekcije se dele prema broju glavnih tačaka prividnog preseka (tj. prema broju osa koje seku projekcionu ravan):– Perspektivna projekcija sa 1
tačkom– Perspektivna projekcija sa 2
tačke– Perspektivna projekcija sa 3
tačke
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
23Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
PerspektivaPerspektiva sasa jednomjednom tataččkomkom
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
24Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
PerspektivaPerspektiva sasa dve tadve taččkeke
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
25Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
PPoredjenjeoredjenje
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
26Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
PParalearalellna prema perspektivnoj projekcijina prema perspektivnoj projekciji
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
27Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
MatematiMatematiččke osnove planarnih ke osnove planarnih projekcijaprojekcija
Svaka projekcija se može definisati matricom 4x4To je pogodno jer se matrice projekcija mogu
komponovati sa matricama geometrijskih transformacija tako da se ove dve operacije (transformacija i projekcije) mogu predstaviti jednom matricom
Izvešćemo ove matrice za neke projekcijePretpostavke:
– Projekcijska ravan je normalna na z-osu i nalazi se na rastojanju z=d kod perspektivne, a z=0 kod paralelne projekcije
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
28Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
MatriMatriččna reprezentacijana reprezentacija
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
29Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Ortogonalna paralelna projekcijaOrtogonalna paralelna projekcija Ortogonalna paralelna projekcija Projekcijska ravan je z=0 Pravac projekcije je isti kao normala na projekcijsku ravan, tj. to je z-osa Tačka (x,y,z) se projektuje u tačku (xp,yp,zp)
Matrica ortogonalne projekcije
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
30Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Kosa paralelna projekcija taKosa paralelna projekcija taččke P(0,0,1)ke P(0,0,1)
Kosu projekcijukarakterišu dve veličine: L i
Levo je tačka P(0,0,1)projektovana u tačku P(Lcos,Lsin,0) naravan xy
Pravac projekcije je PP Pravac projekcije
zaklapa ugao sa xy ravan
y
x
z
projektor
P(0,0,1)P
L
Lcos
Lsin
ravanprojekcije
z=0
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
31Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Kosa projekcijaKosa projekcija Kosa paralelna projekcija tačke
(x,y,z) u (xp,yp,0)– Na slici se vidi tačka i
projektor Jednačine za x i z vrednosti
projektora kao funkcije od z:xp = x +z (L cos)yp = y +z (L sin)
Matrica kose projekcije je:1 0 0 0
Mkos= 0 1 0 0Lcos Lsin 0 0 0 0 0 1
y
z
y
z
yp x,y,zy=-(Lsin)z+yp
y
zz
xpx,y,z
x=-(Lcos)z+xp
P = P * Mkos
x
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
32Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Kosa projekcija Kosa projekcija –– kavaljerska i kabinetskakavaljerska i kabinetskaKosa Kosa –– ortografska projekcijaortografska projekcija
Matrica kose projekcije je:1 0 0 0
Mkos= 0 1 0 0Lcos Lsin 0 0 0 0 0 1
Za kavaljersku projekciju je L=1, = 450
Za kabinetsku projekciju je L = ½, = arctan(2) ili oko 63.40
Za ortografsku projekciju je L=0, = 900
Matrica ortografskeprojekcije je:
1 0 0 0 Mort= 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
P = P * Mort
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
33Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Kosa projekcijaKosa projekcija
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
34Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Perspektivna projekcijaPerspektivna projekcija
z
x
yP(x,y,z)
P(xp,yp,d)d
P(x,y,z)
zv
x
d
xp
Pogled odozgoduž y-ose
P(x,y,z)
z
yyp
Pogled sa straneduž x-ose
P(x,y,z)
Ravan projekcije
Ravan projekcije
Ravan projekcije normalna na z-osu u z=dCOP u koordinatnom početku
d
COP
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
35Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Perspektivna projekcijaPerspektivna projekcijaNa osnovu sličnosti trouglova
Centar projekcije (COP) u koordinatnom početkuRavan projekcije normalna na z-osu na rastojanju d od COP-a, tj. z=d
Matrica perspektivne projekcije
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
36Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Perspektivna projekcijaPerspektivna projekcija
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
37Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Perspektivna projekcijaPerspektivna projekcija
Centar projekcije (COP) u z = -dRavan projekcije normalna na z, tj. z = 0
′
′
1
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
38Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Veza MVeza Mperper i Mi M′′perper
M'per = T(o,o,d) * Mper * T(o,o,-d)
M'per se može dobiti iz Mper na sledeći način:– Transliranje COP-a u koordinatni početak– Primena Mper
– Vraćanje COP-a nazad
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
39Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
PrimerPrimer Jedinična kocka K na slici projektovana je na xy ravan
korišćenjem standardne perspektivne projekcije za:(a) d = 1 i (b) d = 10, gde je d rastojane od ravni pogleda. Naći pozicije temena nakon projekcije kocke. Nacrtati projekciju kocke.
z
x
y C(0,0,-d)
A B
CD
E H
GF
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
40Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
PrimerPrimer -- ReReššenjeenje
Jediničnu kocku ćemo predstaviti preko homogenih koordinata temena:
0 0 0 11 0 0 11 1 0 1
K(ABCDEFGH) = 0 1 0 10 1 1 10 0 1 11 0 1 11 1 1 1
z
x
y COP(0,0,-d)
A B
CD
E H
GF
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
41Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Primer Primer -- ReReššenjeenje Projekcija kocke Kper = K * Mper
0 0 0 1 0 0 0 11 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 11 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1
Kper = 0 1 0 1 * 0 0 0 1/d = 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1+1/d0 0 1 1 0 0 0 1+1/d1 0 1 1 1 0 0 1+1/d1 1 1 1 1 1 0 1+1/d
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
42Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Primer Primer -- ReReššenjeenje Projekcija kocke Kper = K * Mper za d=1
0 0 0 1 0 0 0 11 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 11 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1
K per = 0 1 0 1 * 0 0 0 1/d = 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 20 0 1 1 0 0 0 21 0 1 1 1 0 0 21 1 1 1 1 1 0 2
Ako se homogene koordinate vrate u 3D, temena projektovane kockesu:
A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0)E=(0,½,0), F=(0,0,0), G=(½,0,0), H=(½,½,0)
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
43Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
Primer Primer -- ReReššenjeenje Projekcija kocke Kper = K * Mper za d=10
0 0 0 1 0 0 0 11 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 11 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1
Kper = 0 1 0 1 * 0 0 0 1/d = 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 11/100 0 1 1 0 0 0 11/101 0 1 1 1 0 0 11/101 1 1 1 1 1 0 11/10
Ako se homogene koordinate vrate u 3D, temena projektovane kocke su:A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0)E=(0,10/11,0), F=(0,0,0), G=(10/11,0,0), H=(10/11,10/11,0)
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
44Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
PrPriimer mer -- ReReššenjeenje
z
x
y COP(0,0,-d)
A B
CD
E H
GF z
x
y
AFB
CD
E H
G
d=1
z
x
y
AFB
CD
E H
G
d=10
Original
Projekcija
Projekcija
EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi
CG GIS L@b
45Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008
KvizKviz RG10RG10 Kviz
1. Šta je projekcija?2. Kakve sve vrste projekcija postoje?3. Koje su karakteristike kavaljerske projekcije?4. Izvesti matricu transformacije za paralelnu projekciju5. Izvesti matricu transformacije za perspektivnu
projekciju Trajanje kviza: 5 minuta Vrednuje se: 0.5 poena/pitanje Za samostalni rad
– U Corelu nacrtati jednu od projekcija na osnovuzadatog predmeta