Finite Element Methoduntuk

Shallow Water Equation

Ade Candra Bayu20114019

Program Studi MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Bandung

2015

1 Formulasi

Projek ini bertujuan untuk mensimulasikan gerakan naik turun permukaan gelombang air(standing wave) pada wadah tertutup satu dimensi dengan batas kiri kanan berupa hardwall.Persamaan yang digunakan adalah persamaan air dangkal (SWE ) linear seperti berikut.{

ηt = −d0φxx ; t > 0, 0 < x < L

φt = −gη(1)

dengan ruang affine

µ = {η(x, t) ∈ C1 | ηx(0, t) = 0, ηx(L, t) = 0; φ(x, t) ∈ C2 | φx(0, t) = 0, φx(L, t) = 0}

dengan η(x, t) menyatakan simpangan permukaan air dari kondisi setimbang, sedangkanφx(x, t) ≡ u(x, t) menyatakan kecepatan partikel air. Syarat awal η(x, 0) = cos(πx/L) danφ(x, 0) = c (konstan).Ilustrasi simulasi sebagai berikut.

Gambar 1: Standing Wave in Closed Basin.

Finite element method yang dipilih adalah metode Galekin dengan memformulasikan weak-form. Misalkan test function v kemudian kalikan ke persamaan (1).{

ηtv = −d0φxxv

φtv = −gηv(2)

1

Integralkan secara parsial terhadap x persamaan (2).{∂t∫ L

0ηvdx = −d0

∫ L

0φxxvdx

∂t∫ L

0φvdx = −g

∫ L

0ηvdx{

∂t∫ L

0ηvdx = −d0φxv|L0 + d0

∫ L

0φxvxdx

∂t∫ L

0φvdx = −g

∫ L

0ηvdx

Efek syarat batas φx(0, t) = 0 dan φx(L, t) = 0 memberikan bentuk persamaan{∂t∫ L

0ηvdx = d0

∫ L

0φxvxdx

∂t∫ L

0φvdx = −g

∫ L

0ηvdx

(3)

Bentuk terakhir merupakan bentuk lemah dari persamaan (1).Partisi selang [0, L] menjadi N selang bagian yang sama panjang dengan panjang partisih = L/N . Sehingga titik-titik partisi adalah x0, x1, x2, ..., xN−1, xN . Kemudian konstruksiinterval triangulasi dengan memilih fungsi-fungsi basis berupa fungsi hat, yaitu

τ0(x) =

x1 − xh

jika x0 ≤ x ≤ x1

0 jika x lainnya

τi(x) =

x− xih

jika xi−1 ≤ x ≤ xixi+1 − x

hjika xi ≤ x ≤ xi+1 untuk i = 1, 2, ..., N − 1

0 jika x lainnya

τN(x) =

x− xN−1

hjika xN−1 ≤ x ≤ xN

0 jika x lainnya

Gambar 2: Interval Triangulasi.

Sehingga permasalahan menjadi{∂t∫ L

0ηvdx = d0

∫ L

0φxvxdx

∂t∫ L

0φvdx = −g

∫ L

0ηvdx

(4)

2

dengan ruang affine

µ = {η(x, t) =N∑k=0

ηk(t)τk(x) | ηx(0, t) = 0, η

x(L, t) = 0;

φ(x, t) =N∑k=0

φk(t)τk(x) | φx(0, t) = 0, φ

x(L, t) = 0}

Persamaan (4) menjadi{∂t∫ L

0

∑Nk=0 ηk(t)τk(x)v(x)dx = d0

∫ L

0

∑Nk=0 φk(t)τ ′k(x)v′(x)dx

∂t∫ L

0

∑Nk=0 φk(t)τk(x)v(x)dx = −g

∫ L

0

∑Nk=0 ηk(t)τk(x)v(x)dx

(5)

Pilih v(x) =∑N

j=0 τj(x) kemudian substitusikan ke persamaan (4) dan (5).{∂t∫ L

0

∑Nk=0 ηk(t)τk(x)

∑Nj=0 τj(x)dx = d0

∫ L

0

∑Nk=0 φk(t)τ ′k(x)

∑Nj=0 τ

′j(x)dx

∂t∫ L

0

∑Nk=0 φk(t)τk(x)

∑Nj=0 τj(x)dx = −g

∫ L

0

∑Nk=0 ηk(t)τk(x)

∑Nj=0 τj(x)dx

∂t

∫ L

0

N∑k=0

ηk(t)τk(x)τ0(x)dx = d0

∫ L

0

N∑k=0

φk(t)τ ′k(x)τ ′0(x)dx

∂t

∫ L

0

N∑k=0

ηk(t)τk(x)τ1(x)dx = d0

∫ L

0

N∑k=0

φk(t)τ ′k(x)τ ′1(x)dx

...

∂t

∫ L

0

N∑k=0

ηk(t)τk(x)τj(x)dx = d0

∫ L

0

N∑k=0

φk(t)τ ′k(x)τ ′j(x)dx

...

∂t

∫ L

0

N∑k=0

ηk(t)τk(x)τN(x)dx = d0

∫ L

0

N∑k=0

φk(t)τ ′k(x)τ ′N(x)dx

3

∂t

∫ L

0

N∑k=0

φk(t)τk(x)τ0(x)dx = −g∫ L

0

N∑k=0

ηk(t)τk(x)τ0(x)dx

∂t

∫ L

0

N∑k=0

φk(t)τk(x)τ1(x)dx = −g∫ L

0

N∑k=0

ηk(t)τk(x)τ1(x)dx

...

∂t

∫ L

0

N∑k=0

φk(t)τk(x)τj(x)dx = −g∫ L

0

N∑k=0

ηk(t)τk(x)τj(x)dx

...

∂t

∫ L

0

N∑k=0

φk(t)τk(x)τN(x)dx = −g∫ L

0

N∑k=0

ηk(t)τk(x)τN(x)dx

dengan

∫ L

0

τk(x)τj(x)dx =

h3

; (k, j) = (0, 0); (k, j) = (N,N)2h3

; k = jh6

; k = j ± 1

0 ; (k, j) lainnya

∫ L

0

τ ′k(x)τ ′j(x)dx =

1h

; (k, j) = (0, 0); (k, j) = (N,N)2h

; k = j−1h

; k = j ± 1

0 ; (k, j) lainnya

Sehingga diperoleh persamaan dalam matrik stiffness

h3

h6

h6

2h3

h6

h6

2h3

h6

. . . . . . . . .h6

2h3

h6

h6

h3

∂t

η0(t)η1(t)η2(t)

...ηN−1(t)ηN(t)

= d0

1h

−1h

−1h

2h

−1h

−1h

2h

−1h

. . . . . . . . .−1h

2h

−1h

−1h

1h

φ0(t)φ1(t)φ2(t)

...φN−1(t)φN(t)

h3

h6

h6

2h3

h6

h6

2h3

h6

. . . . . . . . .h6

2h3

h6

h6

h3

∂t

φ0(t)φ1(t)φ2(t)

...φN−1(t)φN(t)

= −g

h3

h6

h6

2h3

h6

h6

2h3

h6

. . . . . . . . .h6

2h3

h6

h6

h3

η0(t)η1(t)η2(t)

...ηN−1(t)ηN(t)

4

Dari bentuk terakhir diperoleh sistem persamaan(M 00 M

)∂t

(ηφ

)=

(d0Dφ−gMη

)(6)(

M 00 M

)∂t

(ηφ

)=

(0 d0D−gM 0

)(ηφ

)(7)

dengan

M =

h3

h6

h6

2h3

h6

h6

2h3

h6

. . . . . . . . .h6

2h3

h6

h6

h3

D =

1h

−1h

−1h

2h

−1h

−1h

2h

−1h

. . . . . . . . .−1h

2h

−1h

−1h

1h

Sistem persamaan (7) diselesaikan secara numerik dengan prosedur Matlab ode45 yang mem-berikan solusi numerik η(x, t) dan φ(x, t).

2 Simulasi dan Hasil Komputasi

Sistem gelombang air diklasifikasikan sebagai shallow water jika d0 < λ/20, dimana λ adalahpanjang gelombang.Parameter-parameter yang digunakan dalam simulasi adalah seperti berikut.g =10 m/s2

η(x, 0) = cos(φx/L) sehingga λ = 2L dan d0 < L/2φ(x, 0) = 1L = 20 m, d0 = 5 mSimulasi dilakukan dengan mengubah-ubah banyak partisi N.

5

Gambar 3: Hasil Komputasi untuk N=5

Gambar 4: Hasil Komputasi untuk N=10.

6

Gambar 5: Hasil Komputasi untuk N=20

Gambar 6: Hasil Komputasi untuk N=40.

3 Pembahasan dan Kesimpulan

Berdasarkan hasil komputasi terlihat bahwa banyak partisi mempengaruhi kemulusan per-mukaan gelombang dan kecepatan gerak gelombang. Semakin banyak partisi maka per-

7

mukaan gelombang semakin halus. Namun sebaliknya, semakin sedikit partisi maka gerakgelombang semakin cepat. Hal tersebut sepertinya dipengaruhi oleh iterasi program.Gerak standing wave yang diharapkan juga telah diperoleh dengan baik. Amplitudo gelom-bang pada ujung kedua domain tidak berubah, yaitu tetap seperti kondisi awal. Pada titikx = L/2 tinggi simpangan η(L/2, t) = 0, hal tersebut sesuai dengan yang diharapkan.Solusi numerik juga stabil. Kestabilan tidak dipengaruhi parameter L, d0, N, dan syarat awalφ(x, 0). Penulis telah mencoba berberapa kombinasi nilai-nilai parameter tersebut, bahkand0 > L yang secara teoritis melanggar syarat sistem shallow water, namun hasilnya tetapstabil. Penulis sendiri tidak mengetahui mengapa hal tersebut terjadi.

Jadi dapat disimpulkan bahwa FEM memberikan hasil yang baik untuk simulasi standingwave dengan persamaan SWE linear. Solusi stabil dan kestabilan tidak dipengaruhi nilai-nilai parameter.

8