progressão geométrica matrizes questão nº01 na p.g., a posição do termo é
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Progressão Geométrica
Matrizes
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Questão nº01
Na P.G. , a posição do termo é...
... ,25
2 ,
5
2 2, 10,
625
2
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Solução nº01
a1 = 10 q =
an = a1 . qn-1
n – 1 = 5
n = 6 Resposta: sexto termo.
5
1
10
2
1
5
1
5
1
5
1
5
1.10
625
2
nn
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Questão nº02
Inserir cinco meios geométricos entre 1 e 64.
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Solução nº02 Devemos colocar cinco termos entre 1 e 64 de tal
forma que a seqüência formada seja uma P.G.
1,__,__,__,__,__,64
a1 k = 5 an dados
an = a1qn-1 64 = 1 . q7-1
64 = q6
26 = q6
q =
72kn
64a
1a
n
1
2
continua...
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Solução nº02
Se q = 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) Se q =-2 (1, -2, 4, -8, 16, -32, 64)
Resposta: Temos duas soluções:
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) ou
(1, -2, 4, -8, 16, -32, 64)
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Questão nº03
Ache a soma dos dez primeiros termos da P.G. (3, 6, 12,...).
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Solução nº03
Dados
Sn=
Resposta: 3069
10n
2q
3a1
3069S 1
)11024(3S
12
1)3(2S
1q
1)(qa
10
10
10
10
n1
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Questão nº04
Calcule o número de termos de uma P.G. finita em que a1 = 2, q = 3 e Sn = 6560.
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Solução nº04
Sn =
Resposta: 8.
8n33
65613
13 6560
2
)12(3 6560
13
1)2(36560
1q
1)(qa
8n
n
n
n
nn1
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Questão nº05 O trigésimo termo da seqüência é:
A)
B)
C) 5
D)
E)
,...18
1,
6
1,
2
1
2961
293 . 21
361
629
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Solução nº05
an = a1 . qn-1
Assim, a alternativa correta é B
29
29
30 3 . 2
1
3
1 .
2
1a
3
1
2161
q
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Questão nº06 Se a seqüência (4x, 2x + 1, x – 1) é uma P.G., então o
valor de x é:
A)
B) -8
C) -1
D) 8
E)
8
1
8
1
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Solução nº06
Assim, a alternativa correta é A
8
1x
18x
4x4x14x4x
4x . 1)(x1)(2x
12x
1x
4x
12x
a
a
a
a
22
2
2
3
1
2
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Questão nº07 Seja x o trigésimo termo da P.G. (2, 4, 8, ...). O valor
de log4 x é:
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
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Solução nº07 an = a1 . qn-1
x = 2 . 230-1
x= 2 . 229
x = 230
log4 x = log4 230 = y 4y = 230 (22)y = 230
22y = 230 2y = 30
y = 15
Assim, a alternativa correta é A
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Questão nº08 O quarto termo da seqüência geométrica: é:
A)
B)
C)
D)
E) 1
... ,3
2, 1 ,
2
3
92
31
49
94
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Solução nº08
Logo: a4 = a3 . q
Assim, a alternativa correta é D
3
2
3
2 . 1
3
1
a
aq
1
2
9
4
3
2 .
3
2a 4
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Questão nº09 Se o oitavo termo de um P.G. é e a razão é , o
primeiro termo dessa progressão é:
A) 2-1
B) 2
C) 26
D) 28
E)
21
21
8
2
1
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Solução nº09
Assim, a alternativa correta é C
667
1
1
71
1
711
1
7
1
1818
1n1n
22
1
2
2a
2 . a2
)(2 . a2
2
1 .a
2
1
q . aa
q . aa
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Questão nº10
O número de termos da P.G. é:
A) 8
B) 9
C) 10
D) 81
E) 4
729 ..., 1, ,3
1 ,
9
1
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Solução nº10
Assim, a alternativa correta é B
9n81n33
39 . 729
3 . 9
1729
q . aa
81n
1n
1n
1n1n
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Questão nº11 A média aritmética dos seis meios geométricos que
podem ser inseridos entre 4 e 512 é:
A) 48
B) 84
C) 128
D) 64
E) 96
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Solução nº11 4 ................ 512
a1 6 an
n = 6 + 2 = 8 termos
an = a1 . qn-1
512 = 4 . q8-1
Logo, a P.G. é: 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 Média aritmética =
2q2q1284
512q 777
84
6
2561286432168
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Questão nº12 Somando os n primeiros termos da seqüência
(1, -1, 1, -1, ...) encontramos:
A) n
B) -n
C) 0
D) 1
E) 0 quando n é par; 1 quando n é ímpar.
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Solução nº12
(1, -1, 1, -1, ...)
Sn = 0 se n é par
Sn = 1 se n é ímpar
Assim, a alternativa correta é E
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Questão nº13 Uma bactéria de determinada espécie divide-se em
duas a cada 2 h. Depois de 24 h, qual será o número de bactérias originadas de uma bactéria?
A) 1024
B) 24
C) 4096
D) 12
E) 16777216
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Solução nº13
an = a1 . qn-1
an = 2 . 212-1
an = 2 . 211
an = 212 = 4096
Assim, a alternativa correta é C
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Questão nº14 A soma dos seis primeiros termos da P.G.
é:
A)
B)
C)
D)
E)
... ,12
1 ,
6
1 ,
3
1
3312
3215
3321
3221
32
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Solução nº14
Assim, a alternativa correta é D
32
21S
2 . 64
21
216463
31
21
1641
31
121
121
31
S
1q
1)(qaS
6
6
6
n1
n
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Questão nº15 Cada golpe de uma bomba de vácuo extrai 10% do ar
de um tanque; se a capacidade inicial do tanque é de 1 m3, após o quinto golpe, o valor mais próximo para o volume do ar que permanece no tanque é:
A) 0,590 m3
B) 0,500 m3
C) 0,656 m3
D) 0,600 m3
E) 0,621 m3
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Solução nº15 Se cada golpe extrai 10% de ar, temos:
100% - 10% = 90% = 0,9 do total Logo:
an = a1 . qn-1
a5 = 0,9 . (0,9)5-1
a5 = (0,9)4 . 0,9
a5 = 0,590 m3
Assim, a alternativa correta é A
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Questão nº16 A soma dos termos de uma P.G. infinita é 3.
Sabendo-se que o primeiro termo é igual a 2, então o quarto termo dessa P.G. é:
A)
B)
C)
D)
E)
272
41
32
271
83
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Solução nº16
Assim, a alternativa correta é A
27
2a
3
1 2q . aa
3
1q13q
23q3
2q)3(1q1
23
q1
aS
4
314
14
1n
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Questão nº17
A soma da série infinita é:
A)
B)
C)
D) 2
E)
...125
1
25
1
5
11
56
57
45
47
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Solução nº17
Assim, a alternativa correta é C
4
5
541
S
q1
aS
5
1
151
a
aq
n
1n
1
2
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Questão nº18 Numa P.G. decrescente e ilimitada, o primeiro termo
é 8 e a soma dos termos, 16. O quinto termo vale:
A)
B) -2
C)
D) 2
E)
21
21
41
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Solução nº18
Assim, a alternativa correta é C
2
1
2
2
2
1 8a
q . aa
2
1q
2
1q18q)(1 16
q1
816
q1
aS
4
34
5
415
1
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Questão nº19
O valor de x na equação é:
A) -10
B) 10
C) -20
D) 20
E) 25
40...8
x
4
x
2
xx
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Solução nº19
Assim, a alternativa correta é D
20x
21x
40
21
1
x40
q1
aS 1
n
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Questão nº 20 Se 1 + r + r2 + ... + rn + ... = 10, então r é igual a:
A) 1
B)
C)
D)
E)
109
109
21
101
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Solução nº20
Assim, a alternativa correta é B10
9r
910r
110r10
1r)(1 10r1
110
q1
aS 1
n
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Questão nº 21
Se , então o valor de m é:
A) 5
B) 6
C) 8
D) 7
E) não sei
5
14...
m
8
m
42
2
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Solução nº21
assim, a alternativa correta é D
7m
284mm
10m
m
2814m10
m
28 14
10m
21 14
m2
1
2
5
14
q1
aS
m
2
2m4
a
aq
1n
1
2
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Questão nº01 Seja X = (xij) uma matriz quadrada de ordem 2, onde
. A soma dos seus elementos é igual a:
A) –1
B) 1
C) 6
D) 7
E) 8
ji se 1
ji se j1
ji se ji
Xij
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Solução nº01
a11 = 2
a12 = 1
a21 = 0
a22 = 4
Soma = 2 + 1 + 0 + 4 = 7 Assim, a alternativa correta é D
2221
1211
aa
aaX
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Questão nº 02 Se M = (aij)3x2 é uma matriz, tal que:
Então, M é:
A) B) C)
D) E)
ji para , j
ji para ,ia
1j
ij
21
81
21
282
111
21
81
22
141
111
381
321
21
81
21
282
111
21
81
22
141
111
381
321
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Solução nº02 Cálculo dos elementos de M:
a11 = 12 = 1 a21 = 1 a31 = 1
a12 = 2 a22 = 23 = 8 a32 = 2
Portanto:
; letra A
21
81
21
M
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Questão nº03 – (UFPA) A matriz A = (aij)3x3 é definida de tal modo que
Então, A é igual a:
A) B) C)
D) E)
ji se 0,
ji se ,1)(a
ji
ij
011
101
110
100
010
001
011
101
110
100
010
001
011
101
110
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Solução nº03 Cálculo dos elementos de A:
a11 = 0 a12 = (-1)3 = -1a13 = (-1)4 = 1 a21 = (-1)3 = -1 a22 = 0
a23 = (-1)5 = -1
a31 = (-1)4 = 1 a32 = (-1)5 = -1 a33 = 0
Portanto:
; letra A
011
101
110
A
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Questão nº04 – (UFGO)
Sejam as matrizes
Para que elas sejam iguais, deve-se ter:
A) a = -3 e b = -c = 4
B) a = 3 e b = c = 4
C) a = 3 e b = -c = 4
D) a = -3 e b = c = -4
E) a = -3 e b = c2 = 4
ca
92B e
81
1log27
a16
1
A3
b
3
2
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Solução nº04 Para que as matrizes sejam iguais, devemos ter:
Logo, a = -3; b = -4 e c = -4. Assim, a alternativa correta é D
4c33 c81
1log
3a a27
3a 9a
4b 22 216
1
4c3
3
2
4bb
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Questão nº05 – (UFRN) A solução da equação matricial
é um número:
A) maior que -1
B) menor que -1
C) maior que 1
D) entre –1 e 1
E) entre 0 e 3
243x
4x1x
2xx
212
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Solução nº05 Para que a igualdade seja verdadeira, devemos ter:
-1 = x + 1 x = -2
x = 3x + 4 x = -2
2 = x + 4 x = -2
x2 – 2 = 2 x = Portanto: x = -2 Assim, a alternativa correta é B
2
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Questão nº06 – (Cescem-SP) A matriz transposta da matriz A = (aij), de tipo 3 x 2,
onde aij = 2i – 3j, é igual a:
A) B) C)
D) E)
024
311
024
311
024
311
420
113
420
113
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Solução nº06 Cálculo dos elementos da matriz A:
a11 = 2 – 3 = -1 a12 = 2 – 6 = -4
a21 = 4 – 3 = 1 a22 = 4 – 6 = -2
a31 = 6 – 3 = 3 a32 = 6 – 6 = 0
Portanto:
Cálculo de At:
; letra B
03
21
41
A
024
311A t
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Questão nº07 – (UFAL) Considere a matriz A = (aij)3x4 , na qual
O elemento que pertence à 3ª linha e à 2ª coluna da matriz At,
transposta de A, é
A) 4
B) 2
C) 1
D) -1
E) -2
.ji se j . i
ji se jia ij
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Solução nº07
Assim, a alternativa correta é D
1a
123
012
601
320
A
1063
2102
3210
aaaa
aaaa
aaaa
A
32t
34333231
24232221
14131211
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Questão nº08 – (UEL-PR) Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = At.
Assim, se a matriz é simétrica,
então x + y + z é igual a:
A) -2B) -1C) 1D) 3E) 5
234
1z0x
2y12
A
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Solução nº08
Se A = At, temos:
Logo: -1 = x x = -1
2y = 4 y = 2
x = -1 x = -1
z – 1 = 3 z = 4
2y = 4 y = 2
z – 1 = 3 z = 4 Portanto: x + y + z = -1 + 2 + 4 x + y + z = 5
21z2y
301
4x2
234
1z0x
2y12
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Questão nº09 – (FGV-SP) Dadas as matrizes
e sendo 3A = B + C, então:
A) x + y + z + w = 11B) x + y + z + w = 10 C) x + y – z – w = 0D) x + y – z – w = -1E) x + y + z + w > 11
3wz
yx4C e
2w1
6xB
wz
yxA
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Solução nº09 Sendo 3A = B + C, temos:
Da igualdade, temos:
3x = x + 4 x = 2
3y = 6 + x + y 2y = 6 + 2 y = 4
3w = 2w + 3 w = 3
3z = z + w – 1 2z = 2 z = 1 Portanto:
x + y + z + w = 2 + 4 + 1 + 3 = 10
32w1wz
yx64x
3w3z
3y3x
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Questão nº10 – (Osec –SP)
Em
x e y valem respectivamente:
A) –4 e -1
B) –4 e 1
C) –4 e 0
D) 1 e -1
E) 1 e 0
, 15
04
2y4x
y3x
yx
yx22
32
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Solução nº10 Resolvendo, temos:
x2 + 3x = 4 x = -4 ou x = 1
y3 – y = 0 y = 0 ou y =
x2 + 4x = 5 x = -5 ou x = 1
y2 + 2y = -1 y = -1
Portanto: x = 1 e y = -1 Assim, a alternativa correta é D
1
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Questão nº11 – (Santa Casa–SP)
Dadas as matrizes
se At é a matriz transposta de A, então (At – B) é:
A) B) C)
D) E)
, 021
210B e
03
42
31
A
062
531
024
111
323
221
01
21
41
05
63
21
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Solução nº11 Cálculo de (At – B):
Assim, a alternativa correta é C
024
111B)(A
024
111
021
210
043
321
021
210
043
321
t
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Questão nº12 – (FACEAG-SP) Dadas as matrizes
então, 3A – 4B é igual a:
A) B) C)
D) E) Operação não definida.
, 321
304B e
430
211A
0174
18313
0174
18313
0174
18313
0174
18313
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Solução nº12 Cálculo de 3A – 4B:
assim, a alternativa correta é C
0174
18313
1284
12016
390
333
1284
12016
390
333
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Questão nº13 – (PUC-SP)
Se , então a
matriz X , de ordem 2, tal que
é igual a:
A) B) C)
D) E)
12
14C e
01
21B ,
13
12A
C3
XB
2
AX
324
128
323
128
325
128
330
128
322
128
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Solução nº13 Cálculo de X sendo dada a equação
Reduzindo ao mesmo denominador e isolando X, temos:
X = 2B + 3A + 6C Resolvendo:
C3
XB
2
AX
B letra , 323
128
612
624
39
36
02
42X
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Questão nº14 – (PUC-SP)
Se então a matriz X, tal
que A + B – C – X = 0, é:
A) B) C) D) E)
1
10
1
C e
3
8
5
B ,
13
12
25
A
17
6
31
31
6
17
17
6
31
17
6
21
17
0
31
![Page 73: Progressão Geométrica Matrizes Questão nº01 Na P.G., a posição do termo é](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062307/552fc13d497959413d8dd018/html5/thumbnails/73.jpg)
Solução nº14 Cálculo de X dado:
A + B – C – X = 0 Isolando X, temos:
X = A + B - C Resolvendo:
A letra ,
17
6
31
1
10-
1
3
8
5
13
12
25
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Questão nº15 – (FCC-SP) Calculando-se 2AB + B2, onde
e teremos:
A) B) C)
D) E) n.r.a.
111
011
110
A
010
012
120
B
136
362
030
256
492
030
233
461
030
303
651
260
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Solução nº15 Cálculo de 2AB + B2:
B letra ,
256
492
030
B2AB
256
492
030
012
232
034
244
264
004
010
012
120
010
012
120
010
012
120
222
022
220
2
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Questão nº16 – (FGV-SP)
Dadas as matrizes e
sabendo-se que AB = C, podemos concluir que:
A) m + n = 10
B) m – n = 8
C) m . n = -48
D)
E) mn = 144
0
4C ,
1
nB ,
41
m2A
3n
m
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Solução nº16
Se AB = C, temos:
Resolvendo:
Então: 2n + m = 4 I
n + 4 = 0 n = -4 II Substituindo II em I , temos:
2 (-4) + m = 4 m = 12 Logo: m . n = -48
0
4
1
n .
41
m2
0
4
4n
m2n
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Questão nº17 – (Mack-SP)
Seja a matriz . Se , então vale:
A) 4
B) 2
C) 0
D) -2
E) -4
2m
k1A
362
30A2
k
m
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Solução nº17
4km3m
3k1km
2 . 2k . mm . 21 . m
2 .k k . 1m .k 1 . 1
2m
k1 .
2m
k1A2
4 k
m
2m2
1k
34km
63m2
33k
01km
362
30A2
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Questão nº18 – (Cefet-PR) Se A, B e C são matrizes do tipo 2 x 3, 3 x 1 e 1 x 4,
respectivamente, então o produto A . B . C:
A) é matriz do tipo 4 x 2;
B) é matriz do tipo 2 x 4;
C) é matriz do tipo 3 x 4;
D) é matriz do tipo 4 x 3;
E) não é definido.
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Solução nº18
Dados A . B . C, temos:
(A)2 x 3 . (B)3 x 1 . (C)1 x 4
(A . B)2 x 1 . (C)1 x 4
(A . B . C)2 x 4
Assim, a alternativa correta é B
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Questão nº19 – (Osec-SP)
Dadas as matrizes então,
calculando-se (A+B)2, obtém-se:
A) B) C)
D) E)
83
10B e
32
11A
12160
01
12125
01
84
01
1211
601
11
11
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Solução nº19
Cálculo de (A + B)2:
Assim, a alternativa correta é A
12160
01
115
01
83
10
32
1122
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Questão nº20 – (FGV-SP)
Considere as matrizes
A soma dos elementos da primeira linha de A . B é:
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
02
40
31
B e 711
132A
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Solução nº21
Cálculo de A . 2B:
Assim, a alternativa correta é B
6
2
14
4
2 .
11
01
23
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Questão nº22 – (PUC-SP)
Se , então a matriz X, de
ordem 2, tal que A . X = B, é:
A) B) C)
D) E)
11
21B e
21
41A
210
01
310
01
410
01
510
01
610
01
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Solução nº22 Cálculo da matriz X sendo A . X = B:
Sendo verdadeira a igualdade, temos:
Resolvendo os sistemas, temos: a = 1; b = 0;
c = 0 e Logo, a matriz X vale:
11
21
2db2ca
4db4ca
11
21
dc
ba .
21
41
12db
24db
12ca
14ca
21d
210
01X
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Questão nº23 – (PUC-SP)
Sendo as matrizes
então, o valor de x tal que AB = BA é:
A) -1
B) 0
C) 1
D) o problema é impossível;
E) nenhuma das respostas anteriores.
20x
040
002
B e
300
040
001
A
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Solução nº23 Cálculo do valor de x tal que AB = BA:
Para a igualdade ser verdadeira, devemos ter:
3x = x x = 0
603
0160
002
603
0160
002
300
040
001
.
20x
040
002
20x
040
002
.
300
040
001
xx
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Questão nº24 – (ITA-SP) Considere P a matriz inversa da matriz M, onde:
A soma dos elementos da diagonal principal da matriz P é:
A) B) C) 4 D) E)
171
031
M
4
9
9
49
59
1
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Solução nº24 Cálculo da matriz inversa P:
Sendo verdadeira a igualdade, temos:
Portanto:
; logo a + d = 4
10
01
d7cb7
a3
c3
a
10
01
db
ca .
171
031
1d1d7c 7
3b0b7a
0c03c 3a13
a
173
03P
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Questão nº25 – (UECE)
O produto da inversa da matriz pela
matriz é igual a:
A) B) C) D)
21
11A
10
01I
11
12
11
12
11
12
11
12
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Solução nº25 Cálculo da matriz inversa da matriz A:
Resolvendo os sistemas, temos:
a = 2; b = -1; c = -1 e d = 1 Logo:
12db
0db
02ca
1ca
10
01
2db2ca
dbca
10
01
dc
ba .
21
11
11
12
10
01 .
11
12I .A
11
12A 11
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Questão nº26 – (ITA-SP) Seja A a matriz 3 x 3 dada por
Sabendo-se que B é a inversa de A, então a soma dos elementos de B vale:
A) 1B) 2C) 5D) 0E) -2
103
001
321
A
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Solução nº26 A . B = I
2 1302342
1010S
23-f 1i 4e -3h 2
1d 0g
1i3c
0c
03i2f c
0h3b
1b
03h2eb
0g3a
0a
13g2da
100
010
001
ihg
fed
cba
.
103
001
321