programación no lineal
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7/15/2019 Programación no lineal
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CÁTEDRA DE
INVESTIGACIÓN OPERATIVA
PROGRAMACIÓN NO LINEAL
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN
7/15/2019 Programación no lineal
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PROGRAMACIÓN LINEAL PROGRAMACIÓN NO LINEAL
1. La solución óptima se encuentra en
un punto extremo de la región de
factibilidad.
2. El punto óptimo nunca esta dentro
de la región de factibilidad.
3. Sus métodos de optimización
generan óptimos absolutos ó
globales.
4. La región de factibilidad es un
conjunto convexo.
5. Sus funciones objetivo y
restricciones son lineales.
1. No siempre la solución óptima se
encuentra en un punto extremo de la
región de factibilidad.
2. Hay casos donde el punto óptimo
Es la en el interior de la región
factible. 3. Generalmente se encuentra un
óptimo local ó relativo, mas no el
óptimo global ó absoluto.
4. Se pueden generar regiones de
factibilidad que no son
necesariamente convexas. 5. La función objetivo, las restricciones
ó ambas pueden ser no lineales.
CARACTERÍSTICAS
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EJEMPLO
Un joven ingeniero de una compañía ha sintetizadoun nuevo fertilizante hecho a partir de dosmaterias primas. Al combinar cantidades de lasmaterias primas básicas X1 y X2, la cantidad defertilizante que se obtiene viene dada por
Q=4X1+2X2 – 0.5X12 – 0.25X22
Se requieren 480 euros por unidad de materia prima1 y 300 euros por cada unidad de materia prima 2que se empleen en la fabricación del fertilizante.
Si la compañía dispone de 24000 euros para laproducción de materias primas, plantear elproblema para determinar la cantidad de materiaprima de forma que se maximice la cantidad de
fertilizante.
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Las variables de decisión son:
X1 : cantidad de materia prima 1
X2 : cantidad de materia prima 2
El objetivo es maximizar la cantidad de
fertilizante, Q(X1 ,X2)= 4X1+2X2 – 0.5X12 –
0.25X22
Las restricciones del problema son:El coste no debe exceder el presupuesto
asignado:
480X1 + 300 X2 ≤ 24000
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Por lo tanto:
Max Q(X1 ,X2)= 4X1+2X2 – 0.5X12 – 0.25X2
2
s.a.
480X1 + 300 X2 ≤ 24000 X1 ,X2 ≥ 0
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LOS TIPOS DE PROBLEMAS DE
PROGRAMACIÓN NO LINEAL SON:
Optimización no restringida.
Optimización linealmente restringida.
Programación cuadrática
Programación convexa.
Programación separable.
Programación no convexa.
Programación geométrica.
Programación fraccional.
Problema de complementariedad.
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PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA
La programación cuadrática (QP) es el nombre que se le da a unprocedimiento que minimiza una función cuadrática de n variables sujeta
a m restricciones lineales de igualdad o desigualdad. Un programa
cuadrático es la forma más simple de problema no lineal con
restricciones de desigualdad. La importancia de la programación
cuadrática es debida a que un gran número de problemas aparecen de
forma natural como cuadráticos (optimización por mínimos cuadrados,
con restricciones lineales), pero además es importante porque aparece
como un subproblema frecuentemente para resolver problemas no
lineales más complicados. Las técnicas propuestas para solucionar los
problemas cuadráticos tienen mucha similitud con la programación lineal.
Específicamente cada desigualdad debe ser satisfecha como igualdad. El
problema se reduce entonces a una búsqueda de vértices exactamente
igual que se hacía en programación lineal.
En notación compacta el programa cuadrático es el siguiente:
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donde c es un vector de coeficientes constantes; A es una matriz (m x n) y
se asume, en general que Q es una matriz simétrica.
Dado que las restricciones son lineales y presumiblemente independientes,
la cualificación de las restricciones se satisface siempre, así pues, las
condiciones de Karush-KuhnTucker son también condiciones suficientespara obtener un extremo, que será a demás un mínimo global si Q es
definida positiva. Si Q no es definida positiva el problema podría no
estar acotado o llevar a mínimos locales.
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