OPTIMIZACINFlujo en RedesEl Problema de Flujo Mximo

El Problema de Flujo Mximo Consideramos un grafo DIRIGIDO G = (N, A). Cada arco tiene una CAPACIDAD uij (eventualmente ). Existen dos nodos especiales: El problema consiste en enviar flujo en la mayor

cantidad posible desde r con destino s. El Problema de Flujo Mximo r N ser el origen s N ser el destino

Optimizacin 2015

El Problema de Flujo MximoOptimizacin 2015

El Problema de Flujo MximoOptimizacin 2015

El Problema de Flujo MximoOptimizacin 2015

El Problema de Flujo Mximo Problema: Dada una red con cotas de flujo en sus arcos,

determinar el mximo flujo posible de enviar entre dos nodos (s y t en el ejemplo)

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El Problema de Flujo Mximo Otra forma de verlo

Optimizacin 2015

Propiedades Conjunto de corte C para G=(N, A) conexo C A tal que si se elimina de G G se desconecta

Optimizacin 2015

Propiedades Conjunto de corte C para G=(N, A) conexo C A tal que si se elimina de G G se desconecta

Optimizacin 2015

Propiedades Conjunto de corte C para G=(N, A) conexo C A tal que si se elimina de G G se desconecta

Optimizacin 2015

Propiedades Conjunto de corte C para G=(N, A) conexo C A tal que si se elimina de G G se desconecta

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Teorema Flujo mximo-corte mnimo El flujo mximo entre el origen y el destino es igual a la

menor capacidad entre TODOS los conjuntos de corte que separan origen y destino

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Ejemplo El flujo mximo entre el origen y el destino es iguala la menor capacidad entre TODOS los conjuntos de corte que separan origen y destino.

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Algoritmo de Ford y Fulkerson 1) Determinar un flujo factible 2) construir un grafo auxiliar:

Los nodos del grafo auxiliar son los mismos que el grafo original Agregamos arcos

Si fij < uij el arco (i,j) se incorpora al grafo auxiliar. Se agrega el arco (i,j) a B1 = conjunto de arcos hacia adelante

Si fij > lij, el arco (j,i) se incorpora al grafo auxiliar. Se agrega el arco (j,i) a B2 = conjunto de arcos hacia atrs

Notar que si lij < fij < uij , debemos agregar 2 arcos: uno hacia delante y otro hacia atrs

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Algoritmo de Ford y Fulkerson 3) Buscar un camino C desde el nodo de origen O al

nodo de destino D Si no existe camino C que una O con D Estamos en el ptimo. Si existe camino C que una O con D, debemos buscar la cantidad

de flujo que podemos aumentar por dicho camino.

4) Actualizamos los flujos (slo para aquellos arcos en C)

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Ejemplo Cunto es el mximo flujo F que se puede enviar de 1 a

6?

Optimizacin 2015

uij

lij=0

Ejemplo Iteracin 1 Base Factible (G)

Optimizacin 2015

0/2

0/3

0/3

0/3

0/10/1

0/1

0/1

0/3

Flujo actual/ cap. superior

0 0

Ejemplo Iteracin 1 Grafo residual(G)

Optimizacin 2015

ij

Ejemplo Iteracin 2 Nuevo flujo Factible (G)

Optimizacin 2015

2/2

2/3

2/3

0/3

0/10/1

0/1

0/1

0/3

Flujo actual/ cap. superior

2 2

Ejemplo Iteracin 2 Grafo residual(G)

Optimizacin 2015

2

3

1

2

1

2

1

3

1 1

ij

1

Ejemplo Iteracin 3 Nuevo flujo Factible (G)

Optimizacin 2015

2/2

2/3

2/3

1/3

0/11/1

0/1

1/1

1/3

Flujo actual/ cap. superior

3 3

Ejemplo Iteracin 3 Grafo residual(G)

Optimizacin 2015

2

2

1

2

1

2

1

2

11

ij

1 1

1

Ejemplo Iteracin 4 Nuevo flujo Factible (G)

Optimizacin 2015

2/2

2/3

2/3

2/3

0/11/1

1/1

1/1

2/3

Flujo actual/ cap. superior

4 4

Ejemplo Iteracin 4 Grafo residual (G)

Optimizacin 2015

2

1

1

2

1

2

1

1

11

ij

2 2

1

Ya no existen rutas factibles en la red residual

Resumen

Optimizacin 2015

Iteracin 1 Camino de aumento de flujo

Flujo adicional

1 1-2-5-6 22 1-3-5-4-6 13 1-3-4-6 14 1.. 0