programación lineal en las pau de asturias –...

IES Real Instituto de Jovellanos de Gijón Programación Lineal en pruebas PAU de Asturias

Pág. 1

Programación Lineal en las PAU de Asturias – Matemáticas Aplicadas a las CCSS

Jun 94 x = nº de coches vendidos del modelo A y = nº de coches vendidos del modelo B

Objetivo: Maximizar Ingresos Función Objetivo: yxI 25,1 +=

≥≥

≥+≥−

≤≤

→

≥≥

≥+≥≤≤

0

0

1243

0

10

20

0

0

625,1

10

20

y

x

yx

yx

y

x

y

x

yx

yx

y

x

Jun 95 x = nº de coches fabricados del modelo básico y = nº de coches fabricados del modelo de lujo

Objetivo: Maximizar nº total de coches Función Objetivo: yxN +=

≥≥≤

≥−≤+

→

≥≥≤≥

≤+

0

0

45

0

12032

0

0

45

605,1

y

x

x

yx

yx

y

x

x

yx

yx

Sept 95 x = m² plantados de lechuga y = m² plantados de repollo

Objetivo: Minimizar Tiempo

Función Objetivo: yxT 5045 +=

≥≥

≥+≥+−

≤+

→

≥≥

≥++≥≤+

0

0

2001310

3

40

0

0

10000650500

3

40

y

x

yx

yx

yx

y

x

yx

xy

yx

Jun 96 x = millones de pesetas invertidas en A y = millones de pesetas invertidas en B

Objetivo: Maximizar el Rendimiento

Función Objetivo: yxR 12,009,0 +=

≥≥≤≥

≤+

0

7

2

10

y

yx

x

x

yx

Sept 96 x = nº de clientes interesados en la opción A y = nº de clientes interesados en la opción B

Objetivo: Maximizar Ingresos Función Objetivo: yxI 7500050000 +=

≥≤+

≤≥

0

20

12

8

x

yx

y

y

Jun 97 x = nº de copias vendidas del disco barato

y = nº de copias vendidas del disco caro


≥≥≥

≥+≤

0

0

500

1500

y

x

xy

yx

y

Sept 97 x = Kilos de pienso A en la dieta y = Kilos de pienso B en la dieta

Objetivo: Minimizar Costes

Función Objetivo: yxC 150100 +=

≥≤+

≥≥+

→

≥≤+

≥

≥+

0

632

12

2

0

3001501002

12

x

yx

y

yx

x

yx

y

yx


Pág. 2

Jun 98 x = nº de unidades producidas de tarta Imperial y = nº de unidades producidas de tarta de Lima


≥≥

≤+≤+

→

≥≥

≤+

≤+

0

0

15

202

0

0

12088

102

1

y

x

yx

yx

y

x

yx

yx

Sept 98 x = nº de unidades pedidas de películas de estreno

y = nº de unidades pedidas de películas nuevas

Objetivo: Minimizar nº total de películas Función Objetivo: yxN +=

≥≥

≥+≥−≤+

→

≥≥

≥+

≥

≤+

0

0

2002

02

94503776

0

0

1002

2

94500370760

y

x

yx

yx

yx

y

x

xy

yx

yx

Jun 99 x = nº de anuncios en televisión y = nº de cuñas radiofónicas

Objetivo: Maximizar nº total de actuaciones publicitarias. Función Objetivo: yxN +=

≥≤≥

≤+

→

≥≤≥

≤+

0

100

50

1010

0

100

50

10000001000001000000

x

y

y

yx

x

y

y

yx

Sept 99 x = nº de traductores de una sola lengua y = nº de traductores de más de una lengua

Objetivo: Minimizar Gastos Función Objetivo:

yxG 300000200000 +=

≥≤+

≥≥≤+

→

≥≤+

≥≥≤+

0

302

1

50

0

12000000800000400000

1

50

x

yx

yx

y

yx

x

yx

yx

y

yx

Jun 00 x = nº de unidades de muebles modelo clásico y = nº de unidades de muebles modelo funcional

Objetivo: Maximizar los Beneficios Función Objetivo: yxB 23 +=

≥≥

≤+≤+

0

0

153

102

y

x

yx

yx

Sept 00 x = nº de faldas vendidas y = nº de pantalones vendidos


≥≥

≥+−≤+

→

≥≥≥

≤+

0

0

02

50002

0

0

2

50002

y

x

yx

yx

y

x

xy

yx

Jun 01 x = nº de unidades de plantas de interior y = nº de unidades de plantas de exterior

Objetivo: Minimizar el Precio Función Objetivo: yxP 200100 +=

≥+≤+

≥≥

→

≥+≤+

≥≥

30056

24043

30

20

30005060

48008060

30

20

yx

yx

y

x

yx

yx

y

x

Sept 01 x = nº de préstamos personales

y = nº de préstamos hipotecarios

Objetivo: Maximizar la Comisión Función Objetivo:

yxC 10000040000 +=

≥≤+

≤+−≤≥

→

≥≤+

≤

≤≥

0

402

02

8

2

0

60000030000150002

8

2

x

yx

yx

y

y

x

yx

xy

y

y


Pág. 3

Jun 02 x = nº de empresas captadas como clientes y = nº de particulares captados como clientes


≥≤+

≥+−≥

→

≥≤+

≥≥

0

90

02

20

0

90

2

20

y

yx

yx

x

y

yx

xy

x

Sept 02 x = nº de ventas de teléfonos móviles con contrato de alta y = nº de ventas de teléfonos móviles con tarjeta

Objetivo: Maximizar la Comisión Función Objetivo: yxC 1015 +=

≥≥

≥−≤+

≤

→

≥≥

+≥≤+

≤

0

0

603

100

0

0

21206

100

y

x

yx

yx

yx

y

x

yx

yx

yx

Jun 03 x = nº de pedidos de trajes de fabricación nacional y = nº de pedidos de trajes de importación

Objetivo: Minimizar el nº total de trajes Función Objetivo: yxN +=

≥≤+≥−

≤≥

→

≥≤+

≥≤≥

0

9053

03

20

10

0

36002001203

20

10

y

yx

yx

x

x

y

yx

yx

x

x

Sept 03 x = nº de autobuses contratados y = nº de microbuses contratados

Objetivo: Minimizar el nº total de vehículos Función Objetivo: yxN +=

≥≥

≥+≥+−

≤≤

→

≥≥

≥+

+≥

≤≤

0

0182

0410

16

0

04502550

)(100

2010

16

y

xyx

yxy

x

y

xyx

yxy

y

x

Jun 04 x = nº de cámaras de vigilancia y = nº de alarmas

Objetivo: Maximizar el nº total de dispositivos Función Objetivo: yxN +=

≤+≥≤≥

→

≤+≥≤≥

722

6

15

6

360005001000

6

15

6

yx

y

x

x

yx

y

x

x

Sept 04 x = nº de ordenadores portátiles a comprar y = nº de ordenadores de sobremesa a comprar

1er Objetivo: Maximizar el nº total de ordenadores Función Objetivo: yxN +=

2º Objetivo: Minimizar el nº de portátiles Función Objetivo: xP =

≥≥

≤+≥−

≥+

→

≥≥

≤+

+≥

≥+

0

0

882

09

30

0

0

8800010002000

)(100

1030

y

x

yx

yx

yx

y

x

yx

yxx

yx

Jun 05 x = nº de sindicalistas y = nº de independientes

Objetivo: Maximizar nº de independientes Función Objetivo: yN =

≥≥

≥+−≥−

≤+≥+

→

≥≥

≥

+≥

≤+≥+

0

004

02320

10

0

04

)(100

4020

10

y

xyy

yxyx

yx

y

x

xy

yxx

yx

yx


Pág. 4

Sept 05 x = nº de paquetes de café normal y = nº de paquetes de café descafeinado

1er Objetivo: Maximizar el nº paquetes de café descafeinado Función Objetivo: yD =

2º Objetivo: Maximizar el nº paquetes de café normal Función Objetivo: xN =

≥≥

≥−≥+−

≤+

→

≥≥≥

≥

≤+

0

0

02

05

210

0

0

2100

20210

y

x

yx

yx

yx

y

x

yx

xy

yx

Jun 06 x = nº de aulas pequeñas habilitadas

y = nº de aulas grandes habilitadas

1er Objetivo: Minimizar el nº de aulas pequeñas Función Objetivo: xP =

2º Objetivo: Maximizar la capacidad total Función Objetivo: yxC 12060 +=

≥≤≥

≤+−≥+

→

≥≤≥

+≤

≥+

0

15

1

04

8

0

15

1

)(100

258

x

x

y

yx

yx

x

x

y

yxy

yx

Sept 06 x = litros de gasóleo A pedidos y = litros de gasóleo B pedidos

Objetivo: Minimizar el Coste del pedido Función Objetivo: yxC 7,09,0 +=

≥≥+−

≥+≤≥

→

≥+≥

≥+≤≥

0

1000

5000

3600

1000

0

1000

5000

3600

1000

y

yx

yx

y

x

y

xy

yx

y

x

Jun 07 x = nº de empleados con contrato eventual y = nº de empleados con contrato fijo

1er Objetivo: Maximizar el nº total de contratados Función Objetivo: yxN +=

2º Objetivo: Minimizar el nº de contratos eventuales Función Objetivo: xE =

≥≤−

≤≥

≤+

→

≥+≤

≤≥

≤+

0

14

24

10

480158

0

14

24

10

480158

x

yx

y

y

yx

x

yx

y

y

yx

Sept 07 x = m² dedicados a aparcamiento

y = m² dedicados al área recreativa

1er Objetivo: Maximizar el Coste Función Objetivo: yxC 4515 +=

2º Objetivo: Maximizar los m² de aparcamiento Función Objetivo: xA =

≥≤−≥−

≥≤+

→

≥+≤+≥

≥≤+

0

700

300

150

1100

0

700

300

150

1100

x

yx

yx

y

yx

x

yx

yx

y

yx


Pág. 5

Jun 08

x = nº de farolas colocadas y = nº de jardineras colocadas

≥≥

≥+−≤+−

≤≤

≥+

→

≥≥

+⋅≥

≤

≤≤

≥+

0

0

04

03

12

40

20

0

0

)(100

203

12

40

20

y

x

yx

yx

y

x

yx

y

x

yxy

xy

y

x

yx

1er Objetivo: Maximizar la diferencia entre farolas y jardineras Función Objetivo: yxD −=

5515)5 ,15(

241236)12 ,36(

281240)12 ,40(

301040)10 ,40(

12416)4 ,16(

=−=→=−=→=−=→=−=→

=−=→

D

D

D

D

D

La mayor diferencia (30) se consigue poniendo 40 farolas y 10 jardineras.

2º Objetivo: Maximizar el nº total de piezas colocadas Función Objetivo: yxN +=

20515)5 ,15(

481236)12 ,36(

521240)12 ,40(

501040)10 ,40(

20416)4 ,16(

=+=→=+=→=+=→=+=→

=+=→

N

P

N

N

N

No, se colocarían más piezas (52 piezas) poniendo 40 farolas y 12 jardineras


Pág. 6

Sept 08

X = nº de chalets Y = nº de bloques de pisos

≥≥≥≤

≤+−≤+

→

≥≥≥≤

+⋅≤

≤+

0

0

2

12

032

15

0

0

2

12

)(100

40

15

y

x

y

x

yx

yx

y

x

y

x

yxy

yx

Pueden construirse 10 chalets y 4 bloques de pisos porque el punto P(10, 4) pertenece a la región factible, como se ve en el gráfico.

Objetivo: Maximizar la diferencia entre chalets y pisos Función Objetivo: yxD −=

369)6 ,9(

9312)3 ,12(

10212)2 ,12(

123)2 ,3(

=−=→=−=→=−=→

=−=→

D

D

D

D

La mayor diferencia (10) se consigue construyendo 12 chalets y 2 bloques de pisos.


Pág. 7

Jun 09

X = nº de lotes de alimentos Y = nº de lotes de medicamentos

≥≤+≥+

≤≥

→

≥≤+≥+

≤≥

0

162

122

8

4

0

3224

2424

8

4

x

yx

yx

y

y

x

yx

yx

y

y

Pueden enviarse 4 lotes de alimentos y 5 lotes de medicamentos porque el punto P(4, 5) pertenece a la región factible, como se ve en el gráfico.

Objetivo: Maximizar el nº total de lotes Función Objetivo: yxN +=

1082)8 ,2(

1284)8 ,4(

1046)4 ,6(

844)4 ,4(

=+=→=+=→=+=→=+=→

N

N

N

N

Se maximizará (12) el número total de lotes enviando 4 de alimentos y 8 de medicamentos.


Pág. 8

Sept 09

X = nº de auxiliares en servicio de corta estancia Y = nº de auxiliares en servicio de planta

≥≥

≥+−≤+

→

≥≥

+≥≤+

0

4

8

24

0

4

8

24

y

x

yx

yx

y

x

xy

yx

1er Objetivo: Minimizar el nº total de auxiliares yxN +=

24204)20 ,4(

24168)16 ,8(

16124)12 ,4(

=+=→=+=→=+=→

N

N

N

Minimizará (16) el personal combinando 4 auxiliares en servicio de corta estancia y 12 en planta.

2º Objetivo: Maximizar el nº de auxiliares de corta estancia Función Objetivo: xC =

4)02 ,4(

8)16 ,8(

4)21 ,4(

=→=→=→

C

C

C

Maximizará (8) el número de auxiliares en servicio de corta estancia combinando 4 de ellos con 12 en planta.


Pág. 9

Jun 10 Fase general

X = nº de raciones de fabada tradicional Y = nº de raciones de fabada light

≥≥

≤+≤+

≥

→

≥≥

≤+≤+

≥

0

0

1242

11001110

4

0

0

620050100

11000110100

4

y

x

yx

yx

y

y

x

yx

yx

y

1er Objetivo: Maximizar el nº total de raciones yxN +=

1001000)001 ,0(

1028022)08 ,22(

64460)4 ,60(

440)4 ,0(

=+=→=+=→

=+=→=+=→

N

N

N

N

Maximizará (N=102) el número total de fabadas preparando 22 tradicionales y 80 light.

2º Objetivo: Maximizar el nº de raciones de fabada tradicional Función Objetivo: xT =

0)001 ,0(

22)08 ,22(

60)4 ,60(

0)4 ,0(

=→=→

=→=→

T

T

T

T

Maximizará (T = 60) el número de fabadas tradicionales preparando 60 tradicionales y 4 light.


Pág. 10

Jun 10 Fase general

x = nº de días utilizando energía eólica y = nº de días utilizando energía eléctrica 1er Objetivo: Minimizar Gastos Función Objetivo: yxG 25001000 +=

2ª Objetivo: Minimizar el nº de días de abastecimiento Función Objetivo: yxD +=

≥≥

≤+≥+≥+

→

≥≥

≤+≥+≥+

0

0

20

609

182

0

0

20

6009010

3604020

y

x

yx

yx

yx

y

x

yx

yx

yx

Jun 10 Fase específica

X = nº de niños Y = nº de adultos

≥≥

≤+−≤−≤+

→

≥≥≤≤

≤+

0

0

02

0

300

0

0

2

300

y

x

yx

yx

yx

y

x

xy

yx

yx

1er Objetivo: Minimizar Ganancias Función Objetivo: yxG 3015 +=

€75002003010015)002 ,100(

€67501503015015)150 ,150(

0030015)0 ,0(

=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→

=⋅+⋅=→

G

G

G

Maximizará (7500€) sus ganancias vendiendo 100 entradas de niños y 200 de adultos.

2ª Objetivo: Maximizar el nº de días Función Objetivo: xN =

100)002 ,100(

150)150 ,150(

0)0 ,0(

=→=→

=→

N

N

N

Maximizará (150) el número de niños vendiendo 150 entradas de niños y 150 de adultos.


Pág. 11


x = nº de mesas que debe fabricar diariamente y = nº de sillas que debe fabricar diariamente


≥≥

≤+≤+

≤+

→

≥≥

≤+≤+

≤+

0

0

183

8

142

0

0

183

3244

142

y

x

yx

yx

yx

y

x

yx

yx

yx

Sept 10 Fase general

X = nº de tartas Y = nº de bizcochos

≤+≥≥

802

10

20

yx

y

x

1er Objetivo: Minimizar Costes Función Objetivo: yxC 1215 +=

€66030122015)03 ,20(

€102010126015)01 ,60(

€42010122015)01 ,20(

=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→

C

C

C

Minimizará los costes (420€) elaborando 20 tartas y 10 bizcochos.

2º Objetivo: Maximizar nº total de productos elaborados Función Objetivo: yxN +=

503020)03 ,20(

701060)01 ,60(

301020)01 ,20(

=+=→=+=→=+=→

N

N

N

Maximizará el nº de productos elaborados fabricando 60 tartas y 10 bizcochos.


Pág. 12

Sept 10 Fase específica

X = nº de helados Y = nº de flanes

≥≥≤

≥−≥+

→

≥≥≤

+≥≥+

0

0

14

2

10

0

0

14

2

10

y

x

x

yx

yx

y

x

x

yx

yx


€264263)4 ,6( =⋅+⋅=→ I

€3002103)0 ,10( =⋅+⋅=→ I

€4202143)0 ,14( =⋅+⋅=→ I

€66122143)21 ,14( =⋅+⋅=→ I

Maximizará sus ingresos sirviendo 14 helados y 12 flanes. Los ingresos serán de 66€.

Junio 11 Fase

general

X = nº de entrevistados españoles Y = nº de entrevistados extranjeros

( )

≥≥

≥+−≤

≥+

→

≥≥

+≥

≤≥+

0

0

09

1000

2300

0

0100

10

1000

2300

y

x

yx

y

yx

y

x

yxy

y

yx

Objetivo: Maximizar Costes

Función Objetivo: ( )yxC += 6

( ) €13800100013006)0001 ,1300( =+=→ C

( ) €60000100090006)0001 ,9000( =+=→ C

( ) €13800302 20706)302 ,2070( =+=→ C

El coste máximo será de 60 000€ entrevistando a 9 000 españoles y 1 000 extranjeros.


Pág. 13

Junio 11 Fase específica

X = nº de camiones de hulla Y = nº de camiones de antracita

≥≥

≤+≥

10

0

80

3

y

x

yx

yx

No se podrían extraer 20 camiones de hulla y 15 de antracita porque ese punto no pertenece a la zona factible. Objetivo: Maximizar Ganancias Función Objetivo: yxG 60004000 +=

€360000206000604000)02 ,60(

€340000106000704000)01 ,70(

€180000106000304000)01 ,30(

=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→

G

G

G

Se maximizarían las ganancias con 60 camiones de hulla y 20 de antracita.

Junio 11 Fase

específica

X = horas semanales de preparación física Y = horas semanales de preparación técnica

≥≥

≥+≥

≤+

0

2

30

5

48

y

xy

yx

x

yx

Objetivo: Minimizar Costes Función Objetivo: yxC 8050 +=

€22502580550)25 ,5(

€36904380550)34 ,5(

€272032801016)23 ,16(

€210020801050)02 ,10(

=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→

=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→

C

C

C

C

El coste mínimo será de 2 100€ dedicando a 10 horas semanales de preparación física y 20 a la preparación técnica.


Pág. 14

Junio 11 Fase específica

X = nº de faldas Y = nº de pantalones

≥≥≥

≤+

0

4

362

x

y

yx

yx


€144129123)21 ,12(

€12049283)4 ,28(

€484943)4 ,4(

=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→

=⋅+⋅=→

C

C

C

El coste mínimo será de 48€ produciendo 4 faldas y 4 pantalones.

Jul 11 Fase general

X = nº de quesos tipo mezcla producidos diariamente Y = nº de quesos tipo tradicional producidos diariamente

≥≥

≥+−≤

≤+

→

≥≥≥

≤≤+

0

0

0

20

1442

0

0

50025

36005025

y

x

yx

x

yx

y

x

xy

x

yx


€28472403)72 ,0(

€408624203)26 ,20(

€140204203)02 ,20(

€00403)0 ,0(

=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→

=⋅+⋅=→

B

B

B

B

Se maximizarían los beneficios produciendo 20 quesos de mezcla y 62 tradicionales. El beneficio sería de 408€.


Pág. 15

Jul 11 Fase específica

X = nº de bicicletas fabricadas mensualmente Y = nº de patinetes fabricados mensualmente

≥≥

≤+≤≤

0

0

10002

600

480

y

x

yx

y

x

Objetivo: Maximizar el nº total de juguetes

Función Objetivo: yxT +=

6006000)600 ,0(

800600200)600 ,200(

52040480)40 ,480(

4800480)0 ,480(

000)0 ,0(

=+=→=+=→

=+=→=+=→

=+=→

T

T

T

T

T

Se fabricarían el mayor número de juguetes haciendo 200 bicicletas y 600 patinetes, lo que hace un total de 800 juguetes.

Jul 11

Fase específica

X = nº de gallinas Y = nº de ocas

≥≥≤

≤+

0

0

5

2005

y

x

yx

yx

Podría albergar 40 gallinas y 20 ocas porque, como se ve en el gráfico, ese punto pertenece a la región factible.

Objetivo: Maximizar el nº total de animales

Función Objetivo: yxT +=

40400)40 ,0(

300200100)200 ,100(

000)0 ,0(

=+=→=+=→

=+=→

T

T

T

El mayor número de animales que puede albergar la granja es de 300, en concreto 100 gallinas y 200 ocas.


Pág. 16

Jun 12 Fase general

x = nº de bidones de cerveza negra y = nº de bidones de cerveza rubia


≥≥

≤+≤+≤+

→

≥≥

≤+≤+≤+

0

0

22

402

6032

0

0

22

8024

6032

y

x

yx

yx

yx

y

x

yx

yx

yx


X = nº de paquetes tipo A Y = nº de paquetes tipo B

≥≥

≤+→

≥≥

≤+

20

15

20054

20

15

10002520

y

x

yx

y

x

yx

La combinación de paquetes que se pueden transportar son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico. Podría transportar 17 paquetes tipo A y 25 del tipo B porque, como se ve en el gráfico, ese punto P(17,25) pertenece a la región factible.

Objetivo: Maximizar el nº total de paquetes Función Objetivo: yxT +=

452025)20,25(

352015)20,15(

432815)28,15(

=+=→=+=→

=+=→

TC

TB

TA

El mayor número de paquetes que se pueden transportar es de 45, en concreto 25 paquetes tipo A y 20 del tipo B.

Jun 12 Fase general

x = nº de lotes de tapas y = nº de lotes de envases

Objetivo: Maximizar las ganancias Función Objetivo: yxG 40003000 +=

≥≥

≤+≤+

≤+

0

0

650

300034

10002

y

x

yx

yx

yx


x = nº de ratones y = nº de teclados


≥≥

≤+≤+

→

≥≥

≤+≤+

0

0

95

36043

0

0

95

36004030

y

x

yx

yx

y

x

yx

yx


Pág. 17


X = nº de piezas tipo A Y = nº de piezas tipo B

≥≥≤

≤+≥+

→

≥≥≤

≤+≥+

0

0

4

202

6

0

0

4

160168

6

y

x

x

yx

yx

y

x

x

yx

yx

La combinación de piezas que se pueden fabricar son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.


1000)10 ,0(

1280800480)8 ,4(

680200480)2 4,(

600)6 ,0(

=→=+=→=+=→

=→

BD

BC

BB

BA

Obtendrá un máximo beneficio de 1280€ fabricando 4 piezas del tipo A y 8 piezas del tipo B.


Pág. 18

Jun 13 Fase general

x = nº casas tipo A construídas y = nº casas tipo B construídas

≥≥≥

≤+

→

≥≥≥

≤+

xy

y

x

yx

xy

y

x

yx

3

18

4

502

3

18

4

10024

El número de casas que se pueden construir de cada tipo son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

No podrá construir 5 casas tipo A y 11 tipo B porque, como se ve en el gráfico, ese punto no pertenece a la región factible. Es decir, que incumple alguna inecuación, concretamente únicamente cumple la segunda de ellas.


€0004801),4(

€0009202)42,4(

€0008002)00(

€0006801),6(

=→=→=→

=→

BD

BC

BB

BA

18

3 ,1

18

Obtendrá un máximo beneficio de 2 920 000€ construyendo 4 casas del tipo A y 42 casas del tipo B


Pág. 19


x = nº piezas fabricadas por la máquina A y = nº piezas fabricadas por la máquina B

≥≥≥≤+≥+

0

0

100

30

y

x

yxyx

yx

El número de piezas que pueden confeccionar semanalmente con cada máquina son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

Objetivo: Minimizar el Consumo de Energía.


kWhConsumoD

kWhConsumoB

kWhConsumoB

kWhConsumoA

195)15,15(

650)50,50(

900),100(

270)0,30(

=→=→=→

=→

0

El Consumo de Energía mínimo semanal será de 195 kWh fabricando 15 piezas con la máquina A y 15 piezas con la máquina B


Pág. 20

Jul 13 Fase general

x = nº pendientes fabricados tipo A y = nº pendientes fabricados tipo B

≥≥

≤+≤+

0

0

60023

60032

y

x

yx

yx

El número de pendientes de cada tipo que pueden fabricar semanalmente se corresponden con los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

1er Objetivo: Maximizar Ingresos Función Objetivo: yxI 200100 +=

€00040)200,0(

€00036)120,120(

€00020)0,200(

€0)0,0(

=→=→

=→=→

IC

IB

IA

IO

Maximizaría sus ingresos fabricando 200 pendientes tipo B y ninguno tipo A, así conseguiría subir sus ingresos a 40 000€.

2º Objetivo: Maximizar el nº total de pendientes fabricados

Función Objetivo: yxN +=

200)200,0(

240)120,120(

200)0,200(

0)0,0(

=→=→

=→=→

NC

NB

NA

NO

Si pretende conseguir el mayor número de pendientes posible debería fabricar 120 pendientes tipo A y 120 pendientes tipo B. Obviamente serían 240 pendientes en total.


Pág. 21

Jul 13 Fase general

x = nº paquetes tipo A que debe comer y = nº paquetes tipo B que debe comer

≥≥

≥+≥+≥+

0

01623

202582

y

xyx

yxyx

El número de paquetes que se utilizar para alimentar al animal son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico. Observamos que se trata de una región abierta, que incluye soluciones infinitas para ambas incógnitas.

Objetivo: Minimizar Costes. Función Objetivo:

yxCoste 7,12 +=

Es obvio que las soluciones infinitas no minimizarían los costes, sino lo contrario.

€17),0(

€50,12),2(

€40,11),4(

€60,13)0,8(

=→=→=→=→

CosteD

CosteC

CosteB

CosteA

10

5

2

El coste mínimo diario será de 11,40€ utilizando en la alimentación 4 paquetes tipo A y 2 tipo B


Pág. 22


x = nº delineantes y = nº arquitectos

≥≤+

≥≥

0y

20yx

5x

yx

El número de empleados de cada tipo que puede tener la empresa se corresponden con los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

No podrían contratar 18 delineantes y 15 arquitectos ya que, como se ve en el gráfico, dicho punto no pertenece a la zona factible. Es decir, que incumple alguna inecuación, concretamente la tercera.

Objetivo: Minimizar Costes.


€50022)5,5(

€00045)10,10(

€00030),20(

€5007)0,5(

=→=→=→

=→

CosteD

CosteC

CosteB

CosteA

0

Minimizarán los costes contratando únicamente 5 delineantes y ningún arquitecto. Así pagarán 7 500€ en salarios


Pág. 23


x = nº bombillas tipo A almacenadas y = nº bombillas tipo B almacenadas

≥≥

≥+≤≥

→

≥≥

≥+≤≥

0

0302

40

0

03000020001000

40

y

xyx

xyx

y

xyx

xyx

El número de bombillas de cada tipo que pueden tener en el almacén se corresponden con los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

Objetivo: Minimizar Costes.


€160)10,10(

€640)40,40(

€240)0,40(

€180)0,30(

=→=→

=→=→

CosteD

CosteC

CosteB

CosteA

Minimizarán los costes almacenando 10 bombillas tipo A y 10 bombillas tipo B que costarían 160€.


Pág. 24

Jun 14 Fase general

x = nº de cámaras SX230 fabricadas y = nº de cámaras WX245 fabricadas

≥≥

≤+≤+

→

≥≥

≤+≤+

0

0

3002

60043

0

0

30001020

60004030

y

x

yx

yx

y

x

yx

yx

a) El número de cámaras que se pueden fabricar semanalmente son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

No se podrán fabricar 100 cámaras de cada tipo ya que el punto (100, 100) no pertenece a la zona factible. Es decir, que incumple alguna de las inecuaciones, concretamente la primera.

b) Objetivo: Maximizar Beneficios. Función Objetivo: yxB 6050 +=

€900)150 ,0(

€6009)60 ,120(

€5007)0 ,150(

€0)0 ,0(

=→=→

=→=→

BenD

BenB

BenB

BenA

El beneficio máximo será de 9.600€ fabricando 120 cámaras SX230 y 60 del tipo WX245.


Pág. 25


x = cm. fabricados de tablas grosor fino

y = cm. fabricados de tablas grosor grueso

≥≥

≤+→

≥≥

≤+

60

100

80054

60

100

4005,22

y

x

yx

y

x

yx

a) El total de centímetros que se pueden fabricar diariamente de cada tipo de tabla son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

b) Objetivo: Minimizar Costes. Función Objetivo: yxyxf 64),( +=

€880),()80 ,100(

€840),()60 ,120(

€760),()06 ,100(

=→=→=→

yxfC

yxfB

yxfA

El mínimo de los costes de fabricación será de 760€ fabricando cada día 100 centímetros de tablas de grosor fino y 60 de centímetros de tablas de grosor grueso.


Pág. 26

Jul 14 Fase general

x = nº botes envasados tipo Normal y = nº botes envasados tipo Light

≥≥

≥+≤≤≤

0

0

50

150

100

y

x

yx

yx

y

x

a) El número de botes que se pueden envasar diariamente son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

Se podrán envasar 40 botes tipo Normal y 100 botes Light ya que dicho punto pertenece a la zona factible. Es decir, que cumple todas las inecuaciones.

b) Objetivo: Maximizar Beneficios. Función Objetivo: yxBen 45 +=

€600)150 ,0(

€1001)150 ,100(

€900)100 ,100(

€225)25 ,25(

€200)50 ,0(

=→=→=→

=→=→

BenE

BenD

BenB

BenB

BenA

Los beneficios serán máximos envasando 100 botes tipo Normal y 150 botes Light por minuto y alcanzarán 1 100€.


Pág. 27

Jul 14 Fase general

x = nº Lavavajillas

y = nº Lavadoras

≥≥

≤+≤+

→

≥≥

≤+≤+

0

0

2502

200

0

0

50000200400

200

y

x

yx

yx

y

x

yx

yx

a) El número de electrodomésticos de cada tipo que puede tener el día de la inauguración son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

b) Objetivo: Maximizar Beneficios.

Función Objetivo:

yxBen 20025,04002,0 ⋅+⋅=

€00010)200 ,0(

€50011)150 ,50(

€00010)0 ,125(

€0)0 ,0(

=→=→

=→=→

BenD

BenC

BenB

BenO

Los beneficios diarios serán máximos disponiendo en la nave de 50 Lavavajillas y 150 Lavadoras y alcanzarán 11 500€.


Pág. 28


x = nº bombillas Halógenas fabricadas y = nº bombillas LED fabricadas

≥≥≤≤

≤+

0

0

600800

1000

y

x

yx

yx

a) El número de bombillas que se pueden producir diariamente son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

No se podrán producir 700 bombillas Halógenas y 500 bombillas LED ya que, como se ve en el gráfico, dicho punto no pertenece a la zona factible. Es decir, que incumple alguna inecuación, concretamente la primera.

b) Objetivo: Maximizar Beneficios. Función Objetivo: yxB 32 +=

€800.1)600 ,0(

€600.2)600 ,400(

€200.2)020 ,800(

€600.1)0 ,800(

€0)0 ,0(

=→=→=→

=→=→

BenD

BenC

BenB

BenA

BenO

Los beneficios diarios serán máximos produciendo en 400 bombillas Halógenas y 600 bombillas LED alcanzando 2 600€.


Pág. 29


x = nº de días usados con línea A y = nº de días usados con línea B

≥≥

≥+≥+

≥+

0

0

20025

18023

802

y

x

yx

yx

yx

El número de días que se pueden usar en cada línea de producción son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico. Observamos que se trata de una región abierta, que incluye soluciones infinitas para ambas incógnitas.


€000160)0,80(

€000115)15,50(

€00095)75,10(

€000100)100,0(

=→=→=→=→

CD

CC

CB

CA

Es obvio que las soluciones infinitas no minimizarían los costes, sino lo contrario. El coste mínimo será de 95 000€ usando 10 días con la primera línea de producción y 75 días la segunda.


Pág. 30

Jun 15

Fase general

x = nº de productos A puestos a la venta

y = nº de productos B puestos a la venta

≥≥

≥+≥≤≤

→

≥≥

≥+≥≤≤

0

0

62

10

20

0

0

600200100

10

20

y

x

yx

yx

y

x

y

x

yx

yx

y

x

El número de productos que se pueden vender son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

No se podrán vender 15 unidades de cada producto ya que, como se ve en el gráfico, dicho punto no pertenece a la zona factible. Es decir, que incumple alguna inecuación, concretamente la segunda.

Objetivo: Maximizar Ingresos. Función Objetivo: yxI 200100 +=

(6, 0) 600€

(20, 0) 2 000€

(20, 10) 4 000€

(10, 10) 3 000€

(2, 2) 600€

A I

B I

C I

D I

E I

→ =→ =→ =→ =

→ =

Los ingresos máximos alcanzarán de 4 000€ vendiendo 20 unidades de los productos tipo A y 10 unidades de los productos tipo B.


Pág. 31

Jun 15

Fase específica

x = nº lotes tipo A preparados y = nº lotes tipo B preparados

≥≥

≤+≤+

≤+

0

0

27023

95

24032

y

x

yx

yx

yx

El número de lotes que se pueden producir son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico. Observamos que las tres rectas se cortan en un mismo punto.

Objetivo: Maximizar Beneficios. Función Objetivo: yxB 2225 +=

€7601)80,0(

€3302)15,80(

€2502)0,90(

€0)0,0(

=→=→

=→=→

BenC

BenB

BenA

BenO

El beneficio máximo será de 2 330€ preparando 80 lotes tipo A y 15 lotes tipo B.


Pág. 32


x = nº lotes producidos de refresco Normal y = nº lotes producidos de refresco Ligero

≥≥

≤+≤+≤+

→

≥≥

≤+≤+≤+

0

0

50

802

18043

0

0

20044

802

36086

y

x

yx

yx

yx

y

x

yx

yx

yx

El número de lotes que se pueden producir son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico. Observamos que las tres rectas se cortan en un mismo punto.

Objetivo: Maximizar Beneficios. Función Objetivo: yxB 800650 +=

€000.32)40 ,0(

€000.37)03 ,20(

€500.32)0 ,50(

€0)0 ,0(

=→=→

=→=→

BenC

BenB

BenA

BenO

El beneficio máximo será de 37 000€ produciendo 20 lotes de refresco Normal y 30 lotes de refresco Ligero.


Pág. 33

Jul 15 Fase general

x = nº ordenadores a comprar y = nº licencias a comprar

≥≤+

≥≥

→

≥≤+

≥≥

0

2402

20

0

00096800400

20

y

yx

xy

x

y

yx

xy

x

El número de ordenadores y licencias que se pueden comprar son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

1er Objetivo: Minimizar Costes


€00096)110 ,20(

€00096)80 ,80(

€00048)20 ,20(

=→=→=→

CostesC

CostesB

CostesA

2º Objetivo: Maximizar nº Licencias.

Función Objetivo: yL =

110)110,20(

80)80,80(

20)20,20(

=→=→=→

LicenciasC

LicenciasB

LicenciasA

Minimizará los costes, reduciéndolos a 48 000€, comprando 20 ordenadores y 20 Licencias mientras que para maximizar el número de Licencias, consiguiendo 110, debería comprar 20 ordenadores y 110 Licencias.


Pág. 34

Jul 15 Fase general

x = nº proyectores tipo A comprados y = nº proyectores tipo B comprados

≥≤+

≥≥

0

100

10

y

yx

yx

x

El número de proyectores de cada tipo que se pueden comprar son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

Objetivo: Minimizar Costes. Función Objetivo:

yxC 70003000 +=

€00030)0,10(

€000100)10,10(

€000500)50 ,50(

€000300)0,100(

=→=→=→=→

CostesC

CostesC

CostesB

CostesA

El menor coste será de 30 000€ comprando 10 proyectores tipo A y ninguno del tipo B.


Pág. 35


x = nº empleados especializados y = nº empleados no cualificados

≥≥≤≥≤

0

0

3

2

12

y

x

xy

xy

x

El número de empleados de cada tipo que se pueden contratar son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

Podrá contratar 5 empleados especializados y 12 no cualificados ya que, como se ve en el gráfico, dicho punto pertenece a la zona factible. Es decir, que cumple todas las inecuaciones.

Objetivo: Maximizar los ingresos por subvenciones.

Función Objetivo: yxI 100120 +=

( ) €040536,12

€8403)24,12(

€0)0,0(0

=→=→

=→

IB

IA

I

Conseguiremos maximizar estos ingresos contratando 12 empleados especializados y 36 no cualificados,

consiguiendo un total de 5 040€ de subvenciones


Pág. 36

Jul 15

Fase específica

x = nº billetes de 20€ introducidos y = nº billetes de 50€ introducidos

≥≥≥

≤+

→

≥≥≥

≤+

0

100

2

200052

0

100

2

200005020

x

y

yx

yx

x

y

yx

yx

El número de billetes que se pueden introducir son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

Objetivo: Minimizar nº total de billetes. Función Objetivo: yxN +=

66,6669

6000

9

2000,

9

4000

850)100,750(

300)100,200(

≈=→

=→=→

NC

NB

NA

Como mínimo deberemos introducir en el cajero 300 billetes: 200 de 20€ y 100 de 50€, que sumarán entonces un total de 9 000€.


Pág. 37

Jun 16

Fase general

x = nº de trofeos de fútbol y = nº de trofeos de baloncesto

≥≥

≤+≤+≤+

→

≥≥

≤+≤+≤+

0

0

1604

1302

56054

0

0

161,04,0

393,06,0

565,04,0

y

x

yx

yx

yx

y

x

yx

yx

yx

El número de trofeos que se pueden elaborar son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.

Objetivo: Maximizar los Ingresos Función Objetivo: yxI 7501200 +=

€84000)112,0(

€93000)100,15(

€48000)0 ,40(

€0)0,0(

=→=→

=→=→

ID

IC

IB

IA

Conseguiremos maximizar estos ingresos elaborando 15 trofeos de fútbol y 100 trofeos de baloncesto, ascendiendo estos ingresos a 93 000€.


Pág. 38

Jun 16

Fase general

x = nº de acciones de la compañía A y = nº de acciones de la compañía B

≥≥

≤+→

≥≥

≤+

5

5

656

5

5

6500600100

y

x

yx

y

x

yx

Objetivo: Maximizar el beneficio Función Objetivo: yxB 10822 +=

€1190)10,5(

€1310)5 ,35(

€650)5,5(

=→=→

=→

BenC

BenB

BenA

Conseguiremos subir los beneficios hasta un máximo de 1 310€, comprando 35 acciones de la compañía A y 5 acciones de la compañía B. Jun 16

Fase específica

x = unidades fabricadas del producto A y = unidades fabricadas del producto B

≥≥

≤≥−≤+

→

≥≥

≤≥

≤+

0

0

45

0

12032

0

0

45

6000150100

y

x

x

yx

yx

y

x

x

yx

yx

Objetivo: Maximizar el nº total de productos Función Objetivo: yxN +=

48)24,24(

55)10,45(

45)0 ,45(

0)0,0(

=→=→

=→=→

ND

NC

NB

NA

Conseguirá completar el mayor número posible de productos, fabricando 45 productos del tipo A y 10 del tipo B, subiendo los costes de fabricación a los 6000 € de que disponía.


Pág. 39

Jul 16

Fase general

x = Kilogramos comprados de naranjas y = Kilogramos comprados de manzanas

≥≥

≤+≤+

→

≥≥

≤+≤+

0

0

400045

900

0

0

4004,05,0

900

y

x

yx

yx

y

x

yx

yx

Objetivo: Maximizar los beneficios

Función Objetivo: yxyxB 6,07,0)4,01()5,02,1( +=−+−=

€540)900,0(

€580)500,400(

€560)0 ,800(

€0)0,0(

=→=→

=→=→

BenD

BenC

BenB

BenA

Conseguiremos subir los beneficios hasta un máximo de 580€, comprando 400 kg. de naranjas y 500 kg. de manzanas.


Pág. 40

Jul 16

Fase específica

x = Temas estudiados de matemáticas y = Temas estudiados de economía

≤≤≥≥

≤+

10

20

2

5

322

y

x

y

x

yx

Objetivo: Maximizar el nº total de temas estudiados

Función Objetivo: yxN +=

15)10,5(

22)10,12(

26)6 ,20(

22)2 ,20(

7)2,5(

=→=→

=→=→

=→

ND

ND

NC

NB

NA

Conseguirá completar el mayor número posible de temas, estudiando 20 temas de matemáticas y 6 de economía, es decir, un total de 26 temas.

Modelo

17 Es el

mismo de

Junio 11

fase

general

programación lineal en las pau de asturias –...

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