programacion lineal
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UNIDAD EDUCATIVA
''JULIO MORENO ESPINOSA''
MANUAL MATEMATICO
INTEGRANTES
GENESSIS INTRIAGO #21
LICENCIADO:
CARLOS LOPEZ
CURSO:
1º''G''
TEMA:
PROGRAMACION LINEAL
MAXIMA GANANCIA DE UNA
PASTELERIA
Contenido 1. INTRODUCCION .............................................................................. 3
2. PROGRAMACION LINEAL ............................................................... 4
2.1. HISTORIA ................................................................................... 4
2.2. CONCEPTO ............................................................................. 4
3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................... 5
4. INGREDIENTES DE LOS DOS TIPOS DE PASTELES ........................ 7
4.1. PASTEL TIPO A (CHOCOLATE SENCILLO) ................................ 7
4.2. PASTEL TIPO B (CHOCO FLAN) ............................................. 7
5. PREPARACIÓN DE LOS PASTELES .................................................. 7
5.1. PASTEL TIPO A .......................................................................... 7
5.2. PASTEL TIPO B ........................................................................ 8
¿SABIAS QUE?
Un par ordenado es solución
de un sistema de
inecuaciones en X e Y si la
desigualdad es verdadera,
cuando al reemplazar las
coordenadas del punto en
todas las desigualdades,
satisface el sistema.
1. INTRODUCCION ¿Qué significa para ti restricción?
2x+3y≥-3
2x-y-9≤0
2x-5y-5≥0
En muchas aplicaciones de la industria y los negocios las soluciones que se necesitan están
definidas sobre numerables, tanto finitos como infinitos. Si se desea conocer el número
sandalias a producir para optimizar costos, la solución esperada es un numero entero, en
ningún caso un numero entero, en ningún caso un numero decimal. Cuando se busca el
número de viajes que un camión debe realizar para
cubrir la distribución de gaseosas en una ciudad,
jamás se aceptará como respuesta un valor de 6,32 o
de 6,47; o se toma el valor de 6, o se aproxima al
siguiente entero 7. Cuando se trabaja en
matemáticas discretas, las funciones dejan de ser
definidas sobre conjuntos continuos como los reales,
lo cual trae algunas consecuencias. Por ejemplo, el
grafico de la recta deja de ser una línea continua que
cruza el plano cartesiano, y pasa ser una sucesión de
puntos. En las matemáticas continuas, si dos rectas
en el plano no son paralelas, siempre se cortan en algún
punto; pero en las matemáticas discretas, estas dos rectas
no siempre tendrán la coincidencia de encontrarse en el
mismo punto. Por ello en programación lineal, la región de
soluciones factibles, no es una aérea continua, muy al
contrario, es una región salpicada de puntos. Y la función
objetivo va ''saltando'' de punto en punto cuando se busca
la mejor solución. Cuando un problema de programación
lineal requiere de una solución discreta, la función objetivo no podría ser evaluada para
valores como 6,32 o 6,47. Será sobre 6 o sobre 7.
La región factible o conjunto factible de un
sistema de inecuaciones lineales puede
estar acotada o no acotada.
Las restricciones del
problema son
inecuaciones lineales
La función objetivo también es de
tipo lineal F(x, y)=2x+5y
2. PROGRAMACION LINEAL
2.1. HISTORIA
El puente aéreo de Berlín. En 1946 comienza el largo periodo de
la 'guerra fría' entre la antigua Unión Soviética (URSS) y las
potencias aliadas (principalmente Inglaterra y Estados
Unidos).Uno de los episodios más llamativos de ese conflicto fue
cuando la URSS bloqueo las comunicaciones terrestres entre las
zonas alemanas en poder de los aliados con la ciudad de Berlín,
bloqueando esta ciudad. Dadas las circunstancias, los aliados
organizaron un gigantesco puente aéreo para abastecer la
ciudad. En la planificación de los suministros se utilizó la
programación lineal.
2.2. CONCEPTO
La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de
inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de
tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
En un problema de programación lineal de dos
variables X e Y, se trata de optimizar es decir
hacer máxima o mínima, según los casos una
función llamada función objetivo, que tiene la
forma F(x, y)=Ax+By, sujeta a una serie de
restricciones dadas mediante un sistema de
inecuaciones lineales tipo:
a₁x+b₁y≤c₁
a₂x+b₂y≤c₂
: : :
aᵤx+bᵤy≤cᵤ
Los puntos de la región factible
se denominan soluciones. De
todas las soluciones factibles,
aquellas que hacen óptima
(máxima o mínima) la función
objetivo, se denominan
soluciones óptimas.
Tipos de soluciones de un problema de
programación lineal
Solución única: se localiza en un vértice
o en un punto extremo de la región
factible.
Infinitas soluciones: o soluciones
múltiples.
Ausencia de solución: o solución no
acotada, cuando la función objetivo no
tiene valores extremos.
Solución no factible: cuando no existe
región factible por falta de puntos
comunes en el sistema de inecuaciones.
Solución degenerada: si en un solo
punto coinciden tres o más de las rectas
que limitan la región factible.
3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Una pastelería realiza 16 pasteles diarios, unos de tipo A son chocolate-sencillo y otros de tipo
B son de choco flan. Para ello se dispone de 100 huevos, 2000 gramos de azúcar, 10000
gramos de chocolate de postre, 1900 gramos de mantequilla, 10000 gramos de leche. Para la
fabricación del primer pastel se necesita 4 huevos, 20 gramos de azúcar, 200 gramos de
chocolate de postre, 60 gramos de mantequilla, 245 gramos de leche. Para la fabricación del
segundo pastel se necesitan 8 huevos, 200 gramos de azúcar, 125 gramos de chocolate postre,
60 gramos de mantequilla, 4 422 gramos de leche. Teniendo los ingredientes de los 2 pasteles
A y B constantemente la pastelería realiza 10 del tipo A y 6 del tipo B.
Lo que necesitamos saber es cuantos pasteles de cada tipo debemos realizar para obtener una
ganancia mayor o igual de $500 si el de chocolate sencillo cuesta $25 y el de choco flan cuesta
$30.
TIPO A X 4X 20X 200X 60X 245X
TIPO B Y 8Y 200Y 125Y 60Y 4422Y
≥100 ≥2000 ≥10000 ≥1900 ≥10000
F(x, y)=25x+30y ÷5 5x+6y
4x+8y≥100 ÷4 x+2y≥25
20x+200y≥2000 ÷20 x+20y≥100
200x+125y≥10000 ÷25 8x+5y≥400
60x+60y≥1900 ÷20 3x+3y≥95
245x+4422y≥10000
x+2y=25
x=0; 2y=25
y=25÷2
y=12,5
p (0; 12,5)
y=0; x=25
X+20y=100
X=0; y=100÷20
Y=5 p (0,5)
Y=0; x=100
P (100,0)
8x+5y=400
X=0; y=400÷5
Y=80
P (0,80)
Y=0; x=400÷8
X=50
P (50,0)
3x+3y=95
X=0: y=95÷3
Y=31.6
P (0; 31.6)
Y=0; x=95÷3
X=31.6
P (31.6; 0)
P (25,0)
Grafica
La máxima ganancia es de 660, que se encuentra en el punto D (60,60).
La mínima ganancia es de 500, la que comúnmente se obtiene se encuentra en el punto
C (100,0).
245x+4422y=10000
X=0; y=10000÷4422
Y=2.26
P (0; 2,26)
Y=0; x=10000÷245
X=40,82
P (40,82; 0)
4. INGREDIENTES DE LOS DOS TIPOS DE PASTELES
4.1. PASTEL TIPO A (CHOCOLATE SENCILLO) 4 huevos
1 taza de leche
3 cucharadas de mantequilla
4.2. PASTEL TIPO B (CHOCO FLAN)
1 taza de azúcar granulada
8 yemas de huevos
1 lata (14 onzas) de leche condesada azucarada
1 lata (12 onzas) de leche evaporada
1 paquete (18 a 25 onzas) de mezcla para pastel.
5. PREPARACIÓN DE LOS PASTELES
5.1. PASTEL TIPO A
Instrucciones de preparación
Precalienta el horno a 350⁰F
(180⁰C). Para cocinas a gas:
posición 5. Engrase y
enharine un molde de 24cm
de diámetro x6cm de alto.
Mezclar
Vierta el contenido de la bolsa en un
recipiente hondo. Agregue 3 huevos, 1
taza de leche, 3 cucharadas de
mantequilla o margarina. Bata a
velocidad media, con batidora
eléctrica, durante 5 minutos hasta
obtener una mezcla cremosa.
Vierte la mezcla en el molde.
Hornee durante 45-50 minutos o
hasta que presionando
suavemente el centro, vuelva
inmediatamente a su lugar.
ENFRIAR
Deje reposar la preparación
durante 10 minutos y luego
desmolde cuidadosamente. Una
vez fría, rellene o cúbrala con un
baño de la deliciosa crema
Chantilly Royal.
5.2. PASTEL TIPO B
PREPARACION: En primer lugar prepararemos el caramelo líquido. Y es tan sencillo como echar azúcar y agua en una sartén. Y dejar que se vaya haciendo a fuego medio. Estará listo cuando empiece a dorarse, tened mucho cuidado que no se os queme, pues sino amargará. Echamos el caramelo en el fondo del molde, previamente rociado con un spray especial para desmoldar (o con mantequilla y harina). Derretimos la mantequilla en el microondas. La echamos en un bol grande y añadimos el chocolate troceado. Batimos con unas varillas hasta que el chocolate esté totalmente derretido, si es necesario volveremos a meterlo unos segundos en el microondas. En otro bol cascamos los huevos. Echamos el azúcar y batimos con unas varillas hasta que blanqueen. Vertemos esta mezcla sobre la mezcla anterior. Mezclamos con una espátula hasta integrar todos los ingredientes. Incorporamos la harina, el cacao en polvo y una pizca de sal. Mezclamos con unas varillas a velocidad baja, no queremos darle aire a la masa. Echamos la mezcla en el molde, en este caso el brownie irá al fondo. Ahora vamos a preparar el flan. Cascamos los huevos en un bol e incorporamos el azúcar.
Batimos hasta que blanqueen. Añadimos la leche y mezclamos. Vertemos la mezcla en nuestro molde, sobre el brownie, frenando la caída con la espátula. La capa de flan se queda arriba. Ya veréis como acaban ambas mezclas. Introducimos el molde al baño maría, con el horno precalentado a 190ºC, opción arriba-abajo. Es importante que el agua esté bien caliente. El baño debe llegar hasta más o menos la mitad del molde, así
que si falta agua, añadiremos hasta llegar por la mitad. Tiempo: 1 hora y 15 minutos aproximadamente. A media cocción, si vemos que se está dorando por arriba, podemos tapar con papel de aluminio. Pinchamos y comprobamos que el palillo sale sólo manchado, pero no está líquido, recordad que el brownie es un bizcocho más bien húmedo, así que este punto es el perfecto, húmedo pero no líquido. Dejamos reposar hasta que se enfríe totalmente. Retiramos el molde y las capas deberán haber invertido su orden, con un corte perfecto.