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PROGRAMACIÓN LINEAL

LILIANA DELGADO HIDALGO [email protected]

Universidad del Valle

MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

La Programación Lineal (PL) es una de las técnicas

de la investigación de Operaciones.

Los orígenes de la PL se remontan hacia la década

del 40, cuando el economista Leontief desarrolla

el método de análisis insumo-producto.

En 1947, Stigler plantea el conocido “problema

de la dieta”

En 1947, Dr. George Dantzig concluye su

desarrollo del método simplex…

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NATURALEZA DE LA PL

PL busca la MEJOR forma de asignar recursos

limitados (humanos, económicos, tecnológicos) a

diferentes actividades que compiten por esos

recursos.

¿Cuántas formas pueden haber para asignar,

distribuir y utilizar estos recursos?

¿Cuál será la mejor forma posible?

Buscar el máximo beneficio a la organización.

Soluciones óptimas que puede encontrar las técnicas

basadas en la PL.

NATURALEZA DE LA PL

Programación?

Lineal?

Planeación de recursos, no

está relacionado con la

“programación” de

computadores.

Naturaleza de las variables y

relaciones entre esas

variables

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Secuencia metodológica en la Investigación de Operaciones

Problema de

Optimización

Hay Recursos Limitados ó

Restricciones. Por ej.: se cuenta

con 20 trabajadores, 4

maquinas, 100 millones de

pesos, etc, etc.

¿cómo deben utilizarse de la

mejor forma los recursos limitados

para obtener el mejor objetivo

posible?

Problema de planeación

Un empresa quiere

buscar un objetivo optimo (lo mejor)

Maximas

UtilidadesMinimo

Costo

Mínimo

riesgo de sus

inversiones

¿cómo lograr, por ejemplo, la

maxima utilidad posible con los

recursos disponibles?

Esquema de un Modelo de Programación Matemática

Problema

Actividades

Recursos

P

a

r

á

m

e

t

r

o

s

Objetivo

Variables de

Decisión

Consumo de

RecursosRestricciones

Función Objetivo

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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL

Problema 1. Suponga que un carpintero tiene duda

en cuánto cuánto a la cantidad de mesas y sillasa la cantidad de mesas y sillas que le

conviene fabricar a fin de maximizar las utilidadesmaximizar las utilidadesgeneradas por cada producto en función de los

recursos con los cuales disponerecursos con los cuales dispone actualmente:

Qué preguntas le haría de inicio?

Información: Tres preguntas básicas

La utilidad por cada producto fabricado

Los recursos disponibles

El consumo de recurso por cada producto


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Recursos disponibles

PIEZAS

CHICAS

PIEZAS

GRANDES


Utilidad por producto

$15.00

$20.00

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CANTIDADCANTIDAD DEDE RECURSOSRECURSOS CONSUMIDOCONSUMIDO PORPOR PRODUCTOPRODUCTO


Formulación verbal de problema:

Variables de decisión

Cuántas unidades de sillas elaborar?

Cuántas unidades de mesas elaborar?

Objetivo buscado

Maximizar utilidad

Restricciones

Disponibilidad de unidades de piezas pequeñas: 8

Disponibilidad de unidades de piezas grande: 6

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Posibles soluciones factibles a considerar, esto es soluciones que

respetan las restricciones del número de piezas disponibles, son

por ejemplo, fabricar:

4 sillas, que reportan una utilidad de U$60

1 sillas y 2 mesas , utilidad de U$55

3 mesas, utilidad de U$60

1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65

2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70

etc.


Un modelo matemático para hallar la mejor solución

factible a este problema tiene tres componentes básicos:

i) Las variables de decisión, que consiste en definir cuáles

son las decisiones que se debe tomar. En el ejemplo,

x: número de sillas a elaborar.

y: número de mesas a elaborar.


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ii) La función objetivo del problema, que permita

tener un criterio para decidir entre todas las

soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la

utilidad dada por:

z = f(x,y) = 15x + 20y


iii) Restricciones del problema, que consiste en definir unconjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen losvalores de las variables de decisión a aquellos consideradoscomo factibles. En el ejemplo, respetar la disponibilidad depiezas para la fabricación de sillas y mesas:

Piezas pequeñas: 2x + 2y ≤≤≤≤ 8

Piezas grandes : x + 2y ≤≤≤≤ 6

También se impone restricciones de no – negatividad:

x,y ≥≥≥≥ 0


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En resumen: Max 15x + 20ysa: 2x + 2y ≤≤≤≤ 8

x + 2y ≤≤≤≤ 6x,y ≥≥≥≥ 0

El ejemplo corresponde a un modelo de ProgramaciónLineal. Si además restringimos los valores de x e y anúmeros enteros, tendríamos un modelo de ProgramaciónEntera. Por otra parte, si hubiese retornos crecientes aescala, deberíamos emplear una función objetivo nolineal como f(x,y) = cxa + dyb con a,b >1, y tendríamos unmodelo de Programación No Lineal.


Supuestos de la programación lineal

Las condiciones básicas que deben cumplirse para que tanto la función objetivo comocada una de las restricciones sean de naturaleza lineal son la proporcionalidad y laaditividad.

Proporcionalidad

Aditividad

Divisibilidad: fabricar un cuarto de avión?

Certeza: determinísticos

�� = 30 � + 20 � [$] = (30 – 0.0001 �) � + 20 � [$] Afortunadamente las no-linealidades de

la práctica en la mayoría de los casos

pueden adaptarse, transformarse o

asumirse como lineales dentro de cierto

rango de validez.

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Problema 2Debido a la difícil situación económica por la que atraviesa el mundo, suponga

que usted decidió alimentarse diariamente solo con pan y soya. Suponga

también que el cuerpo humano como mínimo debe disponer de 2.000

Kcalorías, 50 Grs de Proteínas y 4.000 U.I. de Vitamina A diarios. Usted sabe el

contenido aproximado que brindan los alimentos seleccionados y su costo, así:

Alimento Kcaloríaspor Kilo

Proteínas(gr/ Kilo)

Vitamina A(U.I./Kg)

Costo($/Kg)

Pan 2.400 87 500 2000

Soya 550 200 200 3000

Su problema es determinar qué cantidad de pan y soya comprar diariamente

para cumplir con sus necesidades alimenticias al mínimo costo posible.





Cuántos kilogramos de pan comprar diariamente?

Cuántos kilogramos de soya comprar diariamente?

Objetivo buscado

Minimizar costos

Objetivo buscado

Consumo mínimo de kilocalorias diarias : 2.000

Consumo mínimo de gramos diarios de proteínas: 50

Consumo mínimo de U.I diarios de vitamina A: 4.000 diarios

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02,1

]/min[400200500

]/[5020087

]/[20005502400

]/[$30002000min

21

21

21

21

≥≥+

≥+≥+

+=

xx

diaAavitaunidadesxx

diagramosxx

diaKcaloriasxx

sa

diaxxz

X1 = kilogramos de pan comprar diariamente X2 = kilogramos de soya comprar diariamente


Problema 3

Una compañía productora de elementos eléctricos tiene durante este mes un

sobrante en su capacidad total de producción, el cual quiere utilizar para la

manufactura de dos artículos de rápida venta, los transformadores de 40 VA y

los transformadores de 75 VA. Por su experiencia, se han reunido los

siguientes datos:

El sobrante en la capacidad de producción se ha estimado en 1400 hr.hombre,

980 hr. en la máquina 1 y 900 hr. en la máquina 2, para este mes. ¿Cuál es la

mejor forma de planear la producción?

TRANSFORMADOR UTILIDAD

NETA UNITARIA [$]

HORAS-HOMBRE

POR UNIDAD

HORAS MAQUINA 1 POR UNIDAD

HORAS MAQUINA 2 POR UNIDAD

40 VA 400 1 1.0 1.0

75 VA 700 7/3 1.4 1.0

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Número de transformadores de 40 VA que va a producir en el mes.

Número de transformadores de 75 VA que va a producir en el mes.

Objetivo buscado

Maximizar utilidad

Restricciones

Disponibilidad de horas hombre: 1.400

Disponibilidad de horas en la máquina 1: 980

Disponibilidad de horas en la máquina 2: 900

EJEMPLOS PROBLEMAS DE PLVariables de decisión

X1 = Número de transformadores de 40 VA que va a producir en el mes.

X2 = Número de transformadores de 75 VA que va a producir en el mes.

Función Objetivo

�� = 400 1 + 700 2 [$]

Restricciones

1 + �73� 2 ≤ 1400 [ℎ�. ℎ �!�" #�$% &�!'"$]

1 + 1.4 2 ≤ 980 [ℎ�. �á*+�&� 1 #�$% &�!'"$]

1 + 2 ≤ 900 [ℎ�. �á*+�&� 2 #�$% &�!'"$]

X_1 ≥0, X_2 ≥0, X_1 y X_2 enteros

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EjemplosEjemplos dede modelamientomodelamiento..

i) Problema de Transporte. El problema consiste endecidir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntosde origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertos puntos dedestino (centros de distribución, ciudades, etc..) demodo de minimizar los costos de transporte, dada laoferta y demanda en dichos puntos.

Se suponen conocidos los costos unitarios detransporte, los requerimientos de demanda y la ofertadisponible.


191328Planta 2

152521Planta 1

C.Dist.3C.Dist.2 C.Dist. 1

191328Planta 2

152521Planta 1

C.Dist.3C.Dist.2 C.Dist. 1

… Ejemplos de … Ejemplos de modelamientomodelamiento (Problema del transporte)(Problema del transporte)

Por ejemplo, suponga que una empresa posee dos plantas que

elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y

450 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades

deben ser trasladadas a tres centros de distribución con

demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades,

respectivamente. Los costos de transporte (en $/unidad) son:


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…… EjemplosEjemplos dede modelamientomodelamiento.. (Problema(Problema dede Dieta)Dieta)

ii) Problema de la dieta: este consiste en determinar una dieta

de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos,

de modo de satisfacer ciertos requerimientos nutricionales.

Supongamos que se tiene la siguiente información:

Leche(galon)

Legumbre(1 porción)

Naranjas(unidad)

RequerimientosNutricionales

Niacina 3,2 4,9 0,8 13

Tianina 1,12 1,3 0,19 15

Vitamina C 32 0 93 45

Costo 2 0,2 0,25


EjemplosEjemplos dede modelamientomodelamiento.. (Lote(Lote dede producción)producción)

iii) Problema de dimensionamiento de lotes: este consiste enhallar una política óptima de producción para satisfacerdemandas fluctuantes en el tiempo, de modo que se logreminimizar costos de producción e inventario, considerando ladisponibilidad de diversos recursos escasos.

Supongamos que una fábrica puede elaborar hasta 150 unidadesen cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido elhorizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguienteinformación:


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…… EjemplosEjemplos dede modelamientomodelamiento.. (Lote(Lote dede Producción)Producción)

Supuestos adicionales:

1) Existe un inventario inicial de 15 unidades.

2) No se acepta demanda pendiente o faltante (es decir, sedebe satisfacer toda la demanda del periodo).

Periodos Demandas(unidades)

Costo Prod.(US$/unidad)

Costo de Inventario(US$/unidad)

1 130 6 2

2 80 4 1

3 125 8 2.5

4 195 9 3


…… EjemplosEjemplos dede modelamientomodelamiento.. (Planeación(Planeación financiera)financiera)

iv) Problema de planificación financiera:

Supongamos que un banco dispone de $250 millones paradestinar a 4 tipo de créditos ofrecidos, los cuales tienen lassiguientes, tasas de crédito:

• Primer crédito corriente :12%

• Segundo crédito corriente :16%

• Crédito para el hogar :16%

• Crédito personal :10%


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…… EjemplosEjemplos dede modelamientomodelamiento.. (Planeación(Planeación financiera)financiera)

La asignación de estos créditos, debe satisfacer la siguientepolítica utilizada por la institución:

El monto asignado a los PCC, debe ser al menos, el 55% delmonto asignado a los créditos corrientes, y al menos un 25% deltotal del dinero prestado.

El SCC, no puede exceder el 30% del total del dinero prestado,por políticas tributarias el interés recibido por el banco no debeexceder a un retorno del 14% sobre el capital prestado.


…… EjemplosEjemplos dede modelamientomodelamiento.. (Planeación(Planeación Financiera)Financiera)

¿Cuánto asignar a cada tipo de crédito, de la manera más

eficiente, respetando la política del banco?


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EjemplosEjemplos dede modelamientomodelamiento.. (Mezcla(Mezcla dede productos)productos)

v) Problema de mezcla de productos: en este problema una

refinería produce 4 tipos de gasolina (gas 1, gas 2, gas 3 y gas 4).

Dos características importantes de cada gasolina son su número

de performance (NP) y su presión de vapor (RVP), que están

dados por:

NP RVP Barriles diarios

gas 1 107 5 3814

gas 2 93 8 2666

gas 3 87 4 4016

gas 4 108 21 1300


…… EjemplosEjemplos dede modelamientomodelamiento.. (Mezcla(Mezcla dede Productos)Productos)

Estas gasolinas pueden ser vendidas directamente a un precio de

$2483 por barril o bien mezcladas para obtener gasolinas de

aviación (avgas A y avgas B). La calidad de estas dos últimas junto

con sus precios de venta son:

NP RV Precio por barril (US$)

avgas A Al menos 100 A lo más 7 26,45

Avgas B Al menos 91 A lo más 6 25,91


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PROBLEMAS DE PLProblema planeación de producción. (0)

Producción máxima. 200 artículos de A, 100 artículos de B, combinación de A y B

Capacidad diaria sección de pintura. 120 artículos de A, 160 artículos de B, combinación de

A y B

Capacidad diaria planta de tratamiento térmico. A no requiere, 90 artículos de B, o B sin

tratamiento

Procesamiento artículo A en minutos. 3 en M1 y 2 en M2

Procesamiento artículo B. Total de 5 en M1 o 2 en M1 y 1 en M2

Disponibilidad diaria de máquinas. 8 horas = 480 minutos

Consumo de material en libras. A ( 1 de X y 2 de Y) B (2 de X y 3 de Y)

Disponibilidad de material. 140 de X y 80 de Y

Costo de material por unidad. X = $200 Y = $300

Disponibilidad o presupuesto para la compra de material. $ 60.000

Restricción adicional de compra de material. De X no puede comprarse más del 20% de Y

Utilidad por cada artículo.

A = $ 4.000 B sin tratamiento = $ 3.000 B con tratamiento = $ 5.000

CORTE DE PAPEL (CUTTING STOCK)

Una industria productora de papel recibe un pedido de la siguiente forma:

600 rollos de 35 pulg. de ancho




La industria tiene en sus bodegas rollos semejantes, pero de 114 pulg. deancho, y en cantidad suficiente y decide utilizarlos para el pedido, cortándolosen los diferentes anchos solicitados. ¿Cuál es la mejor forma de cortar losrollos de 114 pulg. de ancho para satisfacer el pedido y minimizar eldesperdicio de papel?

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CARGA AVIÓN

Un avión de carga tiene tres bodegas o compartimentos, adelante, al centro y atrás.

Estos compartimentos tienen límites de volumen y peso, así:

El propietario del avión tiene posibilidad de llevar parte de la carga o toda la que se le ofrece (si tiene

capacidad). Esta carga y sus características son las siguientes:

Para preservar el equilibrio del avión, el peso transportado en cada compartimiento debe guardar la misma

proporción con respecto a su capacidad. Formule un modelo matemático para determinar cuál tipo de carga,

qué cantidad y qué compartimentos debe el propietario del avión escoger para maximizar su utilidad y no

correr peligro durante el viaje.

PROGRAMA DE PN EN EL

TIEMPO

Un fabricante debe cumplir un contrato a cuatro meses durantelos cuales varían los costos de producción. El costo dealmacenamiento de unidades producidas en un mesdeterminado y no vendidas en ese mes es de $10 por unidad ypor mes. Se dispone de la siguiente información:

Formule un modelo matemático para determinar el programaóptimo de producción que cumple con el contrato a costo totalmínimo.

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PROGRAMACIÓN DE METAS

Cierta compañía planea introducir al mercado tres nuevos productos, debido a la próximaobsolescencia de los que produce actualmente. El interés de la gerencia es determinar las tasasde producción de cada uno de los productos, teniendo en cuenta tres objetivos fundamentales:

a. Lograr un Valor Presente Neto mínimo de mil millones de pesos (Utilidad a largo plazo).

b. Mantener el recurso laboral actual de 100 empleados (Nivel de empleo).

c. Sostener la inversión de capital en el nuevo equipo de 400 millones de pesos (Inversión inicial).

Como el gerente utiliza a menudo el Enfoque de Sistemas en sus decisiones, establece un“puntaje de penalización” para cada objetivo en caso de no cumplirse éste a cabalidad, así:

La contribución de cada producto la utilidad a largo plazo, al nivel de empleo y a lainversión de capital es proporcional a su tasa de producción y las contribucionesunitarias de cada producto son:

¿Cuáles deben ser las tasas de producción de cada producto para que los objetivos secumplan de la mejor forma posible?

PROGRAMACIÓN DE METAS

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PROBLEMA PROBABÍSTICO: ESTRATEGIA MILITAR

En cierto período de guerra, el comando aéreo recibió la orden de destruir la producción de

tanques del enemigo, quien tiene cuatro plantas claves localizadas en ciudades separadas.

La destrucción de cualquiera de las plantas parará efectivamente la producción de tanques.

Existe una aguda escasez de combustibles para llevar a cabo la misión, con un limitante de

51,000 galones. Cualquier bombardero enviado a una ciudad en particular debe tener

combustible para ir y volver y una reserva de 150 galones. El número de bombarderos

disponibles en el comando y su descripción se dan a continuación.

La información acerca de la localización de las plantas y su vulnerabilidad de ataque por

estos dos tipos de aviones es la siguiente:

Formule un modelo de programación lineal para determinar cuántos

bombarderos de cada tipo deben ser enviados a cada planta, con el

objetivo de maximizar la probabilidad de éxito de la misión. Se asume

que no se causa ningún daño en la planta si un bombardero falla al

destruirla.

PROBLEMA PROBABÍSTICO: ESTRATEGIA MILITAR

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Mezcla Óptima de Productos –Variables Binarias

Una empresa europea piensa instalar plantas de producción en Cali para

lanzar sus productos al mercado nacional, por lo que necesita decidir su plan

de producción para el próximo año. La empresa puede fabricar N tipos de

productos y la elaboración de cada uno de ellos implica la compra de una

máquina especializada, a un costo de fi [$]. Además, el costo variable de

producir una unidad del producto i es de ci [$]. Así, si se decide elaborar el

producto i se deberá necesariamente incurrir en un costo de fi [$] más los

costos variables por elaboración del producto, y si se decide no fabricarlo no

se incurrirá en ningún tipo de gasto.

Si la demanda pronosticada para el producto i es de Di unidades (i = 1…N)

pudiendo venderse dicho producto a un precio de pi [$], formule un modelo

que resuelva el problema de encontrar el conjunto de productos que la

empresa debe fabricar, sabiendo que se desea producir exactamente L

productos diferentes, para los cuales se deberá satisfacer la demanda.

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