programacin lineal 1278475839 phpapp01 (1)

PROFESOR: Javier Trigoso T.

1

PROGRAMACIN LINEAL

La programacin lineal es una tcnica de modelizacin matemtica desarrollada a partir de la dcada de 1930. Desde entonces, se ha aplicado con frecuencia

en los procesos de toma de decisin de numerosos mbitos econmicos y productivos, como la planificacin de empresa y la ingeniera industrial.

La programacin lineal es una herramienta que ha

permitido el ahorro de miles de millones de dlares en el

mundo empresarial o de los negocios, pues en esencia

permite asignar recursos limitados entre actividades

competitivas en forma ptima o de la mejor manera

posible. Permite elegir el nivel de ciertas actividades que

compiten por escasos recursos necesarios para

realizarlas. Se puede determinar la cantidad de recursos

que consumir cada una de las actividades elegidas. La

variedad de situaciones a las que se puede aplicar es muy grande, y va desde la

produccin de distintos tipos de artefactos que hay que fabricar para obtener la

ganancia ptima hasta la asignacin de los recursos nacionales a las necesidades de

un pas; tambin tiene aplicacin en diferentes campos de la sociedad, como en los

aeropuertos, en el campo de la medicina, para el diseo de una terapia de radiacin,

por ejemplo. No obstante, el ingrediente comn de todas estas situaciones es la

necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles ptimos de las

mismas. Se considera el desarrollo de la Programacin Lineal como uno de los

avances cientficos ms importantes de mediados del siglo XX.

UN POCO DE HISTORIA

A lo largo de la historia es frecuente encontrarse con la colaboracin entre

cientficos y militares con el fin de dictaminar la decisin ptima en la batalla. Es

por esto que muchos expertos consideran el inicio de la Investigacin Operativa en

el siglo III A.C., durante la II Guerra Pnica, con el anlisis y solucin que

Arqumedes propuso para la defensa de la ciudad de Siracusa, sitiada por los

romanos. Entre sus inventos se encontraban la catapulta, y un sistema de espejos

con el que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del

sol.


2

En 1503, Leonardo Da Vinci particip como ingeniero en la guerra contra Pisa ya

que conoca tcnicas para realizar bombardeos, construir barcos, vehculos

acorazados, caones, catapultas, y otras mquinas blicas.

Otro antecedente de uso de la Investigacin Operativa se debe a F. W.

Lanchester, quien hizo un estudio matemtico sobre la potencia balstica de las

fuerzas opositoras y desarroll, a partir de un sistema de ecuaciones

diferenciales, la Ley Cuadrtica de Combate de Lanchester, con la que era posible

determinar el desenlace de una batalla militar. Thomas Edison tambin hizo uso de

la Investigacin Operativa, contribuyendo en la guerra antisubmarina, con sus

grandes ideas, como la proteccin anti-torpedos para los barcos.

Pero no se considera que haya nacido una nueva ciencia llamada Investigacin

Operativa o Investigacin de Operaciones

hasta la II Guerra Mundial, durante la atalla de

Inglaterra, donde la Fuerza Area Alemana, es decir la Luftwaffe, estaba sometiendo a los

britnicos a un duro ataque areo ya que estos

tenan una capacidad area pequea, aunque

experimentada en el combate. El gobierno

britnico, buscando algn mtodo para

defender su pas, convoc a varios cientficos

de diversas disciplinas para tratar de resolver

el problema de sacar el mximo beneficio de

los radares de que disponan. Gracias a su trabajo determinando la localizacin

ptima de las antenas y la mejor distribucin de las seales consiguieron duplicar la

efectividad del sistema de defensa area. El nombre de Investigacin de

Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la

actividad de investigar operaciones (militares).

Motivados por los resultados alentadores obtenidos por los equipos

britnicos, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar

investigaciones similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas,

los cuales empezaron a tener buenos resultados y en sus estudios incluyeron

problemas logsticos complejos, la planeacin de minas en el mar y la utilizacin

efectiva del equipo electrnico. Al trmino de la guerra y atrados por los buenos

resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales

empezaron a aplicar las herramientas de la Investigacin de Operaciones a la

resolucin de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del

tamao y la complejidad de las industrias.


3

1. GRFICA DE INECUACIONES

1.1. Regiones del plano determinadas por rectas

La grfica de una recta de ecuacin y = ax + b divide al plano en dos regiones: una

formada por los puntos que satisfacen la inecuacin y < ax + b, y otra formada

por los puntos que satisfacen la inecuacin y > ax + b.

Si se trata de una inecuacin en sentido estricto (>,


4

Ejemplo 2

Traza la grfica de la inecuacin: 3y 2x < 6

Solucin:

Trazamos la grfica de la ecuacin

3y 2x = 6, hallando los puntos donde

la recta corta a los ejes.

Si x = 0 y = 2 Si y = 0 x = -3

La recta la trazamos punteada porque

no forma parte de la solucin. El punto

(0; 0) se encuentra en el semiplano

inferior; y 3(0) 2(0) = 0 < 6 es

verdadero, por lo tanto, sombreamos el

semiplano inferior.

1.2. Grfica de un sistema de inecuaciones lineales

Un sistema de inecuaciones lineales con dos incgnitas es la reunin de dos o ms

inecuaciones lineales con dos incgnitas.

Ejemplo 3

Resuelve el siguiente sistema de

inecuaciones lineales:

x 2y 3

2x y 1

Solucin:

Trazamos la grfica de cada una de las

ecuaciones; para lo cual calculamos los

valores de las coordenadas de dos de

sus puntos:

x + 2y = 3: (0; 3/2) y (3; 0)

2x - y = 1: (0; -1) y (1/2; 0)

Si sustituimos x = 0 e y = 0 en x + 2y >

3, se obtiene -3 > 0: falsedad; por lo

que la solucin para esta inecuacin es

el conjunto de puntos del semiplano que

no incluye al origen.

Si sustituimos x = 0 e y = 0 en 2x - y >

1, se obtiene -1 < 0: verdad; por lo que

la solucin para esta inecuacin es el

conjunto de puntos del semiplano que

incluyen al origen.

El conjunto solucin del sistema es la

interseccin de los semiplanos

solucin hallados individualmente (la

regin sombreada)


5

Ejemplo 4

Resuelve el siguiente sistema de

inecuaciones lineales:

x 3y 7

3x 2y 1

4x y 17

Solucin:

Lo primero que debemos hacer es

trazar la grfica de cada una de las

ecuaciones.

Basta con hallar las coordenadas de

dos de los puntos para cada una de

ellas:

x + 3y = 7: (0; 7/3) y (7; 0)

3x - 2y = -1: (0; 1/2) y (-1/3; 0)

4x + y = 17: (3; 5) y (17/4; 0)

El conjunto solucin es el interior del

tringulo sombreado, sin incluir ninguno

de los lados. Para aclarar mejor la

solucin debemos calcular las

coordenadas de los vrtices del

tringulo, lo cual se consigue

resolviendo los tres sistemas:

x 3y 7

3x 2y 1

x 3y 7

4x y 17

3x 2y 1

4x y 17

Para el primer sistema la solucin es

(1; 2), para el segundo (4; 1) y para el

tercero (3; 5).

La solucin del sistema de inecuaciones

es, en resumen, el interior del

tringulo, cuyos vrtices son los puntos

(1; 2), (4; 1) y (3; 5); sin incluir ninguno

de los tres lados del tringulo.

2. INTRODUCCIN A LA PROGRAMACIN LINEAL

La Programacin Lineal tiene infinidad de aplicaciones, como por ejemplo en la industria, la

economa, la estrategia militar, y en otras reas, en las que se presentan situaciones donde se

exige optimizar (maximizar o minimizar) algunas funciones que se encuentran sujetas a

determinadas situaciones.

Resolver un problema de programacin lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una

funcin lineal, denominada funcin objetivo, estando las variables sujetas a una serie de

restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de todas las soluciones

posibles se denomina conjunto solucin factible. Veremos a continuacin la aplicacin de la

programacin lineal a diversas situaciones.


6

2.1. Programacin lineal bidimensional

La programacin lineal bidimensional trata de optimizar, es decir, de maximizar

o minimizar una funcin lineal con dos variables sujeta a unas restricciones

que estn dadas por inecuaciones lineales.

2.2. Conjunto de restricciones lineales

El conjunto de restricciones lineales, es el conjunto de todas las restricciones del problema

asociadas a un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo

Encuentra la regin definida por el siguiente sistema de inecuaciones:

x y 7

2x y 10

x 0

y 0

2.3. Regin factible

La regin factible est formada por la interseccin o regin comn

de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los

sistemas de ecuaciones lineales, estos pueden presentar varias

opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solucin, en el

caso de que exista el conjunto solucin puede ser acotado o no.

Si la regin factible est acotada, su representacin grfica es un

polgono convexo con un nmero de lados menor o igual que el nmero

de restricciones.

La regin factible incluye o no los lados y los vrtices, segn que las

desigualdades sean en sentido amplio ( o ) o en sentido estricto

(< o >).

Ejemplo

Continuando con el ejemplo anterior, se obtiene la regin factible

representada en la grfica.


7

2.4. Funcin objetivo La funcin objetivo en un problema de programacin lineal es la funcin lineal en dos variables

que se desea optimizar. Se representa por: f(x;y) = ax + by

Ejemplo

Continuando con el ejemplo anterior, se pide maximizar en dicha regin el valor de la funcin

f(x;y) = 30x + 20y

2.5. Solucin ptima La solucin ptima son los puntos de la regin factible donde la funcin objetivo alcanza el

valor ptimo, es decir, el mximo o el mnimo. Si la solucin ptima es nica, es uno de los

vrtices de la regin factible. Si existen varias soluciones, son todos los puntos que estn

sobre uno de los lados.

Si existe una solucin que optimice la funcin objetivo, sta debe encontrarse

en uno de los vrtices de la regin factible

Analticamente, para hallar la solucin ptima, se prueba en la funcin objetivo

cada uno de los vrtices de la regin factible.

Ejemplo

Continuando con el mismo ejemplo:

O (0; 0) f (0; 0) = 30 0 + 20 0 = 0

A (5; 0) f (5; 0) = 30 5 + 20 0 = 150

B (3; 4) f (3; 4) = 30 3 + 20 4 = 170 Mximo

C (0; 7) f (0; 7) = 30 0 + 20 7 = 140

La solucin ptima es B (3; 4)

PARA LA CLASE

Representa en el plano cartesiano la solucin de las siguientes inecuaciones:

1. x 3

2. 3 x 5

3. y 5

4. 5 y 3

5. y 3x 4

6. x 2y 3

7. x y 1

x y 1

Restricciones x 0, y 0

Prcticamente en todos los

problemas de programacin

lineal se exige que las

variables x e y sean mayores

o iguales que cero; en estos

casos, la regin factible se dibuja directamente en el 1er cuadrante.


8

8.

y x 1

y x 2

y 0

9. Representa grficamente la regin

factible determinada por las siguientes

desigualdades:

x y 5

4x 3y 30

x 0

y 0

Calcula la solucin que hace mnima la

funcin objetivo f(x; y) = x + 2y sometida

a las restricciones anteriores.

10. Dado el recinto definido por el

siguiente sistema de inecuaciones:

2x y 1000

x 1,5y 750

x 0

y 0

A. Represntalo grficamente.

B. Halla sus vrtices.

C. Obtn el valor mximo de la funcin

f(x; y) = 15x + 12y en el recinto anterior,

as como el punto en que lo alcanza.

3. RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN

LINEAL

3.1. Procedimiento de resolucin

Para resolver un problema de programacin lineal se sigue el procedimiento:

Se hace una tabla con los datos del problema.

Se representa la regin factible.

Se calculan los valores de la funcin objetivo en los vrtices de la regin factible.

Se escribe la solucin.

3.2. Tabla con los datos del problema

En la 1 fila, cabecera horizontal, se escriben las etiquetas correspondientes a los conceptos de las variables y la etiqueta restricciones.

En la 2 fila se escriben las variables y se ponen las letras que representan a las

variables.

En cada una de las filas siguientes se escribe una condicin, que da origen a

una restriccin, es decir, a una inecuacin.

En la ltima fila se escriben los valores correspondientes a la funcin objetivo y si se

trata de maximizar o minimizar.


9

Ejemplo 1

Una fbrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaa. La

fbrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para

construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg

de aluminio, y para construir una bicicleta de montaa se

necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si vende las

bicicletas de paseo a 200 E y las de montaa a 150 E, cuntas

bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea mximo?

Solucin

1) Tabla con los datos del problema.

B. de paseo B. de montaa Restricciones

N de bicicletas x y x 0; y 0

Acero x 2y x + 2y 80

Aluminio 3x 2y 3x + 2y 120

Beneficio 200x 150y f(x; y) = 200x + 150y

2) Regin factible.

Es el grfico del margen.

3) Valores de la funcin objetivo en los vrtices de la regin

factible.

O (0; 0) f (0; 0) = 200 0 + 150 0 = 0

A (40; 0) f (40; 0) = 200 40 + 150 0 = 800

B (20; 30) f (20; 30) = 200 20 + 150 30 = 850 Mximo

C (0; 40) f (0; 40) = 200 0 + 150 40 = 600

4) La solucin ptima es B (20; 30), es decir, x = 20 bicicletas de paseo e y = 30

bicicletas de montaa.

Ejemplo 2

Se quiere organizar un puente areo entre dos ciudades, con

plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar a 1 600

personas y 96 toneladas de equipaje.

Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del

tipo B. La contratacin de un avin del tipo A, que puede

transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje, cuesta 40

000 euros; la contratacin de uno del tipo B, que puede transportar 100 personas y 15

toneladas de equipaje, cuesta 10 000 euros.

Cuntos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el costo sea mnimo?


10

Solucin

1) Tabla con los datos del problema.

Tipo A Tipo B Restricciones

N de aviones x y 0 x 11; 0 y 8

Personas 200x 100y 200x + 100y 1 600

Equipaje 6x 15y 6x + 15y 96

Costo 40 000x 10 000y f(x; y) = 40 000x + 10 000y

2) Regin factible.

Es el grfico del margen.

3) Valores de la funcin objetivo en los vrtices de la

regin factible.

A (6; 4) f (6; 4) = 40 000 6 + 10 000 4 = 280 000

B (11; 2) f (11; 2) = 40 000 11 + 10 000 2 = 460 000

C (11; 8) f (11; 8) = 40 000 11 + 10 000 8 = 520 000 D (4; 8) f (4; 8) = 40 000 4 + 10 000 8 = 240 000 Mnimo

4) La solucin ptima es D (4; 8), es decir, x = 4 aviones tipo A, y = 8 aviones tipo B

PARA LA CLASE

Ejercicio 1

Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120

m2 de tejido B. Un traje de caballero

requiere 1 m2 de A y 3 m2 de B, y un

vestido de seora 2 m2 de cada tejido.

Si la venta de un traje deja al sastre el

mismo beneficio que la de un vestido,

halla cuntos trajes y vestidos debe

fabricar para obtener la mxima

ganancia.

Ejercicio 2

Una empresa produce dos bienes A y B.

Tiene dos factoras y cada una de ellas

produce los dos bienes en las cantidades

por hora siguientes:

La empresa recibe un pedido de 300

unidades de A y 500 de B. Los costos de

funcionamiento de las dos factoras son:

S/.100 por hora para la factora 1 y

S/.80 por hora para la factora 2.

Cuntas horas debe funcionar cada

factora para minimizar los costos de la

empresa y satisfacer el pedido?

Ejercicio 3

Un vendedor de libros usados tiene en su

tienda 90 libros de la coleccin Austral y

80 de la coleccin Alianza de bolsillo.

Decide hacer dos tipos de lotes: el lote

de tipo A con 3 libros de Austral y 1 de

Alianza de Bolsillo, que vende a S/.8 y el

de tipo B con 1 libro de Austral y 2 de


11

Alianza de bolsillo, que vende a

S/.10.Cuntos lotes de cada tipo debe

hacer el vendedor para maximizar su

ganancia cuando los haya vendido todos?

Ejercicio 4 Un comerciante acude a cierto

supermercado a comprar naranjas con

S/.5 000. Le ofrecen dos tipos de

naranjas: las de tipo A a S/.2 el kg. y las

de tipo B a S/. 4 el kg. Sabiendo que solo

dispone en su camioneta de espacio para

transportar 700 kg. de naranjas como

mximo y que piensa vender el kg. de

naranjas de tipo A a S/.3 y el kg. de tipo

B a S/.6. Cuntos kg. de naranjas de

cada tipo deber comprar para obtener

el mximo beneficio?, Cul ser el

mximo beneficio?

PARA LA CASA

Determina grficamente el conjunto

solucin de los siguientes sistemas:

1. y 2x 2

2. 4x 3y 2

3. y x 2

4. x y 3

2x y 4

5. x y 3

2 x 4

6.

x 3y 15

4x y 16

x 0

y 0

7. Se considera la regin del plano

determinada por las inecuaciones:

x 3 y

8 x y

y x 3

x 0

y 0

Encuentra los vrtices de dicha regin

8. Dada la regin definida por el

siguiente sistema de inecuaciones

x y 8

3x 2y 12

x 0

y 0

minimiza en dicha regin el valor de la

funcin: f(x, y) = 15x + 10y



x y 4

x 2y 10

x 0

y 0

minimiza en dicha regin el valor de la




x y 6

x y

x 0

y 0


12

maximiza en dicha regin el valor de la




x y 27

x 12

y 6


B. Determina los vrtices de ese recinto.

C. Cules son los valores mximo y

mnimo de la funcin f(x;y) = 90x + 60y en

el recinto anterior?

D. En qu puntos alcanza dichos valores?

12. Dada la funcin objetivo

f(x; y) = 2x + 3y sujeta a las restricciones

siguientes:

3x y 10

x 2y 8

x 0

y 0

A. Representa la regin factible.

B. Halla los valores de x e y que hacen

mxima la funcin objetivo.

C. Determina los valores x e y que

minimizan la funcin objetivo.

13. Al maximizar f(x; y) =x + y; x;y R

sujeto a las siguientes condiciones:

2x 3y 6

2x y 6

y 4

x 0

y 0

Identifica la alternativa correcta despus

de determinar si la proposicin es

verdadera (V) o falsa (F).

I. El valor ptimo es 5.

II. La regin admisible es un polgono de

cuatro lados.

III. Los puntos (3; 2) y (4; 1) pertenecen

a la regin admisible.



x 2y 10

x 6

y 8

x 0

y 0


B. Calcula sus vrtices.

C. Calcula el mximo de la funcin

f(x, y) = 20x + 60y

15. Sea el recinto definido por las

siguientes inecuaciones:

5x 2y 10

3x 4y 20

x y 2

x 0

y 0

A. Dibuja dicho recinto y determina sus

vrtices.

B. Determina en qu punto de ese recinto

alcanza la funcin f(x; y) = 4x + 3y el

mximo valor.

16. Un taller dispone semanalmente de

24 kg de algodn y 15 kg

de lana para la produccin

de dos tipos de tapices

decorativos A y B, segn

los siguientes

requerimientos:

Tapiz A: 200 g de algodn y 100 g de lana.

Tapiz B: 200 g de algodn y 300 g de


13

lana. Si el tapiz A se vende a S/.40 y el

tapiz B a S/.60, determina cuntos

tapices de cada clase se deben vender

para obtener el mximo ingreso.

105 de A y 15 de B

17. Una fbrica de

muebles fabrica dos

tipos de sillones, S1 y

S2 . La fbrica cuenta

con dos secciones; carpintera y tapicera.

Hacer un silln de tipo S1 requiere 1 hora

de carpintera y 2 de

tapicera, mientras que uno de tipo S2

requiere 3 horas de carpintera y 1 de

tapicera. El personal de tapicera Qu

cantidad de aceite debe comprar el

distribuidor a cada una de los

almacenes para obtener el mnimo costo?

Determina dicho costo mnimo.

105 de A y 15 de B

18. Una fbrica prepara salsas para

tallarines Extra y Gourmet. La primera

contiene 200 g de tomate y 25 g de

carne por lata, la segunda 150 g de

tomate y 50 g de carne. Si se

abastecen de 4 toneladas de tomates y

1,25 toneladas de carne, cuntas latas

deben fabricar de cada tipo para

obtener la mxima utilidad, ganando en

la venta de cada una S/.1,80 y S/.2,30

respectivamente?

2 000 Extra y 24 000 Gourmet

19. La editorial Matetextos produce

dos libros de Matemtica:

lgebra y Geometra. La

utilidad por unidades es

de S/. 7 para el libro de

lgebra y de S/. 10 para el libro de

Geometra. El libro de lgebra requiere

de 4 horas para su impresin y 6 horas

para su encuadernacin. El libro de

Geometra requiere de 5 horas para

imprimirse y de 3 horas para ser

encuadernado. Si se dispone de 200 horas

para imprimir y de 240 horas para

encuadernar, calcula la mxima utilidad

que se puede obtener. S/. 400

20. Una empresa fabrica dos

clases de cuadernos. Los

rayados a S/. 2 la unidad y los

cuadriculados a S/. 1.5 la

unidad. En la produccin diaria

se sabe que el nmero de

cuadernos cuadriculados no supera en

1000 unidades al nmero de cuadernos

rayados, entre las dos clases no superan a

3000 unidades, y los cuadernos

cuadriculados no bajan de 1000 unidades.

Halle el costo mximo y mnimo de la

produccin diaria. 5 500 y 1 500

21. Una escuela prepara

una excursin para 400

alumnos. La empresa de

transportes tiene 8 buses

de 40 asientos disponibles

y 10 buses de 50 asientos

disponibles, pero solo dispone de nueve

conductores. El alquiler de un bus grande

cuesta S/. 80 y el de uno pequeo, S/. 60.

Calcula cuantos buses de cada tipo hay

que alquilar para que los gastos sean

mnimos para la escuela.

4 grandes y 5 pequeos


14

22. Un granjero tiene 480 hectreas en

las que puede sembrar ya

sea maz o trigo. Calcula que

dispondr de 800 horas de

trabajo durante la

temporada. Los mrgenes de

utilidad para cada uno de los

productos son S/.40 por

hectrea y los

requerimientos laborales para trabajar en

la siembra del maz son 2 horas por

hectrea y para el trigo, 1 hora por

hectrea. Cul es la utilidad mxima?

S/.19 200

23. Ricardo y Martn

ganan 10 millones de

nuevos soles en la

Tinka y les aconsejan que los inviertan en

la bolsa en dos tipos de acciones, A y B.

Las de ti po A tienen ms riesgo pero

producen un beneficio anual del 10%. Las

de tipo B son ms seguras, pero producen

solo el 7% anual. Despus de varias

deliberaciones ellos deciden invertir como

mximo 6 millones en la compra de

acciones A y, por lo menos, 2 millones en

la compra de acciones B. Adems, deciden

que lo invertido en las acciones de tipo A

sea, por lo menos igual a lo invertido en

las de tipo B. Cmo debern invertir los

10 millones de nuevos soles para que el

beneficio anual sea mximo?

24. Un distribuidor de aceite de oliva

compra la materia prima a dos

almacenes ,A y B. Los

almacenes A y B venden el

aceite a 2000 y 3 000 soles

por tonelada, respectivamente

Cada almacn le vende un

mnimo de dos toneladas y un mximo de 7

y para atender a su demanda, el

distribuidor debe comprar en total un

mnimo de 6 toneladas. El distribuidor

debe comprar como mximo al almacn A

el doble de aceite que al almacn B. Qu

cantidad de aceite debe comprar el

distribuidor a cada una de los almacenes

para obtener el mnimo costo? Determina

dicho costo mnimo. S/. 14 000

25. Una compaa de telefona mvil

quiere celebrar una jornada

de Consumo razonable y

ofrece a sus clientes la

siguiente oferta: 15 cntimos

de sol por cada mensaje SMS

y 25 cntimos de sol por cada

minuto de conversacin

incluyendo el costo de establecimiento de

llamada. Impone las condiciones:

A. El nmero de llamadas de un minuto no

puede ser mayor que el nmero de

mensajes aumentado en 3, ni menor que el

nmero de mensajes disminuido en 3.

B. Sumando el quntuplo del nmero de

mensajes con el nmero de llamadas

no puede obtenerse ms de 27.

Determina el nmero de mensajes y de

llamadas para que el beneficio sea

mximo. Cul es ese beneficio

mximo?

26. Cada mes una empresa puede

gastar, como mximo, 10 000 soles en

salarios y 1 800 soles en energa

(electricidad y gasolina). La empresa

solo elabora dos tipos de productos A y

B. Por cada unidad de A que elabora

gana 0,8 soles; y, por cada unidad de B,

gana 0,5 soles. El costo salarial y


15

energtico que acarrea la elaboracin de

una unidad del producto A y de una

unidad del producto B aparece en la

siguiente tabla:

Producto

A

Producto

B

Costo salarial 2 1

Costo energtico 0,1 0,3

Se desea determinar cuntas unidades

de cada uno de los productos A y B

debe producir la empresa para que el

beneficio sea mximo.

2 400 de A y 5 200 de B

27. Un ganadero tiene que elaborar

alimento para su ganado a

partir de dos ingredientes

nutritivos: A y B. Los

mnimos que necesita son

30 unidades de A y 32

unidades de B. En el

mercado se venden sacos de dos marcas

que contienen A y B, cuyos contenidos y

precios se dan en la siguiente tabla:

Marca Unidades

de A

Unidades

de B

Precio

del saco

I 3 1 S/.9

II 1 4 S/.12

Cuntos sacos de cada marca tiene que

comprar el ganadero para elaborar este

alimento con el mnimo costo?

8 unidades de A y 6 de B

28. Un granjero desea

crear una granja de pollos

de dos razas, A y B. Dispone

de 9 000 nuevos soles para

invertir y de un espacio con

una capacidad limitada para

7 000 pollos. Cada pollo de

la raza A le cuesta 1 sol y obtiene con l

un beneficio de 1 sol, y cada pollo de la

raza B le cuesta 2 soles y el beneficio es

de 1,4 soles por unidad. Si por razones

comerciales el nmero de pollos de la raza

B no puede ser superior a los de la raza A,

determina, justificando la respuesta:

A. Qu cantidad de ambas razas debe

comprar el granjero para obtener un

beneficio mximo?

B. Cul ser el valor de dicho beneficio?

5 000 de A y 2 000 de B 7 800 soles

29. Una fbrica produce

cmaras fotogrficas

convencionales y

digitales. Se obtiene un

ingreso de S/.450 por cada

cmara convencional y S/.600

por cada digital. En un da no se pueden

fabricar ms de 400 cmaras

convencionales ni ms de 300 digitales y

tampoco pueden producirse ms de 500

cmaras en total. Suponiendo que se logra

vender toda la produccin del da, cul

es el nmero de cmaras de cada clase

que conviene fabricar para obtener un

ingreso mximo?, Cul debera ser la

produccin para obtener mximo ingreso

si se obtuvieran S/.600 por cada cmara

convencional y S/.450 por cada cmara

digital?


16

30. Una empresa que sirve comidas

preparadas tiene

que disear un men

utilizando dos

ingredientes. El

ingrediente A

contiene 35 g de grasas y 150 kilocaloras

por cada 100 gramos de ingrediente,

mientras que el ingrediente B contiene 15

g de grasas y 100 kilocaloras por cada

100 g. El coste es de 1,5 soles por cada

100 g del ingrediente A y de 2 soles por

cada 100 g del ingrediente B. El men que

hay que disear debera contener no

ms de 30 g de grasas y, al menos 110

kilocaloras por cada 100 g de alimento.

Se pide determinar las proporciones de

cada uno de los ingredientes que se

emplearn en el men, de manera que

su coste sea lo ms reducido posible.

A. Indica la expresin de las

restricciones y la funcin objetivo del

problema.

B. Representa grficamente la regin

delimitada por las restricciones.

C. Calcula el porcentaje ptimo de cada

uno de los ingredientes que se incluirn

en el men.

f(x;y) = 1,5x + 2y

35x + 15y 30; 150x + 100y

110; x 0; y 0

11,5 gr de A y 0 gr de B

www.issuu.com/sapini/docs/

programacin lineal 1278475839 phpapp01 (1)

Documents