programação linear: em e programação (pl) · qu an t i t a t encontramos um problema de...
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Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportesi
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Programação Linear (PL)
ETAPA 05 – Volume 04:
Qu
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t
O problema de transporte (PT).– Definição e apresentação sobre forma de rede.
– Formulação do caso equilibrado e não equilibrado.Exemplos
– Propriedades fundamentais.
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Propriedades fundamentais.
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportes
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O Problema de Transporte e RedesUma das aplicações mais importantes da programação linear pararesolver problemas empresariais está na distribuição física deprodutos, que, geralmente, chamamos de problemas de transporte. A
plic
ação
da
PL
Encontramos um problema de transporte quando precisamos enviar unidades de
Qu
an
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t Encontramos um problema de transporte quando precisamos enviar unidades deum produto por uma rede de rodovias que conectam um determinado grupo decidades. Cada cidade é considerada uma “fonte”, em que unidades serãotransportadas para fora do local, ou um “receptor”, onde as unidades sãoexigidas no local. Cada fonte tem uma determinada provisão, cada receptor temuma determinada demanda e cada rodovia que conecta um par de fontes ereceptores tem um determinado custo de transporte por unidade de remessa.Isto pode ser visualizado na forma de uma rede.O objetivo é determinar um modelo ótimo de transporte que minimize o custo
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j p qtotal de remessas, sujeito a restrições de suprimentos e demandas.
EXEMPLO:•Sejam as fontes os armazéns e os receptores os distribuidores para o varejo•Sejam as fontes as unidades produzidas e os receptores as demandas. Aqui as fontes e os receptores não correspondem a locais físicos.
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O propósito é minimizar o custo de transportar bens de um local paraoutro de forma que as necessidades de cada área de chegada sejamconhecidas e todo local de remessa opere dentro de sua capacidade P
ropó
sito
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t conhecidas, e todo local de remessa opere dentro de sua capacidade. P
Poderíamos locar os empregados de maneira eficaz em certos postos detrabalho dentro de uma organização. Chamamos esta aplicação deproblema de tarefa.
Exemplo
É possível montar um problema de transporte e resolver isso usando oSOLVER. Na realidade, nós podemos resolver problemas de transporterelativamente grandes com o auxílio do SOLVER.
SO
LVE
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Exemplo Prático de DistribuiçãoConsideremos que a confecção de roupas trabalhada anteriormente se situa noestado de Minas Gerais, porém, com grande parte do volume de vendas, destinadoa distribuidores e grandes varejistas de outros estados. Com este crescimento devendas fora do Estado, o proprietário da confecção decidiu, há cerca de seis
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t meses, montar outra confecção no estado do Espírito Santo e terceirizar a sualogística para um grande operador logístico nacional que permite, por meio de suarede de transporte entre unidades, diminuir o custo de entrega.As capacidades instaladas de cada confecção, as demandas nos estados de atuação, bem como os custos unitários de transporte entre fábrica e unidades de distribuição estão evidenciados na figura a seguir:
O objetivo deste estudo é dizer, ao proprietário daconfecção qual a melhor forma de distribuir as peças
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confecção, qual a melhor forma de distribuir as peçasproduzidas de acordo com as informações levantadas.É importante atentarmos para o fato de que, em todafonte fornecedora, o valor da capacidade é um númeronegativo e, em toda fonte de demanda, o númeroassume um valor positivo. Isso ocorre em função dametodologia que é proposta para equacionar oproblema.
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Regrinhas e NotaçãoPara LACHTERMACHER (2004, p225), utilizando a regra do fluxo balanceadopara cada nó (unidade) da rede, é possível chegar à resposta, buscandoequilibrar a quantidade ofertada com a demanda em cada nó do problema.Segundo Ragsdale (2001) apud Lachtermacher (2004), as hipóteses para
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t Segundo Ragsdale (2001) apud Lachtermacher (2004), as hipóteses paraencontrar o tipo de relação nas restrições seguem a regra, a seguir:Oferta > Demanda → Entradas Saídas ≥ Oferta ou Demanda do NóOferta < Demanda → Entradas Saídas ≤ Oferta ou Demanda do NóOferta = Demanda → Entradas Saídas = Oferta ou Demanda do Nó
No nosso exemplo temos que a oferta total das fábricas é de 7.500 unidades,sendo que o total da demanda (soma das necessidades em todas as unidades) éde 8.000. Portanto, já sabemos que as restrições em cada nó do problemadevem ser tratadas usando a segunda regra apresentada ou seja menor ou
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devem ser tratadas usando a segunda regra apresentada, ou seja, menor ouigual (≤).
Xdp = as variáveis referentes às quantidades transportadas em cada trecho, em que d é o ponto de origem do trecho e p o ponto de destino. Assim, a variável que representará a quantidade de peças transportadas entre Minas Gerais (1) e São Paulo (3), por exemplo, será X13 .
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Os Passos da ModelagemPasso 1 – criar o modelo matemático É importante descrever o modelo matemático do problema, para que possamos, posteriormente, inserir os dados no EXCEL com maior facilidade:Função objetivo
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t Min →1,5X13+ 4X14+ 2X15+ 1X16+ 3,5X17+ 1X25+ 2X27+ 2X34+1,5X53Restrições:Nó 1 → -X13 - X14 - X15 - X16 - X17 ≤ -4.000Nó 2 → -X25 - X27 ≤ -3.500Nó 3 → X13 + X53 - X34 ≤ 3.500Nó 4 → X14 + X34 ≤ 500Nó 5 → X15 + X25 - X53 ≤ 1.000Nó 6 → X16 ≤ 1.000Nó 7 → X17 + X27 ≤ 2.000
Custo unitário de transporte
Unidades de Distribuição
Fábricas e Distr.
1 2 3 4 5 6 7 Oferta
As restrições serão ≤
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s 1 1,5 4 2 1 3,5 4000
2 1 2 3500
3 2
5 1,5
Demanda 3500 500 1000 1000 2000 7500≠8000
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Criando uma Planilha para ModelagemPasso 2 – criar a planilha de modelagem - LayoutA criação da planilha de modelagem deve ser feita de forma organizada, definindo as células das variáveis de decisão, função objetivo e funções de restrições. RestriçõesVariáveis
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2345678
B C D E F G H I
De Para Custo Unidades Nó Fluxo Líquido Oferta/Demanda1 3 1,5 1 0 ‐4.0001 4 4,0 2 0 ‐3.5001 5 2,0 3 0 3.5001 6 1,0 4 0 5001 7 3 5 5 0 1 000
RestriçõesVariáveis de Decisão
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8910111213
1 7 3,5 5 0 1.0002 5 1,0 6 0 1.0002 7 2,0 7 0 2.0003 4 2,05 3 1,5
Custo Total 0
Função Objetivo
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Inserindo Fórmulas na Planilha2345
B C D E F G H I J K
De Para Custo Unidades Nó Fluxo Líquido Oferta/Demanda1 3 1,5 1 0 ‐4.0001 4 4,0 2 0 ‐3.500
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t 67891011121314151617
1 5 2,0 3 0 3.5001 6 1,0 4 0 5001 7 3,5 5 0 1.0002 5 1,0 6 0 1.0002 7 2,0 7 0 2.0003 4 2,05 3 1,5
Custo Total 0
=SOMASE($C$4:$C$12;G10;$E$4:$E$12)‐SOMASE($B$4:$B$12;G10;$E$4:$E$12) =SOMARPRODUTO(D4:D12;E4:E12)
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s Adiciona as células especificadas por um determinado critério ou condição:Intervalo:- é o intervalo de células que se quer calculado. $C$4:$C$12Critério:- é o critério ou condição na forma de um número, expressão ou texto, que definem quais células serão adicionadas. G10Intervalo_soma:- são células a serem somadas. Quando não especificadas, são usadas as células do intervalo. $E$4:$E$12
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O SOLVER em Ação!!Passo 3 – resolver o problema usando o SOLVERA inserção dos parâmetros no SOLVER permitirá que o programa nos apresente a melhor forma de distribuição das peças produzidas pela confecção:
É importante nos certificarmos
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pde que foram selecionados osparâmetros: “Presumir modelo linear” e “Presumir valores não negativos” nas opções do SOLVER antes de optar por resolver o problema.
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O Resultado !!123
A B C D E F G H IPROBLEMA DE REDE DE DISTRIBUIÇÃO ‐ CONFECÇÃO DE ROUPAS
De Para Custo Unidades Nó Fluxo Líquido Oferta/Demanda
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t 45678910111213
1 3 1,5 3.000 1 ‐4000 ‐4.0001 4 4,0 0 2 ‐3500 ‐3.5001 5 2,0 0 3 3500 3.5001 6 1,0 1.000 4 0 5001 7 3,5 0 5 1000 1.0002 5 1,0 1.500 6 1000 1.0002 7 2,0 2.000 7 2000 2.0003 4 2,0 05 3 1,5 500
Custo Total 11.750
A organização da planilha propicia uma fácil interpretação do resultado, sendo possível visualizarmos que o menor custo total de distribuição é de R$ 11 750 00
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possível visualizarmos que o menor custo total de distribuição é de R$ 11.750,00, sendo que apenas o estado do Paraná (nó 4) fi cará sem os seus pedidos atendidos. Na tabela de unidades, podemos observar qual foi a forma encontrada para distribuir os produtos. Por exemplo, o estado de São Paulo (nó 3) recebeu 3.000 unidades da unidade de Minas Gerais (nó 1) e 500 unidades do operador logístico no Rio de Janeiro (nó 5).
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Problema de Transporte. Outro Exemplo
Um dos principais produtos da firma Lactosal é o leite.
O t d l it ã t d 3 fáb i
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t Os pacotes de leites são empacotados em 3 fábricase depois são distribuídos de caminhão para quatro
armazéns
Conhecendo os custos de transporte, a procura (demanda) prevista para cada armazém e as capacidades de produção (oferta) de cada fábrica,
t d
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pretende-se:
OTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE.
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Problema de Transporte. Outro ExemploOs dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas(produção) e procuras, em cargas de caminhão/dia, são os seguintes:
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t os seguintes:
24 cargas diárias de leite devem ser produzidas e distribuídas
Custo por carga de caminhão
Armazéns
Fábricas 1 2 3 4 Oferta
1 1 2 3 4 6
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2 4 3 2 4 8
3 0 2 2 1 10
Demanda 4 7 6 7
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sFormulação do Problema de Transporte.
Exemplo Protótipo. Custo por carga de
caminhão
Armazéns
Fábricas 1 2 3 4 Oferta
1 1 2 3 4 6
2 4 3 2 4 8
3 0 2 2 1 10
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Minimizar z = x11 + 2 x12 + 3 x13 + 4 x14 +4 x21 + 3 x22 + 2 x23 + 4 x24 +
2 x32 + 2 x33 + x34sujeito a:x11 + x12 + x13+ x14 = 6
x21 + x22 + x23+ x24 = 8x31 + x32 + x33+ x34 = 10
x11 + x21 + x31 = 4
Demanda 4 7 6 7
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13
x11 + x21 + x31 4x12 + x22 + x32 = 7
x13 + x23 + x33 = 6x14 + x24 + x34 = 7
xij ≥ 0 ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )
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Matriz de Restrições do Problema de Transporte.Exemplo Protótipo.
A matriz das restrições do problema de transporte para o exemplo protótipo apresenta a seguinte estrutura:
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t
x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34
A=A=
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FábricasFábricas ArmazénsArmazénsc11
Problema de Transporte sob a forma de Rede.Exemplo Protótipo.
Qu
an
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t 11
22
11
22
33
c11x11
c34
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33 44c34x34
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Cargas de leiteCargas de leite Unidades de um produtoUnidades de um produto
Problema de Transporte.Do Exemplo ao Modelo do PT
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3 fábricas3 fábricas mm origensorigens
4 armazéns4 armazéns nn destinosdestinos
Produção da fábricaProdução da fábrica i aaii oferta da origem oferta da origem ii
P é P é j bb p oc a no destinop oc a no destino jj
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Procura no armazém Procura no armazém j bbjj procura no destinoprocura no destino jj
Custo de transporteCusto de transportepor carga da fábrica por carga da fábrica i
para o armazém para o armazém j
ccijij custo por unidade custo por unidade transportada da origem transportada da origem i i
para o destino para o destino jj
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xxijij cargas a distribuir cargas a distribuir d fáb i d fáb i i
xxijij unidades a unidades a di t ib i d di t ib i d i i i i
Problema de Transporte.Do Exemplo ao Modelo do PT
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t da fábrica da fábrica ipara o armazém para o armazém j
distribuir da distribuir da origem origem i i para o destino para o destino jj
Determinar o plano o plano ótimo ótimo de distribuição de distribuição
diária do leite diária do leite das fábricas pelos
armazéns tendo como objetivo a a
Determinar o plano o plano ótimo ótimo de distribuição de distribuição desse produto desse produto das
origens pelos destinos tendo como objetivo a
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objetivo a a minimização do custo minimização do custo
totaltotal
jminimização do custo minimização do custo
totaltotal
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os Oferta total = Procura totalOferta total = Procura total
Destino1 2 n1 2 n Oferta
Problema de Transporte. Caso Equilibrado.
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t Origem 1 2 … n1 2 … n Oferta
11
22......
aa11
aa22......
a
cc1111 cc1212 cc1n1n
cc2121 cc2222 cc2n2n
ccm1m1 ccm2m2 ccmnmn
xx1111 xx1212 xx1n1n……
xx2121 xx2222 xx2n2n……
..
..
..
..
..
..
..
..
..
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mm aamm
Procura bb1 1 bb2 2 … … bbnn ∑∑aai i ==∑∑ bbjj
m1m1 m2m2 mnmnxxm1m1 xxm2m2 xxmnmn……
Um problema de transporte está equilibrado se a oferta total é igual à procura total, caso
contrário está não equilibrado.
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Oferta total = Procura totalOferta total = Procura total
DestinoOf
Problema de Transporte.Caso equilibrado.Exemplo protótipo
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Origem1 2 3 4 1 2 3 4 Oferta
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22
33
66
88
1010
11 22 44
44 33 44xx11 11 xx12 12
xx1414
xx21 21 xx22 22 xx2424
33xx13 13
22xx23 23
00 22 1122
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Procura 44 77 6 6 77 2424==2424
xx31 31 xx32 32 xx3434xx33 33
Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total . Este problema está equilibrado.
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∑∑=m
i
n
jijij xcz
1 1
Minimizar
Problema de Transporte.Formulação como problema de PL.
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t = =i j1 1
∑=
=n
jiij ax
1mi ,...,2,1 , =
sujeito a:
restrições de oferta
nj 21=∑ =m
bxrestrições de
procura
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0≥ijx nj ,...,2,1 , =
nj ,...,2,1, =∑=
=i
jij bx1
mi ,...,2,1 , =
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OrigensOrigens DestinosDestinos
c11aa11 bb1111 11
Problema de transporte sob a forma de rede.Q
ua
nt
it
at x11
cijxij
cmnx
aa11
aaii
aamm
bb11
bbjj
bbnn
11
ii
mm
.
.
.
.
.
.
11
jj
nn
.
.
.
.
.
.
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xmnmm nnmm nn
Esta figura ilustra o problema de transporte sob a forma de rederepresentados por nós e arcos.
Os nós representam as origens e os destinos e os arcos representam os percursos das origens aos destinos
através dos quais o produto pode ser transportado.
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O problema de transporte apresentauma estrutura especial evidenciada pela
A matriz dos coeficientesdas restrições é apenasconstituída por uns (1) ezeros (0) . Cada variável
Problema de Transporte.Estrutura especial da matriz de restrições.
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p pdisposição das restrições:
( )xij tem comocoeficientes apenas 2uns : um na linhaassociada à origem i eoutro na linha relativaao destino j
x11 x12 ... x1n x21 x22 ... x2n … xm1 xm2 ... xmn
A=A=......
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..
......
restrições dos destinos
restrições das origens
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Destino
Origem1 2 … n1 2 … n n+1n+1 Oferta
Problema de Transporte.Oferta total superior à procura total
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22
..
..
..
mm
aa11
aa22......
aamm
cc1111 cc1212 cc1n1n
cc2121 cc2222 cc2n2n
cc cc cc
xx11 11 xx12 12 xx1n 1n
… …
xx21 21 xx22 22 xx2n 2n
… …
..
..
..
..
..
..
..
..
..
00
00
00
xx1 n+1 1 n+1
xx2 n+12 n+1
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mm mm
Procura bb1 1 bb2 2 … … bbnn ∑∑aai i ‐‐∑∑ bbjj
ccm1m1 ccm2m2 ccmnmn
xxm1 m1 xxm2 m2 xxmn mn
… … 00
xxm n+1 m n+1
Adicionar destino fictício
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Oferta total superior à procura total.Exemplo 1: Plano de Produção.
Uma multinacional produz aviões comerciais
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t para diversas companhias de aviação. A última etapa no processo de produção é a produção de motores seguido da sua instalação no avião.
P i b l id d
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Para cumprir os contratos estabelecidos deve ser determinado o plano ótimo de produçãodos motores para os próximos quatro meses.
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sOferta total superior à procura total.
Exemplo 1: Plano de Produção.Os dados para o plano da produção para os quatro meses
futuros são os seguintes:
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Mês Instalaçõesprogramadas
Produçãomáxima
Custo unitário
de produção
Custo unitário de
armazenamento
1 10 25 1.08
2 15 35 1.11 0.015
3 25 30 1.10 0.015
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os custos em milhões de dólares
4 20 10 1.13 0.015
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Oferta total superior à procura total.Exemplo 1: Plano de Produção.
Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como:
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t – Origem i ‐ produção de motores no mês i(i =1,2,3,4)
– Destino j ‐ instalação de motores no mês j(j=1,2,3,4)
– xij ‐ quantidades de motores produzidos no mês i a serem instalados no mês j
0 se i>j (primeiro produzir depois instalar)
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• xij = 0, se i>j (primeiro produzir, depois instalar)
– cij ‐ custo por unidade de produção e armazenamento• cij= M, se i>j, como não existe custo real associado com estes dados, podem ser penalizados com um M arbitrariamente grande.
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sOferta total superior à procura total.Exemplo 1. Restrições de ofertas.
As restrições de oferta correspondem à produção de motores para cada mês i Estas restrições são
Qu
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t
x11 + x12 + x13+ x14 ≤ 25
x21 + x22 + x23+ x24 ≤ 35x31 + x32 + x33+ x34 ≤ 30
x + x + x + x ≤ 10
de motores para cada mês i. Estas restrições são de desigualdade limitadas pela capacidade máxima de produção por mês.
0 0151 1030253
35
25
Produçãomáxima
1.11
1.08
Custo unitário
de produção
15
10
Instalaçõesprogramadas
0.0152
1
Custo unitário de
armazenamento
Mês
0 0151 1030253
35
25
Produçãomáxima
1.11
1.08
Custo unitário
de produção
15
10
Instalaçõesprogramadas
0.0152
1
Custo unitário de
armazenamento
Mês
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x41 + x42 + x43+ x44 ≤ 10
Como estas restrições são de desigualdade é preciso introduzir variáveis de folga para converte‐las em restrições de igualdade.
Isto significa que é preciso introduzir um destino fictício, em que as variáveis de folga representam a capacidade de produção não utilizada por cada mês .
0.0151.1030253
10 1.1320 0.0154
0.0151.1030253
10 1.1320 0.0154
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportes
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Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Restrições de procuras.
As restrições de procura correspondem ao plano de instalação para cada mês j. Estas restrições são de igualdade correspondendo ao número de instalações
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t
x11 + x21 + x31+ x32 = 10
x21 + x22+ x23+ x24 = 15x31 + x32 + x33+ x34 = 25
x41 + x42 + x43+ x44 = 20
igualdade, correspondendo ao número de instalações requisitadas para cada mês.
0.0151.1030253
10
35
25
Produçãomáxima
1.13
1.11
1.08
Custo unitário
de produção
20
15
10
Instalaçõesprogramadas
0.0154
0.0152
1
Custo unitário de
armazenamento
Mês
0.0151.1030253
10
35
25
Produçãomáxima
1.13
1.11
1.08
Custo unitário
de produção
20
15
10
Instalaçõesprogramadas
0.0154
0.0152
1
Custo unitário de
armazenamento
Mês
Prof. Bertolo
Mé
to
do
s
28
Como é impossível produzir motores num mês determinado para serem instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes
a i >j devem ser nulas. Para obter isto, é preciso penalizar os custos correspondentes a estas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal
como no método do “big M”.
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15
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportesi
vo
s
Este problema reformulado como problema de transporte apresenta o seguinte quadro:
Oferta total superior à procura total.Exemplo 1. Quadro do problema de transporte.
Qu
an
ti
ta
t
DestinoOrigem
1 2 3 4 1 2 3 4 55 Oferta
11
22
33
2525
3535
3030
1.0801.080xx1111 xx1212 xx1414
xx2121 xx2222 xx2424
xx1515
xx2525
1.0951.095 1.1101.110 1.1251.125xx1313
MM 1.1101.110 1.1251.125 1.1401.140xx2323
MM MM 1.1001.100 1.1151.115xx3131 xx3232 xx34 xxxx3333
00
00
00
Os custos são calculados tomando os dados dos custos
de produção e de armazenamento. Por exemplo
para a variável xx24 24 que representa o número de
motores produzidos no mês 22a serem instalados no mês 4,4,
o custo correspondente
Prof. Bertolo
Mé
to
do
s
29
3030
44 1010
Procura 10 10 1515 25 25 2020 3030
x3131 xx3232 xx3434 xx3535xx3333
MM MM MM 1.1301.130xx4141 xx4242 xx4444 xx4545xx4343
00o custo correspondente c24 = 1.11 + 0.015+0.015
=1.140
Como a oferta total é superior à procura total foi adicionado um destino fictício com uma procura igual a: Oferta Total ‐Procura Total = 100 ‐70 = 30 u.
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportes
iv
os
Destino
Origem1 2 … n 1 2 … n Oferta
Problema de Transporte.Oferta total inferior à procura total
Qu
an
ti
ta
t Origem
11
22
..
..
..
mm
aa11
aa22......
aamm
cc1111 cc1212 cc1n1n
cc2121 cc2222 cc2n2n
cc 11 cc 22 cc
xx11 11 xx12 12 xx1n 1n
… …
xx21 21 xx22 22 xx2n 2n
… …
..
..
..
..
..
..
..
..
..
Prof. Bertolo
Mé
to
do
s
30
m+1m+1
aamm
Procura bb1 1 bb2 2 … … bbnn
∑∑bbj j ‐‐∑∑ aaii
ccm1m1 ccm2m2 ccmnmnxxm1 m1 xxm2 m2
xxmn mn … …
00 00 00xxm+1,1 m+1,1 xxm+1,2 m+1,2 xxm+1,n m+1,n
… …
Origem fictícia
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Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportesi
vo
s
Oferta total inferior à procura totalExemplo 2: distribuição de recursos de agua.
Uma empresa administra a distribuição de água duma região
Qu
an
ti
ta
t região. Para isto é preciso canalizar a água de 3 rios que estão situados fora da região e distribui‐la para 4 cidades.
Agora o gerente da empresa pretende distribuir toda a água disponível dos 3 rios para as 4 cidades, de forma a
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Mé
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do
s
31
água disponível dos 3 rios para as 4 cidades, de forma a pelo menos satisfazer as necessidades essenciais de cada uma,
minimizando o custo total.
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportes
iv
os
Os dados dos custos e requerimentos para o plano de distribuição de água são os seguintes:
A id d 3 f
Oferta total inferior à procura totalExemplo 2: distribuição de recursos de água.
Qu
an
ti
ta
t♦ A cidade 3 tem uma fonte independente da água que satisfaz as suas necessidades mínimas
♦O rio 3 não pode fornecer a cidade 4, o que significa nos termos do problema de transporte que este percurso é impossível. Neste caso é preciso
CidadeRio
1 2 3 4 Fornece
1 16 13 22 17 50
2 14 13 19 15 60
3 19 20 23 - 50
Prof. Bertolo
Mé
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do
s
32
os custos por unidade de medida.
penalizar este percurso com um M arbitrariamente grande.
♦A cidade 4 aceita toda a água que seja possível enviar além da sua necessidade mínima de 10 u.m.
Necessidades mínimas 30 70 0 10
Procura 50 70 30 ∞
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Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportesi
vo
sOferta total inferior à procura total
Exemplo 2: distribuição de recursos de água.
Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como:
Qu
an
ti
ta
t
Origem i – o rio i (i =1,2,3)
Destino j – a cidade j (j=1,2,3,4)
xij - quantidade de água a enviar do rio i para a cidade j
cij - custo unitário da distribuição da água do rio i para a cidade j
Prof. Bertolo
Mé
to
do
s
33
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportes
iv
os
Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Restrições de ofertas.
As restrições de oferta correspondem às restrições dos rios (origens) Como deverá ser
Qu
an
ti
ta
t
x11 + x12 + x13+ x14 = 50
x21 + x22 + x23+ x24 = 60x31 + x32 + x33+ x34 = 50
restrições dos rios (origens). Como deverá ser distribuída toda a água disponível dos 3 rios, estas 3 restrições são de igualdade, uma por cada rio.
42 31 ForneceCidadeRio
42 31 ForneceCidadeRio
Prof. Bertolo
Mé
to
do
s
34
31 32 33 34
1007030Necessidades mínimas
∞
-
15
17
502320193
70
13
13
30
19
22
50
14
16
Procura
602
501
1007030Necessidades mínimas
∞
-
15
17
502320193
70
13
13
30
19
22
50
14
16
Procura
602
501
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Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportesi
vo
sOferta total inferior à procura totalExemplo 2. Restrições de procura.
As restrições de procura determinam a quantidade de água que deve ser fornecida a cada cidade, e têm limites superiores e inferiores (excepto a cidade 2, onde coincidem a procura com a necessidade mínima).
Qu
an
ti
ta
t
x11 + x21 + x31 ≤ 50
Cidade 1Cidade 1: procura > necessidade
x11 + x21 + x31 ≥ 30 limite inferiorlimite inferior
limite superiorlimite superior
Cidade 2Cidade 2: procura = necessidade
x12 + x22 + x32 = 701007030Necessidades
mínimas
∞
-
15
17
4
502320193
70
13
13
2
30
19
22
3
50
14
16
1
Procura
602
501
ForneceCidadeRio
1007030Necessidades mínimas
∞
-
15
17
4
502320193
70
13
13
2
30
19
22
3
50
14
16
1
Procura
602
501
ForneceCidadeRio
Prof. Bertolo
Mé
to
do
s
35
x13+ x23 + x33 ≤ 30
Cidade 3Cidade 3: procura > necessidade
limite superiorlimite superior
Cidade 4Cidade 4: procura > necessidade
x14 + x24 + x34 ≥ 10 limite inferiorlimite inferiorx14 + x24 + x34 ≤ 60 limite superiorlimite superior
O limite superior para a cidade 4 pode ser calculado como a diferença entre a oferta total (50+ 60+50=160) e a soma das necessidades mínimas para as restantes cidades (30+ 70 =100)⇒ 160 160 ‐‐ 100 = 60100 = 60 unidades. (a quantidade máxima que pode receber a cidade 4
para além da necessidade mínima )
∞70 3050Procura ∞70 3050Procura
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportes
iv
os
CidadesO i
1 2 1 2 3 4 3 4 Oferta
Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Quadro do problema de transporte.
Qu
an
ti
ta
t Origem
Rio 1Rio 1
Rio 2Rio 2
Rio 3Rio 3
RioRio FicticioFicticio
5050
6060
5050
5050
1616 1313 1717
1414 1313 1515
00 00 00
xx1111 xx1212 xx1414
xx2121 xx2222 xx2424
2222xx1313
1919xx2323
1919 2020 MMxx3131 xx3232 xx3434
2323xx3333
00
Prof. Bertolo
Mé
to
do
s
36
Rio Rio FicticioFicticio 5050
Procura 50 50 7070 30 30 6060
xx4141 xx4242 xx4444xx4343
Como a oferta total é inferior à procura total foi adicionada uma origem fictícia com uma oferta igual a:
Procura Total ‐Oferta Total = 210 ‐160 = 50 unidades.
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19
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportesi
vo
s
Para satisfazer as necessidades mínimas de água é preciso re‐analisar os dados para cada cidade de forma a garantir que o mínimo procurado não seja fornecido pelo rio fictício
Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Análise do rio fictício.
Qu
an
ti
ta
t fictício.
Cidade 3Cidade 3: Como não tem necessidade mínima, então não é preciso alterar nada.
Cidade 4Cidade 4: procura > necessidade (60 > 10). Como o rio fictício fornece apenas 50 unidades, pelo 1007030Necessidades
mínimas
-
15
17
4
502320193
13
13
2
19
22
3
14
16
1
602
501
ForneceCidadeRio
1007030Necessidades mínimas
-
15
17
4
502320193
13
13
2
19
22
3
14
16
1
602
501
ForneceCidadeRio
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Mé
to
do
s
37
fornece apenas 50 unidades, pelo menos fica garantido que as 10 unidades mínimas não podem ser obtidas deste rio. Não é preciso alterar nada.
∞70 3050Procura ∞70 3050Procura
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportes
iv
os
Cidade 2Cidade 2: procura = necessidade
Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Análise do rio fictício.
Qu
an
ti
ta
t Esta cidade não pode ser fornecida pelo rio fictício. Para isto é preciso penalizar com M o percurso que uneo rio fictício com a cidade 2.
Cidade 1Cidade 1: procura > necessidade
Esta cidade deve ser dividida em 2 destinos: um que verifica a
1007030Necessidades mínimas
∞
-
15
17
4
502320193
70
13
13
2
30
19
22
3
50
14
16
1
Procura
602
501
ForneceCidadeRio
1007030Necessidades mínimas
∞
-
15
17
4
502320193
70
13
13
2
30
19
22
3
50
14
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1
Procura
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ForneceCidadeRio
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destinos: um que verifica a necessidade mínima (onde o rio fictício fica penalizado) e o outro que corresponde à quantidade de água que pode ser tomada além do requerimento mínimo.
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Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportesi
vo
s
Este é o quadro final dos custos para o problema de distribuição da água, formulado como problema de transporte:
Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Formulação como P.T.
Qu
an
ti
ta
t
CidadesOrigem
1 1' ' 11'' '' 2 2 3 4 3 4 Oferta
Rio 1Rio 1
Rio 2Rio 2
Rio 3Rio 3
5050
6060
5050
1616 1313 1717
1414 1313 1515
2222
1919
1919 2020 MM2323
1616
1414
1919
A cidade 1 foi dividida em duas para garantir as necessidades mínimas
de 30 unidades. O i fi tí i tá
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s
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Rio Rio FicticioFicticio 5050
Procura 3030 2020 7070 30 30 6060
00 MM 0000MM
O rio fictício está penalizado para a cidade 2
O rio fictício está penalizado para a cidade
1'.
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportes
iv
os
Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(1).
– Se um problema de transporte está equilibrado, i.e., a oferta total é igual à procura total, então tem sempre soluções admissíveis.
– Se um problema de transporte não está equilibrado,i.e., a oferta
Qu
an
ti
ta
t
p p q , ,total não é igual à procura total, então pode ser introduzida uma origem ou um destino fictício para converter as restrições de desigualdade em igualdade e poder obter assim um problema equilibrado.
– O problema de transporte tem sempre ótimo finito.
– Qualquer SBA do problema de transporte tem no máximo m+n‐1
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s
40
q p pvariáveis básicasDo total de m+n equações só m+n-1 são linearmente independentes, existindo sempre uma equação redundante, i.e., uma equação pode ser obtida como combinação linear das restantes.
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21
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportesi
vo
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Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(2).
–A base correspondente a qualquer SBA do problema de transporte é uma matriz triangular.
Qu
an
ti
ta
t
1 1 0 … 0 00 1 1 … 0 00 0 1 … 0 0
...0 0 0 … 1 10 0 0 … 0 1
B=B=
Prof. Bertolo
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s
41
Se as quantidades das ofertas e procuras são valores inteiros, então qualquer SBA tem sempre valores inteiros.
Como a matriz da base é uma matriz triangular composta por 0 e 1, a resolução do sistema conduz necessariamente a uma solução cujas variáveis assumem apenas valores inteiros, pois apenas exige adições e subtracções.
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportes
iv
os
Como m=3 e n=4 e a característica de A, c(A)=m+n‐1=6, qualquer base BB tem dimensão 6x6. Uma base pode ser obtida, por exemplo, tomando as colunas P11, P12, P22, P23, P33, P34 e eliminando à restrição 4.
Base e Solução Básica Admissível para o PT.Minimizar z = x11 + 2 x12 + 3 x13 + 4 x14 +
4 x21 + 3 x22 + 2 x23 + 4 x24 +2 x32 + 2 x33 + x34
sujeito a:x11 + x12 + x13+ x14 = 6
x21 + x22 + x23+ x24 = 8x31 + x32 + x33+ x34 = 10
x11 + x21 + x31 = 4x12 + x22 + x32 = 7
x13 + x23 + x33 = 6x14 + x24 + x34 = 7
x ≥ 0 ( i=1 2 3; j=1 2 3 4 )
Qu
an
ti
ta
t
P11 P12 P13 P14P21P22P23P24P31P32P33P34(1) 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0(2) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0(3) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1(4) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0(5) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0(6) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0(7) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
A=A=
P11 P12P22P23P33P34(1) 1 1 0 0 0 0(2) 0 0 1 1 0 0(3) 0 0 0 0 1 1(5) 0 1 1 0 0 0(6) 0 0 0 1 1 0(7) 0 0 0 0 0 1
B =B =
xij≥ 0 ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )
Prof. Bertolo
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P11 P12P22P23P33P34(1) 1 1 0 0 0 0(5) 0 1 1 0 0 0(2) 0 0 1 1 0 0(6) 0 0 0 1 1 0(3) 0 0 0 0 1 1(7) 0 0 0 0 0 1
B =B =
Trocando as linhas obtém‐se uma
matriz BBtriangular
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22
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportesi
vo
s Como a matriz B é triangular a solução do sistema é imediata:
x34 =7
Uma Solução básica Admissível para o PT.
Qu
an
ti
ta
t XBx11x12x22x23x33x34
67 86107
==
P11 P12P22P23P33P34(1) 1 1 0 0 0 0(5) 0 1 1 0 0 0(2) 0 0 1 1 0 0(6) 0 0 0 1 1 0(3) 0 0 0 0 1 1(7) 0 0 0 0 0 1
x34 7
x33 + x34 =10
x23 + x33 = 6
x33 =3
x23 =3
x22 + x23 = 8 x22 =5
x12 + x22 = 7 x12 =2
Prof. Bertolo
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s
43
Uma SBA do problema é: XX = (4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7)= (4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7)
x12 + x22 7 x12 2
x11 + x12 = 6 x11 =4
Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportes
iv
os
Considerações FinaisEsperamos que após todo o conhecimento adquirido em Métodos Quantitativos você tenha conseguido enxergar a dimensão que existe na aplicabilidade dos conceitos estudados. É possível trabalhar os modelos matemáticos dentro de várias outras disciplinas que você já viu ou ainda irá aprender durante este
Qu
an
ti
ta
t várias outras disciplinas que você já viu ou ainda irá aprender durante estecurso.A simulação de Monte Carlo e a programação linear são importantes como ferramentas de gestão e proporcionam a você desenvolver o potencial lógico-racional que tanto é requisitado nos gestores de hoje.Lembre-se de que não é necessário se especializar na parte matemática ou computacional das ferramentas que apresentamos, a menos que você queira, é claro! O importante, na gestão de um negócio, é que você conheça como estes
Prof. Bertolo
Mé
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s
g ginstrumentos podem contribuir para melhorar o desempenho das organizações,tornando elas mais competitivas e prolongando o seu ciclo de existência no mercado.