program linear - · pdf filesuatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel, termasuk...
TRANSCRIPT
1 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
PROGRAM LINEAR
Intisari Teori
A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PtLDV)
Suatu pernyataan yang berbentuk 0 cbyax (tanda ketidaksamaan “ “ dapat diganti dengan
“ “, “ > ”, atau “ < “) dengan a dan b tidak semuanya nol dinamakan pertidaksamaan linear dua
variabel PtLDV)
Grafik PtLDV adalah himpunan semua titik yx, pada sistem koordinat Cartesius yang
memenuhi PtLDV itu. Grafik ini biasanya digambarkan sebagai suatu daerah yang diarsir pada
sistem koordinat Cartesius yang dinamakan daerah himpunan penyelesaian.
1. Menentukan Persamaan Garis
a. Persamaan Segmen Garis
Persamaan garis yang melalui titik-titik 0,a dan b,0
adalah 1b
y
a
xatau abaybx .
b. Persamaan garis yang melalui titik 11 , yx dan gradien m adalah 11 xxmyy .
c. Persamaan garis yang melalui titik 11 , yx dan 22 , yx adalah 12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
atau
1
12
121 xx
xx
yyyy
, dengan 21 xx
2. Menentukan Persamaan Garis
Untuk menggambarkan grafik atau daerah himpunan penyelesaian PtLDV berbentuk
abaybx (tanda ketidaksamaan “ “ dapat diganti dengan “ “, “ > ”, atau “ < “)
ditempuh tahapan sebagai berikut.
1. Gambarkanlah garis abaybx dengan dua strategi.
a. Jika koordinat titik potongnya dengan sumbu-sumbu koordinat mudah diukur (mudah
digambarkan), maka tentukan koordinat titik potongnya itu.
- Grafik abaybx memotong sumbu-x, jika 0y , maka
ababx 0 ax
Koodinat titik potong grafik itu dengan sumbu-x adalah 0,a .
- Grafik abaybx memotong sumbu-y, jika 0x , maka
abayb 0 by
Koodinat titik potong grafik itu dengan sumbu-y adalah b,0 .
b. Jika koordinat titik potongnya dengan sumbu-sumbu koordinat sukar diukur (sukar
digambarkan), maka pilihlah dua titik yang terletak pada garis abaybx
sedemikian, sehingga kedua koordinat titik ini mudah digambarkan pada bidang
koordinat Cartesius.
x
y
O a
b abaybx
2 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
Gambarkanlah kedua titik itu pada bidang Cartesius kemudian tariklah garis lurus
yang menghubungkan kedua titik itu, sehingga garis abaybx terlukis.
2. Metode Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian PtLDV
a. Metode Substitusi
Substitusikan titik 11 , yx yang tidak terletak pada garis abaybx ,
1. Jika 011 abaybx , daerah yang memuat titik 11 , yx adalah himpunan
penyelesaiannya.
2. Jika 011 abaybx , daerah yang memuat titik 11 , yx adalah bukan
himpunan penyelesaiannya.
b. Metode Melihat Koefisien y
1. Jika 0a , maka abaybx (perhatikan tanda ketidaksamaan “ “), maka
himpunan penyelesaiannya adalah daerah di atas garis abaybx .
2. Jika 0a , maka abaybx (perhatikan tanda ketidaksamaan “ “), maka
himpunan penyelesaiannya adalah daerah di bawah garis abaybx .
3. Jika 0a , maka abaybx (perhatikan tanda ketidaksamaan “ “), maka
himpunan penyelesaiannya adalah daerah di bawah garis abaybx .
4. Jika 0a , maka abaybx (perhatikan tanda ketidaksamaan “ “), maka
himpunan penyelesaiannya adalah daerah di atas garis abaybx .
5. Arsirlah daerah himpunan penyelesaiannya.
Catatan:
Bilamana garis abaybx sebagai garis batas tidak termasuk pada daerah himpunan
penyelesaiannya, maka garis ini digambarkan terputus-putus. Tetapi bilamana garis
abaybx sebagai garis batas termasuk pada daerah himpunan penyelesaiannya, maka
garis ini digambarkan sebagai garis penuh (tidak terputus-putus).
x
y
O a
b
abaybx
x
y
O a
b abaybx
x
y
O a
b
abaybx
x
y
O a
b abaybx
3 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
Contoh:
Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan 42 yx .
Solusi:
42 yx Persamaan garisnya: 42 yx
0y 402 x 4x 0,4
0x 420 y 2y 2,0
Koordinat titik potong garis 42 yx dengan sumbu-x dan
sumbu-y masing-masing adalah (4,0) dan (0,2).
Karena koefisien y dari 42 yx adalah positif, maka daerah
himpunan penyelesaian dari PtLDV 42 yx adalah daerah
di bawah garis 42 yx .
B. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPtLDV)
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) adalah suatu sistem yang komponen-
komponennya sejumlah berhingga pertidaksamaan linear dua variabel. Grafik atau daerah
himpunan penyelesaian dari SPtLDV adalah daerah di bidang datar yang merupakan irisan
dari semua komponen-komponennya. Sebagai ilustrasi dari SPtLDV:
0
0
42
4
y
x
yx
yx
C. MODEL MATEMATIKA
Untuk menentukan solusi dari suatu masalah sehari-hari yang memerlukan penerapan
matematika, langkah pertama adalah menyusun model matematika dari masalah itu. Data
yang terdapat dalam soal itu diterjemahkan ke dalam satu atau beberapa persamaan atau
pertidaksamaan. Kemudian solusi dari persamaan atau pertidaksamaan itu digunakan untuk
memecahkan masalah itu. Penerapan sistem pertidaksamaan linear (SPtLDV) kelak sering
Anda gunakan dalam menentukan solusi dari suatu masalah. Sebagai ilustrasi:
“Afifah ingin membuat dua jenis roti, jenis roti I dan jenis roti II. Jenis roti I membutuhkan
150 g tepung dan 50 g mentega. Jenis roti II membutuhkan 75 g tepung dan 75 g mentega.
Persedian tepung hanya sebanyak 2,25 kg dan mentega hanya sebanyak 1,5 kg. Dengan
persediaan tepung dan mentega yang terbatas, Dinda ingin membuat roti sebanyak mungkin
dan memperoleh keuntungan seoptimal mungkin”
Untuk menentukan solusi dari masalah tersebut dengan matematika, pertama kita terjemahkan
soal itu ke dalam bahasa matematika. Hal ini dinamakan merancang atau membuat model
matematika.
Model Matematika:
Data dari soal itu dapat dinyatakan sebagai berikut.
Bahan Jenis roti I Jenis Roti II Persediaan (g)
Tepung (g) 150 75 2.250
Mentega (g) 50 75 1.500
x
y
O 4
2 42 yx
4 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
Misalnya jenis roti I dan II masing-masing dibuat sebanyak x buah dan y buah.
Tersedia 2,25 kg tepung, maka tepung yang dibutuhkan sebanyak yx 75150 g tak dapat
melebihi tepung yang tersedia, yaitu 2,25 kg atau 2.250 g, sehingga diperoleh hubungan
250.275150 yx
302 yx .… (1)
Tersedia mentega 1,5 kg, maka mentega yang dibutuhkan sebanyak yx 7550 g tak dapat
melebihi mentega yang tersedia, yaitu 1,5 kg atau 1.500 g, sehingga diperoleh hubungan
500.17550 yx
6032 yx .... (2)
Karena x dan y bilangan bulat yang tidak negatif, maka
0x …. (3)
0y .… (4)
Mudah dipahami bahwa dalam kasus ini, tujuan Afifah sebenarnya adalah memperoleh laba
atau keuntungan seoptimal mungkin, dengan kondisi bahan tepung dan mentega yang
terbatas. Untuk tujuan ini dibuat suatu fungsi yang dinamakan fungsi tujuan. Dalam kasus ini,
fungsi tujuannya adalah fungsi laba atau keuntunga.
Misalnya jenis roti I dijual dengan keuntungan Rp 500,00 per buah dan jenis roti II dijual
dengan keuntungan Rp 300,00 per buah, maka fungsi keuntungan dapat ditulis sebagai
yxyxf 300500, .
Model matematika yang telah tersusun dapat ditulis sebagai berikut.
Syarat (kendala):
0
0
3032
302
y
x
yx
yx
Memaksimumkan yxyxf 300500, .
Apabila soal ini telah diselesaikan, maka kita akan mendapatkan program untuk membuat
roti, itulah asal nama program linear.
Kesimpulan:
Model matematika dari masalah program linear memuat tiga kumpulan unsur, yaitu variabel
keputusan, syarat batas (kendala atau constraints), dan fungsi tujuan (fungsi objetif atau
fungsi sasaran), yaitu tujuan yang akan dioptimumkan. Jika variabel keputusan yang terlibat
dalam fungsi ini adalah x dan y, maka fungsi tujuannya ditulis yxf , dan dirumuskan
sebagai byaxyxf , , dengan Rba , , 0a , 0b .
D. MENENTUKAN NILAI OPTIMUM DARI FUNGSI TUJUAN
Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum atau minimum dari
fungsi linear byaxyxf , yang dinamakan fungsi tujuan (fungsi objetif atau fungsi
sasaran) terhadap suatu piligon (segi banyak) X yang merupakan daerah penyelesaian dari
suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel, termasuk persyaratan variabel-variabel yang
tidak negatif 0x dan 0y . Setiap titik dalam polygon dinamakan feasible solution
(penyelesaian yang mungkin) dari masalah, dan suatu titik dalam polygon X di mana f
5 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum. Nilai optimum
(nilai maksimum atau nilai minimum) dari fungsi tujuan byaxyxf , dapat ditentukan
dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan metode garis
selidik.
a. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan dengan Menggunakan Metode Uji Titik
Pojok
Langkah-langkah yang ditempuh dalam menentukan nilai optimum fungsi tujuan dengan
menggunakan metode uji titik pojok adalah sebagai berikut.
1. Memisalkan variabel keputusan atau variabel utama dengan x dan y.
2. Menyusun model matematika yang terdiri dari menentukan syarat batas fungsi tujuan
dan fungsi tujuan.
3. Perlihatkanlah himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan (syarat batas
fungsi tujuan) pada bidang Cartesius dan menentukan titik-titik sudutnya.
4. Memilih solusi yang terbaik (optimal) dari penyelesaian-penyelesaian yang mungkin
itu dengan cara membandingkan nilai fungsi tujuan.
5. Menterjemahkan penyelesaian atau hasil yang didapat dari bahasa matematika ke
dalam bahasa sehari-hari sebagai penyelesaian masalah.
Untuk menentukan penyelesaian mana yang terbaik di antara penyelesaian yang mungkin itu
digunakan teorema berikut ini.
Teorema:
Jika Rba , dan byaxyxfz , , dengan yx, berkorespondensi dengan suatu titik di
dalam poligon yang merupakan daerah himpunan penyelesaian syarat batas fungsi tujuan,
maka nilai-nilai x dan y yang membuat maksimum atau minimum dari z atau f tercapai pada
titik-titik pojok poligon itu. Titik-titik optimum untuk Ryx , selalu terletak pada titik-titik
sudut atau pada sisi daerah poligon yang mungkin. Tetapi bila Cyx , hal itu tidak perlu
selalu demikian.
b. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan dengan Menggunakan Metode Garis
Selidik
Tahapan yang ditempuh dalam menentukan nilai optimum fungsi tujuan dengan
menggunakan metode uji titik pojok adalah sebagai berikut.
1. Memisalkan variabel keputusan atau variabel utama dengan x dan y.
2. Menyusun model matematika yang terdiri dari menentukan syarat batas fungsi tujuan
dan fungsi tujuan.
3. Perlihatkanlah himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan (syarat batas
fungsi tujuan) pada bidang Cartesius dan menentukan titik-titik sudutnya.
4. Gambarlah garis cyxf , , c konstanta dengan cara menentukan satu nilai c
sebarang. Garis cyxf , ini dinamakan garis selidik. Tentukan nilai-nilai sebarang
untuk fungsi f, misalnya c1, c2, c3, … , cn. Garis 1, cyxf , 2, cyxf , … ,
ncyxf , saling sejajar. Sebagian garis-garis itu akan melalui daerah himpunan
penyelesaian dan satu di antaranya akan menyentuh salah satu titik sudutnya. Garis
6 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
yang menyentuh titik sudut inilah yang akan menghasilkan nilai optimum dari fungsi
tujuan.
Ambillah daerah yang memenuhi syarat batas adalah suatu poligon, maka terdapat
dua nilai c, katakanlah c1 dan c2, sehingga daerah itu tepat terletak di dalam pita
21 , cyxfc . Titik sudut polygon yang dilalui garis 1, cyxf adalah titik
yx, yang memberikan nilai minimum pada fungsi tujuan yxf , dan titik sudut
polygon yang dilalui garis 2, cyxf adalah titik yx, yang memberikan nilai
maksimum pada fungsi tujuan yxf , .
Adakalanya kita menghadapi suatu kasus di mana garis selidik sejajar dengan salah
satu sisi dari daerah himpunan penyelesaian, berarti salah satu sisi dari daerah
himpunan penyelesaian atau garis ),( yxf menyentuh dua titik sudut yang
berdekatan. Dalam kasus ini setiap pasangan titik (x,y) yang terletak pada sisi yang
disentuh memberikan nilai optimum dari fungsi tujuan dengan nilai optimum yang
sama. Jelaslah bahwa nilai optimum dari fungsi tujuan dicapai lebih dari sebuah titik.
O
A
B
C D
x
y
Pita yxf ,
0, yxf
1, cyxf
2, cyxf
3, cyxf 4, cyxf
7 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
SOAL-SOAL LATIHAN
1. UN A35 dan E81 2012
Daerah yang diarsir pada gambar merupakan daerah himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear. Nilai minimum yxyxf 34, yang memenuhi daerah yang diarsir
adalah ….
A. 36
B. 60
C. 66
D. 90
E. 96
2. UN B47 2012
Nilai minimum dari yxyxf 56, yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar adalah
….
A. 96
B. 72
C. 58
D. 30
E. 24
3. UN C61 2012
Nilai maksimum dari yxyxf 52, yang memenuhi daerah yang diarsir adalah ….
A. 8
B. 16
C. 19
D. 20
E. 30
4. UN D74 2012
Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini merupakan penyelesaian system pertidaksamaan.
Nilai maksimum dari bentuk objektif yxyxf 45, adalah ….
A. 16
B. 20
C. 22
D. 23
E. 30
5. UN P12 2011
Nilai maksimum yxyxf 45, yang memenuhi pertidaksamaan 8 yx , 122 yx ,
0x , 0y adalah ….
30
X
Y
O
12
24 15
6
X
Y
O
4
12 16
8
X
Y
O
4
4 6
8
X
Y
O
4
4 6
8 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
A. 24 C. 36 E. 40
B. 32 D. 40
6. UN P12 2011
Nilai minimum Fungsi objektif yxyxf 23, dari daerah yang diarsir pada gambar
adalah….
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
7. UN P12 2010
Niali minimum fungsi obyektif yxyxf 23, dari daerah yang diarsir pada gambar adalah ….
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
8. UN P12 2009
Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan
linear. Nilai maksimum dari yxyxf 65, adalah ….
A. 18
B. 20
C. 27
D. 28
E. 45
9. UN P12 2009
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 1553 yx , 62 yx , 0x , 0y yang
ditunjukkan gambar berikut adalah ….
A. I
B. II
C. III
D. IV
E. II dan IV
2
4
3
3
X
Y
O
O
4
3
3 X
Y
2
O
5
4
6 X
Y
5
O
6
3
5 X
Y
3
I
II
III IV
9 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
10. UN P12 2008
Sistem pertidaksamaan linear yang memenuhi dari daerah yang diarsir pada gambar adalah ….
A. 42 yx , 623 yx , 0x , 0y .
B. 42 yx , 623 yx , 0x , 0y .
C. 42 yx , 623 yx , 0x , 0y .
D. 42 yx , 623 yx , 0x , 0y .
E. 42 yx , 623 yx , 0x , 0y .
11. EBTANAS R4-D11 2000
Himpunan penyelsaian sistem pertidaksamaan
𝑥 + 2𝑦 ≤ 6
𝑥 + 𝑦 ≥ 4
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 1
pada daerah ….
A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V
12. EBTANAS 2000
Nilai minimum dari bentuk 3𝑥 + 12𝑦 pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
2𝑥 + 𝑦 ≥ 4
2𝑥 + 3𝑦 ≥ 8
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
adalah….
A. 48 B. 27 C. 12 D. 6 E. 0
13. EBTANAS P2-D11 999
Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
2𝑥 + 𝑦 ≤ 6
𝑥 + 3𝑦 ≥ 6
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
Pada gambar terletak didaerah …
A. I
B. III
C. IV
D. I dan II
E. I dan IV
14. EBTANAS P2-D11 1999
IV
6
II
2
I
III
O 3 6 X
Y
O
3
2
4 X
Y
2 5 1
1
IV
4
II
V 3
1
I
III
O 4 6 X
Y
10 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
Nilai maksimum dari 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 𝑦 yang memenuhi system pertidaksamaan
𝑥 + 2𝑦 ≤ 8
𝑥 + 𝑦 ≤ 6
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
adalah…
A. 4 B. 6 C. 10 D. 12 E. 16
15. EBTANAS 1998
Daerah yang diasir pada gambar diatas merupakan grafik himpunan penyelesaian s istem
pertidaksamaan .…
A. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12,𝑥 − 3𝑦 ≥ 6,𝑥 ≥ 0,𝑦 ≥ 0
B. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12,𝑥 − 3𝑦 ≤ 6,𝑥 ≥ 0,𝑦 ≥ 0
C. 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12,𝑥 − 3𝑦 ≤ 6,𝑥 ≥ 0,𝑦 ≥ 0
D. 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12,3𝑥 − 𝑦 ≥ 6, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
E. 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12,3𝑥 − 𝑦 ≤ 6, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
16. EBTANAS 1998
Titik – titik pada gambar berikut merupakan grafik himpunan penyelesaian suatu sistem
pertidaksamaan. Nilai maksimum 3𝑥 + 4𝑦 pada himpunan penyelesaian itu adalah.…
A. 12
B. 21
C. 26
D. 30
E. 35
17. EBTANAS P7-D7 1995
Pada gambar di samping, yang merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
0
0
4
84
63
y
x
yx
yx
yx
adalah daerah ....
A. I B. II C. III D. IV E. V
X
Y
O 1
2
1
2 2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
4
2
5
2
5
2
6
2
6
2
7
2
8
2
IV
I
II
II
I 2
6
O 8
2
4
4
63 yx
4 yx
84 yx
X
Y
V
(0,4)
O (2,0) (6,0)
(0,6)
X
Y
11 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
18. EBTANAS 1994
Daerah OABCD (diarsir) pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian suatu sistem
pertidaksamaan. Nilai maksimum dari yx 52 pada daerah himpunan penyelesaian tersebut
adalah ....
A. 29
B. 25
C. 15
D. 12
E. 9
19. EBTANAS 1993
Nilai maksimum dari yx 3 pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 82 yx ,
93 yx , 0x , 0y untuk Cyx , adalah ....
A. 5 B. 9 C. 14 D.19 E. 24
20. EBTANAS 1992
Nilai maksimum dari yx 65 pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 82 yx ,
93 yx , 0x , 0y , untuk Cyx , adalah ....
21. EBTANAS 1990
Nilai optimum dari yx 43 untuk daerah yang diarsir pada grafik berikut ini ....
A. 12
B. 16
C. 17
D. 18
E. 20
22. EBTANAS 1988
Daerah dalam segilima ABCDE adalah merupakan himpunan suatu program linear. Nilai
maksimum dan minimum fungsi objektif yx 23 untuk yx,
bilangan asli adalah ....
A. 10 dan 1
B. 10 dan 6
C. 15 dan 6
D. 15 dan 1
E. 15 dan 10
5,2C
3,0D
X
0,6A
3,5B
Y
O
(0,8)
(0,4)
(4,0) (6,0) X
Y
O
A(0,3)
B(3,5)
C(6,4)
D(5,0) E(1,0) X
Y
O
12 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
23. EBTANAS 1987
Daerah yang diarsir dalam diagram di bawah adalah daerah himpunan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan ....
A.
1222
82
0
0
yx
yx
y
x
D.
1223
82
0
0
yx
yx
y
x
B.
1223
82
0
0
yx
yx
y
x
E.
C.
1223
82
0
0
yx
yx
y
x
24. UN A35, B47, C61, D74, dan E81 2012
Tempat Parkir seluas 600 m2 hanya mampu menampung 58 bus dan mobil. Tiap mobil
membutuhkan tempat seluas 6 m2 dan bus 24 m
2. Biaya parkir tiap mobil Rp2.000,00 dan bus
Rp3.500,00. Berapa hasil dari biaya parkir maksimum, jika tempat parkir penuh?
A. Rp87.500,00 C. Rp137.000,00 E. Rp203.000,00
B. Rp116.000,00 D. Rp163.000,00
25. UN B47 2012
Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 g dan
30 g. Sebuah kapsul mengandung 5 g kalsium dan 2 g zat besi, sedangkan sebuah tablet
mengandung 2 g kalsium dan 2 g zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp1.000,00 dan harga sebuah
tablet Rp800,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak
balita tersebut adalah ….
A. Rp12.000,00 C. Rp18.000,00 E. Rp36.000,00
B. Rp14.000,00 D. Rp24.000,00
26. UN P12 2011
Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koki dan ikan koi. Setiap
kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor.
Jumlah ikan yang direancanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam
berisi ikan koki adalah x, dan banyak kolam berisi ikan koi adalah y, maka model matematika
untuk masalah ini adalah ....
A. 0,0,5023,20 yxyxyx
B. 0,0,5032,20 yxyxyx
C. 0,0,5032,20 yxyxyx
D. 0,0,5032,20 yxyxyx
E. 0,0,5023,20 yxyxyx
1223
82
0
0
yx
yx
y
x
6
4
4 8 X
Y
O
13 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
27. UN P12 2011
Seorang ibu memproduksi dua jenis keripik pisang yaitu rasa coklat dan rasa keju. Setiap
kilogram keripik rasa coklat membutuhkan modal Rp.10.000,00 sedangkan keripik rasa keju
membutuhkan modal Rp.15.000,00 per kilogram. Modal yang dimiliki ibu tersebut
Rp.500.000,00. Tiap hari hanya bisa memproduksi paling banyak 40 kilogram. Keuntungan
tiap kilogram keripik pisang rasa coklat adalah Rp.2.500,00 dan keripik rasa keju Rp.3.000,00
perkilogram. Keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu tersebut adalah....
A. Rp.110.000,00 D. Rp.89.000,00
B. Rp.100.000,00 E. Rp.85.000,00
C. Rp.99.000,00
28. UN P12 2010
Seorang penjahit mempunyai persediaan 84 m kain polos dan 70 m kain batik. Penjahit tersebut
akan membuat 2 jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 4 m kain polos dan 2 m
kain batik, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 3 m kain polos dan 5 meter kain batik. Jika
pakaian I dijual dengan laba Rp40.000,00 dan pakaian jenis II dijual dengan laba Rp60.000,00 per
potong. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah ….
A.Rp1.180.000,00 D. Rp840.000,00
B. Rp1.080.000,00 E. Rp800.000,00
C. Rp960.000,00
29. UN P12 2009
Pedagang sepatu mempunyai kios yang hanya cukup ditempati 40 pasang sepatu. Sepatu jenis I
dibeli dengan harga Rp 60.000,00 setiap pasang dan sepatu jenis II dibeli dengan harga Rp
80.000,00 setiap pasang. Jika pedagang tersebut mempunyai modal Rp 3.000.000,00 untuk
membeli sepatu jenis I dan jenis II. Maka model matematika dari masalah tersebut adalah ….
A. 15043 yx , 40 yx , 0x , 0y .
B. 15043 yx , 40 yx , 0x , 0y .
C. 15043 yx , 40 yx , 0x , 0y .
D. 30086 yx , 40 yx , 0x , 0y .
E. 30046 yx , 40 yx , 0x , 0y .
30. UN P12 2009
Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian untuk dijual, pakaian jenis I memerlukan 2 m kain
katun dan 4 m kain sutera, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 5 m kain katun dan 3 meter
kain sutera Bahan katun yang tersedia 70 m dan sutera 84 m. Pakaian jenis I dijual dengan laba
Rp 25.000,00/buah dan pakaian jenis II mendapat laba Rp 50.000,00/buah. Agar ia memperoleh
laba yang sebesar-besarnya, maka banyaknya pakaian jenis I dan jenis II berturut-turut adalah ….
A. 15 dan 8 D. 13 dan 10
B. 8 dan 15 E. 10 dan 13
C. 20 dan 3
31. UN P12 2008
Sebuah pesawat terbang memiliki tempat duduk tidak lebih dari 60 buah. Setiap penumpang
bagasinya dibatasi, untuk penumpang kelas utama 30 kg dan untuk penumpang kelas ekonomi 20
kg. Pesawat tersebut hanya dapat membawa bagasi 1500 kg. Jika tiket setiap penumpang kelas
14 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
utama Rp600.000,00 dan untuk kelas ekonomi Rp450.000,00, maka penerimaan maksimum dari
penjualan tiket adalah ….
A. Rp13.500.000,00 D. Rp31.500.000,00
B. Rp18.000.000,00 E. Rp41.500.000,00
C. Rp21.500.000,00
32. EBTANAS P2-D11 1999
Harga 1 kg beras Rp2.500,00 dan 1 kg gula Rp4.000,00. Seorang pedagang memiliki modal
Rp300.000,00 dan tempat yang tersedia hanya memuat 1 kuintal. Jika pedagang tersebut membeli
x kg beras dan y kg gula, maka sistem pertidaksamaan dari masalah tersebut adalah ....
A. ;60085 yx ;100 yx ;0x 0y
B. ;60085 yx ;100 yx ;0x 0y
C. ;60085 yx ;100 yx ;0x 0y
D. 1085 yx 1 yx ;0x 0y
E. 1085 yx 1 yx ;0x 0y
33. EBTANAS 1998
Seorang pedagang roti ingin membuat dua jenis roti. Roti jenis A memerlukan 200 gram tepung
dan 150 gram mentega. Roti jenis B memerlukan 400 gram tepung dan 50 gram mentega.
Tersedia 8 kg tepung dan 2,25 kg mentega. Roti jenis A dijual dengan harga Rp7.500,00 per buat
dan roti jenis B dengan harga Rp6.000,00 per buah. Misalkan banyak roti A = x buah dan roti B =
y buah.
a. Tentukan sistem pertidaksamaan yang harus dipenuhi oleh x dan y
b. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan hasil (a).
c. Tentukan bentuk objektif yang menyatakan harga penjualan seluruhnya.
d. Tentukan pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pedagang roti tersebut.
34. EBTANAS D11-P1 1997
Suatu perusahaan perumahan merencanakan pembangunan rumah tipe A dan tipe B. Tiap unit
rumah A memerlukan lahan 150 m2 dan tipe B memerlukan lahan 200 m
2. tersedia lahan 30.000
m2. Perusahaan hanya mampu membangun paling banyak 180 unit rumah untuk kedua tipe
tersebut. keuntungan yang diharapkan dari tiap unit rumah tipe A Rp3.000.000,00 dan tiap unit
rumah tipe B Rp3.500.000,00.
a. Misalkan dibangun rumah tipe A sebanyak x unit dan rumah tipe B sebanyak y unit, tulislah
sistem pertidaksaman dalam x dan y untuk keterangan di atas.
b. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan itu
c. Tentukan bentku objektif yang menyatakan keuntungan dari penjualan rumah.
d. Berapakah banyaknya masing-masing tipe rumah harus dibangun, agar diperoleh keuntungan
sebesar-besarnya? Hitunglah keuntungan itu.\
35. EBTANAS P2-D7 1996
Untuk menghasilkan barang jenis A seharga Rp20.000,00 diperlukan bahan baku 20 kg dan waktu
kerja mesin 2 jam. Untkuk barang jenis B seharga Rp30.000,00 diperlukan bahan baku 30 kg dan
waktu kerja mesin 1 jam. Bahan baku yang tersedia adalah 270 kg, waktu kerja mesin 17 jam.
a. Misalkan banyaknya barang A = x dan banyaknya barang B = y, tulislah sistem pertidaksamaan
dalam x dan y untuk keterangan di atas.
15 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016
b. Gambarlah grafik himpunan penyelesaiannya pada satu sistem koordinat cartesius.
c. Tentukan bentuk objektif hasil penjualan barang.
d. Tentukan banyaknya masing-masing jenis barang yang harus dihasilkan, agar diperoleh hasil
penjualan maksimum? Hitunglah hasil penjualan maksimum itu.
36. EBTANAS 1991
Seorang pembuat kue satu hari paling banyak membuat 80 kue. Biaya kue jenis pertama Rp250,00
sebuah dan kue jenis kedua Rp150,00 sebuah. Keuntungan kue jenis pertama Rp50,00 sebuah dan
jenis kedua Rp40,00 sebuah. Jika modal pembuat kue Rp17.000,00 maka keuntungan maksimum
adalah ....
A. Rp3.200,00 D. Rp4.000,00
B. Rp3.400,00 E. Rp4.530,00
C. Rp3.700,00
37. EBTANAS 1989
Luas tanah 10.000 m2
akan dibangun perumahan dengan tipe D.36 dan tipe D.21 masing-masing
luas tanah per unit 100 m2 dan 75 m
2. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 125 unit.
Harga jual tiap-tiap tipe D.36 adalah Rp6.000.000,00 dan tipe D.21 adalah Rp4.000.000,00 maka
harga jual maksimum adalah ....
A. Rp425.000.000,00 D. Rp575.000.000,00
B. Rp525.000.000,00 E. Rp600.000.000,00
C. Rp550.000.000,00