PROFESORA: Mª Teresa Sanz de Acedo Baquedano

Curso 2009-10

2.2.- COMBINACIÓN DE LAS PUNTUACIONES A LOS ÍTEMS

Una vez asignadas las puntuaciones a cada ítem del test hay que proceder a combinarlas para obtener la puntuación total

en la prueba, para lo cual se utiliza la siguiente fórmula general:

La puntuación total –X– se define como la suma ponderada de las puntuaciones obtenidas por el sujeto en los ítems del test

prueba. esa de dentro ítem al asignada puntuación la es

ítems por formada prueba una de dentro ítem al asignado peso el es

i

ni

:aciertos de número por puntuación de fórmula conocidala en cognitivas pruebas las en transforma se anterior fórmula la que lo con

peso mismo el reciban ítems los todos que es frecuente más Lo )1( wwi

iw

iX

iiXwXn

i

1

n

iiXX

1

1º/ Penalizar cada respuesta incorrecta: al asumir que cuando un sujeto responde incorrectamente es porque ha contestado al azar al desconocer la respuesta correcta.

• Fórmula:

1 K

EAAXX ac

–Xc– es la nueva estimación corregida

–X– es la puntuación total

–A– es el número de aciertos

–Aa– es el número de aciertos aleatorios

–E – es el número de errores

–K – es el número de opciones de respuesta

* En el caso de Álvaro:

Xc = 40 – 0/(4-1) = 40* En el caso de Laura :

Xc = 55 – 45/(4-1) = 40

2º/ Bonificar cada ítem no respondido u omitido: ya que el hecho de que no existan respuestas incorrectas prueba que el sujeto no conjetura al responder a los ítems del tets cuando desconoce la respuesta correcta.

• Fórmula:

K

OAAXX ac

–Xc– es la nueva estimación corregida

–X– es la puntuación total

–A– es el número de aciertos

–Aa– es el número de aciertos aleatorios

–O – es el número de ítems sin responder

–K – es el número de opciones de respuesta* En el caso de Álvaro:

Xc = 40 + 60/4 = 55

* En el caso de Laura :

Xc = 55 + 0/4 = 55

Tabla 4.2. Puntuaciones directas, distribución de frecuencias y puntuaciones normativas de un test en el diagnóstico de dificultades de aprendizaje en la lectura

X f fa fapm c z T D

11 2 2 1 1 -2,53 25 0

12 1 3 2,5 2 -2,17 28 7

13 6 9 6 4 -1,80 32 14

14 5 14 11,5 8 -1,44 36 21

15 12 26 20 13 -1,07 39 29

16 17 43 34,5 23 -0,71 43 36

17 21 64 53,5 36 -0,34 47 43

18 28 92 78 52 0,02 50 50

19 19 111 101,5 68 0,39 54 58

20 15 126 118,5 79 0,75 58 65

21 10 136 131 88 1,12 61 72

22 5 141 138,5 93 1,48 65 80

23 3 144 142,5 95 1,85 68 87

24 4 148 146 98 2,21 72 94

25 2 150 149 99 2,58 76 100

Tabla 4.2. Puntuaciones directas, distribución de frecuencias y puntuaciones normativas de un test en el diagnóstico de dificultades de aprendizaje en la lectura

X f fa11 2 2

12 1 3

13 6 9

14 5 14

15 12 26

16 17 43

17 21 64

18 28 92

19 19 111

20 15 126

21 10 136

22 5 141

23 3 144

24 4 148

25 2 150

f: la frecuencia con la que cada una de esas puntuaciones ha sido observada en la muestra (2 alumnos han obtenido una puntuación directa de 11 puntos, 1 alumno una puntuación directa de 12 puntos, etc.).

fa: la frecuencia acumulada, se suman a los sujetos que han obtenido una determinada puntuación los sujetos que obtuvieron las puntuaciones precedentes.

El valor que corresponde a la puntuación más alta obtenida en el test ha de ser siempre el número de sujetos de la muestra a la que se administró dicha prueba.

Tabla 4.2. Puntuaciones directas, distribución de frecuencias y puntuaciones normativas de un test en el diagnóstico de dificultades de aprendizaje en la lectura

X f fa fapm

11 2 2 1

12 1 3 2,5

13 6 9 6

14 5 14 11,5

15 12 26 20

16 17 43 34,5

17 21 64 53,5

18 28 92 78

19 19 111 101,5

20 15 126 118,5

21 10 136 131

22 5 141 138,5

23 3 144 142,5

24 4 148 146

25 2 150 149

fapm: la frecuencia acumulada en el punto medio consiste en dividir entre dos la frecuencia obtenida por una puntuación directa y al resultado sumarle la frecuencia acumulada de la puntuación anterior.

Por ejemplo: en nuestra tabla tenemos que existen 12 sujetos que han sacado la puntuación directa de 15. Si dividimos 12/2 = 6 y si a esta puntuación le sumamos la frecuencia acumulada anterior: 6 + 14 = 20 (frecuencia acumulada en el punto medio).

Tabla 4.2.

X f fa fapm c

11 2 2 1 1

12 1 3 2,5 2

13 6 9 6 4

14 5 14 11,5 8

15 12 26 20 13

16 17 43 34,5 23

17 21 64 53,5 36

18 28 92 78 52

19 19 111 101,5 68

20 15 126 118,5 79

21 10 136 131 88

22 5 141 138,5 93

23 3 144 142,5 95

24 4 148 146 98

25 2 150 149 99

Nfa

Nffac pmxix

100100)5,0(

La fórmula siguiente se utiliza para determinar el rango centil correspondiente a una puntuación directa X (cx).

Es la frecuencia acumulada correspondiente a la puntuación inmediatamente inferior a la puntuación X (columna fa)

Es la frecuencia correspondiente a la puntuación X (columna f)

El número de sujetos que componen la muestra (valor de la columna fa correspondiente a la puntuación más alta del test)

Es la frecuencia acumulada en el punto medio del intervalo en el que se encuentra la puntuación X

Tabla 4.2.

X f fa fapm c

11 2 2 1 1

12 1 3 2,5 2

13 6 9 6 4

14 5 14 11,5 8

15 12 26 20 13

16 17 43 34,5 23

17 21 64 53,5 36

18 28 92 78 52

19 19 111 101,5 68

20 15 126 118,5 79

21 10 136 131 88

22 5 141 138,5 93

23 3 144 142,5 95

24 4 148 146 98

25 2 150 149 99

Nfa

Nffac pmxix

100100)5,0(

Calcule el rango percentil correspondiente a una puntuación directa de 22. Solución = 92,33

Es la frecuencia acumulada correspondiente a la puntuación inmediatamente inferior a la puntuación X (columna fa) = 136

Es la frecuencia correspondiente a la puntuación X (columna f) = 5

El número de sujetos que componen la muestra (valor de la columna fa correspondiente a la puntuación más alta del test) = 150

Es la frecuencia acumulada en el punto medio del intervalo en el que se encuentra la puntuación X = 138,5

Nfa

Nffac pmxix

100100)5,0( X fx fa

1 1 1

2 2 3

3 3 6

4 1 7

5 4 11

6 4 15

7 3 18

8 3 21

9 3 24

Hacer el ejercicio 4.5.6.1. del libro

4.5.6.1. Calcule el rango centil correspondiente a una puntuación de notable (7)

Puntuaciones: 4 6 7 6 8 5 5 8 3 1 9 9 5 7 6 6 3 2 2 7 9 5 3 8

24

1005,16

24

100)35,015( xcx

Solución = 68,74

Tabla 4.2.

X f fa fapm c

11 2 2 1 1

12 1 3 2,5 2

13 6 9 6 4

14 5 14 11,5 8

15 12 26 20 13

16 17 43 34,5 23

17 21 64 53,5 36

18 28 92 78 52

19 19 111 101,5 68

20 15 126 118,5 79

21 10 136 131 88

22 5 141 138,5 93

23 3 144 142,5 95

24 4 148 146 98

25 2 150 149 99

xiic f

Afa

cNXX

100

.

La fórmula siguiente se utiliza para determinar un centil (puntuación centil o percentil) dado (Xc):

Es el límite inferior del intervalo en el que se encuentra la puntuación directa que queremos determinar (Xc)

Es el rango centil

Es la amplitud del intervalo, la diferencia entre el límite superior e inferior del intervalo

xiic f

Afa

cNXX

100

.X fx fa

1 1 1

2 2 3

3 3 6

4 1 7

5 4 11

6 4 15

7 3 18

8 3 21

9 3 24

Hacer el ejercicio 4.5.6.2. del libro

4.5.6.2. ¿Cuál es el percentil 50?

Puntuaciones: 4 6 7 6 8 5 5 8 3 1 9 9 5 7 6 6 3 2 2 7 9 5 3 8

Solución = 5,75

4/111100/50245,5 xX c

CENTIL O PERCENTIL

TABLA 4.2

• Es aquella puntuación (Xc) del test que deja por debajo de sí el c

por 100 de sujetos del grupo normativo.

• Por ejemplo: si a la puntuación 13 obtenida por Nicolás le corresponde el

centil 4, significa que solamente un 4 por 100 de los niños de 2º curso de ESO

responden correctamente a menos de 13 preguntas en el test examinado.

• Esta tabla recoge la conversión de puntuaciones directas a normativas en una prueba

diseñada para detectar dificultades de aprendizaje en el área de lectura por 150 alumnos,

que constituyen la muestra extraída de la población de niños

de 2º curso de ESO.

3.1.2. Puntuaciones centiles: relacionan la actuación del sujeto con la de su grupo de referencia en términos del porcentaje de sujetos que obtienen una puntuación inferior a la del sujeto en cuestión.

3.1.2. Puntuaciones centiles: relacionan la actuación del sujeto con la de su grupo de referencia en términos del porcentaje de sujetos que obtienen una puntuación inferior a la del sujeto en cuestión.

3.1.3. PUNTUACIONES TÍPICAS

• Las puntuaciones típicas refieren la actuación del sujeto a la media del grupo normativo en términos de

unidades de desviación típica, es decir, indican la distancia que separa a un sujeto que ha obtenido una puntuación determinada en el test de la media de su

grupo, utilizando como unidad para medir esa distancia la desviación típica del grupo normativo del

sujeto.

DEFINICIÓN

Hay dos tipos básicos de puntuaciones típicas:

1/ LA ESCALA

TÍPICA LINEAL (Z)

2/ LA ESCALA TÍPICA

NORMALIZALIZADA

(Zn)

La gran ventaja de las puntuaciones típicas frente a las directas es que su significación es universal siempre que las distribuciones

de las puntuaciones de los tests que se comparan sean similares.

1/ LA ESCALA TÍPICA LINEAL

Calculamos la puntuación típica de Nicolás cuya media es 17,94 y su desviación típica 2,74.

Z = (13-17’94)/2,74 = -1,80

Nos indica que Nicolás está dos desviaciones típicas por debajo de la media de los niños de 2º

curso de ESO

Interpretaciones de las puntuaciones de los test:

X

XXZ

CUADRO 4.2 (PÁGINA 150 LIBRO)

• Las letras griegas se reservan para denotar los parámetros de la POBLACIÓN que estamos interesados en

conocer. En la mayoría de los casos, resulta totalmente imposible trabajar con todos los miembros de la población.

• Por ello, se suele elegir una MUESTRA: es un

subconjunto de la población y en ésta se calculan los estadísticos correspondientes con letras latinas.

PARÁMETROS Y ESTADÍSTICOS

__

X

PARAMÉTROS (POBLACIÓN)

ESTADÍSTICOS (MUESTRA)

µ Media

σ² Varianza S ²

σ Desviación típica S

ρ Correlación r

Los ESTIMADORES son para estimar los parámetros de la población a partir de los datos de la muestra. Por ejemplo:

medida. de errores los de típicadesviación lay varianzala de

sestimadore los a menterespectivaen correspond ˆ ˆ 2ee

Escalas derivadas de puntuaciones típicaslineales

• Las escalas típicas derivadas son obtenidas mediante una transformación lineal de las escalas de

puntuaciones típicas. • La forma general de la transformación lineal es:

Y = A + BZDonde Y es la puntuación típica derivada y A (la media de

las puntuaciones típicas derivadas) y B (la desviación típica de su distribución) son constantes elegidas de forma

arbitraria.

DEFINICIÓN

Entre las escalas típicas derivadas más frecuentemente utilizadas podemos destacar las siguientes:

1/ ESCALA T

T = 50 + 10Z

2/ ESCALA D

D = 50 + 20Z

Nicolás obtendría las siguientes puntuaciones:

T = 50 + 10 (-1,80) = 31,9 ~ 32

D = 50 + 20 (-1,80) = 14

El valor obtenido es sin decimales y mucho más directo e intuitivo que la puntuación típica original. (Ejercicio 4.5.1. del libro)

TEMA 5. Las teorías de los tests

• ¿La puntuación obtenida en el test constituye realmente una medida adecuada de la característica evaluada por la prueba o existe un ERROR DE MEDIDA?

• Para contestar a esta pregunta, lo primero que necesitamos es una Teoría de los tests, que aborde la

relación existente entre el nivel del sujeto en la variable (inobservable)

que se desea estudiar y su puntuación (observada) en el test.

• En este momento se está pasando de la fase de construcción de la

prueba o test a la fase de evaluación de la misma, siguiendo el esquema propuesto en la figura

A (página 91).

• En este capítulo presentaremos una de las teorías de los tests más importantes (la Teoría clásica de los test), sus características básicas y su manera de proceder.

Las puntuaciones que se obtienen de la aplicación de un test siempre contienen un cierto error que se

conoce como ERROR DE MEDIDA:

Es la diferencia entre la puntuación obtenida por el

sujeto en el test y la puntuación verdadera del mismo en la característica

objeto del test.

ERROR DE MEDIDA

• El error de medida se refleja en el hecho de que:

1) Un test pasado a un sujeto en dos ocasiones diferentes no da lugar a la misma puntuación;

2) Dos sujetos con el mismo nivel en la característica obtengan puntuaciones diferentes en el test;

3) Dos sujetos con niveles diferentes en la característica alcancen puntuaciones idénticas en el test.

Según la TEORÍA CLÁSICA DE LOS TESTS la puntuación empírica que

obtiene un sujeto cuando se le administra un test –X– es función

del: Nivel real o verdadero en que

ese sujeto posee la característica o rasgo que está

evaluando dicho test (puntuación verdadera) y del error de medida que siempre

se introduce en cualquier proceso de medición.

• Formalmente, la Teoría Clásica de los tests sería:

• Por ejemplo: el alumno A ha respondido correctamente a 25 ítems de la prueba (X = 25) y su puntuación verdadera es (V = 27). Luego el error cometido al medir con esa prueba su nivel de conocimiento es (E = X – V),

es decir, 25 – 27 = -2

• Hay 83 alumnos que tienen la misma puntuación verdadera que el sujeto A (V = 27) y, sin embargo, su puntuación empírica difiere (el rango de variación va de 24 a 28). Sus errores de medida

son:

24 – 27 = -3; 28 – 27 = 1

• ¿Cuál de estas tres puntuaciones empíricas (25, 24 o 28) refleja mejor el nivel real de rendimiento del alumno A?

EVX medida deerror el es

verdaderapuntuación la es

testelen puntuación la es

E

V

X

•La puntuación empírica X que esté más próxima a la puntuación verdadera del sujeto, es decir, la que tenga menor error de medida (E = X – V). Luego, X = 28

• El problema es que NUNCA conocemos la puntuación verdadera V, por lo que la solución anterior no es tal. En la ecuación:

tenemos tres términos y solo podemos conocer uno de ellos: la puntuación empírica X. ¿Cómo solucionar esto?

• Lo que plantea la TCT es que la mejor estimación que se puede hacer de LA PUNTUACIÓN VERDADERA -V- es la media de las puntuaciones

empíricas que se obtendrían si se le aplicara dicha prueba al sujeto en las mismas condiciones un número infinito de veces. Formalmente, para nuestro alumno A esto se podría expresar con la siguiente fórmula:

EVX

N

XXV

N

iA

AA

i 1ˆ

test el en sujeto al medido ha se que ocasiones de número el es ; ocasión

la en sujeto el por obtenida empírica puntuación la es medido; ha se ésta que veces

las en variable la en obtenidos valores los de media la es

; sujeto del verdadera puntuación la de estimador el es

N

i

AXX

NXX

AVV

iA

AA

Aˆ

67,253

282425ˆ

AV

• El problema es que NUNCA conocemos la puntuación verdadera V, por lo que la solución anterior no es tal. En la ecuación:

tenemos tres términos y solo podemos conocer uno de ellos: la puntuación empírica X. ¿Cómo solucionar esto?

• El ERROR DE MEDIDA puede estimarse, según la Teoría clásica de los tets, calculando la variabilidad de las puntuaciones empíricas obtenidas

por un sujeto ese número infinito de ocasiones en las que se le ha aplicado la prueba, es decir, calculando su varianza o su desviación

típica conocida como ERROR TÍPICO DE MEDIDA:

EVX

medida. de errores los de típicadesviación lay varianzala de

sestimadore los a menterespectivaen correspond ˆ ˆ 2ee

N

XXN

iAA

e

i

1

2

2 N

XXN

iAA

e

i

1

2

• El ERROR DE MEDIDA de un sujeto i, Ei, se define como la diferencia entre la puntuación empírica obtenida en el test (Xi) y la puntuación verdadera en la característica medida (Vi):

Esta ecuación representa una medida individual del error de medida (la del sujeto i).

• Una medida colectiva del error de medida es el ERROR TÍPICO DE MEDIDA, que se obtiene por cualquiera de estas dos ecuaciones

aplicadas sobre toda la muestra de N sujetos a la que se ha administrado el test:

iii VXE

xxx

N

i

i

e pN

E

11

2

test. el en empíricas

espuntuacion las de típica desviación la es x

empíricas. espuntuacion las de varianza lay verdaderas espuntuacion las de varianza la entre cociente el

decir, es test, del fiabilidad de ecoeficient el es xxp

ESTIMACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICASDE INTERÉS

* Para estimar el nivel real o la puntuación verdadera que el sujeto posee la característica o rasgo que mide el test,

se dispone de dos opciones:

1) Estimación puntual: estimar el valor de la puntuación verdadera V mediante un único valor.

2) Estimación por intervalo: establecer unos límites confidenciales, en torno a la estimación puntual,

denominados límite inferior y límite superior, fijando un nivel de confianza.

EXPLICAR EN CLASE:

Fórmula 5.5 del libro

Tabla 5.2 del libro

EJERCICIOS:

5.6.1; 5.6.2; 5.6.3 y

5.6.4.

El valor del NIVEL DE CONFIANZA es fijado arbitrariamente por el

investigador y se suele trabajar con valores altos, entre el 0.95 y 0.99:

Si tenemos un NC= 0,99 significa que confiamos que en el 99% de

los casos la puntuación verdadera del sujeto se

encontrará entre el límite confidencial inferior y el límite

confidencial superior.