profesor milan merkle [email protected] milanmerkle.etf.rs...

Osnovni pojmovi teorije verovatnoce

Profesor Milan [email protected] milanmerkle.etf.rs

Verovatnoca i Statistika-prolece 2018

Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 1 / 13

Verovatnoca i statistika: Juce, danas, sutra

17. vek, kockarske igre. Tek pocetkom 20. veka je postala deomatematike.

Matematicki modeli slucajnih pojava

Monte Carlo simulacija

Finansije, modeli berze

Genetika, modeli evolucije

Modeli u telekomunikacijama

Big Data

Data Science = Nauka o podacima = Statistika ++

Surveillance kapitalizam . . .

Big Data

Statisticki eksperiment

Primeri: Bacanje novcica, bacanje kocke, bacanje dva novcica, dve kocke,izvlacenje kuglica . . .

Moze se ponavljati neogranicen broj puta

Unapred je definisano sta se registruje u eksperimentu i poznati su svimoguci ISHODI - elementarni dogadaji U svakom eksperimenturealizuje se JEDAN I SAMO JEDAN ishod.

Ishod pojedinacnog eksperimenta ne moze se predvideti.

Paznja: Eksperiment se moze predstaviti preko razlicitih mogucih ishoda.Bacanje dva novcica, dve kocke, izvlacenje kuglica. . .

SKUP Ω

• Skup Ω svih elementarnih dogadaja (ishoda)• Dogadaj: Svaki podskup skupa Ω• Dogadaj se realizuje ako...• Siguran dogadaj, nemoguc dogadaj• Operacije: A′, A ∪ B, A ∩ B, . . .• Uzajamno iskljucivi dogadaji• Relacije: A =⇒ B

Kako nalazimo verovatnocu dogadaja?

Ponavljamo eksperiment i belezimo podatke.

SKUP Ω

STATISTICKO ODREDJIVANJE VEROVATNOCE

• m(n): broj pojavljivanja dogadaja A u n ponovljenih eksperimenata.

• Kolicnik m(n)n je relativna frekvencija dogadaja A

• Verovatnoca P(A) nalazi se kao limes: (zakon velikih brojeva, fizickizakon!)

P(A) = limn→+∞

n(u teoriji)

P(A) =m(n)

n(u praksi, za veliko n)

• Koliko veliko n treba da bude ? (Statistika)

Aksiome teorije verovatnoce

Ovo su tri pravila koja treba da budu ispunjena kad definisemoverovatnocu, na bilo koji nacin:Neka je dat skup Ω. Funkcija P definisana na podskupovima skupa Ω,naziva severovatnocom na skupu Ω ako vazi:

A1. P(Ω) = 1,

A2. 0 ≤ P(A) ≤ 1 za A ⊂ Ω,

A3. P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) =∑

i P(Ai ) ako su dogadaji A1, . . . ,An, . . .uzajamno iskljucivi, pri cemu dogadaja Ai moze da bude konacno iliprebrojivo mnogo.

U slucaju da imamo konacno ili prebrojivo mnogo elementarnih dogadajaEi , aksiome su uvek zadovoljene ako su P(Ei ) ∈ (0, 1) i

∑P(Ei ) = 1.

A1. P(Ω) = 1,

A2. 0 ≤ P(A) ≤ 1 za A ⊂ Ω,

A3. P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) =∑

∑P(Ei ) = 1.

A1. P(Ω) = 1,

A2. 0 ≤ P(A) ≤ 1 za A ⊂ Ω,

A3. P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) =∑

∑P(Ei ) = 1.

A1. P(Ω) = 1,

A2. 0 ≤ P(A) ≤ 1 za A ⊂ Ω,

A3. P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) =∑

∑P(Ei ) = 1.

JEDNAKOVEROVATNI ISHODIU slucajevima kad postoji simetrija, mozemo smatrati da se u idealnimuslovima ishodi dogadaju podjednako cesto, i samim tim njihoveverovatnoce su jednake. Ukoliko Ω sadrzi n < +∞ ishoda, a dogadaj Aima m ishoda, onda je

P(A) =m

Primer 8. Razliciti modeli za bacanje 2 novcica

Primer 9. Bacaju se dve kocke i posmatra se zbir brojeva. IzracunatiP(9) i P(10).

Primer 10. Naci verovatnoce svih zbirova pri bacanju dve kocke.

Sve ovo pod idealnim uslovima. U stvarnosti, iako je novcic fer i kockapotpuno homogena, moze se desiti da ishodi nisu jednakoverovatni!!!

Persi Diaconis, Stanford University, https://youtu.be/G7zT9MljJ3Y

P(A) =m

Geometrijska verovatnoca

U nekim slucajevima, ako se skup Ω moze prikazati kao ogranicen skup napravoj, u ravni ili u prostoru, moze se primeniti sledece pravilogeometrijske verovatnoce:

P(A) =m(A)

m(Ω),

gde je m mera (duzina, povrsina ili zapremina) oblasti A, odnosno Ω.Ovo pravilo vazi ako je verovatnoca dogadaja proporcionalna meri oblastikojom se taj dogadaj predstavlja, tj. ako dva dogadaja iste mere imaju istuverovatnocu.

Primer 11. Ako na slucajan nacin biramo broj X iz intervala (0, 2), naciverovatnoce: a) P(X ∈ (0.9, 1.1)); b) P(X = 1) ?

Geometrijska verovatnoca

U nekim slucajevima, ako se skup Ω moze prikazati kao ogranicen skup napravoj, u ravni ili u prostoru, moze se primeniti sledece pravilogeometrijske verovatnoce:

P(A) =m(A)

m(Ω),

gde je m mera (duzina, povrsina ili zapremina) oblasti A, odnosno Ω.Ovo pravilo vazi ako je verovatnoca dogadaja proporcionalna meri oblastikojom se taj dogadaj predstavlja, tj. ako dva dogadaja iste mere imaju istuverovatnocu.

Primer 11. Ako na slucajan nacin biramo broj X iz intervala (0, 2), naciverovatnoce: a) P(X ∈ (0.9, 1.1)); b) P(X = 1) ?

Primer 12. Na slucajan nacin delimo duz na tri dela. Naci verovatnocu dase od delova moze sastaviti trougao.

Slika 2. Uz primer 12. a: Podela duzi na tri dela. b: Skup svihelementarnih dogadaja Ω i skup povoljnih dogadaja A.

Primer 12. Na slucajan nacin delimo duz na tri dela. Naci verovatnocu dase od delova moze sastaviti trougao.

Slika 2. Uz primer 12. a: Podela duzi na tri dela. b: Skup svihelementarnih dogadaja Ω i skup povoljnih dogadaja A.

Osobine verovatnoce

Polazimo od aksioma:A1. P(Ω) = 1,A2. 0 ≤ P(A) ≤ 1 za A ⊂ Ω,A3.P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) =

∑i P(Ai ) Ai ∪ Aj = ∅

P(A′) = 1− P(A).

P(∅) = 0 ... ali ako je P(A) = 0 ne mora da bude A = ∅!Ako je A ⊂ B onda je P(A) ≤ P(B).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(AB)

P(A ∪ B ∪ C ) =P(A) + P(B) + P(C )− P(AB)− P(AC )− P(BC ) + P(ABC )

Osobine verovatnoce

∑i P(Ai ) Ai ∪ Aj = ∅

P(A′) = 1− P(A).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(AB)

Osobine verovatnoce

∑i P(Ai ) Ai ∪ Aj = ∅

P(A′) = 1− P(A).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(AB)

Osobine verovatnoce

∑i P(Ai ) Ai ∪ Aj = ∅

P(A′) = 1− P(A).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(AB)

Osobine verovatnoce

∑i P(Ai ) Ai ∪ Aj = ∅

P(A′) = 1− P(A).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(AB)

Osobine verovatnoce

∑i P(Ai ) Ai ∪ Aj = ∅

P(A′) = 1− P(A).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(AB)

Osobine verovatnoce

∑i P(Ai ) Ai ∪ Aj = ∅

P(A′) = 1− P(A).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(AB)

Neprekidnost verovatnoce

Ako je A1,A2, . . . beskonacan niz dogadaja takvih da jeA1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · · , tada je

(+∞⋃i=1

)= lim

n→+∞P(An).

Ako je A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ · · · , tada je

(+∞⋂i=1

)= lim

n→+∞P(An).

Primena: Pri slucajnom izboru tacke X na intervalu (a, b), P(X = c) = 0za svako c ∈ (a, b) !!!!!

(+∞⋃i=1

)= lim

n→+∞P(An).

Ako je A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ · · · , tada je

(+∞⋂i=1

)= lim

n→+∞P(An).

(+∞⋃i=1

)= lim

n→+∞P(An).

Ako je A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ · · · , tada je

(+∞⋂i=1

)= lim

n→+∞P(An).

SLUCAJAN IZBOR

Iz konacnog skupa:Iz skupa S , |S | = n, bira se k elemenata. Kazemo da je izbor slucajan akosvaki podskup od k elemenata ima istu verovatnocu da bude izabran.(p = 1/

Iz prebrojivog skupa nije moguc slucajan izbor!!.

Iz neprebrojivog skupa: Izbor iz beskonacnog skupa koji se mozepredstaviti kao deo prave, ravni ili prostora je slucajan ako su verovatnoceizbora pojedinih podskupova proporcionalne njihovoj meri (duzini, povrsiniili zapremini), tj. ako dva podskupa iste mere imaju istu verovatnocu. Uovom slucaju verovatnoce se odreduju po pravilu geometrijske verovatnoce.

SLUCAJAN IZBOR

Za vezbanje: primeri 15-29. Primer 30 (Kombinacije sa ponavljanjem)Zadaci 4-28. Zadatak 3 zadaci 226-233.

profesor milan merkle [email protected] milanmerkle.etf.rs...

Documents