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Algebra Lineal

Profesor: H. Fabian Ramirez Ospina. Edificio: 404 Ofic: 311.E-mail: [email protected] Atencion: Mie 14-18.Blog: notasfabian.wordpress.com

EvaluacionTres Parciales (25% 30% 30%).................85%3 Quices (tema I,III,V) y participacion ...............15%

NOTA: Los quices se realizaran al inicio de la clase y son disenados apartir de los talleres. Pueden ser avisados o sorpresa.

H.F Ramirez Ospina Algebra lineal

Conceptos Basicos

La ecuacion:


Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)

es una ecuacion con variables x1, x2, x3.


Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)


La proposicionx − 2y + 3z + 1 = s + r − 2, (2)

si s y r son constantes reales (parametros), entonces es unaecuacion con variables x , y , z .


Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)




La proposicion

5− 3 = 2, 7 + 3 = 2 (3)

es una ecuacion con cualquier numero de variables.


Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)

es una ecuacion con variables x1, x2, x3.La proposicion

x − 2y + 3z + 1 = s + r − 2, (2)

si s y r son constantes reales (parametros), entonces es unaecuacion con variables x , y , z .La proposicion

5− 3 = 2, 7 + 3 = 2 (3)


DEF

Una solucion de una ecuacion con variables x1, x2, . . . , xn es una n-upla

tal que, al sustituir cada una de las variables de la ecuacion por las

componentes respectivas de la n-upla, obtenemos una identidad. Al

conjunto formado por todas las soluciones de una ecuacion lo llamaremos

conjunto solucion.


Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)




La proposicion

5− 3 = 2, 7 + 3 = 2 (3)


Es (1,−2, 1), (1, 0, 1) ∈ Conj Sol de (1)?.


Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)




La proposicion

5− 3 = 2, 7 + 3 = 2 (3)


Es (1,−2, 1), (1, 0, 1) ∈ Conj Sol de (1)?. SI, NO

Es (3s + 3r , s + r ,−1) es Sol de (2)?


Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)




La proposicion

5− 3 = 2, 7 + 3 = 2 (3)


Es (1,−2, 1), (1, 0, 1) ∈ Conj Sol de (1)?. SI, NO

Es (3s + 3r , s + r ,−1) es Sol de (2)? SI

La 1ra Ecuacion (3) siempre tiene solucionLa 2da Ecuacion (3) no tiene solucion, siempre es falsa, pues10 = 2 ⇒ Conj Sol= ∅.


Conceptos basicos

Ecuacion lineal. Una ecuacion que se puede escribir de la forma

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,

es una ecuacion lineal con variables x1, . . . , xn, coeficientes a1, . . . , an ytermino independiente b reales.


Conceptos basicos


a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,


Cuales de las siguientes ecuaciones son lineales?

a)√3x+πy−12z = 72/3w b)4x1+2x2+x3 =

3x2 + 5

4− 4x3c) cos(x1)+4x2−3 = 0


Conceptos basicos


a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,


Pivote: primer coef. diferente de ceroVariable Pivotal: variable que acompana al pivoteb = 0, se llama ecuacion lineal homogenea.


Conceptos basicos


a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,



PREG. ¿La variable pivotal es unica?


Conceptos basicos


a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,



PREG. ¿La variable pivotal es unica? R/ NOOOOOOOOO


Conceptos basicos


a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,



Ejemplo: La ecuacion

2x − y = 7 2x − y = 0


Conceptos basicos


a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,



Ejemplo: La ecuacion

2x − y = 7 2x − y = 0

Cual es el Conj. Sol de cada una de estas ecuaciones?


Conceptos basicos


a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,



Ejercicio: Encuentre todos los valores de a para los cuales cada una delas siguientes ecuaciones

(a − 3)x = 5 (a2 − 4)x = 0

i) tenga solucion unica,ii) tenga infinitas soluciones,iii) sea inconsistente (no tenga solucion)


Conceptos basicos

Sistema de Ecuaciones Lineales: Un sistema de m ecuaciones lineales conn variables x1, . . . , xn es un conjunto de m ecuaciones lineales de la forma

α11x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn = b1

α21x1 + α22x2 + · · ·+ α2nxn = b2...

... (4)

αm1x1 + αm2x2 + · · ·+ αmnxn = bm

El numero αij es el coeficiente de la variable xj en la ecuacion i y bi es eltermino independiente de la ecuacion i .


Conceptos basicos


α11x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn = b1

α21x1 + α22x2 + · · ·+ α2nxn = b2...

... (4)

αm1x1 + αm2x2 + · · ·+ αmnxn = bm


Si bi = 0, el sistema lo llamamos .


Conceptos basicos


α11x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn = b1

α21x1 + α22x2 + · · ·+ α2nxn = b2...

... (4)

αm1x1 + αm2x2 + · · ·+ αmnxn = bm


Si bi = 0, el sistema lo llamamos HOMOGENEO.


Conceptos basicos


α11x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn = b1

α21x1 + α22x2 + · · ·+ α2nxn = b2...

... (4)

αm1x1 + αm2x2 + · · ·+ αmnxn = bm


Si bi = 0, el sistema lo llamamos HOMOGENEO.

El siguiente conjunto de ecuaciones

x1 + 2x2 = −32x1 + 3x2 − 2x3 = −10

x1 + 2x2 = 02x1 + 3x2 − 2x3 = 0


DEF

Una solucion de un sistema de ecuaciones lineales con variables

x1, x2, . . . , xn es una n-upla que es solucion de todas y cada una de las

ecuaciones del sistema. Al conjunto formado por todas las soluciones de

un sistema lo llamamos conjunto solucion.


Ejemplo: Sean

(a)x − y = 22x − 2y = 4

(b)x − y = 2x − y = 4

(c)x − y = 1x + y = 3


Ejemplo: Sean

(a)x − y = 22x − 2y = 4

(b)x − y = 2x − y = 4

(c)x − y = 1x + y = 3

Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales son: infinitas(a),ninguna(b) y solo una(c)


Si el sistema 3x3 las posibles soluciones graficamente serıan: (esto loestudiaremos mas adelante en detalle

Infinitas soluciones Solucion unica

Ninguna solucionH.F Ramirez Ospina Algebra lineal

PREG. Todo sistema de ecuaciones lineales homogeneo es consistente?


PREG. Todo sistema de ecuaciones lineales homogeneo es consistente? SI



DEF

Decimos que dos sistemas son equivalentes, si tienen el mismo conjunto

de soluciones.

Ejemplo: Sean

(a)x − y = 1x + y = 3

(b)x − y = 1

y = 1

ya que ambos tienen como unica solucion (2, 1).



DEF


de soluciones.

Ejemplo: Sean

(a)x − y = 1x + y = 3

(b)x − y = 1

y = 1

ya que ambos tienen como unica solucion (2, 1).

Los sistemas que tienen el ”patron escalonado” son faciles de resolver.



DEF


de soluciones.

Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

x − y − z = 23x − 3y + 2z = 162x − y + z = 9

x − y − z = 2y + 3z = 5

5z = 10



DEF


de soluciones.


x − y − z = 23x − 3y + 2z = 162x − y + z = 9

Despues de hallar el ”patron escalonado”, es facil encontrar la solucionmediante el metodo de sustitucion hacia atras


Representacion Matricial:

Representacion matricial del sistema

x − y − z = 23x − 3y + 2z = 162x − y + z = 9

A =

1 −1 −1 23 −3 2 162 −1 1 9

Pivote de una fila de una matriz A: es el primer elemento de la fila, deizquierda a derecha, que es diferente de cero.




x − y − z = 23x − 3y + 2z = 162x − y + z = 9

A =

1 −1 −1 23 −3 2 162 −1 1 9


Las operaciones elementales entre ecuaciones Ei se pueden interpretarcomo operaciones entre filas Fi en esta matriz A




x − y − z = 23x − 3y + 2z = 162x − y + z = 9

A =

1 −1 −1 23 −3 2 162 −1 1 9


OPERACIONES ELEMENTALES:

Escalamiento: Reemplazar la ecuacion Fi , por un multiplo de esta, cFi

Eliminacion: Reemplazar la ecuacion Fi , por la suma de esta con unmultiplo de otra, Fi + cFj .

Permutacion: Intercambiar las ecuaciones i y j , Fi y Fj .




x − y − z = 23x − 3y + 2z = 162x − y + z = 9

A =

1 −1 −1 23 −3 2 162 −1 1 9


OPERACIONES ELEMENTALES:

Escalamiento: Reemplazar la ecuacion Fi , por un multiplo de esta, cFi

Eliminacion: Reemplazar la ecuacion Fi , por la suma de esta con unmultiplo de otra, Fi + cFj .

Permutacion: Intercambiar las ecuaciones i y j , Fi y Fj .

Que significan:

F2 − 3F1 → F2, F3 − 2F1 → F3, F2 ↔ F3


DEF

Decimos que dos matrices son equivalentes si al efectuar operaciones

elementales entre filas a una de ellas, se obtiene la otra.


DEF

Decimos que dos matrices son equivalentes si al efectuar operaciones

elementales entre filas a una de ellas, se obtiene la otra.

Las matrices

A =

1 −1 −1 23 −3 2 162 −1 1 9

y B =

1 −1 −1 20 1 3 50 0 5 10

Son equivalentes, si aplicamos F2 − 3F1 → F2, F3 − 2F1 → F3 y F2 ↔ F3

a A obtenemos B


Eliminacion de Gauss:

La idea consiste en llevar la matriz aumentada del sistema dado a otraequivalente con ”patron escalonado”, que corresponda a un sistema quepueda ser resuelto por medio de sustitucion hacıa atras.




DEF

Una matriz es escalonada si posee las siguientes caracterısticas:




DEF


Cualquier fila cuyas componentes sean todas cero, se encuentra en la

parte inferior de la matriz

Ejemplo: Matrices escalonadas.

1 −2 1 10 6 −1 −50 0 −1/3 7/30 0 0 0

,

3 1 0 −2 00 0 2 3 10 0 0 0 −5




DEF




Cada pivote esta a la izquierda de cualquier otro pivote por debajo

de el.


1 −2 1 10 6 −1 −50 0 −1/3 7/30 0 0 0

,

3 1 0 −2 00 0 2 3 10 0 0 0 −5




DEF




Cada pivote esta a la izquierda de cualquier otro pivote por debajo

de el.


1 −2 1 10 6 −1 −50 0 −1/3 7/30 0 0 0

,

3 1 0 −2 00 0 2 3 10 0 0 0 −5

PREG. ¿Cuales son los pivotes y las columnas pivotales?


Eliminacion de Gauss

Objetivo: Dada una matriz, encontrar una matriz escalonada equivalentea la matriz dada

1 Identifique la primera columna, de izquierda a derecha, que no seade solo ceros.





2 Si la primera componente de esta columna es un cero, intercambie laprimera fila con una que tenga una componente no cero en estacolumna. Esta componente no cero sera el pivote de esta columna.






3 Aplique sucesivamente operaciones elementales para obtener cerosdebajo del pivote de esta columna.







4 Repıta este procedimiento con otro pivote.







4 Repıta este procedimiento con otro pivote.

Ejemplo: Aplicando el Metodo de Eliminacion de Gauss encuentre unamatriz escalonada equivalente a la matriz

2 −2 4 13 0 5 −9/20 2 −2/3 −16 −3 11 −5

F2 −3

2F1 → F2

F4 − 3F1 → F4

F3 −2

3F2 → F3

F4 − F2 → F4

F4 +2

3F3 → F4

2 −2 4 10 3 −1 −60 0 0 30 0 0 0


Sist de ecuaciones y Eliminacion de Gauss


2x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matriz Ampl

2 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5




2x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matriz Ampl

2 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5


F2 − F1 → F2

F3 − 1

2F1 → F3

F3 +3

4F2 → F3

Matriz Esc

2 1 1 30 2 0 20 0 −5/2 −5




2x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matriz Ampl

2 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5


F2 − F1 → F2

F3 − 1

2F1 → F3

F3 +3

4F2 → F3

Matriz Esc

2 1 1 30 2 0 20 0 −5/2 −5

Variables pivotales: son las variables correspondientes a las columnas conpivotes

Variables libres: son las variables correspondientes a las columnas que notienen pivotes.




2x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matriz Ampl

2 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5


F2 − F1 → F2

F3 − 1

2F1 → F3

F3 +3

4F2 → F3

Matriz Esc

2 1 1 30 2 0 20 0 −5/2 −5

Variables pivotales: son las variables correspondientes a las columnas conpivotes

Variables libres: son las variables correspondientes a las columnas que notienen pivotes.

Entonces x1, x2 y x3 son las variables pivotales y que no hay variableslibres.




2x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matriz Ampl

2 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5


F2 − F1 → F2

F3 − 1

2F1 → F3

F3 +3

4F2 → F3

Matriz Esc

2 1 1 30 2 0 20 0 −5/2 −5

Sistema correspondiente a la matriz aumentada escalonada

2x1 + x2 + x3 = 32x2 = 2

− 5

2x3 = −5

Sustitucion Hacia Atras

x3 = 2x2 = 1

2x1 = 0

Unica solucion (0, 1, 2)


Sist de ecuaciones y eliminacion de Gauss


x − y − z + 2w = 12x − 2y − z + 3w = 3

−x + y − z = −3Matriz Ampl

1 −1 −1 2 12 −2 −1 3 3

−1 1 −1 0 −3




x − y − z + 2w = 12x − 2y − z + 3w = 3


1 −1 −1 2 12 −2 −1 3 3

−1 1 −1 0 −3


F2 − 2F1 → F2

F3 + F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

Matriz Esc

1 −1 −1 2 10 0 1 −1 10 0 0 0 0




x − y − z + 2w = 12x − 2y − z + 3w = 3


1 −1 −1 2 12 −2 −1 3 3

−1 1 −1 0 −3


F2 − 2F1 → F2

F3 + F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

Matriz Esc

1 −1 −1 2 10 0 1 −1 10 0 0 0 0

Entonces x y z son las variables pivotales, y y w son variables libres.




x − y − z + 2w = 12x − 2y − z + 3w = 3


1 −1 −1 2 12 −2 −1 3 3

−1 1 −1 0 −3


F2 − 2F1 → F2

F3 + F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

Matriz Esc

1 −1 −1 2 10 0 1 −1 10 0 0 0 0


x − y − z + 2w = 1z − w = 1

Sustitucion Hacia Atrasz = 1 + w

x = 2 + y − w

Tiene infinitas soluciones, ya que las variables y y w pueden tomarcualquier valor. Conj Sol=?




x − y − z + 2w = 02x − 2y − z + 3w = 0

−x + y − z = 0Matriz Ampl

1 −1 −1 2 02 −2 −1 3 0

−1 1 −1 0 0




x − y − z + 2w = 02x − 2y − z + 3w = 0


1 −1 −1 2 02 −2 −1 3 0

−1 1 −1 0 0


F2 − 2F1 → F2

F3 + F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

Matriz Esc

1 −1 −1 2 00 0 1 −1 00 0 0 0 0




x − y − z + 2w = 02x − 2y − z + 3w = 0


1 −1 −1 2 02 −2 −1 3 0

−1 1 −1 0 0


F2 − 2F1 → F2

F3 + F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

Matriz Esc

1 −1 −1 2 00 0 1 −1 00 0 0 0 0

Entonces x y z son las variables pivotales, y y w son variables libres.




x − y − z + 2w = 02x − 2y − z + 3w = 0


1 −1 −1 2 02 −2 −1 3 0

−1 1 −1 0 0


F2 − 2F1 → F2

F3 + F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

Matriz Esc

1 −1 −1 2 00 0 1 −1 00 0 0 0 0


x − y − z + 2w = 0z − w = 0

Sustitucion hacia atrasz = w

x = y − w

Tiene infinitas soluciones, ya que las variables y y w pueden tomarcualquier valor. Conj Sol=?




2x − y + 3z = 0x + 2y − z = 2−5y + 5z = −1

Matriz Ampl

2 −1 3 01 2 −1 20 −5 5 −1




2x − y + 3z = 0x + 2y − z = 2−5y + 5z = −1

Matriz Ampl

2 −1 3 01 2 −1 20 −5 5 −1


F2 − 1

2F1 → F2

F3 + 2F2 → F3

Matriz Esc

2 −1 3 00 5/2 −5/2 20 0 0 3




2x − y + 3z = 0x + 2y − z = 2−5y + 5z = −1

Matriz Ampl

2 −1 3 01 2 −1 20 −5 5 −1


F2 − 1

2F1 → F2

F3 + 2F2 → F3

Matriz Esc

2 −1 3 00 5/2 −5/2 20 0 0 3

Entonces x y y son las variables pivotales, y la columna de los terminosindependientes es una columna pivotal, z es una variable libre.




2x − y + 3z = 0x + 2y − z = 2−5y + 5z = −1

Matriz Ampl

2 −1 3 01 2 −1 20 −5 5 −1


F2 − 1

2F1 → F2

F3 + 2F2 → F3

Matriz Esc

2 −1 3 00 5/2 −5/2 20 0 0 3


2x − y + 3z = 05

2y − 5

2z = 20 = 3

Obtenemos una ecuacion que no tiene solucion, 0 = 3, por tanto elsistema no tiene solucion. Conj Sol= ∅


Ejercicio

Para cada una de las siguientes situaciones, respecto del tamano delsistema de ecuaciones lineales (recuerde! N◦ de ecuaciones × N◦ devariables) y el numero de variables pivotales. ¿Que puede decirsesobre el tipo de conjunto solucion del sistema?Tamano del sistema

3×44×33×45×5

N◦ de variables pivotales34?25


Ejercicio

Para cada una de las siguientes situaciones, respecto del tamano delsistema de ecuaciones lineales (recuerde! N◦ de ecuaciones × N◦ devariables) y el numero de variables pivotales. ¿Que puede decirsesobre el tipo de conjunto solucion del sistema?Tamano del sistema

3×44×33×45×5

N◦ de variables pivotales34?25

Si en el proceso de escalonar la matriz aumentada de un sistema deecuaciones lineales, se obtiene

√2 0 3 −1 4 00 2 2 −π −1 10 0 0 a −1 50 0 0 0 b2 − b b

a) El sistema es consistente cuando a = b = 0?.b) Si b = 2 y a 6= 0, ¿Que puede decirse del conjunto solucion?c) Si b = 1 y a 6= 0, ¿Que puede decirse del conjunto solucion?


Eliminacion de Gauss + Sustitucion hacia atras


1 1 1 30 1 −1 −10 0 −5 −10

− 1

5F3 → F3

1 1 1 30 1 −1 −10 0 1 2




1 1 1 30 1 −1 −10 0 −5 −10

− 1

5F3 → F3

1 1 1 30 1 −1 −10 0 1 2

Obtengamos ceros encima del pivote

F2 + F3 → F2

F1 − F3 → F1

1 1 0 10 1 0 10 0 1 2

F1 − F2 → F1

1 0 0 00 1 0 10 0 1 2




1 1 1 30 1 −1 −10 0 −5 −10

− 1

5F3 → F3

1 1 1 30 1 −1 −10 0 1 2

Obtengamos ceros encima del pivote

F2 + F3 → F2

F1 − F3 → F1

1 1 0 10 1 0 10 0 1 2

F1 − F2 → F1

1 0 0 00 1 0 10 0 1 2

Solucion unica


Eliminacion de Gauss + Jordan

Consiste en convertir el pivote en 1, luego introducir ceros debajo delpivote y despues introducir ceros encima de el, para cada columna pivotal.Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales por Gauss-Jordan

x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matriz Ampl

1 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5

.




x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matriz Ampl

1 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5

Primer pivote 1.




x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matriz Ampl

1 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5

Primer pivote 1.

F2 − 2F1 → F2

F3 − F1 → F3

1 1 1 30 1 −1 −10 −2 −3 −8

F3 + 2F2 → F3

F1 − F2 → F1

1 0 2 40 1 −1 −10 0 −5 −10

Solucion unica




x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matriz Ampl

1 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5

Primer pivote 1.

F2 − 2F1 → F2

F3 − F1 → F3

1 1 1 30 1 −1 −10 −2 −3 −8

F3 + 2F2 → F3

F1 − F2 → F1

1 0 2 40 1 −1 −10 0 −5 −10

−1

5F3 → F3

1 0 2 40 1 −1 −10 0 1 2

F2 + F3 → F2

F1 − 2F3 → F1

1 0 0 00 1 0 10 0 1 2

por lo tanto, (0, 1, 2) es la unica solucion del sistema.H.F Ramirez Ospina Algebra lineal

Solucion Simultanea de sist lineales

Hallar la solucion a los siguientes sistemas

z + 2w = −33x − 6y − 3z = 12−2x + 4y − 4w = −2

x3 + 2x4 = 03x1 − 6x2 − 3x3 = −9−2x1 + 4x2 − 4x4 = 4




z + 2w = −33x − 6y − 3z = 12−2x + 4y − 4w = −2

x3 + 2x4 = 03x1 − 6x2 − 3x3 = −9−2x1 + 4x2 − 4x4 = 4

La matriz de coeficientes de los dos sistemas es la misma, entonces

Matriz Ampl

0 0 1 2 −3 03 −6 −3 0 12 −9

−2 4 0 −4 −2 4




z + 2w = −33x − 6y − 3z = 12−2x + 4y − 4w = −2

x3 + 2x4 = 03x1 − 6x2 − 3x3 = −9−2x1 + 4x2 − 4x4 = 4


Matriz Ampl

0 0 1 2 −3 03 −6 −3 0 12 −9

−2 4 0 −4 −2 4

F1 ↔ F2

F3 −2

3F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

3 −6 −3 0 12 −90 0 1 2 −3 00 0 0 0 0 −2




z + 2w = −33x − 6y − 3z = 12−2x + 4y − 4w = −2

x3 + 2x4 = 03x1 − 6x2 − 3x3 = −9−2x1 + 4x2 − 4x4 = 4


Matriz Ampl

0 0 1 2 −3 03 −6 −3 0 12 −9

−2 4 0 −4 −2 4

F1 ↔ F2

F3 −2

3F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

3 −6 −3 0 12 −90 0 1 2 −3 00 0 0 0 0 −2

El segundo sistema no tiene solucion, y el primero cual es el conjuntosolucion?


Aplicaciones

Ejemplo: La compania de transportes Rodriguez se especializa en cargapesada, para lo cual dispone unicamente de tractomulas T, camionesgrandes C de motor 900 c.c. y los llamados dobletroques D. Los talleresReina de Bogota se disponen abrir una sucursal en la zona franca de Calicon una base de 32 tornos industriales y 10 fresadoras manuales. Para eltransporte de dicha maquinaria contratan a los Rodriguez quienes lesinforman que cada T puede transportar solo 2 tornos, cada C un torno yuna fresadora, mientras que cada D un torno y 2 fresadoras. Determineel numero de T, C y D que han de utilizar los Rodriguez para cumplirle alos talleres Reina.


Aplicaciones

Ejemplo: La compania de transportes Rodriguez se especializa en cargapesada, para lo cual dispone unicamente de tractomulas T, camionesgrandes C de motor 900 c.c. y los llamados dobletroques D. Los talleresReina de Bogota se disponen abrir una sucursal en la zona franca de Calicon una base de 32 tornos industriales y 10 fresadoras manuales. Para eltransporte de dicha maquinaria contratan a los Rodriguez quienes lesinforman que cada T puede transportar solo 2 tornos, cada C un torno yuna fresadora, mientras que cada D un torno y 2 fresadoras. Determineel numero de T, C y D que han de utilizar los Rodriguez para cumplirle alos talleres Reina.Ejercicio 1: Para fabricar insecticidas se utilizan tres clases decompuestos. Una unidad del insecticida Magnon requiere 10 mls deNuvan, 30 mls de Citronela B y 60 mls de petroleo. Una unidad delBaygon requiere 20 mls de Nuvan, 30 mls de Citronela y 50 mls depetroleo. Una unidad del insecticida Nocaut, requiere 50 mls de Nuvan y50 mls de petroleo. Si se disponen de 1600 mls de Nuvan, 1200 mls deCitronela y 3200 mls de petroleo. Determine cuantas unidades de los tresinsecticidas pueden producirse usando todos los componentes disponibles.


Aplicaciones

Ejercicio 2: Una empresaria necesita en promedio cantidades de yenesjaponeses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje denegocios. Este ano viajo tres veces. La primera vez cambio 2550 dolarescon las siguientes tasas 100 yenes por dolar, 0.6 libras por dolar y 1.6marcos por dolar. La segunda vez cambio 2840 dolares en total con lastasas de 125 yenes, 0.5 libras y 1.2 marcos por dolar. La tercera vezcambio un total de 2800 a 100 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por dolar.Cuantos yenes, libras y marcos compro cada vez?


Aplicaciones

Ejercicio 2: Una empresaria necesita en promedio cantidades de yenesjaponeses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje denegocios. Este ano viajo tres veces. La primera vez cambio 2550 dolarescon las siguientes tasas 100 yenes por dolar, 0.6 libras por dolar y 1.6marcos por dolar. La segunda vez cambio 2840 dolares en total con lastasas de 125 yenes, 0.5 libras y 1.2 marcos por dolar. La tercera vezcambio un total de 2800 a 100 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por dolar.Cuantos yenes, libras y marcos compro cada vez?Ejercicio 3: Un padre desea distribuir sus bienes raices, cuyo valor es234.000, entre sus 4 hijas de la siguiente manera: 2/3 de las propiedadesdeben dividirse por igual entre las 4 hijas. Para el resto, cada hija deberecibir 3000 cada ano hasta el vigesimo primer cumpleanos. Como entreellas se llevan 3 anos. ¿Cuanto recibirıa cada una de los bienes de supadre?. ¿Que edad tienen ahora esas hijas?


Una aplicacion a la trigonometrıa

Ejemplo: Demuestre la ley de los cosenos.

Es decir, que para el triangulo ABC se cumple

cos(α) =b2 + c2 − a2

2bc, cos(β) =

a2 + c2 − b2

2ac, cos(γ) =

a2 + b2 − c2

2ab


Una aplicacion a la trigonometrıa

Ejemplo: Demuestre la ley de los cosenos.

a = BD + DC . Luego,

c cos(β) + b cos(γ) = a

c cos(α) + a cos(γ) = b

a cos(β) + b cos(α) = c


Un problema de palancas en estatica

Ejemplo: Calcule los pesos w1,w2,w3 y w4 para balancear las siguientespalancas

Ley de la palanca Arquımedes: Dos masas en una palanca seequilibran cuando sus pesos son inversamente proporcionales a susdistancias al punto de apoyo


Un problema de palancas en estatica

Ejemplo: Calcule los pesos w1,w2,w3 y w4 para balancear las siguientespalancas

2w1 = 6w2

2w3 = 8w4

5(w1 + w2) = 10(w3 + w4)


Ejercicios

Determine la ecuacion de la parabola, con eje vertical y en el planoxy que pasa por los puntos (1, 4), (−1, 6) y (2, 9).


Ejercicios


Balanceo de Reacciones Quımicas


Ejercicios



El balanceo de reacciones quımicas consiste en introducir coeficientesenteros frente a cada uno de los reactivos, para que la cantidad deatomos de cada elemento sea igual en ambos lados de la ecuacion.


Ejercicios



Balancee la reaccion

a CH4 + b O2 → c CO2 + d H2O.

Es decir, calcule los coeficientes a, b, c , d que balanceen la ecuacion


Ejercicios




a CH4 + b O2 → c CO2 + d H2O.

Es decir, calcule los coeficientes a, b, c , d que balanceen la ecuacionObs: Note que la cantidad de atomos de C , H, O deben ser igualesen ambos lados.


Ejercicios




a CH4 + b O2 → c CO2 + d H2O.


Calcule a, b y c tales que los polinomiosax2 + 3x2 + 2ax − 2cx + 10x + 6c y −2bx2 − 3bx + 9+ a− 4b seaniguales.


Ejercicios




a CH4 + b O2 → c CO2 + d H2O.


Calcule a, b y c tales que los polinomiosax2 + 3x2 + 2ax − 2cx + 10x + 6c y −2bx2 − 3bx + 9+ a− 4b seaniguales.

Determine los valores de las constantes dadas (a y/o b) segun elcaso para los cuales los sistemas de ecuaciones

ax + bz = 2ax + ay + 4z = 4ay + 2z = b

(b − 1)x − 2y + 2z = 0−x + by − 2z = 0−x − y + (b − 1)z = 0

x + y + 3z = 2x + 2y + 4z = 3x + 3y + az = b


profesor: h. fabian ramirez ospina. edificio: 404 ofic: 311 ...conceptos básicos la ecuacioń:...

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