prof.dr snežana marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/beton-novi nastavni... · prsline i naponi...
TRANSCRIPT
![Page 1: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/1.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1
Teorija betonskih konstrukcija 1Prof.dr Snežana Marinković
![Page 2: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/2.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 2
Sadržaj• Uvod• Osnove proračuna• Osobine materijala• Analiza• ULS-Savijanje• ULS-Smicanje• ULS-Torzija• ULS-Stabilnost• ULS-Strut&tie modeli• Trajnost• Performance based design• Ploče u jednom pravcu
![Page 3: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/3.jpg)
ULS – savijanje sa i bez N
U elementima AB konstrukcija su moguće razne kombinacije momenatasavijanja i aksijalnih sila, uključujući i dve granične: samo momentsavijanja (M≠0; N=0) i samo aksijalna sila (M=0; N≠0).U realnimkonstrukcijama ovi slučajevi su retki, ali se ponekad realne kombinacijemogu njima aproksimirati.
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 3
![Page 4: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/4.jpg)
ULS – savijanje sa i bez N
M
As1
As2
N
σc2
σc1
presek bez prsline
σs1/n
M
As1
As2
σc
N
presek sa prslinomN/A ↔ M/W
?
N/A > M/W N/A < M/W (N=0)n n
n n
sila pritiska
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 4
PRORAČUNSKI MODEL PRESEKA
)W/M()A/N( ii2,1 ±=σ
![Page 5: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/5.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 5
ULS – čisto savijanjePrsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje
![Page 6: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/6.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 6
ULS – čisto savijanje
![Page 7: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/7.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 7
ULS – čisto savijanje
![Page 8: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/8.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 8
ULS – čisto savijanje
Pri određivanju granične nosivosti armiranobetonskih poprečnih presekausvajaju se sledeće pretpostavke:- ravni preseci ostaju ravni i posle deformacije – dijagram dilatacija po visinipreseka je linearan,- dilatacija u armaturi je jednaka dilataciji okolnog betona,- zanemaruje se nosivost betona na zatezanje,- naponi u pritisnutom betonu se određuju prema proračunskom dijagramunapon – dilatacija betona - radni dijagram betona,- naponi u armaturi se određuju prema proračunskom dijagramu napon –dilatacija čelika – radni dijagram čelika.
cs εε =
![Page 9: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/9.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 9
ULS – čisto savijanje
c
c
fck
fcd
c2 cu2
A
B
Za radni dijagram betona RDB usvaja se veza parabola-prava (B):
Za klase betona C≤50/60:
−−=2
002.011 c
cdc fεσ
cdc f=σza 0 ≤ εc ≤ 2ä
za 2ä ≤ εc ≤ 3.5ä
5.1/85.0 ckcd ff =
Za radni dijagram čelika za armiranje RDČ usvaja se dijagram (B):
sss E εσ = za 0 ≤ εs ≤ fyd/Es
yds f=σ za εs ≥ fyd/Es
15.1/ykyd ff = GPaEs 200=
![Page 10: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/10.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 10
ULS – čisto savijanje
h – visina preseka
b – širina preseka
d1 – rastojanje težišta zategnute armature od zategnute ivice preseka
d = h-d1 statička visina
Gc – težište bruto preseka
As1 – površina zategnute armature
Fc – unutrašnja sila, rezultanta napona pritisaka u betonu
Fs1 – unutrašnja sila, sila zatezanja u armaturi
x - rastojanje neutralne linije od pritisnute ivice preseka
ξ – koeficijent položaja neutralne linije =x/d
β2x – rastojanje sile pritiska Fc od pritisnute ivice
z – krak unutrašnjih sila, rastojanje između Fc i Fs1
ζ – koeficijent kraka unutrašnjih sila =z/d
x=ξ×
d
z=×
d×
x
dh
d -
x
d1
d1
Napomena: sve veličine suproračunske, ali se izostavlja indeksd zbog jednostavnosti (osim za MEd).
OZNAKE
JEDNOSTRANO ARMIRANI PRESECI
![Page 11: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/11.jpg)
ULS – čisto savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 11
Moguća stanja dilatacija u preseku
![Page 12: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/12.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 12
ULS – čisto savijanje
Potrebno je odrediti dimenzije preseka b i h i površinu armature As1 iz uslova:
MEd – proračunska vrednost spoljašnjeg momenta savijanja;MRd – proračunska vrednost momenta nosivosti preseka.
Na raspolaganju su dva uslova ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila u preseku:
= 0N 01 =− sc FF
= 0sM
oko težišta zategnute armature
EdscRds MzFM ==
RdRds MM =EdEds MM =
RdEd MM ≤
![Page 13: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/13.jpg)
ULS – čisto savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 13
S obzirom na usvojeni radni dijagram čelika, stanje loma u presekunastaje dostizanjem loma po betonu, dakle za:
0035.0=cε cdc f=σ
=x
cc dyybyF0
)()(σ
+
−−==x
x
cd
x x
ccdcc dybfdy
ybfdyybF
571.00
571.0
0
2
002.0
)(11)(
εσ
Rezultanta napona pritisaka u betonu Fc:
Za b=const:
RDB
![Page 14: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/14.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 14
ULS – čisto savijanje
Kada se u ovaj izraz unese veza koja proističe iz pretpostavke o linearnoj raspodelidilatacija po visini preseka:
x
yy cuc 2)( εε =
i izvrši integracija, rezultujuća sila pritiska se može prikazati u obliku:
cdcdc dbfxbfF ξββ 11 ==
gde je β1 koeficijent punoće dijagrama napona pritiska u betonu,za :
810.01 =β0035.02 == cuc εε
cdc dbfF ξ810.0=Sila Fc deluje u težištu naponskog dijagrama. Koeficijent β2, za usvojenu σ-ε vezu i iznosi:0035.02 == cuc εε
416.02 =β
![Page 15: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/15.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 15
ULS – čisto savijanjeMogu se uspostaviti sledeće veze:
12
2
scu
cudxεε
ε+
=12
2
scu
cu
d
x
εεεξ
+== 21
1cus ε
ξξε −=
( )ξβξββ 222 1−=−=−= dddxdz ξβζ 21−==d
z
Pa uslov ravnoteže po momentima postaje:
( ) ( )ξξξβξβ 416.01810.01 2
21 −=−=== cdcdcEdEds fbdddbfzFMM
( )ξξ 416.01810.02
−=cd
Ed
fbd
M
A uslov ravnoteže po silama, pod pretpostavkom :yds f=σ
1sc FF = ydscd fAbdf 11 =ξβ
bdf
fbd
f
fbd
f
fA
yd
cd
yd
cd
yd
cds 111 810.0 ωξξβ ===
ξξβω 810.011 == mehanički koeficijent armiranja
(1)
(2)
![Page 16: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/16.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 16
ULS – čisto savijanje
Iz jednačine (1) se sračunava statička visina:
( ) cd
Ed
cd
Ed
bf
Mk
bf
Md =
−=
ξξ 416.01810.0
1
ili, ako se uvede oznaka:
( )ξξµ 416.01810.02
−==cd
Ed
fbd
M
cd
Ed
bf
Md
µ=
Iz jednačine (2) se sračunava As1, ili, alternativno:
yd
Ed
yd
Ed
sdf
M
zf
MA
ζ==1
![Page 17: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/17.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 17
ULS – čisto savijanje
Svi koeficijenti neophodni za proračun: ξ, k, ω1, ζ, μ su funkcija dilatacijau betonu i čeliku. Kako dilatacija u betonu mora biti jednaka graničnoj,izborom dilatacije čelika su određeni svi potrebni koeficijenti, pa se mogutabulisati.
εs1 (‰) ξ ζ ω1 (%) k μ
18,00 0,163 0,932 13,178 2,853 0,123
17,50 0,167 0,931 13,492 2,822 0,126
17,00 0,171 0,929 13,821 2,791 0,128
16,50 0,175 0,927 14,167 2,759 0,131
16,00 0,179 0,925 14,530 2,727 0,134
![Page 18: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/18.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 18
ULS – čisto savijanjeMinimalna i maksimalna površina armature
Minimalna površina armature se propisuje da bi se sprečio krtilom, prsline velike širine i da bi se prihvatile sile usled sprečenihdejstava.
Iz uslova sprečavanja krtog loma potrebno je obezbediti minimalnuzategnutu armaturu koja u trenutku pojave prsline može da prihvatinapone zatezanja u preseku:
ctmccr fWM =
zfAM ydscr 1=
Mcr moment pojave prslina,Wc otporni moment bruto betonskog preseka.
![Page 19: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/19.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 19
ULS – čisto savijanje
Može se približno usvojiti da je z≈0.9d, a d≈0.9h, pa je:
hz 81.0≈
6/81.0 2
1 bhfhfA ctmyds =
15.1/ykyd ff =dh 1.1≈
bdf
fA
yk
ctm
s 26.0min,1 =
gde je b srednja širina zategnute zone. Isti izraz daje EC2.
pa je minimalna površina zategnute armature:
zfAfWM ydsctmccr 1==
![Page 20: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/20.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 20
ULS – čisto savijanjeIz uslova obezbeđenja duktilnog loma propisuje se maksimalna površinaarmature. Prema našem Nacionalnom prilogu, maksimalna površinazategnute As1 i pritisnute As2 armature iznosi:
hbA ws 04.01 ≤ hbA ws 04.02 ≤
yk
ck
ssf
fhbAA 1121 28.0≤−
gde je bw=b1=b i h1=h za pravougaone preseke.
U slučaju da je presek armiran samo zategnutom armaturom, odnosnoAs2=0, sledi:
yd
cd
yd
cd
yk
ck
sf
fbh
f
fbh
f
fbhA 430.0
15.1
85.0/5.128.028.0max,1 === sprečavanje krtog
loma po betonu!
![Page 21: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/21.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 21
ULS – čisto savijanjeUz h≈1.1d, dobija se:
Iz ove jednačine slede granične vrednosti:
%3.47473.0lim,1 ==ω
584.0810.0/lim,1lim == ωξ
0025.00035.0584.0
584.01lim,1 =−=sε
( ) 671.1584.0416.01584.0810.0
1lim =
⋅−⋅=k
757.0584.0416.01lim =⋅−=ζ
s
yd
sE
f=lim,1ε
NAPOMENA: Ukoliko se, kod statičkineodređenih nosača, primenjujelinearna elastična analiza saograničenom preraspodelom, zahtevipo pitanju graničnog položajaneutralne linije su mnogo strožiji(EC2).
( ) 358.0584.0416.01584.0810.0lim, =⋅−⋅=Rdµ
yd
cd
yd
cd
sf
fbd
f
fbdA 1max,1 473.0 ω==
![Page 22: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/22.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 22
ULS – čisto savijanje
Mogući zadaci dimenzionisanja
- Slobodno dimenzionisanje – sa izabranim kvalitetom materijala (klasabetona i čelika) i širinom preseka b, računa se potrebna visina preseka h ipotrebna površina zategnute armature;- Vezano dimenzionisanje – za presek zadatih dimenzija b i h i za zadatkvalitet materijala, računa se potrebna površina zategnute armature i,eventualno pritisnute armature;- Određivanje momenta nosivosti MRd za presek zadatih dimenzija,zadate površine armature i za zadat kvalitet materijala.
cd
Ed
bf
Mkd =
bdf
fA
yd
cd
s 11 ω=
![Page 23: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/23.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 23
ULS – čisto savijanje
U slučaju slobodnog dimenzionisanja bira se dilatacija čelika vodeći računa da je:
Iz tablica se mogu očitati sve veličine potrebne zasračunavanje statičke visine preseka i površinezategnute armature. Nakon usvajanja potrebnogbroja šipki armature određenog prečnika, i njihovogpravilnog raspoređivanja u preseku, računa seodstojanje težišta armature do zategnute ivice d1 idobija ukupna visina preseka:
1ddh +=
udss εεε ≤≤ 1lim,1
εud proračunska vrednost dilatacije čelika koja odgovara čvrstoći na zatezanje, za klasu B =0.9∙εuk=45ä
cd
Ed
bf
Mkd =
bdf
fA
yd
cd
s 11 ω=
![Page 24: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/24.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 24
ULS – čisto savijanje
U slučaju vezanog dimenzionisanja, stanje dilatacija, odnosnodilatacija zategnute armature je određena, pa treba proveriti da li jeispunjen uslov:
lim,11 ss εε ≥Ako je ispunjen, računa se potrebna površina zategnute armaturekorišćenjem veličina iz tablica, i sa pretpostavkom:
hhd 01.005.01 ÷=
koja se, nakon usvajanja i raspoređivanja armature, proverava.
Ukoliko navedeni uslov nije ispunjen, presek se armira i pritisnutomarmaturom.
cd
Ed
bf
Mkd =
bdf
fA
yd
cd
s 11 ω=
![Page 25: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/25.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 25
ULS – čisto savijanjeOBOSTRANO ARMIRANI PRESECI
Ukoliko se pri vezanom dimenzionisanju dobije da je:
671.1lim =< kkodnosno
0025.0lim,11 =< ss εε
584.0lim => ξξ
presek se armira pritisnutom armaturom da bi se dilatacija zategnutearmature, odnosno položaj neutralne linije zadržao na graničnomnivou.
Moment nosivosti jednostrano armiranog preseka, pri dostizanju ovih graničnihvrednosti, iznosi:
cdRd bfk
dM
2
lim
lim,
=
cdRdRd fbdM 2
lim,lim, µ=ili
a odgovarajuća zategnuta armatura:yd
cds
f
fbdA lim,1lim,1 ω= ili
yd
Rd
sdf
MA
lim
lim,
lim,1 ζ=
cd
Ed
bf
Mkd =
bdf
fA
yd
cd
s 11 ω=
![Page 26: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/26.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 26
ULS – čisto savijanjeRazlika momenata savijanja
lim,RdEd MMM −=∆
prihvata se spregom sila:
2
12dd
MFF ss −
∆=∆=
( ) 222
22
ss
ss
dd
MFA
σσ −∆==
2
lim
2lim
2 cus
d
d
εξ
ξε
−= ydsss fE ≤= 22 εσ
( ) yds
s
sfdd
MFA
21
1
1 −∆=
∆=∆
σ
( ) ydyd
cd
sssfdd
M
f
fbdAAA
2
lim,11lim,11 −∆+=∆+= ω
cd
Ed
bf
Mkd =
bdf
fA
yd
cd
s 11 ω=
![Page 27: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/27.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 27
ULS – složeno savijanje
U slučaju preseka opterećenog momentom savijanja i normalnomsilom pritiska ili zatezanja (napadna tačka sile na osi simetrijepreseka) razlikuju se dva slučaja:
- neutralna linija je unutar poprečnog preseka hx ≤
- neutralna linija je van poprečnog preseka hx >
U slučaju da se neutralna linija nalazi unutar poprečnog preseka,koristi se isti proračunski model preseka kao za čisto savijanje,odnosno model preseka sa prslinom.
![Page 28: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/28.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 28
ULS – složeno savijanje
NEUTRALNA LINIJA UNUTAR PRESEKA – veliki ekscentricitet
JEDNOSTRANO ARMIRANI PRESECI
= 0N Edsc NFF =− 1
= 0sM EdscRds MzFM ==
−+= 12
dh
NMM EdEdEds
oko težišta zategnute armature
![Page 29: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/29.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 29
ULS – složeno savijanje
Ed
Eds
Edcydss Nz
MNFfAF −=−== 11
yd
Ed
yd
cds
f
N
f
fbdA −= 11 ω
Iz uslova ravnoteže po momentima dolazi se do istog izraza kaokod čistog savijanja:
( )ξξ 416.01810.02
−=cd
Eds
fbd
M
odnosno do:cd
Eds
bf
Mkd =
cd
Eds
bf
Md
µ=ili µ=
cd
Eds
fbd
M2
Iz uslova ravnoteže po silama:
odakle sledi:
yd
Ed
yd
Edss
f
N
df
MA −=
ζ1ili
Izrazi su napisani za silu pritiska. Ukoliko na presek deluje silazatezanja, treba je uneti sa negativnim znakom.
![Page 30: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/30.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 30
ULS – složeno savijanje
Ukoliko se pri vezanom dimenzionisanju dobije da je:
presek se armira pritisnutom armaturom da bi se dilatacija zategnutearmature, odnosno položaj neutralne linije zadržao na graničnomnivou.
Moment nosivosti jednostrano armiranog preseka, pri dostizanju ovihgraničnih vrednosti, iznosi:
a odgovarajuća zategnuta armatura:
yd
Ed
yd
cd
sf
N
f
fbdA −= lim,1lim,1 ω
yd
Ed
yd
Rd
sf
N
df
MA −=
lim
lim,
lim,1 ζ
ili
ili
NEUTRALNA LINIJA UNUTAR PRESEKA – veliki ekscentricitet
OBOSTRANO ARMIRANI PRESECI
0025.0lim,11 =< ss εε
cd
Eds
bf
Mkd =
yd
Ed
yd
cds
f
N
f
fbdA −= 11 ω
cd
2
limlim,Rds f
kM b
d
= cd
2lim,Rdlim,Rds fM bdµ=
![Page 31: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/31.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 31
ULS – složeno savijanje
Razlika momenata savijanja:
prihvata se spregom sila:2
12dd
MFF ss −
∆=∆=
Potrebna površina pritisnute armature je:
( ) 222
2
2
ss
s
sdd
MFA
σσ −∆== ydsss fE ≤= 22 εσ
Potrebna površina dodatne zategnute armature je:
( ) yds
ss
fdd
MFA
21
11 −
∆=∆
=∆σ
Pa je potrebna ukupna zategnuta armatura:
( ) ydyd
Ed
yd
cd
sssfdd
M
f
N
f
fbdAAA
2
lim,11lim,11 −∆+−=∆+= ω
( ) ydyd
Ed
yd
Rd
sssfdd
M
f
N
df
MAAA
2lim
lim,
1lim,11 −∆+−=∆+=
ζ
ili
cd
Eds
bf
Mkd =
yd
Ed
yd
cds
f
N
f
fbdA −= 11 ω
lim,RdsEds MMM −=∆
![Page 32: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/32.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 32
ULS – složeno savijanjeMogući zadaci dimenzionisanja
- Slobodno dimenzionisanje – sa izabranim kvalitetom materijala (klasabetona i čelika) i širinom preseka b, računa se potrebna visina preseka h ipotrebna površina zategnute armature; postupak je, za razliku od čistogsavijanja, iterativan;- Vezano dimenzionisanje – za presek zadatih dimenzija b i h i za zadatkvalitet materijala, računa se potrebna površina zategnute armature i,eventualno pritisnute armature;- Određivanje momenta nosivosti MRd za presek zadatih dimenzija, zadatepovršine armature, zadat kvalitet materijala i za zadatu silu NEd.
Koriste se iste tablice za dimenzionisanje kao u slučaju čistog savijanja.
cd
Eds
bf
Mkd =
yd
Ed
yd
cds
f
N
f
fbdA −= 11 ω
![Page 33: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/33.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 32a
Određivanje momenta nosivosti MRd
0NFFF Ed1s2sc =−−+
2s2s Aσ=
2s1s Aσ=
Fc- unutrašnja sila pritiska u betonu
Fs2
s2 s2 s2F σ A=,
s1 s1 s2F σ A=
0NAAf810.0 Ed1s1s2s2scd =−σ−σ+ξdb
( )
−−−+=
−−= 1Ed22sc1EdRdsRd 2NFF
2NMM d
hddzd
h
ξ
![Page 34: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/34.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 33
ULS – složeno savijanjeNEUTRALNA LINIJA VAN PRESEKA – mali ekscentricitet
sila pritiska
Ceo presek je pritisnut. Nosivost preseka se postiže dostizanjemgranične dilatacije betona koja se kreće od εc2 = 2ä (centričan pritisak)do εcu2 = 3.5ä (savijanje), odnosno rotacijom prave 0-B oko tačke C.
![Page 35: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/35.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 34
ULS – složeno savijanje
= 0N Edssc NFFF =++ 21
= 0sM ( ) ( )
−+==−+− 12242
dh
NMMddFhdF EdEdEdssc β
oko težišta manje pritisnute armature
![Page 36: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/36.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 35
ULS – složeno savijanje
Dilatacija betona na pritisnutijoj ivici 2 je, iz uslova loma:
0035.0002.0 2, ≤≤ cε
Dilatacija betona na manje pritisnutoj ivici 1 je, iz linearne raspodele po visini preseka:
3
144 2,
1,
−= c
c
εε
Koeficijent punoće naponskog dijagrama je:
Koeficijent položaja rezultujuće sile pritiska Fc je:
( )2
2,2,3 1664125189
1cc εεβ −+=
( )( )( )2
2,2,
2,2,
41664125
83758
14
3
cc
cc
εεεε
β−+−+
=
![Page 37: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/37.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 36
ULS – složeno savijanje
Pa je sila pritiska Fc – rezultanta napona pritiska jednaka:
cdc bhfF 3β=
Sila u armaturi Fs1:
111 sss AF σ= gde je
<≤
≥=
ydsss
ydsyd
sE
f
εεεεε
σ11
1
10,
,
( ) ( )7/3
7/412 12,1
1
scs
s
αεαε
−−−= hds /11 =α
Sila u armaturi Fs2:
222 sss AF σ= gde je
<≤
≥=
ydsss
ydsyd
sE
f
εεεεε
σ22
2
10,
,
( )7/3
7/32 22,2
2
scs
s
αεαε
−+= hds /22 =α
![Page 38: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/38.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 37
ULS – složeno savijanjeNEUTRALNA LINIJA VAN PRESEKA – mali ekscentricitet
sila zatezanja
Ceo presek je zategnut. Moguća stanja dilatacija se dobijaju rotacijomprave 0-A oko tačke A, do stanja centričnog zatezanja. Nosivost presekase postiže dostizanjem granične dilatacije čelika εud u zategnutijojarmaturi.
![Page 39: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/39.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 38
ULS – složeno savijanje
Kako se nosivost betona na zatezanje u graničnom stanju zanemaruje, celuekscentričnu silu zatezanja mora prihvatiti armatura. Pod pretpostavkom da jeu obe armature napon jednak granici razvlačenja, sledi:
ydss fAF 11 =ydss fAF 22 = ( ) ydsssss fAAFFF 2121 +=+=
Eds NF =
yd
Ed
sssf
NAAA =+= 21
Ovako sračunata ukupna armatura se raspoređuje u preseku tako da se napadnatačka rezultante unutrašnjih sila Fs poklopi sa napadnom tačkom sile NEd.
21
21
cc
ec
f
NA
yd
Ed
s ++=
21
12
cc
ec
f
NA
yd
Eds +
−=
( ) ( )2121 ccFecF ss +=−
![Page 40: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/40.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 39
ULS – složeno savijanjeDIJAGRAMI INTERAKCIJE
Dimenzionisanje preseka opterećenih momentom savijanja i aksijalnom silompritiska u oblasti malog ekscentriciteta je prilično složeno i vremenskizahtevno, podrazumeva rešavanje uslova ravnoteže u svakom konkretnomslučaju – tablice se ne mogu koristiti.
Da bi se ovaj postupak pojednostavio i ubrzao, doduše samo u slučajuvezanog dimenzionisanja, napravljeni su dijagrami interakcije koji su potomprošireni i na ostala moguća naponska stanja, odnosno stanja dilatacija u ABpresecima.
![Page 41: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/41.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 40
ULS – složeno savijanjeZa presek poznatih dimenzija i armature, i sa usvojenim kvalitetom betona ičelika, moguće je, za izabran par dilatacija u betonu i čeliku, sračunati momentnosivosti MRd i aksijalnu nosivost NRd. Uslov ravnoteže po momentima seispisuje oko težišta betonskog preseka Gc.
Postupak se ponavlja za više izabranih stanja dilatacija – parova dilatacija, pričemu obavezno treba obuhvatiti one parove koji predstavljaju granice izmeđurazličitih proračunskih modela preseka.
![Page 42: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/42.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 41
ULS – složeno savijanje
c,2 / s1 = 0/
0
ud
NRd
RdM
MEd
ud
1s2 / s1 = / udud
c,2/ c,1= / c2c2
c,2 / c,1= /0cu2
Mbalc,2 / s1 = / ydcu2
EdNbalN
5
43
2
c,2 / s1 = /cu2
Za svako izabrano stanjedilatacija dobija se par (MRd, NRd) koji na dijagramu MRd-NRd predstavlja tačku. Spajanjem sračunatih tačaka dobija se kriva koja predstavlja kombinovanu nosivost tretiranog preseka. Kombinacije MEd i NEd koje daju tačke unutar površine ograničene ovom linijom i koordinatnim osama su u ovom preseku moguće, dok tačke van ove površine nisu moguće, prekoračuju nosivost preseka.
0 cu2c2
C
ud
B
A
ud
0
yd
+ [‰]- [‰]
41 2
3 5
·h3
c2
PritisakZatezanje
7
·h47
yd
![Page 43: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/43.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 42
ULS – složeno savijanjeSada se postupak može ponoviti, samo sa drugačijom armaturom, što će datinovu liniju na MRd-NRd dijagramu. Tako se za više različitih količina armatura,odnosno za više različitih procenata armiranja dobija familija krivih, ali ta familijavaži samo za presek datih dimenzija i od datog kvaliteta betona i čelika.
Kako bi ovakvi dijagrami bili primenljivi za različite dimenzije preseka i različitekvalitete betona i čelika, veličine potrebne za njihovo konstruisanje se normiraju,odnosno prevode u bezdimenzionalan oblik:
Mehanički koeficijent armiranja armaturom As1 i As2, odnosno ukupnom armaturom As:
cd
yds
f
f
bh
A 11 =ω
cd
yds
f
f
bh
A 22 =ω
21 ωωω +=
Položaj težišta armutura As1 i As2:h
d1
h
d2
Proračunska vrednost normiranog momenta nosivosti:cd
RdRd
fbh
M2
=µ
Proračunska vrednost normirane aksijalne nosivosti:cd
RdRd
bhf
N=ν
![Page 44: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/44.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 43
ULS – složeno savijanjeIzrađuju se za različite klase armature, različite odnose armatura As1 i As2 irazličite d1/h, a koriste za vezano dimenzionisanje pravougaonih preseka. Moguse izraditi i za druge oblike preseka, kao i za koso savijanje.
DIJAGRAMI
INTERAKCIJE
![Page 45: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/45.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 44
T - PRESECI
Čest oblik poprečnog preseka. Racionalniji je od pravougaonika: velikapovršina u pritisnutoj zoni, a minimalno potrebna u zategnutoj (iz uslovasmeštaja armature ili osiguranja glavnih napona zatezanja).
![Page 46: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/46.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 45
ULS – složeno savijanje
Ovakav oblik poprečnog preseka najčešće imaju prefabrikovani AB i prethodno napregnuti elementi
![Page 47: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/47.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 46
ULS – složeno savijanje
ili grede koje su oslonci AB ploča – međuspratnih konstrukcija. Kodovakvih greda, jedan deo ploče, koji se naziva efektivna širina flanše,se, pod dejstvom opterećenja, deformiše zajedno sa gredom i činisastavni deo preseka grede.
![Page 48: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/48.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 47
ULS – složeno savijanje
Efektivna širina flanši, na kojoj se može pretpostaviti da je dijagramnapona jednako raspodeljen, zavisi od dimenzija rebra i flanše, vrsteopterećenja, raspona, uslova oslanjanja i poprečne armature.
Prema EC2, efektivna širina flanše treba da se zasniva na rastojanju l0između tačaka nultih momenata, koje može da se odredi na osnovuslike:
Definicija l0 za proračun efektivne širine flanše. Važi ako je odnos raspona susednih poljaizmeđu 2/3 i 1.5 i ako je raspon konzole l3 manji od polovine raspona susednog polja l2.
![Page 49: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/49.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 48
ULS – složeno savijanje
Efektivna širina flanše beff za gredu T ili L oblika preseka, prema EC2,može da se sračuna:
bbbb wieffeff ≤+= ,
00, 2.01.02.0 llbb iieff ≤+=
iieff bb ≤,2,1=i
Može se pretpostaviti da je ova širina konstantna duž rasponagrede, ako se ne zahteva velika tačnost.
σcF1 F2
beff
beff,1 beff,2
σc,max
x
σσ
=b
b dx1
cmax,c
eff
![Page 50: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/50.jpg)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 49
ULS – složeno savijanje
Oblik pritisnute površine T – preseka zavisi od položaja neutralne linije, paod toga zavisi i proračun.
PRESEK Bpravougaoni presek bw/h
PRESEK A
pravougaoni presek beff/h
T -presek
n n
n n
n n
A
A
B
B
M
h
bw
beff
![Page 51: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/51.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 50
T - preseci, neutralna linija u rebru
Usvaja se pravougaoni – blok dijagram napona pritiska u betonu:
80.=λ 01.=ηza C ≤ 50/60
5.33 == cuc εε äxh
f
y=λx
h
h/2
h/2
dd
1
![Page 52: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/52.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 51
Sila pritiska u betonu Fc: ( ) ( )[ ]fwwcdfwcdwcdc hbbybfhbbfybfF −+=−+= ηη
Sila zatezanja u armaturi Fs1: ydss fAF 11 =
Uslov ravnoteže po momentima oko težišta zategnute armature As1:
( ) Eds
f
fwwcdRds Mh
dhbby
dybfM =
−−+
−=22
−+= 12
dh
NMM EdEdEds
Efektivna visina pritisnute zone:13
38.08.0scu
cudxyεε
ε+
==
Uslov ravnoteže po aksijalnim silama:
EDsc NFF =− 1 ( )[ ] EDydsfwwcd NfAhbbybf =−−+ 1
1
2
3
Izrazi su izvedeni za aksijalnu silu pritiska NEd.
![Page 53: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/53.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 52
U slučaju slobodnog dimenzionisanja, za poznate b, bw, hf, usvojen kvalitetbetona i čelika, i na osnovu usvojenog para dilatacija:
5.33 == cuc εε lim,11 ss εε ≥
sračunava se nepoznata statička visina d iz jednačina (1) i (2) i potrebnapovršina zategnute armature As1 iz jednačine (3). Nakon usvajanjapotrebnog broja šipki armature određenog prečnika, i njihovog pravilnograspoređivanja u preseku, računa se odstojanje težišta armature dozategnute ivice d1 i dobija ukupna visina preseka:
1ddh +=
ä
![Page 54: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/54.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 53
U slučaju vezanog dimenzionisanja, za poznate b, bw, hf, h, kvalitet betonai čelika, i pretpostavljenu statičku visinu d na osnovu:
hhd 01.005.01 ÷=
iz jednačine (1) se računa efektivna visina y, a iz jednačine (2) dilatacijazategnute armature i proverava da li je ispunjen uslov:
lim,11 ss εε ≥
Ako je ispunjen, računa se potrebna površina zategnute armature As1 izjednačine (3), i proverava pretpostavka o veličini d1.
Ukoliko navedeni uslov nije ispunjen, presek se armira i pritisnutomarmaturom. Međutim, armiranje T - preseka pritisnutom armaturom nijeracionalno, jer se kompromituje osnovna ideja ovakvog oblika preseka.
![Page 55: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/55.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 54
Uprošćen postupak
Kod T-preseka koji nastaju usled zajedničkog rada ploče i grede, efektivna širinaflanše je najčešće značajno veća od širine rebra, pa je deo pritisnute površine urebru zanemarljivo mali u odnosnu na pritisnutu površinu u flanši. U timslučajevima, dovoljno je tačno zanemariti taj deo pritisnute površine, i pretpostavitiblok dijagram napona pritiska u betonu.
h
h/2
h/2
dd
1
hf
x hf /2
z=d
-hf /2
![Page 56: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/56.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 55
Izrazi su izvedeni za aksijalnu silu pritiska NEd.
Sila pritiska u betonu Fc:
Sila zatezanja u armaturi Fs1:
Uslov ravnoteže po momentima oko težišta zategnute armature As1:
Uslov ravnoteže po aksijalnim silama:
fcc bhF σ=
ydss fAF 11 =
Eds
f
fccRds Mh
dbhzFM =
−==
2σ
−+= 12
dh
NMM EdEdEds
EDsc NFF =− 1 EDydsfc NfAbh =− 1σ
1
2
![Page 57: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/57.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 56
U slučaju slobodnog dimenzionisanja, za poznate b, bw, hf i usvojenkvalitet betona i čelika, mora se usvojiti veličina napona u betonu σc, dabi se iz jednačine (1) dobila potrebna statička visina preseka, a izjednačine (2) potrebna zategnuta armatura. Kako ovakvi preseci imajuveliku pritisnutu površinu, da bi se dobili racionalni preseci, preporuka jeda se usvaja:
cdccd ff ≤≤ σ5.0
?
![Page 58: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/58.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 57
U slučaju vezanog dimenzionisanja, za poznate b, bw, hf, h, kvalitetbetona i čelika, i pretpostavljenu statičku visinu d na osnovu:
hhd 01.005.01 ÷=
sračunava se potrebna površina zategnute armature As1 iz jednačine (3)koja se dobija iz (1) i (2) eliminacijom σc:
yd
Ed
f
yd
Edss
f
N
hdf
MA −
−
=
2
1
i proverava da li osrednjeni napon pritiska u flanši σc zadovoljavasledeći uslov:
cd
f
f
Edsc f
hdbh
M ≤
−
=
2
σ
3
![Page 59: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/59.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 58
T - preseci, neutralna linija u flanši
U ovom slučaju, pritisnuta površina je oblika pravougaonika širine jednakeefektivnoj širini flanše, pa se presek dimenzioniše kao pravougaonik dimenzijabeff/h=b/h. Iskorišćavanje pune nosivosti betona kod T-preseka sa velikompritisnutom površinom nije racionalno, pa se izvode jednačine za slučaj da lompreseka nastaje kidanjem armature.
h
h/2
h/2
dd
1
hf x
z=×
hβ
2 ×x
![Page 60: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/60.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 59
Uslovi ravnoteže za slučaj složenog savijanja su već izvedeni:
( )ξβξβ 2121−=
cd
Eds
fbd
M
cd
Eds
bf
Mkd =
cd
Eds
bf
Md
µ=
yd
Ed
yd
cd
sf
N
f
fbdA −= 11 ω
yd
Ed
yd
Eds
sf
N
df
MA −=
ζ1
Koeficijent punoće naponskog dijagrama β1 u opštem slučaju iznosi:
( )12
61
cc εεβ −= za εc≤2ä
c
c
εεβ3
231
−= za 2ä≤εc≤3.5ä
ili
ili
![Page 61: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/61.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 60
a koeficijent položaja sile pritiska u betonu β2:
( )c
c
εεβ
−−
=64
82 za εc≤2ä
( )( )232
2432 −
+−=
cc
cc
εεεεβ za 2ä≤εc≤3.5ä
Važe već izvedene relacije:
1sc
c
d
x
εεεξ+
== cs εξ
ξε −= 11
ξβζ 21−==d
z
( )ξβξβ 21 1
1
−=k ξβω 11 = ( )ξβξβµ 21 1−=
![Page 62: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/62.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 61
U slučaju slobodnog dimenzionisanja, usvajanjem dilatacije betona εc u željenomiznosu i sa εs1=εud, mogu se sračunati sve potrebne veličine za određivanjenepoznate visine preseka i površine zategnute armature. Granična dilatacija εud se,prema EC2, može usvojiti da je jednaka 0.9εuk, gde je εuk karakteristična vrednostdilatacije pri kidanju i zavisi od klase čelika.
U slučaju vezanog dimenzionisanja, MEds, dimenzije preseka i kvalitet betonaodređuju koeficijente k ili μ, pa se iz njih, uz εs1= εud, može sračunati nepoznatadilatacija u betonu εc. Time su određene sve veličine potrebne za sračunavanjepovršine zategnute armature.
ukud εε 9.0=
![Page 63: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/63.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 62
Minimalna i maksimalna površina armature T-preseka
Minimalna površina zategnute armature:
dbdbf
fA tt
yk
ctm
s 0013.026.0min,1 ≥=
bt srednja širina zategnute zone preseka, a kod T-preseka sa pritisnutom flanšom,za ovu vrednost se uzima debljina rebra, bt=bw.
Maksimalna površina zategnute As1 i pritisnute As2 armature :
hbA ws 04.01 ≤ hbA ws 04.02 ≤yk
ckss
f
fhbAA 1121 28.0≤−
za T-preseke sa zategnutom flanšom: b1=bw i h1=hza T-preseke sa pritisnutom flanšom h ≤ 2.8hf: b1=beff i h1=hza T-preseke sa pritisnutom flanšom h > 2.8hf: b1=beff i h1=2.8hf
gde su h visina preseka, hf visina flanše, bw širina rebra, a beff efektivna širina flanšeili stvarna širina b, ako je manja od efektivne.
![Page 64: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/64.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 63
PRIMER: vezano dimenzionisanje T-preseka za različita stanja dilatacijah
=70 c
m
h/2
h/2
dd
1
hf=
12 c
m
x
z=×
hβ
2 ×x
kNmM Ed 0.280=
C25/30 → fcd=0.85∙25/1.5=14.2MPaB500B → fyd=500/1.15=435 MPa
εud=0.9∙50=45ä
cmdhd 655701 =−=−=
036.042.165130
102802
2
2=
⋅⋅⋅==
cd
Ed
fbd
Mµ
![Page 65: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/65.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 64
a) ?=cε
Pretpostavljeno: 2ä≤εc≤3.5ä
c
c
εεβ3
231
−= ( )( )232
2432 −
+−=
cc
cc
εεεεβ
a važi:
451 +=
+==
c
c
sc
c
d
x
εε
εεεξ
( ) =−= 036.01 21 ξβξβµ
0506.0454.2
4.2 =+
=ξ cmhcmx f 123.3650506.0 =<=⋅=
722.04.23
24.231 =
⋅−⋅=β ( )
( ) 388.024.234.22
244.234.22 =
−⋅⋅+−⋅=β
0365.00506.0722.01 =⋅=ω 2
1 07.10435
2.14651300365.0 cmAs =⋅⋅⋅=
εc=2.4 ä
εs1=εud=45ä
![Page 66: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/66.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 65
b) εc=3.5ä ?1 =sε
810.01 =β 416.02 =β
( ) 0455.0036.0416.01810.0 ==−= ξξξµ
cmhcmx f 120.3650455.0 =<=⋅=
−= 5.3
0455.0
0455.011sε εs1=73.4 ä
0369.00455.0810.01 =⋅=ω
2
1 18.10435
2.14651300369.0 cmAs =⋅⋅⋅=
![Page 67: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/67.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 66
c) ?=cε
Pretpostavljeno: εc≤2.0ä
a važi:
101 +=
+==
c
c
sc
c
d
x
εε
εεεξ
( ) =−= 036.01 21 ξβξβµ
0901.01099.0
99.0 =+
=ξ cmhcmx f 129.5650901.0 =<=⋅=
εc=0.99 ä
εs1=10ä
( )12
61
cc εεβ −= ( )c
c
εεβ
−−
=64
82
( )413.0
12
99.0699.01 =−⋅=β ( ) 350.0
99.064
99.082 =
−⋅−=β
0372.00901.0413.01 =⋅=ω 2
1 26.10435
2.14651300372.0 cmAs =⋅⋅⋅=
![Page 68: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/68.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 67
Rezime:
slučaj εc (ä) εs1 (ä) x (cm) As1 (cm2) karakter loma preseka
a 2.4 45.0 3.3 10.07 kidanje armature
b 3.5 73.4 3.0 10.18 fizički nemoguć
c 0.99 10.0 5.9 10.26 nije lom
Minimalna armatura je:
C25/30 → fctm = 2.6 MPa B500B → fyk = 500 MPa
dbcmdbf
fA tt
yk
ctms 0013.073.265300014.06530
500
6.226.026.0 2
min,1 ≥=⋅⋅=⋅⋅⋅==
Računski potrebna zategnuta armatura koja se dobija korišćenjem radnogdijagrama za čelik sa neograničenom dilatacijom i uslova loma po betonu, jepraktično ista kao i ona koja se dobija primenom uslova loma po čeliku za klasuB, sa odgovarajućom dilatacijom betona. Ipak, treba imati u vidu da se na ovajnačin ne dobija uvid u realno stanje dilatacija u preseku i karakter loma. Dilataciječelika veće od onih koje odgovaraju njegovom kidanju fizički nisu moguće.
![Page 69: Prof.dr Snežana Marinkovićimksus.grf.bg.ac.rs/nastava/BETON-NOVI NASTAVNI... · Prsline i naponi u AB gredi opterećenoj na čisto savijanje. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040508/5e4c2ff89cee4216025aae8f/html5/thumbnails/69.jpg)
ULS – složeno savijanje
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 68
3 c
m
5.9
cm
3.3
cm