Prof. Dr. Alcebíades Negrão Macêdo

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL FEC/ITEC/UFPa

GRUPO DE ANÁLISE EXPERIMENTAL DE ESTRUTURAS E MATERIAIS

DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS: FLEXÃO COMPOSTA

Solicitação comum situações estruturais como, por exemplo, pilares

submetidos à compressão e à ação do vento atuando perpendicularmente ao

seu eixo, a pilares com cargas excêntricas e a vigas submetidas à ação

combinada de compressão/tração axial e carregamentos de flexão.

1 Estados Limites Últimos

a) Flexo-tração

• Nas barras submetidas à flexo-tração oblíqua, a segurança deve ser

verificada por meio de duas condições de resistência aplicadas ao ponto

mais solicitado da borda mais tracionada:- Nt,d é a tensão normal de cálculo à tração.

- ft0,d é a resistência de cálculo à tração paralela.

- Mx,d e My,d são as tensões máximas de flexão

atuantes segundo as direções principais.

- kM é o fator de forma da seção.

1f

kff

dt0,

M

dt0,

d,Mx

dt0,

dNt, dMy,σσ

1ff

kf

dt0,

d,My

dt0,

d,Mx

Mdt0,

dNt,

σ

b) Flexo-compressão

Para os elementos estruturais de madeira solicitados a flexo-compressão

devem ser verificadas as condições de resistência e as condições de

estabilidade.

 b.1) Condições de resistência

• A segurança dos elementos estruturais submetidos à flexo-compressão

oblíqua é garantida pelo atendimento de duas condições de resistências,

aplicadas ao ponto mais solicitado da borda mais comprimida:

1f

kff

dc0,

d,My

M

dc0,

d,Mx

2

dc0,

d,Nc

1ff

kf

dc0,

d,My

dc0,

d,Mx

M

2

dc0,

d,Nc

- Nc,d é a tensão normal de cálculo à

compressao

- ft0,d é a resistência de cálculo à tração paralela.

- Mx,d e My,d são as tensões máximas de flexão

atuantes segundo as direções principais.

- kM é o fator de forma da seção.

b.2) Condições de estabilidade

• Além das condições de resistências estabelecidas acima, as barras

submetidas à flexão composta oblíqua devem atender duas condições de

estabilidade:

1f

kff

dco,

dMy,M

dc0,

dMx,

dc0,

dNc,

1ff

kf

dc0,

dMy,

dc0,

dMx,M

dc0,

dNc,

- Com Mx,d e My,d amplificadas pelo efeitos de 2a

ordem correspondentes as peças esbeltas e semi-

esbeltas (compressão).

e1 = ei + ea (para peças semi-esbeltas)

e1,ef = ei + ea + ec (para peças esbeltas)

300L

e ;NM

e f

a

sd

sd

i

Nota: apenas a parcela não minorada

pelo fator kM deve ser amplificada pelo

efeito de 2a ordem.

1

NNN

NNexp)ee(e

qk21gkE

qk21gk

aigc

gd

gd

ig N

Me

2) Estados Limites de Utilização

- Resume-se nas limitações de deslocamentos, tal como visto no capítulo de

flexão.

Ex.1) Dimensione as barras do pórtico da figura considerando :

• Dicotiledônea C60, classe 4, de 2a categoria;

• Seção retangular de madeira serrada com h = 4b;

• G = 2 kN =permanente de grande variabilidade;

• Q = 4 kN = sobrecarga;

• Comprimento de contenção lateral Lb = 4m.

G,Q

H

Q

V

4Q

d

A

V

d

Qd

d4Q

4Qd

Qd

dQ

A

C

dQ

4,8)42(4,1Q4,1G4,1Qd

00,4V0,4QCd

Solução:

HA = Qd

VA = VC VC = Qd => VA = Qd

G,Q

H

Q

V

4Q

d

A

V

d

Qd

d4Q

4Qd

Qd

dQ

A

C

dQ

Nsd=Qd=8,4 kN Msd=4Qd=4x8,4=33,60 kN.m Vsd=Qd=8,4 kN

MPa 2,194,1

60448,0

4,1

fkf k,0c

modd,0t

Ec0,ef = kmod.Eco,m = 0,448.24500 = 10976 MPa

kmod = kmod1.kmod2

.kmod3=0,7.0,8.0,8 = 0,448

- Resistência e rigidez de cálculo.

cm8 50

400

50

Lbb50L

f

M

6

b)(4b

f

M

6

bh

f

MWf

W

M

dt0,

sd

2

dt0,

sd

2

dt0,

sd

d,0c

sd

d,M

cm 8,691,92833603

f8M3

b 33

dt0,

sd

Seção adotada : 10x40

4010

400

b

Lb

b

Ec0,ef = kmod.Eco,m = 0,448.24500 = 10976 MPa

h/b=4 => 15,9M

35,9519,215,9

10976

f

E

dc0,M

c0.ef

0

MPa 17,254015,9

10976Ef

bM

efc0,*

dc0,

0b

*

dc0,22

sd

d,Mf MPa12,6

cm

kN1,26

4010

63360

W

M

- Estabilidade Lateral

cm 5 b cm 1,051,9248,4

f4N

b fN

AfAN

min

dt0,

sd

dt0,

sd

wd,0t

w

sd

d,c

- Pré-dimensionamento.

Condição de resistência na flexo-tração:

1ff

dt0,

dM,

dt0,

dN,

MPa 0,21cmkN

0,0214008,4

AN

2

w

sd

dN,

Ok! 1 0,6719,212,6

19,20,21

1ff

kf

1f

kff

dt0,

dMy,

dt0,

dMx,

M

dt0,

dN,

dt0,

dMy,

M

dt0,

dMx,

dt0,

dN,

0

0

d,MxdM,

2) Verificar se o pilar de Madeira Laminada Colada de Conífera, Classe C30, seção retangular, bi-articulado e submetido aos esforços conforme representado na figura atende os requisitos da NBR7190/97, considerando:- A estrutura está abrigada do intemperismo;- A excentricidade dos esforços normais eix = 7,0cm e eiy = 4cm;- Lfx e Lfy = 550cm;-NG1 = 3.200daN (ação permanente da estrutura de cobertura);-NG2 = 12.000daN (ação permanente das telhas);-Nv = 3.500daN (ação do veno);-NS = 3.000daN (sobrecarga);-QV = 180daN/m (vento).

QV

QV

cm99,12900

875.151A

Ir

cm77,5900

000.30AI

r

cm750.66/4520W

cm000.36/2045W

cm875.15112/4520I

cm000.3012/2045I

cm9002045A

y

y

x

x

42

y

42

x

43

y

43

x

2

- Solução

- Resistência e rigidez de cálculo

2m,0cmodef,0c

2

wc

k,0c

modd,0cd,0t

cm

daN101.500MPa 150.10500.147,0EkE

cm

daN150MPa 15

4,1

307,0

fkff

kmod = kmod1.kmod2

.kmod3=0,7.1,0.1,0 = 0,7

- Propriedades da seção

QV

cm.daN5,062.688

5508,1

8

LQM

cm.daN000.217000.3eNM

cm.daN000.124000.3eNM

cm.daN500.247500.3eNM

cm.daN000.144500.3eNM

cm.daN000.847000.12eNM

cm.daN000.484000.12eNM

cm.daN400.227200.3eNM

cm.daN800.124200.3eNM

22

V

Qv,y

ixSNs,y

iySNs,x

ixVNv,y

iyVNv,x

ix2G2G,y

iy2G2G,x

ix1G1G,y

iy1G1G,x

x-x

- Esforçoes de cálculo

m

2jj,Qj,01,QQ

n

1ii,GGd

FFFF

cm.daN540.106)000.124,0000.1475,0(4,1)000.48800.12(4,1M

)MM75,0()MM(M

d,x

Ns,xs,0Nv,xQ2G,x1G,xGd,x

cm.daN720.111)000.145,0000.12(4,1)000.48800.12(4,1M

)MM()MM(M

d,x

Nv,xv,0Ns,xQ2G,x1G,xGd,x

daN635.26)000.34,0500.375,0(4,1)000.12200.3(4,1N

)NN75,0()NN(N

sd

Ss,0VQ2G1GGsd

daN930.27)500.35,0000.3(4,1)000.12200.3(4,1N

)NN()NN(N

sd

Vv,0SQ2G1GGsd

QV

cm.daN5,062.688

5508,1

8

LQM

cm.daN000.217000.3eNM

cm.daN000.124000.3eNM

cm.daN500.247500.3eNM

cm.daN000.144500.3eNM

cm.daN000.847000.12eNM

cm.daN000.484000.12eNM

cm.daN400.227200.3eNM

cm.daN800.124200.3eNM

22

V

Qv,y

ixSNs,y

iySNs,x

ixVNv,y

iyVNv,x

ix2G2G,y

iy2G2G,x

ix1G1G,y

iy1G1G,x

y-y

- Esforçoes de cálculo

m

2jj,Qj,01,QQ

n

1ii,GGd

FFFF

cm.daN63,910.257M

]000.214,0)5,062.68500.24(75,0[4,1)000.84400.22(4,1M

)]M)MM(75,0[)MM(M

d,y

d,y

Ns,ys,0Qv,yNv,yQ2G,y1G,yGd,y

cm.daN75,153.243M

)]5,062.68500.24(5,0000.21[4,1)000.84400.22(4,1M

)]MM(M[)MM(M

d,y

d,y

Qv,yNv,yv,0Ns,yQ2G,y1G,yGd,y

1ff

kf

1f

kff

dc0,

dMy,

dc0,

dMx,

M

2

dc0,

dN,

dc0,

dMy,

M

dc0,

dMx,

2

dc0,

dN,

- Condição de resistência

2

y

d,y

d,My

2

x

d,x

d,Mx

2

sd

d,N

cmdaN

21,38750.6

63,910.257w

M

cmdaN

24,37000.3720.111

w

McmdaN

03,31900

930.27A

N

1422,0150

21,38150

24,375,0

15003,31

1418,0150

21,385,0

15024,37

15003,31

2

2

OK!

1ff

kf

1f

kff

dc0,

dMy,

dc0,

dMx,

M

dc0,

dN,

dc0,

dMy,

M

dc0,

dMx,

dc0,

dN,

- Condição de estabilidade

Eixo x, majorando Mx,d p/ o efeito de 2a ordem

Eixo y, majorando My,d p/ o efeito de 2a ordem

1f

kff

dc0,

dMy,

M

dc0,

dMx,

dc0,

dN,

x-x

2

y

d,y

d,My

2

sd

d,N

cmdaN

21,38750.6

63,910.257w

McmdaN

03,31900

930.27A

N

500.6000.3500.3NNN

200.15000.12200.3NNN

.)sob(5,02,03,0 )vento(2,002,0 8,0

)](NN[N

)](NN[ )1()ee(e

cm0,4)000.12200.3(4,1)000.48800.12(4,1

)NN(

)MM(

N

Me

cm833,1300

550

300

Le cm0,4

930.27

720.111

N

Me eeee

daN6,348.99550

000.30500.101L

IEN

Esbelta)- 80 ( 26,9577,5

550

r

L

SVqk

2G1Ggk

2121

21qkgkEx

21qkgk

ayigycy

2G1GG

2G,x1G,xG

gd

x,gd

igy

fx

ay

sd

dx,

iycyayiyefy,1

2

2

2

fx

xef,0c

2

Ex

min

fx

x

e

194,0150

21,385,0

150

4,90

150

03,31 1

fk

ff

cm

daN4,90

000.3

3,200.271

W

M

cm.daN3,200.27171,9930.27eNM

cm71,9930.2758,348.99

58,348.99983,6

NN

Nee

cm983,615,1833,14eeee

cm15,1)1()4833,1()1()ee(e

18,0)]5,0.(500.6200.15[58,348.99

)]5,0.(500.6200.15[8,0

)](NN[N

)](NN[

dc0,

dMy,

M

dc0,

dMx,

dc0,

dN,

2

x

d,x

d,Mx

dsdd,x

sdEx

Ex

ef,1d

cyayiyefy,1

18,0

ayigycy

21qkgkEx

21qkgk

ee

OK!

1ff

kf

dc0,

dMy,

dc0,

dMx,

M

dc0,

dN,

y-y

2

x

d,x

d,Mx

2

sd

d,N

cm

daN24,37

000.3

720.111

w

Mcm

daN03,31

900

930.27

A

N

165,0150

45,48

150

24,375,0

150

03,31 1

ffk

f

cm

daN45,48

6750

3,060.327

W

M

cm.daN3,060.32771,11930.27eNM

cm71,11930.272,952.502

2,952.502063,11

NN

Nee

cm063,11833,123,9e

cm833,1300

550

300

Le ;cm23,9

930.27

63,910.257

N

Me ;eee

daN2,952.502550

875.151500.101

L

IEN

esbelta)-Semi- 80 (40 33,4299,12

550

r

L

dc0,

dMy,

dc0,

dMx,

M

dc0,

dN,

2

y

d,y

d,My

dsdd,y

sdEy

Ey

x1dx

x1

fy

ax

sd

dy,

ixaxixx1

2

2

2

fy

yef,0c

2

Ey

y

fy

y

OK!

Exercícios propostos 1. Dimensionar um pilar de madeira, seção quadrada, bi-articulado e submetido aos esforços conforme representado nas Figuras para que o mesmo seja classificado como uma peça medianamente esbelta (max = 80). Considere:- As condições de vinculação são as mesmas nas direções x e y Lf = 420 cm.- Classe de umidade 1, madeira é classificada visual e mecanicamente;- Dicotiledônea Classe C60;- Excentricidade do esforço normal eix=2,5cm - NG = 5.000daN, Nv = 2.500daN, Qvx = Qvy = Qv = 60 daN/m. - Adotar para a valores a múltiplos de 5cm.

a

a

x

y

ixevxQ

vyQ

Lf

NG e NV

QV = 60 daN/m