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Clase 6Productos notables

Consideremos un cuadrado de lado a+ b, comoen la figura. Es posible dividir el cuadro en cua-tro partes: dos cuadrados de lados a y b, y dosrectangulos de lados a y b, de donde el area delcuadrado de lado a+ b es (a+ b)2 y es igual a lasuma de las areas de las otras cuatro figuras, esdecir

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2.a b

a

b

a2

b2

ab

ab

Esta igualdad es conocida como el binomio al cuadrado. As en general tenemos el siguienteresultado cuya prueba se basa en la propiedad distributiva de los numeros reales.

Sean a, b R se cumple (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2Teorema 40 (Binomio al cuadrado).

Ejemplo 59. Sea x R {0}. Entonces(

1

x+ x

)2=

1

x2+ 2

(1

x

)x+ x2 =

1

x2+ 2 + x2.

Ejemplo 60. Sea x R. Entonces (x+ 1)2 = x2 + 2x+ 1.Ejemplo 61. Sean a, b R. Entonces (a b)2 = (a+ (b))2 = a2 2ab+ b2.Ejemplo 62. Sean a, b R+. Entonces (a

b)2 = a 2

ab+ b.

Acontinuacion enunciamos a las famosas identidades de Legendre.

41

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Sean a, b R se cumple:

(a+ b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2) y (a+ b)2 (a b)2 = 4ab.

Teorema 41 (Identidades de Legendre).

Demostracion. Sean a, b R entonces(a+ b)2 + (a b)2 = a2 + 2ab+ b2 + (a2 2ab+ b2) = 2(a2 + b2).(a+ b)2 (a b)2 = a2 + 2ab+ b2 (a2 2ab+ b2) = 4ab.

Ejemplo 63. Sea x R {0}, se cumple que(

1

x+ x

)2(

1

x x)2

= 4

(1

x

)x = 4.

Los siguientes resutados son consecuencia de la propiedad distributiva de los numeros reales.

Sean a, b R se cumple a2 b2 = (a+ b)(a b).

Teorema 42 (Diferencia de cuadrados).

Ejemplo 64. Sea x R, la expresion (1 +x)(1x)(1 +x2)(1 +x4) +x8 se recude a 1. En efectopues

(1 + x)(1 x) 1 x2

(1 + x2)

1 x4

(1 + x4)

1 x8

+x8 = 1

Observacion. Al resolver x2 4 = 0 nos damos cuenta que x = 2 o x = 2, es decir hay dosvalores que cumplen con la igualdad. Un error comun es pensar que la unica solucion viene dadapor x =

4 = 2.

Sean x, a, b R se cumple (x+ a)(x+ b) = x2 + (a+ b)x+ ab.

Teorema 43 (Binomios con un termino comun).

Ejemplo 65. Sea x R tal que x2 + 2x = 2, entonces(x+ 3)(x+ 4)(x 1)(x 2) = (x+ 3)(x 1)

x2 + 2x 2

3

(x+ 4)(x 2) x2 + 2x

2

8

= (1)(6) = 6.

42

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Sean a, b R se cumple (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 = a3 + 3ab(a+ b) + b3Teorema 44 (Binomio al cubo).

Ejemplo 66. Sean a, b R tales que a + b = 2 y ab = 1, entonces a3 + b3 = 2. En efecto,como (a+ b)3 = a3 + 3ab(a+ b) + b3 entonces

a3 + b3 = (a+ b)3 3ab(a+ b) = (2)3 3(1)(2) = 8 + 6 = 2.

Ejemplo 67. Sean a, b R. Entonces

(a b)3 = (a+ (b))3 = a3 3a2b+ 3ab2 b3 = a3 3ab(a b) b3.

Sean a, b R se cumple a3 + b3 = (a+ b)(a2 ab+ b2)

Teorema 45 (Suma de cubos).

Ejemplo 68. ( 3

2 + 1)(3

22 3

2 + 1) =3

23

+ 1 = 2 + 1 = 3.

Ejemplo 69 (Diferencia de cubos). Sean a, b R. Entonces

a3 b3 = a3 + (b)3 = (a b)(a2 + ab+ b2).

Ejemplo 70. Sea x R. La expresion x3 + 1

x2 x+ 1 +x3 1

x2 + x+ 1se simplifica a 2x. Efectivamente,

observemos que x31 = x313 = (x1)(x2 +x+1) y x3 +1 = x3 +13 = (x+1)(x2x+1).Luego

x3 + 1

x2 x+ 1 +x3 1

x2 + x+ 1=

(x+ 1)(x2 x+ 1)x2 x+ 1 +

(x 1)(x2 + x+ 1)x2 + x+ 1

= x+ 1 + x 1 = 2x.

RacionalizacionSabemos muy bien que

6

18=

2

6=

1

3.

Es decir la fraccion6

18se simplifica a

1

3de manera que ya no se pueda simplificar mas, sin embargo

existen fracciones que no podemos simplificar de la misma forma, por ejemplo consideremos

46,

43

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en este caso, el denominador es una radical. Ahora si intentamos eliminar el radical del denomina-dor en nuestro ejemplo, procedemos de la siguiente manera:

46

=46

66

=4

6

6=

2

6

3.

De manera similar en la fraccion4

73el denominador es la diferencia de dos radicales. En este caso para poder eliminar las races nosvaldremos de la diferencia de cuadrados, es decir

473 =

4

(

73)(

7 +

3)

(

7 +

3)=

4(

7 +

3)

7 3 =

7 +

3.

En resumen el hecho de tener una fraccion donde el denominador tenga radicales y procedamosa buscar una expresion equivalente de manera que el denominador no tenga radicales se denominaproceso de racionalizacion del denominador.

Ahora, si consideramos la fraccion 3

5

y no queremos obtener el radical en el numerador, procedemos de forma similar que en el casoanterior, y tendriamos que

3

5=

3

5

33

=3

5

3.

Este caso se denomina proceso de racionalizacion del numerador.

Observacion. El proceso de racionalizacion del denominador (numerador) acaba unicamente cuan-do ya no aparecen radicales en el denominador (numerador).

Ejercicios para la clase1. (PC3-2014-0) Si a b = 5 y a2 + b2 = 3, calcule el valor de T = a3 b3.

2. Si1

a2+

1

b2= 8. Calcular

[(a+ b)2 + (a b)2]2(a4 + b4)2 (a4 b4)2 .

3. (PC3-2014-0) Si x =

2+1, determine el valor de 4

2(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1) + (x2).

4. Pruebe por contradiccion que no existe x R tal que x2 + x+ 1 = 0.5. Sean x, y R tales que x2 + y2 = 2x 1. Calcule el valor de x+ y.

44

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6. Sean x, y, z, w R+ tales que (x+ y + z + w)2 = 4(x+ z)(y + w). Calcule el valor de(x+ z

y + w

)2+

(x yz w

)2.

7. Sean x, y R+ tales que x =

5 + xy e y =

2 + xy. Calcule x6 9x2y2 y6.

8. Sean a, b R+ tales que(ab

)n+ 4

(b

a

)n= 725. Determine el valor de 3

an + 2bnanbn

.

9. Sea n N y x R tal que x > n yx n+x+ n = n. Calculex+ nx n.

10. Sea x R con 2 < x < 2. Racionalice

2 x22 + x .

11. Justifique por que son falsas las siguientes proposiciones

a) (PC2-2013-II) Si a < 0 y b < 0 entonces (ab)(a+b) = (a+ b).

b) a R, [ (a+ 1)2 = a2 + 1 ]c) x R, [ x2 1 = (x 1)2 ]

Ejercicios adicionales1. Calcule

9 11 101 10001 + 1.

2. (EP-2013-II) Calcule el valor de 16

17(24 1)(28 + 1)(216 + 1) + 1.3. Pruebe por contradiccion que, no existen a, b R tales que a+ b = 2 y ab = 2.4. (PC2-2014-I) Sea x R tal que 3x + 3x = pi. Calcule el valor de 9x + 9x.

5. Sean a, b R+ tales que 1a

+1

b=

4

a+ b. Reducir la expresion

n

(a+ b)n+1

an+1 + bn+1

siendo n N {1}.6. (PC2-2013-II) Si x > 0 y x2 + 3x = 9, calcule

x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) + 1.

7. (PC2-2104-I) Racionalice y simplifique la siguiente expresion

3

266

2(3 +

3).

45

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8. (EP-2014-I) Sea x R {0}. Determinar el valor numerico de la expresion

E =

(x4 + 1

x2

)2(x4 1x2

)29. Sean a, b R tales que ab(a+ b) = 1 y a3b3(a3 + b3) = 5

2. Calcule a2b2(a2 + b2).

10. (EP-2014-I) Sean a y b numeros reales, tales que a R {b,b}. Sia2 + b2

a2 b2 =a+ b

a bpruebe que al menos uno de estos numeros, a o b, es cero.

11. (EP-2014-I) Sean x, y R tales que x > y > 0. Determine el valor numerico de la expresion

E =[log(x)]2 [log(y)]2

log(x/y)+ log

(xlog(y)

)donde x1+log(y) =

10

y.

12. Sean x, y N tales que2x2 4x+ 4 + y2 2xy = 0.

Encuentre el valor de xy3 4.

13. Sean x, y, z R tales que x y + z = 0. Calcule x3+z3+2xyzy3xyz .

14. Sean x, y R+ tales que x2y

+2y

x= 2. Calcule

(x

y

)8.

15. Sean x, y R+ tales que x2 + y2 = 62xy. Calcule(x+ yxy

) 13

.

16. Racionalice cada una de las siguientes expresiones:

a)x+x2 1

xx2 1b)x+ hx

h

c)1x1 x

d)11 x2

x

17. Racionalicex2 + x x.

18. Justifique por que son falsas las siguientes proposiciones

a) x R, [ (x+ 1)3 = x3 + 1 ]b) x R, [ x3 1 = (x 1)(x2 x+ 1) ]c) x R, [ x6 1 = (x3 1)2 ]

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Lectura recomendada1. Repaso de algebra, secciones 0.4 (pp. 1419) de Matematica para administracion y eco-

noma, edicion 12, editorial Pearson, Haeussler, Paul y Wood.

2. Algebra, secciones 1 5 (pp. 2938) de Matematicas aplicadas a la Administracion y a laEconoma, quinta edicion, editorial Prentice Hall, Arya, Lardner y Ibarra.

3. Productos notables, Captulo 6 (pp. 138-148) de Algebra, Tomo I, Coleccion Lumbreras.

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