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Adolfo Chapuz Presenta: De La Serie Como Aprendo Álgebra.
PRODUCTOS NOTABLES
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Productos Notables
En esta sección te presento una de las herramientas básicas y clásicas del álgebra, los
Productos Notables. Son expresiones o fórmulas que sirven para desarrollar productos que
presentan un patrón de comportamiento predecible, y que nos sirven para ahorrar tiempo
cuando estamos intentando simplificar ciertos procedimientos.
OBSERVACIÓN: Debemos notar que estamos utilizando las letras a y b, pero estas mismas
fórmulas son válidas no importando que letras o variables usemos.
Empezamos…
Te presento las fórmulas y posteriormente desarrollamos ejemplos de los más comunes.
I.- CUADRADO DE UN BINOMIO
222 2)( bababa
Recuerda que podemos decirlo con palabras:
“El cuadrado del primero MÁS el doble del primero por el segundo MÁS el cuadrado del
segundo”
222 2)( bababa
“El cuadrado del primero MENOS el doble del primero por el segundo MÁS el cuadrado del
segundo”
II.-CUBO DE UN BINOMIO
32233 33)( babbaaba
OBSERVACIONES:
π Son 4 términos.
π No hay signos negativos en la fórmula son “POSITIVOS”.
π Fíjate cómo cambian las potencias de a y b: la primer potencia de a es 3, luego empieza a
disminuir en uno y las potencias de b aumentan en uno, así hasta que las potencias de a
desaparecen y las de b lleguen a 3.
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Igual existe una fórmula semejante, que más adelante vamos a ejemplificar.
32233 33)( babbaaba
III.-PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS
22))(( bababa
IV.-PRODUCTO DE BINOMIOS DE LA FORMA ))(( bxax .
abxbaxbxax )())(( 2
V.-LEY DISTRIBUTIVA DE LOS NÚMEROS REALES (DESARROLLO):
zyzxyxz )(
yzxzzyx )(
I.EJEMPLOS DEL BIMONIO AL CUADRADO
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222 2)( bababa
Desarrolle los siguientes binomios al cuadrado.
Ejemplo1. Empezamos simplemente observando que la fórmula en realidad es independiente
de la variable o letra que usemos. Lo que importa es la IDEA que está detrás de ella. La misma
fórmula se cumple si usamos x, y, z, w, r, s, p, q…
a). 222 2)( yxyxyx
b). 222 2)( wzwzwz
c). 222 2)( srsrsr
d) 222 2)(
e). 222 2)(
La idea consiste en identificar a y b y sustituir en los espacios en blanco:
222 2)( ba
Ejemplo2.
?)3( 2 x
Solución: Tomamos 3y bxa .
96
332)3(
2
222
xx
xxx
Por lo tanto:
96)3( 22 xxx
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Ejemplo3. ?)63( 2 x
Desarrollo: Tomamos 6y 3 bxa .
36369
3636)()3(
66323)63(
2
22
222
xx
xx
xxx
Por lo tanto:
36369)63( 22 xxx
Ejemplo4.
?)105( 2 x
Desarrollo: Tomamos 10y 5 bxa .
10010025
100100)()5(
1010525)105(
2
22
222
xx
xx
xxx
Por lo tanto:
10010025)105( 22 xxx
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Ejemplo5.
2)1(x
222 2)( ba
Desarrollo: ¡Fácil! Identificamos 1, bxa y sustituimos en la expresión anterior.
12
112)1(
2
222
xx
xxx
Conclusión: 12)1( 22 xxx
Ejemplo 6. ?)5
4
2
3( 2
x
Desarrollo: Sean ,2
3xa y 5
4b
25
16
5
12
4
9
25
16
10
24
2
3
5
4
5
4
2
32
2
3)
5
4
2
3(
2
2
2
22
2
xx
xx
xxx
Concluimos que:
25
16
5
12
4
9)
5
4
2
3( 22 xxx
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Ejemplo7.
?)6
7
4
1( 2
vu
Solución:
Tomamos vbua6
7y
4
1 .
22
22
2
22
2
36
49
12
7
16
1
36
49
24
14
4
1
6
7
6
7
4
12
4
1)
6
7
4
1(
vuvu
vuvu
vvuuvu
Conclusión:
222
36
49
12
7
16
1)
6
7
4
1( vuvuvu
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II.EJEMPLOS DEL BIMONIO AL CUADRADO 222 2)( bababa
Ejemplo1. Empezamos igual que anteriormente observando que la fórmula en realidad es
independiente de la variable o letra que usemos. Lo que importa es la IDEA que está detrás de
ella. La misma fórmula se cumple si usamos x, y, z, w, r, s, p, q… Además debemos tener
cuidado con el signo NEGATIVO que aparece en este caso.
EXPRESIONES EQUIVALENTES:
a). 222 2)( yxyxyx
b). 222 2)( wzwzwz
c). 222 2)( srsrsr
d) 222 2)(
e). 222 2)(
Ejemplo2. Desarrollar 2)7(x ?
Solución:
Sean 7by xa .
Aquí no consideramos el signo de b porque ya está tomado en cuenta en el signo NEGATIVO
de la fórmula.
4914
772)7(
2
222
xx
xxx
Así, concluimos que: 4914)7( 22 xxx
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Ejemplo3. 2)1(x
Desarrollo: ,xa y .1b
12
112)1(
2
222
xx
xxx
12)1( 22 xxx
Ejemplo4.
?)32( 2 t
Desarrollo: Tomamos 3by 2 ta
9124
9122
33222)32(
2
22
222
tt
tt
ttt
Por lo tanto:
9124)32( 22 ttt
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Ejemplo 5. 2)84( y
Solución: Sean 8by 4 ya
646416
64644
88424)84(
2
22
222
yy
yy
yyy
646416)84( 22 yyy Conclusión.
Ejemplo 6.
2)( xt
Desarrollo: xta by
xxtt
xxtt
xxttxt
2
2
2)(222
Conclusión:xxttxt 2)( 2
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Ejemplo 7. Desarrolla
232 )54( tx
Solución: 32 5tby 4 xa
6324
23232222
233222232
254016
5404
55424)54(
ttxx
ttxx
ttxxtx
Concluimos que :
6324232 254016)54( ttxxtx
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III.- EJEMPLOS CUBO DE UN BINOMIO
32233 33)( babbaaba
Ejemplo 1. Empezamos simplemente observando que la fórmula en realidad es independiente
de la variable o letra que usemos. Lo que importa es la IDEA que está detrás de ella. La misma
fórmula se cumple si usamos x, y, z, w, r, s, p, q…
a).32233 33)( yxyyxxyx
b). 32233 33)( wzwwzzwz
c). 32233 33)( srssrrsr
d). 32233 33)(
e). 32233 33)(
LA IDEA CONSISTE EN SEGUIR EL SIGUIENTE FORMATO:
Identificando a y b y sustituyendo en
32233 33)( ba
Ejemplo 2.
?)1( 3 x
Solución: Aquí 1by xa
133
11313)1(
23
32233
xxx
xxxx
LISTO!
El resultado es 133)1( 233 xxxx
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Ejemplo 3. ??)54( 3 t
Solución: Ojo ==>> 5by 4 ta
12530018064
1252512161564
1255435434
55435434)54(
23
23
2233
32233
ttt
ttt
ttt
tttt
La solución es:
12530018064)54( 233 tttt
Ejemplo 4. Desarrolla el siguiente binomio al cubo 3)3( x
Solución: Fácil… 3by xa
27279
27939
33333)3(
23
23
32233
xxx
xxx
xxxx
Conclusión: 27279)3( 233 xxxx
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Ejemplo 5.
3)7( x
Desarrollo: Aquí 7by xa
34314721
34349321
77373)7(
23
23
32233
xxx
xxx
xxxx
Podemos, finalmente escribir que:
34314721)7( 233 xxxx
Ejemplo 6. 3)64( yx
Solución: 6yby 4 xa
3223
33222233
32233
21643228864
66124184
66436434)64(
yxyyxx
yyxyxx
yyxyxxyx
Conclusión:
32233 21643228864)64( yxyyxxyx
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Ejemplo 7. 3)2( x
Desarrollo: 2by xa
8126
8236
22323)2(
23
223
32233
xxx
xxx
xxxx
Podemos concluir:
8126)2( 233 xxxx
Ejemplo 8. 3)8( t
Solución: 8by ta
51219224
51264324
88383)8(
23
23
32233
ttt
ttt
tttt
Conclusión: 51219224)8( 233 tttt
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Ejemplo 9. 3)32( wz
Desarrollo>> wza 3by 2
3223
33222233
32233
2754368
336292
33233232)32(
wzwwzz
wwzwzz
wwzwzzwz
Por lo tanto:
32233 2754368)32( wzwwzzwz
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III.- EJEMPLOS CUBO DE UN BINOMIO
32233 33)( babbaaba
ALERTA: NOTEMOS LOS SIGNOS NEGATIVOS!!!!
Ejemplo 1. Empezamos simplemente observando que la fórmula en realidad es independiente
de la variable o letra que usemos. Lo que importa es la IDEA que está detrás de ella. La misma
fórmula se cumple si usamos x, y, z, w, r, s, p, q…
a).32233 33)( yxyyxxyx
b). 32233 33)( wzwwzzwz
c). 32233 33)( srssrrsr
d). 32233 33)(
e). 32233 33)(
LA IDEA CONSISTE EN SEGUIR EL SIGUIENTE FORMATO:
Identificando a, b y sustituyendo en
32233 33)( ba
Ejemplo 2.
?)1( 3 x
Solución: 1by xa
133
11313)1(
23
32233
xxx
xxxx
LISTO!
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El resultado es 133)1( 233 xxxx
Ejemplo 3. ??)54( 3 t
Solución: 5by 4 ta
12530018064
1252512161564
1255435434
55435434)54(
23
23
2233
32233
ttt
ttt
ttt
tttt
La solución es:
12530018064)54( 233 tttt
Ejemplo 4. Desarrolla el siguiente binomio al cubo 3)3( x
Solución: 3by xa
27279
27939
33333)3(
23
23
32233
xxx
xxx
xxxx
Conclusión: 27279)3( 233 xxxx
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Ejemplo 5.
3)7( x
Desarrollo: 7by xa
34314721
34349321
77373)7(
23
23
32233
xxx
xxx
xxxx
Podemos, finalmente escribir que:
34314721)7( 233 xxxx
Ejemplo 6. 3)64( yx
Solución: yxa 6by 4
3223
33222233
32233
21643228864
66124184
66436434)64(
yxyyxx
yyxyxx
yyxyxxyx
Conclusión:
32233 21643228864)64( yxyyxxyx
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Ejemplo 7. 3)2( x
Desarrollo: 2by xa
8126
8236
22323)2(
23
223
32233
xxx
xxx
xxxx
Podemos concluir:
8126)2( 233 xxxx
Ejemplo 8. 3)8( t
Solución: 8by ta
51219224
51264324
88383)8(
23
23
32233
ttt
ttt
tttt
Conclusión: 51219224)8( 233 tttt
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Ejemplo 9. 3)32( wz
Desarrollo: wza 3by 2
3223
33222233
32233
2754368
336292
33233232)32(
wzwwzz
wwzwzz
wwzwzzwz
Por lo tanto:
32233 2754368)32( wzwwzzwz
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IV.-PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS
22))(( bababa
Algo de terminología:
1. Se llaman BINOMIOS CONJUGADOS porque del lado izquierdo de la fórmula
aparecen factores casi iguales, la diferencia obviamente se ve en los signos.
ba y ba
Uno tiene signo POSITIVO y el otro signo NEGATIVO.
2. Del lado derecho de la expresión aparece lo que se llama DIFERENCIA DE CUADRADOS,
esto es así porque es claro que hay UNA DIFERENCIA (resta), de CUADRADOS:
2a y
2b
3. Esta propiedad o fórmula lo que hace es SIMPLIFICAR de manera fácil y rápida este tipo de
productos.
4. Igual que en las fórmulas anteriores las variables o letras usadas son irrelevante, podemos
usar cualesquiera 2 variables, lo que importa es la IDEA que está detrás de la fórmula, es decir
las siguientes expresiones son equivalentes (iguales)
OJO: Debemos seguir el siguiente formato, identificando a y b.
22))(( bababa
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Ejemplos: simplifique los siguientes productos
Ejemplo 1.
)1)(1( xx
Solución:
Aquí tomamos: 1by xa
1
1)1)(1(
2
22
x
xxx
La conclusión es casi directa 1)1)(1( 2 xxx
Ejemplo 2.
)2)(2( xx
Solución: 2by xa
4
2)2)(2(
2
22
x
xxx
Conclusión:
4)2)(2( 2 xxx
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Ejemplo 3.
?)3)(3( xx
Solución: 3by xa
9
3)3)(3(
2
22
x
xxx
Conclusión:
9)3)(3( 2 xxx
Ejemplo 4.
)4)(4( tt
Desarrollo: 4by ta
16
4)4)(4(
2
22
t
ttt
Concluimos:
16)4)(4( 2 ttt
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Ejemplo 5.
)53)(53( xx
Desarrollo: 5by 3 xa
259
53)53)(53(
2
22
x
xxx
La conclusión es directa:
259)53)(53( 2 xxx
Ejemplo 6.
)72)(72( tt
Desarrollo: 7by 2 ta
494
72)72)(72(
2
22
t
ttt
Conclusión:
494)72)(72( 2 ttt
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Ejemplo 7.
?)2)(2( yy
Solución:
2by ya .
2
2)2)(2(22
y
yyy
Conclusión:
2)2)(2( yyy
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V.-PRODUCTO DE BINOMIOS DE LA FORMA ))(( bxax
abxbaxbxax )())(( 2
Esta fórmula sólo es válida para factores en donde el coeficiente de la x es UNO.
“El término de en medio es la SUMA a y b, el último término es el PRODUCTO de a y b”.
Ejemplo 1. )2)(3( xx
Solución:
2by 3 a
65
)2)(3()23()2)(3(
2
2
xx
xxxx
Conclusión:
65)2)(3( 2 xxxx
Ejemplos 2. )4)(1( xx
Solución:
4by 1 a
45
)4)(1()41()4)(1(
2
2
xx
xxxx
45)4)(1( 2 xxxx
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Ejemplo 3.
?)7)(5( xx
Desarrollo:
7by 5 a
352
35)2(
)7)(5()75()7)(5(
2
2
2
xx
xx
xxxx
Conclusión:
352)7)(5( 2 xxxx
Ejemplo 4.
?)9)(6( xx
Solución:
9by 6 a
543
54)3(
)9)(6()96()9)(6(
2
2
2
xx
xx
xxxx
Conclusión:
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543)9)(6( 2 xxxx
Ejemplo 5.
?)1)(10( xx
Solución:
1by 10 a
1011
10)11(
)1)(10()110()1)(10(
2
2
2
xx
xx
xxxx
Conclusión:
1011)1)(10( 2 xxxx
Ejemplo 6.
)1)(10( xx
Solución:
1by 10 a
109
10)9(
)1)(10()110()1)(10(
2
2
2
xx
xx
xxxx
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Conclusión:
109)1)(10( 2 xxxx
Ejemplo 7.
)7
4)(
3
1( xx
Desarrollo:
7
4by
3
1a
21
4
21
5
21
4)
21
5(
)7
4)(
3
1()
7
4
3
1()
7
4)(
3
1(
2
2
2
xx
xx
xxxx
Conclusión:
21
4
21
5)
7
4)(
3
1( 2 xxxx
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Dios Te Bendiga.
Profesor: Adolfo Chapuz Benítez