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GuíaProfesional

Submódulo II••• REALIZAR TOMA DE DECISIONES EN BASE

A MODELOS DE OPTIMIZACIÓN •••

Producción

Mtro. Alonso José Ricardo Lujambio Irazábal Secretario de Educación Pública

Lic. Miguel Ángel Martínez Espinosa Subsecretario de Educación Media Superior

Lic. Luis Francisco Mejía Piña Director General de Educación Tecnológica Industrial

Ing. Celso Gabriel Espinoza Corona Coordinador Nacional de Organismos

Descentralizados Estatales del CECyTE’s

Lic. Armando Mendoza Cruz Responsable de Desarrollo Académico de los CECyTE’s

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Elvira Cordero Díaz

Xóchitl Quetzal López Flores

Jorge Arturo Montes Corral

Silvia Rosa Quiñonez Valenzuela

Raúl Rojas Meza

Jorge Valles Valdez

Chihuahua

Chihuahua

Chihuahua

Chihuahua

Chihuahua

Chihuahua

Cuauhtémoc Rogelio Gamboa Rico Chihuahua

Técnico en Producción


El ser una persona exitosa requiere ser perseverante y responsable en todo lo que realices; La diferencia radica en la habilidad que desarrolles para tomar las decisiones correctas en los aspectos de más importancia en tu vida. Algo similar sucede con las empresas; las personas encargadas de tomar las decisiones de mayor impacto deben estar capacitadas para hacerlo.

A lo largo de este submódulo, desarrollarás las competencias necesarias para realizar una correcta toma de decisiones utilizando los diferentes modelos de optimización. Estas habilidades, conocimientos y actitudes las podrás aplicar tanto en tu vida personal como en el ámbito laboral en áreas manufactureras, públicas o privadas.

Las dos competencias que habrás de desarrollar en este submódulo están compuestas por una amplia gama de actividades laborales llevadas a cabo en una gran variedad de contextos que, en su mayor parte, son complejos y no rutinarios. Existe una considerable responsabilidad y, a menudo, se requiere del control y la provisión y orientación a otras personas. Por lo anterior el submodulo esta considerado dentro de un nivel de competencia 3 en la escala determinada por el CONOCER (Consejo de normalización y certificación de competencias laborales). Esperamos que el objetivo de aprendizaje sea cumplido y que disfrutes de una verdadera experiencia de aprendizaje.


Técnico en Producción

Módulo V Controlar los procesos productivos de la industria manufacturera

Submódulo II Realizar toma de decisiones en base a modelos de optimización

Competencia 1 Competencia 2

Aplicar los métodos de programación lineal

Realizar análisis de optimización aplicando los métodos

Habilidades y destrezas Habilidades y destrezas

� Evaluar el problema � Seleccionar el método � Elaborar el modelo matemático � Aplicar el método gráfico � Aplicar el método de asignación de

recursos � Aplicar el método de mezcla de dos

productos � Calcular resultados � Tomar decisiones en base a

resultados

� Evaluar el problema � Seleccionar el método � Elaborar el modelo matemático � Aplicar el método de Gauss-Jordan � Aplicar el método de maximización y

minimización � Aplicar el método simplex � Calcular resultados � Tomar decisiones en base a resultados.

Conocimientos: Conocimientos:

� Programación lineal � Método gráfico � Álgebra de matrices � Modelo matemático � Método de asignación de recursos � Método de mezcla de productos

� Teoría de modelos de optimización � Modelos de transporte � Método de maximización y

minimización � Álgebra de matrices � Método Gauss-Jordan � Método simplex

Actitudes: Actitudes:

� Responsabilidad � Orden � Limpieza

� Responsabilidad � Orden � Limpieza


¡Hola! la globalización en los mercados avanza cada vez más rápido, las empresas exitosas están reconociendo que cada vez se ha vuelto más difícil seguir siendo competitivo sin convertirse en un participante de la red comercial mundial. Los nuevos avances tecnológicos han dado lugar a la elaboración de productos cada vez más complejos y sofisticados que originan costos de desarrollo más altos y costos de producción más bajos. Esta situación es fácil de observar en productos con los que estamos en contacto diariamente como los automóviles, los alimentos, las computadoras, los, medicamentos, etc. La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo y ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de varios países. Esta Guía de aprendizaje es un material de apoyo que te acompañará en el transcurso del 6to

semestre, te será de mucha utilidad, ya que en ella encontrarás actividades didácticas que te orientaran para desarrollar las habilidades que te permitan la utilización de modelos matemáticos en la toma de decisiones dentro del ámbito laboral utilizando para ello los modelos de optimización apropiados para el cada uno de los recursos de la empresa. Este submódulo esta relacionado directamente con otras competencias de tu especialidad profesional, especialmente con las que tienen que ver con los Procesos industriales de fabricación, con la elaboración de pronósticos del volumen de ventas y de las utilidades que se obtendrán de la producción y comercialización de un artículo. También está muy relacionado con la reducción de los costos derivados de la producción de bienes y servicios. La manera de adquirir los conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes será por medio de ejemplos, ejercicios y prácticas diseñadas especialmente para que construyas los conocimientos, las actitudes y las habilidades requeridas en cada competencia. Un aspecto clave será sin duda el contacto permanente con el sector productivo de tu región. La aplicación de estas competencias es muy variada, podrás desempeñarlas casi en cualquier empresa de tu localidad como son: tu propia escuela, en una empresa automotriz, en un taller de tornos, en una maquiladora de ropa, en una oficina, en centros de distribución o de atención al cliente, entre muchas otras. Para tu evaluación habrás de presentar diferentes evidencias en tiempo y forma, te recomiendo que hagas tus trabajos con pulcritud, y respetando las prioridades y la secuencias en los procedimientos necesarios para realizar una actividad. Nos resta alentarte a trabajar y a esforzarte en cada actividad didáctica de tu guía y en las complementarias que en te propondrá tu docente.


Como ya te lo había expresado, para lograr las habilidades, destrezas y actitudes realizarás actividades muy interesantes y variadas, sin embargo, es importante que antes de iniciar comprendas con más claridad las aspectos básicos del submódulo. Te invitamos para ello a que de manera coordinada con el docente realices una visita a una empresa manufacturera de la región en la que observes y preguntes acerca de las estrategias y métodos que se aplican en la misma para optimizar el uso de los distintos recursos que se aplican en sus procesos productivos:

Durante la visita trata de dar respuesta a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué tipos de productos elaboran y que recursos utilizan?

2. ¿Qué volumen de producción de los diferentes productos?

3. ¿Cuál es el precio de los productos?

4. ¿Cómo establecieron el precio de venta de estos productos?

5. ¿Utilizan tecnología de punta?

6. ¿Cuales son sus principales centro de abastecimiento de materia prima?

7. ¿De que manera pudieran disminuir costos de producción y venta?

Ya de regreso en el aula, el docente propiciará la discusión entre los integrantes del grupo para llegar a comprender de qué manera la optimización de los recursos puede lograr la disminución de costos y de venta.

Con el apoyo de una presentación en diapositivas el docente te dará a conocer lo siguiente:

• La presentación del submódulo

• Los contenidos del submódulo

• Los resultados de aprendizaje

• Las competencias a desarrollar

• Las evidencias por desempeño, por producto y las formas de evaluar


Para asegurarte de haber comprendido la información que el docente te proporcionó, anota en el interior de los recuadros que forman el esquema siguiente los usos y aplicaciones que cada elemento pueda tener en el sector productivo.

“ARMA TU PROGRAMA”

1. Se te proporciona la estructura del submódulo en donde llenarás cada recuadro, anotando su uso y aplicación en el ámbito laboral.

NOTA: Este esquema lo encontraras en el apartado de anexos con el numero 1.

submódulo

Competencia I Competencia II

Habilidades y

destrezas

Conocimientos Actitudes Habilidades y

destrezas

Conocimientos

Actitudes

Tipos de

evidencias

Tipos de

evidencias


1. El novato

1. Golozos

2. Golozas

3. Al mal paso darle prisa

1. El parche

2. El chaperón

3. Tu primera vez

1. La estafa perfecta

Aplicar los métodos de programación lineal. 1


¡Hola!, ¿Cómo estas?:

Muchas personas que se desenvuelven en el ámbito industrial clasifican a la programación lineal como una de las herramientas mas efectivas para la toma de decisiones, ya que ésta, es la aplicación por grupos interdisciplinarios del método cieníifico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin, de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización. El utilizar ecuaciones matematicas de primer grado en lo anterior ha permitido el ahorro de miles de millones de dólares a las empresas manufactureras de los paises industrializados, sin embargo, su aplicación a otros sectores empresariales se está ampliando con rápidez.

El resultado de tu aprendizaje en esta competencia te permitirá aplicar métodos de programación lineal en contextos empresariales, es decir, plantear correctamente el problema a estudiar, elegir el método más adecuado para su solución, elaborar el modelo matemático, llegar al resultado y tomar la decisión consecuente para lograr la optimización del recurso. Esperamos así mismo que aprendas a darle valor a la limpieza, el orden y la responsabilidad como actitudes que te serán útiles tanto en tu trabajo como en todos los ámbitos de tu vida personal.

Verás como la aplicación de las matemáticas en tu vida no se limitan a la aritmética y como su uso puede ser divertido e interesante.


HABILIDADES

� Evaluar el problema. � Seleccionar el método. � Elaborar el modelo matemático. � Aplicar el método gráfico. � Aplicar el método de asignación de recursos. � Aplicar el método de mezcla de dos productos. � Calcular resultados. � Tomar decisiones en base a resultados.

RESULTADO DE

APRENDIZAJE

Al término del submódulo el alumno será capaz de realizar la toma de decisiones utilizando los modelos de optimización.

Nombre El novato No. 1

Instrucciones para el Alumno

Investigar la definición de los siguientes conceptos. Te recomendamos utilizar el libro de “Introducción a la investigación de operaciones” de Taha.

• Investigación de operaciones • Metodología de la investigación de operaciones • Programación lineal • Modelo matemático • Elementos del modelo matemático • Estructura del modelo matemático

a) Variables de decisión b) Función objetivo c) Restricciones d) Condición de no negatividad

• Método gráfico

Conocimientos a adquirir

� Programación lineal � Método gráfico � Álgebra de matrices � Modelo matemático � Método de asignación

de recursos � Método de mezcla de

productos

Manera Didáctica de Lograrlos

Se realizará una investigación por parte del alumno y con los datos obtenidos elabora la siguiente tabla.


CONCEPTO DEFINICIONES DE LAS FUENTES DE INFORMACIÓN

TÚ PROPIA EXPLICACIÓN

Investigación de operaciones 1.

2.

1.

Metodología de la investigación de operaciones

1.

2.

1.




Programación lineal 1.

2.

1.

Modelo matemático 1.

2.

1.




Elementos del modelo matemático

1.

2.

1.

Estructura del modelo matemático

1.

2.

1.




Método grafico 1.

2.

1.


Pasos para la construcción del modelo de programación lineal:

1. Definir las variables de decisión.

2. Definir el objetivo o meta en términos de las variables de decisión.

3. Definir las restricciones.

4. Restringir todas las variables para que sean no negativas.

5. Solución por el método gráfico.

6. Selección de los puntos de la solución óptima.

Nombre Golozos No. 1


Mediante el siguiente ejemplo observa el procedimiento de solución por el método grafico de un problema real de maximización

Actitudes a formar

Orden Responsabilidad

Limpieza

Manera Didáctica

de Lograrlas

Observa como el maestro trabaja con pulcritud y respeta prioridades durante la explicación del ejemplo

Competencias Genéricas a Desarrollar

Piensa crítica y reflexivamente

Trabaja en forma colaborativa

Manera Didáctica de

Lograrlas

Dando opiniones y argumentándolas

Participa en las discusiones grupales


El Sr. Pedro Méndez produce dos tipos de bolis de hielo: de leche y agua. La elaboración semanal de cada una de ellas es diferente y por lo tanto el costo de producción también lo es.

El ingreso por venta semanal de los bolis está dado por: $4.00 para los de agua y $3.10 para los de leche. El boli de leche requiere de 6 min/hombre, mientras que el de agua sólo requiere 4 min/hombre, teniendo como máximo disponible12 min/hombre.

Mientras que el espacio de almacenamiento está expresado en 1500 bolis de leche y 600 bolis de agua, tomando en cuenta que la capacidad máxima de almacenamiento es de 3000 unidades.

El Sr. Pedro Méndez quiere saber los niveles de producción de bolis semanalmente, tanto de leche como de agua, que le permitan incrementar sus ingresos por conceptos de ventas, sin excederse de la capacidad de almacenamiento y las horas/hombre trabajadas.

Solución

Pasos:

1. Identificamos las variables de decisión:

X1 : bolis de agua a producir en una semana.

X2 : bolis de leche a producir en una semana.

2. Se persigue maximizar los ingresos semanales por concepto de ventas (dinero):

Max Z = 4X1 + 3.1X2

3. Definir las restricciones en base al tiempo requerido horas/hombre y su espacio de almacenamiento:

4X1 +6X2 < 12

600X1 + 1500X2 <3000

4. Planteamiento matemático y la condición de no negatividad:

Max Z = 4X1 + 3.1X2

Sujeto a:

4X1 +6X2 < 12

600X1 + 1500X2 <3000

Para toda X1, X2 > 0


5. Solución por el método gráfico:

a) Se obtienen los puntos para graficar la recta de la restricción uno , igualando a cero las variables X1 y X2 como se muestra a continuación.

4X1 + 6X2 = 12

Si X1 = 0 4(0) + 6X2 = 12

6X2 = 12

Despejando X2

X2 = 12/6

X2 = 2

Punto A

(0,2)

Si X2 = 0 4X1 + 6(0) = 12

4X1 = 12

Despejando X1

X1 = 12/4

X1 = 3

Punto B

(3,0)

b) Se obtienen los puntos para graficar la recta de la restricción dos , igualando las variables X1 y X2 como se muestra a continuación.

600X1 + 1500X2 = 3000

Si X1 = 0 600(0) + 1500X2 = 3000

1500X2 = 3000

Despejando X2

X2 = 3000/1500

X2 = 2

Punto C

(0,2)

Si X2 = 0 600X1 + 1500(0) = 3000

600X1 = 3000

Despejando X1

X1 = 3000/600

X1 = 5

Punto D

(5,0)


5

4

3

2

1

Bolis de leche

Paletas de agua

A C

Bolis de agua

c) Se grafican las ecuaciones 1 y 2 (restricciones) en el plano cartesiano para tener el conjunto de soluciones, que es el área de soluciones posibles, que cumplen satisfactoriamente con el total de restricciones a las que está sujeta la función objetivo es el área sombreada (ver grafica 1).

X2

1 2 3 4 5 6 X1

R1 R2

B D

Grafica 1


Bolis de leche

Paletas de agua

Bolis de agua

d) Para determinar el valor máximo de Z que no viole las restricciones identificamos los puntos externos o aristas del polígono de posibles soluciones (zona sombreada ver grafica 2).

X2

X1

R1 R2

6. Evaluar la función Z = 4X1 + 3.1X2, sustituyendo en X1 y X2, para cada una de las aristas del polígono de soluciones posibles, determinados anteriormente en:

Punto 1 (0,2) para obtener Z1, Punto 2 (0,0) para obtener Z2, Punto 3 (3,0) generara Z3, con el fin de decidir el máximo valor de Z.

Si Z = 4X1 + 3.1X2

Sustituyendo punto 1

Z1 = 4(0) + 3.1(2) = 6.1


Z2 = 4(0) + 3.1(0) = 0


Z3 = 4(3) + 3.1(0) = 12

(0,2)

(0,0) (3,0)

Grafica 2

PUNTO

ÓPTIMO


Identificamos en Z3, el valor máximo de Z, luego entonces, Max Z = 12, luego entonces la solución óptima es:

X1 = 3 y X2 = 0

Con $ 12.00 se podrán fabricar 3 bolis de agua y ni ngún bolis de leche con la finalidad de obtener mayores ganancias.

Recuerda estructurar bien las restricciones y la función objetiva si es, maximizar o minimizar, o bien los signos > <


PROBLEMA DE DIETA

Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitamina W, 50 unidades de vitamina X y 49 unidades de vitamina Y. Cada onza del alimento 1 proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina X y 7 unidades de vitamina Y; cada onza del alimento 2 proporciona 10 unidades de vitamina W, 5 unidades de vitamina X y 7 unidades de vitamina Y. El alimento 1 cuesta $5.00/kg y el alimento 2 cuesta $8.00/kg.

Solución

Pasos:

1. Identificamos las variables de decisión:

X1 : Alimento 1

X2 : Alimento 2

Nombre Golozas No. 2


Mediante el siguiente ejemplo observa detenidamente el procedimiento de solución por el método grafico de un problema que el docente modela, ”Problema real de minimización “

Actitudes a formar


Limpieza

Manera Didáctica

de Lograrlas

Observa como el maestro trabaja con pulcritud y respeta prioridades durante la explicación del problema de minimización





Lograrlas

Propones diferentes alternativas de soluciones con apoyo del docente

Participa de manera colaborativa en diferentes equipos


2. Se persigue minimizar costos para satisfacer las necesidades vitamínicas:

Min Z = 5X1 + 8X2

3. Definir las restricciones en base a los requerimientos mínimos de las tres vitamina:

4X1 +10X2 > 40

10X1 + 5X2 > 50

7X1 + 7X2 > 49

4. Planteamiento matemático y la condición de no negatividad:

Max Z = 5X1 + 8X2

Sujeto a:

4X1 +10X2 > 40

10X1 + 5X2 > 50

7X1 + 7X2 > 49

Para toda X1, X2 > 0

5. Solución por el método gráfico:

a) Se obtienen los puntos para graficar la recta de la restricción uno , igualando a cero las variables X1 y X2 como se muestra a continuación.

4X1 + 10X2 = 40

Si X1 = 0 4(0) + 10X2 = 40

10X2 = 40

Despejando X2

X2 = 40/10

X2 = 4

Punto A

(0,4)

Si X2 = 0 4X1 + 10(0) = 40

4X1 = 40

Despejando X1

X1 = 40/4

X1 = 10

Punto B

(10,0)


b) Se obtienen los puntos para graficar la recta de la restricción dos , igualando las variables X1 y X2 como se muestra a continuación.

10X1 + 5X2 = 50

Si X1 = 0 10(0) + 5X2 = 50

5X2 = 50

Despejando X2

X2 = 50/5

X2 = 10

Punto C

(0,10)

Si X2 = 0 10X1 + 5(0) = 50

10X1 = 50

Despejando X1

X1 = 50/10

X1 = 5

Punto D

(5,0)

c) Se obtienen los puntos para graficar la recta de la restricción tres , igualando las variables X1 y X2 como se muestra a continuación.

7X1 + 7X2 = 49

Si X1 = 0 7(0) + 7X2 = 49

7X2 = 49

Despejando X2

X2 = 49/7

X2 = 7

Punto E

(0,7)

Si X2 = 0 7X1 + 7(0) = 49

7X1 = 49

Despejando X1

X1 = 49/7

X1 = 7

Punto F

(7,0)


12

10

8

6

4

2

A

C

D F

d) Se grafican las ecuaciones 1, 2 y 3 (restricciones) en el plano cartesiano para tener el conjunto de soluciones, que es el área de soluciones posibles, que cumplen satisfactoriamente con el total de restricciones a las que esta sujeta la función objetivo es el área sombreada (ver grafica 3).

X2

2 4 6 8 10 12 X1

R2 R3 R1

e) Para encontrar los puntos factibles de la intersección de la recta; solo se conocen dos (10,0) y (0,10) utilizando el método de reducción, se localizan las otras dos coordenadas como se muestra en la gráfica anterior el cual se explica a continuación.

• Se elige la R1 y R3 ya que son la intersección que dan uno de los dos puntos factibles.

R1 4X1 +10X2 = 40

R3 7X1 + 7X2 = 49

• Multiplicamos los miembros de la R1 (7), y los de la R3 por (-4) resultando que los coeficientes de X1 se igualan y son de signo contrario.

7 (4X1 +10X2 = 40) 28X1 + 70X2 = 280

-4 (7X1 + 7X2 = 49) -28X1 - 28x2 = -196

Grafica 3

B

E


Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta:

28X1 + 70X2 = 280

-28X1 - 28x2 = -196

42X2 = 84 despejando X2 = 84/42……………..X2 = 2

Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene:

R1 4X1 +10X2 = 40

4X1 + 10 (2) = 40

4X1 + 20 = 40

4X1 = 40 – 20

X1 = 20/4

X1 = 5 (5,2)

• Se elige la R2 y R3 ya que son la intersección que dan otro de los dos puntos factibles.

R2 10X1 +5X2 = 50

R3 7X1 + 7X2 = 49

• Multiplicamos los miembros de la R2 (7), y los de la R3 por (-10) resultando que los coeficientes de X1 se igualan y son de signo contrario.

7 (10X1 +5X2 = 50) 70X1 + 35X2 = 350

-10 (7X1 + 7X2 = 49) -70X1 - 70x2 = -490

Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta:

70X1 + 35X2 = 350

-70X1 - 70x2 = -490

-35X2 = -140 despejando X2 = -140/-35……………..X2 = 4


12

10

8

6

4

2

D F

Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene:

R2 10X1 +5X2 = 50

10X1 + 10 (4) = 50

10X1 + 40 = 50

10X1 = 50 –40

X1 = 10/10

X1 = 1 (1,4)

f) Para determinar el valor máximo de Z que no viole las restricciones identificamos los puntos externos o aristas de las posibles soluciones (zona sombreada ver grafica 4).

X2

2 4 6 8 10 12 X1

R2 R3 R1

Grafica 4

d(0,10)

c(1,4)

b(5,2)

a(10,0)


6. Evaluar la función Z = 5X1 + 8X2, sustituyendo en X1 y X2, para cada una de los puntos, determinados anteriormente en:

Punto a (10,0) para obtener Z1, Punto b (5,2) para obtener Z2, Punto c (1,4) generara Z3, Punto d (0,10) generara Z4, con el fin de decidir el mínimo valor de Z.

Si Z = 5X1 + 8X2

Sustituyendo punto “a”

Z1 = 5(10) + 8(0) = 50

Sustituyendo punto “b”

Z2 = 5(5) + 8(2) = 41

Sustituyendo punto “c”

Z3 = 5(1) + 8(4) = 37

Sustituyendo punto “d”

Z4 = 5(0) + 8(10) = 80

Identificamos en Z3, el valor mínimo de Z, luego entonces, Min Z = 37, entonces la solución óptima es:

X1 = 1 y X2 = 4

Lo que representa el valor de Z es lo mínimo que se gastará en la elaboración del concentrado, $1 para el alimento 1 y $4 para el al imento 2.

No te olvides de traer el siguiente material: Calculadora, regla, hojas milimétricas


Nombre Al mal paso darle prisa No. 3


El docente con apoyo del software “TORA” te explicará la metodología para la solución de los ejemplos anteriores, con el objetivo de comprobar los resultados, utilizando la computadora y el cañón proyector

Actitudes a formar


Limpieza

Manera Didáctica

de Lograrlas

De manera dinámica el docente te involucra en el desarrollo de los ejemplos a resolver por el software “TORA”, con respeto y presentar de manera comprensible los resultados del trabajo




Se expresa y se comunica


Lograrlas

Mediante la aplicación y la utilización del equipo de computo, comprobando la información recabada, así como, la interpretación del resultado


Supongamos que en una empresa se fabrican dos productos en cantidades desconocidas A1, A2 , los

cuales se obtienen aplicando la materia prima tres operaciones básicas, que llamaremos: cortado,

cocido y empaquetado. Cada operación se lleva a cabo en una máquina que se encuentra disponible

un cierto número de hrs por periodo según.

Productos Operación

A1 A2

Disponibilidad

Hrs/periodo

Cortado 10 6 2500

Cocido 5 10 2000

Empaquetado 1 2 500

Cada unidad de producto genera unos beneficios unitarios de 23 y 32 respectivamente. Nos

planteamos encontrar las cantidades de A1 y A2 de tal forma, que se maximicen los beneficios

Nombre El parche No. 1


Resuelve el siguiente ejercicio de maximización por el método gráfico

Actitudes a formar


Limpieza

Manera Didáctica

de Lograrlas

Al momento en que vas resolviendo el ejercicio hazlo con pulcritud y respetando los pasos para efectuar la solución del problema con los estándares de calidad requeridos





Lograrlas

Trabajando de manera conjunta con tus compañeros en la resolución de problemas

Observando la explicación del docente y preguntado tus dudas de manera cordial


RACIONES DE MÍNIMO COSTO:

Se quiere elaborar raciones para vacas lecheras del rancho “MOVAQUI”, tu propósito es el de

optimizar una ración de mínimo costo en donde apliques la programación lineal por el método grafico.

En el intervienen los siguientes datos:

Alimentos Variables Proteína cruda Energía neta de lactancia

Fibra cruda Precio

(gr) (Mcal) (gr) $

Concentrado A! 120 2.0 100 115

Forraje A2 200 1.3 280 60

Nombre El chaperón No. 2


El docente te proporciona un ejercicio de minimización, el cual resuelves por el método gráfico

Actitudes a formar


Limpieza

Manera Didáctica

de Lograrlas

Presentar de manera clara y comprensible los resultados en forma y tiempo





Lograrlas

Escucha, participa y comenta sobre soluciones pertinentes de manera grupal


NECESIDADES

Proteína cruda (gr) Energía neta de lactancia Mcal

Fibra cruda (gr)

Máximo 2000

Mínimo 1500 16.5 1300

Confundir el problema si es de maximizar o minimizar, por lo que se sugiere leer detenidamente el enunciado del problema


Un microempresario acude al mercado “la verbena” a comprar nueces con $ 50,000 pesos. Le

ofrecen dos tipos de nueces: las de tipo criolla a $50 pesos el kilogramo y las de tipo cascara de

papel a $80 pesos el kilogramo. Sabiendo que sólo dispone en su furgoneta de espacio para

transportar 700 kg de nueces como máximo y piensa vender el kilogramo de nueces de tipo criolla a

$58 pesos y el kilogramo del tipo cascara de papel a $90 pesos; contestar justificando las respuestas

a las preguntas que a continuación se muestran:

a) ¿Cuántos kilogramos de nueces de cada tipo deberá comprar para obtener el máximo

beneficio?

b) ¿Cuál será ese beneficio máximo?

Nombre Tu primera vez No. 3


Utiliza el software “TORA” para la solución de cuantos kilogramos de nueces debes de comprar para obtener un máximo beneficio

Actitudes a formar


Limpieza

Manera Didáctica

de Lograrlas

De manera dinámica el docente te involucra en el desarrollo de los ejemplos a resolver por el software “TORA”, con respeto y presentar de manera comprensible los resultados del trabajo




Aprende de forma autónoma


Lograrlas

Mediante la aplicación y la utilización del equipo de computo, comprobando la información recabada, así como, la interpretación del resultado


Recuerda traer la calculadora u hojas milimétricas


Nombre La estafa perfecta No. 1

Competencia a Desarrollar

Aplicar los métodos de programación lineal

Habilidades

� Evaluar el problema � Seleccionar el método � Elaborar el modelo matemático � Aplicar el método gráfico � Aplicar el método de asignación de recursos � Aplicar el método de mezcla de dos productos � Calcular resultados � Tomar decisiones en base a resultados


1.- En pareja investiga en una distribuidora de refresco de cola, de cualquier marca, el volumen de las ventas de las ultimas dos semanas, de dos productos (X1, X2), así mismo, el precio unitario por producto. 2.- Investiga las ventas de los dos productos de la primera semana y posteriormente los de la segunda semana, de la misma manera solicita al responsable de la distribuidora el tamaño de lote del pedido de ambos productos por quincena. 3.- En base a la información recopilada formula el modelo matemático para maximizar la ganancia óptima de la empresa, utilizando el método gráfico. 4.- La práctica se desarrolla en el aula de tu escuela, respetando las evidencias de actitud (orden, responsabilidad y limpieza). 5.- Finalmente entrega tu práctica al docente en forma y tiempo para lograr satisfactoriamente las habilidades de la competencia.

Instrucciones para el

Docente

1.- Revisar la práctica siguiendo el procedimiento que los alumnos han realizado. 2.- El alumno le debe demostrar, mediante el software “TORA” la solución óptima con la información recabada. 3.- Utilizando correctamente los instrumentos de evaluación podrá verificar el grado de desarrollo de la competencia en el alumno.


Recursos materiales de

apoyo

Hojas milimétricas, lápiz, calculadora, escuadras, equipo de cómputo, cañón y Software “TORA”

Actitudes a formar

Orden

Responsabilidad

Limpieza

Manera Didáctica

de Lograrlas

Respetar prioridades, pulcritud y calidad siguiendo los estándares requeridos en la entrega de la practica en tiempo y forma






Lograrlas

Adquirirás mediante la investigación, la participación y colaboración en equipo, las habilidades, destrezas y actitudes que reforzaras en la utilización de la tecnología

No recordar el procedimiento correcto para operar el software “TORA “

No te olvides de traer el siguiente material: Calculadora, regla, hojas milimétricas


1. Una mosca en la sopa

2. Simples

3. La telaraña

1. Matrix

2. Matrix re car ga do

3. El chalan

4. De tal palo esta la astilla

5. El volado “águila o sol”

1. Jugando con matrices

2. Aprendiendo a manejar

3. El cafre del volante

Realizar análisis de optimización aplicando los métodos 2


4. Hasta el más chimuelo masca tuercas

5. Falta “Penalización”

1. El que es buen gallo, en cualquier gallinero canta

1. La mula no era arisca la hicieron


En esta competencia analizaras y aprenderás el uso de la programación lineal donde aplicaras los métodos (Gauss-Jordan, Método Simplex y el Modelo de transporte) y te darás cuenta de lo importante que son los modelos matemáticos para obtener resultados confiables de ganancias, cantidad de artículos a fabricar, minimizar costos, así como, determinar la cantidad demandada por los centros de distribución hacia las empresas o plantas.


HABILIDADES

� Evaluar el problema

� Seleccionar el método

� Elaborar el modelo matemático

� Aplicar el método Gauss-Jordan

� Aplicar el método de maximización y minimización

� Aplicar el método simplex

� Calcular resultados

� Tomar decisiones en base a resultados

RESULTADO DE

APRENDIZAJE

Al terminar la competencia eres capaz de realizar la toma de decisiones utilizando los modelos de optimización

Nombre Una mosca en la sopa

No. 1


Investiga los pasos de solución del método Gauss-Jordan. Coméntalo con tus compañeros.


Método Gauss-Jordan


Mediante la investigación y exposición por parte de los alumnos.


En el siguiente cuadro anota las definiciones y la metodología del método “Gauss – Jordan”, de las dos fuentes de información: Libros de consulta (Bibliografía) y páginas de internet.

Bibliografía Paginas de Internet

*

*

*

*

EXPLICACIÓN Y UTILIZACIÓN DEL MÉTODO GAUSS-JORDAN

*


Usando el método Gauss-Jordan resolver el siguiente sistema de ecuaciones de n números de variables:

-3X1 +3X2 +2X3 = 1

4X1 +X2 -X3 = 2

X1 -2X2 +X3 = 3

a) Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:

-3 3 2 1

4 1 -1 2

1 -2 1 3

Nombre Matrix No. 1


Mediante la observación del modelaje de solución del método Gauss-Jordán explicado por el docente, aclararas tus dudas con respecto al ejemplo

Actitudes a formar

Orden Responsabilidad Limpieza

Manera Didáctica

de Lograrlas

El docente con el apoyo del pintarron, te explica de una manera pulcra y respetando la secuencia los pasos de solución del método Gauss-Jordán


Se expresa y se comunica.


Lograrlas

Mediante la información interpreta mensajes pertinentes y aclara sus dudas con respeto


R1 (-4)+R2

R1 (-1)+R3

R2 (1)+R1

R2 (1)+R3

R3 (1/3)+R1

R3 (-1/3)+R2

b) Si se quiere convertir la primera matriz en la segunda, se puede observar que el -3 de la primera matriz se tiene que convertir en 1, según la matriz identidad, así que hay que dividir entre -1/3,como se muestra a continuación:

-3 3 2 1

4 1 -1 2

1 -2 1 3

c) El siguiente paso para lograr una matriz identidad es obtener el siguiente 1, que en este caso iría en donde esta el 5 en la segunda fila, hay que multiplicar toda la segunda fila entre 1/5 quedando:

d) Una vez que se obtuvieron los ceros solo falta obtener el último 1 según la matriz identidad. Esto se logra multiplicando entre ½ toda la fila 3, la matriz queda de la siguiente manera y arrogando la solución del sistema de ecuaciones:

e) El resultado de las variables es:

X1= 1

X2= 0

X3= 2

1 -1 -2/3 -1/3

0 5 5/3 10/3

0 -1 5/3 10/3

1 -1 -2/3 -1/3

0 5 5/3 10/3

0 -1 5/3 10/3

1 0 -1/3 1/3

0 1 1/3 2/3

0 0 2 4

1 0 -1/3 1/3

0 1 1/3 2/3

0 0 2 4

1 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 2

R1 (-1/3)

R2 (1/5)

R3 (1/2)


Usando el método Gauss-Jordán resolver el siguiente sistema de ecuaciones de n números de variables:

2X1 +X2 +X3 = 40

X1 +2X2 -X3 = 20

2X1 +X2 +4X3 = 55

a) Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:

2 1 1 40

1 2 -1 20

2 1 4 55

Nombre Matrix re car ga do No. 2


Mediante este segundo ejemplo aclara las dudas que pudieran surgir del primer ejemplo

Actitudes a formar


Manera Didáctica

de Lograrlas

El docente con el apoyo del pintarrón, te explica de una manera pulcra y respetando la secuencia los pasos de solución del método Gauss-Jordán


Piensa critica y reflexivamente


Lograrlas

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos


R1 (-1)+R2

R1 (-2)+R3

R2 (-1/2)+R1

R3 (-1)+R1

R3 (1)+R2

b) Si se quiere convertir la primera matriz en la segunda, se puede observar que el 2 de la primera matriz se tiene que convertir en 1, según la matriz identidad, así que hay que multiplicar por 1/2,como se muestra a continuación:

2 1 1 40

1 2 -1 20

2 1 4 55

c) El siguiente paso para lograr una matriz identidad es obtener el siguiente 1, que en este caso iría en donde esta el 3/2 en la segunda fila, hay que multiplicar toda la segunda fila entre 2/3 quedando:

d) Una vez que se obtuvieron los ceros solo falta obtener el último 1 según la matriz identidad. Esto se logra multiplicando entre 1/3 toda la fila 3, la matriz queda de la siguiente manera y arrogando la solución del sistema de ecuaciones:

e) El resultado de las variables es:

X1= 15

X2= 5

X3= 5

1 ½ ½ 20

0 3/2 -3/2 0

0 0 3 15

1 ½ ½ 20

0 3/2 -3/2 0

0 0 3 15

1 0 1 20

0 1 -1 0

0 0 3 15

1 0 1 20

0 1 -1 0

0 0 3 15

1 0 0 15

0 1 0 5

0 0 1 5

R1 (1/2)

R2 (2/3)

R3 (1/3)

Como se muestra en el procedimiento del inciso “c” el renglón 3 ya no requiere ninguna operación, ya que satisface con el valor de cer o.


Con los siguientes datos resuelve el ejercicio por el método de Gauss-Jordán, usando el sistema de ecuaciones de n números de variables:

4X1 +X2 -X3 = 4

X1 -2X2 +3X3 = 11

2X1 -X2 +3X3 = 10

Nombre Jugando con matrices No. 1


Resuelve el ejercicio que te proporciona el docente por el método Gauss-Jordán

Actitudes a formar


Limpieza

Manera Didáctica

de Lograrlas

Realiza con pulcritud el ejercicio, respetando las prioridades y la secuencia en el procedimiento, ejecutando oportunamente las tareas





Lograrlas

Observando y comentando de manera grupal las dudas que se tengan durante la solución del ejercicio


Si en la matriz aumentada se tiene la unidad en la primera columna, éste se tomara directo como el renglón pivote.

Recuerda traer la calculadora y utilizar correctamente la ley de los signos


Nombre Simples

No. 2


Investiga la importancia de la utilización del método simplex en el sector productivo, así como, los pasos de solución.

Mediante la información que recabaste en la investigación del método simplex elabora un mapa mental


Método Simplex


Estos conocimientos los adquirirás con la información recabada en la previa investigación ya realizada, para poderlos aplicar en el sector productivo

Método simplex


Un taller de mantenimiento fabrica dos tipos de piezas para la reparación de equipos fundamentales del proceso productivo. Estas piezas requieren un cierto tiempo de trabajo en cada una de las tres maquinas que las procesan. Este tiempo, así como la capacidad disponible en horas y la ganancia por cada pieza se muestran en el cuadro siguiente:

TIEMPO POR PIEZA MAQUINA

A B

FONDO DE TIEMPO (hrs)

Maquina I 2 2 160

Maquina II 1 2 120

Maquina III 4 2 280

GANANCIA ($) 6 4

Nombre El chalan No. 3


El docente realiza un modelaje donde explica los pasos a seguir para solucionar problemas de maximización por el método simplex “recuerda aclarar tus dudas”

Actitudes a formar


Manera Didáctica

de Lograrlas

El docente explica el método simplex de manera clara y trabajando con pulcritud dando el procedimiento de solución del ejemplo






Lograrlas

Mediante la interacción maestro-alumno en la solución del ejemplo

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos


Se logra vender todo lo producido y se desea determinar la cantidad de piezas a fabricar que optimice la ganancia.

PROCEDIMIENTO

Max Z = 6X1 + 4X2

Sujeto a:

2X1 + 2X2 < 160

X1 + 2X2 < 120

4X1 + 2X2 < 280

1. Igualamos Z a cero, así como, el signo de negatividad y agregamos una variable de holgura por cada restricción:

Z – 6X1 – 4X2 = 0

2X1 + 2X2 + S1 = 160

X1 + 2X2 + S2 = 120

4X1 + 2X2 + S3 = 280

2. Formamos la primera tabla, recuerda que el reglón principal estará formado por todas las letras y una columna para los resultados. Y la columna principal estará formada por Z y las variables de holgura:

Vaciamos los datos numéricos en la tabla.

Esta tabla nos ayuda a separar los números de las variables o letras

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 -6 -4 0 0 0 0

S1 0 2 2 1 0 0 160

S2 0 1 2 0 1 0 120

S3 0 4 2 0 0 1 280


3. Seleccionamos la columna, en este caso el que tenga el valor más negativo, ya que el problema es de maximizar ENTRA.

4. Seleccionamos un reglón en el lado derecho y columna, se divide la columna del LD sobre la columna ENTRA y el resultado más pequeño es el renglón seleccionado como se muestra a continuación:

a) (160/2) = 80

b) (120/1) = 120

c) (280/4) = 70

Ya seleccionada ponemos una etiqueta de SALE .

5 y 6. Identificamos al elemento pivote y convertimos a uno, multiplicando a todo el renglón por su reciproco. Como lo practicado en el método Gauss-Jordan.

Recuerda que sale una variable de holgura y en su lugar entra una variable de decisión y ponemos los resultados de la multiplicación en la siguiente tabla en el renglón correspondiente como se muestra en la tabla.

ENTRA Pivote

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 -6 -4 0 0 0 0

S1 0 2 2 1 0 0 160

S2 0 1 2 0 1 0 120

S3 0 4 2 0 0 1 280

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z

S1

S2

X1 0 1 ½ 0 0 1/4 70

SALE (1/4)


7. Convertimos a ceros los demás elementos que están por arriba y por debajo de la columna seleccionada, multiplicando la columna pivote por el número que corresponde pero con signo cambiado, como se muestra en la siguiente tabla.

ENTRA

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 -6 -4 0 0 0 0

S1 0 2 2 1 0 0 160

S2 0 1 2 0 1 0 120

X1 0 1 ½ 0 0 1/4 70

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z

S1

S2

S3 0 1 ½ 0 0 1/4 70

Llevado a cabo el paso 7 la tabla queda de la siguiente manera:

SALE

(1/4)

(-1) (-2) (6)


ENTRA

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 -6 -4 0 0 0 0

S1 0 2 2 1 0 0 160

S2 0 1 2 0 1 0 120

X1 0 4 2 0 0 1 280

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 0 -1 0 0 3/2 420

S1 0 0 1 1 0 -1/2 20

S2 0 0 3/2 0 1 -1/4 50

X1 0 1 ½ 0 0 1/4 70

Como convertimos a ceros los elementos de la columna seleccionada el procedimiento fue el siguiente:

Colocamos los resultados donde corresponden

-1 X 0 = 0 + 0 = 0

-1 X 1 = -1 + 1 = 0

-1 X ½ = -½ + 2 = 3/2

-1 X 0 = 0 + 0 = 0

-1 X 0 = 0 + 1 = 1

-1 X ¼ = -¼ + 0 = -¼

-1 X 70 = -70 + 120 = 50

-2 X 0 = 0 + 0 = 0

-2 X 1 = -2 + 2 = 0

-2 X ½ = -1 + 2 = 1

-2 X 0 = 0 + 1 = 1

-2 X 0 = 0 + 0 = 0

-2 X ¼ = -½ + 0 = -½

-2 X 70 = -140 + 160 = 20

SALE (1/4)

(-1) (-2) (6)


Volvemos al paso 3,4, 5, 6 y 7 con la misma tabla.

ENTRA

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 -6 -4 0 0 0 0

S1 0 2 2 1 0 0 160

S2 0 1 2 0 1 0 120

X1 0 4 2 0 0 1 280

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 0 -1 0 0 3/2 420

S1 0 0 1 1 0 -1/2 20

S2 0 0 3/2 0 1 -1/4 50

X1 0 1 ½ 0 0 1/4 70

Z

X2 0 0 1 1 0 -1/2 20

S2

X1

6 X 0 = 0 + 1 = 0

6 X 1 = 6 - 6 = 0

6 X ½ = 3 - 4 = -1

6 X 0 = 0 + 0 = 0

6 X 0 = 0 + 0 = 0

6 X ¼ = 3/2 + 0 = 3/2

6 X 70 = 420 + 0 = 420

SALE

(1/4)

(-1) (-2) (6)

(1)

(1) (-3/2) (-1/2)


Finalmente hemos llegado a la solución óptima ya que en el reglón Z no existe ningún número negativo:

La cantidad optima en la fabricación de las dos pi ezas es: X 1 = 60 y X2 = 20, teniendo una ganancia total de Z = 440.

Z = 440

X1 = 60

X2 = 20

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 -6 -4 0 0 0 0

S1 0 2 2 1 0 0 160

S2 0 1 2 0 1 0 120

X1 0 4 2 0 0 1 280

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 0 -1 0 0 3/2 420

S1 0 0 1 1 0 -1/2 20

S2 0 0 3/2 0 1 -1/4 50

X1 0 1 ½ 0 0 1/4 70

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 0 0 1 0 1 440

X2 0 0 1 1 0 -1/2 20

S2 0 0 0 -3/2 1 1/2 20

X1 0 1 0 -1/2 0 1/2 60

SALE (1/4) (-1) (-2) (6)

(1)

(1) (-3/2) (-1/2)


Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta $35 dls. por barril y crudo pesado $30 dls. el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0.3 barriles de gasolina, 0.2 barriles de combustible para calefacción y 0.3 barriles de combustible para turbinas, mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0.3 barriles de gasolina, 0.4 barriles de combustible para calefacción y 0.2 barriles de combustible para turbinas. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de gasolina, 800000 barriles de combustible para calefacción y 500000 barriles de combustibles para turbina. Hallar las cantidades de crudo ligero y crudo pesado que debe comprar para cubrir sus necesidades al costo mínimo.

Nombre De tal palo esta la astilla No. 4


El docente realiza un modelaje donde explicará los pasos a seguir para solucionar problemas de minimización por el método simplex “recuerda aclarar tus dudas”

Actitudes a formar


Manera Didáctica

de Lograrlas

El docente explica el método simplex de manera clara y trabajando con pulcritud dando el procedimiento de solución del ejemplo






Lograrlas

Mediante la interacción maestro-alumno en la solución del ejemplo

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos


PROCEDIMIENTO

Min Z = 35X1 + 30X2

Sujeto a:

0.3X1 +0.3X2 > 900000

0.2X1 + 0.4X2 > 800000

0.3X1 +0.2X2 > 500000

X1, X2 > 0

Igualamos Z a cero, así como, el signo de negatividad y agregamos una variable de holgura por cada restricción:

Z + 35X1 + 30X2 = 0

0.3X1 +0.3X2 > 900000

0.2X1 + 0.4X2 > 800000

0.3X1 +0.2X2 > 500000

5. Formamos la primera tabla, recuerda que el reglón principal estará formado por todas las letras y una columna para los resultados. Y la columna principal estará formada por Z y las variables de holgura:

Vaciamos los datos numéricos en la tabla.

Esta tabla nos ayuda a separar los números de las variables o letras

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 35 30 0 0 0 0

S1 0 0.3 0.3 1 0 0 900000

S2 0 0.2 0.4 0 1 0 800000

S3 0 0.3 0.2 0 0 1 500000


6. Seleccionamos la columna, en este caso el que tenga el valor más positivo, ya que el problema es de minimizar ENTRA.

7. Seleccionamos un reglón en el lado derecho y columna, se divide la columna del LD sobre la columna ENTRA y el resultado más pequeño es el renglón seleccionado como se muestra a continuación:

a) (900000/0.3) = 3000000

b) (800000/0.2) = 4000000

c) (500000/0.3) = 1666666.67

Ya seleccionada ponemos una etiqueta de SALE .

5 y 6. Identificamos al elemento pivote y convertimos a uno, multiplicando a todo el renglón por su reciproco. Como lo practicado en el método Gauss-Jordan.

Recuerda que sale una variable de holgura y en su lugar entra una variable de decisión y ponemos los resultados de la multiplicación en la siguiente tabla en el renglón correspondiente como se muestra en la tabla.

ENTRA Pivote

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 35 30 0 0 0 0

S1 0 0.3 0.3 1 0 0 900000

S2 0 0.2 0.4 0 1 0 800000

S3 0 0.3 0.2 0 0 1 500000

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z

S1

S2

X1 0 1 2/3 0 0 1/3 1666666.67

SALE (1/.3)


8. Convertimos a ceros los demás elementos que están por arriba y por debajo de la columna seleccionada, multiplicando la columna pivote por el número que corresponde pero con signo cambiado, como se muestra en la siguiente tabla.

ENTRA

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 35 30 0 0 0 0

S1 0 0.3 0.3 1 0 0 900000

S2 0 0.2 0.4 0 1 0 800000

X1 0 1 2/3 0 0 1/3 1666666.67

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z

S1

S2

X1 0 1 2/3 0 0 1/3 1666666.67

Llevado acabo el paso 7 la tabla queda de la siguiente manera:

SALE

(1/.3)

(-0.2) (-0.3) (-35)


ENTRA

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 35 30 0 0 0 0

S1 0 0.3 0.3 1 0 0 900000

S2 0 0.2 0.4 0 1 0 800000

X1 0 0.3 0.2 0 0 1/3 500000

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 0 20/3 0 0 -35/3 -58333333.45

S1 0 0 1/10 1 0 -1/10 399999.99

S2 0 0 4/15 0 1 -1/15 466666.67

X1 0 1 2/3 0 0 1/3 1666666.67

Como convertimos a ceros los elementos de la columna seleccionada el procedimiento fue el mismo que el de maximizar.

SALE (1/.3)

(-0.2) (-0.3) (-35)


Volvemos al paso 3,4, 5, 6 y 7 con la misma tabla.

ENTRA

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 35 30 0 0 0 0

S1 0 0.3 0.3 1 0 0 900000

S2 0 0.2 0.4 0 1 0 800000

X1 0 0.3 0.2 0 0 1 500000

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 0 20/3 0 0 -35/3 -58333333.45

S1 0 0 1/10 1 0 -1/10 399999.99

S2 0 0 4/15 0 1 -1/15 466666.67

X1 0 1 2/3 0 0 1/3 1666666.67

Z

S1

X2 0 0 1 0 15/4 -1/4 1750000

X1

(1/.3)

SALE (15/4)


Finalmente hemos llegado a la solución óptima ya que en el reglón Z no existe ningún número negativo:

El valor de X 1 y X2 representan la cantidad de barriles que hay que com prar para ahorrar una perdida de Z.

Z = -70, 000,000

X1 = 500, 000

X2 = 1,7500, 000

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 35 30 0 0 0 0

S1 0 0.3 0.3 1 0 0 900000

S2 0 0.2 0.4 0 1 0 800000

X1 0 0.3 0.2 0 0 1 500000

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 0 20/3 0 0 -35/3 -58333333.45

S1 0 0 1/10 1 0 -1/10 399999.99

S2 0 0 4/15 0 1 -1/15 466666.67

X1 0 1 2/3 0 0 1/3 1666666.67

Z X1 X2 S1 S2 S3 LD

Z 1 0 0 0 -25 4/9 -70000000

S1 0 0 0 1 -3/8 -7/75 225000

X2 0 0 1 0 15/4 -1/15 1750000

X1 0 1 0 0 -2/3 17/45 500000

(1/.3)

(-20/3) (-1/10)

(-2/3)

SALE (15/4)


Una fábrica produce chalecos y camisas. Tres maquinas (de cortar, coser y teñir), se emplean en la producción. Fabricar una chaleco representa emplear la máquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teñir una hora; fabricar unas camisas representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teñir ninguna. La máquina de teñir se puede usar durante tres horas, la de coser doce y la de cortar siete. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ochenta pesos por cada chaleco y de cincuenta pesos por cada camisa. ¿Cómo emplearíamos las maquinas para conseguir el beneficio máximo?

Nombre Aprendiendo a manejar No. 2


Con los siguientes datos demuestra las habilidades y destrezas que has adquirido con los ejemplos anteriores

Actitudes a formar


Manera Didáctica de Lograrlas

En la solución del ejercicio trabaja respetando las prioridades y secuencia en el procedimiento, así mismo, realizaras con pulcritud y calidad tu trabajo


Se expresa y comunica



Lograrlas

Mediante la interacción alumno-docente aclarando sus dudas en la solución del ejercicio y sustentando una postura personal sobre temas de interés


Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a nuez o a fresa. Se decide repartir al menos 29,999 yogures. Cada yogurt de nuez necesita para su elaboración 0.05 gr de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa 0.02 gr de ese mismo producto. Se dispone de 9 kg de es producto para fermentación. El costo de producción de un yogurt de fresa es el doble que el de un yogurt de nuez. ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo?

Nombre El cafre del volante No. 3


Con la información que el docente te proporciona demuestra las habilidades y destrezas que has adquirido con los ejemplos anteriores

Actitudes a formar








Lograrlas

Mediante la interacción alumno-docente aclarando sus dudas en la solución del ejercicio y sustentando una postura personal sobre temas de interés

No olvides traer la calculadora y no equivocarte en la ley de los signos


Nombre El que es buen gallo, en cualquier gallinero canta No. 1


Realiza análisis de optimización aplicando los métodos

Habilidades

� Evaluar el problema � Seleccionar el método � Elaborar el modelo matemático � Aplicar el método de Gauss - Jordan � Aplicar el método simplex � Aplicar el método de maximizar y minimizar � Calcular resultados � Tomar decisiones en base a resultados


1.- Realiza una visita a una carpintería de tu localidad donde recabes las siguiente información de tres artículos diferentes:

Variables de decisión X1, X2, X3

2.- Investiga las ventas de tres productos; que materia prima bruta utilizan para la elaboración de los artículos, cual fue el costo de producción de cada uno de ellos, de la misma manera solicitar al responsable de la carpintería el tamaño de lote del pedido de los productos elaborados. 3.- En base a la información recopilada formula el modelo matemático para maximizar la ganancia óptima de la empresa, utilizando el método simplex. 4.- La práctica se desarrolla en el aula de tu escuela, respetando las evidencias de actitud (orden, responsabilidad y limpieza). 5.- Finalmente entrega tu práctica al docente en forma y tiempo para lograr satisfactoriamente las habilidades de la competencia.


Instrucciones para el Docente

El docente forma binas para realizar la investigación, en donde la información recabada puede ser en un centro de distribución o empresa manufacturera, la solución del problemas será entregada en tiempo y forman por el alumno.

Recursos materiales de apoyo

Calculadora, hojas de maquina, regla, lápiz y borrador.

Actitudes a formar Orden Responsabilidad Limpieza


Realiza con pulcritud la práctica, respetando prioridades y secuencias en el procedimiento el cual entregaras en tiempo y forma






Participa de manera grupal en la recolección de datos y la manipulación de ellos para proponer soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

Recuerda entregar la práctica completa en tiempo y forma y que la información este plasmada correctamente dentro de la tabla.

Recuerda recabar bien la información


Nombre La telaraña

No. 3


Investiga la importancia de la utilización del modelo de transporte en el sector productivo, así como, su clasificación y los pasos de solución. Con la información elabora un cuadro sinóptico en donde definas el modelo de transporte, su clasificación y la metodología de cada uno de ellos.


Modelo de transporte


Con este modelo podrás determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos

Modelo de transporte

Definición

Métodos

•

•

•

•


Una compañía de autos nuevos tiene plantas en Guadalajara, Monterrey y México. Sus centros de distribución principales están ubicados en Guanajuato y Chihuahua. Las capacidades de las tres plantas durante el trimestre próximo son de 1000, 1500 y 1200 automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2300 y 1400 vehículos. El costo de transporte de un automóvil por tren es aproximadamente de 8 centavos por milla. El diagrama de la distancia recorrida entre las plantas y los centros de distribución es el siguiente:

Guanajuato

(1)

Chihuahua

(2)

Guadalajara (1) 1000 2690

Monterrey (2) 1250 1350

México (3) 1275 850

Nombre El volado “águila o sol” No. 5


El docente realiza un modelaje donde explica los pasos a seguir para solucionar problemas de los métodos esquina noroeste, costo mínimo y vogel del modelo de transporte

Actitudes a formar


Manera Didáctica

de Lograrlas

Observa al docente como realiza con pulcritud, respetando las prioridades y secuencias en los procedimientos de solución del ejemplo, refiriéndose de una manera respetuosa ante ti





Lograrlas

De manera respetuosa se aclaran tus dudas durante el proceso de solución del ejemplo


El diagrama de la distancia de recorrido puede traducirse en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida. Esto produce los costos siguientes (redondeados a números enteros), que representa a la planta y centro de distribución del modelo original:

Guanajuato

(1)

Chihuahua

(2)

Guadalajara (1) $80 $215

Monterrey (2) $100 $108

México (3) $120 $68

Solución por el método Esquina noroeste.

a) Construir la tabla de transporte

Centros de distribución

Plantas Guanajuato Chihuahua Oferta

Guadalajara 1000

Monterrey 1500

México 1200

Demanda 2300 1400

80

100

102

215

108

68


1300

1300

0

b) Como su nombre los dice se toma la planta de Guadalajara por estar en la esquina y esta le envía al centro de distribución de Guanajuato 1000 autos, como la planta ya no tiene autos en sus almacenes:



Guadalajara 1000 1000

Monterrey 1500

México 1200

Demanda 2300 1400

Se tacha la fila la cual se abasteció y a la demanda original de 2300 autos se le restan los enviados 1000, para determinar la nueva demanda del centro de distribución que ahora es de 1300 autos como se muestra en la tabla anterior.

c) Ahora la planta de Monterrey le envía 1300 autos que solicita el centro de distribución de Guanajuato, satisfaciendo la demanda, como se satisface la demanda se procede a tachar la columna, a la oferta original de 1500 se le restan 1300 autos para determinar la oferta actual, observa la siguiente tabla:




Monterrey 1500

México 1200

Demanda 2300 1400

80

100

102

215

108

68

80

100

102

215

108

68

0

200

0


1300

0

1200

1300 1200

0 0

0

d) La planta de Monterrey le envía al centro de distribución de Chihuahua 200 autos, como la planta ya no tiene autos en sus almacenes se tacha el renglón, a la demanda.

Centros d e distribución



Monterrey 1300 200 1500

México 1200

Demanda 2300 1400

Original de 1400 autos se le restan los enviados 200 autos para determinar la nueva demanda del centro de distribución que ahora es de 1200 autos.

e) La planta de México le envía los 1200 autos que el centro de distribución de chihuahua esta demandando, que ambos quedan satisfechos mutuamente se procede a tachar el renglón a la columna y nos debe de quedar sin tachar un reglón y una columna; ambos no esta permitido tacharlos.




Monterrey 1300 200 1500

México 1200 1200

Demanda 2300 1400

80

100

102

215

108

68

0

200 0

80

100

102

215

108

68

0

200 0


f) Calculando el costo de transporte tenemos que:

Celda Mercancías asignada Costo Solución

C1-1 1000 x 80 = $ 80,000

C2-1 1300 x 100 = $ 130,000

C2-2 200 x 108 = $ 21,600

C3-2 1200 x 68 = $ 81,600

Costo total de transporte = $ 313,200

Solución por el método de Costo mínimo




Guadalajara 1000

Monterrey 1500

México 1200

Demanda 2300 1400

80

100

102

215

108

68


1300

1300 200

b) Primeramente se identifica el costo menor de la tabla de transporte en este caso es C3-2 y es de $68, por lo que la planta de México le envía al centro de distribución de Chihuahua 1200 autos, por lo tanto, se agotan los autos en sus almacenes y se procede a tachar el renglón de la planta de México, a la demanda original de 1400 y se le restan 1200 autos para determinar la nueva demanda del centro de distribución que ahora es de 200 autos.



Guadalajara 1000

Monterrey 1500

México 1200 1200

Demanda 2300 1400

c) Se identifica el costo menor de la tabla de transporte que en este caso es C1-1 y es de $80; la planta de Guadalajara le envía 1000 autos el centro de distribución de Guanajuato como en la planta ya no quedan autos, entonces se tacha el renglón de la planta de Guadalajara, a la demanda original de Guanajuato se le restan1000 autos para determinar la nueva demanda que ahora es de 1300 autos.

Centro s de distribución



Monterrey 1500

México 1200 1200

Demanda 2300 1400

80

100

102

215

108

68 0

200

80

100

102

215

108

68

0

0


1300

0

200

1300

0

200

0

d) Se localiza nuevamente el costo menor de la tabla en este caso es C2-1 y en este caso son de $100, por lo que la planta de Monterrey le envía 1300 autos al centro de distribución de Guanajuato para satisfacer la demanda, y se tacha la columna del centro de distribución, a la oferta original se le restan 1300 autos para determinar la demanda nueva y ahora es de 200 autos.

Centros de d istribución



Monterrey 1300 1500

México 1200 1200

Demanda 2300 1400

e) En esta tabla como únicamente queda C2-2 y el costo es de $108, la planta de Monterrey le envía 200 autos al centro de distribución de Chihuahua, quedando mutuamente satisfechos, por lo que se tacha la columna y nos queda el renglón sin tachar.




Monterrey 1300 200 1500

México 1200 1200

Demanda 2300 1400

80

100

102

215

108

68

0

200

0

80

100

102

215

108

68

0

200

0

0


22

f) Calculando el costo de transporte por el método de Costo mínimo tenemos que:

Celda Mercancías asignada Costo Solución

C1-1 1000 x 80 = $ 80,000

C2-1 1300 x 100 = $ 130,000

C3-2 1200 x 68 = $ 81,600

C2-2 200 x 108 = $ 21,600

Costo total de transporte = $ 313,200

Solución por el método de Vogel




Guadalajara 1000

Monterrey 1500

México 1200

Demanda 2300 1400

b) Primeramente se calculan penalizaciones por columna y renglón, al costo mayor se le resta el costo menor para obtener la penalización. Una vez calculados se escoge la penalización mayor del ejemplo y es $147 como se muestra a continuación en la tabla:

Centros de dist ribución


Guadalajara 1000

Monterrey 1500

México 1200

Demanda 2300 1400

80

100

102

215

108

68

80

100

102

215

108

68 34

147

8

135

Penalización por columna

Penalización por renglón


200

20

Una vez localizada se procede a seleccionar el costo menor de la columna y en este caso se encuentra en la celda C3-2 con un costo de $68 pesos. La planta de México le envía al centro de distribución de Chihuahua 1200 autos y se tacha el renglón, a la demanda original de 1400 autos se le restan 1200 autos para obtener la nueva demanda de 200 autos del centro de distribución.

Centros d e distribución


Guadalajara 1000

Monterrey 1500

México 1200 1200

Demanda 2300 1400

c) Al igual que el paso anterior se calculan las penalizaciones por columna y renglón de las que no hallan sido eliminadas, la penalización mayor es de $135, una vez localizada se selecciona el costo menor ($80) del renglón, que en este caso corresponde a la celda C1-1.

Centros de di stribución


Guadalajara 1000

Monterrey 1500

México 1200

Demanda 2300 1400

d)

80

100

102

215

108

68

0

0

80

100

102

215

108

68

107

8

135




1300 200

100

La planta de Guadalajara le envío 1000 autos al centro de distribución de Guanajuato y se tacha el renglón de la planta, a la demanda original de 2300 autos al cual se le restan 1000 autos para determinar la nueva demanda que son de 1300 autos.




Monterrey 1500

México 1200 1200

Demanda 2300 1400

d) Se calculan nuevas penalizaciones y en este caso nos arroga una penalización de $108, de la columna seleccionada se escoge el costo menor de $108 que se encuentra en la celda C2-2.

Centros de di stribución


Guadalajara 1000

Monterrey 1500

México 1200

Demanda 2300 1400

a)

80

100

102

215

108

68

0

0

80

100

102

215

108

68

108

8




1300 200

1300

1300 200

1300

Por lo tanto, la planta de Monterrey le envía al centro de distribución de Chihuahua la cantidad de 200 autos, para satisfacer la demanda de dicho centro y se tacha la columna. A la oferta original de la planta de Monterrey se le restan 200 autos para determinar la nueva oferta de 1300 autos.




Monterrey 200 1500

México 1200 1200

Demanda 2300 1400

e) En este inciso la única penalización que se tiene es de $100 que se encuentra en la celda C2-2, la planta de Monterrey le envía 1300 autos al centro de distribución de Guanajuato para satisfacer la demanda y únicamente se tacha la columna y nos queda el renglón sin tachar.

Centros de distribuc ión



Monterrey 1300 200 1500

México 1200 1200

Demanda 2300 1400

80

100

102

215

108

68

0

0

0

80

100

102

215

108

68

0

0

0

0

0


El servicio de parques nacionales esta recibiendo cotizaciones para talar arboles en tres localidades de un bosque. Las localidades tienen aéreas de 10000, 20000 y 30000 hectáreas. Una sola empresa taladora puede cotizar para no más del 50% de la superficie en todas las localidades. Cuatro empresas han presentado sus cotizaciones por hectárea en unidades monetarias para las tres localidades, de acuerdo con la siguiente tabla:

Localidad

1 2 3

1 520 430 570

2 0 510 495

3 650 0 710

Cotizador

4 180 210 240

Nombre Hasta el mas chimuelo masca tuercas No. 4


Con la información que el docente te proporciona demuestra los conocimientos las habilidades, destrezas y actitudes que has adquirido con los ejemplos anteriores

Actitudes a formar








Lograrlas

Mediante la interacción alumno-docente aclara tus dudas en la solución del ejercicio y sustentando una postura personal sobre temas de interés


El cotizador en sus empresas 1,2 ,3 y 4 tienen la autorización de extraer del bosque las siguientes cantidades de hectáreas: 15000, 13000,15000 y 17000 hectáreas respectivamente. ¿Calcular el costo de transporte para extraer las cantidades de hectáreas señaladas? MR.

Se envían automóviles en camión de tres centros de distribución a cinco distribuidores. El costo de envío esta basado en la distancia recorrida entre las fuentes y los destinos. El costo es independiente de si el camión hace el recorrido con una carga parcial o completa. La tabla que sigue hace un resumen de las distancias de recorrido entre los centros de distribución y los distribuidores y también las cifras mensuales de oferta y demanda calculadas en números de automóviles. Cada camión puede transportar un máximo de 18 vehículos. Dado que el costo del transporte por milla recorrida por el camión es de $10 ¿formule el problema como un modelo de transporte y obtén el costo por transportar los vehículos?

Nombre Falta “penalización “ No. 5


Con la información que el docente te proporciona demuestra los conocimientos las habilidades, destrezas y actitudes que has adquirido con los ejemplos anteriores

Actitudes a formar








Lograrlas

Mediante la interacción alumno-docente aclara tus dudas en la solución del ejercicio y sustenta una postura personal sobre temas de interés


Distribuidores Oferta

1 2 3 4 5

1 100 150 200 140 35 400

2 50 70 60 65 80 200


3 40 90 100 150 130 150

Demanda

100

200

150

160

140

Nombre La mula no era arisca la hicieron No. 1


Realizar análisis de optimización aplicando los métodos

Habilidades

� Evaluar el problema � Seleccionar el método � Elaborar el modelo matemático � Aplicar el método de Gauss - Jordan � Aplicar el método simplex � Aplicar el método de maximizar y minimizar � Calcular resultados � Tomar decisiones en base a resultados



1.- Realiza una visita a un centro de distribución (refresco, agua purificada, tortillería)

2.- Investiga cuantos centros de distribución (refresco, agua purificada, tortillería) existen en tu localidad, así mismo, la cantidad de tiendas a las cuales abastece. 3.- del centro de distribución seleccionada, preguntar cual es la producción semanal (#/artículos), de igual forma, investiga la demanda semanal de las tiendas que se abastecen. 4.- Anota el costo unitario por trasportar un artículo del centro de distribución a la tienda. 5.- Con la información recabada construye la tabla de transporte y resuelve por los tres métodos de transporte previamente practicados. 6.- Finalmente entrega tu práctica al docente en forma y tiempo para lograr satisfactoriamente las habilidades de la competencia.

Instrucciones para el Docente

El docente forma equipos de 3 o 4 jóvenes, para realizar la investigación, en donde la información recabada debe ser de un centro de distribución el cual tendrá que resolver por los tres métodos.

Recursos materiales de apoyo

Calculadora, hojas de maquina, regla, lápiz y borrador.

Actitudes a formar



Realiza con pulcritud la práctica, respetando prioridades y secuencias en el procedimiento el cual entregaras en tiempo y forma






Participa de manera grupal en la recolección de datos y la manipulación de ellos para proponer soluciones a problemas a partir de métodos establecidos


Esta guía constituye una herramienta de aprendizaje en la educación técnica de nivel medio superior y sirve de apoyo para orientar y desarrollar la actividad del alumno a través de problemáticas reales y tareas que garanticen la apropiación activa, crítico - reflexiva y creadora de los contenidos, con la adecuada dirección y control de sus propios aprendizajes, con ésto logran la adaptabilidad en el ámbito laboral y profesional con mayor éxito. Esta guía le servirá al joven a tomar decisiones aplicando los diferentes métodos en la resolución de problemas que se presentan en la empresa y se integra de dos competencias: Aplicar los métodos de programación lineal y Realizar análisis de optimización aplicando los métodos. La forma de evaluar el presente Submódulo es en primer término considerando las evidencias de conocimientos y las de desempeño y producto, así mismo, en un segundo término los instrumentos de evaluación derivado de cada uno de los ejercicios y prácticas plasmadas en la guía.

Hillier, Frederick S. y Liebermnan, Gerald J. Introducción a la investigación de Operación. México: Sexta edición editorial McGraw-Hill, 1996.

Senn, James A. Análisis y Diseño de Sistemas de Información . México: Segunda Edición, Editorial McGraw-Hill, 1992.

Taha, Hamdy A. Investigación de Operaciones. México: Segunda Edición, Ediciones Alfa Omega. 1992.

Taha, Hamdy A. Investigación de Operaciones. México: 5ª edición, Alfa omega grupo editor, 1996.

Programación lineal (En línea) Disponible en: Es.wikipedia.or/wiki/wikipedia:derechos/de/autor

Programación lineal (En línea) Disponible en: www.programaciónlineal.net/simplex.Modificada el 21 de Septiembre del 2008


CONOCER (siglas) Consejo de Normalización y Certificación de Competencias Laborales.

AUTOCAD Dibujo asistido por computadora.

SOFTWARE Conjunto de programas, instrucciones y reglas informáticas para ejecutar ciertas tareas en una computadora.

I.O. (Investigación de operaciones) Es una rama de las Matemáticas consiste en el uso de modelos matemáticos, estadísticos y algorítmicos con objeto de real un proceso de toma decisiones.

PROGRAMACIÓN LINEAL Es un procedimiento o algoritmo matemático mediante le cual se resuelve un problema indeterminado, formulada a través de ecuaciones lineales.

INTERDISCIPLINARIOS Es un conjunto de varias disciplinas que tienen un fin común.

RESTRICCIÓN Es una limitación o modificación.

PULCRITUD Es la práctica habitual de la limpieza, la higiene y el orden de nuestra persona.

REFLEXIVO Que expresa una acción realizada y recibida al mismo tiempo por el sujeto

FURGONETA Pequeño vehículo cerrado, más pequeño que un camión, destinado al transporte de mercancías.

MÉTODO Se define como el conjunto de procedimientos y recursos de que se vale para conseguir su fin

MODELAJE Es una presentación que realiza el docente al momento de estar explicando.

REFINERÍA Fábrica para refinar azúcar u otros productos como: petróleo, aceite, etc.

TRIMESTRE Es un espacio de tres meses.


submódulo

Competencia I Competencia II

Habilidades y

destrezas

Conocimientos Actitudes Habilidades y

destrezas

Conocimientos

Actitudes

Tipos de

evidencias

Tipos de

evidencias


EJERCICIOS PROPUESTOS DEL METODO GRAFICO

PROGRAMACIÓN LINEAL

EJERCICIO 1

Una pequeña fábrica de muebles produce mesas y sillas. Tarda dos horas en ensamblar una mesa y 30 minutos en armar una silla. El ensamblaje lo realizan cuatro trabajadores sobre la base de un solo turno diario de 8 horas. Los clientes suelen comprar cuando menos cuatro veces más sillas que mesas. El precio de venta es de $135 pesos por mesa y de $50 pesos por silla. Determine la combinación de sillas y mesas en la producción diaria que maximizaría el ingreso total diario de la fábrica mediante el método grafico y comente el significado de la solución obtenida.

EJERCICIO 2

Un agricultor posee 200 cerdos que consumen 90 libras de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones:

Libras por libra de alimento

Alimento Calcio Proteína Fibra Costo ($/lb)

Maíz 0.001 0.09 0.02 0.20

Harina de soya 0.002 0.60 0.06 0.60

Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son:

1. Cuando menos 1% de calcio.

2. Por lo menos 30% de proteína.

3. Máximo 5% de fibra.

¿Determine la mezcla de alimentos con el mínimo cos to por día?

EJERCICIO 3

Una planta armadora de radios produce dos modelos, HiFi – 1 yHiFi – 2, en la misma línea de ensamble. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo son:


Minutos por unidad

Estación de trabajo HiFi - 1 HiFi – 2

1 6 4

2 5 5

3 4 6

Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3, respectivamente. La compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán de HiFi – 1 y HiFi – 2 a fin de minimizar la suma de tiempos no ocupados (inactivos) en las tres estaciones de trabajo.

EJERCICIO 4

Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por máquina asignado a los dos productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son:

Minutos por unidad

Producto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Máquina 4

1 10 6 8 $2

2 5 20 15 $3

¿Determine la combinación óptima de los dos productos?

EJERCICIO 5

Una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más tiempo de mano de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sombreros son exclusivamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que se obtiene por producto es de $8 pesos para el tipo 1 y de $5 pesos para el tipo 2. Determine el número de sombreros de cada tipo que deben elaborarse para maximizar la ganancia.


MODELO DE TRANSPORTE

EJERCICIO 6

Tres plantas generadoras de energía eléctrica, con capacidades de 25, 40 y 30 millones de Kilowatts – hora (KWh), suministran electricidad a tres ciudades cuyas demandas máximas son de 30, 35 y 25 millones de KWh. El costo en unidades monetarias (u.m.) de la venta de corriente eléctrica a las diferentes ciudades, por millón de KWh, es como sigue en la siguiente tabla:

Ciudades

1 2 3

1 600 700 400

2 320 300 350

Plantas

3 500 480 450

Durante el mes de Agosto se incrementa un 20% la demanda en cada una de las tres ciudades. Para satisfacer el exceso de demanda, la compañía eléctrica debe comprar electricidad adicional de otra red, a un precio de 1000 (u.m.) por millón de KWh. Sin embargo, esta red no está conectada a la ciudad 3. Formule el problema como uno de transporte, con el fin de establecer el plan de distribución más económico, desde el punto de vista de la compañía eléctrica.

EJERCICIO 7

Tres refinerías con capacidades diarias máximas de 6, 5 y 8 millones de galones de gasolina reparten a tres áreas de distribución con demandas diarias de 4, 8 y 7 millones de galones del combustible. La gasolina se transporta a las tres áreas de distribución a través de tubería. El costo de transporte se calcula con base en la longitud de la tubería aproximadamente a 1 centavo por 100 galones por milla recorrida. La tabla de distancia que aquí se resume muestra que la refinería 1 no está conectada al área de distribución 3, que a continuación se muestra:

Áreas de distribución

1 2 3

1 120 180 __

2 300 100 80

Refinerías

3 200 250 120


Determina el plan de transporte de las refinerías a las áreas de distribución.

EJERCICIO 8

La demanda de un motor especial, pequeño en los próximos 5 periodos es de 200, 150, 300, 250 y 400 unidades. El fabricante que curte los motores tiene capacidades diferentes de producción que se estiman en 180, 230, 430, 300 y 300 unidades para los cinco periodos. No se pueden surtir los pedidos con retraso, en caso necesario, el fabricante puede ocupar tiempo extra para cubrir la demanda. La capacidad por tiempo extra, en cada periodo, se estima igual a la mitad de la capacidad de la producción regular. Los costos de producción por unidad en los cinco periodos son 100, 96, 115, 102 y 105 (u.m.) respectivamente. El costo del tiempo extra por motor es 50% mayor que el costo de producción regular. Si se produce un motor ahora, para usarse en periodos posteriores, se tendrá un costo adicional de almacenamiento de 4 (u.m.) por motor y periodo. Formule el problema como un modelo de transporte.

producciÓn ga m5 s1 completa -...

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