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Processamento digital de sinaisELEMENTOS BÁSICOS DE DSP
AmostragemA maioria dos sinais de tempo discreto vem de amostragens de sinais contínuos no tempo.A/D – conversor analógico-digital – origina uma sequênciade sinais digitais, cuja amplitude é quantizada de acordo com a amplitude do sinal de entrada.
A quantização depende do número de bits e do intervalo de quantização.
D/A – conversor digital – analógico – reconstrói o sinal analógico a partir do sinal digital
AmostragemOs sinais discretos são formados pela amostragem periódica:O intervalo de amostragem Ts é o período de amostragem e fs= (1/ Ts) é a frequência de amostragem.Uma maneira de representar o processo de amostragem émultiplicar o sinal contínuo por um trem de impulsos
Os valores das amostras são indexados pela variável inteira n:
Amostragem
Os valores das amostras são indexados pela variável inteira n:
Efeito no domínio da frequênciaA transformada de δ[t-nTs] é e-jnΩT. Assim a TF do sinal amostrado Xs(t):
Ou considerando a sequência de impulsos e sua TF: ver próxima Transparência.
Veja que (Ω=2π/Ts) é a freq de amostragem.
Finalmente, a TFTD de x[n] é:
Comparando as equações, pode-se verificar que X(ejω) é uma versão de Xs(jΩ) escalada em frequência com a mudança de escala:
Transformada de Fourier de sinais periódicosPodemos construir a TF de um sinal periódico a partir de sua representação em SF. Considere um sinal x(t) com TF X(ω) com um impulso de área 2π em ω= ωo:Aplicando a TIF:
Mais genericamente se X(ω) tem a forma de uma combinação linear de impulsos, igualmente espaçados na frequência:Então aplicando:
Isso corresponde a representação da SF de um sinal periódico. Assim, a TF de um sinal periódico com coeficientes de SF ak pode ser interpretada como um trem de impulsos ocorrendo nas frequênciasharmônicas relacionadas para as quais a área do impulso na késimaharmônica de frequência kωo é 2π vezes o késimo coeficiente da SF.Ex.:
( ) ( )02X ω = πδ ω−ω
( ) ( )01 2
2j tx t e d
+∞ ω
−∞= πδ ω−ω ω
π ∫
( ) ( )02 kk
X a k+∞
=−∞
ω = π δ ω− ω∑
( ) ( ) ( ) 00
1 1 22 2
jk tj t j tk k
k kx t X e d a k e d a e
+∞ +∞+∞ +∞ ωω ω
−∞ −∞=−∞ =−∞
= ω ω = π δ ω− ω ω =π π ∑ ∑∫ ∫
( ) ( ) ( ) 02
2
1 1T jk tk T
kx t t kT coef. da SF a t e dt
T T
+∞ + − ω
−=−∞
= δ − ⇒ ⇒ = δ =∑ ∫( ) 2 2
k
kXT T
+∞
=−∞
π π⎛ ⎞⇒ ω = δ ω−⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
AMOSTRAGEM DE SINAIS ANALÓGICOS
∫
∫
∞
∞
Ω
∞
∞
Ω−
ΩΩ=
=Ω
Ω
-
-
)(21)(
)( )(
)( analógico sinal do (TFTC) contínuo tempodeFourier de daTransforma : )(
analógico Sinal : )(
dejXtx
dtetxjX
txjX
tx
tjaa
tjaa
a
a
a
π
EFEITO DA AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
a s
a
s a sn
j t j ts s a s- -
n
j ts a s
x n x t nT : Sinal discreto obtido por amostragem
do sinal analógico x t
x t x t t nT
X j x t e dt x t t nT e dt
X j x t t nT e
+∞
=−∞
+∞∞ ∞− Ω − Ω
∞ ∞=−∞
− Ω
≡ =
= δ −
⎡ ⎤Ω = = δ −⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ω = δ −
∑
∑∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) !!!
s
s
-n
j t nTs a s s-
n
j t nT j n js a s s
n n
dt
X j x t nT e t nT dt
X j x t nT e x n e X e T
+∞ ∞
∞=−∞
+∞ ∞− Ω =
∞=−∞
+∞ +∞− Ω = − ω ω
=−∞ =−∞
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤Ω = = δ −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ω = = = ≡ ω = Ω⎣ ⎦⎣ ⎦
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∑
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ))( de (TFTD)
discreto tempodeFourier de daTransforma :
1 , 22
onde , 22
22
nxeX
TFlFFXFXeX
TlTT
XT
XeX
lTT
XnTtFtxFX
nTttxFtxTFTCX
js
sl
ssassj
sl ss
as
sj
l ssa
nsas
nsass
ω
ω
ω
πωπ
ωπωπ
πδπδ
δ
=−=Ω=
Ω=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Ω=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Ω∗Ω=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−∗=Ω
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−==Ω
∑
∑
∑∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞+
−∞=
+∞
−∞=
EFEITO DA AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA
AmostragemConsiderando xa(t) limitado em frequência, de modo que Xa(jΩ)=0 para |Ω|> Ω0: Se xa(t) for amostrado com uma
frequência de amostragem Ωs> 2Ω0, a TF do sinal xa(t) será replicada periodicamente:
Entretanto, se Ωs< 2Ω0, os espectros deslocados Xa(jΩ-jkΩs sobrepõe-se:
Essa sobreposição é chamada aliasing. E Ω0 é a freq. De Nyquista. Para evitar aliasing Ωs> 2Ω0
AMOSTRAGEM
x(n)
n
xa(t)
t
0 1 2 4
amostragem
TFTC
TFTD
amostragem
Xa(jΩ)A
Ω0-Ω0 Ω
X(e jω)2πA/Ts ω0 = Ω0Ts
ω
-Ω0Ts
Ts
π 2π-2π -π 0
0
O escalamento torna X(ejω) periódica com um período 2π
AliasingO Aliasing é uma ambiguidade que só existe com sinais discretos e não existe em sinais de tempo contínuo.
Nesse exemplo, a sequência pode representar duas senóidesde frequências diferentes.
AliasingConsidere um sinal senoidal de tempo contínuo
Amostrando x(t) a uma taxa de fs nos módulos 0ts, 1ts, 2ts, ...
Considerando a periodicidade do sinal:
Se m é um inteiro múltiplo de n, podemos fazer :
Considere um sinal senoidal de tempo contínuo
Ou seja, a sequência x[n] representando os valores amostrados de um seno de frequência f0, também representa senos de outras frequênciasf0+ kfs
Aliasing
É comum utilizar filtros passa-baixasdenominados “anti-alising” antes da entrada do sinal contínuo no AD.
AliasingOs efeitos qualitativos do aliasing podem ser percebidos nesta apresentaçào de áudio. Seis ondas dente-de-serra são tocadas. As primeiras duas dentes-de-serra tem a freqüência fundamental de 440 Hz (A4), as segundas duas ondas tem freqüência de 880 Hz (A5), e as últimas duas em 1760 Hz (A6). As ondas dente-se serra alternam entre (banlimited – non-aliased) e aliased. A taxa de amostragem é de 22.05 kHz. As ondas dente de serra de banda limitada são sintetizadas com séries de Fouries, de modo que não existem freqüências harmônicas acima da freqüência de Nyquist.
A distorção devido ao aliasing nas baixas freqüências fica óbvio com frequências fundamentais mais altas, e enquanto a onda dente-de-serra de banda limitada continua limpa em 1760 Hz, a onda dente de serra é degradada com buzzing audíveis em freqüências abaixo da fundamental.
Teorema da amostragem
Se xa(t) for limitado em faixa Xa(jΩ)=0 para |Ω|> Ω0, então xa(t) pode ser recuperado de forma única a partir de suas amostras xa(nTs) se
Ω0 é denomina frequência de Nyquist Ωs=taxa de Nyquist.
02 2s
sTπ
Ω = = Ω
Quantização e CodificaçãoUm quantizador é um sistema não linear e não invertível que transforma uma sequência de entrada x[n], com um intervalo contínuo de amplitudes em uma sequência na qual cada valor de x[n] assume um número finito de valores possíveis.
Um quantizador possui l+1 níveis de decisão e quando os intervalos de quantização são igualmente espaçados:
Onde ∆ é a resolução. Geralmente o número de níveis de um quantizador tem a forma: B+1 é o tamanho da palavra em bits. Erro de quantização:
QuantizaçãoO erro de quantização é geralmente considerado um ruído aditivo
Conversão Digital - AnalógicaSe o teorema da amostragem for obedecido, então o sinal contínuo pode ser reconstruído de forma única a partir das amostras. O processo envolve dois passos: conversão para impulsos e filtragem:
Conversão Digital - AnalógicaA saída do filtro é:
No domínio frequência: ou
O filtro apresentado é um Passa baixas ideal, o qual é impossível de ser implementado. Uma opção é a utilização de um ROZ (Retentor de ordem zero):
Conversão Digital - Analógica
Redução da taxa de amostragem por um fator inteiro
Fazemos e . Esse processo é chamado de down-sampling.A TFTD de x[n] e de x[nM]:
Redução da taxa de amostragem por um fator inteiro
Para se evitar o aliasing, a entrada x[n] deve ser filtrada antes da redução da de amostragem com um filtro passa-baixas de ωc=π/M
Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro
Se x[n]=xa[nTs], então para up-sampling:O up-sampler expande a escala de tempo por um fator L, acrescentando L-1 zeros a cada amostra de x[n]
No domínio frequência:
Ou seja, X(ejω) ésimplesmente escalada em frequência.
Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro
Um filtro passa baixas de frequência de corte ωc=π/L e ganho L faz a interpolação das amostras correspondentes aos múltiplos inteiros de L
Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro
No domínio da frequência:Sinal no tempo contínuoTFTD do sinal amostrado x[n]=Xa[nTs]TFTD da saída do up-samplerFiltro passa-baixasidealTFTD do sinal interpolado.
AMOSTRAGEM NO MATLAB
∑∑ ∆Ω−∆Ω− ∆=∆≈Ω
<<∆∆≡
m
tmjG
m
tmjGa
saG
G
emxttemxjX
Tttmxmx
mx
)()()(
)()(
)(
onde
analógico sinal um simula que discreto Sinal :