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PROBLEMAS RESUELTOS DE CAMPO MAGNÉTICO

1.- Un electrón con velocidad de 1.6x107

m/s penetra en un cubo en donde existe

un campo magnético uniforme B, como

se muestra. El electrón se desvía 90º.

¿Cuál es la magnitud de B?

Solución.

Dentro del campo magnético, el electrón

describe un cuarto de círculo de radio

r = 10 cm = 10-1 m.

De la segunda ley de Newton, tenemos:

F = ma además

F = qv x B = Bqv sen 90 = Bqv = mv2/r

De donde: B = mv/r

B = 9.0x10-4 T

2.- Un protón de carga e, de masa m

parte del reposo y es acelerado a través

de una diferencia de potencial V.

a) ¿Cuál es su energía cinética?

b) Con la energía cinética adquirida, el

protón penetra en un campo magnético

B, perpendicular a v. ¿Cuál es la fuerza

magnética que actúa sobre el protón?

c) Esta fuerza obligaría al protón a

describir un círculo. Escribir la segunda

ley de Newton para esta fuerza.

d) ¿Cuál debe ser la diferencia de

potencial V que acelera un protón, que

parte del reposo, para que entrando

dentro de un campo magnético B

perpendicular, describa una órbita de

radio r?

Solución-

a) La energía potencial eléctrica del

protón se convierte en energía

cinética.

U = qV = eV, luego

eV = ½ mv2

b) Como el campo magnético B es

perpendicular a la velocidad v, la

fuerza magnética es:

F = qv x B = Bqv sen 90 = Bqv = Bev

c) La fuerza magnética que actúa

sobre el protón lo obligaría a

describir un círculo porque es

perpendicular a la velocidad v,

lo que modifica solo la dirección

de la velocidad y no su

magnitud, el protón tendría un

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movimiento circular uniforme y

su aceleración centrípeta es v2/r.

De la segunda ley de Newton:

F = ma de donde: Bev = m v2/r

d) De la ecuación: Bev = m v2/r

tenemos que

v = Ber/m, que llevada a la ecuación

de la energía potencial eléctrica se

tiene:

eV = ½ mv2 de donde:

V = mv2/2e luego:

V = B2er2/2m

3.- Un haz de electrones sin perturbar,

de un osciloscopio, se mueve a lo largo

de la dirección x, como se muestra. El

polo sur de un imán de barra se acerca

al tubo de rayos catódicos desde arriba,

y desvía el haz. La magnitud del campo

magnético del imán es 0.05 T en la

cercanía del haz, y la velocidad de los

electrones del haz es 2x105 m/s. ¿Cuál es

la magnitud de la fuerza magnética que

actúa sobre los electrones?¿Cuál es la

dirección de esa fuerza, esto es, hacia

dónde se desvía el haz?

Solución.

Como el campo magnético se dirige al

polo sur, de modo que, como indica la

figura, el campo magnético del imán de

barra, tiene dirección +y (j), la velocidad,

v, de los electrones tiene dirección +x (i),

luego la fuerza magnética es:

F = qv x B = q(vi x Bj) = qvBk

Como sabemos, i, j, k, son los vectores

unitarios en las direcciones x, y y z

respectivamente. Reemplazando valores

F = (- 1.6 x 10-19 C)(2x105 m/s)(5x10-2T)k

F = - 1.6 x 10-15 Nk

Con la regla de la mano derecha

podemos comprobar que el producto

vectorial qv x B tiene la dirección +z. Sin

embargo, como la carga del electrón es

negativa, de modo que la fuerza sobre el

electrón está en la dirección – x, y el haz

se desvía hacia esa dirección, como se

muestra en la figura.

4.- Una partícula de carga desconocida,

q, y de masa desconocida, m, se mueve

con una velocidad v = 4.8x106 m/s en

dirección +x, entrando a una región de

campo magnético constante, como se

muestra.

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El campo tiene magnitud B = 0.5 T y está

orientado en dirección +z. La partícula

es desviada hacia la dirección –y, y

describe un fragmento de círculo, de

radio R = 0.1 m. ¿Cuál es el signo de la

carga de la partícula, y cuál es la

relación q/m?

Solución.

La fuerza magnética está expresada por

el producto vectorial F = qv x B y se

dirige según la regla de la mano

derecha, hacia la dirección – y. Para que

esta fuerza tenga esa dirección q debe

ser positiva.

La relación q/m se calcula empleando

R = mv/qB luego

q/m = v/ BR

Esta partícula es un protón

5.- Suponga que se acerca la tierra un

protón, a una velocidad de 1.5x107 m/s,

a un ángulo de 40º respecto a las líneas

del campo magnético terrestre, y queda

capturado en el cinturón inferior de Van

Allen, a una latitud media de 3000 km,

sin cambiar su velocidad. Si la

intensidad media del campo magnético

terrestre a esa altitud es de 10-5 T, calcule

la frecuencia ciclotrónica y el radio de

curvatura del movimiento del protón.

Solución.

La frecuencia ciclotrónica viene dada

por

f = qB/2πm

El protón se mueve en una espiral cuyo

radio de curvatura del componente de

velocidad perpendicular al campo

magnético. Ese componente tiene como

magnitud

vp = v sen 40º = (1.5x107 m/s)sen 40

vp = 107 m/s

El radio viene dado por

R = m vp /qB = 104 m = 10 km

6.- Un campo magnético en un punto de

la superficie de la tierra tiene un valor

de 0.6 G y está dirigido hacia abajo y

hacia el norte, formando un ángulo de

70º aproximadamente con la horizontal,

como se indica en la figura. (La

magnitud y dirección del campo

magnético terrestre varía de un lugar a

otro Los datos que aquí se dan

corresponden aproximadamente a la

parte central de los Estados Unidos.) Un

protón de carga q = 1.6x10-19 C se mueve

horizontalmente en dirección norte con

velocidad v =107 m/s. Calcular la fuerza

magnética sobre el protón.

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Solución.

La fuerza magnética es

F = qv x B pero :

v = vy j ; B = By j + Bz k

F = qv x B = q(vy j) x (By j + Bz k)

F = qvy By (j x j) + qvy Bz (j x k) = qvy Bz i

Como el campo magnético es

B = B cos 70ºj - B sen 70ºk entonces

F = qvy (B sen 70) i

F =-(1.6 x 10-19 C)(107 m/s)(0.6x10-4T)(0.94)

F = - 9.02 x 10-17 N i

La fuerza es – i hacia el oeste, como lo

indica la figura siguiente.

Se obtiene el mismo resultado si

aplicamos la definición del producto

vectorial: F = qvBsen70.

7.- Un segmento de cable de 3 mm de

longitud transporta una corriente de 3 A

en la dirección x. Se encuentra en el

interior de un campo magnético de

magnitud 0.02 T en el plano xy

formando un ángulo de 30º con el eje x,

como se indica. ¿Cuál es la fuerza

magnética ejercida sobre el segmento de

cable?

Solución

La fuerza magnética se encuentra en la

dirección de l x B que como se muestra

en la figura está en la dirección z.

F = I l x B = IlBsen30º k

F = (3.0 A)(0.003 m)(0.02 T)(sen30)k

F = 9x10-5 N k

8.- Un alambre curvado en forma

semicircular de radio R se encuentra en

el plano xy. Por él circula una corriente

I del punto a al punto b, como se indica.

Un campo magnético uniforme B = Bk

está dirigido perpendicularmente al

plano de la espira. Determinar la fuerza

que actúa sobre la parte semicircular del

alambre.

Solución

La figura siguiente muestra la fuerza dF

ejercida sobre un segmento del alambre

semicircular; esta fuerza yace sobre el

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plano xy; para determinar la fuerza total

se expresan las componentes x e y de dF

en función de θ e integramos de θ = 0 a

θ =

dF = Idl x B

dl = - dl sen θ i + dl cos θ j

además dl = R dθ

dF = Idl x B

dF = (- IR sen θ dθ i + IR cos θ dθ j) x Bk

dF = IRB sen θ dθ j + IRB cos θ dθ i

Integrando cada componente

F = IRB i (0) + IRB j (2) = 2IRB j

10.- un protón de masa m = 1.67x10-27 kg

y carga q = 1.6x10-19 C se mueve en un

círculo de radio 21 cm,

perpendicularmente a un campo

magnético B = 4000 G. Determinar el

período del movimiento y la velocidad

del protón.

Solución

4000G = 0.4T

T = 2πm/qB

La velocidad viene dada por:

v = rqB/m

v = 8.05x106 m/s