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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

CURSO : MECÁNICA DE SÓLIDOS I

PROFESOR : Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL

PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZAS EN VIGAS Y CABLES

PROBLEMA Nº 1

La viga compuesta tiene un soporte fijo en A, está conectada mediante un pasador en B y se sostiene

por medio de un rodillo en C. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la

viga.

Resolución

Para resolver este problema, primero analizamos la viga completa o viga compuesta ABC (viga

conformada por las vigas AB y BC) y luego una de sus partes, de esta manera determino las

reacciones en los apoyos A, B y C.

Análisis de la viga compuesta ABC

Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales

AM

A B C

3 pies 6 pies

piebf /500

A B

C

3 pies 6 pies

bf4500

4,5 pies

CR

YAR

XAR

AM

+

0)5,4(45009 CA RM piebfRM CA 202509 . . . (1)

Por primera condición de equilibrio:

0 XF 0XAR

0 YF bfRR CAY4500 . . . (2)

Análisis de la viga BC


BM

0)3(3000)6( piesbfpiesRC bfRC 1500


0 XF 0XBR

0 YF bfRR CBY3000 bfR

YB 1500

Reemplazando en la ecuación (1), tenemos que: piebfM A 6750

Reemplazando en la ecuación (2), tenemos que: bfRYA 3000

Determinación del número de cortes y análisis de segmentos de viga obtenidos

Desde el extremo A de la viga compuesta hasta el extremo C, es suficiente hacer un solo corte, porque

entre dichos extremos solo hay un tipo de fuerzas distribuidas y no actúan más fuerzas o momentos

externos sobre esta viga. Si asumimos que el punto de “corte” es el punto D, a una distancia x del

extremo A, tenemos que:

C B

3 pies 3 pies

bf3000

CR YBR

XBR

+


DM

030006750)2/(500 xxxM D

piebfxxM D )67502503000( 2

bfxdx

dMV D

D )5003000(

* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para 0x , tenemos:

piebfMbfV DD 6750;3000

* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para piesx 9 , tenemos:

0;1500 DD MbfV

Diagramas “V vs. x” (fuerza cortante en función de la posición x) y “M vs. x” (momento

flector en función de la posición x)

Para realizar estos diagramas se recomienda primero hacer el DCL de la viga completa y debajo de

este dibujar los diagramas solicitados.

A

x

bfx )500(

DVbf3000

piebf 6750 DM

x/2

D

+

* De estos diagramas se observa que:

piebfMybfV MAXIMOMAXIMO 67503000

3000

3000 lbf

4500 lbf

1500 lbf

-1500

2250

-6750

6 9 x (pies)

x (pies)

6

9 0

0

V (lbf)

M (lbf.pie)

6750 lbf.pie

1 m 1m

4 m

1 m 1 m

6 kN 6 kN 5 kN/m

A B

w

PROBLEMA Nº 2

Si se supone que la reacción del suelo sobre la viga AB que muestra la figura está dirigida hacia arriba

y es uniformemente distribuida, trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.

Determine asimismo los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.

Resolución

Para resolver problemas de vigas, primero se hace el DCL de la viga completa y se hallan las

reacciones en los apoyos. A continuación, se determina el número de “cortes” imaginarios que se

deben realizar a la viga y se hallan las ecuaciones de V y de M, en función de x, para cada uno de los

segmentos de viga que resulten después de realizar los “cortes”. Finalmente se dibujan los diagramas

de “V vs x” y “M vs x” a partir de las ecuaciones halladas anteriormente.

DCL de la viga completa y cálculo de “w” (reacción por unidad de longitud que ejerce

el suelo sobre la viga)

1 m 1m

4 m

1 m 1 m

6 kN 6 kN

20 kN

A B

R =8w

En este diagrama de cuerpo libre, las

fuerzas de 20 kN y 8w representan

las fuerzas resultantes de las fuerzas

distribuidas que actúan sobre la viga.

Recuerde que estas fuerzas están

aplicadas en un punto de la viga que

tiene la misma dirección de la recta

que pasa por el centroide del área de

la figura formada por las fuerzas

distribuidas (o área encerrada por la

curva de carga).

1 m 1m

4 m 1 m 1 m

6 kN 6 kN 5 kN/m

A B

Por condición del problema, la

reacción del suelo sobre la viga AB

está dirigida hacia arriba y es

uniformemente distribuida, por lo

tanto la figura dada equivale a la que

se muestra a continuación. En ella,

“w” representa la reacción por

unidad de longitud que ejerce el

suelo sobre la viga.


0 yF 0328 kNw mkNw /4

Determinación del número de “cortes” imaginarios que se deben realizar a la viga y

del número de segmentos de viga que se deben analizar

Analizando las fuerzas que actúan sobre la viga completa (observe su DCL) concluimos que, desde el

extremo A hasta el extremo B de la viga, debemos realizar CINCO “cortes” imaginarios (puntos C, D,

E, F y G en la figura siguiente).

Al realizar los CINCO “cortes” imaginarios y observando el lado izquierdo de cada “corte”, tenemos

CINCO SEGMENTOS DE VIGA que debemos analizar. Asumiendo que el extremo A de la viga es el

origen de coordenadas (ver la figura), la posición x del punto de corte viene dada por:

- Para el segmento de viga AC: mx 10

- Para el segmento de viga AD: mxm 21

- Para el segmento de viga AE: mxm 62

- Para el segmento de viga AF: mxm 76

- Para el segmento de viga AG: mxm 87

Análisis del segmento de viga AC (0 < x < 1 m)

Observando el segmento de viga AC notamos que sobre el actúan: la resultante de las fuerzas

distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza cortante VC y

el momento de flexión MC, como se muestra en la figura siguiente.

A B

y

x (m) 0 1 2 6 7 8

x x

x x

x

1er corte

2do corte

3er corte

4to corte

5to corte

C D E F G


CM

0)2/(4 xxMC

mkNxMC )2( 2

Luego:

kNxdx

dMV C

C )4(

(Es una ecuación

cuadrática)

(Es una ecuación

lineal)

+

4x VC

MC

C A

x

x/2

Análisis del segmento de viga AD (1 m < x < 2 m)

Sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción

hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia abajo, la

fuerza cortante VD y el momento de flexión MD (ver figura siguiente).

Análisis del segmento de viga AE (2 m < x < 6 m)

Sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción

hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia

abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 5(x-2) dirigida hacia abajo, la fuerza

cortante VE y el momento de flexión ME (ver figura siguiente).

Análisis del segmento de viga AF (6 m < x < 7 m)

En este caso, sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x

(reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia

abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida hacia abajo, la fuerza

cortante VF y el momento de flexión MF (ver figura siguiente).

4x VF

MF

F A

x

6 kN

1 m

20 kN

1 m

2 m 2 m

4x VD

MD

D A

x

6 kN

1 m

4x VE

ME

E A

x

6 kN

1 m

5(x-2)

1 m


DM

0)2/(4)1(6 xxxM D

mkNxxM D )662( 2

Luego:

kNxdx

dMV C

D )64(


FM

0)2/(4)4(20)1(6 xxxxM F

mkNxxM F )86262( 2

Luego:

kNxdx

dMV C

F )264(


EM

0)2/(4)1(62/)2(5 2 xxxxM E

mkNxxM E )442

1( 2

Luego:

kNxdx

dMV C

E )4(

Análisis del segmento de viga AG (7 m < x < 8 m)

En este caso, Sobre el segmento de viga AG actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x

(reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), las dos fuerzas concentradas de 6 kN

dirigidas hacia abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida hacia abajo,

la fuerza cortante VG y el momento de flexión MG (ver figura siguiente).

Diagramas “V vs. x” (fuerza cortante en función de la posición x) y “M vs. x”

(momento flector en función de la posición x)

4x VG

MG

G A

x

6 kN

1 m

20 kN

1 m

2 m 2 m 6 kN

1 m

Por 2da condición de equilibrio: 0 Totales

FM

0)2/(4

)7(6)4(20)1(6

xx

xxxM G

mkNxxMG )812322( 2

Luego:

kNxdx

dMV C

G )324(

6 kN 6 kN

20 kN

32 kN

0 1 2 4

6

7 8 x (m)

-2

-4

2

4

V kN

De la figura se concluye que:

kNV 4.max ; mkNM 4.max

PROBLEMA Nº 3

Un cable de transmisión eléctrica de 240 m de longitud y masa por unidad de longitud 0,6 kg/m se

suspende entre dos puntos que tienen la misma altura. Si la flecha es de 24 m. Calcule la tensión

máxima en el cable y el claro (distancia horizontal entre los dos puntos de apoyo).

Resolución

Según el enunciado se trata de un cable flexible sujeto a la acción de su propio peso, por lo tanto la

forma que adopta es de una catenaria tal como se muestra en la figura siguiente:

M kN.m

x (m)

2

4

0 1 2 4 6 7 8

Parábolas

x

y

xB xA

c

yB

24m

B A

C

Cable

Si consideramos que el origen del sistema de coordenadas se halla a una distancia vertical “c” debajo

del punto más bajo del cable (ver la figura anterior), la longitud “S” del segmento de cable CB y la

coordenada “y” del punto B, vienen dados por:

mS 120 ; mcy 24

Además, se cumple que:

222 cSy

Reemplazamos y y S :

222 120)24( cc

Despejando “c” (parámetro de la catenaria) , obtenemos: mc 288

Cálculo de maxT del cable:

Se sabe que la tensión del cable es máxima en el punto donde el cable tiene mayor pendiente o mayor

inclinación. En nuestro caso sería cualquiera de los apoyos, dado que los dos están al mismo nivel.

Para calcular esta tensión máxima aplicamos la ecuación

22 ScwT

Al reemplazar la carga por unidad de longitud “w”, igual a 5,886 N (0,6 kg x 9,81 m/s2), el parámetro

“c” de la catenaria, igual a 288 m, y la longitud “S” del cable, igual a 120 m, obtenemos:

NT 432,1836max

Cálculo del claro (distancia horizontal entre los dos puntos de apoyo)

De la figura se observa que el claro viene dado por la suma de las distancias xA y xB , pero como

estas distancias son iguales, la suma de ambas es igual al doble de una de ellas. Además, de la

ecuación de la catenaria

c

xhCoscy , despejando x obtenemos:

c

yharcocx cos

Luego:

m

mmharcom

c

yharcocxClaro B

B288

24288cos)288(2cos22

mClaro 5479,233

PROBLEMA Nº 4

Un cable eléctrico cuelga entre un poste y una casa. Si la masa por unidad de longitud del cable es de

2,1 kg/m, determine:

a) La distancia desde la casa hasta el punto más bajo, C, del cable.

b) La tensión máxima del cable.

c) La longitud del cable.

Resolución

Por tratarse de un cable que tiene la forma de una catenaria, elijo primero un sistema de coordenadas

cuyo origen se encuentre a una distancia vertical “c” debajo del punto más bajo de la catenaria (ver

figura siguiente).

Se sabe que la ecuación de la catenaria es:

c

xhCoscy

Además, cuando los apoyos están a diferente nivel el cable se analiza por partes.

Para el segmento de cable AC, tenemos:

c

xhCoscy A

A , Donde: )(5,0 menycy AA

Reemplazando Ay y despejando Ax obtenemos:

1

5,0cosh

carcocxA

Para el segmento de cable CB, tenemos:

c

xhCoscy B

B , Donde: )(2,1 menycy BB

Reemplazando By y despejando Bx obtenemos:

1

2,1cosh

carcocxB

De la figura dada observamos que:

mxx BA 8

Reemplazando Ax y Bx tenemos

812,1

cosh15,0

cosh

carcoc

carcoc . . . (1)

Para resolver esta ecuación (1) tenemos dos métodos:

Primer método: utilizando una calculadora programable

Si utilizamos, por ejemplo, una calculadora CASIO FX – 570 PLUS, obtenemos que:

mc 99873243,9

Segundo método: por TANTEOS

Para aplicar este método, primero hallo el valor referencial de “c” aplicando la ecuación de la parábola.

Es decir:

0

2

2T

xwy , donde: cwT 0

Luego, para el segmento de cable AC, tenemos:

cw

xw A

25,0

2

cxA


cw

xw B

22,1

2

cxB 4,2

Además: mxx BA 8 mcc 84,2

Resolviendo esta ecuación obtenemos: mc 848598,9

A partir de este valor referencial de c ( mc 848598,9 ) hallo el verdadero valor de c. Para ello

construyo la tabla siguiente, colocando como primer valor de c a este valor referencial, los demás

valores que asumimos deben ser siempre mayores, hasta hallar el verdadero valor de c.

)(mc

1

2,1cosh1

5,0cosh

carcoc

carcoc

La suma

debe

resultar

igual a

8 m

848598,9 , m9388135,7

9,9 m959815,7

10 m0005,8

99,9 m99645391,7

998,9 m9997026,7

De la tabla se concluye que el valor que más se aproxima a 8 m (sin sobrepasarlo) es 7,9997026

m, por lo tanto asumimos que:

mc 998,9

NOTA.- para mayor exactitud (que la suma se aproxima mucho más a 8m) podemos agregar

más decimales al valor de “c”, es decir asumir que “c” es por ejemplo m9985,9 , hasta

hallar su valor verdadero. En eso consiste el método de tanteos.

a) Cálculo de “ Ax ” (distancia de la casa hasta el punto más bajo del cable):

Se halló que: cxA

Reemplazando mc 998,9 (el valor hallado por el método de tanteos), obtenemos:

mxA 162,3

b) Cálculo de la tensión máxima del cable

La tensión del cable es máxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo B.

NywTT BBima 69,230max

Donde: mcyB 2,1 ; siendo mc 998,9 (el valor hallado por el método de tanteos)

Valor

referencial

c) Cálculo de la longitud del cable ( TOTALs )

Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuación siguiente:

xs c senh

c

Esta ecuación se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del

cable viene dada por:

)/()/( cxhsenccxhsencsss BACBACTOTAL

Reemplazando mxA 162,3 , mxB 838,4 y mc 998,9 (el valor hallado por el método

de tanteos), obtenemos que:

msTOTAL 244,8

PROBLEMA Nº 5

El cable de transmisión eléctrica tiene un peso por unidad de longitud de 15 piebf / . Si el punto más

bajo del cable debe estar al menos 90 pies sobre el suelo, determine la tensión máxima desarrollada

en el cable y la longitud del cable entre A y B.

Resolución

Por tratarse de una catenaria, primero elijo un sistema de coordenadas cuyo origen se halla a una

distancia vertical “c” debajo del punto más bajo del cable (ver la figura siguiente).

Se sabe que la ecuación de la catenaria es:

c

xhCoscy

Como los apoyos están a diferente nivel, el cable se analiza por partes.

Para el segmento de cable AC, tenemos:

c

xhCoscy A

A , Donde: )(90 piesenycy AA

Reemplazando Ay y despejando Ax obtenemos:

carcocxA

901cosh


c

xhCoscy B

B , Donde: )(30 piesenycy BB

Reemplazando By y despejando Bx obtenemos:

carcocxB

301cosh

De la figura dada observamos que:

piesxx BA 300

Reemplazando Ax y Bx tenemos que:

piesc

arcocc

arcoc 30030

1cosh90

1cosh

C

Para resolver la ecuación anterior utilizamos una calculadora programable CASIO FX – 570 PLUS,

y obtenemos que:

piesc 3054592,211

a) Cálculo de la tensión máxima del cable

La tensión del cable es máxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo A.

bfywTT AAima 58188,4519max

Donde: piescyA 90 ; siendo piesc 3054592,211

b) Cálculo de la longitud del cable ( TOTALs )

Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuación siguiente:

xs c senh

c

Esta ecuación se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del

cable viene dada por:

)/()/( cxhsenccxhsencsss BABCABTOTAL

Reemplazando:

piesxA 6932526,188 , piesxB 3067474,111 y piesc 3054592,211 , obtenemos que:

piessTOTAL 3166362,331

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