Problemas resueltos de Distribución Muestral:

1. En el último año, el peso de los recién nacidos tiene una media de 3000 gr. y desviación estándar de 140 gr. ¿Cuál será la probabilidad de que la media de una muestra de 100 recién nacidos sea superior a 3030 gr?

Solución:

P( X > 3030) = P( (X - µ ) / σ/√n < (3030-3000) /140/√100)= P( Z < 2.14) = 0.9838

2. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas

Solución:

Este valor se busca en la tabla de z

La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.

3. Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine:

a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros.

b. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

Solución:Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso.

a)

(0.7607)(200)=152 medias muestrales

b)

b.

(0.0336)(200)= 7 medias muestrales

4. Se supone que la estatura de los chicos de 18 años de cierta población sigue una distribución normal de media 162 cm y desviación estándar de 12 cm. Se toma una muestra al azar de 100 de estos chicos encuestados y se calcula la media. ¿Cuál es la probabilidad de que esta media esté entre 159 y 165 cm?

Solución:µ=162 cm.σ=20 cm.

P( 159 < X <165) = P( (159-162) / 12/√100< (X - µ ) / σ/√n < (165-162) /12/√100)= P( -2.5 < Z < 2.5) = P( Z < 2.5) - P( Z < - 2.5) = P( Z < 2.5) – (1 - P( Z < 2.5))= 2*P( Z < 2.5) -1 =2*(0.9938)) – 1 = 0.9876

5. En una casa de retiro la edad de las personas tiene una media de 76 años y una desviación estándar de 10 años.

a) ¿De qué tamaño debe ser la muestra aleatoria de las personas, para tener una probabilidad del 9.94% de que la edad media sea inferior a 74 años?

b) Si esta muestra se tomó de un total de 500 personas. Determinar por debajo de qué valor se encuentra el 80% de las medias muestrales probabilidad del 9.94% de que la edad media sea inferior a 74 años?

Solución:a)µ=76 años σ=10 años

P( X <74) = P( (X - µ ) / σ/√n < (74-76)/10/√n) =0.0994= P( Z < Z0) = 0.0994 ENTONCES Z0 = - 1.32

(74-76)*/10/√n = -1.32

OPERANDO

-2*√n/10 = -1.32

ENTONCES

√n = 6.6 POR LO TANTO n=43.6 APROXIMADAMENTE SE NECESITA 44 PERSONAS

b)

P( X <X0) = P( (X - µ ) / σ/√n < (X0 – 76) /10/√500) =0.80= P( Z < Z0) = 0.80 ENTONCES Z0 = 0.85

(X0-76)*/10/√500 = 0.85

OPERANDO

X0= 76.38

ENTONCES

SE ENCUENTRA POR DEBAJO DEL VALOR DE 76.38

6. Se sabe que los sueldos de los trabajadores de una empresa están distribuidos normalmente con una media de $800. Se toma una muestra aleatoria de 25 trabajadores y se encuentra que hay una probabilidad del 5% de que la media muestral exceda los $866.

a)Hallar la desviación estándar de los sueldos

b) Hallar la probabilidad de que un sueldo elegido aleatoriamente exceda los $770

Solución:a)

µ = $800

σ = ¿???

P( X > 866) = P( (X - µ ) / σ/√n < (866 – 800) /σ /√25) =0.05= P( Z > 330/ σ) = 0.05 ENTONCES 1- P( Z < 330/ σ)=0.05P( Z < 330/ σ)=0.95 330/ σ=1.65 entonces σ=$200

b)P( X > 770) = P( (X - µ ) / σ > (770 – 800) /200) = P( Z > - 0.15) ENTONCES 1- P( Z < - 0.15) = 1-(1-P( Z < 0.15))= P( Z < 0.15)= 0.5596.

7. Se calculó que el promedio de enfriamiento de todas las neveras para una línea de cierta compañía, emplean una temperatura de -4°C con una desviación típica de 1.2°C.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3°C? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.5°C?

Solución:

Z= X−μσ

μ=−4

σ=1,2

a) P(X>-3°C)Z=0.83P=0,5-0,2967=20,33%

La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3°C es de 20,33%

b) P(X<-5,5°C)Z=1,25P=0,5-0,3944=10,56%La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.5°C es de 10,56%.

8. De los 31 productos cuál es la probabilidad de que 20 salgan defectuosos, si el 50% de los productos normalmente sale defectuoso.

Solución:

Z= X−Pn√nPQ

P(X=20)=3,97%n=31P=50%Q=50%

Z1 = (19.5-15.5)/2.78 = 1.43 Z2= (20.5-15.5)/2.78= 1.79

P(X=20) = P(1.43<Z<1.79) = 0.4633-0.4236 = 3.97%

La probabilidad de que 20 productos salgan defectuosos es de 3.97%.

9. Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desvíe por más de 30 minutos del promedio?

Solución:

Z= X−μσ

√n

P(X>24,5 horas)=4,85%μ=30horasσ=3horas

n=100 pilasZ=1,6P= 0,5-0,4515= 4,85%

La probabilidad de que el promedio de la vida út il de las pilas supere las 24.5 horas es de 4.85%.

10.Se toman 36 observaciones de una máquina de acuñar monedas conmemorativas, el espesor promedio de las monedas es de 0.20 cm y una desviación de 0.01 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio del espesor de las 36 monedas supere los 0.21 cm?

Solución:

P(X>0,21cm)=0%

Z=0,21−0,200,0016

=6,25

Como el valor de Z dio muy elevado asumimos que la probabilidad es aproximadamente 0%

11.En un estudio para comparar los pesos promedios de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142 libras, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas de sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. ¿En cuál de la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas?

Solución:

μ1= 100 libras

μ2= 85 libras

σ1= 14.142 libras

σ2= 12.247 libras

n1= 20 niños

n2= 25 niñas

Z=( x1−x2 )−(μ1−μ2 )

√ σ12n1 + σ22

n2

=1,25

P=0,5-0,3944= 10,56%Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 10.56%.

12.Previo a una elección la senadora X contrata los servicios de la compañía Y para fijar la contienda establecida con los electores. Ella percibe con respecto a este punto que si tiene el 45% de los votos será nominada de acuerdo con su estrategia de campaña. Suponiendo que la compañía contratada selecciona una muestra aleatoria simple de 1600 electores registrados. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra pueda producir una proporción de 45% más dado que la verdadera proporción es del 40%?

Solución:

Z= p−P

√ P∗QnP(p>45%)=0%P = 40%Q =60%N =1660

Z=0,45−0,40

√ 0,4∗0,61600

=4,09

Como el valor de Z dio muy elevado asumimos que la probabilidad es aproximadamente 0%

13.PORCENTAJE DE VOTANTES

CANDIDATO 1 30%CANDIDATO 2 40%CANDIDATO 3 30%

¿Cuál es la probabilidad de que el candidato 1 supere al candidato 2?

Solución:

Z=( p1−p2 )−(P1−P2 )

√ P1∗Q 1

n1+P2∗Q2n2

P(C1>C2)=?

P(C1 -C2 > 0)=?

P(p1 -p2 > 0)=?

P1 = 30% ; Q1 = 70%P2 = 40% ; Q2 = 60%N = 100

Z=0−(−0,1 )

√ 1100

∗(0.3∗0.7+0.4∗0.6 )=1,49

P=0,5-0,4819=6,81%

La probabilidad de que el candidato 1 supere al candidato 2 es del 6.81%

14.Un fabricante de focos a firma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

Solución: α= 1-Nc = 10%

520 521 511 513 510513 522 500 521 495496 488 500 502 512510 510 475 505 521506 503 487 493 500

μ=500hn=25Nc=90%X=505.36S= 12,07

t= X−μS

√n

v = n-1 = 24

t = 2.22

Se puede concluir que la media poblacional no es 500, porque la muestra poblacional está por encima de esta, y por lo tanto debería estar por encima de 500.

15.De un total de 1000 muestras de 200 niños cada una, en cuantas cabe esperar (a) menos del 40% sean niños, (b) entre el 40% y el 60% sean niñas, (c) El 53% o más sean niñas.

Solución:

Datos:

n = 200

La probabilidad de que sea niño o niña es la misma p = 0.5 q = 0.5

a)

b)

c)

16.Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente de forma normal con una media de 174,5 centímetros y una desviación estándar de 6,9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 de esta población, determine: la media y la desviación estándar de la distribución muestral del promedio muestral.

Solución:

Población: N=1000 estudiantes

Se mide la variable X= estaturas de estudiantes en centímetros

X ~ N(174 ;5, 9,6 )es decir

μ=¿174,5 cms

σ=6cms

Muestra: n=25.

La distribución muestral de la media muestral es:

x ~ N(174 ;5, 9,6 / 25 )

Por lo tanto la media del promedio muestral x es µ x = 174, 5 cms y la desviación estándar de x es

17.Una empresa fabrica elementos con una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 de tales elementos tenga una vida promedio de por lo menos de 775 horas.

Solución:

18.Uno de los principales fabricantes de televisores compra cables a dos compañías. Los cables de la compañía A tienen una vida media de 7,2 años con una desviación estándar de 0,8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6,7 años con una desviación estándar de 0,7.Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A tenga una vida promedio de al menos 1 año más que la de una muestra aleatoria de 40 cables de la compañía B.

Solución:

DatosμA=7,2 μB=6,7σA=0,8 σB=0,7nA=34 nB=40

19.Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6,5 y varianza 4.

Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos.

Solución:

Nos encontramos ante una distribución normal N(6,5,√4 )= N(6,5,2)

Tipificamos el valor 8

La probabilidad pedida es el área a la derecha de z = 0'75.Consultando las tablas obtenemos: 0,22663= 22,7%

20.La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación estándar de dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del tiempo de garantía. Si está dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan, ¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca? Suponga que la duración de un motor sigue una distribución normal.

µ = 10 y σ = 2

P3 Área = 0.03

Φ( Z ) = 0.03

Z = -1.88

x = Zσ + µ = (-1.88)(2) + 10 = 6.24