Problemas NP-completos e Programação Dinâmica

Profa. Sandra de AmoBCC- UFU

O que são problemas NP-completos ?

Classe P

Classe P = problemas cujas respostas são encontradas utilizando algum algoritmo O(nk)

Classe NP = problemas para os quais “testar se uma determinada sugestão de resposta é ou não correta” é feito utilizando algum algoritmoO(nk)

Classe NP

Problema em aberto desde os anos 70: P = NP ???

Características de um problema NP

Consistem basicamente em:

(1) enumerar todas as possiveis soluções (um número exponencial de possibilidades) e

(2) testar uma por uma se são soluções !

A parte (1) é exponencial O(2n) mas a parte (2) é polinomial

Problemas NP-completosProblemas de Decisão: resposta é Sim ou Não

Um exemplo de problema de decisão: Primo(n): n é primo ?

Problema redutível a outro: P1 é redutivel em P2 seÉ possivel programar um algoritmo em tempo polinomial que mapeia as entradas de P1 nas entradas de P2 de modo que inputs positivos de P1 (P1 responde Sim) são mapeados em inputs positivos de P2 (P2 responde Sim) e inputs negativos de P1 (P1 responde Não) são mapeados em inputs negativos de P2 (P2 responde Não).

Problema NP-completo : é um problema X da classe NP que é mais difícil que qualquer outro problema desta classe, isto é, qualquer problema da classe NP se reduz a X.

Se existir um algoritmo O(nk) que resolve X então P = NP

Como a conjectura P = NP ainda não foi mostrada, é bem provável que X não seja solúvel por nenhum algoritmo O(nk)

Classe P

Classe NP

Classe dos problemas NP-completos = os mais “difíceis” da classe NPResolvendo um deles com um algoritmo polinomial P=NP

Como mostrar que um problema é NP-completo ?

Suponha que P1 seja um problema que já se mostrou ser NP-completo.

Um destes problemas é o problema SAT (Teorema de Cook-Lewin)

Seja um problema P2 com complexidade desconhecida.Se você conseguir uma redução de P1 para P2, então você terá provado que P2 é NP-completo !!

ExemplosAlguns problemas da classe P• Problema da conectividade em grafos• Problema de encontrar o caminho mais curto ligando

dois vértices em um grafo• Problema do alinhamento de strings

Alguns problemas NP-completos• Problema SAT• Problema da Mochila (com e sem repetição de objetos)• Problema do Caixeiro Viajante

Problemas de Decisão versus Problemas de Otimização

• Todo problema de otimização (PO) tem um problema de decisão associado (PDe) e vice-versa.

Exemplo: Problema do Caixeiro Viajante (CV) é um problema de otimização.

Versão do problema CV de decisão:

Input: {C1,...,Cn}, matriz n x n de distâncias, B > 0Output : existe um tour saindo de C1 e voltando a C1,

passando por todas as cidades uma única vez, tal que seu comprimento total é < B ?

Problemas de otimização NP-hard• Se o problema de decisão PDe é NP-completo, PO é

NP-hard.

• Problemas da classe NP são problemas de decisão.

• Problemas NP-hard: Seja A um problema de otimização. Dizemos que A é NP-hard se:– qualquer problema X(De) da classe NP se reduz a

A(De) – Repare que A não precisa ser NP (A não é de

decisão !)

Problemas de otimização NP-hard e programação dinâmica

Programação Dinâmica é uma técnica que fornece algoritmos mais eficientes do que o de força bruta para resolver muitos problemas NP-hard.

Tais algoritmos não são polinomiais !

Problema da Mochila (PM): projetando um algoritmo PD para PM

Input: W > 0 (peso máximo que a mochila suporta),

Objetos = {o1,o2,...,on}, Valores = { v1, ..., vn } Pesos = { p1, ..., pn}

Output: quais objetos escolher de

modo a poder carregar na mochila e obter o lucro máximo ?

Versão com repetição

É permitido pegar um número qualquer de cópias de cada objeto.

K(w) = valor máximo que é possivel carregar com uma mochila de capacidade w.

Subproblemas:

K(w) = max {K(w – wi) + vi : i = 1,...,n, wi ≤ w}

Ideia da fórmula• Mochila de capacidade W• Pesos disponiveis abaixo de W: p1, p2, p3• Para cada peso pi ≤ W podemos pegar o objeto correspondente de

valor vi e colocar na mochila

• O valor na mochila depois de pegar o objeto de peso pi será vi e sobrará uma capacidade de W – pi

• Os subproblemas a resolver são : K(W-p1), K(W-p2), K(W-p3)• Uma vez resolvido estes 3 subproblemas, o problema original K(W)

é resolvido considerando: max { K(W- p1) + v1, K(W- p2) + v2, K(W – p3) + v3}

Algoritmo

Complexidade = O(nW)

Algoritmo não é polinomial em W !

Algoritmo é EXPONENCIAL em W, pois a complexidade é medidaem relação ao tamanho da representação da grandeza !

1. K(0) = 0, L = [ ] 2. For w = 1, ..., W3. K(w) = max {K(w-wi) + vi: wi ≤ W}4. i = arg K(w)5. L(w) = insert(i, L(w-wi)) 6. Retorna L(W)

Exemplo de execução do algoritmo

Como lidar com problemas de otimização NP-hard ?

• Programação dinâmica produz algoritmos (exponenciais) mais eficientes que os algoritmos de força bruta para resolver problemas de otimização NP-hard.

• Programação linear é outra técnica que produz algoritmos mais eficientes que os de força bruta para resolver problemas de otimização NP-hard.

• Algoritmos Aproximados

Algoritmos AproximadosPara problema de Minimização πSeja A um algoritmo que resolve π aproximadamente, produzindo resposta A(I) no input I

Razão de aproximação de A:

Como se trata de um problema de minimização: αA ≥ 1

αA : mede quantas vezes, no pior caso, a solução aproximada fornecida por A excede a solução optimal

αA = max A(x)Opt(x)

dentre todos os inputs x do problemax

Algoritmos AproximadosPara problemas de maximização:

αA : mede quantas vezes, no pior caso, a solução aproximada fornecida por A fica abaixo da solução da otimal.

αA = max Opt(x)A(x)

dentre todos os inputs x do problemax

Algoritmos Aproximados• Objetivo de um “bom” algoritmo aproximado:

– Polinomial– αA é o mais próximo de 1 possivel: αA – 1 é bem pequeno

• Problemas NP-Hard aproximáveis Um problema NP-hard é aproximável se existe um algoritmo A de complexidade polinomial que o aproxima.

Hierarquia de Aproximação dos Problemas NP-hard

• Problemas Totalmente Aproximáveis Para todo ε> 0 existe um algoritmo A, polinomial, que aproxima o

problema com razão de aproximação 1 ≤ αA ≤ 1 + ε

Ex. Problema da Mochila, Two-Machine scheduling • Problemas Parcialmente Aproximáveis: existe algoritmo polinomial

que aproxima o problema com razão 1 ≤ αA ≤ K

Repare que neste caso, nem sempre se encontra um algoritmo aproximado com razão ‘bem’ próxima de 1.

Ex. Vertex Cover, Caixeiro Viajante “euclidiano”• Problemas Não-Aproximáveis: Não existe algoritmo polinomial que

o aproxima com razão 1 ≤ αA ≤ K

(a menos que P = NP) Ex. Problema do Caixeiro Viajante geral