UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGOPREPARATORIA AGRÍCOLA

CÁLCULO INTEGRALEJERCICIOS RESUELTOS

28¿∫ t 3dt

√a4+t 4=√a4+t 4

2+C

∫ t3dt

√a4+ t 4=∫ t 3dt

(a4+ t 4)12

=∫ t 3(a4+ t4)−12 dt

Fórmula:

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

Cambio de variable:

u=a4+ t4→du=4 t 3dt ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;n=−12

∫ t3dt

√a4+ t 4=∫ t3(a4+t 4)

−12 dt

¿∫un du4

=14∫ undu=1

4 ( un+1n+1 )+C

¿ 14 ((a4+ t4)

−12

+1

−12

+1 )+C=14 ((a4+t 4)

12

12

)+C=24(a4+t 4)

12+C=1

2√a4+t 4+C

∴∫ t3dt

√a4+ t4=√a4+t 4

2+C Resp .

29¿∫ dy

(a+by)3= −12b (a+by)2

+C

∫ dy

(a+by )3=∫(a+by)−3dy

Fórmula:

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

HECHO POR CEREBRITO

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CÁLCULO INTEGRALCambio de variable:

u=a+by→du=bdy;;; ; ; ; ; ; ;n=−3

∫ dy

(a+by )3=∫(a+by)−3dy

¿∫un dub

=1b∫undu=1

b ( un+1

n+1 )+C

¿ 1b ((a+by)−3+1−3+1 )+C

¿ 1b ((a+by)−2−2 )+C= 1

−2b(a+by)−2+C= −1

2b(a+by )2+C

∴∫ dy

(a+by )3= −12b(a+by )2

+C Resp .

30¿∫ x dx

(a+bx2)3= −14b (a+bx2)2

+C

∫ x dx

(a+bx2)3=∫ x (a+bx2)−3dx

Fórmula:

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

Cambio de variable:

u=a+bx2→du=2b x dx ;;; ; ; ; ;n=−3

∫ x dx

(a+bx2)3=∫ x (a+bx2)−3dx

¿∫un du2b

= 12b

∫undu= 12b ( un+1n+1 )+C

HECHO POR CEREBRITO

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CÁLCULO INTEGRAL

¿ 12b ( (a+bx2)−3+1−3+1 )+C= 1

2b ((a+bx2)−2−2 )+C¿ 1−4b

(a+bx2)−2+C= −14b(a+bx2)2

+C

∴∫ xdx

(a+bx2)3= −14 b(a+bx2)2

+C Resp .

31¿∫ t 2dt(a+bt 3)2

= −13b(a+bt 3)

+C

∫ t 2dt(a+bt 3)2

=∫ t 2(a+bt 3)−2dt

Fórmula:

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

Cambio de variable:

u=a+b t 3→du=3b t 2dt ; ;; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; n=−2

∫ t 2dt(a+bt 3)2

=∫ t 2(a+bt 3)−2dt

¿∫un du3b

= 13b

∫ undu= 13b ( un+1n+1 )+C

¿ 13b ((a+bt3)−2+1−2+1 )+C= 1

3b ((a+bt 3)−1−1 )+C= −13b(a+bt 3)

+C

∴∫ t 2dt(a+bt 3)2

= −13b(a+bt3)

+C Resp .

32¿∫ z (a+bz3)2dz=a2 z2

2+ 2abz

5

5+ b

2 z8

8+C

HECHO POR CEREBRITO

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CÁLCULO INTEGRAL

∫ z (a+bz3)2dz=∫ z (a2+2ab z3+b2 z6 )dz=∫ ( z a2+2ab z4+b2 z7 )dz=¿

¿∫a2 z dz+∫2ab z4dz+∫b2 z7dz=a2∫ z dz+2ab∫ z 4dz+b2∫ z7dz

Fórmula:

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

∫ z (a+bz3)2dz=a2∫ z dz+2ab∫ z4dz+b2∫ z7dz

¿a2( z1+11+1 )+2ab ( z4+1

4+1 )+b2( z7+1

7+1 )+C

¿a2( z22 )+2ab( z55 )+b2( z88 )+C=a2 z2

2+ 2ab z

5

5+ b

2 z8

8+C

∴∫ z (a+bz3)2dz=a2 z2

2+ 2abz

5

5+ b

2 z8

8+C Resp .

33¿∫ xn−1√a+bxndx=2(a+bx¿¿n)3/2

3nb+C ¿

∫ xn−1√a+bxndx=∫ xn−1(a+bxn)12dx

Fórmula:

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

Como en la ecuación trae como variable la letra n, entonces la n de la formula convertimos a mayúscula para no confundirnos.

u=a+bxn→du=nb xn−1dx ;; ; ; ; ; ; N=12

∫ xn−1√a+bxndx=∫ xn−1(a+bxn)12dx

¿∫uN dunb

= 1nb

∫uN du= 1nb ( uN+1

N+1 )+C

HECHO POR CEREBRITO

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CÁLCULO INTEGRAL

¿ 1nb ((a+bxn)

12+1

12+1 )+C= 1

nb ((a+bxn)32

32

)+C¿ 2nb ((a+bxn)

32

3 )+C=2(a+bxn)

32

3nb+C

∴∫ xn−1√a+bxndx=2 (a+bx¿¿n)32

3nb+C Resp .¿

34¿∫ (2x+3 )dx

√ x2+3 x=2√x2+3 x+C

∫ (2 x+3 )dx

√ x2+3x=∫ (2x+3 )dx

x2+3 x12

=∫(x2+3 x )−12 (2 x+3 )dx

Fórmula:

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

Cambio de variable:

u=x2+3 x→du=(2 x+3 )dx ;; ; ; ; ;n=−12

∫ (2 x+3 )dx

√ x2+3x=∫(x2+3 x )

−12 (2 x+3 )dx

¿∫undu= un+1

n+1+C

¿(x2+3 x)

−12

+1

−12

+1+C=

(x2+3 x )12

12

+C=2(x2+3 x)12+C=2√x2+3x+C

HECHO POR CEREBRITO

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CÁLCULO INTEGRAL

∴∫ (2x+3 )dx

√ x2+3 x=2√ x2+3 x+C Resp .

35¿∫ (x2+1 )dx√ x3+3x

=2√ x3+3x3

+C

∫ (x2+1 )dx√x3+3 x

=∫ (x2+1 )dx

(x3+3 x )12

=∫ (x3+3x )−12 (x2+1 )dx

Fórmula:

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

Cambio de variable:

u=x3+3 x→du=(3 x2+3 )dx=3 (x2+1 )dx ;; ; ; ;n=−12

∫ (x2+1 )dx√x3+3 x

=∫ (x3+3 x )−12 (x2+1 ) dx

¿∫un du3

=13∫ undu=1

3 ( un+1n+1 )+C

¿ 13 ( (x3+3 x )

−12

+1

−12

+1 )+C=13 ( (x3+3 x )

12

12

)+C=23

(x3+3 x )12+C=2

3√x3+3 x+C

∴∫ (x2+1 )dx√x3+3 x

=2√x3+3 x3

+C Resp .

36¿∫¿¿¿

∫¿¿¿

Fórmula:

HECHO POR CEREBRITO

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CÁLCULO INTEGRAL

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

Cambio de variable:

u=2+ ln x→du=1xdx=dx

x;;; ;n=1

∫¿¿¿

¿∫undu= un+1

n+1+C

¿(2+ ln x )1+1

1+1+C=

(2+ln x )2

2+C

∴∫¿¿¿

37¿∫sen2 x cos x dx=∫(sen x )2cos x dx=(senx )3

3+C= sen

3 x3

+C

Fórmula:

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

Cambio de variable:

u=sen x→du=cos x dx ;;; ; ;n=2

∫ sen2 xcos xdx=∫undu= u2+1

2+1+C

¿(sen x )2+1

2+1+C=

(sen x )3

3+C

∴∫ sen2 xcos xdx=(senx )3

3+C Resp .

38¿∫ sen axcos ax dx= sen2ax2a

+C

Fórmula:

HECHO POR CEREBRITO

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CÁLCULO INTEGRAL

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

Cambio de variable:

u=sen ax→du=acosax dx ;;; ; ;n=1

∫ senax cosax dx=∫un dua

=1a∫undu=1

a ( un+1n+1 )+C

¿ 1a ( (sen ax )1+1

1+1 )+C=1a ( ( senax )2

2 )+C=(sen ax )2

2a+C= sen

2ax2a

+C

∴∫ senax cosax dx= sen2ax2a

+C Resp .

39¿∫ sen2 x cos22x dx=−cos32 x6

+C

Fórmula:

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

Cambio de variable:

u=cos2 x→du=−2 sen2 xdx ;;; ; ;n=2

∫ sen2 xcos22 x dx=∫ un du−2= 1

−2∫undu= 1

−2 ( un+1

n+1 )+C

¿ 1−2 ( (cos 2x )2+1

2+1 )+C= 1−2 ( (cos2x )3

3 )+C=(cos2 x )3

−6+C=−cos32 x

6+C

∴∫ sen2 xcos22 x dx=−cos32x6

+C Resp .

40¿∫ tg x2 sec2 x2dx=tg2 x

2+C

Fórmula:

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

HECHO POR CEREBRITO

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CÁLCULO INTEGRALCambio de variable:

u=tg x2→du=1

2sec2

x2dx;; ; ; ; n=1

∫ tg x2sec2

x2dx=2∫udu=2( un+1n+1 )+C

¿2(( tg x2 )1+1

1+1 )+C=2((tg x2 )2

2)+C=(tg x2 )

2

+C=tg2 x2+C

∴∫ tg x2 sec2 x2dx= tg2 x

2+C Resp .

41¿∫ cosax dx√b+sen ax

=2√b+senaxa

+C

∫ cos axdx

√b+senax=∫ cos axdx

(b+senax )12

=∫ (b+senax )−12 cosax dx

Fórmula:

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

Cambio de variable:

u=b+senax→du=acos ax dx ;; ; ; ;n=−12

∫ cos axdx

√b+senax=∫ (b+senax )

−12 cos axdx

¿∫un dua

=1a∫undu=1

a ( un+1n+1 )+C

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CÁLCULO INTEGRAL

¿ 1a ( (b+senax )

–12+1

−12

+1 )+C=1a ( (b+senax )

12

12

)+C=2 (b+sen ax )

12

a+C

¿ 2√b+sen axa

+C

∴∫ cosax dx√b+senax

=2√b+senaxa

+C Resp .

42∫( sec x1+tg x )2

dx= −11+tg x

+C

∫( sec x1+ tg x )2

dx=∫ sec2 x(1+tg x )2

dx=∫ (1+tg x )−2 sec2 x dx

Fórmula:

∫undu= un+1

n+1+C;n≠0

Cambio de variable:

u=1+ tg x→du=sec 2 x dx;;;n=−2

∫( sec x1+ tg x )2

dx=∫ (1+tg x )−2 sec 2 x dx

¿∫undu= un+1

n+1+C

¿(1+ tg x )−2+1

−2+1+C=

(1+tg x )−1

−1+C= −1

1+tg x+C

∴∫( sec x1+ tg x )2

dx= −11+tg x

+C Resp .

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CÁLCULO INTEGRAL

43¿∫ dx2+3 x

=ln (2+3 x)

3+C

Fórmula:

∫ duu =lnu+C

Cambio de variable:

u=2+3x→du=3dx

∫ dx2+3 x

=13∫

duu

=13ln u+C=1

3ln (2+3 x )+C

∴∫ dx2+3 x

=ln (2+3 x)

3+C Resp .

44 ¿∫ x2dx2+x3

=ln (2+x3)

3+C

Fórmula:

∫ duu =lnu+C

Cambio de variable:

u=2+ x3→du=3 x2dx

∫ x2dx2+x3

=13∫ duu

=13ln u+C=1

3ln (2+x3 )+C

∴∫ x2dx2+x3

=ln (2+x3)

3+C Resp .

45¿∫ tdta+bt2

=ln (a+bt 2)2b

+C

Fórmula:

∫ duu =lnu+C

HECHO POR CEREBRITO

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CÁLCULO INTEGRALCambio de variable:

u=a+bt 2→du=2b t dt

∫ tdt

a+bt2= 12b∫

duu

= 12bln u+C= 1

2bln (a+bt 2 )+C

∴∫ tdta+bt2

=ln (a+bt 2)2b

+C Resp .

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