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Problemas de cálculodiferencial e integral

José Ventura Becerril EspinosaJaime Grabinsky SteiderJudith Omaña PulidoCutberto Salvador Romero Meléndez

Coordinación: Marina Salazar Antúnez

BásicasUNIVERSIDADAUTONOMA

METROPOLITANA

Casa abierta al tiempo Azcapotzalco

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Problemas de cálculodiferencial e integral

José Ventura Becerril EspinosaJaime Grabinsky SteiderJudith Omaña PulidoCutberto Salvador Romero Meléndez


División de Ciencias Básicas e IngenieríaDepartamento de Ciencias BásicasAzcapotzalco

UNIVERSIDADAUTONOMA

METROPOLITANA

Casa abierta al tiempo



UAM-AZCAPOTZALCORECTOR

Mtro. Víctor Manuel Sosa GodínezSECRETARIO

Mtro. Cristian Eduardo Leriche GuzmánCOORDINADORA GENERAL DE DESARROLLO ACADÉMICO

Mtra. María Aguirre TamezCOORDINADORA DE EXTENSIÓN UNIVERSITARIA

DCG Ma. Teresa Olalde Ramos

JEFA DE LA SECCIÓN DE PRODUCCIÓN Y DISTRIBUCIÓN EDITORIALES

DCG Silvia Guzmán Bofill

ISBN: 970-654-501-8

© UAM-AzcapotzalcoJosé Ventura Becerril EspinosaJaime grabinsky SteiderJudith Omaña PulídoCutberto Salvador Romero Meléndez


Ilustración de portada :Consuelo Quiroz ReyesDiseño de Portada:Modesto Serrano Ramírez

Sección de produccióny distribución editorialesTel. 5318-9222 / 9223Fax 5318-9222

Universidad Autónoma MetropolitanaUnidad AzcapotzalcoAv. San Pablo 180Col. Reynosa TamaulipasDelegación AzcapotzalcoC.P. 02200México, D.F.

Problemas de cálculo diferencial e integral

la. edición, 19942a. edición, 19995a. reimpresión, 2005

Impreso en México



C O N T E N I D O

PRESENTACIÓN 5

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

• Los números reales 9

• Funciones 12

• Limites 17

o La derivada 19

• Derivación 24

• Gráficas 28

presentado por: Prof. Cutberto S. Romero Mdéndtz

o Desigualdades y gráficas de funciones 31

o Límites 32

o Aplicación de funciones 33

• Aplicaciones de la derivada 38

presentado por: Prof. José V. Becerril Espinoza.

• Evaluaciones 43

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

• Funciones Trascendentes 55

• La integral. Métodos de integración 60

• Aplicaciones 66

presentado po Profa. Judith Ornaría Pulido



• Las funciones trascendentes 73

a Aplicaciones 82

• La integral 84

• Algunas aplicaciones de la integral 89

presentado por: Prof. Cutberto S. Romero Meléndez

• Evaluaciones 93

o Miscelánea de problemas de aplicación del Cálculo... 107

presentado por: Prof. Jaime Grabinsky Steider



P R E S E N T A C I Ó N

Mayo de 1993

La tarea de enseñar matemáticas a futuros ingenieros no es fácil. Las pregun-tas: ¿Qué "tanta" matemática "debe" enseñarse? ¿Cómo enseñar matemáticasa un estudiante de Ingeniería, a fin de motivarlo en el aprendizaje? ¿Porqué es desagradable la matemática para un futuro ingeniero? ¿Qué utili-dad tendrá para nuestros estudiantes en su desarrollo profesional lo que lesestamos enseñando?, no han sido respondidas satisfactoriamente por los pro-fesores de matemáticas. El material aquí presentado, así como el nuevoprograma de Cálculo, son un intento preliminar de dar respuesta a estaspreguntas.

El presente trabajo es una recopilación de problemas de Cálculo Diferen-cial e Integral, los cuales han sido utilizados por sus autores en los cursos deCálculo I y Cálculo II, que han impartido utilizando los Nuevos Programas deCálculo durante la etapa previa a su implementación definitiva. Estos nuevosprogramas están siendo implementados por la coordinación de Cálculo du-rante el actual trimestre 93-P, en forma departamental. En vista de ello, sehace necesario contar con materiales de apoyo tanto para los alumnos, comopara los maestros, a fin de que se pueda captar el nuevo enfoque que se hapropuesto en esos programas.

Este material de apoyo se presenta dividido en tres partes. En la primeraparte aparecen los problemas que se sugieren para Cálculo I presentados porlos profesores Cutberto Romero y José V. Becerril; en la segunda parte apare-cen los problemas para Cálculo II sugeridos por la profesora Judith Omaña yel profesor Cutberto Romero. Al final de cada una de estas partes se anexanlas evaluaciones realizadas durante el periodo arriba mencionado, aplicadaspor dichos profesores. Por último, se da una miscelánea de problemas deaplicación que presenta el profesor Jaime Grabinsky.

Profa. Marina Salazar Antúnez,Coordinadora de Cálculo Diferencial e Integral I y II.



CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I



LOS N Ú M E R O S REALES

1. Demostrar que \/Ó y \/o son números irracionales.

2. Dar un número irracional que pertenezca al intervalo (1.721, 1.722).

3. Dar un número irracional x que satisfaga: — ~ < x < — ~.

4. Sabiendo que 10~5 < x < 2 • 10~5 y que 9999 < y < 10000, acotar, esdecir, dar un intervalo en donde se encuentre, — .

5. Escribir ( — 1,10] como la unión de dos intervalos, uno abierto y otrocerrado.

6. Expresar (—1,10] como una intersección de dos intervalos de longitudfinita.

7. Expresar (—1,10] como una intersección de dos intervalos de longitudinfinita.

8. Probar que si —2 < x < 2, entonces —5 < 3a; + 1 < 7.

9. Probar que x 6 [2,5] => ¿ 6 ^ , £].

10. Para cada uno de los problemas siguientes determinar el conjunto denúmeros reales que satisfacen la condición dada:

• 2x - 3 > 5x - 2

• x - 7 < 2(x - 3) + 4 - x

• 3f - 8 > 7f - 27

• 3a;2 - 7x < 0

• (x + 3)2 - 4{x + 3) > 0

• {x - 7)2 > 25

• (2a: + 3)2 < 64

• 25a;2 < -30a; ~ 18

• 4 < a;2 < 9



• 3x'2 + 7x - 9 < O

• 2x - 1 > ¿ Y

• _I_ > 2

11. Expresar, con la ayuda de intervalos, los números reales que satisfaganla condición dada:

• -2.1 < x < 4.31

• 3.41 < -x < 3.42

• -2.1 <x-2< -1.9

• | - 5x + 8| < 0.4

• 4.29 <3-x < 4.31

• \2x- 1| < 0.02

• |a; - 8| > 0.2

12. En cada una de las afirmaciones siguientes indique cual de las proposi-ciones son verdaderas:

• Para cualquier número real

x < x3, x < 2x, \x\ < x2, x < \x\,

1 + \x\ < (1 + |x-|)2

• Para a cualquier número real ;r, tal que 0 < x < 1, se tiene

2 , / 1 1 1X X2 y/X

3 2 ,

• Si x2 < 9, entonces

a; < 3 ó x < - 3 , o: < 3 y # < - 3 , \x\ < 3, x < 3

10



• Sea n un número entero. La condición |ra| < 4 significa:

n < 4, n < 4 ó n < —4, —4 < n < 4, 0 < n < 4,

rae {-3,-2,-1,0,1,2,3}

13. Determinar todos los números reales a; tales que

| z - 0 . 5 | < 1 y \2-x\ < 0.75

14. Se lanza un objeto hacia arriba en línea recta, con una velocidad de 160pies/seg. Su distancia d, en pies, sobre la Tierra, después de t segundos(eliminando la resistencia del aire) está dada por d == 160í — 16í2.Encontrar el tiempo t para el cual su distancia d sea superior a los 256pies.

15. Determinar el conjunto solución para cada una de las siguientes de-sigualdades:

x- i2x +

1 _ <

1\2x—í

2x-\x-3

2x~\i a:-3

l| <0

3 | <8 |<

2| >0

< 2 ~

> 2

< 2

.1

\

0.4

A

- x

4x2 + 2x < 9-7:r < 11 -7a;X3 < X

| 3x-2 | - |x + l| < E

|x + 3| < |5x- 1|

2-x —

11



FUNCIONES

1. Considérese una gráfica de la temperatura en grados Centígrados, C,en función de la temperatura en grados Fahrenheit, F, y supóngase queesta gráfica es una línea recta. Se conoce que 100°C y 2Í2°F correspon-den a la temperatura a la cual hace ebullición el agua. Similarmente,0°Cy 32°F corresponden al punto de congelación del agua.

a) ¿A qué temperatura en grados Fahrenheit corresponde 20°(7?

b) ¿A qué temperatura en grados Centígrados corresponde 100°i*1?

c) ¿Qué temperatura tiene el mismo valor en grados Fahrenheit y enCentígrados?

2. Cuando una taza de café caliente se coloca sobre la mesa, su tem-peratura decrece. La razón, R, a la cual su temperatura cambia estáregida por la Ley de Enfriamiento de Newton, la cual dice que la razónes proporcional a la diferencia entre las temperaturas del café y del airecircundante. Pensemos en la razón R como una cantidad negativa yaque la temperatura del café está descendiendo. Si la temperatura delcafé es / /°C, y la temperatura del cuarto es de 20°(7,

a) Escribir una fórmula para R en función de H.

b) Trazar la gráfica de esa función.

3. Para pequeños cambios de temperatura, la fórmula para la expansiónde una varilla metálica sujeta a un cambio de temperatura es:

/ - /o - alo(t - ¿o),

en donde / es la longitud del objeto a la temperatura í, /o es la longitudinicial a la temperatura /Q? y a es una constante que depende del tipode metal.

a) Expresar / como una función lineal de t. Encontrar la pendientey la intersección con el eje Y.

b) Supóngase que se tuvo una varilla con longitud inicial de 100 cm a60°F fabricada con un metal para el cual a es igual a 10~5. ¿Quélongitud tendrá a los 150o/71?

12



c) ¿Qué significado tiene el signo de la pendiente de la gráfica enrelación con la expansión de un metal sometido a un cambio detemperatura?

4. Uu aeroplano utiliza una cantidad fija de combustible para despegar,una cantidad fija (diferente) para aterrizar, y una cantidad fija (dife-rente) por milla cuando está en el aire. ¿Cómo depende la cantidadtotal de combustible requerido, de la longitud del viaje? Escribir unafórmula para la función involucrada. Explicar el significado de las cons-tantes que aparecen en la fórmula.

5. Sean /,(&) = |x|, f2(x) = x2, f3(x) = y/x, f4(x) = *, J5(x) = ¿.,

fe(x) = [x]. Obtener /¿(2ar),2/f(x),/t-(-x),-/,-(x),/i(x + l)Ji(x) + 1,fi(x - l),fi(x) - 1 y l-2/¿(3a:-6), paraé € {1,2,3,..., 6}. Grafíquelas.

6. Graficar las funciones siguientes:

a) fi(x) — -x2 + 3, si x e (-5, oo)

b) f2(x) = 2x2 + x - 1

c) f3(x) = 5y/2x' i-A€Rhn-íeDh?

d) U(x) = 2- y/íx~^2 ¿0 e £>/4?¿l G R/S

e) fs(z) = \z-\\ 1-2 € /2/5?¿2 G Dhl

f) /6(0 = | - í + 3|

g) / 7 (x)=l+2|3a; + 6|

h) fs(x) = [x + l)

i) f9(w) = [2w]

j) fio(z) = -l+3[-z + 2]

7. Obtener el dominio de las funciones siguientes:

a) h{x) = - á £ -2x-\

x-\b) X ^ x2-Sx+6

c) h(z)

13



d) w A- T—

e) fs(t) = id

8. Para cada una de las funciones siguientes determinar el dominio y cal-cular la imagen de cada uno de los valores de la variable independientedados:

a) f(x) = y(x + I)2 + 3;£0 = —l,#o ~ 0,#o = 3,x*o = 1 — h

b) g(x) = ^ £ ; x0 = 6, x0 = x> ^o = 2 - A, a?o = S

c) f(x) = ¿5&Í ^o = 0, x'o = 2, xQ = ^

9. Para cada una de las funciones siguientes obtener su dominio, rango,raíces, paridad, intervalos de monotonía y realizar un esbozo gráfico:

a) f1(x) = -x + l

b) h{x) = %x-2

c) f3(z) = (z - 3)2 + 2

d) 5 I H - ( Ü ; - 2 ) 2

e) <72(z) = |x - 3| + 2

0 á?3( ) = 3 |ar - 2| - 1

g) ¿i(a:) = v/2an=7+§

h) Aa(<) = [<]

f |2o;| x < 0i) h3(x) = < x2 + 1 0 < x < 2

[ —1 a: > 2

.x , , v í 3x-2 + 1 o; > 0J ) h4{x) = \ \x - 8| x < 0

k)M*) = ( _iJ ^ 3

m) *(*) = (d



10. Trazar la gráfica de una función / definida para x > 0, con todas lassiguientes propiedades:

• /(O) = 2

• f(x) es creciente para x £ [0,1)

• f(x) es decreciente para 1 < x < 3

• f(x) es creciente para x > 3 (Existen muchas respuestas)

11. Trace la gráfica de una función tal, que para cualquier número en elintervalo [—2,0] sea igual al doble de ese número; para cada númeroen (0,1] sea igual a la tercera parte de ese número; para cada númeroen (1, | ) sea igual al recíproco de ese número; para cada número en(6,10), sea igual al negativo de ese número, y para cada número en(10, oo) sea igual a 23. Determine el dominio y el rango.

12. Resuelva las desigualdades siguientes e interprete geométricamente elresultado, considerando cada miembro de la desigualdad como unafunción:

») í > - ib) x2 < 4c) ¿ <9d) -x + 2 < 3x + 6

e) x2 + 1 > -x2 + 3

13. Sean f(x) = 3x2 - 2, g(y) = y + l

Determinar (/ + <,)(-!), (/.<,)(0), (/oáf)(-l),(J7o/)(0),

(/ ° 9){y)-> (9 ° f)(x)-> y ^os dominios de las funciones anteriores.

14. Expresar cada una de las funciones siguientes como una composiciónde funciones:

a) h(t) = (1 + ¿3)27

15



c) g(x) = 5 + (x

15. Sean f(x) = yx2 — 2 , #(f) = v¿3 + 1 • Obtener el dominio de / o gy de g o / . Obtener una expresión para ambas composiciones.

16. Sean f(x) = 3:r3 + 2x2 + 1 y í/í^) == ~ - Obtener el dominio def og y de go f. Obtener una expresión para ambas composiciones.

3x2 + 1 x<017. Obtener fog, gof y /+(/para las funciones: f(x) = \ x — 8 0 < :c < 2

I 5 £ > 2

18. Obtener fog, gof y f+g paralas funciones: f(x) =

, v f x + 3 a; < 0

16



LIMITES

1. Para cada una de las gráficas siguientes determinar si existe el límiteen el punto "indicado y dar su valor. En caso de que no exista, obtenerlos límites laterales.

2. Si

/(*) =si

si

obtener limar_,2 f{x)

3. El número N(p) de calculadoras que puede vender una compañía manu-facturera a un precio de p pesos por unidad, está dado por N(p) = 500/p2-Encontrar limp—o N(p) e interpretar el resultado.

4. Un equipo médico de investigación estableció que la masa M(t) de untumor, como función del tiempo t al cual el paciente es expuesto aradiación durante el tratamiento, está dado por

Í — ^/ —i— f\

en donde M(t) está en miligramos y t en segundos. Debido al mal fun-cionamiento de los aparatos utilizados es imposible exponer al pacienteexactamente por 3 segundos de terapia de radiación. ¿Qué valor debeasignarse a M(3), a fin de que M(t) sea una función continua?.

5. Dibuja la gráfica de una función continua en R — {—2,-1,2}, quesatisfaga lo siguiente:

lim f(x) = +oo y lim f(x) = —oo

17



lim f(x) = ~-ooxto-1

lim f(x) = 4 y lim f(x) = 3 +

= 0 y

6. Dada la siguiente gráfica de / («) , obtener: dominio, raíces, discon-tinuidades y su clasificación, asíntotas

lim f{x), lim /(a;), lim f(x), lim /(a:), lim /(a:) y lim/(a;)—+-foo a:—»-—00 a7—*0 x—>3 x—> — 2 37—+O

7. Dibuje la gráfica de una función continua que tenga tres raíces en elintervalo (-2,1].

8. Dar una raíz aproximada para la función

cuya exactitud sea de 0.1 (un décimo).

9. Realice un esbozo gráfico de

18



LA DERIVADA

1. Una pelota es arrojada desde un puente. La altura h a la que se encuen-tra la pelota encima del piso t segundos después de que es arrojada,está dada por

• ¿Cuál es la altura del puente?

• ¿Cuál es la velocidad promedio de la pelota para el primer se-gundo?

• Gráfica la función h y determina la altura máxima que la pelotaalcanzará. ¿Cuál deberá ser la velocidad de la pelota cuando estáen el punto en donde alcanza su altura máxima?

• Utiliza la gráfica para decidir en qué tiempo í, la pelota alcanzasu altura máxima.

• Obtener la velocidad instantánea de la pelota en t = 1 segundos.

2. Un automóvil es conducido a una velocidad constante. Bosquejar unagráfica de la distancia que el carro ha viajado, como función del tiempo.

3. Considera ahora un automóvil que viaja con velocidad creciente. Obtenlo que se pide en el problema 2.

4. Ahora el auto empieza con una alta velocidad y su velocidad entoncesdecrece lentamente. Realiza el bosquejo que se pide en el problema 2..

5. Para la función mostrada en la figura,

19



• ¿En qué puntos la pendiente de la curva es negativa?

• ¿En que puntos es positiva? ¿y cero?

• ¿Qué punto tiene la pendiente más positiva?

• ¿Y cuil la tiene más negativa?

6. Para la gráfica mostrada en la figura, ordenar los siguientes númerosen forma ascendente:

• la perdiente de la curva en A

• la pendiente de la curva en B

• la petidiente de la curva en C

• la pendiente de la línea AB

• el i úmero 0

• el lúimero 1

7. Si f(x^ = x2 + 4o?, obtener / '(3) utilizando la definición de derivada.

8. Si f(?) ~- ar3, obtener //(—2) y / '(2) empleando la fórmula para laderivada de xn. ¿Qué relación observas entre /'(—2) y / '(2)? Explicargeométricamente porqué esto debe ocurrir.

9. Sean g(x) = y/x y f(x) = kx2, en donde k es una constante.

• Encuentra la pendiente de la línea tangente a la gráfica de g en elpunto (4,2). (No necesitas utilizar la definición de derivada}

• Encuentra la ecuación de esa línea tangente.

• Si la gráfica de / contiene el punto (4,2), encontrar k.

• ¿ En dónde la gráfica de / intersecta a la línea tangente encontradaantes?

10. ¿Si g(x) es una función impar y g'{A) = 5, a qué debe ser igual #'(--4)?

11. Bosquejar las gráficas de las funciones

20



en el mismo conjunto de ejes. ¿Qué puedes decir acerca de las pen-dientes de las líneas tangentes a las dos gráficas en el punto x = 0?,¿en x = 2? y ¿en x = x0? Puede pensarse que sumando un valorconstante C, a cualquier función, no cambia el valor de las pendientesde su gráfica?

12. En la gráfica de / , ¿en cuál de los valores de X{ señalados

• es f(x) más grande?

• es f(x) más chica?

• es f'(x) más grande?

• es f'(x) más chica?

13. Para las gráficas del 1 al 4, bosquejar la gráfica de la función derivada:2.

-4 -3

5

%

1

- i

-A

s -A

3

i

-1//

/

2

• ^

\

\I\\

-1

A

á

l

1

>

A-s

-A

//

/r 2 3V

\

21



14. Para las funciones siguientes bosquejar la gráfica de f(x) y utilizar estagráfica para bosquejar la gráfica de /'(#)>

• f(x) = 5a;

15. Haga un bosquejo gráfico de las siguientes curvas:

• Una curva "suave" cuya pendiente es a la vez positiva en todoslados y decreciente gradualmente.

• Una curva "suave" cuya pendiente sea a la vez positiva en todoslados y creciente gradualmente.

• Una curva "suave" cuya pendiente sea a la vez negativa en todoslados y decreciente gradualmente.

• Una curva "suave" cuya pendiente sea a la vez negativa en todoslados y creciente gradualmente.

16. Bosquejar la gráfica de y = f'(x) para cada una de las funciones cuyagráfica se da a continuación:

22



17. Para dar a un paciente un antibiótico lentamente, la droga es inyec-tada en el músculo. (Por ejemplo, para enfermedades venéreas la peni-cilina es suministrada de esta forma) La cantidad de droga en el flujosanguíneo empieza en cero, aumenta a un máximo y luego decae a cerode nuevo.

• Bosqueja una posible gráfica de la cantidad de la droga en el flujosanguíneo como una función del tiempo.

• Describe cómo la razón a la cual la droga está entrando o dejando(saliendo) a la sangre cambia en el tiempo.

23



DERIVACIÓN

1. Haga el bosquejo gráfico de las siguientes curvas:

• Una curva cuyas primera y segunda derivadas sean positivas endondequiera.

• Una curva cuya segunda derivada sea negativa en todos lados,pero cuya primera derivada sea positiva en todos lados.

• Una curva cuya segunda derivada sea positiva en dondequiera,pero cuya primera derivada sea negativa en todos lados.

• Una curva cuyas primera y segunda derivada sean negativas endondequiera.

2. Bosquejar la gráfica de una función cuya pendiente sea a la vez positivay creciente primero, y que a partir de cierto punto sea decreciente,

• bosquejar la gráfica de la primera derivada de la curva anterior,

• bosquejar la gráfica de la segunda derivada déla curva anterior.

3. ¿Cuáles de los puntos señalados tienen:

• / ' Y / " distintas de cero y del mismo signo?

• al menos dos de / , / ' , / " son iguales a cero?

4. ¿Es la función siguiente diferenciable en x = 0? f(x) = (x + |a:|)2 + 1

5. Bosquejar las gráficas de las derivadas de las funciones, cuyas gráficasaparecen a continuación. Asegúrate de que tus bosquejos sean consis-tentes con los hechos importantes de las funciones originales.



6. Considera la función dada por la fórmula

tf x í x + 1, cuando x > 1v '' I 3;c — 1, cuando x > 1

dibuja la gráfica de / . ¿Es / continua? ¿Es / diferenciable en x = 1?Justifica tu respuesta.

7. Sean f(x) = -3a: + 2 y </(;e) = 2a: + 1

• Si K(x) = /(x')+(/(x*), encontrar una fórmula para #(#) y verificarla regla de la suma para la derivación, comparando K\x) conf'(x) + g'(x).

• Si J(x) = / ( J ; ) — </(x'), determinar una fórmula para J(x) y com-parar Jf{x) con f'(x) — gf(x).

8. Sea r(í) = 2í - 4. Si ¿(í) = 3r(í), verificar que 5;(í) = 3[r'(í)].

9. Si f(x) = 5x — 3 y #(x') = —2x + 1, encontrar la derivada de f(g(x)).Basándote en tu respuesta anterior, hacer una conjetura acerca de laderivada de la composición de dos funciones lineales.

10. Si r{x) = f(x) + 2g{x) + 3, f'(x) = g(x) y g'(x) = r(x), expresar

• T'(X) en términos de f(x) y ^(a;)

• f'(x) en términos de f(x) y í'(a;)

11. Encontrar la derivada de las funciones siguientes:

• y -xV2

• y = #~12

• /(a:) = fó• f(x) = xe

• y = 4a;3/2 - 5a;1/*

• y = 6x3 + 4a;2 — 2x

25



J \"J — 2+3a:+4a?2

12. Si f(t) - 2í3 - 4<2 + 3í - 1, encontrar ^ y ^

13. Si / (x) = J?7 + 5x>5 ~ 4:r3 + 6;u — 7, encuentra la séptima y la octavaderivada de / .

14. La gráfica de la ecuación y = ^>3 — 9o:2 — I6x + 1 tiene una pendienteigual a 5 en dos puntos exactamente. Encontrar las coordenadas deesos puntos.

15. Si f(x) = 13 ~ 8s + y/2x2 y f(r) = 4, encontrar r.

16. ¿Para qué puntos en el dominio de la función f(x) = x4 — 4x3 es lafunción decreciente y cóncava hacia arriba a la vez?

17. Si f(x) = 4x3 + 6x2 — 23x -f 7, encontrar los intervalos en los cuales

18. Encuentra f\x) para las siguientes funciones, utilizando la regla delproducto para derivadas y sin realizar la multiplicación:

/(*•) = (x - l)(x - 2), f(x) = (x - \){x - 2)(x - 3),

19. Encuentra la derivada de

f(x) =

26



h(x) =2+4V4

= (12t3-

• to = (í2 + 3í)(l - 2tf

20. Dados: F(2)=l, F(4)=3, F'(2)=5, F'(4)=7, G(4)=2, G(3)=4, G'(4)=6y G'(3)=8, obtener:

• H(4), si H(a:)=F(G(a;))

• H'(4), si H(a:)=F(G(x))

• H(4), si H(aO=G(F(x))

• H'(4), si H(x)=G(F(a;))

• H'(4), si E(x)=F(x)/G(x)

27



GRÁFICAS

1. ¿Bajo qué condiciones para a, b, y c la función

f(x) = x3 + ax2 + bx + c

es creciente en todos lados?.

2. Encontrar anal/ticamente los intervalos en los cuales la función

fí \ x + 5 0

es creciente o decreciente.

3. Bosquejen* la gráfica de f(x) == 2x3 — 9x2 + 12a; -f 1.

4. Supóngase que una función f tiene exactamente un punto crítico enx = 3. En los puntos siguientes se dan condiciones adicionales. Encada caso decidir cuándo x — 3 es un máximo local, un mínimo local,o ninguno de los dos. Explicar el razonamiento seguido. Bosquejarposibles gráficas para los cuatro casos:

• / ' ( l ) = 3y / ' ( 5 ) = - l

+oo /(;c) = +oo y lim^-oo f(x) = +00

• /'(2) = - 1 , /(3) - 1, l im^ + 0 0 / (x) = 3

Para los seis problemas siguientes bosquejar una posible gráfica de y =f(x), utilizando la información dada acerca de la derivada de y = f(x).Suponer que la función está definida y es continua para todo x (= R.

5.

x

28



6.

8. •*~JÍ » ' * < O '"

9.

1 0 ^ ^»<p ^ t w

11. Considera la función p(x) = r 3 — ax? en donde a es constante

• Si a < 0, muestra que p(x) es siempre creciente

• Si a > 0, muestra que p(x) tiene un máximo local y un mínimolocal

• Bosquejar posibles gráficas de p(x) para diversos valores de a.

12. Traza la gráfica de f(x) = | # 3 - 2a;2 + 3x + 2

29



13. Para cada una de las funciones siguientes determinar: los intervalosen donde es creciente, los intervalos en donde es decreciente, los in-tervalos en donde es cóncava hacia arriba, los intervalos en donde escóncava hacia abajo, los puntos en donde alcanza sus máximos localesy mínimos locales, los puntos en donde cambia su concavidad y unbosquejo gráfico.

• f(x) = x3 - ¡¿x + 3

• f(x) = x4- 32x + 48

• f(x) = x2'*

• g(x) = 3x4 - Ax3

30



Resuelva las siguieutes desigualdades

1.- X3+l > X2 + X

2 . - - <0

3.- — — < X + 1X-l

4.

5.-

|X-4| X + 7

I* - 4| . !2X

Graficar las siguientes funciones

h(x) - | x | + [x]

g(x) = [x-4]

h(x) = [ iA

g ( x ) = | - ( x - 2 ) 2

£ (x ) - [ x a ]

£(x) = | x 2 - 9 |

f(x) =

31



Determinar los siguientes límites

1 . - 1ímt+0

1 1 . - l ím / 2x +5x -

2 . - l í m x - 1

3 . - l í m

x+4

1 2 . - l í i i i

x->4

/5c~- 2

x-4

1 3 . - 11 í IIII-x->3 V

6/3FTx 2 - 9

- l ím

5 . - l ím

6. - l ím

8-4/T

x

14.- Determijiar las asíntotas

verticales y horizontales

de la función

7 . - l í mh->o

- 1

8 . - l í mx->-o

9 . - l í m

1

1 0 . - l í m ( - - 1 ) t

t-+o

32



FUNCIONES

Un tractor cuesta $120,000 y cada año se devalúa 8$ de su

precio original. Encuentre una fórmula para el valor V del

tractor después de t años.

La compañía 2-K el robo perfecto tiene capacidad para pro

ducir de 0 a 100 refrigeradores diarios,, Los gastos fijos

de la planta son de $2200, el material y mano de obra pa-

ra producir un refrigerador es de $151, escriba una fór-

mula para el costo total de producir X refrigeradores al

día.

Una agencia de renta de automóviles cobra $60 diarios por

el alquiler de un automóvil, más $.40 por Km.

a) Escriba la fórmula del costo total de la renta por día

b) Si usted renta un carro por un día, ¿Cuántos kilómetros

podría recorrer por $220?

De acuerdo con la ley de Boyle, la presión p (en libras

por pulgada cuadrada) y el volumen v (en pulgadas cúbicas)

de cierto gas satisfacen la condición pv = 800. ¿Cuál es

el rango de valores posibles de la presión, dado que 100

<v< 200?

La relación entre la temperatura Farenheit F y la tempera-9tura Celsius C está dada por F = 32 + — C. Si el rango de

temperaturas en cierto día va de la mínima 70°F a la máxima

de 90°F, ¿Cuál es el rango de la temperatura en grados Cel-

sius?

33



* Un circuito eléctrico contiene una batería que proporciona

E volts, en serie con una resistencia de R ohms, como se

muestra en la figura. Entonces, la corriente de I am-

perios que fluye en el circuito satisface la ley de Ohms,

E = IR. Si E = 100 y 25 <R< 50, ¿cuál es el rango de va -

lores posibles de I?

Corriente: /amperes

BntnHu: Hestelencto:£" volts /? ohms

Circuito eléctrico simple.

* El periodo T (en segundos) de un péndulo simple de longitud

L (en pies) está dada por T=2ir/L/32, si 3<L<4, ¿cuál es el -

rango de valores posibles de T?

* Se arroja una pelota directa hacia arriba con una velocidad

inicial de 96 ft/s, por lo que su altura t segundos después2

es y = 961-16t'ft, determine la altura máxima que alcanza la

pelota construyento la gráfica de y como función de t.

* En el problema **que se encuentra en la página siguiente

la producción diaria de cierto campo petrolero como función

p=f(x) del número x de nuevos pozos petroleros que se perfo-

rasen. Construya ahora la gráfica de f y úsela para encontrar

el valor de x que maximiza P.

Exprese el volumen v de una esfera en función de su área S.

34



* Dado que Ü°C es lo mismo que 32°F y que un cambio de 1°C equi^

vale a un cambio de 1.8°F, exprese la temperatura Celsius C

en función de la temperatura Farenheit F.

* Una caja rectangular tiene 125 de volumen y una base cuadrada

de longitud x en su arista. Exprese el área A del rectángulo

con función de x.

* * Un campo petrolero que contiene 20 pozos ha estado producien-

do 4000 barriles diarios de pertróleo. Por cada nuevo pozo que

es perforado, suponga que la producción diaria de cada uno

disminuye 5 barriles. Escriba la producción diaria del campo

petrolero en función del numero x de pozos nuevos que se per-

foran.

* Un rectángulo tiene 100 unidades de área. Exprese su perímetro

P como función de la longitud x de su base.

* Un rectángulo cuyo perímetro fijo es 36 gira en torno a uno de

sus lados, S, para generar un cilindro circular recto. Exprese

el volumen V de este cilindro en función de la longitud x del

lado S.

* Un cilindro circularrecto tiene un volumen de 1000 in y el ra-

dio de su base es x. Exprese la superficie total A del cilin-

dro como función de x.

* Una caja rectangular tiene una superficie total de 600 in y

una base cuadrada cuya arista tiene longitud x. Exprese el vo-

lumen V de la caja en función de x.

* Se va a construir una caja sin tapa con una hoja cuadrada de

cartón cuyo lado tiene una longitud de 50 in. Primero, se cor-

tan cuatro pequeños cuadrados, cada uno de los cuales tiene la

dos de x pulgadas de longitud, de las cuatro esquinas de la

hoja de cartón, como se indica en la figura.

35



D e s p u é s , l o s c u a t r o f a l d o n e s r e s u l t a n t e s s e d o b l a n h a c i a

a r r i b a p a r a f o r m a r l o s c u a t r o l a d o s d e l a c a j a , q u e t e n d r á u n a

b a s e c u a d r a d a y u n a p r o f u n d i d a d d e x p u l g a d a s . E x p r e s e e l

v o l u m e n V c o m o f u n c i ó n d e x .

D ó b l e s e h a c i a a r r i b a l a s a r i s t a s

p a r a c o n s t r u i r u n a c a j a

U n b a n c o p a g a 2 % d e i n t e r é s m e n s u a l e n c i e r t o t i p o d e i n -

v e r s i o n e s . L a c a n t i d a d g a n a d a p o r e l i n t e r é s m e n s u a l e n c i e r t o

t i p o d e i n v e r s i o n e s . L a c a n t i d a d g a n a d a p o r e l i n t e r é s p u e d e

s e r r e i n v e r t i d a a a s í s u c e s i v a m e n t e .

P o r e j e m p l o s u p o n g a q u e s e i n i c i a l a i n v e r s i ó n c o n l a c a n t i d a d

C = $ 1 0 0 , 0 0 0 . 0 0 A l c a b o d e u n m e s s e g a n a r á p o r i n t e -

r e s e s ( 0 . 0 2 ) x ( $ 1 0 0 , 0 0 0 . 0 0 ) = $ 2 0 0 0 , o s e a q u e e l i n v e r s i o -

n i s t a y a d i s p o n e d e $ 1 0 2 , 0 0 0 . 0 0 , ¿ d e a c u e r d o ? , a d e l a n t e . P a -

r a e l m e s s i g u i e n t e e l i n v e r s i o n i s t a g a n a p o r i n t e r e s e s

( 0 . 0 2 ) x ( $ 1 0 2 , 0 0 0 . 0 0 ) = $ 2 0 4 0 y e l i n v e r s i o n i s t a y a d s i s p o n e

d e l a c a n t i d a d d e $ 1 0 4 , 0 4 0 . 0 0 ; ¿ s i g u e d e a c u e r d o ? B i e n ,

e n t o n c e s :

a ) H a l l e l a c a n t i d a d t o t a l q u e p o s e e e l i n v e r s i o n i s t a e n

t é r m i n o s d e l n ú m e r o d e m e s e s t r a n s c u r r i d o s .

36



b) Halle la función para una cantidad inicial cualquiera C.

* Existen ciertos tipos de células que se reproducen por el

fenómeno llamado de bipartición ("se dividen en dos") a

intervalos de tiempo periódicos.

a) Suponiendo que usted empieza a observar la división de

una de tales células en cierto momento, exprese el nú-

mero de células presentes en función del número de in-

tervalos de tiempo transcurridos.

b) Si en la segunda división y en las restantes una de las

células reproducidas muere}exprese el número,..

37



APLICACIONES DE LA DERIVADA

* Hallar las ecuaciones de las rectas L que son tangentes a

las curvas Y=x2 + 13 Y^-x2

* La figura 4.3 aparece en "Energy Use in the United States

Food System", de John S. Steinhart y Carol. E. Steinhart,

en Perspectives on Energy, editado por Lon C. Ruedisili y

Morris W. Firebaugh, Oxford, Nueva York, 1975. El gráfico

muestra el producto del cultivo en función de la energía

suministrada.

l a 1OÜ1968

1 96 J ^r—*'?1960-^ ^ 1 70

I 961 1965

80-

.8.8 60-*

2.0

Energía suministrada al sistemaproducto de alimentos(unidad: 10l5 kilocalorias)

Producto del sistema alimenticio en Estados Unidos,en función de la energía suministrada, desde 1920hasta 1970.

Fig. 4.3

(a) ¿Cuál es el significado práctico de que la función tenga

derivada positiva?

38



(b) ¿Y cuál el del punto de inflexión?

* Dos casas, A y B, están a distancia p una de otra. Y están

a un mismo lado de una carretera y a distancias de ésta q

y r, respectivamente- Hallar la longitud mínima de un camjL

no que lleve de A a la carretera y de ésta a B.

* Sea f(x)=ax3+bx2+cx+d, con a, b, c, y de constantes a^O,

¿Cuántos puntos de inflexión puede tener f(x)?

* Un tubo de longitud b se transporta por un pasillo de anclm

ra a<b y luego alrededor de una esquina C (ver Fig. 64).

Durante el giro, y parte de 0, alcanza un máximo y vuelve

de nuevo a 0 (inténtelo con un palo corto). Hallar el máx i

mo en términos de a y b. (.Sugerencias: Expresar y en térmi-

nos de a, b y 0, donde a,b son constantes y 0 variable.)

Figura 64

En la figura 465 hay dos pasillos, que forman ángulo recto,

de anchuras 8 y 27. Hallar la máxima longitud que puede te-

ner una viga que pueda pasar por esa esquina (sugerencia:

Hacer antes el ejercicio anterior )#

39



Fig. 4 65

27

* Con una masa de yeso de volumen V Se forman dos esferas.

¿Para cuál distribución del yeso es máxima la superficie

de las dos esferas? ¿Para cuál es mínima?

* Dos ruidosas discotecas, una de ellas cuatro veces tan rui-

dosa como la otra, están ubicadas en extremos opuestos de

una cuadra de 1000 ft de larga. ¿Cuál es el punto más quieto

de la cuadra, entre las dos discotecas? Suponga que la inten

sidad del ruido en un punto retirado de su fuente es propor-

cional a su potencia e inversamente proporcional al cuadrado

de la distancia a la fuente.

* En un modelo simple de difusión de una enfermedad contagiosa

entre miembros de una población de M personas, la incidencia

de la enfermedad, medida como número de nuevos casos diarios,

está dada en términos del número x de individuos ya infecta

dos, por

P(x) = Kx(M - x) = kMx - Kx2

donde k es alguna constante positiva. ¿Cuántos individuos de

la población están infectados cuando la incidencia R es más

alta?



* Cuando una flecha es disparada desde el origen con velocidad

inicial v0 y ángulo de inclinación inicial a (con respecto

al eje horizontal que representa el suelo) su trayectoria es

la curva

donde m = tan a

(a) Encuentre la altura máxima alcanzada por la flecha

(en función de m y v o ) .

(b)¿Para qué m(y por lo tanto, para qué a) viaja la flecha

la distancia máxima horizontal?

La gráfica de la velocidad de un modelo de cohete disparado

en el tiempo t=0 aparece en al figura

(a) ¿En qué tiempo se agotó el combustible?

(b) ¿En qué tiempo se abrió el paracaídas?

(c) ¿Cuándo alcanzó el cohete su altura máxima?

(d) ¿En que tiempo aterrizó el cohete?

(e) ¿A qué altura llegó?

(£) ¿A qué altura estaba el punto en el que aterrizó?

Gráfica de la velocidad del cohete



U n r a y o d e l u z v i a j a d e s d e A h a s t a B e n u n t i e m p o m í n i m o .

E l p u n t o A e s t á e n u n m e d i o e n e l q u e l a l u z v i a j a c o n v e -

l o c i d a d V | y e l B e s o t r o e n e l q u e l a v e l o c i d a d d e l a l u z

e s v 2 A m b o s m e d i o s e s t á n s e p a r a d o s p o r l a r e c t a L . P r o b a r

q u e p a r a e l c a m i n o A P B d e t i e m p o m í n i m o s e c u m p l e

sen a _ sen J3

a

L e i b n i z r e s o l v i ó e s t e p r o b l e m a , c o n e l c á l c u l o , e n u n a r t í -

c u l o p u b l i c a d o e n 1 6 8 4 . ( E l r e s u l t a d o s e l l a m a l e y d e S n e l l d e

l a r e f r a c c i ó n . )

L e i b n i z e s c r i b i ó , " o t r o s h o m b r e s m u y i l u s t r a d o s h a b í a n i n -

t e n t a d o e n m u c h a s m a s f o r m a s t o r t u o s a s l o q u e a l g u i e n

v e r s a d o e n c á l c u l o p u e d e h a c e r e n e s t a s l í n e a s c o m o p o r a r t e

d e m a g i a " . ( V e r C . H . E d w a r d s J r . , t h e H i s t o r i c a l D e v e l o p m e n t

o f t h e c a l c u l u s , p a g . 2 5 9 , S p r i n g e r V e r l a n g , N . Y . )

42



EVALUACIONES APLICADAS



PRIMER EXAMEN DE CALCULO

Trimestre 92-0

Octubre 20 de 1992

(3.0) 1. Obtener el conjunto solución de las desigualdades siguientes:

a) | 3 x - 5 | > 3 ( 5 + ar)b) (* - 3)(* + 2) > 0

(2.5) 2. Dada la función

xj + 1 si * € ( - 2 f 2 )

obtener: gráfica, dominio, rango, raíces, intervalos de monotonía. Deter-minar si es par o impar.

(1.0) 3. Trazar la gráfica de una función que satisfaga las siguientes condiciones:

• Es creciente en el intervalo [-6,0)

• Es constante de valor -2 en el intervalo [0,5]

• Es decreciente en (5,10]

(2.0) 4. Obtener (f + g)(x)} para las funciones:

x3 si - 10 < x < 5x si x > 5

1 — x si x < 0x7 si x > 0

(1.5) 5. Dada f(x) = I — y/2 — x2y obtener dos funciones, g(x) y /i(x), distintas a

f(x)% para las cuales se cumpla:

f{x) = (liog)(x)

¿ 3 6 Dhogi Justificar la respuesta.



SEGUNDO EXAMEN DE CÁLCULO ITrimestre 92-0

3.0 1. Obtener el valor de los siguientes límites:

\2x + 4|

x2 + 10* + 16

/XA _ 5 x 2 _ 3 _ ^ 4 + 15a:2 _ 5

1.0 2. Dibujar la gráfica de una función continua en todos los números reales,excepto en {—1,-4,4,6}, la cual tenga discontinuidades esenciales para£ = — 1 y a; = 6; y discontinuidades removibles ena; = —4 y x = 4.

3.0 3. Bosquejar la gráfica de la función f(x) = ^Í^X^A > obteniendo: raíces,asíntotas, puntos de discontinuidad y su clasificación. Justifique todas susrespuestas.

1.5 4. Dar una raíz aproximada para f(x) = —a;5 -f- 3.c2 — 1, con una precisiónde j (es decir de 0. 25). Justifique su respuesta.

1.5 5. Bosqueje la gráfica de una función f(x) continua en todos los númerosreales, excepto en {—5, —1,4}, la cual satisfaga:

4 f(x) = +oo

5+ f(x) = -oo

_5- f(x) = +oo

^ - ^ / ^ ) = 0

• /(-7) - -2

• / ( I ) = 5

) - -2

47



CÁLCULO DIFERENCIAL e INTEGRAL 1

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL 10 NOV 1992

l)Determinar los siguientes límites

IMP * 4

¿-2 x - 2 x - 2

+ x —\/4 — xInri

a;

2) Sea f(x) =\/'~[ determinar :

a) Dominio de f(x).b) Los puntos de intersección de la gráfica de f con el eje x.c) Las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.d) Los puntos de discontinuidad y su clasificación.e) Hacer un bosquejo de la gráfica.f) El rango de función.

3) Calcule los valores de A y 13 para que la función sea continua en todos losnúmeros reales

Ax •+• i si x < —2f(x) - { x2 + B - 2 < x < 2

~ 2< x

4)Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la funciónf(x) = 1 — x — x2

y en x=l



CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1

Tercer examen parcial 7 Uic 1992

2)Dos atletas se disponen a correr los lüü ni planos. Las distancias que cadauno de ellos recorre están dadas por:

o — 1/2 i « / c¿M — 5 l i* oí , o2

Determinar cuál de los corredores es:a)El más rápido en la salida.b)El que gana la carrera.c)El más rápido al cruzar la meta.

3) Trace la grálica de una [unción continua que cumpla con :

i , f(2)=3 , /'(O) - /'(2) - 0,/'(s) < 0 si I* - l | > I ,/'(*) > 0 si()| s - l | < I

f'\x) > 0 si x < 1, /"(a:) < U si x > 1

4)Se desea que las páginas de un libro tengan un área de 9üücm2 con márgenesde 2.5 cm abajo ya los lados y de 1;5 cm arriba.Determine las dimensiones de la página que darán la mayor área posible parael texto.

5)Se desea construir un almacén con un volumen de lU0?u3 que tenga techoplano y base rectangulnr, cuya anchura sea tres cuartas partes de su longitud.El costo por metro cubico de los materiales es de 3G dolares para el piso, 54dolares para los lados y 21 para el techo.

¿Que dimensiones minimizan el costo?

49



EXAMEN GLOBAL DE CALCULO I

Trimestre 92-0. Diciembre 16 de 1992.

Los problemas marcados con * son los que componen la terceraparte.

(0.75) 1. Encuentra el conjunto solución de las desigualdades siguientes:

/Vi svi¿<

(0.5) 2. Dada la función

encuentra: gráfica, dominio, rango e intervalos de monotonía.

(0.75) 3. Stf(x) = J T ^ y g(x) = ^ encuentra Df, Dg, (gof)(x); (g o f ) ( | ) y

(0.5) 4. Calcula

lim - 7 =

(0.5) 5. Para i(x) = " " 2 ^ í | g + - , determina en dónde es continua i(x) y clasificasus discontinuidades. Justifica tu respuesta.

(0.5) 6. Gráfica una función f(x) que cumpla los siguientes requisitos:

• lim;r_+_3+ i(x) = -f oo

^a- f(x) = +oo

4+ f (x) = -~oo

ima,_^4- í{x) — 4-oo

im^^g-i- f (x) = 5

i i^^g- f (ar) = 3

+oo f (a?) = - 1

_o of(#) ~ O

50



(0.5) • 7. Deriva la función

(Í.5) • 8. Un grupo de 100 venados se transporta a una isla pequeña. El grupocrece rápidamente, pero los recursos alimenticios empiezan a escasear yla población disminuye. Suponiendo que el número de venados que hay ent años está dado por N(¿) = -t4 -f 21<2 + 100, determina:

a) ¿En qué tiempo deja de crecer la población de venados?

b) ¿Cuál es su tamaño máximo?

c) ¿Cuándo se extingue la población de venados? Justifica todas tus res-puestas.

(2.5) • 9. Dada la función f{x) = ^

a) ¿Para qué valores de x está definida f(x)?

b) ¿Cuál es el comportamiento de f(x) cuando x —• ±oo?

c) Determina la región en donde f(x) crece o decrece.

e) ¿Tiene máximos o mínimos? Determínalos.

f) ¿En dónde es la gráfica de f(x) cóncava hacia abajo o hacia arriba yen dónde cambia su concavidad?

g) Resume ¡a información anterior en un bosquejo gráfico. Justificatodas tus respuestas.

(2.0) * 10. Un campo de atletismo consiste en un áix,a rectangular con una regiónsemicircular en cada extremo. El perímetro se utilizará como pista de ^0yardas. Encuentm las dimensiones del campo pam las cuales el área seamáxima.

51



CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II



FUNCIONES TRASCENDENTES

1.- Expresar en radianes los siguientes ángulos:

a) 40°, 135°, 315°, -720°, 210°, 402°, -68°

2.- Verifique que: cos{x - j) = sen x, sen(x + j) = eos x

3.- Graficar las siguientes funciones:

a) y = sen2x b) y = I sen x I

c) y = £ S e n ( t + J ) d) y = 2 sen (2t + J)

e) y = 3 cos(x - J) f) y = 2 eos (x + J) + 1

4.- Determine los valores de x que satisfagan la ecuación:

x

a) e = 100

b) 3X"5 = 81

c) 3 x + 5 = 3 x + 2+ 6

d) 7-3x + 1 - 5X+2 = 3X+4 - 5X+3

e) log^íx-g) + 2 log^ /2x - 1 = 2

f) log10 2x + Iog10(x + 3) = logio(12x - 4)

55



g) 1/2 ln(x + 2x) - In /x + 2 = O

h) l o g j ^ " 1 + 7) = 2 Iog2(3x"1 + 1)

5.- Grafique las siguientes funciones por criterio de 1- y 2- derivada

a) y = x - In x b) y = ln|x + 2| c) y = ln(x + 2)

d) y = y ~ e) y = x In x f) y = ex - x y = e 1 / x

-x2 h) y = (1 - x)e"x i) y = xex

g) y = x e

6.- Para cada una de las siguientes funciones, determine si existe la inversa, y los números para los cuales está definida, también de la regla dé"correspondencia.

a) f(x) = x2 + x + 5 x > - 1/2

b) f(t) = i2 si -1 < t < 0

c) g(x) = ~rj si x > -2

d) f(x) = - / 2 - x si xe(-~,-2)

e) h(x) = 3 eos 2x si x e ( j - » ^

56



7.- Dada f(x) determine un intervalo donde existe la inversa y hallar laderivada en el punto indicado

a) f(x) = x5 + x3 + 4 y f(l) = 6 entonces (f"1)'(6) =

b) f(x) = In (x - 1) + 2x y f(2) = 4 entonces ( f ' V

d) f (x ) = e3 x + e~x + 2 f (0) = 4 ==> ( f " 1 ) l ( 4 ) =

e) f(x) = £ ^ l J L£ f(l) ^ i f y {e x - l e ' - l e - 1

8.- Verifique que son identidades

a) sen arcos x = /I - xz

1 y2

b) eos 2 arctan x = * ~ \X * /v

c) tan arcsen x = x

d) tan 2 arctan x = ~^-

e) sec 2 eos"" x = y-^—r

57



9.- Sin calculadora determine:

2a) sen 2 arcos j =

b) sen(arcos ¿- + arcos(y~-))

4 12c) cos(arcos r- + arcsen(

10.- Obtenga y1 si y esta dada por:

y = sen arctan e x y = sec arcsen e~x

y = (sec"1 x ) 3 y = CSQ2 3 X

1 + sen"1 3x

y = tan 3x • e an x y = sen arctan 2x

y = arcsen 1n -^ y := arctan eos Vx

y = ln(tan 2x - sec 2x)

y = cos(x2 - 1) - tan2x2

e s e n y + xy2 - y + 3 - x

x11.- Verifique que la función f(x) = — - ln(l - e"x)

ex - ies decreciente para x > O

y

\zy

xe

_

y

ln sensen xz

cot e x 2

x" +

+ 2x -

X

+

sen

In

CSCX

y =

X

4

58



12.- Pruebe que si a < b entonces e"a > e"*

13.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto indicado

a) y = x e" x = 1

b) y = xex x = 3

c) y = arctan 2x x = /3/2

d) y = arcos x x = 1//F

e) y = ln x3 x = e

14.- Sea f(x) una función tal que ff(x) = f(x) y f(0) = 1determinar f en términos de ex

59



LA INTEGRAL. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

1.- Encuentre la suma de Riemann de f(x) = eos x con la partición:

n ir 52TT y * = Tí/4, X 2 * = 7T, X 3 * = •- Tí

2.- Determine el valor aproximado de las siguientes integrales; exprese surespuesta hasta con 5 cifras

a) dx 5- con n = 5 y x.* = punto medio del subintervalo [x. 1}x.]\ + £A

I I - i I

b) dx1 + x

= n = 8 x . * = x.

c) / x3 + 1 dx, n = 5

3. - Obtenga la derivada de las siguientes funciones;

reos 2x

g(x) » / sen t dt f(x) = dw1 +

-x

60



h(x) = n u + u du F(x) arcsen e2x y tan t dt

g(w) =

•vr

1( H t > » dt

Inw

4.- Si f(x) =x

• 1 + tz dt

a) Muestre que f es una función uno a uno en (-«, «,)

b) Encuentre (f"1)'(0) = si f(l) = 0

5.- Si la velocidad de un cohete después del despegue es x'(t) = 0.3t2+ 4tm/sec. Determine la distancia que recorre en el tiempo de t = 5 seca t = 8 sec.

6.- Efectúe las siguientes integrales por cambio de variable:

,,-1/x2dx sen x sen eos x dx ln x dx

61



dx (l + x dx1 + eos x

dx

x2/ 3)

2x= dx

_ e

dt dxex/ i -

dxex + e-x

dxe* - 2

-3x

9 + e -dx dx

A + 95X2X dx

dx/x

2e"*

dt+ 1

sen• 3

z eossen z

z+

dz- 4

7,- Efectúe las siguientes integrales por partes:

xn 1n xm dx x esc x dx x2cos x dx

-ir

,7,74

3xe sen x dx

ln(x2 + 4)dx sen x ln sen x dx 2x + 3 dx sen Jx dx

62



e z sen ez dz arcos x /tf are sen /t dt

x3 e"x dx SSslnjLdx are tan x .£~2

arc f n x dx

8.- Efectuar las siguientes integrales:

sen3 2t dt cos'í- dt sen2 3t eos2 3t dt sen3x/cos x dx

u/2

eos3 xsen x

'ir/6

dx dxsen x tan x

cot3 x esc1* x dx eos1* x sen3 x dx

tan3 t/sec~t dt tan2 x sec3 x dx sec1* 4x dx tan5 x dx

63



cot2 2x esc1* 2x dx sen Jx sen x dx sen 2x eos 5x dx

eos 4x eos -ñ dx (1 - x 2 ) 3 7 2 dx /9 + 4x^ dx/I - 4x2

dx

dxx3 /x2 - 16

dx(x2 -

dx dx(4 - x2)2\2

x dx/xz - 2x + 5

dx2xz + I2x + 20

dxÍX - X'

x dx

9.- Efectuar las siguientes integrales:

2x2 + 13x + 18x3 + 6x2 + 9x

5x2 - x + 1



9x2 - 36x - 30x3 - 5x¿ - 6x dx

13x 18 dx

X* + X3 + 8x2 - 2x2 + 3x - 5 ax x = +1 raíz del denominador

- 4x + 7c2 + x + 3 dx x = -1 raíz del denominador

2x3 + 8x2 + 8x + 18x1* + 2xa + xz dx 3x2 + x + 1 dx

65



APLICACIONES

I . Calcule el área de la región l imi tada por las curvas dadas:

l . _ y = x2 - 6x + 8 y = -x2 + 6x - 8

2 . - y = 1/x, y = x2, x = 1/2, x = 2

3 . - y = ex, y - e 3 x , x - 1

4 . - y = e ' 2 x , y =*ex, x - 0, x = 1

5 . - y = x 2 , y - |x | + 1

6 . - y = x3 - 12x, y = x2

7 . - y = sen Xj y = eos x, x = -u/2

8 . - y = x3? y = -x , y = x + 6

9 . - y2 - 2x = 0} y2 + 4x - 12 = 0

10.- x + 2 = y 2 - 2 y x - y = -2y2 + 4

2 2

11. - Calcule el área de la elipse -5- + TK = : ^

12.- Calcule el área del círculo x2 + y2 = r2

x213.- Calcule el área de la región limitada por y = -r— eje x,(A _ x

2 y 3 / 2

y las rectas x = 0 y x = l ^ A /

II. Calcule la longitud de la curva en el intervalo dado

66



1.- y = In x para 1 < x < 2

2.- y = x2 para O < x < 4

3/2 g

3.- y = x para ^ < x < 4

4.- y = e~x para O < x < 1

y = ln eos x para 0 < x < j

III. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar laregión:

1.- y - e s y = 0, x = 0, x = 1 alrededor del eje x

2.- y = sen x, y = 0 alrededor del eje x

3.- y = e , y ^ O , x = 0 x = l alrededor del eje y

4.- y = x2, y = 1 + x - x2 alrededor del eje x

5.- y = 4x2, y = 4x alrededor del eje x

2x6.- y = e , y = 0, x = 0, x = 1 alrededor de y = -1

7.- y = 1n x2, y = 0, x = e alrededor de x =-1

8.- y = arctan x, y = 0, x = 1 alrededor de x = 2

9.- y = x2 + 3, y = 4, x *• 0 alrededor de y = -2

10.- y = 1 - x2, y = x3 + 1, y = 0, x = 2 alrededor de y - -1

67



IV. Determinar si cada una de las siguientes integrales converge o no; encaso afirmativo evaluarla:

dx dxx ln2x

V °

x2e"x dxdx

dx

,1

^ n > 2 In x dx x dx- 1

ex dx x dxx + 4

dxx/4 - x2

Inl/x dx

dt+ f

dx

V. Calcule el valor aproximado del número indicado y estime el error en laaproximación

In 7/9 con n = 4

con n = 3

68



sen 62° con n = 4

e con n = 8

eos 3o con n = 5

sen 89° con n = 3

17T con n = 2

e 1 / 8 con n = 3

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1.- Suponga que se bombea agua hacia un tanque inicialmente vacío, la razónde flujo del agua al tanque, después de t minutos es de 50-t galonespor minuto. ¿ Qué cantidad de agua fluye al tanque durante la primeramedia hora ?

2,- Se lanza un cohete verticalmente al aire, su velocidad t segundos ^pues es v(t) = 20t + 50 m/seg. ¿ Qué distancia recorrerá durante losprimeros 100 segundos ?

3.- Se determinó que en 1940, la densidad de población a t millas del centro de la ciudad de Nueva York era aproximadamente 120 e-°-2t miles de~~personas por milla cuadrada. Estime el número de personas que vivíanen 1940, dentro de un radio de 2 millas del centro de la ciudad.

4.- ¿ Qué cantidad de trabajo se debe realizar para impulsar un satélite de1000 Ib en dirección vertical, desde la superficie de la tierra a unaórbita a 1000 millas sobre dicha superficie ? (Radio de la tierra 4000millas.)

69



5.- Una cadena de 20 pies pesa 5 Ib/pie, yace en el suelo. ¿ Cuánto traba-jo es necesario para elevar uno de sus extremos hasta 20 pies de alturade manera que quede toda extendida ?

6.- Una cadena de 15 pies de largo y que pesa 3 Ib/pie está suspendida ver-ticalmente desde 15 pies de altura. ¿ Cuánto trabajo hace falta paraelevar toda la cadena hasta 15 pies de altura ?

7.- Hallar el trabajo necesario para elevar el extremo inferior de la cade-na del ejercicio anterior hasta 15 pies de altura, dejando la cadena d£blada y en posición vertical.

81- Una grúa de demolición tiene una bola'de 500 Ib suspendida a un cablede 40 pies, cuya densidad es 0.7 Ib/pie. Hallar el trabajo necesariopara enrollar 15 pies de la cadena.

9.-

10.-

El depósito de la siguiente figura tiene 8 pies de altura.y 2 pies deradio en su parte superior. Si se llena hasta una altura de 6 pies conun aceite que pesa 50 Ib/pie3, hallar el trabajo requerido para bombeartodo ese aceite sobre el borde superior del depósito

(2,8)

Un depósito tiene la forma de un cono circular recto y está lleno deagua. Si la altura del depósito es de 10 pies y el radio en la cúspidees de 4 pies. Encuentre el trabajo realizado al bombear agua hasta elborde superior del depósito 6 = 62.4 Ib/pie3

11.- Encuentre el trabajo realizado al bombear todo el aceite de densidadp = 50 Ib/pie3 sobre el borde.de un recipiente cilindrico apoyado sobresu base. Si el radio de la base es de 5 pies, su altura es de 10 piesy está lleno de aceite

70



12.- Un recipiente esférico de almacenamiento tiene 12 pies de radio, la b£se del recipiente esta al nivel del suelo. Encuentre la cantidad detrabajo realizado para llenar el tanque con aceite que pesa 50 Ib/pie3

si todo el aceite se encuentra al principio al nivel del suelo.

13.- Un tanque cilindrico de 3 ft de radio y 10 ft de longitud yace sobresu cara lateral en un piso horizontal. Si se llena al principio congasolina que pesa 40 lb/ft3, ¿ qué cantidad de trabajo se realiza parabombear esta gasolina a un punto 5 ft arriba del tope del tanque ?

14.- Una presa tiene una compuerta vertical en forma de trapecio que mide 8ft en su lado superior, 6 en su base y 5 de altura. ¿ Cual es la fue£za total ejercida sobre la compuerta si su lado superior está 4 ftjo la superficie del agua ?

15.- El fondo de una piscina es un plano inclinado que tiene 2 ft dedidad en un extremo y 10 ft en el otro. Si dicha piscina mide 40 ftde largo y 30 ft de ancho. ¿ Cuál es la fuerza total que actúa sobreuno de sus laterales de 40 ft ?

16.- Una claraboya cuadrada en el lateral vertical de un barco mide 1 ft delado. Hallar la fuerza total que soporta, suponiendo que el lado sup£rior del cuadrado está 15 ft bajo el agua.

17.- Un centro de piscicultura tiene un gran tanque lleno de agua con uncristal circular lateral para poder observar el interior. Calcular lafuerza sobre ese cristal si mide 1 ft de radio y su centro está 3 ftbajo la superficie del agua.

71



LAS FUNCIONESTRASCENDENTES

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. Obtener la equivalencia en radianes de cada uno de los siguientes ángulos:

a) 75°

b) 6Ü(

c) 735

o

o

O

2. Encontrar la equivalencia en grados de cada uno de los ángulos siguientes,los cuales están medidos en radianes:

a) §*b) 4

c) 14.31

3. A partir de la identidad

cos(x* -f y) ~ eos x eos y — sen x sen y

demostrar:sen(x -f y) = sen x eos y + sen y eos x

sugerencia: utilizar senx = cos(x — |-) y cosx = sen(x + |-)

4. Verificar que para todo número real x se cumple:

a) sen(ir — #) = sena;

b) COS(TT — a;) = —cosx

c) sen(w -f xa) = —senx

d) cos(?r + ff) = —eos ar

e) tan(n — x) — —tan x

f) tan(ir -\- x) ~ tan x

g) í a n ( | - a?) = cotx

73



h) cot(~ — x) ~ tan x

5. Probar las identidades:

cos2x = -(1 -f cos2x)¿i

sen2x — ~(1 — cos2x)

6. Expresar sen ?JX y cosix en términos de senx y

7. Probar. ¿a?i x 4-

y) = -

oí - t/) =

1 —T ~ tan y

1 -f ¿a?i x' tan y

8. Trazar la gráfica de las siguientes funciones, mediante desplazamientoshorizontales o verticales, o expansiones y contracciones:

a) f\{x) =

c) / 3 ( x ) = | fd) /4(s) - 3sen(x + | )

e) /s(x) = 1 — sen2x

f) /e(a?) = -sen(2s - | )

9. Obtener la amplitud, el periodo y ei ángulo de defasamiento para cadauna de las funciones del problema 8.

10. Utilizando el concepto de amplitud modulada trazar un bosquejo de lagráfica de las siguientes funciones:

a) fi(x) = xsenx

b) A'O'E) = cosx sen |

c) fs(x) = eos x eos-

d) /^(x) ~ senx sen-e) /sí27) ~ x2senx

11. Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a) fi(x) — cos2x

c) /3(ÍP) = 2sen x eos x



12. Sea /(a:) = |co$a:|. Graficar /(ai). ¿Es derivable /(a;) en todo su dominio?Justificar la respuesta.

13. Utilizando técnicas de derivación (máximos, mínimos, crecimiento, con-cavidad, etc.) graficar:

a) fi(x) — sen2xb) ¡2{x) = senx2. ¿Es periódica?

LA FUNCIÓN INVERSA

1. Para cada una de las funciones siguientes determinar el intervalo o losintervalos en donde está definida la función inversa, obtener una expresiónpara ella, si es posible, y obtener la derivada de la función inversa en elpunto indicado.

a) fi(x) ^ %x ~~ 4, en el punto (1,-1)b) Í2(x) = V$x ~ 7, en el punto (3,2)c) h{x) - x^ + x3i e^ el punto (1,2)d) U{x) = ~rfL^, en el punto ( ^ ^-)e) h(x) = ~, en el punto.(2, ^)

0 /s(«) = 3coí(|), en el punto (TT,O)

g) / i W = { ^+ 3' l t \ > e n el pimto (0'3)

h) AW^MíéH^nelpuntoíl^f)2. Obtener la gráfica de la función inversa a partir de la gráfica de la función

que aparece en el problema anterior incisos a), d), e), f), g) y h).

3. Sea/(a;) = x + senx. Nótese que / ( |TT) = |TT—1. Calcular ( / - i ) ' ( | 7 r ~ l )

75



LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

1. Definir las funciones Arco Cotangente y Arco Cosecante, granearlas a par-tir de las gráficas de las funciones Cotangente y Cosecante. Obtener suderivada mediante la derivada de la Cotangente y la Cosecante.

2. Probar la identidad

arctan # -f arctan?/ = arctan(-~ )1 - xy

Sugerencia: utilizar la identidad de la tangente de la suma de dos números,siendo éstos arctan x y arctan y.

3. Probar que se cumple, para x ^ 0:

— {arecotx — arctan(—)) = 0dx x

4. Derivar las funciones siguientes:

a) fi(x) ~ arceos (sen yfx)

b) /2(#) = x3 eos x2 arceos x2

c) fs{z) — tan(z2 -f arcsenSz)

d) f4(t) = árcese(\)

e) fñ(0) = sen(2arcsen0)

f) fe(x) ^ (arecotx2)2

5. Despejar la variable x en las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) arctan 2y =r arctan x2 -f C

b) Zy — 5sen x = 6

c) eos ?/ eos a? — 0

d) v/l2y

e) AT(a;)

6. Resolver las ecuaciones siguientes, es decir, encontrar todos los númerosx que satisfagan:

a) (tañar)2 = 1

b) V2senx = 6

76



LA FUNCIÓN LOGARITMO

1. A partir de la gráfica de \nx y mediante translaciones obtener la gráficade las funciones siguientes:

a) fx(x) = ln -x

b) /2(*) = ln(a?-l)

c)

d)

e) h(x) = ]n\x\

2. Calcular el valor de las expresiones siguientes, sin el empleo de la calcu-ladora:

a) m(4e ) -21n2 3 - l n ( i )

b)

c)

d) In(3e)

3. Verificar que se cumple las igualdades siguientes, sin utilizar calculadora(sugerencia: emplear propiedades del logaritmo):

a) ¡ln(3 + 2V/2)^f

b) ln(x + Vx2 -f 1) = - ln(Vz2 -f 1 - x)

c) l n ( i = ^ ) = 2\n(senx) - ln(ar(l + cosa?))

4. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) ln(z2 - 1) = \n(x - 2) -I- ln(x - 3)

b) ln(3-a?)+ln2-ln(2x + l) = 0

c) ln(l + ar)-ln(l~a:) = 1

d) ln(2 - x) + ln(a: + 11) = m(2z - 3)

e) 21n2 + ln(a?2 - 1) = ln(4a: - 1)

5. ¿Qué ángulo forma con el eje X la recta tangente a la curva y~\nx en elpunto (1,0)?

6. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica def(x) = ln(e -h x2) en el punto (1,0).

7. Calcular la derivada de las funciones siguientes:

a) fi(x) = ln(sen2x)

77



b) f2(x) = sen{\n(2x + 3))

c) y = ln(2ar + 5)

d) y=(hi(x + l)y

e) fz{x) — e2\n(arcsenx)2

1) y = tan(ln y/x)

8. Determinar los máximos, mínimos y los intervalos de crecimiento de f(x) = —

9. Obtener los máximos y mínimos de f(x) = x\nx — 3x

10. Utilizando técnicas de derivación granear:

a) fi(x) == x -flux

b) y - ln(x2)

c) y - s2-f lna:

e) /2(ar) = (In a:)2

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

1. A partir de la gráfica de f(x) — ex y mediante translaciones, expansioneso contracciones obtener la gráfica de las funciones siguientes:

a) f1(x) = e—

b) f,(x) = -e*

c) h{x) = e*+»

d) /4(x) = e1-2*

e) h{x) = e - 5 - + 1

f) /s(*) = \e* + ke~*

g) /r(x) = le* - l e -

2. Simplificar al máximo las siguientes expresiones:

a) ln(ei)

78



b) \n(x2e~3x)

(n eln2+ln3

e) e51™3

6) ^h) e{-xe1+x

l) c+1

j ; e*(2e-l)

3. Obtener las funciones f(g(x)) y g(f(x)) para las funciones

4. Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a) fi(x) = e^

b) h(x) - cosíe2**1)

c) y = esena;2

d) t/ = e2íCsen3a:

e) f3(x) - exsen(ex)

f) y — arctan(e~ 2 x)

h) /*(*) - f~ji) y = c¿

j) y = ( a r - l ) e i

5. Verificar si la función t/(#) = e~2(cosa? -f senx) satisface la siguienteecuación:

2/" + y1 + ~y = o

6. Obtener una fórmula para la derivada de orden n de las funciones:

a) f(x) = ln ;r

b) ^(a;) = are37

7. Determinar los máximos, mínimos y puntos de inflexión de f(x) = 2e~x

8. Obtener los intervalos de concavidad de g(x) •- xex

79



9. Obtener 4a- para la función y definida por la ecuación siguiente:

d* á en términos de x y de y)

10. Utilizando técnicas de derivación (máximos, mínimos, crecimiento, con-cavidad, puntos de inflexión, asíntotas, etc.) graficar:

a) f(x) = ei

b) g(x) = e~**

c) y = e~*2

LAS FUNCIONES EXPONENCIAL GENERAL Y LOGARITMOBASE a

1. A partir de las gráficas de ax y loga x graficar mediante translaciones :

a) /i(x) = 4*"1

b) h{x) = 22~*

c) /3(st) = 9* - 5

d) U(x) = \og9(x - 5)

2. Resolver las ecuaciones siguientes:

a) Iog5(2ar + 5) + log5(2*-5) = 2

b) 21n(l-har)= l + l n ( l - x )

c) (5* - 1)(5* - 25) = 0

c|) 7^+2 ^ 7 ^ 0

e) T~* - i = 0

f) Ax -f 3 2r - 4 = 0

3. Expresar I o g 5 ( ^ ) t en términos de In2, In3 y In5.

4. Verificar que se cumple las siguientes igualdades mediante las propiedadesde logaritmo, sin utilizar la calculadora:

c) l o g ^ S l ) = §

5. Si /(a:) = 3~* y ír(a;) = —eos2a;, obtener el valor de f(g{\))'-

80



6. Despejar la variable x en las siguientes ecuaciones:

a) 100* = 1900

b) y52*+ 1 = 2

7. Derivar las funciones siguientes:

a) /!(*) = 36*-2

b) /2(a?)= lO lna?c) y = 31- 'log2(5ar-l)d) y = 2* + 22X

e) h(x) = 55cn(f)

g) /4(ar) = se?i(log8 a?)

n) h(x) = 10c

i) /6(a:) = (sena)008*j) / 7 ( Í C ) = a:sena7

k) f&(x) = cos ^tana^6"^^ utilizando cíerivación logarítmica.

tan(2ar)5a:

tana:

LA REGLA DE L'HOSPITAL

a) liir

b) lirr

c) liir

d) lirr

e) lin

f) lirr

g) ün

h) lim^-^cx, p-, a y 6, constantes.

81



C. APLICACIONES

1. (Medicina) La propagación de una epidemia de duración prolongadaestá descrita por la ecuación

P(t) _ 3 2 > 0 0 0

en donde P{t) es el número de gente infectada t semanas después delbrote de la epidemia, ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que 2000personas lleguen a estar infectadas?

2. El número de calculadoras verificadas diariamente por un trabajadorde cierta compañía de ensamblado de calculadoras, después de t horasde entrenamiento está dado por

N(t) = 60(1 - e-0'2*)

¿En cuánto tiempo probará 60 calculadoras?

3. La magnitud R de un temblor de intensidad / , en la escala de Richter,está dada por

en donde 70 es una intensidad estándar (de un temblor utilizado comoreferencia) usada por comparación. Así 7 un temblor de magnitudR = 4 en la escala Richter significa que

(f) ó f-104

así / = 10,000/o, lo cual significa que el temblor que se está midiendoes 10,000 veces mayor (más intenso) que el temblor estándar usado paracomparar:

• El terremoto de México de 1985 tuvo una magnitud de 8.3 en laescala de Richter. ¿Cuántas veces fue más intenso que un temblorestándar?

• El temblor de 1978 en Irán tuvo una intensidad de 1077 7Q. ¿Cuálfue su magnitud en la escala Richter?

82



4. (Ecología) Como resultado de un accidente, la cantidad de gas Kriptonque una planta nuclear ha estado descargando en la atmósfera (en milesde pies cúbicos) está dada por

A{t) = 3(0.98/ con 0 < t < 30

en donde t es el número de semanas transcurridas desde el accidente.¿En cuántas semanas habrá en la atmósfera 2222.45 pies cúbicos de gasKripton? Graficar A(t)

5. (Absorción de la luz) Cuando un rayo de luz de intensidad /o (medidaen lumens) atraviesa un medio de espesor s (medido en centímetros),la intensidad luminosa / del rayo emergente está dada por

/ - Ioe-ka

donde k es una constante que depende del medio. Condidérese unmedio tal que k~3

• Graficar la función intensidad I(s).

• Encontrar la intensidad resultante de un rayo de luz de 80-lúmenespasando a través de un medio de espesor 4.2 cm.

• Supóngase que un rayo luminoso penetra en un medio para el cualk—5 con una intensidad de 100 lúmenes. ¿A qué profundidadtendrá el rayo de luz una intensidad de 0.25 lúmenes?

6. (Temperatura) Durante 1980 se encontró que la temperatura (medidaen grados Fahrenheit) de un cierto resorte está dada por

6 0 + ( í )

en donde t es el número de meses que han pasado desde el primero deenero de 1980.

• ¿A qué temperatura (en grados centígrados) se encontrará el re-sorte a mediados de noviembre de 1981?

• ¿En qué fecha el resorte se encontrará a 60.72 grados Fahrenheit?

83



LA INTEGRAL

A. Definición de la integral mediante Sumas de Riemann.1. Utilizando Sumas de Riemann, demostrar que el área bajo la gráfica de

1 2 2

f(x) = x, en el intervalo [a,b] es igual a ^(b -- a ).

2. Mediante una Suma de Riemann para 11=10, calcular el área bajo la

parábola y = ~x + 4 y encima del intervalo [-2,2].rb 2

3. Obtener (-x + 4)dx, utilizando sumas de Riemann.

4. Obtener un valor aproximado para In2, utilizando una Suma de Riemann

para n = 20. Sugerencia: Recordar que, de acuerdo a la definición de

•nlnx, se tiene lnx = ¡ ~ dti

5. Calcular aproximadamente el valor de ArcSen(^) mediante una Suma de

r 'Riemann para n=10. Sugerencia; ArcSent = dx

K / l - x2

6. Calcular aproximadamente el valor de n, utilizando una suma de Riemanni

1 TT 1 I 1

para la función y n=20. Sugerencia: ^ = ArcTanxj = —Ixv In v n 1 _• 1+x" " «o J o 1+x2

dx

B, El Teorema Fundamental del Cálculo.

1. Dar un ejemplo de una función f(x) continua en (0,1), para la cual

r1

f(x) dx no exista. ¿ Porqué esto no contradice al TeoremaJ oFundamental del Cálculo?

2. Dar un ejemplo de una función f(x) que no sea continua en [0,1] y para

r1

la cual f(x) dx sí exista.Jo

3

3. Derivar la función G(t) = 3(6t+8) . (ArcTanx) dx + 2t y obtenerJo

Gf(0).



4. Derivar las siguientes funciones

2 2

a) F(t) = I dx ; b) G(t) ArcTan(ex) dxA +5 V 1 + X

f1

2 x 2 2

5. Verificar si la función y(x) = e~x . e dt + ce x satisface la

ecuación y* + 2xy = 1

6. Si f(x) = v9+t2 dt , obtener (f 'VfO)

7. Encontrar los máximos y mínimos para la función F(x) = sen(t ) dt

en el intervalo [0$ ]

fx - t 2

8. Verificar si y(u) = eu, en donde u = e , satisface la ecuación

yf- e y = 0, y ia condición y(0) == i

9. Encontrar la función T(t) y el valor de c>de tal forma que se

satisfaga para

rx

todo xeR la igualdad f(t) dt = senx - cosx

C. Métodos de Integración.

1. Resolver las siguientes integrales inmediatas:

a) f e-3 xdx h) í ^ dx— oj» I -^^Z dz

, U i _ «2x ' J 1 + cos2z

(ArcTanx)5, , . [ ' < ) . f . ,— dx i) 4- dx p) 2 e dx

1 + x¿ x

dx ... f l+tanZflnx) ... _. I de

e x / l - e~x

1+tan (Inx) , ,— ^ ¿dx q)

i

r1 - z . . ln( Inx) , ,dz JU dx r)1

96

xe+

i —

2x

25

dx

85



e)x(lnx)r

, re® ., 2 4tanx, v1) sec x e dx s)

sen2x

1 + sen xdx

f) V 4 + o o A \\ 2 <*. 5 i *\ (ArcSenx } 2.cosza senza da m) | sec x tan x dx t) | | —^— dx• J.KM. \-» K- \

nj> xln(x2+ 1) dx l n X dx, r€(Q

. Resolver las siguientes integrales no-inmediatas:

a) Vx VI + x\6c dx

o~2

W z v 5 - 2z dz

x2ln2x dx

| sene - cosG | de

e x+ 1

cscx dx

- x dx i) 3 xe (sen2x ~ cos2x) dx o) esc x dx

d) dx1 +

Í dx

xlnx dx

k) ln x dx

p) xArcSenx dx

ArcTanxq)

3X2)2

dx

f) xsenx dx . . lnx ,1) — - dx r>

ArcTanx— - *(1 + X )2

86



3. Resolver las siguientes integrales:

a) sen(lnx) dx g) ArcTanVx: dx ArcSenx

, x s e n ( l n x ) . , v . ^ . ,b) * L dx h) xArcCotx dx

n) eos (lnx) dx

c) ln(l + x2) dx i) senVx dxv COtX ,

O) 1—7 r dXln(senx)

d) Vx e dx j) krcSenVx dx P)dx

x + 2x + 2

e) sen(lnx) dx k) lnx sen(lnx) dx dx

4x +12X+20

f) senxcosxln(senx) 1) xArcTanx dx Ir) ln(x+/l+x2 ) cU

4. Calcular las siguientes integrales:r r

dxa) h) sen x eos x dx3 /

X V 4x2- 9

b) dx i) sec x Vianx dx

c) 1 + v xZ+ 1 dx j) tan x sec x dx

v 4 2 ,

o) sen x eos x dx

p) sec x tanx dx

q) sen8x sen3x dx

d)

} / 2x ~ x2

dx A) tanx •secx ' dx r) cosx cos4x dx

e) x3 V 7 + x 2 dx cot3x csc3x dx s) sen4z cos5z dz

(16 - 9x2)2 . . f 3 , - í .^ ¿ dx m) sen x (cosx) dx

f"ft) cosmx cosnx dx,m=?tn

87



5*. Calcular las siguientes integrales de funciones racionales, conociendo

&n caso dado una raíz d&l d&norninador:

ay I dx bJ> J dx, raí& x=1r 4 2 r ^ 3 2.I x +3x +X+1 I 2x +3x *•"i tjx oJ> JJ x3+x J x3+3x-

I dx, raíz x = l c/J> I —

J x 3 - l J 5x3+2x2+2x+l

4

dx, raíz x»-l

I ÍJ. dx, raíz x«3 /!> I ^~

f 4 3

I x - x -x-1 ,3 Z - d X

J x -x

d x

ó). Resolver las siguientes; integrales mediante las sustituciones y = e"v

d x^ f 2ex^- e~x , ^^ f

a^ dx cDI ^ x. -x IJ 3e + e J

. v f e X - 1 . . f 2 - Stanx ,OJ — dx e.) ; _ _ - _ . dx

J e2 x+ 3 J 3 + 4 t a n x

J e~x+ 3ex J 3 + 3 s e c x

88



ALGUNAS APLICACIONES DE LAINTEGRAL

LONGITUD DE UNA CURVA

1. Calcular la longitud de las curvas siguientes, entre los puntos señalados:

a) y = tx, entre x — 0 y x = 1

b) y = #§, entre x = 1 y x = 3

c) y = | ( e r + e""*), entre a: = - 1 y x = 1

d) Una circunferencia de radio r.

e) y — ln(cos#), entre x = 0 y x = ~

f) y = ln a?, entre a: = \/3 y x = \/8

g) La parábola a,*2 = 4t/, desde su vértice hasta un extremo de su ladorecto.

h) y = arcsen (e""37), entre o? = 0 y a? = 1

ÁREAS2 2

1. Calcular el área encerrada por la elipse ~- -f jfg = 1

2. Calcular el área encerrada por las curvas f(x) z= x3 - x y g(x) = a;2

3. Obtener el área de la región comprendida por y — — x2 4- 4# — 3 y susrectas tangentes en los puntos (0, --3), (4, —3)

4. Calcular el área de la región encerrada por la parábola y2 = 4x y su cuerdaque pasa por los puntos (1, —2), (4,4)

5. Determinar el valor del área de la región comprendida por x = 3 — y2 ysu normal en el punto (2,1)

6. Calcular el área de la región comprendida entre las curvas x = y2 — 2y — 2y x = -2y 2 + y -f 4

7. Determinar el valor del área de la región lirniadapor las curvas y ~ sen xy y :cosa;, el eje Y y el primer punto en donde se intersectan estas curvas, parax > 0.

89



8. Calcular el área de la región comprendida por la gráfica de y = ln x y lasrectas x = | , x = 6

9. Obtener el valor del área limitada por la gráfica de y — x ln x y las rectas2/= 0 , 3 = 2

10. Calcular el área de la región comprendida por la curva y = arcsenx y lasrectas ?/ = 0 , x — yT2

VOLÚMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCIÓN

1. Calcular el volumen de una esfera de radio R.

2. Demostrar que el volumen de un cilindro recto de radio R y altura H esirR2H

3. Obtener el volumen del paraboloide x2 + y2 = z acotado por el planoZ = 10

4. Obtener el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la regióncomprendida por las gráficas de y — 4x2 y y = 23,.alrededor de:

a) El eje X

b) El eje Y

c) La recta y = 2

d) La recta x = 2

5. Calcular el volumen del sólido de revolución generado por la región com-prendida por las curvas y = 6 — x2 y y ~ 2, al rotarse alrededor de:

a) El eje X

b) El eje Y

6. Obtener el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje X,la región comprendida por y = y/serTx, x = 0, x — TT

7. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región encerrada por(x - 2)2 -f y2 = 1, alrededor de :

a) El eje X

b) El eje Y

c) La recta y = —2

d) La recta x = 2

8. Calcular el volumen de los sólidos de revolución que generan las curvassiguientes, alrededor de las rectas dadas:

90



a) y = S€7i(x2)} x = O, a; = \ / f ?y el eJe X; alrededor del eje Y

b) y = ln#, # — e, t/ = 0; alrededor de la recta x — TT

c) y ~ ardan xf x = 0, y = 0, i/ = ^; alrededor del eje Y

d) y = ai^cscnx, x = 0, x* = l,y el eje X; alrededor del eje Y

e) ?/ = e~xy x =. 0, o; = l,y el eje X; alrededor de la racta x = 2

f) La parábola t/2 = 8x* y su lado recto; alrededor del eje Y

INTEGRACIÓN I M P R O P I A

1. Calcular las siguientes integrales impropias:

2. Demostrar que el área bajo la gráfica de f(x) ~ e~2;C, para x > 0, es iguala ^. Calcular el volumen generado por esta región al girar alrededor delejeX.

3. ¿Para qué valor de c la siguiente integral es convergente : f*°

91



EL TEOREMA DE TAYLOR

1. Utilizar los 5 primeros términos del desarrollo de Taylor de e~x para cal-cular e~0-2 y dar una estimación para el error correspondiente.

2. Obtener el valor aproximado de y/9A. mediante un polinomio de grado 5y estimar el error cometido en tal aproximación.

3. En cada uno de los siguientes incisos calcular el valor aproximado de laexpresión dada, utilizando un polinomio del grado que se indica y obtenerla estimación del error correspondiente:

a) ^í—; n = 4

b) ln(1.3); n = 5

c) v^8^5; n = 4

d) sen (31°); n = 4

e) ee; n = 5

92



EVALUACIONES APLICADAS



PRIMER EXAMEN DE CALCULO IITrimestre 92 - O

(3.0) 1. Derive las funciones:

/(*) = sen2(7 + ln *), g(x) = 52* ArcCos 5z

(1.5) 2. Encuentre los valores de x que satisfagan la ecuación:

log4 43 + log4 (x

2 + 12) = 4 + log4 (6 - x)

(3.5) 3. Dada la función f(x) = §£:

a) ¿Para qué valores de x está definida f(x)l

b) ¿Cuál es el comportamiento de f(x) cuando x —+ ±oo?

c) ¿Tiene asíntotas verticales?

d) Verifique: / '(*) = Í 2 ^ y /«(,) = í£=2s+»is:

e) Determine la región en donde /(a?) crece (decrece)

f) ¿En qué punto del dominio alcanza f(x) su valor máximo (mínimo)?¿Cuál es el valor de este máximo (mínimo)? Si es necesario, utiliceel valor e3 = 20.349

g) ¿En dónde es cóncava hacia abajo (arriba) la gráfica de f(x)?

h) ¿En qué punto(s) cambia la concavidad de f(x)?

i) Resuma la información anterior en un bosquejo gráfico.

(2.0) 4. Dada la función f(x) = 1 + y/x - lna?, determine un intervalo en donde /tenga inversa. Obtenga (/"1)/(2), sabiendo que /(I) = 2

95



PRIMER EXAMEN DE CALCULO IITrimestre 92 - P

1. Derivar la función f(x) = eA r c T a M a r - *(Cos(ln2x))2

2. Encontrar los valores de x que satisfagan la ecuación (|)3l :~7 = (|)7ar~3

3. Graficar la función /(#) = ~-, tomando en cuenta su dominio, discon-tinuidades, asíntotas, máximos y mínimos, intervalos de monotonía, pun-tos de inflexión e intervalos de concavidad.

4. Dada la función f(x) = i-5-

a) Determinar el (los) Íntervalo(s) en donde exista la función inversa.

b) Sabiendo que /(e2) = f, obtener (f~l)'(j)

96



SEGUNDO EXAMEN DE CALCULO II

Trimestre 92-0

Noviembre 17 de 1992

(3.0) 1. Resolver la integral:t A irnS\t*c T

dx/

ArcSec x

(2.5) 2. Calcular:

—==• dxy/3x

(2.5) 3. Obtener el valor aproximado de la siguiente integral, utilizando una Sumade Riemann para f(x) = sen>/r, el intervalo [0,1] y n = 5:

i

sen \/x dx

(Asegúrese de que su calculadora está en modo radianes)

(2.0) 4. Un depósito perforado de combustible pierde su contenido de tal modoque la variación de su volumen con respecto al tiempo está dada por

Obtener una expresión para el volumen del depósito al tiempo í.(No olvi-dar la constante de integración.) Si V(0) = 100, ¿Cuál es el valor cíe laconstante?

97



TERCER EXAMEN DE CALCULO II

Trimestre 92-0

Noviembre 20 de 1992

(4.0) 1. Resolver la integral:

2a:3 + x2 + 9x - 16Í2x3+xJ x3-x'2 dx,

c2 + 3x - 10

sabiendo que x = 2 es una raíz del denominador.

(3.0) 2. Obtener:

r dx( l-*2)f

(3.0) 3. Calcular:

/ sen5z cos3x dx

98



Tercer examen de Cálculo II

Trimestre 91-P

Julio 16, 1992

(25%) 1. Calcular el área encerrada por las curvas

x - 3 = -y2 y x - 4 = -2 j r

(30%) 2. Obtener el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la regióndeterminada por f(x) — sen-r, x — ir, x = '¿X y el eje X, al rotarsealrededor de la recta y = 1

(30%) 3. Calcular x / O , en forma aproximada utilizando un polinomio de Taylorde grado 4 y obtener una estimación para el error correspondiente.

(15%) 4. Obtener /+,00 xe-^dx

99



Trimestre 91-0

E X A M E N G L O B A L D E C A L C U L O IITEMA I

(*)1. Derivar f(x) = sen2(eX + ArcTan 2x) + In2(l+2x2)(•)2. Despejar x de la siguiente ecuación:

3

ln [az+ ArcTan(-)] - 2b + 3 = OSi

3. Sea f(x) » x + e~x

a) Determine los intervalos en donde existe la función inversa.

b) Considerando que f(l) = 1 + ~ , obtenga (f~V( 1 + ~ )

4. Obtenga el valor de x que satisfaga la ecuaciónIog2(3x ~ 2) » Iog1/2(x)

(*)5. Grafique la función f(x) = sen x, en el intervalo [~2n>2n](Obtenga periodicidad, paridad, máximos» mínimos, etc)

T E M A " - x V t 2

(*)6. Verifique si la función y(x)=e i e dt + ce x , satisfaceJo

la ecuación y'+ 2xy = 17. Calcule las siguientes integrales

(*) a) I dxf x-1

a ) —J x3+l^ Ar cTan x

dxc)

x(x2+i:i3 /2í

TEMA III.«VI

dx8. Calcule la siguiente integral impropia:

Vx (1+x)

(*)9 Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al2ci2rotar la región limitada por y=sen x2 y las rectas y=O

=J^ alrededor de la recta x=0

10.Calcule el área de la región limitada por x=y2+2y~2 y la

recta que pasa por el punto (1,1), y cuya pendiente es - i de

la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto(1,1).

(*}li.a) Calcule el valor aproximado de —í- con un polinomio de

/TiTaylor de cuarto grado.

b) Estime el error en la aproximación anterior,rt

12. Obtenga lim 2x-»o+ cot - x

100



EXAMEN GLOBAL DE CALCULO II

Trimestre 91-P

Julio 24 de 1992

IMPORTANTEl.Los problemas marcados con * son los que componen el examen global.2.Para aprobar el examen global son indispensables los siguientes requisitos:a)Resolver correctamente los ejercicios 1, 5, 6 y 11.b)Obtenerf por ¡o menos, una calificación de 6.0PARTE I

(0.8) *1 . Obtener la derivada de i(x) = ArcSen>/£ - ec o s 3 3 x

(1.3) *2. Graficar la función f (x) = x(\nx)2, obteniendo dominio, máximos, mínimos,puntos de inflexión e intervalos de concavidad y de crecimiento. Justificarlas respuestas.

(0.9) *3. Dada la función i(x) = ~(lnx)2 — lna: -f 1, determinar el(los) intervalo(s)en donde exista la función inversa de í(x)1 y sabiendo que f(e) = ^,obtener

4. Obtener el valor de x que satisfaga la ecuación:

log2 (4 - x) + log2 (1 - 2x) =: 21og2 3

PARTE II

(1.3) *5. Resolver la integral:ArcSen y/x

> — dx

(1.3) *6. Calcular:

3a;2 + x - 1•dx

(0.9) *7. Obtener la integral siguiente:

dx

1

101



8. Derivar la función F(x) = senx • Jx *el"~' dt

PARTE III

(1.3) *9. Calcular *^= , en forma aproximada utilizando un polinomio de Taylorde grado 4 y obtener una estimación para el error correspondiente.

(1.1) *10. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar alrede-dor de la recta y = —1 la región encerrada por las curvas y = —1«2 -f 6 y

¿2

(1.1) *11. Calcular el área encerrada por las gráficas de las funciones y = cosar yy = 3cosx en el intervalo [— |TT, |?r]

12. Obtener el valor de la siguiente integral:

I x ln x dxo

102



E X A M E N G L O B A L D E C A L C U L O IITRIMESTRE 92-1

PARTE IValor 2 ^ 2

(i) (*)1. Obtener la derivada de f(x) = tan (Vx) + /ArcSenx.lnx

(?) (*)2. Graficar la función f(x) = xe~2x obteniendo dominio, asíntotas,

máximos, mínimos, puntos de inflexión e intervalos de concavidad

y de crecimiento.

(i) (*)3. Despejar el valor de x de la ecuación e ' - 5 = y

4. Determinar el valor de x que satisfaga la siguiente ecuación:

3 X - 3 X + 1 = 5 X - 5 X + 1

5. Dada la función f(x) = ln(x-l) + 2xa) Determinar el intervalo en donde exista la inversa.

b) Sabiendo que f(2) = 4, obtener (f "1)>(4)

PARTE II

• 4Valor f 1/5

(i) (*)1. Dada la función F(x) = x2. (31 + t2) dlt, obtener F'(x) y F'd)

(-) (*)2. Sabiendo que x = -4 es una raíz del denominador del integrando.,

. . f x4+ 2x3+ 5x2+ 49x + 22 Aobtener — dxJ x3+ 2x2+ 2x + 40

3 f(-) (*)3. Calcular dx4 rii—'

J V e + 1 + 1

<~) (*)4. Obtener x3 / 2 . ln(i) dx

( ,- 2.3/2

—U X J dxX

PARTE IIIValor

(-) (*)1. Calcular el valor de cos(186 ) utilizando un polinomio de Taylor

de grado 4 y obtener una estimación del error.

(-) (*)2. Calcular el volumen del sólido de revolución que genera al rotar

alrededor de la recta y=-2 la región limitada por la gráfica de

y=senx, el eje Y, la recta y=2 y la recta x=ir

3. Calcular el área de la región encerrada por las curvas:

(y-3)2= 9(x+l) y (y-3)2= -3(x-3)

103



EXAMEN GLOBAL DE CALCULO II

Trimestre 92-0. Diciembre 14 de 1992.

IMPORTANTE

• Los problemas marcados con 6 son los que componen el examenglobal.

• Para aprobar el examen global es indispensable resolver correc-tamente los ejercicios 1,-5, 6, 12 y obtener, por lo menos, califi-cación 6«0

PARTE I

(0.7) 61. Deriva la función f(x) = \ / ( m x)2 + ArcSen x

(1.3) 62. Dada la función f(x) = 1 + (1 + x)e~f

a) ¿Para qué valores de x está definida f(x)?

b) ¿Cuál es el comportamiento de í{x) cuando x —* ±oo?

c) Verifica: f'(x) = | e " f (7 - x) y f"(x) = - ^ e " " * (15 - x)

d) Determina la región en donde í{x) crece o decrece.

e) ¿Tiene máximos o mínimos? Determínalos.

f) ¿En dónde es la gráfica de f{x) cóncava hacia abajo o hacia arriba yen dónde cambia su concavidad?

g) Resume la información anterior en un bosquejo gráfico. Justificatodas tus respuestas.

(0.9) 63. Dada la función f(x) = ¿ ¿ - , determina algún intervalo en donde exista

la función inversa de f(x). Sabiendo que f(0) = | , calcula (f ')""1^)

4. Determina los valores de x que satisfagan la ecuación x — e

PARTE II

(1.2) 65. Resuelve la integral:

ln(4 + y/x) dx/ •

104



(1.3) é>6. Sabiendo que x = 1 es una raíz de denominador, calcula

2x3 + Sx2 + 10* - 9

/ : 2X - 6

(1.1) 47. Resuelve

dx

8. Dadas las funciones

eos t n( \ — f* c o s 2 * Ai * ~ Ji *

determina cuál de los números F;(^) y G'(w) es el mayor.

9. Encuentra

I dx

**(**+1)§

PARTE III

- Calcula \/50 en forma aproximada utilizando un polinomio de Taylor degrado 4 y determina una estimación para el error correspondiente.

(1-1) 4 / i . Calcula el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar alrededordel eje X, la región encerrada por las curvas y = e*\ y = e ~ r + 2 , e/ e/eV, e/ eje X y la recta x = 2

^iá . Verilea g«e e/ área encerrada por la elipse ~- + ^- = 1 es igual a GK

13. Calcula el valor de la siguiente integral:

105



MISCELÁNEA DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL



* Graficar x3 y Xl/Sy 27x3 y ¿ x+i/3xS0

* Para oscilaciones de pequeña amplitud, la relación entre el

periodo y la longitud de un péndulo puede ser aproximado por

la ecuación-

T = 2TT/ g" g= 980 cm/seg2

Cuando la temperatura 0 cambia, la longitud L aumenta o dis-

minuye a una razón de cLL = KL K constante.de '

¿Cuál es la razón de cambio del periodo con respecto a la

temperatura?

* Un camión puede transportar 60 personas. Si el número x de

personas por viaje está' relacionado con el precio del bole

to (P pesos) por la regla P= [3- (-4 -) ] % escriba la función

que expresa los ingresos totales por viaje. ¿Cuál es el nú-

mero de personas por viaje xi que hace que el ingreso margal

nal sea igual a cero? ¿Cuál es el correspondiente precio Pi?

* Cae arena a un contenedor cónico a razón de 10 dm3/min. El

radio de la base es igual a la mitad de su altura. ¿Qué tan

rápido crece la altura de la pila cuando tiene una altura h?

* Suponga que una gota es una esfera perfecta. Suponga que por

condensación la gota acumula "mezcla" a una razón proporcio-

nal a su área. Demuestre que su radio crece a una razón cons_

tante.

* Cuando el aire cambia de volumen sin que se aumente el calor,

se cumple que PV - constante ¿Qué tan rápido cambia la pr£

sión si el volumen está decreciendo a una velocidad de

sdm3/min?

109



* Un catalizador de una reacción quimica es una substancia que

controla la razón de cambio de la reacción sin que tenga nin

gún cambio permanente; una reacción autocatalitica es una

reacción cuyo producto es un catalizador para su propia for-

mación. En algunos casos es razonable suponer que la razón

v de la reacción es proporcional a la cantidad de la substan.

cia original y a la cantidad del producto,, esto es

v = kx(a-x)

x = cantidad del producto

a = cantidad de substancia original, k:=constante

mayor que o

¿Para qué valor de c, v es un máximo?

* Un alambre de longitud L se va a cortar en dos pedazos de mo

do que una porción se convierta en circulo y la otra en cua-

drado. Si se desea que el área total sea máxima, ¿cómo se

deberla cortar el alambre?

* Una compañía manufacturera puede vender x objetos por semana

a un precio P = 200 - O.Olx pesos y le cuesta y=50x+20,000

pesos producir x objetos ¿cuál es el número x que genera má-

ximas utilidades?

* La dureza de una viga rectangular es proporcional al produc-

to de su ancho por el de su profundidad. Encuentre las dimen.

siones de viga más fuerte que se pueden cortar de un cilin-

dro circular de radio r.

* La iluminación en cualquier punto es proporcional al produce

to de la intensidad de la fuente y del inverso del cuadrado

de la distancia. Si dos fuentes de intensidad relativa a y b

están a una distancia C, ¿en qué punto de la linea que los

une será la luminosidad un mínimo? Suponga que la luminosi-

dad es la suma de la luminosidad debida a cada fuente.

110



* Cuando tosemos, la tráquea se contrae de modo que aumenta la

velocidad del aire que sale. ¿Cuál es la contracción que maxi^

miza la velocidad?^ ¿en realidad se contrae esa cantidad? Su-

poniendo cierta elasticidad de la pared traqueal y cierta de£

aceleración del flujo del aire cercano a la pared debida a

la fricción, la velocidad puede ser modelada por la ecuación

V = C (r-ro) r2 _£nL_ ^£_ <r<ro con ro

seg 2

el radio en reposo de la traquea. Demuestre que el máximo para2

V se encuentra en r = — ro. Estudios realizados con rayos x

confirman que la tráquea se contrae hasta alcanzar este radio.

* Grafique la función que representa la velocidad lineal de un

taxista durante el dia laboral.

Grafique la función que representa la distancia recorrida co-

rrespondiente .

* Si suponemos que la velocidad está relacionada con la cantidad

de gases despedidos por un motor y que la velocidad 0, es decir

el motor encendido sin movimiento, es la más contaminante, de-

termine la cantidad total producida por el taxista. Para esto

proponga una función que relacione la contaminación con la ve-

locidad.

* Si dos funciones de R en R tienen su mínimo en Xo, ¿quiere esto

decir que el mínimo de la suma de las funciones también está en

Xo? ¿Que el mínimo del producto de las funciones está en Xo?

* Graficar las siguientes funciones CosX + CosX, SenX + SenX3

CosX + SenX. ¿Estas funciones son periódicas?

111



¿Cómo se obtiene el consumo de agua en una casa en un día

sabiendo que la velocidad de caída máxima de agua en una rega

dera Im3/hora; la llave del baño o cocina es 10 litros/hora

máxima; la manguera 20 litros/hora máxima y que un excusado

consume 15 litros en cada descarga?

¿Cuál es la cantidad total de uso de la televisión (las tele-

visiones) en su casa en una semana? Haga una gráfica para cada

televisión ?Cuál es el uso promedio de cada televisión?

Grafique SenX, Sen2X, Sen¿X

Grafique log X, log.X2, log 2X, 21og X, logX2

112



* Un salvavidas detecta a una persona solicitando auxilio en el

mar y busca el mejor camino para llegar a ella. El mejor caini

no será el que minimice el tiempo.

salvavidas

persona

Las condiciones xpon que el salvavidas recorre la tierra a

una velocidad Vi = 5m/seg y en el mar tiene una velocidad

V2 = 1.2m/seg,,¿Cuál es el mejor trayecto?

* Determinar la parábola de longitud mínima que pasa por [0,0]

y por [1,1] de la forma f(x)=ax2 + bx + c, a positiva.

* ¿Cuál es la longitud de las curvas f(x)=xn de [0,0] a [1,1]?

* Determinar los puntos de inflexión, mínimos y máximos de

una función polinomial de grado 2 y de una función polinomial

de grado 3.

* Una presa se llena durante la lluvia a una velocidad f(v)=at,

con t el tiempo de duración de la lluvia.

Tiene una capacidad total Vo = 106m3

Por fuga y evaporación pierde V-e~ *m3/por día con V. el vo

lumen del agua al inicio del día.

113



Suponga que llovió 3 días seguidos; usted desea saber la can

tidad de agua cuatro días después de que cesó la lluvia y de

que el volumen total inicial era de V.--~lQ6m3 • Haga las grá-

ficas correspondientes. Suponga que la evaporación y las fu-

gas se mantienen constantes incluso durante la lluvia.

* Una estructura metálica se corroe rápidamente en el ambiente

salino cercano al mar; para evitarlo se acostumbra pintar la.

estructura con lo que la velocidad de corrosión disminuye.

Si se quiere que la corrosión sea menor a 1/10 parte de la

estructura en cualquier tiempo, ¿Cada cuándo se debe pintar?

sabiendo que f(corrosión) =:ax2+b, con x(t) la proporción

corroída y la pintura hace que la a cambie a a1 con a -in-

durante un período de 2 meses y después, bruscamente, vuelve

a ser a la constante para la fórmula. La parte corroída al

final de cada periodo ya no se puede revertir.

* Una luz rotatoria en un faro a 3 millas de una playa recta

ejecuta 8 revoluciones por minuto. Encuentre la velocidad

del haz de luz a lo largo de la playa en el instante en que

hace un ángulo de 45° con la línea de la playa.

* Si una partícula se mueve a lo largo del eje X de modo quewt *" w tsu posición al tiempo t está dada por X=ae +be con

a,b,w, constantes, demuestre que la partícula es repelida

del origen con una fuerza proporcional a la distancia [Re

cuerde que F=ma].

* El artículo de la Enciclopedia Británica comienza con la

afirmación:

tfAl acortar los procesos de cómputo, los logaritmos han du

plicado la velocidad de cómputo de astrónomos e ingenieros1^

¿Qué propiedad o propiedades de los logaritmos piensa usted

que el autor del artículo tenía en mente al hacer la afirma-

ción?

114



Un tanque cilindrico con radio 3 metros y altura 6 metros,

con su eje vertical, está lleno de agua pero tiene un agu-

jero en el piso.

Suponiendo que el agua escapa a una razón proporcional a

la altura del agua en el tanque y que 10 por ciento escapa

durante la primera hora, encuentre una fórmula para el vo-

lumen del agua que subsiste en el tanque después de t horas.

-x2/aDetermine los puntos de inflexión de la curva Y=e ? con

a una constante positiva. Grafique esta curva que es muy

importante en estadística (relacionada con la Campana de

Gauss o Distribución Normal)

Al estudiar las condiciones meteorológicas de Alaska para

la construcción del gaseoducto se encontró que la temperatu

ra en °Farenheit promedio variaba durante el año en forma

senoidal con muy buena aproximación usando la fórmula

f(x)=37 sen[3g][ (x-101)] = 25 con x-0 el lo. de enero

Grafique la curva, determine la temperatura máxima y mínima

y en que días del año ocurren. (Tomado originalmente de

"The Mathematics Teacher11 Sept. 1977, B.M. Lando, C.A. LandofTIs the course of temperature variation a sine curse11.) ¿Cuál

es la temperatura promedio en el año?

* Si un recipiente semiesférico de radio lOcm se llena con agua

hasta una profundidad de x cm, el volumen de agua está dadof xipor V=TT [10--^-]x2. Encuentre la razón de cambio del aumento

del volumen por cada aumento de un cm de la profundidad.

* Si X=3t + 1 y Y=t2+t encuentre ^ 5 ~ y |£. Elimine t para

obtener a Y como función de x y determine -pX directamente.

¿Coincide el resultado con el método de la regla de la cadena?

115



* Suponga que cae agua a un tanque a una razón de

£(t) m3/min> donde f está dado por una función de t, positi^

va y continua. Sea Qo la cantidad de agua en el tanque al

tiempo t=0. Aplique el Teorema Fundamental del Cálculo para

mostrar que la cantidad de agua en el tanque al tiempo

fbt=b es Q=Qo+ f(t)dt

j0Un tipo de suela de zapatos se desgasta de acuerdo con la si_

guiente fórmula D(t)=Do-l

es de la mitad?, ¿del 8%?

- a tguiente fórmula D(t)=Do-Doe # ¿En cuánto tiempo el desgaste

* Se ha visto que un material químico se degrada de acuerdo con

la fórmula S=So-Soe # ¿Cuánto tiempo hay que esperar pa-

ra que 90% del material se haya degradado?

* Haga una gráfica de la cantidad de carros del metro en funcio-

namiento en una línea como función de la hora del día y del

día de la semana.

*¿Qué función sugiere para la velocidad de un convoy con respec_

to al tiempo?^ grafíquela al igual que las correspondientes fun

ciones de distancia y aceleración con respecto al tiempo.

k Un convoy de trenes transporta tres tipos de productos.

tipo 1 con una densidad de .5 kg/dm3

tipo 2 con una densidad de 2.0 kg/dm3

tipo 3 con una densidad de lókg/dm3

Los precios correspondientes de transportación son Ci

S 2 y L3 — ~ - por kg

En total se puede enviar una tonelada por cada furgón del

convoy,¿Cuál es el precio máximo de transportación?

116



¿Cuál es el precio mínimo que se puede cobrar por un furgón?

¿Cuál es la función de peso total transportada?

¿Cuál es la función de costo general?

* El valor monetario de los bienes inmuebles de la ciudad de

México varía de 5,000 a 109 nuevos pesos; la distribución

del número de bienes inmuebles se puede representar por la

función f(x)=Ae"bx si N$5000áx<N$109

=0 si x<N$5000

¿Cuál es aproximadamente el valor de todos los inmuebles de

la ciudad de México? ¿Cuál es el valor promedio?

¿Si el impuesto predial cobrado por año está dado por la fun-

ción

i(x) = 100 + 1QQ03 5000 x 109

¿Cuál será el impuesto total cobrado al ano con esta tasa?

* La mayoría de los 120,000 libros de la biblioteca de la UAM-A

tienen dimensiones que van de 10 a 100 cm de ancho y de 10 a

lOOcm de largo. La distribución de la longitud del ancho se

supone que está dada por la función

f (x)=ae"*b^x"20^ si 10<x<30 y

f(x)=de~cx si 30<x<100

Si existe un total de 120,000 libros,¿Cuántos libros están

entre 10 y 20cm de ancho?

Se ha visto que una página tiene entre 20 y 40 líneas y un li

bro entre 20 y 1000 páginas. Proponga funciones que corres-

pondan a las distribuciones del número de líneas por página y

del número de páginas.

117



¿Cuál será el total de páginas que existe en la biblioteca?

¿Cuál será el total de líneas que existe en la biblioteca?

Si cada línea tiene entre 40 y 80 letras (y blancos) con una

distribución constante, ¿Cuántas letras hay en la biblioteca?

5 i a cada letra le asociamos 5 bits, ¿cuántos bits hay en

promedio por libro?¿Cuántos bits hay en total en la bibliot_e

ca?

* Un alumno 'aprende1 el contenido de un curso con velocidad

v(t)=at2+bt=cf t tiempo de dedicación, a<0#¿Cuánto material

habrá aprendido después de 40 horas? Si olvida con una velo-

cidad Vo(t)=de" f ¿En cuánto i

aprendió en las cuarenta horas?

cidad Vo(t)=de" f ¿En cuánto tiempo habrá olvidado lo que

* Haga una gráfica que represente el peso de los objetos que

contiene un edificio que usted conozca como función del tiem

po; incluya ahora las entradas y salidas diarias de personas

al edificio. Ahora sume las dos contribuciones y obtenga la

gráfica correspondiente•

* Si el consumo de energía eléctrica bimestral de los bienes

inmuebles de la ciudad de México sigue la función

f(x)=Ae~bx+Ce~dx, 3kwh<x<10

¿Cuál es el consumo total de la ciudad de México si el total

de inmuebles es de 105?

* En la ciudad de México hay 15x106 habitantes.

Suponemos que 14.5x106 camina (el resto son bebés, o están

encamados o inmovilizados por problemas de salud). Un habi-

tante de la ciudad camina entre 15 minutos y 15 horas diarias

entre semana.

118



con f (x)=a(x~b)2 con 4h<x<5hrs

f(x)=ce~m(x-5h), 5h<x<15hrs

¿Cuánto vale c en términos de a y b?

¿Cuánto tiempo en total dedica la población de la ciudad de

México a caminar?

Una persona sube al castillo de Chapultepec (3kms) desde la

base del cerro con velocidad

v(t) = a t2+ bt + c a<0 c>0

¿Cómo tiene que ser a comparado con c para que llegue al

Castillo?

¿Cuánto vale el tiempo total de recorrido?

¿Qué aceleración tiene para diferentes tiempos?

¿Qué recorrido total lleva para diferentes tiempos?

¿Cuál es el volumen de un elipsoide con fórmula

x2 y2 z2

a2 b2 c2

Si la densidad de masa decrece a medida que x->|a| con la for

muía

g(x)=10-1x1 -£~ ¿Cuál es la masa total del elip-

soide?(a=10)

* La concentración en % de alcohol x obtenida en una destila-

ción varía de .950 a .999 de cada litro, con una función

f(x)=ax2+bj a<0, b>0

¿Cuál es la concentración promedio9

119



* Se sabe que la concentración de alcohol de 106 litros produ-

cidos varía de 0 hasta 100% de modo que satisfacen la fun-

ción

f(x) = ZOx^l-x^ 0<x^l

= 0 1<X

¿Cuántos litros de alcohol del millón tiene una concentra-

ción entre 1_ Y 2. ? ¿Cuál es la concentración promedio?3 3

Xo¿Cuál es la función F(xo)= £(x)dx? ¿Qué significa?

* ¿Cuál es la masa de un tornillo si suponemos que consta de

un cono truncado de altura h, radio mayor Ro y radio menor

r0| un cilindro de altura 1 del que se ha eliminado lo equi

valente a una capa cilindrica de altura lo y grueso j o y el

mismo radio r0 ? Suponemos una densidad de masa constante d.

¿Para qué valor de xo, | Indx = e"xdx?

¿Qué significa geométricamente esta igualdad?

* ¿Qué masa total tienen los anillos de Saturno?

¿Qué masa total tienen los asteroides que giran en órbita al-

rededor del Sol?

* Determine el área de un sector elíptico que parte de un foco

de la elipse.

120



¿Cómo determinaría el área de la siguiente figura?

¿Cuánto pesa una cadena gruesa en que los eslabones tienen

forma elipsoidal, tiene densidad uniforme y consta de cien

eslabones?

* Se ha visto que al usar agua de la llave para lavarse, la

proporción del agua que no se utiliza se desperdicia y

crece a medida que crece el volumen de agua x que sale de la

llave por segundo

Y=ax2(t)+bx(t)

Si pasó un minuto y X(t) = e*-!

4t

0<t< 10 seg

10<t< 60 seg

¿Cuál es la cantidad total de agua que salió de la llave?

¿Cuál es la cantidad total de agua que se desperdició?

* Un dirigible puede modelarse por un elipsoide lleno de aire

caliente que es más ligero que el aire a temperatura ambiente.

¿Cuánto debe pesar el volumen de aire caliente si su densidad

es a kg/m3?

* Un ser humano consume, bebe, entre 2 y 5 litros diarios de

agua. Si suponemos que es más común mientras menos consume, es

decir que el consumo se distribuye así

121



¿Cuántos de los 15 millones de habitantes del D.F. consumen

menos de 3 litros? ¿Cuántos, más de cuatro? ¿Cuál es el con-

sumo promedio en el D.F#?

* ¿Cuánto debe valer K para que valga 1 el área total ba-

jo la función?

f(x) = en [a,b]

Si F(xo)

f(x)=0 fuera

f(x)dx evalúe y grafique F(xo)¥ xoeR

Si y b = 7 ¿Cuánto vale xf(x)dx?

Si £(x) = e' x>0 ¿Cuánto vale F(xo)V x

= 0 x¿0 ¿Cuánto vale la media = xf(x)dx?

Grafique f(x) y F(xo)V x,xoeR

Una elipse con centro en el origen tiene semieje mayor a (en

el eje x) y semieje menor b (en el eje y).

Calcular el perímetro y el área de la elipse, verificar los

resultados cuando la elipse se convierte en circunferencia.

122



Calcular el área del triángulo 0<y<x

0,0

Si definimos A(x0 , y0) = dx dy como elfárea acu -

mulada1 hasta (xo , y o ) , evaluar A(xo , yo) para el triángu-

lo si (xo , yo) es cualquier punto en el plano

Hacer lo mismo para el rectángulo

Calcular el área bajo la parábola y-x2 Oáxál

Calcular el área bajo la curva

Calcular el área bajo la curvay=xn

p racional positivo

* Se tiene una resbaladilla de ancho b= 50cm y y=5-3e 5 m

¿Cuánta lámina de metal en área se utilizó para construir la

resbaladilla si en los bordes hay lOcm de altura para apoyar

las manos.

10

e so cw

123



* Un esposo va a tener su primer hijo y decide pesar desde el

2do mes, diariamente a su esposa para ver la evolución. Se

encuentra que

P(t) = peso (al día t) = cosut + at2 + c

días

¿Si el modelo fuera bueno, cuánto pesará al final del embara-

zo?

¿Cuál es la velocidad de crecimiento de peso para cualquier

tiempo t?

Haga las dos gráficas correspondientes.

124



* Determina la derivada de (f°g)(x) con g(x) arbitraria y

(a) £1Cy)= y-a

(b) £2(y)= by

¿Cambian los puntos críticos de g(x)?2Graficar (fog)(x) si g(x)= x +kx

Graficar f^^ogfx) y f^^ogíx)

* ¿Cuánto pesa un poste de luz con forma de cono?JtO

altura 10 metros, radio inferior Ro- 30cm

radio superior ro^ 15cm

Espesor uniforme = 2cm

10 Densidad uniforme 5kg/dnT

* Determinar la longitud de una parábola

cuya altura máxima coincida con la del foco y el área bajo la

curva y entre las dos ramas.

* Proponga una función aproximada de la distancia de la Tierra

al Sol como función del tiempo.

* Proponga una función aproximada del peso de usted como función

del tiempo durante toda su vida hasta ahora.

* Sea f(x) = 2x y sea g(y)= 4y

Calcular la composición g°f

Graficar f°g y g° 6

Calcular gf(y), ff(x) y (gef)f

¿Qué significa geométricamente esta derivada? ¿Cómo se rela-

ciona con la regla de la cadena?

125



* ¿Cuántas derivadas de orden 1,2,... diferentes de cero tienen i

un polinomio p(x)=Ia^x ?

¿Cuántos puntos críticos puede tener?

*¿Cuántas funciones derivadas Dexf D2ex, Dnex, diferentes de

cero existen?

* ¿Cómo escribiría el conjunto -1^x^11 mediante valor absoluto?

¿2<x^6? y ¿x<5o x^lO?

* ¿Cuántas funciones derivadas de orden n diferentes de 0 exis-

ten de la función cosx?

* La ley de Newton de Calentamiento .(o Enfriamiento) dice que si

un cuerpo tiene una temperatura inicial To diferente de la

temperatura ambiente Ta,entonces se calienta (o enfría)

de acuerdo a la siguiente ecuación:

T(t) = Ta - (Ta-To) e~kt

T(t)= temperatura al tiempo t

k = constante

Grafique la curva de enfriamiento respecto al tiempo

Grafique la curva de calentamiento respecto al tiempo

¿En cuánto tiempo se enfría (Ta~To) g r ad o s?

¿A qué temperatura tiende el cuerpo? Demuéstrelo matemática-

mente .

Obtenga la derivada ~¿^J Y grafíquela y

qué significa y qué ocurre con esta derivada cuando

126



* Sólo algunas moléculas de una Mol de un gas tienen la sufi-

ciente energía para reaccionar con otros elementos. Se de-

muestra que esta cantidad es n= Ne ^

N = Cantidad total de moléculas

T = Temperatura en grados Kelvin

Q = Nq

q = Energía de activación = energía mínima para poder

reaccionar.

Grafique n respecto a T

¿Para qué valor de T reaccionarán la mitad de las moléculas?

¿Si T->°°f a qué valor tiende n?

Calcule y grafique -j~ respecto a t, ¿qué ocurre con esta de-

rivada cuando T-><*>? ¿Qué significa esto?

* En qué punto se cortan, si es que lo hacen, las siguientes

funciones:

a) y = e~x y y = x

b) y = e"x2 y y = x

X2

c) y = e y y = x2

d) y = logex y y = x

127



La ediciónestuvo a cargo dela Sección de Produccióny Distribución Editoriales

Se imprimieron100 ejemplares más sobrantespara reposición.

Problemas de cálculodiferencial e integralSe terminó de imprimir

en el mes de marzo del año 2005en los talleres de la Sección

de Impresión y Reproducción de laUniversidad Autónoma Metropolitana

Unidad Azcapotzalco



* 01-CBI

ISBN: 970-654-501-8

978-97065-45015

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METROPOLITANA


División de Ciencias Básicas e IngenieríaDepartamento de Ciencias BásicasCoordinación de Extensión UniversitariaSección de Producción y Distribución Editoriales Ciencias

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